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Martha Cecilia Herrera, Piedad Ortega Valencia, José Gabriel Cristancho, Vladimir Olaya Gualteros.

Crianza y discapacidad:

una visión desde las vivencias y relatos de las familias en varios lugares de Colombia. Dora Manjarrés Carrizalez, Elvia Yaneth León González, Rosanna Martínez Gil, Andrés Gaitán Luque.

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos:

razonar

Carlos Julio Luque Arias, Juan Carlos Ávila Mahecha, María Nubia Soler Álvarez

Inicia con una discusión sobre el concepto de verdad, de argumentación, de razonamientos válidos para lograr una construcción intuitiva de las reglas de inferencia deductivas, pasando por razonamientos no demostrativos, los cuales permiten obtener informaciones nuevas que no están contenidas en las premisas; estas son las inferencias inductivas y las abductivas, donde se hacen inducciones y conjeturas a partir de observaciones particulares. Buscamos estructuras algebraicas estudiando las propiedades de las operaciones lógicas, las abstraemos y axiomatizamos; seguidamente, expresamos unas en términos de las otras, encontrando relaciones que nos servirán para explicar las verdades lógicas conocidas como tautologías y obtener otras estructuras algebraicas como los retículos. Por último, presentamos varias formas de axiomatizar la lógica proposicional, con el propósito de excluir las unicidades y las creencias de que en matemáticas hay verdades y procedimientos verdaderos, y abogar por los múltiples acercamientos a los mismos objetos y teorías matemáticas; precisamos el lenguaje de la lógica de predicados y lo algebrizamos a la manera de Boole. Terminamos particularizando en el razonamiento matemático.

Colección: Memorias y entramados educativos y culturales

Colección: Memorias y entramados educativos y culturales

Colección: Memorias y entramados educativos y culturales Carlos Julio Luque Arias Juan Carlos Ávila Mahecha María Nubia Soler Álvarez

2

configuraciones de la subjetividad en ecologías violentas.

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar

1

Memoria y formación:

Este no es un libro de lógica; sin embargo, pretende aportar a su aprendizaje mediante el planteamiento de tareas y de diversas alternativas para su abordaje. En unas actividades el estudiante está en condiciones de crear conocimiento matemático nuevo para él, como las descritas en los cinco primeros capítulos; otras son para estudiar y comparar propuestas matemáticas establecidas como las descritas en los capítulos restantes.

3

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos:

razonar

Carlos Julio Luque Arias Juan Carlos Ávila Mahecha María Nubia Soler Álvarez

Carlos Julio Luque Arias Licenciado en Matemáticas y Física, y magíster en Educación con especialidad en Física de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. Magíster Scientiae en Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Estudios de promoción en Física de Altas Energías en la Universidad de Dortmund (Alemania). Profesor titular del Departamento de Matemáticas y coordinador del grupo de investigación de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional. Ha publicado seis libros sobre actividad matemática para el desarrollo de procesos lógicos. Juan Carlos Ávila Mahecha Licenciado en Matemáticas y magíster en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. En 2006 le fue otorgada la distinción meritoria por su tesis de pregrado titulada Generación de funciones reales a partir de series. Desde 2004 forma parte del grupo de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia, en la que ha colaborado en el desarrollo de algunos proyectos de investigación como monitor y coinvestigador. Ha participado como asistente y conferencista en diversos eventos académicos nacionales e internacionales. Actualmente adelanta estudios de Maestría en Matemáticas en la Universidad de Cádiz, en España. María Nubia Soler Álvarez Licenciada en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, magíster en Ciencias-Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Actualmente trabaja en la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. Investigación en Educación Matemática en el área de argumentación y la prueba en la clase de matemáticas. Coeditora de Tecné, Episteme y Didaxis (TED), revista dedicada a la Educación en Ciencias Experimentales, Matemáticas y Tecnologías.


Actividades matem谩ticas para el desarrollo de procesos l贸gicos:

razonar


Universidad Pedagógica Nacional Juan Carlos Orozco Cruz Rector Edgar Alberto Mendoza Parada Vicerrector Académico Víctor Manuel Rodríguez Sarmiento Vicerrector de Gestión Universitaria Nohora Patricia Moreno García Directora Centro de Investigaciones, CIUP Preparación Editorial Universidad Pedagógica Nacional Fondo Editorial Víctor Eligio Espinosa Galán Coordinador Fondo Editorial Alba Lucía Bernal Cerquera Editora Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar © Universidad Pedagógica Nacional ISBN: 978-958-8650-42-5 Primera edición, 2013 Autores: Carlos Julio Luque Arias Juan Carlos Ávila Mahecha María Nubia Soler Álvarez Prohibida la reproducción total o parcial sin permiso escrito

Fernando Carretero Padilla Corrección de estilo Juan Manuel Martínez Restrepo www.juanmare.com Fotografía de carátula Haydee Jiménez Diagramación en LATEX Mauricio Esteban Suárez Barrera Diseño de carátula y diagramación Impresión Javegraf Bogotá, Colombia, 2013


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos:

razonar Carlos Julio Luque Arias Juan Carlos Ávila Mahecha María Nubia Soler Álvarez


Catalogación en la fuente Biblioteca Central de la Universidad Pedagógica Nacional.

Luque Arias, Carlos Julio Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos : razonar / Carlos Julio Luque Arias, Juan Carlos Ávila Mahecha, María Nubia Soler Álvarez. - -- 1ª. ed. - - Bogotá : Universidad Pedagógica Nacional, CIUP, 2013 410 p. : figuras Referencias bibliográficas: p.395 – 401 ISBN : 978-958-8650-42-5 Lógica – Aprendizaje. 2. Razonamiento (Matemáticas). 3. Argumentación (Matemáticas). 4. Matemáticas – Enseñanza. I. Ávila Mahecha, Juan Carlos. II. Soler Álvarez, María Nubia. III. Tít. 510.1 cd. 21 ed.


Los Autores Carlos Julio Luque Arias Licenciado en Matemáticas y Física, y magíster en Educación con especialidad en Física de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. Magíster Scientiae en Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Estudios de promoción en Física de Altas Energías en la Universidad de Dortmund (Alemania). Profesor titular del Departamento de Matemáticas y coordinador del grupo de investigación de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional. Ha publicado seis libros sobre actividad matemática para el desarrollo de procesos lógicos.

Juan Carlos Ávila Mahecha Licenciado en Matemáticas y magíster en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. En 2006 le fue otorgada la distinción meritoria por su tesis de pregrado titulada Generación de funciones reales a partir de series. Desde 2004 forma parte del grupo de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia, en la que ha colaborado en el desarrollo de algunos proyectos de investigación tanto como monitor y coinvestigador. Ha participado como asistente y conferencista en diversos eventos académicos nacionales e internacionales. Actualmente adelanta estudios de Maestría en Matemáticas en la Universidad de Cádiz, en España.

María Nubia Soler Álvarez Licenciada en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, magíster en CienciasMatemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Actualmente trabaja en la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. Investigación en Educación Matemática en el área de argumentación y la prueba en la clase de matemáticas. Coeditora de Tecné, Episteme y Didaxis (TED), revista dedicada a la Educación en Ciencias Experimentales, Matemáticas y Tecnologías.


A mi dama y alfil en un mundo con dos reinas, Ella y la μαθημα como forma de ser. Carlos Julio Luque Arias

A mis padres Juan y Stella, y a ti, ek het jou lief. ´ Juan Carlos Avila Mahecha


Tabla de contenido

Introducción

13

Capítulo I La noción de verdad

17

1.1. Los sofistas: no hay verdades absolutas

18

1.2. Los filósofos: la verdad absoluta existe

19

1.3. La ciencia: la verdad es científica

20

1.4. La matemática: la verdad no nos importa

21

1.4.1. La verdad de proposiciones compuestas y los conectivos lógicos

24

1.4.2. Los problemas del lenguaje común

30

Capítulo 2 Argumentación y razonamiento 2.1. Argumentos válidos

35 36

2.1.1. Razonamientos válidos y proposiciones verdaderas

43

2.1.2. Deducciones

46

2.1.3. La posición de Diodoro

47

2.1.4. La posición de Filón

65

2.1.5. Principios lógicos

70

2.2. Falacias

77

2.2.1. Sobre la verdad de las premisas

78

2.2.2. Sobre la relación entre antecedente y consecuente

82


Capítulo 3. Razonamientos no demostrativos 3.1. El razonamiento inductivo

89 91

3.1.1. El método de inducción clásico: Sócrates y Aristóteles

92

3.1.2. Inducción completa

93

3.1.3. Inducción incompleta

95

3.1.4. Falacias del razonamiento inductivo

115

3.2. El razonamiento abductivo

125

3.3. Argumentación por analogía

127

Capítulo 4. Matemáticas de los objetos lógicos

147

4.1. ¿Qué significa un punto de vista matemático?

148

4.2. El conjunto base: los valores de verdad

150

4.3. Los conectivos lógicos binarios

153

4.3.1. Estructuras algebraicas de los conectivos lógicos

155

4.4. Relaciones entre los conectivos lógicos

188

4.4.1. Sistemas de conectivos fundamentales

188

4.4.2. Propiedades de absorción

195

4.4.3. Propiedad distributiva

200

4.4.4. Otras estructuras con dos operaciones: retículos

207

4.5. Conectivos como matrices

216

4.5.1. Como acción de grupoide

223

4.6. El espacio de las funciones XX

224

Capítulo 5. Matemáticas de los procesos lógicos I

227

5.1. Validez de las reglas de inferencia

227

5.1.1. Tautologías y tablas de verdad

228

5.1.2. Otras leyes de inferencia

246


5.2. Uso de tablas de verdad para efectuar razonamientos

250

5.3. Tautologías y reemplazamiento

253

Capítulo 6. Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

257

6.1. Sistemas axiomáticos

261

6.2. Sistemas axiomáticos para la lógica proposicional

263

6.2.1. Axiomática T

263

6.2.2. Axiomática C

268

6.2.3. Axiomática B

272

6.2.4. Pruebas con premisas (prueba condicional)

281

6.2.5. Axiomática K

282

6.2.6. Axiomática L

286

6.3. Otras axiomatizaciones para la lógica proposicional 6.3.1. El sistema G (deducción natural)

Capítulo 7. Lógica de predicados

293 293

303

7.1. De las proposiciones a los predicados

304

7.2. De los predicados a las proposiciones: cuantificadores

306

7.2.1. Alcance de un cuantificador

309

7.2.2. Combinación de cuantificadores

310

7.2.3. Cuantificadores y conectivos lógicos

312

Capítulo 8. Matemática de la lógica de predicados

323

8.1. Silogismos aristotélicos

323

8.2. Álgebras de Boole

325

8.2.1. Lógica en álgebras de Boole

337


8.2.2. Relaciones de congruencia en álgebras de Boole

338

8.3. Álgebras de Boole y los silogismos aristotélicos

339

8.4. Anillos de Boole

344

Capítulo 9. El razonamiento matemático 9.1. Teorías matemáticas

347 349

9.1.1. Cómo nace una teoría

349

9.1.2. Demostración en teorías matemáticas

349

9.1.3. Prueba condicional

350

9.1.4. Estrategias de demostración

351

9.2. Dos teorías básicas para las teorías matemáticas

352

9.2.1. La lógica de predicados

352

9.2.2. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Skolem

354

9.3. Teorías de números

362

9.3.1. Teoría de los números naturales: Peano

362

9.3.2. Teorías de los números reales

364

9.4. Teorías algebraicas

368

9.4.1. Teoría de grupos

368

9.5. Teorías geométricas

370

9.5.1. Geometría de Hilbert

371

9.5.2. Axiomática de Weyl

373

9.6. Topología

378

9.7. El método de demostración por inducción matemática

381

9.7.1. El método

9.8. Argumentación o demostración en clase de matemáticas

381 390

Bibliografía

395

Índice alfabético

403


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Introducción

Introducción Introducci´on

libro es producto de la investigaci´on: Actividades matem´ aticas para E ste el desarrollo de procesos l´ ogicos: los procesos matem´ aticos de ordenar y razonar, desarrollada en la Universidad Pedag´ogica Nacional entre los a˜ nos 2007 y 2008, con el prop´osito de determinar actividades matem´aticas elementales que favorecieran el desarrollo de procesos matem´aticos de razonar y ordenar. Durante los a˜ nos 2010 y 2011 se le realizaron algunas modificaciones para enfatizar en el estudio de razonamientos matem´aticos diferentes al deductivo, como el inductivo y el abductivo, proponiendo actividades que propiciaran el desarrollo de estos razonamientos en los estudiantes para profesores de matem´aticas que han cursado los espacios acad´emicos de aritm´etica, sistemas num´ericos y construcci´on de estructuras algebraicas, del proyecto curricular de Licenciatura en Matem´aticas de la Universidad Pedag´ogica Nacional y ofreciendo ambientes acad´emicos de trabajo matem´atico que a la vez les permitan abstraer un modelo did´actico para la ense˜ nanza, desde su propia experiencia. Asumimos como hip´otesis fundamental, como en las investigaciones precedentes sobre los procesos de contar, medir y representar, que es posible la actividad de creaci´on matem´atica a nivel elemental1 en los estudiantes de la Licenciatura, entendida como la que desarrollan los matem´aticos en su labor diaria de crear y demostrar teoremas, proponer y resolver problemas. 1 Compartimos la definici´on experimental de I. Yaglom (1981), de matem´aticas elementales como aquellas que pueden ser desarrolladas en las escuelas y colegios de ense˜ nanza secundaria (Yaglom, 1981).

13


Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ávila Mahecha - María Nubia Soler Álvarez

Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos La actividad que desarrollamos en el aula de clase est´a fundamentada en preguntas, respuestas, contrapreguntas y reformulaci´on de respuestas en una construcci´on colectiva donde el profesor y los estudiantes cuestionan, argumentan, ejemplifican, establecen acuerdos, generalizan y abstraen; en general, en cada actividad se simula un ambiente cient´ıfico. Sin embargo, la presentaci´ on que hacemos de cada actividad, en este libro, est´a organizada de una forma secuencial que no necesariamente corresponde a la misma seguida en clase, aunque el esp´ıritu y los resultados son productos de esta interacci´on. Este no es un libro de l´ogica, pretende ser un libro sobre el aprendizaje de la l´ogica donde se proponen tareas, algunas de las cuales se dejan inconclusas con la esperanza de que alg´ un lector profundice; se muestran alternativas y se sugieren caminos. Hacemos ´enfasis en la actividad matem´atica relacionada con el proceso matem´atico de razonar; inductiva, abductiva y deductivamente, que es un proceso vinculado con otros m´as simples como simbolizar, visualizar, comparar, relacionar, secuenciar. Las actividades se dise˜ naron, unas con el prop´osito de mostrar ambientes acad´emicos de trabajo matem´atico en los cuales el estudiante est´e en condiciones de crear conocimiento matem´atico nuevo para s´ı mismo, en particular las descritas en los cinco primeros cap´ıtulos; otras con los objetivos de estudiar y comparar propuestas matem´aticas establecidas como las presentadas en los cap´ıtulos restantes. En el primer cap´ıtulo discutimos sobre el concepto de verdad iniciando con la verdad relativa de los sofistas presocr´aticos, adem´as del nacimiento y desarrollo de la ret´orica como herramienta de persuasi´on, para convencer a otras personas de las verdades propias. Mencionamos el nacimiento de la verdad de los fil´osofos y el m´etodo de inducci´on de S´ocrates como recurso para conseguir la verdad. Pasamos por la convicci´on de que la ciencia s´ı tiene la verdad, hasta llegar a la concepci´on matem´atica de que la verdad de sus proposiciones no es lo que interesa. Seguidamente usamos la descomposici´on de una proposici´on como recurso para determinar su verdad en t´erminos de la verdad de sus proposiciones at´omicas componentes, entendida esta u ´ltima como un convenio inicial, que se puede cambiar a voluntad. El cap´ıtulo dos lo dedicamos a la argumentaci´ on entendida como una forma de manifestar las razones y pruebas para defender opiniones, concepciones o comportamientos, proponer o defender tesis; iniciamos con el estudio de los razonamientos deductivos v´alidos y el proceso de inferencia deductiva, lo que nos sirve para introducir dos formas de implicaci´on: la formal de Diodoro y la material de Fil´on; asumiendo la primera como un intento por vi 14


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Introducción

Introducci´on lograr una construcci´on intuitiva de las reglas de inferencia pero dirigida por el profesor a la manera de la deducci´on natural de Gentzen. En la propuesta de Fil´on aparecen las llamadas paradojas de la implicaci´on material, que aunque son l´ogicamente verdaderas, realmente no son ni verdaderas ni falsas, pues no tienen sentido real, no son verificables por la experiencia, pero que es la posici´on asumida en casi todas las teor´ıas matem´aticas. Discutidas algunas formas b´asicas de razonamiento deductivo v´alido, abordamos enseguida las formas m´as comunes de errores de razonamiento, o falacias en dos grupos: las que atentan contra la verdad de las premisas y las que pervierten la relaci´on entre las premisas y la conclusi´on. En el tercer cap´ıtulo nos centramos en las formas de razonamientos no demostrativos; es decir, aquellas que conducen a conclusiones no necesariamente ciertas partiendo de premisas ciertas, pero que son las que permiten obtener informaciones nuevas, que no est´an contenidas en las premisas; estas son las inferencias o razonamientos inductivos y las inferencias o razonamientos abductivos. Mostramos varios ejemplos en distintas ramas de las matem´aticas donde se hacen inducciones y conjeturas a partir de observaciones particulares, pero enfatizamos en el peligro de expresar conclusiones falsas o confundir conjeturas con conclusiones, presentando ejemplos de falacias frecuentes en estos tipos de razonamientos. El cap´ıtulo cuatro est´a dedicado a la actividad matem´atica, focalizada en encontrar estructuras matem´aticas de los objetos l´ogicos encontrados en los cap´ıtulos anteriores; primero mirando los conjuntos de valores de verdad, luego definiendo operaciones entre sus elementos y estudiando sus propiedades algebraicas, con la ayuda de un software: “Algebra finita ´ 1.0”(adjunto a este libro), dise˜ nado por el grupo de Algebra de la Universi´ dad Pedag´ogica Nacional y programado por Jos´e Leonardo Angel (integrante del grupo), para facilitar c´alculos tediosos, y procurando en cada caso encontrar unas de las propiedades de las operaciones que sirvan como argumentos para demostrar las dem´as, en una aproximaci´on a la actividad matem´atica de axiomatizar. Seguidamente, en un paso m´as de abstracci´on, aplicamos el mismo proceso a las operaciones tratando de expresar unas en t´erminos de las otras, encontrando relaciones entre ellas que nos servir´an para explicar m´as adelante las verdades l´ogicas conocidas como tautolog´ıas y estructuras algebraicas como los ret´ıculos. Finalmente, cambiamos de o´ptica y miramos cada tabla de los conectores l´ogicos como matrices para estudiar posibles conexiones entre la l´ogica y el ´algebra lineal. vii 15


Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ávila Mahecha - María Nubia Soler Álvarez

Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos El cap´ıtulo 5 demuestra a la manera de Peirce-Post y Wittengstein, usando tablas de verdad, la validez de las reglas de inferencia encontradas en el cap´ıtulo 2, adem´as se ejemplifica el uso de esas tablas para validar algunos razonamientos. Finaliza con la introducci´on de la regla de sustituci´on como un mecanismo para simplificar demostraciones que nos servir´a en los cap´ıtulos siguientes para mostrar otras formalizaciones de los procesos de inferencia deductiva. En el cap´ıtulo 6 presentamos varias formas de axiomatizar la l´ogica proposicional, tiene el objetivo de excluir las unicidades y las creencias de que en matem´aticas hay verdades y procedimientos verdaderos y abogar por los m´ ultiples acercamientos a los mismos objetos y teor´ıas matem´aticas, esto permite las comparaciones, mejora la comprensi´on y sugiere analog´ıas que conducen a nuevas conjeturas. Finaliza con una presentaci´on de los elementos b´asicos de la deducci´on natural de Gentzen. El cap´ıtulo 7 lo dedicamos a precisar algunos elementos b´asicos del lenguaje de la l´ogica de predicados, y en particular a estudiar el comportamiento de los cuantificadores universal y existencial, sus relaciones con los conectivos l´ogicos y las reglas de inferencia que regulan su aplicaci´on en razonamientos v´alidos. En el cap´ıtulo 8 mostramos otra forma de matematizar el razonamiento con predicados, m´as exactamente usando el a´lgebra a la manera de Boole. Estudiamos las ´algebras de Boole inicialmente con unos axiomas que luego se reducen en n´ umero y permiten explicar los silogismos aristot´elicos con ecuaciones. El u ´ltimo cap´ıtulo est´a dedicado a algunas consideraciones sobre el razonamiento matem´atico, las nociones de demostraci´on, prueba condicional, pruebas indirectas en diferentes ramas de la matem´atica, desde la teor´ıa de conjuntos hasta la topolog´ıa, pasando por formas de argumentaci´on en ´algebra, en teor´ıa de n´ umeros, en geometr´ıa, para concluir que los m´etodos de demostraci´on en ellas son sustancialmente los mismos, que lo que var´ıa, generalmente en abstracci´on, son los objetos y sus relaciones. Finaliza con una muestra del m´etodo de inducci´on matem´atica que tambi´en est´a presente en casi todas las ramas de la matem´atica.

viii 16


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar La noción de verdad

Capítulo 1. La noción de verdad CAP´ITULO

1

La noci´on de verdad

Quien cree saber, no se esfuerza en buscar la verdad. S´ ocrates

Para muchas personas, la religi´on, la filosof´ıa, las matem´aticas, la abogac´ıa y la ciencia, entre otras, pretenden encontrar la verdad; en cada estudio se usan m´etodos distintos y con diferentes prop´ositos; pero cuando afirmamos que una frase es verdad, ¿qu´e significa esto? Por ejemplo: “Dios existe” es una verdad para algunas personas pero no para otras, cada quien puede argumentar a su favor y compartir la misma opini´on con alg´ un grupo de personas, pero no hay un acuerdo universal. Este tipo de verdad, relativa a grupos de personas, conduce a cosas curiosas pues, como en el ejemplo anterior, es tan v´alida una opini´on como la contraria; como ambas opiniones son sobre el mismo asunto, resulta que una afirmaci´on es cierta y su negaci´on tambi´en, contrario a lo que usualmente es aceptado. Si queremos lograr acuerdos se hace necesario proponer unas normas, dentro de un contexto social, en el cual se comparta un lenguaje y algunos significados, pero fuera de ese grupo los acuerdos no son necesariamente v´alidos. Esta verdad establecida en ese grupo social es relativa, de modo que podr´ıamos preguntarnos: ¿existe alguna verdad universal, aceptada por todos los humanos? Veamos:

17


Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ávila Mahecha - María Nubia Soler Álvarez

Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

1.1.

Los sofistas: no hay verdades absolutas

En la antigua Grecia, cuando naci´o la democracia, surgi´o la necesidad de que las personas estuvieran preparadas para gobernar, y en aras de responder a estas demandas aparecieron los sofistas (del griego soph´ıa(σoφ´ıα), “sabidur´ıa” y soph´ os (σoφ´oς), “sabio”); ellos sab´ıan o simulaban saber de todo: astronom´ıa, geometr´ıa, aritm´etica, fon´etica, m´ usica, pintura, etc., pero su conocimiento no buscaba la verdad sino la apariencia de saber, porque esta les daba autoridad. Ense˜ naban el dominio de las palabras para ser capaz de persuadir a otros, “poder convertir en s´olidos y fuertes los argumentos m´as d´ebiles”, dice Prot´agoras (Kneale y Kneale, 1962), quien se dedic´o a la ense˜ nanza basada en el arte del discurso persuasivo, en las t´ecnicas de arg¨ uir a favor de las dos caras de un mismo argumento, conocidas como antilog´ıas; defendi´o un relativismo del conocimiento y de los valores, es decir, neg´o que existieran valores y verdades universales para todos los hombres. Se˜ nalaba tambi´en que no exist´ıan verdades objetivas, absolutas y universales, sino que las cosas son tal y como son percibidas por cada persona, de modo que no es posible establecer un criterio de verdad si todas las opiniones tienen la misma validez, lo que permite defender tesis contrarias al mismo tiempo. El relativismo de los valores implica que una misma cosa o acci´ on puede ser buena para un sujeto y mala para otro, o puede ser mala o buena para un mismo sujeto dependiendo de cada circunstancia, y en la medida en que ´el lo crea as´ı. Por su parte, Gorgias de Leontini, otro sofista, se dedic´o a ense˜ nar el arte de la ret´orica como el camino m´as adecuado para acceder al poder y defendi´o el escepticismo y el relativismo como elementos b´asicos de su filosof´ıa, al argumentar que en el mundo todo es opini´on y la verdad, para cada uno de nosotros, es aquello que nos persuade como tal.

Ejercicios Discuta la validez de los siguientes argumentos expuestos por el sofista Gorgias en su libro titulado Sobre el no ser o sobre la naturaleza, donde establece tres tesis que contradec´ıan las tesis de la existencia de un ser u ´nico e inmutable, estas son: 1. Nada existe (Nada es). 2 18


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar La noción de verdad

La noci´on de verdad 2.

Si el ser existiera, no podr´ıa ser conocido o pensado.

3.

Si el ser fuera cognoscible o comprensible, entonces ser´ıa incomunicable. Gorgias argumenta:

Para la primera tesis: si algo existe, entonces o es el ser o es el no ser; si el ser es, la nada no es, pues si el no ser fuera algo, ser´ıa una contradicci´on al decir que lo que no es, es y no es. De otro lado, el ser, si existe, o es generado o es sin principio (existe siempre), si no tiene un principio, ser´ıa ilimitado, infinito e inm´ ovil. Pero todo lo que es, ha de ser en alguna parte, por lo que tendr´ıa que haber algo mayor que lo abarcara, mayor que lo ilimitado mismo. Por lo tanto, lo ilimitado no es. Si es generado, entonces habr´ a surgido de lo que es o de lo que no es. De lo que es, no puede haber nacido, pues ya ser´ıa, y de lo que no es, tampoco puede haber surgido, pues la nada no es origen de nada. Conclusi´ on: el ser no existe. En cuanto a la segunda tesis dice: Si el ser fuera, no podr´ıa ser conocido o pensado, puesto que si el ser fuera cognoscible, entonces o es id´entico o es distinto a lo que se piensa. Si es id´entico, el ser ser´ıa incognoscible, porque todo lo pensable tendr´ıa que ser, y existir´ıan seres tales como elefantes rosados con alas azules o cualquier otra cosa que podamos pensar. Ahora, si el ser es distinto a lo pensado, tambi´en ser´ıa incognoscible, porque implicar´ıa que el pensar es un no ser, siendo imposible conocer el ser a partir del no ser. Conclusi´ on: si el ser existiera o fuera, ser´ıa impensable. Finalmente, si el ser fuera cognoscible, ser´ıa incomunicable: La palabra, como medio de comunicaci´on, es id´entica o distinta al pensar. La palabra no es la cosa, ni es el conocimiento de la cosa, por tanto, si el ser fuera cognoscible, ser´ıa incomunicable. Como vemos, las tesis gorgianas conducen a un escepticismo radical, a una negaci´on del ser, pensar y decir; as´ı, el conocimiento no se puede alcanzar, ni comunicar.

1.2.

Los fil´ osofos: la verdad absoluta existe

En contraposici´on al punto de vista de los sofistas, algunos griegos aceptaron la existencia de una verdad absoluta e iniciaron su b´ usqueda, uno de ellos fue S´ocrates quien reconoci´o que un obst´aculo en la b´ usqueda de la 3 19


Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ávila Mahecha - María Nubia Soler Álvarez

Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos verdad era la ambig¨ uedad del lenguaje com´ un, en especial las palabras que expresaban nociones ´eticas, como justicia, templanza, valor, etc., se cuestionaba sobre c´omo encontrar el sentido verdadero de sabidur´ıa, de justicia, de bondad. Propon´ıa como primer paso hacia la verdad, reconocer la propia ignorancia, limpiar de la mente los prejuicios, las ideas incompletas y los errores que generalmente se aceptan sin meditaci´on. El siguiente paso es ir de lo particular a lo universal, comparar entre s´ı cada caso, ver sus diferencias y abstraer las cualidades comunes que son la esencia, para lograr una definici´on. En los Di´alogos de Plat´on (1986) hay muchos ejemplos de c´omo S´ocrates se val´ıa de este m´etodo para ir dando con la esencia de las virtudes. Los fil´osofos griegos buscaron lo verdadero en contra de la falsedad, la ilusi´on, la apariencia, etc., para ellos verdad y realidad eran lo mismo. Tambi´en consideraron la verdad como la propiedad de ciertos enunciados. Para Arist´oteles, (1994) “decir de lo que es que no es, o de lo que no es que es, es lo falso; decir de lo que es que es, y de lo que no es que no es, es lo verdadero”.

Ejercicios 1. Argumente a favor de la existencia de una verdad que usted considere universal. 2. Argumente en contra de la existencia de una verdad que usted considere universal.

1.3.

La ciencia: la verdad es cient´ıfica

Para Peirce (1935) la verdad es el resultado de una investigaci´on cient´ıfica, solo el m´etodo cient´ıfico puede lograr alcanzar y sustentar indefinidamente un consenso de opini´on. Otros m´etodos solo pueden alcanzar acuerdos temporales. Pero la verdad cient´ıfica tambi´en es relativa al contexto cient´ıfico y a la ´epoca; por ejemplo, las tres leyes de Newton (Serwey, 1998) son v´alidas en universos peque˜ nos y velocidades muy inferiores a la de la luz; las leyes de la mec´anica cu´antica derivadas de la ecuaci´on de Schr¨odinger (Griffiths, 1994) no son v´alidas en a´mbitos relativistas, y en muchos otros casos verdades 4 20


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar La noción de verdad

La noci´on de verdad consideradas cient´ıficas, han sido revaluadas por nuevos resultados experimentales, o han sido sustituidas por teor´ıas m´as generales. El cient´ıfico Paul Feyerabend (1999) lo resumi´o en la frase: “la u ´nica verdad absoluta en la ciencia es que no hay verdades absolutas”.

Ejercicios Discuta la validez de los siguientes argumentos: 1.

¿La afirmaci´on: “la tierra es redonda”es verdadera? Para algunos s´ı, porque as´ı est´a en los libros de geograf´ıa, fue lo que nos ense˜ naron en la escuela, o nos dijeron que los barcos al alejarse de una playa se van perdiendo en el horizonte, o nos muestran fotos supuestamente tomadas desde el espacio, mejor dicho ¡por fe! Sin embargo, ¿cu´ antos de nosotros han observado el movimiento de los barcos en el mar desde la playa? ¿Qu´e garantiza la autenticidad de las fotos que nos muestran los libros de geograf´ıa? ¿Podemos verificar esta afirmaci´ on de manera directa? ¿C´omo sabemos que una afirmaci´ on cient´ıfica es cierta?

2.

¿El MFP previene la caries dental? ¡Ni siquiera tenemos idea de qu´e es el MFP!, y si la tuvi´eramos, requerir´ıamos de costosos experimentos para validar la afirmaci´ on, lo que no est´ a a nuestro alcance. ¡Mejor creer!

En nuestra opini´on, la ciencia es lo m´as cercano que tenemos a una verdad, pero su ense˜ nanza y el conocimiento que de ella tenemos, cada vez se parece m´as a la ense˜ nanza y el conocimiento de una religi´on, donde la verdad se acepta por fe; contrario al esp´ıritu curioso y dubitativo que conduce a la b´ usqueda del conocimiento.

1.4.

La matem´ atica: la verdad no nos importa

Habitualmente se considera que la l´ogica, la verdad y el razonamiento matem´atico est´an fundamentados sobre bases m´as seguras que las que sostienen la verdad y el razonamiento en otras disciplinas, esto posiblemente se basa en la creencia de que sus proposiciones son absolutamente ciertas e indiscutibles, en tanto que las de todas las otras ciencias son rebatibles y 5 21


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos corren el riesgo constante de ser invalidadas por el descubrimiento de nuevos hechos. A diferencia de las ciencias naturales, que usan el m´etodo cient´ıfico para fundamentar sus teor´ıas, las matem´aticas usan el m´etodo axiom´atico que consiste en aceptar como verdaderas y sin prueba ciertas proposiciones como axiomas, y en derivar de esos axiomas, las dem´as proposiciones del sistema como teoremas, usando exclusivamente los principios de la l´ogica. Si los axiomas son verdaderos, todos los teoremas que se deduzcan de ellos son verdaderos. A los sistemas axiom´aticos se les exige cumplir tres requisitos b´asicos: ser completo, es decir que toda afirmaci´on que podamos construir dentro del sistema, puede ser demostrada o refutada; ser consistente en el sentido de que a partir de los axiomas no podemos deducir una afirmaci´on y su negaci´on, ser independientes, lo que significa que no es posible demostrar uno de ellos a partir de los dem´as. Sin embargo, es posible construir un sistema axiom´atico con unos axiomas y tambi´en construir otro sistema axiom´atico cuyos axiomas sean algunos de los axiomas del primer sistema y la negaci´on de uno o m´as de los axiomas iniciales; el ejemplo m´as conocido es el de la geometr´ıa euclidiana y las geometr´ıas no euclidianas. Por tanto, una afirmaci´on podr´ıa ser verdadera en un sistema axiom´atico y falsa en el otro, ¡similar a lo que afirmamos de la religi´on!, con la diferencia de que en matem´aticas los axiomas los suponemos verdaderos, no los afirmamos verdaderos.

Ejemplos 1. ¿La afirmaci´on 2 + 3 = 5 es verdadera? O ¿depende de algo? Veamos algunas respuestas: • En los n´ umeros naturales con su representaci´on usual en base 10 y en toda base mayor que 5 la afirmaci´on es cierta. • En bases menores o iguales a 5, la afirmaci´on no es falsa ni es cierta, pues en esas bases no existe el s´ımbolo 5. • Depende de lo que signifiquen los s´ımbolos 2, 3, 5, +, = ; por ejemplo, si 2 y 3 son elementos de Z4 , = es la igualdad usual y + representa la operaci´on: 6 22


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar La noción de verdad

La noci´on de verdad + 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

el s´ımbolo 5 no existe, y la afirmaci´on no es cierta ni falsa. • Depende del contexto social en el que estemos; pues si estamos hablando de matem´aticas en un grupo social que no tenga conocimiento del tema, es posible que algunos no sepan si es verdad o no. Pero, ¿el hecho de que una persona no sepa que 2 + 3 = 5, hace que la afirmaci´on sea falsa? Por lo menos en cuestiones de ley, el desconocimiento de una ley no exime al culpable. Es posible que la pregunta no sea oportuna, porque estamos asumiendo que hay verdad al margen del contexto. • Si incluimos la afirmaci´on dentro de una teor´ıa matem´atica para los n´ umeros naturales, y por ejemplo en la teor´ıa axiom´atica de Peano con primer elemento 1, y en ese contexto si 3 es el sucesor de 2 y 5 es el sucesor del sucesor de 3, entonces 2 + 3 = 5 es verdad. 2. ¿Las definiciones en matem´aticas son verdaderas? En matem´aticas una definici´on es “un acuerdo o convenci´on al que llegan todas las partes interesadas en cuanto al significado de un t´ermino en particular”(Solow, 2006, p. 43) y surge cuando queremos nombrar alg´ un elemento o relaci´on entre elementos construidos en un sistema axiom´atico sin tener que enunciar todas sus propiedades; as´ı, en geometr´ıa plana a los cuadril´ateros con todos sus lados congruentes, los llamamos rombos, pero tambi´en pod´ıamos haberlos llamado ponchos o de cualquier otra manera. Son convenios, no verdades. En algunos libros de matem´aticas definen un objeto con unas caracter´ısticas poni´endole un nombre que otro libro usa para otro objeto; por ejemplo la palabra cuerpo se usa para nombrar a un anillo conmutativo con unidad e inversos, pero en otros libros se usa para nombrar a un anillo con unidad e inversos, que es otro objeto. Por tanto, cuando leamos un libro de matem´aticas debemos fijarnos en las definiciones que maneja el autor. 3. En los n´ umeros naturales2 ¿7 < 12? 2

En la teor´ıa axiom´ atica de Peano con primer elemento 1.

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos De manera similar que en el ejemplo 1, si ambos n´ umeros est´an escritos en base 10 o en una base mayor que 7, y el s´ımbolo < representa la relaci´on de orden aditivo usual entre n´ umeros naturales (a < b si y solo si existe c en N tal que a + c = b) la afirmaci´on es verdadera. Si 12 y 7 representan n´ umeros naturales escritos en base 10 y el s´ımbolo < representa la relaci´on de orden definida entre n´ umeros naturales por la relaci´ on de divisibilidad, (a < b si y solo si existe c en N tal que ac = b) la afirmaci´on es falsa, ya que 7 no divide a 12. 4. ¿La afirmaci´on: “Para todo x se cumple que x ∗ x = x”es una proposici´on verdadera? Dentro de la teor´ıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Skolem, si x representa un subconjunto cualquiera de un conjunto A, ∗ es la operaci´on intersecci´on y el s´ımbolo = corresponde a la igualdad de conjuntos, entonces la afirmaci´on es cierta. Es verdadera si x representa un subconjunto cualquiera de un conjunto A; ∗ la operaci´on uni´on entre conjuntos, y el s´ımbolo = la igualdad entre conjuntos. Es falsa si x representa un subconjunto cualquiera de un conjunto A; ∗, la operaci´on diferencia entre conjuntos, y el s´ımbolo =, la igualdad entre conjuntos. En la teor´ıa de Peano, si x representa cualquier n´ umero natural y ∗ es la operaci´on suma, la afirmaci´on es falsa.

1.4.1.

La verdad de proposiciones compuestas y los conectivos l´ ogicos

Desafortunadamente, la determinaci´on de la verdad de una frase cualquiera puede complicarse mucho, por ejemplo ¿es cierta o falsa la expresi´on de Frege (1972, p. 142) sobre los n´ umeros naturales?: Si el n´ umero fuera una idea, entonces la aritm´etica ser´ıa psicolog´ıa. Pero la aritm´etica no es m´as psicolog´ıa que, por ejemplo, la astronom´ıa. La astronom´ıa no se ocupa de las ideas de los planetas, sino de los planetas mismos, del mismo modo, los objetos de la aritm´etica no son tampoco ideas. 8 24


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La noci´on de verdad En estos casos es u ´til un consejo de Descartes (1994, p. 16) para resolver problemas complicados, ¡div´ıdalos en problemas simples, resuelva y pegue las soluciones! Un primer contexto, de inter´es nuestro, donde podemos acordar un valor de verdad para algunas proposiciones es una teor´ıa matem´atica; all´ı podemos formar frases que tengan significado dentro de ella y asignarles un valor de verdad, cierto o falso; algunas de ellas las consideraremos ciertas sin prueba, los axiomas; para todas las dem´as debemos establecer su valor de verdad usando las reglas de la l´ogica que consideremos v´alidas3 . 1.4.1.1.

Proposiciones

En el lenguaje com´ un hay oraciones que expresan ideas, opiniones, que no podr´ıan calificarse como verdaderas o falsas; hay creencias, interrogantes, exclamaciones, etc. En matem´aticas y en ciencia en general solo trabajamos con un tipo de expresiones, aquellas de las que se pueda establecer (o acordar): son verdaderas o son falsas dentro de una teor´ıa, estas expresiones las llamamos proposiciones. 1.4.1.2.

Proposiciones simples y compuestas

Las proposiciones en l´ogica las podemos considerar como los n´ umeros en el a´lgebra. Hay unas proposiciones que son simples (Zehna y Johnson, 1972, p. 5) o at´ omicas, porque adem´as de tener solamente un sujeto y un predicado -donde el sujeto se refiere a un elemento de un universo de discurso, que suponemos prefijado cuando no digamos lo contrario, mientras que el predicado se refiere a alguna propiedad, un acto, una acci´on o alguna cosa que tenga el sujeto en relaci´on con el universo- no se dejan descomponer en proposiciones simples; por ejemplo, 1. Si el universo de discurso es el conjunto de los n´ umeros naturales, una proposici´on simple es: “37 es un n´ umero primo”. 2. Si el universo de discurso es el conjunto de los animales, una proposici´on simple es: “Los erizos de mar son equinodermos”. Por ahora recurrimos al sentido intuitivo que cada lector tenga de las afirmaciones sobre l´ ogica que pretendemos precisar en este escrito. 3

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 3. Si el universo de discurso es el conjunto de los n´ umeros complejos, iπ e = −1, es una proposici´on simple. 4. Si el universo de discurso es el conjunto de los n´ umeros reales, eπ es un n´ umero entero, es una proposici´on simple.

√ 163

De ellas no nos interesa de momento el significado que tengan en su contexto, solo nos interesa su valor de verdad, las representaremos con letras min´ usculas del abecedario: p, q, etc. Por supuesto hay frases que no son proposiciones, por ejemplo: Colombia es el mejor pa´ıs del mundo ¿Qu´e hora es? La primera no es cierta ni falsa, pues depende del punto de vista de quien lo diga, la segunda ni siquiera es una afirmaci´on. Una proposici´on simple no necesariamente es sencilla, b´asica o f´acil. Simplemente es una proposici´on que expresa solamente una cosa, lo sencillo depende de cada uno; por ejemplo, en el an´alisis real usual, la frase  x3 x2dx = +c 3  es una proposici´on simple y verdadera, pues consta de un solo sujeto, x2 dx, 3 de un solo predicado, = x3 + c y no se puede descomponer en otras proposiciones. Por otro lado, las proposiciones que est´an formadas con proposiciones simples, las llamamos compuestas. Podemos formar proposiciones compuestas con proposiciones simples4 usando algunos t´erminos de enlace (Suppes y Hill, 1976) o conectivos; por ejemplo: 4 Leibniz, Ram´ on Lulle y otros pensaron que toda idea se pod´ıa expresar en t´erminos de ideas simples, en forma similar a lo que ocurre con los n´ umeros naturales, esto es, todo n´ umero natural se puede expresar como producto de n´ umeros primos (Boyer, 1991, p. 407). A comienzos del siglo XX, Gottlob Frege (1972), Bertrand Russell y Alfred North Whitehead (1910), ampliaron el campo de la l´ogica matem´atica m´as all´a de la silog´ıstica. Introdujeron s´ımbolos para proposiciones y para los conectivos que las unen. Pusieron s´ımbolos diferentes para el sujeto l´ ogico y el predicado l´ogico de una frase; y s´ımbolos para distinguir las clases, los miembros de las clases y para las relaciones de la pertenencia a una clase y la inclusi´on en una clase. Sus desarrollos influyeron en la creaci´ on de varias teor´ıas

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La noci´on de verdad • π no es un n´ umero natural. • Si 35 es un n´ umero natural impar entonces no es un m´ ultiplo de 2. • Un n´ umero natural5 es divisible por 5 solo si la cifra de las unidades es 0 o 5. • 8 es un n´ umero natural par o un m´ ultiplo de 7. • Ni 9 es un n´ umero par ni es primo. • 2 es un n´ umero natural primo y 6 es un n´ umero perfecto. • Un n´ umero natural es m´ ultiplo de 10 si y solo si la cifra de las unidades es 0. Para determinar el valor de verdad de una proposici´on compuesta, descomponemos la proposici´on en proposiciones simples y determinamos los valores de verdad individuales, luego aplicamos los convenios para cada conectivo6, de la siguiente forma: Si una proposici´on es verdadera su negaci´on es falsa y si es falsa su negaci´on es verdadera. Si el conectivo es y, acordamos que la compuesta es cierta cuando ambas componentes lo son y falsa en los dem´as casos7 . Si el conectivo es o, la compuesta es una proposici´on falsa solo en el caso de que ambas proposiciones componentes lo sean. En el caso del conectivo “si ... entonces”, convenimos que la compuesta es falsa solo en el caso en que la proposici´on que sigue al “si ” sea verdadera y la que sigue al “entonces” sea falsa. Si el conectivo es “ni ... ni ...” convenimos que la compuesta es verdadera solo en el caso en que ambas proposiciones sean falsas. matem´ aticas como: la teor´ıa de algoritmos y la de funciones recursivas. Peano (Kennedy, 1973) introdujo s´ımbolos y nociones que le permitieron desarrollar lenguajes artificiales sin las ambig¨ uedades del lenguaje ordinario. 5 Escrito en cualquier base m´ ultiplo de 5 pero mayor que 5. 6 Los meg´aricos entre los a˜ nos 400 y 275 a.C. y los estoicos entre los a˜ nos 300 y 200 a.C., en la antigua Grecia, se interesaron en el estudio de las formas de razonamiento que inclu´ıan conectivos l´ogicos y no ten´ıan forma de un silogismo. 7 Estos valores de verdad para la conjunci´ on fueron considerados por los estoicos 300 a.C.

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Con el conectivo “... solo si ...”, la proposici´on compuesta es falsa solo en el caso en que la proposici´on que antecede al “solo” sea falsa y la que sigue al “si ” sea verdadera. 1.4.1.3.

Simbolizaci´ on

Los estoicos presentaron todos sus ejemplos y descubrimientos con palabras y sus descripciones eran extensas y dif´ıciles de entender, posiblemente este hecho hizo que sus hallazgos fueran estudiados 20 siglos despu´es de ser escritos, Boole us´o s´ımbolos y notaci´on algebraica lo que le permiti´o un gran avance en la formulaci´on de la l´ogica. La formulaci´on de problemas algebraicos por parte de los babilonios y egipcios tambi´en era verbal y confusa, cuando se introdujo la notaci´on simb´olica, iniciada por Diofanto (Devlin, 2003, p.15), alrededor del a˜ no 250 d.C. en su tratado Aritm´etica donde utiliz´o s´ımbolos especiales para denotar las inc´ognitas de una ecuaci´on y las potencias de tales inc´ognitas, y emple´o s´ımbolos para la sustracci´on y para la igualdad; luego Viet`a, Descartes, y otros introdujeron m´as simbolog´ıa y notaciones que le dieron al a´lgebra un gran paso adelante. Todas las nociones en matem´aticas son abstractas, los n´ umeros, puntos, l´ıneas, planos, funciones, matrices y los dem´as objetos matem´aticos no existen en el mundo f´ısico, y el uso de s´ımbolos para representar dichos objetos son un reflejo de su naturaleza; pero debemos tener cuidado de no confundir los s´ımbolos con lo que ellos representan. Una buena notaci´on puede sugerir relaciones entre objetos, implicaciones y conclusiones nuevas por ejemplo, la invenci´on del cero o la notaci´on posicional o el descubrimiento de los n´ umeros negativos e imaginarios, la introducci´on del desplazamiento diel´ectrico por Maxwell y el subsiguiente descubrimiento de las ondas et´ereas, se deben todos directamente a la sugesti´on de los s´ımbolos (Cohen y Nagel, 1934, p. 120). El proceso de simbolizar resulta fundamental cuando pretendemos construir un vocabulario m´as preciso; en particular para la l´ogica. A cada proposici´on le pondremos un nombre; si la proposici´on es simple (sin t´erminos de enlace) el nombre lo representamos con una letra y si es compuesta con una letra por cada proposici´on simple que la conforme y un s´ımbolo por cada t´ermino de enlace, o conectivo. Si p es una proposici´on, su negaci´on la notamos ¬p. En algunos casos en matem´aticas asignamos un nuevo s´ımbolo para la negaci´on, por ejemplo 12 28


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La noci´on de verdad escribimos x �= y para la negaci´on de x = y, x ∈ / y para la negaci´on de x ∈ y, x  y para la negaci´on de x ⊆ y. Si p y q son proposiciones, su conjunci´ on p y q la notamos p ∧ q. Otras formas de decir son: p pero q, p sin embargo q, p no obstante q. Su disyunci´on p o q la notamos p ∨ q. Otras formas de decir son: o p o q o ambas cosas, al menos p o q, como m´ınimo p o q. Su implicaci´ on: si p entonces q la notamos p → q. Otras formas de decir son: q es condici´on necesaria para p, o que p es condici´on suficiente para q. Su implicaci´ on rec´ıproca, que corresponde con p s´ olo si q, la notamos p ← q. La flecha de Peirce entre p y q, que corresponde a ni p ni q, la notamos p ↓ q. Su doble implicaci´ on, que corresponde con p si y s´ olo si q la notamos p ↔ q. Otras formas de decir son: p es l´ogicamente equivalente a q, p es condici´on necesaria y suficiente para q. Existen otros 10 conectivos l´ogicos, aunque algunos no son muy conocidos, los estudiaremos con m´as detalle en el cap´ıtulo 4. No s´olo en matem´aticas usamos estos conectivos, tambi´en en ciencias naturales y sociales se usan proposiciones y conectivos, con algunos convenios sobre la verdad de las proposiciones; por ejemplo, en biolog´ıa, se afirma: los cuerpos vivos en el agua viven o se ahogan y algunos seres microsc´ opicos mueren a temperaturas altas o en ambientes a´cidos. Incluso en la cotidianidad aparece el mismo modelo pero frecuentemente se maneja m´as libremente sin el rigor de la l´ogica, ni de las ciencias. Asumiremos que cuando digamos que una proposici´on es verdadera o falsa, tenemos un convenio para establecerlo.

Ejemplos En los n´ umeros naturales 1. Si 4 + 7 = x entonces x = 11. 2. Si (y + 3 = 4) entonces (y = 1). 3. O (x > 7 y x < 9) o x �= 8. 13 29


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

1.4.2.

Los problemas del lenguaje com´ un

Si consideramos la frase, Shakira es bonita, pero presumida y la representamos como “Shakira es bonita y presumida” esta expresi´on no tiene el mismo sentido que la primera; lo mismo sucede con la frase “Juan es pobre pero honrado”. Como vemos, en el lenguaje com´ un pero e y no son lo mismo, aunque l´ogicamente significan igual; en el lenguaje com´ un se usa para unir dos frases con sentidos contrapuestos. En l´ogica el conectivo no var´ıa su significado con el valor de verdad de las proposiciones que une, no se cambia el conectivo y si las proposiciones que une son ambas falsas o ambas verdaderas. Vemos que este esfuerzo de simplificaci´on puede sacrificar el significado de las frases, por lo menos no tienen la misma fuerza expresiva. Hay notables diferencias entre la gram´atica, la l´ogica y el lenguaje com´ un, porque este u ´ltimo violenta a menudo las reglas de la gram´atica, de la l´ogica y de la sintaxis; por ejemplo, cuando decimos: “¿no es cierto que usted vino ayer?”, queremos decir: “¿es cierto que usted vino ayer?”. Pero en l´ogica (¬p) no equivale a p. El lenguaje com´ un en general no es preciso y da lugar a ambig¨ uedades, por ejemplo, la frase “ellos no hacen nada en todo el d´ıa”, no tiene un significado claro ya que cualquier persona siempre est´a haciendo algo, vivir, respirar, dormir, y la expresi´on “no hacer nada” puede significar “hacer algo”, etc. As´ı mismo, este lenguaje en muchas ocasiones es incoherente; por ejemplo en la expresi´on “todo es relativo”, adem´as de no tener un significado claro, la misma frase tambi´en ser´ıa relativa y por tanto tendr´ıa excepciones. El lenguaje com´ un se compone de ciertos s´ımbolos que pueden ser escritos o no, as´ı si hablamos del lenguaje escrito, los s´ımbolos que usamos son los que componen el alfabeto de la lengua espa˜ nola y los de puntaci´on, a saber: el punto, la coma, el punto y coma, la tilde, la di´eresis, etc. Con los s´ımbolos del alfabeto, llamados letras, formamos cadenas de letras, escritas generalmente en forma horizontal y de izquierda a derecha, llamadas palabras y que separamos a trav´es de espacios, renglones, comas, puntos o puntos y comas, y por u ´ltimo, se tienen algunas leyes o reglas que permiten escribir palabras y con ellas distinguir cuando una cadena de letras es o no una palabra del La noci´on de verdad lenguaje. A todo esto adicionamos significados a las palabras y formamos cadenas de palabras a las que llamamos frases, las cuales tambi´en deben tener significado. Incluso cuando usamos el lenguaje un para referirnos a entes mate14 com´ m´aticos, podemos incurrir en imprecisiones: 1. Punto es lo que no tiene partes.30Esta es la primera definici´on del libro I de los Elementos de Euclides (1991). Como puede apreciarse, la frase no es precisa, no se sabe a qu´e hace referencia la palabra partes en esta definici´on.


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La noci´on de verdad significado. Incluso cuando usamos el lenguaje com´ un para referirnos a entes matem´aticos, podemos incurrir en imprecisiones: 1. Punto es lo que no tiene partes. Esta es la primera definici´on del libro I de los Elementos de Euclides (1991). Como puede apreciarse, la frase no es precisa, no se sabe a qu´e hace referencia la palabra partes en esta definici´on. 2. L´ınea recta es la que yace por igual sobre sus puntos. Al igual que la frase anterior, no es claro el significado de la palabra yace, adem´as de la caracterizaci´on de yacer por igual sobre sus puntos. 3. “Una funci´on es una regla que asigna a cada uno de ciertos n´ umeros reales un n´ umero real” (Spivak, 1978, p. 47). En esta frase, las palabras regla y asignar no tienen un significado claro. 4. “Resulta u ´til concebir una funci´on como una m´aquina. Si x est´a en el dominio de la funci´on f, entonces x entra en la m´aquina, se acepta como una entrada y la m´aquina produce una salida f(x) de acuerdo con la regla de la funci´on. De este modo podemos concebir el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y el rango como el conjunto de todas las salidas posibles” (Stewart, 1998, p. 13). Una vez m´as, la definici´on no es precisa. 5. Tartaglia, para recordar c´omo solucionar los diferentes tipos de ecuaciones c´ ubicas8 , invent´o algunos versos (Casalderrey, 2000, p. 117), uno de ellos es el siguiente: Cuando est´a el cubo con las cosas preso y se iguala a alg´ un n´ umero discreto busca otros dos que difieran en eso. Despu´es t´ u har´ as esto que te espeto que su producto siempre sea igual al tercio cubo de la cosa neto. 8 En la ´epoca de Tartaglia, los n´ umero negativos a´ un no se aceptaban como n´ umeros, por tanto, era necesario distinguir tipos de ecuaciones c´ ubicas donde no aparecieran cantidades negativas. De manera similar ocurr´ıa con las ecuaciones cuadr´ aticas y de grado cuatro.

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Despu´es el resultado general de sus lados c´ ubicos bien restados te dar´ a a ti la cosa principal. En este ejemplo son m´as notorias las dificultades, por un lado, es una traducci´on del italiano y por otra, as´ı como en los ejemplos precedentes, los significados de ciertas palabras y frases no son claras. Los ejemplos anteriores nos permiten concluir que el lenguaje com´ un no es suficiente para describir de manera precisa y sin ambig¨ uedades los entes matem´aticos y las relaciones entre ellos; necesitamos desarrollar un lenguaje espec´ıfico, de la misma forma en que la geograf´ıa usa mapas, la m´ usica se escribe en un pentagrama con notas y escalas. Cuando Leibniz y Lulle intentaron matematizar la descripci´on del mundo, se encontraron la dificultad de matematizar el lat´ın (Boyer, 1991, p. 407). Este intento no funcion´o, pues las reglas de concepci´on de los lenguajes humanos dependen mucho de las localidades, caprichos, entre otras, lo que hace que las mismas palabras no tengan el mismo significado en el mismo idioma entre los distintos pa´ıses, por tanto el objetivo es identificar la forma de los argumentos con el objetivo de introducir la necesidad de crear un lenguaje claro y universal que sea independiente del lenguaje natural, en donde no se empleen expresiones ambiguas y cuya comprensi´on no sea relativa a las regiones, nos referimos a un lenguaje matem´atico. Para ejemplificar tanto las posibilidades de simbolizaci´on como las dificultades del lenguaje, intentemos simbolizar la expresi´on de Frege sobre los n´ umeros naturales (Frege, 1972, p. 142): Si el n´ umero fuera una idea, entonces la aritm´etica ser´ıa psicolog´ıa. Pero la aritm´etica no es m´as psicol´ ogica que, por ejemplo, la astronom´ıa. La astronom´ıa no se ocupa de las ideas de los planetas, sino de los planetas mismos, del mismo modo los objetos de la aritm´etica no son tampoco ideas. ¿Hay alg´ un contexto para el cual esta afirmaci´on sea verdadera? Es decir, ¿es una proposici´on lo que dice Frege? Comencemos descomponiendo la expresi´on: En la primera frase “Si el n´ umero fuera una idea, entonces la aritm´etica ser´ıa psicolog´ıa” la palabra “fuera” ¿es posible cambiarla por otra? La palabra “fuera” es la hip´otesis de una afirmaci´on de la forma “si ... entonces”, es la 16 32


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar La noción de verdad

La noci´on de verdad forma gramatical de expresar una hip´otesis. Si se cambia por “es”, la frase expresa lo mismo, luego puede expresarse como “Si el n´ umero es una idea”. En relaci´on con la frase “la aritm´etica ser´ıa psicolog´ıa” tambi´en la podemos cambiar por “la aritm´etica es psicolog´ıa”. Si p representa “el n´ umero es una idea”, y q representa “la aritm´etica es psicolog´ıa”, la primera frase se expresa si p entonces q o simb´olicamente como p → q. La frase “la aritm´etica no es m´as psicolog´ıa que, por ejemplo, la astronom´ıa” podemos representarla poniendo r “la aritm´etica no es psicolog´ıa” y s “la astronom´ıa es psicolog´ıa”. Con esto, solo queda identificar el conector l´ogico. ¿Qu´e significa la expresi´on “no es m´as ... que ...”? Puede ocurrir que la aritm´etica sea m´as psicolog´ıa que la astronom´ıa, sean iguales, o que la astronom´ıa sea m´as psicolog´ıa que la aritm´etica, por lo que la expresi´on deja abierta la posibilidad de las dos primeras afirmaciones. Cuando en el lenguaje com´ un se acude a la expresi´on “no es m´as ... que ...” se hace referencia a que es igual, por ejemplo, “Juan no es m´as bobo que Luis”, lo que est´a diciendo es que Juan y Luis son igual de bobos, luego podemos cambiar la frase por “la aritm´etica es psicolog´ıa si y solo si la astronom´ıa es psicolog´ıa”, o decir que “la aritm´etica es psicolog´ıa es equivalente a decir que la astronom´ıa es psicolog´ıa”. Frege pretende probar que la aritm´etica no es psicolog´ıa mediante la demostraci´on de que la astronom´ıa no lo es. Esto es una equivalencia entre las dos, denotando esto por p ↔ q. Con esto, las dos frases se pueden simbolizar como (p → q) ∧ (q ↔ r). Notemos el uso de los par´entesis para separar las frases. En el lenguaje usual, las comas generalmente cumplen el papel de par´entesis, as´ı por ejemplo en la frase, “un campesino ten´ıa un marrano y la madre del campesino era tambi´en la madre del marrano”, el campesino y el marrano resultan hermanos; mientras que en la frase, “un campesino ten´ıa un marrano y la madre, del campesino era tambi´en la madre del marrano”, el campesino es due˜ no del marrano y de la madre del marrano. El punto seguido del p´arrafo en cuesti´on lo podemos interpretar como un “y”. Mientras que la frase: “la astronom´ıa no se ocupa de las ideas de los planetas”, la podemos simbolizar ¬s si s simboliza la frase “la astronom´ıa se ocupa de las ideas de los planetas”. 17 33


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Las frases “la astronom´ıa se ocupa de las ideas de los planetas” y “la astronom´ıa se ocupa de los planetas” son distintas, pues de hecho, Frege asume las dos frases como distintas y ello es lo que le permite afirmar que la astronom´ıa no es psicolog´ıa. Esta u ´ltima afirmaci´on la simbolizamos con t. En la afirmaci´on “la astronom´ıa no se ocupa de las ideas de los planetas, sino de los planetas mismos”, se encuentra impl´ıcito que “si la astronom´ıa es psicolog´ıa, entonces se ocupa de las ideas de los planetas” y como Frege afirma que la astronom´ıa no estudia las ideas de los planetas sino los planteas en s´ı, entonces concluye que la astronom´ıa no es psicolog´ıa, la frase completa la simbolizamos como: ((r → s) ∧ (¬s ∧ t)) → ¬r. Continuando con la afirmaci´on “y del mismo modo los objetos de la aritm´etica no son tampoco9 ideas”, la expresi´on, “del mismo modo” tiene la funci´on de concluir, en este caso, “que la aritm´etica no es psicol´ogica y por ello el n´ umero no es una idea”. Esto se simboliza como (p → q) ∧ ((q ↔ r) ∧ (((r → s) ∧ (¬s ∧ t)) → ¬r) → ¬q) → ¬p.

Ejercicio Asigne valores de verdad a cada una de las frases componentes en la frase compuesta (p → q) ∧ ((q ↔ r) ∧ (((r → s) ∧ (¬s ∧ t)) → ¬r) → ¬q) → ¬p y calcule su valor de verdad usando que el conectivo → produce una proposici´on compuesta falsa solo si el antecedente es verdadero y el consecuente falso; y el conectivo ↔ produce una proposici´ on compuesta verdadera cuando las dos proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad.

En lenguaje com´ un la expresi´on “no son tampoco ideas” se entiende como “no son ideas”, y no se considera que la expresi´on “tampoco” incluye otra negaci´on. 9

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Capítulo 2. Argumentación y razonamientoCAP´ITULO 2 Argumentaci´on y razonamiento

Si admitimos que hay mentiras convincentes, debemos aceptar que existen verdades incre´ıbles. Arist´ oteles

En el cap´ıtulo anterior hemos discutido sobre el concepto de verdad en la vida cotidiana, en las ciencias y en matem´aticas, hemos concluido que la verdad de que tratan las matem´aticas es tan convencional como las otras; pero suponemos que el contexto donde las afirmaciones que hacemos est´a definido. Asumimos ahora el problema de comunicar esa verdad a otras personas y tratar de convencerlas de la validez de nuestras afirmaciones. No solo como matem´aticos, sino principalmente como profesores. Esta tarea en algunos contextos es m´as dif´ıcil que en otros, sin embargo, las herramientas conocidas para ello son bastantes y ampliamente discutidas, llamadas com´ unmente argumentos, cuyo prop´osito esencial radica en convencer y, m´as que eso, en hacer cambiar de ideas, actitudes, acciones o decisiones a un interlocutor. Por gusto y conveniencia enfatizaremos nuestros ejemplos en contextos matem´aticos. La argumentaci´ on consiste en manifestar las razones (proposiciones que se exponen en favor de otra) y pruebas para defender opiniones, concepciones o comportamientos; un argumento es una secuencia de razones enlazadas llamadas premisas (etimol´ogicamente, puestas delante) que se aducen para justificar otra que llamamos conclusi´on. Por ejemplo:

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Todo n´ umero primo mayor que 2 debe ser impar. Porque los pares mayores que 2 son compuestos. 4532 no puede ser divisible por 5. Porque termina en 2. Y se sabe que los m´ ultiplos de 5 terminan en 0 o en 5. Cuando argumentamos es conveniente acordar con los dem´as interlocutores, cu´ales son las premisas aceptadas, el significado de los t´erminos usados y la informaci´on que se necesita, discutir sobre el asunto en cuesti´on y no cambiar de tema abruptamente, procurar una exposici´on clara, ordenada y breve; esto con el prop´osito de que las conclusiones sean admitidas por todos. Si se quiere eludir argumentar a favor de una conclusi´on puede ser u ´til usar expresiones como: “recientes estudios cient´ıficos han asegurado ...”, “seg´ un fuentes bien informadas se asegura que ...”, “es de sentido com´ un que ...”, “todo el mundo est´a de acuerdo en que ...”, “es evidente que ...”. No siempre se aceptan, pero peor es nada. En la Antig¨ uedad, en Grecia, la argumentaci´on fue cultivada por los sofistas, y puesta en pr´actica a trav´es de la ret´orica, pero como ya dijimos ellos no se interesaron por la verdad sino por la apariencia de la verdad. Para el sofista Gorgias las palabras sirven para envenenar o embelesar; seg´ un ´el, la argumentaci´on consiste en el dominio de razonamientos (enga˜ nosos o no) de modo que el arte de la persuasi´on no est´a en principio al servicio de la verdad, sino de los intereses del que habla. Presentaremos inicialmente la forma m´as aceptada de lo que llamaremos un razonamiento correcto, o un argumento deductivo v´alido, asumiendo que tenemos un contexto donde nuestras expresiones son proposiciones, verdaderas o falsas; luego veremos otras formas de razonamientos enga˜ nosos, tambi´en conocidos como falacias o sofismas.

2.1.

Argumentos v´ alidos

Convengamos de principio que si una proposici´on p es verdadera, su negaci´on ¬p es falsa, que si p es falsa, su negaci´on ¬p es verdadera, que si ¬p es verdadera, p es falsa. Un argumento v´ alido, o razonamiento deductivo v´ alido, es el que nos garantiza que: Si las premisas son verdaderas, necesariamente la conclusi´ on es verdadera. 20 36


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento O que La verdad de p exige, o lleva impl´ıcita la verdad de q. O dicho de otra manera, Mediante un razonamiento deductivo v´alido, no es posible obtener una conclusi´on falsa de una premisa verdadera. pues si la premisa es verdadera y la forma de razonar es v´alida la conclusi´on debe ser verdadera. Cuando la veracidad de una proposici´on q se impone por necesidad l´ ogica de otra proposici´on p, decimos que q es consecuencia l´ ogica de p. Razonando bien, de premisas verdaderas conseguimos por deducci´on solo conclusiones verdaderas, es decir que una proposici´on es consecuencia l´ogica de otra cuando esta es verdad, todas las veces que es verdad la primera; por ejemplo, si x es primo, entonces x es impar la conclusi´on “x es impar ” no es consecuencia l´ogica de “x es primo”, pues hay casos en los cuales la primera afirmaci´on es verdadera: “2 es primo” pero la conclusi´on es falsa: “2 es par ”. Con esto establecemos una relaci´on de derivaci´on entre una condici´on y su condicionado; en un razonamiento v´alido si las premisas son verdaderas lo es tambi´en la conclusi´on. El paso l´ogico de las premisas a la conclusi´on es una deducci´ on 10 o una inferencia deductiva. Como hablar o escribir en prosa, el razonamiento l´ogico es natural y casi inconsciente en la mayor´ıa de los humanos; no es necesario conocer de manera expl´ıcita las leyes que gobiernan el pensamiento l´ogico para hacer o reconocer razonamientos v´alidos. Los razonamientos deductivos v´alidos m´as conocidos son llamados silogismos, los cuales est´an compuestos por una ley general, llamada premisa mayor , un hecho particular llamada premisa menor y una conclusi´on que se deriva de las premisas; por ejemplo: Todo paralelogramo es un pol´ıgono. El cuadrado es un paralelogramo, luego el cuadrado es un pol´ıgono. 10 La deducci´on es el m´etodo que permite pasar de afirmaciones de car´ acter general a hechos particulares. Proviene de deductivo que significa descender. Este m´etodo fue muy utilizado por Arist´ oteles en la silog´ıstica.

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos En un silogismo no es necesario que la premisa mayor se diga primero que la menor y luego la conclusi´on, podemos decir primero la conclusi´on y luego las razones: El cuadrado es un pol´ıgono porque todo paralelogramo es un pol´ıgono y el cuadrado es un paralelogramo. O decir la conclusi´on en medio, o al final, o no decirla: Todo paralelogramo es un pol´ıgono y el cuadrado es un paralelogramo. Las premisas mayores tambi´en son llamados principios, primeras premisas o garant´ıas y constituyen la base y la raz´on fundamental de cualquier argumento. Como principios habitualmente usamos generalizaciones, creencias, definiciones, leyes f´ısicas y sociales, normas, valores, jerarqu´ıas de valores, objetivos, etc. Se pueden escribir en la forma “todo p es q (o cada vez que ocurre p aparece q, o si se da p se da q)”. Las premisas menores tambi´en se llaman datos, son afirmaciones que surgen de la observaci´on, de la aplicaci´on de los sentidos, testimonios, estad´ısticas, la opini´on de expertos, todo lo que est´a basado en la percepci´on o la experiencia; sus afirmaciones son locales y de validez restringida. Se escriben en la forma: “de q digo p”, o, “q es p”. La relaci´on entre los datos solos y las conclusiones, como es de esperarse, no es un´ıvoca, muchas veces, un mismo dato puede tener varias conclusiones, por ejemplo: 1. Si el cuadril´atero ABCD es un rombo11, entonces las diagonales son perpendiculares. 2. Si el cuadril´atero ABCD es un rombo, entonces sus diagonales se bisecan. 3. Si el cuadril´atero ABCD es un rombo, entonces es un paralelogramo. Pero cada razonamiento es diferente, cada uno tiene sus propias justificaciones o principios. Pudieran ser, por ejemplo: 11

Un cuadril´ atero es un rombo si y solo si todo sus lados son congruentes.

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento 1. El punto A equidista de los extremos del segmento BD y el punto C equidista tambi´en de los extremos del segmento BD puesto que el cuadril´atero ABCD es un rombo, por tanto, A y C est´an en la mediatriz del segmento BD ya que si un punto equidista de los extremos de un segmento, dicho punto est´a en la mediatriz de dicho segmento en el plano en que el que est´a el segmento y el punto. Luego, por la definici´on de mediatriz, AC ⊥ BD. 2. El tri´angulo ABC es is´osceles, ya que AB ∼ = BC, por tanto, ∠BAC ∼ = ∠BCA pues son los a´ngulos de la base de un tri´angulo is´osceles. De manera similar, el tri´angulo ADC es tambi´en is´osceles y por tanto ∠DAC ∼ = ∠ACD. Por el criterio de congruencia de tri´angulos LLL, tenemos que, �ABC ∼ = �ADC luego, ∠BAC ∼ = ∠DAC, y por la transitividad de la relaci´on de congruencia de ´angulos, ∠BCA ∼ = ∠DAC. Por otro lado, sea E el punto de intersecci´on de las diagonales del rombo, por tanto el ∠BEC y el ∠DEA son opuestos por el v´ertice; luego, ∠BEC ∼ = ∠DEA y ya que AD ∼ = BC por ser lados de un rombo, concluimos por el criterio de congruencia de tri´angulos LAA que el �BEC ∼ = �DEA; y de esto, BE ∼ = DE y EC ∼ = EA. 3. En el rombo ABCD, los lados AD y BC son opuestos y congruentes, de igual manera los lados AB y CD. Ahora, si en un cuadril´atero se tiene que los dos pares de lados opuestos son congruentes respectivamente, dicho cuadril´atero es un paralelogramo, por tanto, el rombo dado es un paralelogramo. Tampoco existe una relaci´on un´ıvoca entre los principios y las conclusiones, tambi´en un principio puede justificar varias conclusiones, como ocurre cuando una misma causa produce diversos efectos; por ejemplo: En un anillo12 conmutativo R se tiene que para todo a y b en R (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (ab)−1 = a−1 b−1 Un anillo es una tripla (R, ∗, ·) donde R es un conjunto, ∗ y · son operaciones definidas en R, de manera que (R, ∗) sea un grupo conmutativo y la operaci´ on · sea asociativa y distributiva con respecto a la operaci´ on ∗. (Warner, 1990). Asumimos conocido el concepto de grupo. 12

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos El principio es el mismo pero sobre datos distintos produce conclusiones diferentes. Adem´as, varios principios pueden justificar una misma conclusi´on, prueba de esto son las diferentes demostraciones de un mismo teorema. El ejemplo, quiz´a m´as cl´asico, es el teorema de Pit´agoras; se presume que existen m´as de mil demostraciones de este teorema, el matem´atico estadounidense E. S. Loomis (1940) en su libro The Pythagorean Proposition, muestra un total de 367 demostraciones, algunas de Euclides, Pappus, Bhaskara, Leonardo Da Vinci, entre otros. Aqu´ı mostraremos dos demostraciones de este hecho geom´etrico, la primera de ellas se basa en la demostraci´on hecha por Euclides en la proposici´on 47 de Los elementos y cuyo enunciado es: “En los tri´angulos rect´angulos el cuadrado del lado opuesto al ´angulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ´angulo recto”. La demostraci´on es como sigue: dado el ABC con ´angulo recto en C, construir cuadrados en cada uno de los lados del tri´angulo como muestra la figura siguiente y determinar los segmentos AJ y CG.

Figura 2.1

El ABJ y el BJ IC comparten la base BJ y la altura BC, de igual manera, el GBC y el BDKG comparten la base BG y la altura BD, por 24 40


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento tanto13: 2a�ABJ = a�BJ IC 2a�GBC = a�BDKG Por otro lado, m∠ABJ = m∠CBJ + m∠ABC y m∠CBG = m∠GBA + m∠ABC Adem´as, ∠CBJ ∼ = ∠GBA por ser a´ngulos rectos, por tanto, ∠ABJ ∼ = ∠CBG. Se tiene tambi´en que BJ ∼ = BC y BG ∼ = AB ya que son lados de un mismo cuadrado, luego, por el criterio de congruencia de tri´angulos LAL, se concluye que �ABJ ∼ = �GBC y esto hace que la medida del ´area de ambos tri´angulos sea igual; por tanto, a�BJ IC = a�BDKG Con argumentos similares se concluye que: a�ACHE = a�ADKF Como el a�ABGF = a�BDKG + a�ADKF , entonces al realizar sustituciones sobre esta u ´ltima ecuaci´on se obtiene que: a�ABGF = a�BJ IC + a�ACHE Las ideas subyacentes en la siguiente demostraci´on, se presume, fueron la argumentaci´on de Pit´agoras para probar el teorema. Se basa en la semejanza de tri´angulos. En la figura 2.2 en el tri´angulo rect´angulo ABC con ´angulo recto en B, trazamos el segmento perpendicular a AC con extremo en B y sea D el otro extremo de dicho segmento que est´a en AC. Los tri´angulos CDB y CBA comparten el ∠C y ∠B ∼ = ∠BDC por ser ´angulos rectos, por tanto, por el criterio de semejanza de tri´angulos AA, La notaci´ on a�ABJ significa la medida del ´area del tri´ angulo ABJ. De manera similar con la notaci´ on a�BJIC. 13

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

Figura 2.2

�CDB ∼ �CBA. De manera similar, �ADB ∼ �ABC. De estas semejanzas se obtienen las siguientes relaciones: BC 2 = AC · DC AB 2 = AD · AC Sumando estas igualdades se tiene que: BC 2 + AB 2 = AC(AD + DC) = AC · AC = AC 2. Lo cual demuestra el teorema. En matem´aticas, los razonamientos deductivos se tipifican con aplicaci´on de reglas generales a casos particulares para obtener resultados particulares; por ejemplo, 1. La suma de los a´ngulos interiores de un tri´angulo es igual a dos a´ngulos rectos (regla general), por tanto la suma de los dos a´ngulos agudos interiores a un tri´angulo rect´angulo es igual a un a´ngulo recto (caso particular). 2. (Regla general: teorema de Pit´agoras) Si las l´ıneas que unen tres puntos en un plano forman un a´ngulo recto en uno de esos tres puntos, entonces la medida del cuadrado de la l´ınea o lado opuesto al ´angulo recto es igual a la medida que se obtiene sumando los cuadrados de las medidas de las otras dos l´ıneas o lados. (Caso particular) Si la medida de los lados contiguos al a´ngulo recto son 3 cm y 4 cm respectivamente, entonces la medida de la l´ınea opuesta al ´angulo recto es 5. 3. Si n es impar entonces n2 es impar. (El conjunto de los n´ umeros que son cuadrados e impares es un caso particular de los n´ umeros impares). 26 42


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento

2.1.1.

Razonamientos v´ alidos y proposiciones verdaderas

El concepto de razonamiento deductivo v´alido no afirma la verdad de las premisas, ni la de la conclusi´on; cuando hacemos una deducci´on suponemos que las premisas son verdaderas y tambi´en que hemos usado en forma correcta las reglas de inferencia deductiva. Hemos afirmado que un razonamiento deductivo es v´alido si de premisas verdaderas obtenemos conclusiones verdaderas, o de otra forma que un razonamiento no es v´alido si de premisas verdaderas obtenemos una conclusi´on falsa, pero no hemos afirmado algo en el caso de que las premisas sean falsas; en este caso, la validez de un argumento no garantiza la verdad de su conclusi´on y la falsedad de una conclusi´on no garantiza la invalidez de un argumento. Pero la falsedad de su conclusi´on s´ı garantiza que o el argumento es inv´ alido o alguna de sus premisas es falsa.

Ejemplos 1. Algunos argumentos v´alidos solamente contienen proposiciones verdaderas, Todos los grupos son monoides 14 . Todos los monoides son semigrupos 15. Luego, todos los grupos son semigrupos. 2. Pero un argumento puede contener exclusivamente proposiciones falsas y ser v´alido: Todos los semigrupos son monoides. Todos los monoides son grupos. Luego, todos los semigrupos son grupos. Este argumento es v´alido porque si sus premisas fuesen verdaderas su conclusi´on tendr´ıa que ser verdadera tambi´en, pero de hecho las premisas son falsas. Un monoide es un par (G, ∗) donde G es un conjunto y ∗ es una operaci´on definida en G, de manera que la operaci´ on sea asociativa y el conjunto G tenga un elemento id´entico con respecto a la operaci´on ∗. (Lang, 1977, p. 3). 15 Un semigrupo es un par (G, ∗) donde G es un conjunto y ∗ es una operaci´on definida en G, de manera que la operaci´on sea asociativa. (Howie, 2003). 14

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Estos dos ejemplos muestran que, en un argumento v´alido la conclusi´on no necesariamente es verdadera. Insistimos: la validez de un argumento no garantiza la verdad de su conclusi´on. En el siguiente ejemplo vemos que tanto las premisas como la conclusi´on son verdaderas, pero no es un argumento v´alido.

Ejemplo Si un tri´angulo es equil´atero entonces es is´ osceles. Un tri´angulo rect´angulo cuyos catetos midan 1 y 2 respectivamente no es equil´atero. Por tanto, un tri´angulo rect´angulo cuyos catetos midan 1 y 2 respectivamente no es is´ osceles. Su invalidez se muestra al compararlo con otro argumento de la misma forma: Si un tri´angulo es equil´atero entonces es is´ osceles. Un tri´angulo rect´angulo cuyos catetos midan 1 y 1 respectivamente no es equil´atero. Por tanto, un tri´angulo rect´angulo cuyos catetos midan 1 y 1 respectivamente no es is´ osceles. Este argumento es inv´alido, puesto que sus premisas son verdaderas pero su conclusi´on es falsa, la conclusi´on no es consecuencia l´ogica de las premisas. Los dos u ´ltimos ejemplos muestran que aun cuando algunos argumentos inv´alidos tienen conclusiones falsas, no todos son as´ı. Una caracter´ıstica importante de los razonamientos v´alidos es que la validez de la conclusi´ on depende u ´nicamente de la informaci´on contenida en las premisas, podemos adicionar informaci´on a las premisas, pero esto no afecta la validez del razonamiento.

Ejemplo Si a es par y b es par entonces a + b es par. A˜ nadir una condici´on al antecedente no modifica la validez del razonamiento: 28 44


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Argumentaci´on y razonamiento Si a es par y perfecto 16 y b es par entonces a + b es par O Si a es par, perfecto y divisible por 7 y b es par entonces a + b es par. Toda la informaci´on necesaria para obtener la conclusi´on est´a en el antecedente del razonamiento original, y cualquier otra informaci´on verdadera resulta superflua, no modifica la conclusi´on. Pero si quitamos la condici´on fundamental “a es par” ya no tenemos un argumento deductivo v´alido, en nuestro caso, el razonamiento: Si a es perfecto y b es par entonces a + b es par. No es v´alido, puesto que no sabemos si todos los n´ umeros perfectos son pares. Y tampoco es v´alido el razonamiento: Si a es divisible por 7 y b es par, entonces a + b es par. Puesto que 49 es divisible por 7 y 4 es par pero 49 + 4 no es par. Esto significa que la validez no es una propiedad susceptible de ser mejorada; en un razonamiento v´alido no es posible obtener conclusiones que vayan m´as all´a de lo que est´e impl´ıcito en las premisas de las cuales se derivan. Nuestro inter´es en matem´aticas habitualmente se centra en los argumentos v´alidos que utilizan premisas verdaderas, en cuyo caso la conclusi´on tiene que ser verdadera. La veracidad de las afirmaciones iniciales (axiomas) no se discute, simplemente se aceptan y a partir de ellas se hacen inferencias. Este es el m´etodo m´as utilizado en matem´aticas para demostrar teoremas y en la formulaci´on de sistemas axiom´aticos y de teor´ıas cient´ıficas. El estudio de las formas del razonamiento v´alido es la l´ogica formal cl´ asica, en ella se estudian reglas y t´ecnicas para determinar si un argumento dado es o no v´alido; aunque el nombre no siempre ha sido el mismo, Plat´on hablaba de dial´ectica como una t´ecnica para relacionar ideas. Arist´oteles us´o la palabra anal´ıtica para referirse a la l´ogica como el estudio de las ideas y procesos de la mente, y consider´o el saber l´ ogico como un instrumento, organon, aplicable al estudio de las condiciones necesarias para toda forma de pensar; para ´el, l´ ogico es un adjetivo y no un sustantivo, una propiedad de un discurso y no un discurso en s´ı. En la Edad Media, los escol´asticos Un n´ umero natural es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios (diferentes de ´el). 16

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos consideraron la l´ogica como un arte, no como una ciencia, ars l´ogica, ars ret´ orica y ars gram´ atica eran las tres artes del lenguaje. El desarrollo de t´ecnicas de argumentaci´on para defender o atacar una tesis por el significado de los argumentos se origin´o (Nidditch, 1983, p. 22) en los ret´oricos y sofistas Gorgias, Hipias, Prodicus y Prot´agoras en el siglo V a.C., se desarroll´o en la escuela estoica de Megara en el siglo III a.C., con Parm´enides, Crisipo, Fil´on y Diodoro; pero se considera a Arist´oteles (384-322 a.C.) como el creador de la l´ogica. Pero la l´ogica aristot´elica no es la u ´nica forma de estudiar lo que significa un razonamiento correcto; por fortuna se han estudiado otras formas de razonamientos deductivos, y estos estudios reciben otros nombres; por ejemplo, l´ogica difusa (Tanaka, 1997), que estudia el razonamiento para valores de verdad diferentes a verdadero y falso; l´ogicas multivaluadas (Pe˜ na, 2005), l´ogicas modales (Orayen, 2005), l´ogica paraconsistente (Da Costa y Lewin, 2005), l´ogica intuicionista (Fitting, 1969), entre otras.

2.1.2.

Deducciones

En esta secci´on usaremos la noci´on de razonamiento v´alido para estudiar algunas formas b´asicas de obtener una conclusi´on verdadera a partir de premisas verdaderas, formalizando un poco nuestro lenguaje. Decimos que un conjunto de proposiciones M = {p1 , p2 , . . . , pn }, que tomamos como premisas, implica l´ ogicamente una proposici´on q, o que q es consecuencia l´ ogica de las premisas o que q se deduce l´ ogicamente de las premisas si y solamente si es imposible que todos los elementos del conjunto M sean verdaderos mientras que q sea falso; lo esquematizamos as´ı: p1 , p2 , . . . , pn q y lo notamos M � q. En algunos textos se usa M ⇒ q o tambi´en17 M ⊃ q. Si q es una consecuencia l´ogica de p, es decir p � q, podemos formar una Este s´ımbolo tambi´en se usa para denotar la relaci´on de superconjunto, cuando un conjunto contiene a otro, por esta raz´on est´a entrando en desuso en l´ogica. 17

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento nueva proposici´on que llamamos la implicaci´ on 18 entre p y q, que notamos p→q esta proposici´on es verdadera si el razonamiento es v´alido19. Esta es la forma de introducir la implicaci´on en un razonamiento. Dicho de otra forma, si tenemos una hip´otesis p y de ella obtenemos como consecuencia l´ogica q, podemos afirmar que p → q es verdadera. Notemos que se concluye la veracidad de una implicaci´ on, pero no la de las proposiciones simples que la constituyen. Si deseamos probar que q es consecuencia l´ogica de p, basta con suponer que p es verdadera y a partir de ah´ı, haciendo razonamientos v´alidos, llegar a la conclusi´on de que q es verdadera. Aqu´ı aparecen por lo menos dos interpretaciones para la implicaci´on: i. La proposici´on p → q es verdadera cuando el razonamiento es v´alido: si p es verdadera y q es verdadera y es falsa cuando el razonamiento no es v´alido o sea cuando p es verdadera y q es falsa (Diodoro de Cronos, 300 a.C.). ii. La proposici´on p → q es falsa cuando el razonamiento no es v´alido o sea cuando p es verdadera y q es falsa y es verdadera en los dem´as casos (Fil´on de Megara, hacia el 300 a.C.).

2.1.3.

La posici´ on de Diodoro

En esta secci´on recurriremos a nuestras intuiciones20 y en cap´ıtulos posteriores estudiaremos maneras de validar nuestras afirmaciones. Del lat´ın in-plicare, significa el hecho de algo que est´ a doblado en el interior de algo que oculta lo que hay en su interior y, aunque est´a, no es visible o perceptible. El t´ermino latino ex-plicare, da lugar al t´ermino explicaci´ on que es el hecho de desplegar lo que est´a plegado; sacar al exterior, hacer visible, o comprensible, aquello que est´a implicado en el interior de algo que lo hac´ıa oculto o no comprensible. 19 La formalizaci´on de esta idea se conoce en l´ogica como el teorema de la deducci´ on, cuya primera demostraci´on fue idea de Alfred Tarski en 1921, pero la primera publicaci´ on al respecto es de Jacques Herbrand en 1930. El teorema de la deducci´on establece que si M � q, entonces � M → q, donde q es una f´ ormula cualquiera y M es un conjunto de f´ ormulas cualquiera. En la l´ogica cl´asica tambi´en es v´alido el rec´ıproco del teorema de la deducci´ on: si � M → q, entonces M � q, donde q es una f´ ormula cualquiera y M es un conjunto de f´ ormulas cualquiera. 20 En 1934 Gentzen y Jaskowski introdujeron ocho reglas b´ asicas para un c´alculo de deducci´on natural, una para la introducci´ on y otro para la eliminaci´ on de cada uno de los 18

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 2.1.3.1.

Argumentos b´ asicos: leyes de inferencia

a. Doble negaci´ on. La primera regla de inferencia21 que estudiaremos, conocida como regla de la doble negaci´on, resulta de suponer que si p es verdadera, entonces ¬p es falsa y ¬(¬p) es verdadera, esquem´aticamente: p ¬(¬p) Adicionalmente, si suponemos que ¬(¬p) es verdadera, entonces ¬p es falsa y por consiguiente p es verdadera. En conclusi´on: ¬(¬p) p

Ejemplos 1. Si no es falso que 2 + 3 = 5, entonces es cierto 2 + 3 = 5. 2. El conjunto de los d´ıgitos no es infinito, un conjunto es infinito si no es finito, por tanto, el conjunto de los d´ıgitos es finito. En la cotidianidad son usuales afirmaciones como: “No es nada”, y otras formas que no obedecen esta regla, pero que no tenemos dificultad en entender; lo que no significa que sean correctas desde el punto de vista l´ogico. Algunas veces se usa en forma correcta como cuando afirmamos: “esto no es incorrecto”, para decir “esto es correcto”.

Ejercicios 1. Teresa le pregunt´ o a Julio: “¿quieres casarte conmigo?”. Este contest´o: “No estar´ıa mintiendo si te dijera que no puedo no decirte que es imposible negarte que s´ı creo que es verdadero que no deja de ser falso que no vayamos a casarnos”. ¿Se quiere casar Julio? 2. ¿Qu´e significa la frase: “No es nada”? cuatro conectores: la disyunci´on inclusiva, la implicaci´on, la negaci´on y la conjunci´ on, muy cercano a la deducci´on intuitiva. Presentaremos una versi´ on elemental de este sistema de deducci´on natural en el cap´ıtulo 6. 21 En lo que sigue abreviaremos reglas de inferencia deductiva con reglas de inferencia.

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento b. Modus ponendo ponens. Esta regla tiene su origen en los estoicos (300 a.C.): Si lo primero 22, entonces lo segundo; pero lo primero; luego lo segundo (Kneale y Kneale, 1962, p. 163). En t´erminos m´as actuales: “si de una hip´otesis se sigue una consecuencia y esa hip´otesis se da, entonces necesariamente, se da la consecuencia”. O sea que, si la proposici´on p → q es verdadera y p es verdadera inferimos que q es verdadera, esquem´aticamente: p→q p q Este tipo de razonamiento se conoce como modus ponendo ponens, esto es, el m´etodo (modus), que afirmando (ponendo) el antecedente, afirma (ponens) el consecuente. En el sistema de Gentzen esta es la regla de eliminaci´on de la implicaci´ on, pues elimina la implicaci´on que est´a en la premisa, tambi´en se conoce como regla de separaci´ on, porque separa el consecuente del antecedente en la implicaci´on que sirve de premisa. Enfaticemos en que esta regla funciona en una sola direcci´on, va del antecedente al consecuente pero no en el sentido contrario, esto significa que no es v´ alido el razonamiento: p→q q p A pesar de su aparente simplicidad y naturalidad es el fundamento de la ciencia, las demostraciones en matem´aticas y en muchos casos la u ´nica regla de inferencia para formular teor´ıas axiom´aticas de la l´ogica. Decimos que una proposici´on compuesta p tiene la misma forma que otra s si es el resultado de sustituir las proposiciones componentes de s por otras cualesquiera; por ejemplo, p → q tiene la misma forma que (¬p) → (¬q). En la aplicaci´on de las reglas de inferencia que estamos estudiando, debemos tener en cuenta que estas se aplican a la forma de las proposiciones, no a su contenido; en particular, ¬p → ¬q ¬p ¬q

(¬p → ¬q) → (¬q → r) ¬p → ¬q ¬q → r

p → ¬q p ¬q

A diferencia de Arist´oteles, Crisipo no utilizo letras para representar proposiciones, sino que utilizo ordinales. 22

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos son maneras correctas de aplicaci´on de la regla modus ponendo ponens. Si se afirma una implicaci´on p → q y se afirma su antecedente p, entonces podemos concluir su consecuente q. Como vemos, p y q pueden ser proposiciones compuestas.

Ejemplos 1. Si un tri´angulo es is´osceles entonces dos de sus ´angulos son iguales; el tri´angulo ABC es is´osceles por tanto el tri´angulo ABC tiene dos de sus ´angulos iguales. 2. En los sistemas inerciales de la mec´anica cl´asica, la tercera ley de Newton afirma: Si un cuerpo H ejerce una fuerza sobre otro cuerpo P entonces el cuerpo P ejerce la misma fuerza sobre el cuerpo H pero en sentido contrario. Sabemos que H ejerce una fuerza sobre otro cuerpo P , podemos concluir que el cuerpo P ejerce la misma fuerza sobre el cuerpo H pero en sentido contrario. 3. Si x > y, y, y > z entonces x > z; dado que x > y, y, y > z, podemos concluir que x > z. 4. Si un n´ umero no es primo entonces no tiene solo dos divisores, 6 no es primo, entonces 6 no tiene solo dos divisores. c. Modus tollendo tollens. Otra forma de razonamiento v´alido tambi´en conocida por los estoicos en la forma: si lo primero, entonces lo segundo; pero no lo segundo; luego no lo primero, es conocida como la regla del modus tollendo tollens, donde en una proposici´on condicional, p → q, negando (tollendo) el consecuente, concluimos la negaci´on (tollens) del antecedente. Si suponemos que p → q es verdadera y que ¬q es verdadera, entonces q es falsa y p debe ser falsa, por tanto ¬p es verdadera. Simb´olicamente: p→q ¬q ¬p Notemos que es la falsedad del consecuente la que implica la falsedad del antecedente pero no es cierto que la falsedad del antecedente implique la 34 50


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento falsedad del consecuente. Esta es una forma de introducir el conectivo ¬ en el sistema de deducci´on natural (P´aez, 2010, p. 116). Por supuesto que podemos usar la regla del modus tollendo tollens con proposiciones compuestas y en particular en la forma (¬p) → q ¬q p que se puede ver como una forma de eliminar el conectivo ¬ en el sistema de deducci´on natural.

Ejemplos 1. Si un n´ umero n no es divisible por un n´ umero primo p, no puede ser divisible por alg´ un n´ umero compuesto que sea m´ ultiplo de p. 2. Si un n´ umero par es perfecto es de la forma 2n (2n−1 − 1), como 4 48 = 2 × 3 = 24 × (22 − 1) no es de la forma indicada entonces no puede ser perfecto. 3. Todo n´ umero par es divisible por 2, 15 no es divisible por 2, luego 15 no es n´ umero par. 4. El peque˜ no teorema de Fermat 23 afirma que si a es un n´ umero natural mayor que 0 y p es un n´ umero primo que no divide a a, entonces p debe dividir a ap−1 − 1. En particular si a = 6 y p = 5, y como 6 no es divisible por 5, entonces 5 debe dividir a 64 − 1 = 1295. Pero si para un n´ umero p, no se cumple que p divida a ap−1 − 1 para alg´ un a que no sea divisible por p, entonces p no es un n´ umero primo. En particular con a = 2, Si

2p−1 − 1 = 3 2p−1 − 1 = 7 2p−1 − 1 = 15 2p−1 − 1 = 31 2p−1 − 1 = 63 2p−1 − 1 = 127

p=3 p=4 p=5 p=6 p=7 p=8

Fue formulado por Fermat en 1640, Leibniz (1646-1716) dio una prueba, y Euler dio otra demostraci´on en 1736. (Dickson, 1971, pp. 59-62). 23

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 24−1 − 1 = 7 no es divisible por 4 y 4 no es primo. 6 no divide a 25−1 − 1 = 31 y 6 no es primo.

Pero debemos tener cuidado, el teorema no afirma que los divisores de 2p−1 − 1 sean primos, por ejemplo p = 341 divide24 a

2340 −1 = 22397447421778042105574422805684442781216454972346495 34899989100963791871180160945380877493271607115775. Pero p = 341 = 11 × 31 no es primo. El otro factor en la divisi´on es

6568166399348399444449977362370804334667582103327417990909058 9407894050381703652143335757394742275. Si hay duda, basta multiplicarlos para cerciorarse. d. Ley de reducci´ on al absurdo. Una variaci´on del modus tollendo tollens, conocida como la ley de reducci´on al absurdo 25, consiste en concluir la negaci´on del antecedente a partir de una implicaci´on cuyo consecuente es falso26 , o sea que si (p → 0) es verdadera, podemos concluir ¬p; puesto que si p es verdadera (p → 0) ser´ıa falsa. p→0 ¬p Lo que afirmamos es que si en un argumento v´alido, partiendo de una hip´otesis, llegamos a una contradicci´on, debe ser porque nuestra hip´otesis es falsa. Esta es otra forma introducir la negaci´on en el sistema de deducci´on natural. Esta regla, junto con el modus ponendo ponens son las m´as usadas en la mayor´ıa de las argumentaciones formales en las teor´ıas axiom´aticas basadas en la l´ogica cl´asica.

Ejercicio Estudie la validez del argumento 24 Las cuentas se realizaron en MAPLE 12. Estos n´ umeros son ex´oticos, solo hay dos menores que 1000, ellos son 341 y 561, y 245 menores que 1 000 000 (Devlin, 2003, p. 50). 25 Las apor´ıas de Zen´ on de Elea (siglo V a.C.) pueden considerarse como aplicaciones iniciales de una refutaci´ on por reducci´ on al absurdo, aunque ´el no haya expresado esta ley en forma expl´ıcita. 26 El valor de verdad falso lo notaremos con 0 y el de verdadero con 1.

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento ¬p p→0

Ejemplos 1. La suma de un n´ umero racional r con un n´ umero irracional i es un n´ umero irracional t. Prueba. Supongamos que r + i = t es un n´ umero racional, entonces i = t − r es un n´ umero racional, pues la diferencia de dos racionales es racional, pero i es irracional, y es imposible que i sea racional e irracional, por tanto nuestra hip´otesis es falsa, y concluimos que t es irracional. 2. El conjunto de los n´ umeros primos es infinito. La demostraci´on presentada por Euclides (1956, pp. 412-413) en el libro IX, proposici´on 20, de sus Elementos, inicia haciendo una lista de los n´ umeros primos p1 , p2 , p3 , . . . pn , . . . y suponiendo que esta lista es finita, es decir, que existe un u ´ltimo n´ umero primo pn , y si se puede construir uno que no est´e en la lista, la hip´otesis ser´a falsa. Y para construirlo, Euclides consider´o el n´ umero P = p1 × p2 × p3 × · · · × pn + 1, umeros primos enumerados. en el cual p1 , p2 , p3 , . . . pn son todos los n´ El n´ umero P no es compuesto, porque si lo fuera tendr´ıa al menos un factor primo y esto no es posible, ya que al dividir P entre cualquiera de los primos enumerados (o un producto de ellos) el residuo es 1, en conclusi´on P es primo y el conjunto de los primos siempre admite uno m´as, es infinito. De nuevo resaltemos que en el teorema no se afirma que cualquier n´ umero de la forma P = p1 × p2 × p3 × · · · × pn + 1, umero primo, 1 ≤ i ≤ n, sea primo. De hecho con pi un n´ 37 53


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos P1 P2 P3 P4 P5

=2+1=3 = 2×3+1 = 7 = 2 × 3 × 5 + 1 = 31 = 2 × 3 × 5 × 7 + 1 = 211 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 + 1 = 2311

son n´ umeros primos. Pero los siguientes valores no lo son: P6 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30031 = 59 × 509 P7 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 + 1 = 510511 = 19 × 97 × 277 P8 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 + 1 = 96996691 = 347 × 27953. 3. Los u ´nicos puntos (x, y) ∈ R2 de la curva descrita por la ecuaci´on (Ogilvy, 1984, pp. 53-54) x3 + y 3 = 1, cuya gr´afica aparece en la figura 2.3, que tienen ambas coordenadas racionales son (0, 1) y (1, 0).

Figura 2.3

Prueba. Supongamos que existen parejas de n´ umeros racionales (x, y) diferentes de (0, 1) y (1, 0) tales que x = pq y y = rs con q y r diferentes 38 54


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento de 0, que satisfacen la ecuaci´on x3 + y 3 = 1. Es decir que (ps)3 + (rq)3 = (qs)3 Pero esto es imposible, pues Euler demostr´o que esta ecuaci´on de Fermat, no tiene soluciones enteras27. e. Ley de la adjunci´ on. Si en un argumento se afirma primero una proposici´on y luego otra, tambi´en se puede afirmar la conjunci´on de las dos proposiciones, que notamos p ∧ q, en s´ımbolos: p q p∧q Similarmente, p q q∧p Esta es una forma de introducir el s´ımbolo ∧ y se conoce como ley de introducci´on de la conjunci´on o ley de adjunci´on. f. Leyes de simplificaci´ on. Rec´ıprocamente, tambi´en es una forma de razonamiento v´alido derivar de la verdad de una conjunci´on, la verdad de cualquiera de sus componentes, o sea que p∧q p

El teorema general afirma que la ecuaci´on xn + yn = z n no tiene soluciones enteras para n ≥ 3. Fue conjeturado por Pierre de Fermat en 1637, pero su demostraci´on se logr´ o solo en 1995 por Andrew Wiles y Richard Taylor. El caso n = 3 fue tratado por Euler en 1735, pero en 1770 se encontr´ o un problema en la demostraci´on que luego fue resuelto con otras ideas del mismo Euler. 27

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos De forma similar, p∧q q Esta manera de inferir se conoce como regla de eliminaci´on de la conjunci´on o ley de simplificaci´ on. Por ejemplo, de la afirmaci´on: un grupo abeliano es un grupo y es conmutativo, podemos concluir que en particular un grupo abeliano es un grupo. De la premisa: “el n´ umero 2 es primo y par”, podemos deducir dos proposiciones: una es “el 2 es par” y la otra “el 2 es primo”. g. Ley de la negaci´ on del condicional. Si suponemos que ¬(p → q) es verdadero entonces (p → q) es falso, de donde deducimos que p es verdadera y q es falso, lo que significa que ¬q es verdadera y por lo tanto p ∧ ¬q es verdadera; o sea que de ¬(p → q) deducimos p ∧ ¬q, en s´ımbolos: ¬(p → q) p ∧ ¬q Rec´ıprocamente, si suponemos que p ∧ ¬q es verdadero entonces, por la ley de simplificaci´on p es verdadera y ¬q es verdadera y, por tanto, q es falso, como p es verdadera y q es falso entonces p → q es falso y, en consecuencia, ¬(p → q) es verdadero; en s´ımbolos: p ∧ ¬q ¬(p → q) h. Leyes del bicondicional. Supongamos que p → q es verdadera y que adem´as tambi´en q → p es verdadera. Esto significa que q se deduce l´ogicamente de p y tambi´en p se deduce l´ogicamente de q. En este caso decimos que p y q son l´ ogicamente equivalentes, y lo notamos p ↔ q. En s´ımbolos, p→q q→p p↔q Rec´ıprocamente, si p es l´ogicamente equivalente a q, en particular, por la ley de simplificaci´on: p↔q p→q 40 56


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento p↔q q→p Como p ↔ q es l´ogicamente equivalente a p → q y q → p entonces por la ley de adjunci´on (p ↔ q) ↔ ((p → q) ∧ (q → p)).

Si p es verdadera, por modus ponendo ponens deducimos que q es verdadera y si q es verdadera concluimos que p es verdadera. Si p es falsa, como q → p es verdadera, concluimos por modus tollendo tollens que q es falsa; y si suponemos que q es falsa, como p → q es verdadera, debemos concluir que p es falsa. En resumen, cuando p y q son l´ogicamente equivalentes, ambas tienen el mismo valor de verdad, ambas son verdaderas o ambas son falsas.

Ejemplos 1. En una base de la forma 3k + 1, para cualquier n´ umero natural k, si un n´ umero es divisible por 3, entonces la suma de sus d´ıgitos es divisible por 3, y si la suma de los d´ıgitos de un n´ umero es divisible por 3, entonces el n´ umero es divisible por 3. 2. La mayor´ıa de las definiciones en matem´aticas se presentan de esta forma; por ejemplo: un tri´angulo es equil´atero si y solo si28 sus lados son iguales.

Ejercicios 1. Escriba un argumento que muestre la equivalencia l´ ogica entre (p ↔ q) y (¬p ↔ ¬q). 2. Escriba un argumento que muestre que si (p ↔ q) y (q ↔ r) entonces (p ↔ r). i. Ley de la adici´ on. Consideremos los valores de verdad de la expresi´on ¬p → q:  Si ¬p → q es verdadera y ¬p es verdadera entonces q es verdadera y p es falsa.

28 El uso del si y solo si en las definiciones no corresponde con una equivalencia l´ogica sino con la posibilidad de sustituir lo definido por el nombre que se le asigna.

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos  Si ¬p → q es verdadera y q es falsa, ¬p debe ser falsa, pues si no lo fuera ¬p → q ser´ıa falsa, y por tanto p es verdadera.  Si ¬p → q es falsa y ¬p es verdadera entonces q es falsa y p es falsa.  Si ¬p → q es falsa y q es verdadera, ¬p debe ser falsa, pues si no lo fuera ¬p → q ser´ıa verdadera y por tanto p es verdadera. En resumen, ¬p → q es falsa solo en el caso en que ambas, p y q, sean falsas, en los dem´as casos ¬p → q es verdadera. Notaremos29 p ∨ q := ¬p → q puesto que coincide con la la disyunci´on entre p y q del cap´ıtulo anterior. En virtud de la discusi´on anterior, si p es verdadera entonces p ∨ q es verdadera, o sea que p p∨q Naturalmente, tambi´en es v´alido q p∨q Esta regla, conocida como ley de adici´ on, establece que si se tiene una proposici´on verdadera, entonces la disyunci´on de aquella proposici´on con otra cualquiera tambi´en es verdadera.

Ejemplo En teor´ıa de conjuntos: sean U un conjunto y A, B subconjuntos de U entonces A ∪ (B − A) ⊆ A ∪ B. Prueba: sea x ∈ A ∪ (B − A). Entonces por la definici´on de uni´on entre conjuntos tenemos tres casos x ∈ A o x ∈ B − A o x ∈ A ∩ (B − A). Caso 1. x ∈ A. x ∈ A → (x ∈ A ∨ x ∈ B) →x ∈A∪B

Ley de adici´ on. Definici´on de uni´on de conjuntos.

29 El s´ımbolo A := B lo usamos para decir que en cualquier expresi´on podemos reemplazar A con B y viceversa.

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento Caso 2. x ∈ B − A. x ∈ B − A → (x ∈ B ∧ x ∈ / A) Definici´on de diferencia entre conjuntos. →x∈B Ley de simplificaci´on. → (x ∈ A ∨ x ∈ B) Ley de adici´ on. →x ∈A∪B Definici´on de uni´on de conjuntos. Caso 3. x ∈ A ∩ (B − A).

Este caso no es posible pues A y (B − A) son disyuntos.

Luego, por definici´on de contenencia de conjuntos, A ∪ (B − A) ⊆ A ∪ B. En el primer caso, se supone que la afirmaci´on x ∈ A es verdadera y a partir de ella se forma la proposici´on (x ∈ A ∨x ∈ B) sin importar el valor de verdad de x ∈ B. De manera similar, en el caso 2, a partir de la proposici´on verdadera x ∈ B, se obtiene la proposici´on (x ∈ A ∨ x ∈ B). j. Simplificaci´ on disyuntiva. El rec´ıproco de la ley de adici´on no es una regla de inferencia en general, pues el hecho de que p ∨ q sea verdadera no asegura que p es verdadera, ni que q sea verdadera. Pero hay un caso particular en el cual la inferencia es v´alida, si q es la misma p, pues si p ∨ p es verdadera entonces p es verdadera, pues si p fuera falsa p ∨ p ser´ıa falsa. Parece un poco tonto, pero es as´ı, esta es la ley de simplificaci´ on disyuntiva, en s´ımbolos: p∨p p k. Modus tollendo ponens. De la definici´on de la disyunci´on p∨q sabemos que esta es falsa solo en el caso en el cual ambas p y q sean falsas, esto significa que si sabemos que alguna de ellas, digamos p es verdadera, o que su negaci´on ¬p es falsa, podemos concluir que q es verdadera. Esta forma de inferencia se conoce como modus tollendo ponens, tambi´en conocida por los estoicos en la forma: no ambos el primero y el segundo; pero el primero; luego no el segundo. Se aplica a disyunciones, de manera que negando (tollendo) una proposici´on de la disyunci´on se afirma (ponens) la otra. Lo simbolizamos as´ı: p∨q ¬p q

o lo que es igual

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¬p → q ¬p q


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos De la misma forma p∨q ¬q p

Ejemplos 1. Si sabemos que un tri´angulo es is´osceles o escaleno y logramos establecer que no es escaleno, debemos concluir que es is´osceles. 2. Si sabemos que un n´ umero es primo o compuesto y logramos establecer que no es primo, debemos concluir que es compuesto. l. Leyes de De Morgan. Si suponemos que ¬(p ∨ q) es verdadera, entonces p∨q es falsa y, por tanto p es falsa y q es falsa, en consecuencia ¬p es verdadera y ¬q es verdadera y por la ley de adjunci´on (¬p) ∧ (¬q) es verdadera. En s´ımbolos ¬(p ∨ q) (¬p) ∧ (¬q) Si suponemos que (¬p) ∧ (¬q) es verdadera entonces ¬p es verdadera y ¬q es verdadera y por consiguiente p es falsa y q es falsa, en consecuencia p ∨ q es falsa y ¬(p ∨ q) es verdadera. O sea que (¬p) ∧ (¬q) ¬(p ∨ q) Es decir que (¬p) ∧ (¬q) es l´ogicamente equivalente a ¬(p ∨ q). Este resultado es conocido como la ley de De Morgan para la disyunci´ on. An´alogamente, obtenemos que ¬(p ∧ q) (¬p) ∨ (¬q)

y

(¬p) ∨ (¬q) ¬(p ∧ q)

Estas reglas son las reglas de De Morgan para la conjunci´ on. Una argumentaci´on para las leyes de De Morgan para la conjunci´on la conseguimos si reemplazamos p por ¬p y q por ¬q en la expresi´on (¬p)∧(¬q) y en ¬(p∨q) puesto que (¬¬p)∧(¬¬q) es l´ogicamente equivalente a ¬((¬p)∨(¬q)), pero la primera expresi´on es l´ogicamente equivalente a (p ∧ q) y, por tanto, sus negaciones tambi´en son l´ogicamente equivalentes; es decir ¬(p ∧ q) es 44 60


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento l´ogicamente equivalente a (¬p) ∨ (¬q). m. Negaci´ on de la equivalencia. Para construir una expresi´on l´ogicamente equivalente a la negaci´on de la equivalencia l´ogica, partimos de que: ¬(p ↔ q) es l´ogicamente equivalente a ¬[(p → q) ∧ (q → p)], por la ley de De Morgan para la conjunci´on ¬(p ↔ q) es l´ogicamente equivalente a (¬(p → q)) ∨ (¬(q → p)), aplicando la negaci´on de cada implicaci´on en la segunda expresi´on llegamos a que ¬(p ↔ q) es l´ogicamente equivalente a (p ∧ (¬q)) ∨ (q ∧ (¬p)). La u ´ltima expresi´on se puede escribir de manera m´as sugestiva si definimos el conectivo l´ogico de la disyunci´on exclusiva entre p y q, notado p  q, como p  q = (p ∧ (¬q)) ∨ (q ∧ (¬p)). Con esto ¬(p ↔ q) es l´ogicamente equivalente a p  q. Sorpresivamente, ¬(p ↔ q) es l´ogicamente equivalente a (¬p)  (¬q) y ¬(p  q) es l´ogicamente equivalente a (¬p) ↔ (¬q).

Ejercicio Formule un argumento que muestre las dos u ´ltimas equivalencias l´ogicas. n. Ley del silogismo hipot´ etico. Esta es la forma m´as c´elebre de silogismo aristot´elico30: “Todo p es q, todo q es r entonces todo p es r”. Esta 30 Teofrasto (disc´ıpulo de Arist´ oteles) estudi´o los silogismos hipot´eticos, introdujo la doble cuantificaci´on y desarroll´ o varios teoremas para la l´ ogica proposicional y la l´ ogica modal aristot´elica.

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos ley conocida tambi´en como ley del silogismo hipot´etico que en t´erminos de implicaciones corresponde a afirmar que si el consecuente de una implicaci´on verdadera es antecedente de una segunda implicaci´on verdadera, se puede concluir que la implicaci´on entre el antecedente de la primera y el consecuente de la segunda implicaci´on es verdadera; en otras palabras, dice que la implicaci´ on es transitiva. p→q q→r p→r Si suponemos que p → q es verdadera y que q → r es verdadera, tenemos que p es verdadera y q es verdadera, entonces por modus ponendo ponens r es verdadera, y en consecuencia p → r es verdadera.

Ejemplo De las dos afirmaciones: “un n´ umero entero es racional” y “un n´ umero racional es real”, concluimos que “un n´ umero entero es real”.

Ejercicios 1. Si p es divisible por q y r es divisor de q, ¿r es divisible por p o p es divisible por r? 2. De cuatro n´ umeros naturales se sabe que C est´ a inmediatamente detr´ as de B, y D est´a entre A y C. ¿Cu´ al es el orden de los n´ umeros? Una forma m´as sofisticada de inferencia la obtenemos al combinar una disyunci´on con dos condicionales en la ley del silogismo disyuntivo. o. Silogismo disyuntivo. Si suponemos que p ∨ q es verdadera, y adem´as p → s y q → r son verdaderas, de estas premisas podemos inferir la verdad de alguna de las dos s o r. Como p ∨ q es verdadera, p es verdadera o q es verdadera. Si p es verdadera, como p → s es verdadera, por modus ponendo ponens s es verdadera y por la ley de adici´on s ∨ r es verdadera para cualquier proposici´on r. 46 62


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Argumentaci´on y razonamiento An´alogamente, si q es verdadera, como q → r es verdadera, por modus ponendo ponens r es verdadera y por la ley de adici´on r ∨ s es verdadera para cualquier proposici´on s. En s´ıntesis, p∨q p→s q→r r∨s

Ejemplo Debemos iniciar con una disyunci´on y dos condicionales: Un n´ umero natural mayor que 2 es primo o es compuesto. Si es primo entonces es impar. Si es compuesto se puede escribir como producto de primos. Entonces un n´ umero es impar o se puede escribir como producto de primos. p. Ley de los casos. Si asumimos como premisas dos condicionales con el mismo consecuente p → q y r → q podemos inferir que el consecuente com´ un es consecuencia l´ogica de la disyunci´on de las premisas; puesto que si p → q y r → q son verdaderas, entonces p es verdadera, q es verdadera y r es verdadera, por tanto p ∨ r es verdadera, y (p ∨ r) → q es verdadera. En s´ımbolos p→q r→q (p ∨ r) → q Esta forma de inferencia31 permite demostrar una implicaci´on (p∨r) → q, cuyo antecedente es una disyunci´on, demostrando como dos casos aparte, las dos implicaciones p → q y r → q, pues la verdad de aquella es una consecuencia l´ogica de estas. 31 Esta regla junto con modus tollendo ponens, modus ponendo ponens, modus tollendo tollens y silogismo disyuntivo fueron asumidos por los estoicos como axiomas y construyeron los otros argumentos a partir de ellos.

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Dicho de otra manera: si sabemos que p ∨ r es verdadera, y que siempre que p es verdadero, q tambi´en lo es, y que siempre que r es verdadero, q tambi´en lo es; entonces podemos afirmar que q es verdadero. En el sistema de Gentzen esta es la regla de eliminaci´on de la disyunci´on. Esta regla la hemos estado usando de manera intuitiva, fue el caso del ejemplo de la regla de adici´on en la que se consideraron dos casos para la demostraci´on de que A ∪ (B − A) ⊆ A ∪ B. q. Leyes conmutativas. La conjunci´on comparte con la suma y la multiplicaci´on de n´ umeros naturales una propiedad que permite cambiar el orden en que se mencionan, esto es p∧q q∧p Pues, en particular si suponemos que p ∧ q es verdadera, por la ley de simplificaci´on concluimos que q es verdadera y tambi´en que p es verdadera, y por la ley de adjunci´on q ∧ p es verdadera. Esta ley la conocemos como propiedad conmutativa de la conjunci´ on. Tambi´en la disyunci´on, la equivalencia l´ogica y la disyunci´on exclusiva, son conmutativas p∨q q∨p

p↔q q↔p

pq qp

La conjunci´on, disyunci´on, la equivalencia l´ogica y la disyunci´on exclusiva tambi´en cumplen la propiedad asociativa. La implicaci´on no es ni conmutativa ni asociativa.

Ejercicios 1. Formule un argumento que muestre la propiedad conmutativa y uno para la propiedad asociativa de la disyunci´on. 2. Formule un argumento que muestre la propiedad conmutativa y uno para la propiedad asociativa de la equivalencia l´ogica. 3. Formule un argumento que muestre la propiedad conmutativa y uno para la propiedad asociativa de la disyunci´on exclusiva. 48 64


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Argumentaci´on y razonamiento

2.1.4.

La posici´ on de Fil´ on

Seg´ un Fil´on, la frase: “Si p entonces q”, que representamos simb´olicamente como p → q, donde p es el antecedente, hip´otesis o pr´otasis, y q el consecuente, conclusi´on o ap´odosis, conocida tambi´en como implicaci´ on material o condicional funcional de verdad , es una y u ´nica proposici´on y, por tanto, puede ser verdadera o falsa. Y solamente es falsa en el caso en que p sea verdadera y q sea falsa, y en los dem´as casos posibles es verdadera32.

Ejemplo Si esto es un tri´angulo entonces la suma de sus a´ngulos internos tendr´a que ser 180o . Pero como en este caso no disponemos de informaci´on adicional no podemos afirmar de tal proposici´ on, ni su verdad, ni su falsedad. En esta interpretaci´on se consideran todas las posibilidades. Por ejemplo, en la proposici´on “Si estudio entonces aprendo”; hay cuatro posibilidades: “si estudio entonces aprendo”, “si estudio entonces no aprendo”, “si no estudio entonces aprendo” o “si no estudio entonces no aprendo”. El valor del condicional est´a relacionado con su estructura l´ogica y no tiene que ver necesariamente con la realidad, sino que consideran los mundos posibles. Es una afirmaci´on hipot´etica sobre una relaci´on formal, si se da una condici´on (antecedente), tiene que darse tambi´en lo condicionado (consecuente). El hecho de que no se d´e la condici´on no afecta al hecho de que se d´e o no lo condicionado. Pero la implicaci´on material permite la construcci´on de enunciados absurdos o chocantes: las llamadas paradojas de la implicaci´on material33:  Una proposici´on falsa implica cualquier proposici´on.  Una proposici´on verdadera es implicada por cualquier proposici´on.  Una contradicci´on implica cualquier proposici´on. Otra forma de expresar esto es decir que: “es falso que p es cierto y q es falso” o en s´ımbolos: ¬(p ∧ (¬q)) o su equivalente l´ogico (¬p) ∨ q. 33 En la l´ ogica proposicional se simbolizan: (¬p) → (p → q), p → (q → p), ((¬p) ∧ p) → q, respectivamente. Otra proposici´ on aceptada es p → (q ∨ (¬q)), que afirma: una verdad l´ ogica es implicada por cualquier proposici´on, entre otras. 32

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Usando implicaci´on material, las proposiciones:  cuando los elefantes rosados vuelen de flor en flor la luna ser´a de queso,  si los elefantes vuelan entonces 5 es mayor que 2,  si Bogot´a es la capital de Rusia, entonces el sol es negro,  si Tola y Maruja son mujeres j´ovenes y bellas entonces yo soy el Rey Arturo, son l´ogicamente verdaderas, pero realmente no son ni verdaderas ni falsas, no tienen sentido real, no son verificables por la experiencia, solo son yuxtaposiciones arbitrarias de enunciados sin relaci´on entre s´ı. A las proposiciones que no tienen argumentos de verdad en com´ un Wittgenstein las llamaba independientes entre s´ı. Como no hay un v´ınculo sem´antico tendemos a considerarlos como no v´alidos. Para eliminar estas paradojas se han propuesto alternativas como el condicional estricto 34 y las l´ogicas relevantes 35 . 34 El condicional estricto es una implicaci´on material sobre el que act´ ua un operador de necesidad en el sentido de la l´ ogica modal. Dadas dos proposiciones cualquiera p y q, decimos que p implica estrictamente q si es necesario que p implique materialmente a q, esto lo notamos (p → q) o de otra forma: es falso que sea posible que p sea verdadero y q falso. Por ejemplo, en la proposici´on “Si yo soy el papa, entonces 2 + 2 = 5 es verdadero”. Aunque yo fuera el papa, 2 + 2 no es 5. Esta implicaci´on no es estricta, pues la relaci´on de implicaci´on debe ser necesaria. Fue propuesto en 1932 por Clarence Irving Lewis y C.H. Langford en su obra Symbolic Logic, reimpresa por Dover en 1959, con el prop´ osito de encontrar un condicional para la l´ogica que describiera mejor el comportamiento de los condicionales en el lenguaje natural. Aunque se logran evitar algunas paradojas de la implicaci´on material, algunas permanecen. Por ejemplo una contradicci´on todav´ıa implica cualquier cosa, y cualquier cosa implica una tautolog´ıa. (Lewis y Langford, 1959). 35 La l´ ogica relevante, o l´ ogica de relevancia, es una l´ogica que impone la existencia de alg´ un tipo de conexi´ on en la substancia del tema entre premisas y la conclusi´on, se pide que el antecedente y el consecuente de una implicaci´on est´en relacionados de manera relevante. Es necesario, pero no suficiente, que las premisas y la conclusi´on compartan f´ ormulas at´ omicas. En un c´alculo de predicados, la relevancia requiere adem´as que se compartan las variables y constantes entre las premisas y la conclusi´on. Fue propuesta en 1928 por Iv´ an Orlov (1886 - circa 1936) en un escrito titulado The Logic of Compatibility of Propositions publicado en Matematicheskii Sbornik. Basados en un trabajo de Ackermann, Moh y Church cerca a 1950, Belnap y Anderson, y otros publicaron (v´ease (Anderson y Belnap, 1975) y (Mares y Meyer, 2001)) un tratado de referencia sobre el tema. Ellos trataron sistemas de implicaci´on y sistemas de relevancia, donde el sistema de implicaci´on se supone es relevante y necesario. Una caracter´ıstica notable de las l´ogicas relevantes es que son l´ ogicas paraconsistentes, donde la existencia de una contradicci´on en su interior no

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Argumentaci´on y razonamiento Si aplicamos la implicaci´on material para construir inferencias36, aparecen nuevas formas de razonamiento puesto que, si en las premisas hay una falsa, es posible que razonando correctamente se llegue a una conclusi´on falsa. Tambi´en podemos obtener una conclusi´on verdadera a partir de premisas falsas pero, como lo hemos reiterado, la veracidad de una conclusi´on no es garant´ıa de la correcci´on del razonamiento. Lo que no puede pasar es que si las premisas son verdaderas y el razonamiento correcto, la conclusi´on sea falsa. Si se parte de premisas verdaderas y se llega a una conclusi´on falsa, el razonamiento no es v´alido. 2.1.4.1.

Inferencias fil´ onicas

Hasta ahora hemos considerado inferencias suponiendo que si un razonamiento es v´alido, las premisas son verdaderas y la conclusi´on tambi´en, por el teorema de la deducci´on obtenemos una implicaci´on que es verdadera solo en el caso en que el antecedente y el consecuente sean verdaderos; la posici´on de Fil´on en relaci´on con un razonamiento v´alido aumenta el n´ umero de casos que debemos examinar, pues ahora del hecho de que un razonamiento sea v´alido no podemos inferir la verdad de las premisas, ni la verdad de la conclusi´on, pues un razonamiento puede ser v´alido con las premisas y la conclusi´on falsas. En particular, si las premisas son falsas, no importa la verdad o falsedad de la conclusi´on, el razonamiento es v´alido. Reconsideremos algunas de las inferencias de Diodoro desde el punto de vista fil´onico: a. Doble negaci´ on p ¬¬p Cuando estudiamos esta regla de inferencia desde el punto de vista de Diodoro, iniciamos suponiendo que p es verdadera, entonces ¬p es falsa y

provoca dificultades. Esto se deriva del hecho de que un condicional con un antecedente contradictorio que no comparte ninguna letra del proposicional o del predicado con el consecuente no puede ser verdad. En estas l´ogicas tampoco es una inferencia v´alida la ley del silogismo disyuntivo. 36 En el siglo XIX Frege, Peirce, Russell y, en general los l´ogicos matem´aticos, aceptaron el sentido de Fil´on para la implicaci´on, mientras que Clarence Irving Lewis (1883-1964) defendi´o la postura de Diodoro, para ´el, la implicaci´on est´a vinculada con la inferencia o prueba, la condici´on formal considera la posibilidad de que una proposici´on falsa fuera verdadera, este es tema de la l´ ogica modal (Lewis, 1960).

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos ¬(¬p) es verdadera. Ahora debemos considerar el caso en que p es falsa, entonces ¬p es verdadera y ¬(¬p) es falsa. Si de una premisa falsa deducimos una conclusi´on falsa, desde el punto de vista fil´onico, el razonamiento es v´alido. Y si suponemos que ¬(¬p) es falsa, entonces ¬p es verdadera y por tanto p es falsa. De nuevo el razonamiento es v´alido. En conclusi´on: ¬¬p p b. Modus ponendo ponens. En el caso de Diodoro asumimos que si la proposici´on p → q es verdadera y p es verdadera inferimos que q es verdadera: p→q p q Ahora supongamos que la conjunci´on de las premisas p → q y p es falsa, sin importar el valor de verdad de q, el razonamiento es v´alido. c. Modus tollendo tollens. De manera similar al anterior, si suponemos que la conjunci´on de las premisas p → q y ¬q es falsa, cualquier conclusi´on valida el razonamiento, por lo tanto p→q ¬q ¬p es un razonamiento v´alido tambi´en desde el punto de vista fil´onico. Como vemos, asumir una hip´otesis (premisa) falsa hace que cualquier razonamiento sea v´alido, esto significa que todas las inferencias v´alidas desde el punto de vista de Diodoro, tambi´en lo son desde el punto de vista fil´onico. Hay sin embargo sutilezas en esta u ´ltima forma de razonar, por ejemplo en la ley del silogismo hipot´etico, desde el punto de vista de Diodoro, la verdad de p → q nos permite inferir, la verdad de p y la de q; desde el punto de vista fil´onico ya no, puesto que el hecho de que las premisas y conclusi´on sean proposiciones condicionales, las premisas no afirman la verdad de p ni la de q, solo afirman que si las dos condicionales que sirven de premisas son verdaderas, entonces la condicional que sirve de conclusi´on tambi´en es 52 68


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Argumentaci´on y razonamiento verdadera. En la conclusi´on no afirmamos la verdad de p ni la de q, solo la de p → q. En el ejemplo que ilustra la ley del silogismo hipot´etico, desde el punto de vista de Diodoro, escribimos: De las dos afirmaciones: “un n´ umero entero es racional” y “un n´ umero racional es real”, concluimos que “un n´ umero entero es real”. Ahora debemos precisar: De las dos afirmaciones: “si un n´ umero x es entero, entonces x es racional” y “si un n´ umero x es racional, entonces x es real”, concluimos que “si un n´ umero x es entero, entonces x es real”. d. Ley de los casos. Si queremos argumentar la validez desde el punto de vista fil´onico de la inferencia: p→q r→q (p ∨ r) → q asumimos como premisas dos condicionales: p → q, r → q y pretendemos obtener como conclusi´on el condicional (p ∨ r) → q. Si p → q o r → q son falsas su conjunci´on es falsa y por tanto el razonamiento es v´alido. Si p → q y r → q son verdaderas y ambas p y r son falsas, entonces p ∨ r es falsa y la implicaci´on (p ∨ r) → q es verdadera, en consecuencia el razonamiento es v´alido. Si p → q y r → q son verdaderas y alguna de las dos entre p o r son verdaderas entonces p ∨ r es verdadera, en ambos casos por modus ponendo ponens q es verdadera y por tanto (p∨r) → q es verdadera y el razonamiento es v´alido. Pero hay razonamientos v´alidos desde el punto de vista fil´onico, que no podemos obtener con las condiciones de Diodoro, por ejemplo: e. Ley de la contrarrec´ıproca. Si suponemos que p → q es verdadera entonces: Desde el punto de vista de Diodoro, concluimos que p es verdadera y q es verdadera, por tanto, ¬q es falso y ¬p es falso, pero no podemos concluir que (¬q) → (¬p) es verdadera, pues este caso no existe. Desde el punto de vista fil´onico, debemos considerar cuatro casos: 53 69


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos O p es verdadera y q es verdadera, por tanto ¬q es falsa y ¬p es falso, en consecuencia (¬q) → (¬p) es verdadera. O p es falsa y q es verdadera, por tanto ¬q es falsa y ¬p es verdadera, en consecuencia (¬q) → (¬p) es verdadera. O p es falsa y q es falsa, por tanto ¬q es verdadera y ¬p es verdadera, en consecuencia (¬q) → (¬p) es verdadera. El caso en que p es verdadera y q es falsa no es posible pues asumimos que p → q es verdadera. En todos los casos concluimos que (¬q) → (¬p) es verdadera; es decir, que de la verdad de p → q deducimos la verdad de (¬q) → (¬p) y por tanto: p→q (¬q) → (¬p) Rec´ıprocamente, si suponemos que (¬q) → (¬p) es verdadera entonces O ¬q es verdadera y ¬p es verdadera, y por consiguiente p es falsa y q es falsa, en consecuencia p → q es verdadera. O ¬q es falsa y ¬p es verdadera, y por consiguiente p es falsa y q es verdadera, en consecuencia p → q es verdadera. O ¬q es falsa y ¬p es falsa, y por consiguiente p es verdadera y q es verdadera, en consecuencia p → q es verdadera. O sea que: (¬q) → (¬p) p→q Esta regla de inferencia se conoce como la ley de contrarrec´ıproca.

2.1.5.

Principios l´ ogicos

Adem´as de las reglas de inferencia, unas b´asicas y otras derivadas, en las formas intuitivas de razonamiento correcto se aceptan unos principios37 que, aunque no tienen la forma de reglas de inferencia, pueden ser escritos de esa forma. 37 Los tres primeros principios se atribuyen a Parm´enides de Elea del siglo V a.C. El cuarto fue propuesto por Gottfried Wilhelm Leibniz en el siglo XVII.

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento 2.1.5.1.

El principio l´ ogico de identidad

El primero de estos principios es el de identidad, que en su forma inicial afirma: “el ‘ser’ es; toda cosa es lo que es, todo objeto es id´entico a s´ı mismo”. En forma un poco m´as elaborada: una proposici´ on cuyo sujeto sea igual al predicado es verdadera, o en s´ımbolos p es p. O en t´erminos de conectivos p ↔ p, que se puede simplificar como p → p. 2.1.5.2.

Principio l´ ogico de no contradicci´ on

El segundo principio en algunos textos (Zehna y Johnson, 1972, p. 13) se le llama principio de contradicci´ on, aunque lo que expresa es la imposibilidad de que exista una contradicci´on en el discurso l´ogico; es decir es un principio de no contradicci´on. Inicialmente se formul´o como “el ser es y no puede a la vez no ser” o “que es imposible que algo sea al mismo tiempo verdadero y falso”; esto lo podemos expresar diciendo que dos proposiciones contradictorias como: p es p y p no es p, no pueden ser ambas verdaderas. Como no es posible que una proposici´on p sea verdadera y su negaci´on tambi´en sea verdadera, entonces la proposici´on ¬(p ∧ (¬p)) es verdadera. 2.1.5.3.

Principio del tercero excluido

El tercer principio conocido como principio del medio excluido o principio del tercero excluido, afirma que “no hay t´ermino medio entre el ser y el no-ser”, o que “dos juicios contradictorios no pueden ser ambos falsos”. Lo podemos expresar como: p es p y p no es p, no pueden ser ambas falsas, y como por el principio anterior tampoco pueden ser ambas verdaderas necesariamente debe ser una verdadera y una falsa, o sea que una proposici´on p o es verdadera o su negaci´on ¬p es verdadera, o en una sola f´ormula: p ∨ (¬p) es verdadera. Este principio puede presentarse como una inferencia, aunque tenga una apariencia un poco estrafalaria. Afirmamos que p∨(¬p) es l´ogicamente equivalente a [(p → (¬p)) → (¬p)], pues si p es verdadero, ¬p es falso y p ∨ (¬p) es verdadera; la expresi´on p → (¬p) es falsa y por tanto [(p → (¬p)) → (¬p)] es verdadera. Y si p es falso, ¬p es verdadero y p ∨ (¬p) es verdadera; y la expresi´on p → (¬p) es verdadera y por tanto [(p → (¬p)) → (¬p)] es verdadera. Lo anterior significa que la ley del tercero excluido se puede expresar como la inferencia 55 71


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos p → (¬p) ¬p Puesto que si asumimos que p → (¬p) es verdadera, esto solo es posible si ¬p es verdadera, de lo contrario la implicaci´on p → (¬p) ser´ıa falsa. Si reemplazamos p por ¬p en la u ´ltima inferencia obtenemos (¬p) → (¬¬p) ¬¬p O lo que es igual (¬p) → p p Como el principio del tercero excluido es l´ogicamente equivalente al principio de no contradicci´on, este u ´ltimo tiene la misma forma de inferencia que el primero.

Ejercicio Hemos afirmado que p ∨ (¬p) es l´ogicamente equivalente a (p → (¬p)) → (¬p), ¿es l´ogicamente equivalente (p ∨ q) a ((p → q) → q), para cualquier otra proposici´ on q? 2.1.5.4.

Principio de la raz´ on suficiente

El cuarto principio no es aceptado por todos los estudiosos de la l´ogica, se conoce como principio de raz´ on suficiente, Leibniz38 lo enunci´o como: “todas las cosas deben tener una raz´on suficiente por la cual son los que son y no otra cosa”. Aunque generalmente se entiende como: “todo conocimiento tiene que estar fundamentado o que s´olo consideramos verdaderas las afirmaciones que podamos demostrar con razones que lleven al convencimiento de la verdad de lo afirmado”. Aunque como dijimos al comienzo, no se aprende a razonar l´ogicamente estudiando l´ogica matem´atica, s´ı podemos usar estas reglas de inferencia para determinar si un razonamiento es v´alido o para resolver algunos problemas l´ogicos. En su Timeo, Plat´ on afirm´ o: “Todo lo que acontece debe acontecer por necesidad en virtud de una causa, pues es imposible que algo se produzca sin causa”. 38

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento Sin embargo, debemos asegurarnos de que el argumento est´a debidamente formulado, escribirlo en lenguaje simb´olico, disponer las premisas en forma de columna y numerarlas, intentar sacar de ellas por medio de inferencias la conclusi´on o f´ormulas aproximadas a la conclusi´on. Si la conclusi´on tiene estructura de implicaci´on, podemos aplicar el teorema de deducci´on para obtener un consecuente m´as simple que el anterior. Si en las premisas hay una disyunci´on, provisionalmente suponemos cada uno de los extremos de esa disyunci´on y, de cada uno de ellos intentaremos deducir la conclusi´on o, la f´ormula que en ese momento determinado nos interese establecer. Si no logramos una deducci´on directa, negamos la conclusi´on y, de esa negaci´on intentamos llegar a una contradicci´on.

Ejemplos i. Supongamos como premisas que: 1. Si estudio tengo ´exito 2. Si no estudio me divierto 3. Si no tengo ´exito no me divierto. ¿De estas premisas podemos concluir que tengo ´exito? Primero simbolicemos las proposiciones que forman las premisas con letras: p: estudio q: tengo ´exito r: me divierto Las premisas se simbolizan: 1. p → q

2. (¬p) → r

3. (¬q) → (¬r) Aplicando la ley de contrarrec´ıproca y la ley de la doble negaci´on, de la segunda premisa concluimos que 4. (¬r) → p 57 73


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos De 3. y 4., por la ley de silogismo hipot´etico obtenemos que 5. (¬q) → p De 5. y 1., por la ley de silogismo hipot´etico concluimos que 6. (¬q) → q Y por la ley del tercio excluido podemos concluir q. Es decir, tengo ´exito. Normalmente el uso l´ogico del pensamiento es argumentativo, es decir asumimos que las premisas son verdaderas, y por esto la distinci´on entre las implicaciones de Diodoro y de Fil´on no tiene importancia en la vida cotidiana. ii. Seis amigos desean pasar sus vacaciones juntos y deciden, cada dos, utilizar diferentes medios de transporte; se sabe que Alejandro no utiliza el coche ya que este acompa˜ na a Benito que no va en avi´on. Andr´es viaja en avi´on. Carlos no va acompa˜ nado de Dar´ıo ni hace uso del avi´on. ¿En cu´al medio de transporte llega a su destino Tom´as? Para la soluci´on de este problema, tendremos en cuenta las siguientes reglas dadas por la situaci´on: Regla 1: dos amigos viajan juntos si y solo si usan el mismo medio de transporte. Regla 2: los seis amigos forman exactamente tres parejas y cada una usa un medio de transporte diferente: coche, avi´on o un tercer medio de transporte. Hecho esto, el enunciado de la situaci´on se puede resumir en las siguientes seis proposiciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Alejandro no viaja en coche Benito no viaja en avi´on Andr´es viaja en avi´on Alejandro y Benito viajan juntos Carlos y Dar´ıo no viajan juntos Carlos no usa el avi´on

Ahora veamos c´omo razonar con las proposiciones anteriores y las reglas antes estudiadas: 58 74


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento

7. Alejandro y Benito viajan en avi´on o en coche o en el tercer trasporte 8. Alejandro y Benito viajan en avi´on 9. Benito viaja en avi´on 10. Benito no viaja en avi´on y Benito viaja en avi´on 11. Alejandro y Benito viajan en coche 12. Alejandro viaja en coche 13. Alejandro no viaja en coche y Alejandro viaja en coche 14. Alejandro y Benito no viajan en coche ni en avi´on 15. Alejandro y Benito viajan en el tercer transporte 16. Carlos viaja en el tercer transporte 17. Alejandro, Benito y Carlos viajan en el tercer transporte 18. Carlos no viaja en el tercer transporte 19. Carlos viaja en coche 20. Carlos y Dar´ıo usan medios de transporte diferentes 21. Dar´ıo no viaja en coche 22. Dar´ıo viaja en el tercer transporte 23. Alejandro, Benito y Dar´ıo viajan en el tercer transporte 24. Dar´ıo no viaja en el tercer transporte 25. Dar´ıo viaja en avi´on 26. Andr´es y Dar´ıo viajan en avi´on 27. Tom´as viaja en coche

MPP (regla 1, 5) y regla 2. Caso. Ley de simplificaci´on (8). Adjunci´on (2 y 9). Caso. Ley de simplificaci´on (11). Adjunci´on (1 y 12). Reducci´on al absurdo (10, 13) y adjunci´on. MTP (14, 7). Caso. Adjunci´on (15, 16). Reducci´on al absurdo (4, 16, 17) y Regla 2. MTP (regla 2, 6 y 18). MTT (regla 1 y 5). Afirmaciones 19 y 20. Caso. Adjunci´on (15 y 22). Reducci´on al absurdo (4, 22, 23) y regla 2. MTP (regla 2, 21 y 24). Adjunci´on (3 y 25). Regla 2 (15, 26 y 19).

En las teor´ıas matem´aticas o cient´ıficas tenemos un contenido afirmado como verdadero (axiomas, leyes b´asicas, etc.) cuya verdad es condici´ on necesaria de la verdad de lo condicionado en la conclusi´ on; por ejemplo, en la geometr´ıa plana euclidiana el teorema de Pit´agoras es verdadero 59 75


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos siempre que se supongan verdaderos los axiomas de Euclides. iii. En teor´ıa de conjuntos: Teorema. El conjunto vac´ıo ∅ es subconjunto de cualquier subconjunto A de un universo X. Prueba: sea X cualquier conjunto y A un subconjunto de X. Para todo x en X x ∈ ∅ es falso (x ∈ ∅ → x ∈ A) ∅ ⊆ A para todo conjunto A ⊆ X

Definici´on de ∅ (∅ = {x ∈ A : x �= x}). Definici´on de implicaci´on. Definici´on de ⊆.

iv. En teor´ıa de monoides Sea ∗ una operaci´on binaria sobre un conjunto G. Si en G existe un elemento neutro e para la operaci´on ∗ y para todo a, b, c, d elementos de G se cumple la igualdad: (a ∗ b) ∗ (c ∗ d) = (a ∗ c) ∗ (b ∗ d) Entonces, ∗ es asociativa y conmutativa, es decir, (G, ∗) es un monoide conmutativo. Prueba: a. La operaci´on ∗ es asociativa. Para todo a, b, c elementos de G, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ e) ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ (e ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c

Definici´on de elemento neutro. Premisa. Definici´on de elemento neutro.

b. La operaci´on ∗ es conmutativa. Para todo a, b elementos de G, a ∗ b = (e ∗ a) ∗ (b ∗ e) = (e ∗ b) ∗ (a ∗ e) =b∗a

Definici´on de elemento neutro. Premisa. Definici´on de elemento neutro. 60 76


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento v. En teor´ıa de grupos: Si a, b son elementos de un grupo (G, ∗), entonces (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1 . El elemento neutro es e. Prueba: (a ∗ b) ∗ (b−1 ∗ a−1) = a ∗ [b ∗ (b−1 ∗ a−1 )] = a ∗ [(b ∗ b−1 ) ∗ a−1 ] = a ∗ [e ∗ a−1 ] = a ∗ a−1 =e

Propiedad asociativa de ∗ . Propiedad asociativa de ∗ . Definici´on de inversos. Definici´on de elemento neutro. Definici´on de inversos.

Por tanto, como el inverso es u ´nico b−1 ∗ a−1 es (a ∗ b)−1 , el inverso de a ∗ b. vi. En teor´ıa de grupos: sea f y g homomorfismos de un grupo (G, ∗) en un grupo abeliano (K, •) y h : G → K una funci´on definida como: h(a) = f(a) • g(a) para todo a de G. Demostrar que h es un homomorfismo. Prueba: h(a ∗ b) = f(a ∗ b) • g(a ∗ b) = (f(a) • f(b)) • (g(a) • g(b)) = f(a) • [f(b) • (g(a) • g(b))] = f(a) • [(f(b) • g(a)) • g(b)] = f(a) • [(g(a) • f(b)) • g(b)] = f(a) • [g(a) • (f(b) • g(b))] = (f(a) • g(a)) • (f(b) • g(b)) = h(a) • h(b)

2.2.

Definici´on de h. Definici´on de homomorfismo. Propiedad asociativa de • . Propiedad asociativa de • . Propiedad conmutativa de • . Propiedad asociativa de • . Propiedad asociativa de • . Definici´on de h.

Falacias

Hasta aqu´ı hemos visto algunas formas v´alidas de razonar, estudiaremos ahora unos razonamientos que en algunos casos tienen una apariencia de 61 77


Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ávila Mahecha - María Nubia Soler Álvarez

Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos razonamientos v´alidos, que son usados muy frecuentemente, con la pretensi´on de convencernos, o que usamos cuando intentamos convencer a otros y que generalmente est´an acompa˜ nadas de beligerancia, efusividad y otros sentimientos, pero que son trampas l´ogicas; los conocemos como argumentos falaces o falacias 39 . La palabra falacia indica un error en un razonamiento, o una falta en la argumentaci´on. Estos argumentos aparecen con tanta frecuencia en la vida cotidiana que en ocasiones es dif´ıcil identificarlos o incluso no usarlos. En algunos casos podemos obtener conclusiones verdaderas, producto de la casualidad, pero ello no valida el razonamiento. Los podemos agrupar en dos grandes grupos: uno que tiene que ver con la verdad de las premisas, y el otro que tiene que ver con el v´ınculo entre las premisas y la conclusi´on.

2.2.1.

Sobre la verdad de las premisas

Hemos dicho que en un razonamiento v´alido si las premisas son verdaderas, la conclusi´on debe ser verdadera; una primera forma de invalidar el razonamiento es suponer que el antecedente es verdadero, sin tener la certeza de que lo es; por ejemplo:

2.2.1.1.

Argumentum ad baculum

Tambi´en conocido como recurso de la fuerza, es un argumento que apela a la imposici´on para convencer, por ejemplo: i. Si la investigaci´on que desea llevar a cabo no es realizada con la metodolog´ıa de la pedagog´ıa cr´ıtica, no ser´a aceptada y tendr´a que cambiarla totalmente. En este caso se asume como premisa que una metodolog´ıa de investigaci´on es verdadera, y esta verdad se impone, lo que excluye otras opciones que de hecho existen en la investigaci´on did´actica. ii. Si la demostraci´on no se hace con m´etodos anal´ıticos no es v´alida. 39

Tambi´en se usan las palabras sofisma y paralogismo.

62 78


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento 2.2.1.2.

Argumentum ad verecundiam o argumentacio ´n por autoridad

Es una variaci´on del anterior, recurre a la opini´on de expertos, a la autoridad por la admiraci´on, respeto o conocido prestigio hacia alguien, que se citan para validar lo que se afirma como premisa. Por ejemplo: si en la biblia lo dice, debe ser cierto pues es la voz de Dios; si lo dijo Arist´oteles debe ser cierto, o variar el personaje: Picasso, Chevalard, Riemann, mi pap´a, etc. Muy usado en referencias cient´ıficas ante la imposibilidad de exponer toda la argumentaci´on que sustenta una afirmaci´on, sin este recurso un libro de c´alculo ser´ıa m´as monumental de lo que son los actuales. Casi todos los textos de matem´aticas y de ciencias lo usan, no demuestran todas las afirmaciones que hacen, remiten algunas pruebas a otros libros m´as especializados; pocos libros son de fundamentos como los Principia Mathematica de Russell, pero son ilegibles para la mayor´ıa de los mortales. Enfatizamos, que su uso en la ciencia y en matem´aticas est´a validado, porque existe un consenso universal sobre lo que en la comunidad matem´atica es una demostraci´on; si una prueba es referida a otra fuente, buscamos la fuente y en ella las fuentes de la fuente, y en principio es posible completar una demostraci´on con todos sus detalles. Consideramos ligeramente diferente el caso de las investigaciones en did´actica o en ciencias sociales, que tienen un campo de aplicaci´on limitado, un rango de validez restringido a las poblaciones donde son aplicadas, dependiendo de la metodolog´ıa para tomar las muestras y otros detalles t´ecnicos que se estudian en la estad´ıstica inferencial (Berstein y Berstein, 1999). Sin embargo, confiar ciegamente en la autoridad es arriesgado y puede fallar, generalmente cuando se aplican conclusiones v´alidas en un contexto a otros bien diferentes donde las afirmaciones pueden no ser v´alidas; por ejemplo, las conclusiones obtenidas en una investigaci´on did´actica en Francia, Noruega o alg´ un pa´ıs europeo, pueden no tener validez en un pa´ıs africano o asi´atico, donde las condiciones socioculturales sean totalmente diversas.

Ejemplos 1. La teor´ıa de las situaciones did´acticas es lo mejor, ya que su creador es Brosseau quien se ha dedicado ampliamente a la investigaci´on en did´actica de las matem´aticas. 2. ¿Puede usted dudar de que el aire tenga peso, cuando tiene el claro 63 79


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos testimonio de Arist´oteles, quien afirma que todos los elementos tienen peso, inclusive el aire, y con la sola excepci´on del fuego? (Galileo Galilei) 3. Este teorema es v´alido porque lo propuso Fermat o el profesor Paredes. 2.2.1.3.

Argumentum ad antiquitatem

Esta falacia consiste en asumir como premisa que algo es verdadero porque es antiguo, porque siempre se ha hecho as´ı, en algunos profesores es cl´asico este argumento: “. . . mi m´etodo siempre ha sido el mismo y es el mismo que usaron los maestros de Gauss, Legendre y otros grandes matem´aticos, lo que prueba su validez”. El error consiste en asumir como verdadero que el ´exito de una persona es consecuencia u ´nica de la metodolog´ıa de un profesor; Gauss tuvo muchos compa˜ neros con los mismos profesores, pero ning´ un otro tuvo su prestancia. 2.2.1.4.

Falsa analog´ıa

En este argumento se asume la verdad de una afirmaci´on a partir de que una situaci´on an´aloga es verdadera; por ejemplo: En el campo de Klein (V, ⊕, ⊗), definido por las siguientes operaciones: ⊕ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 0 3 2

2 2 3 0 1

⊗ 0 1 2 3

3 3 2 1 0

Tabla 2.1

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 3 1

3 0 3 1 2

Tabla 2.2

se tiene que (a+b)2 = a2 +b2 para todo a, b de V . Como (R, +, ×) es un campo tambi´en, entonces se debe cumplir que para todo a y b de R, (a+b)2 = a2 +b2. La analog´ıa es particularmente peligrosa cuando no se apoya en una semejanza relevante u olvida diferencias cruciales que impiden una conclusi´on veraz. 2.2.1.5.

Falacia del contexto

Esta falacia ocurre cuando se tiene una ley o regla general que es v´alida en un contexto y es aplicada a una situaci´on por fuera del rango de validez 64 80


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento de la regla, por ejemplo: 1

1

1 = (−1)2 = ((−1)2 ) 2 = (−1)2· 2 = (−1)1 = −1. El sucesor de un n´ umero natural n es n + 1 por tanto, el sucesor de 3 . 2

1 2

es

Como Piaget hizo una investigaci´on en Suiza que confirma las etapas de desarrollo psicol´ogico en los ni˜ nos, entonces esas mismas etapas se deben presentar en los ni˜ nos colombianos40. Como las verdades son locales, dependen del contexto, la premisa es cierta en un contexto pero su verdad no est´a demostrada en el contexto m´as general. 2.2.1.6.

Argumentum ad ignorantiam

En este argumento se apela a la ignorancia del interlocutor, en el sentido de que una afirmaci´on debe ser cierta porque no se ha probado su falsedad, por ejemplo: Como no se ha podido refutar la conjetura de Goldbach41, entonces esta debe ser cierta. Se parece a (¬¬p) → p. Pero la dificultad aparece cuando consideramos que el hecho de que una afirmaci´ on no se haya probado, significa que no sea cierta, o que no se haya refutado implica que sea falsa. De ser as´ı, la matem´atica estar´ıa terminada y no ser´ıa posible la formulaci´on de nuevos teoremas. Algunos problemas han durado muchos a˜ nos en ser resueltos, unos con respuesta positiva como el u ´ltimo teorema de Fermat; otros con respuesta negativa como la conjetura de Fermat acerca de que los n´ umeros de la forma: n 22 + 1 Pues supon´ıa que para todo n´ umero natural n eran primos. Los seis primeros n´ umeros llamados de Fermat son los siguientes: F0 = 21 + 1 = 3 No afirmamos que las etapas piagetianas no se cumplan en ni˜ nos colombianos, afirmamos que el argumento presentado no es v´alido. 41 La conjetura de Goldbach afirma que todo n´ umero par mayor que dos es suma de dos n´ umeros primos. 40

65 81


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos F1 F2 F3 F4 F5 F6

= 22 + 1 = 5 = 24 + 1 = 17 = 28 + 1 = 257 = 216 + 1 = 65537 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 27441177 × 67280421310721

Como vemos, F5 y F6 no son primos. En la actualidad solo se conocen 5 n´ umeros de Fermat primos, no se sabe si hay m´as.

2.2.2.

Sobre la relaci´ on entre antecedente y consecuente

Hemos visto que en un argumento v´alido, la verdad del antecedente implica la verdad del consecuente, pero no se afirma que si la conclusi´on es verdadera, las premisas son verdaderas, ni que si el antecedente es falso la conclusi´on debe ser falsa, de esto surgen formas comunes de falacias: 2.2.2.1.

Afirmaci´ on del consecuente

El error consiste en suponer que si el consecuente es verdadero es porque las premisas son verdaderas, afirmando el consecuente se pretende afirmar el antecedente. Por ejemplo: En teor´ıa de grupos, el teorema de Lagrange afirma lo siguiente: sea (G, ∗) un grupo finito de orden n y (H, ∗) un subgrupo de G de orden m, entonces m divide a n. De aqu´ı es un error afirmar que en un grupo finito (G, ∗) de orden n, si m un n´ umero entero que divide a n, entonces existe un subgrupo de G de orden m. Un ejemplo es el grupo de permutaciones de 4 elementos, S4 , con la composici´on de funciones como operaci´on, que tiene orden 24; pero a pesar de que 6 divide a 24, no existen subgrupos de S4 de orden 6. La verosimilitud de este enga˜ no proviene de su parecido con el modus ponendo ponens, pues podr´ıamos escribirlo como: ((p → q) ∧ q) → p. Si ((p → q) ∧ q) es verdadera tanto p → q como q son verdaderas pero esto no implica que p sea verdadera, puesto que si p es falsa la implicaci´on p → q es verdadera y ((p → q) ∧ q) → p es falsa. 66 82


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento En ocasiones, en matem´aticas, negar el antecedente para negar el consecuente, resulta v´alido (en particular cuando un teorema es v´alido y tambi´en su rec´ıproco); por ejemplo: 1. En los n´ umeros enteros, es una afirmaci´on verdadera que si ax ≡ ay m (m´od m) entonces x ≡ y (m´od (a,m) ); de aqu´ı no es v´alido concluir que como 5 ≡ 9 (m´od 2) entonces 15 ≡ 27 (m´od 6), pero s´ı es verdadero que 15 ≡ 27 (m´od 6), la raz´on es que el teorema rec´ıproco tambi´en es v´alido. 2. En la geometr´ıa euclidiana usual, se tiene que si las diagonales de un cuadril´atero son congruentes y se bisecan, entonces el cuadril´atero es un rect´angulo. Sin embargo, de esta afirmaci´on no es correcto aseverar que si un cuadril´atero es un rect´angulo entonces las diagonales son congruentes y se bisecan. Como en el ejemplo anterior, la u ´ltima afirmaci´on es v´alida, pero se debe a que el rec´ıproco del enunciado inicial es cierto. 3. Si la suma de las cifras de un n´ umero natural representado en base 5 es par, entonces el n´ umero es divisible por 2, y si la suma de las cifras de un n´ umero natural representado en base 5 no es par entonces, el n´ umero no es par, la conclusi´on resulta cierta, pero el razonamiento no es v´alido. 2.2.2.2.

Negaci´ on del antecedente

En este caso se cambia la forma de argumentar diciendo que si el antecedente es falso, la conclusi´on tambi´en debe serlo; por ejemplo: 1. Se sabe que si un ´angulo est´a inscrito en una semicircunferencia, entonces el ´angulo es recto. Sin embargo, si un a´ngulo no est´a inscrito en una semicircunferencia, no necesariamente se tiene que dicho ´angulo no sea recto. 2. Si dos tri´angulos son congruentes, entonces las medidas de sus ´areas son iguales. La afirmaci´on: si dos tri´angulos no son congruentes, entonces las medidas de sus ´areas no son iguales, resulta falsa, ya que si dos tri´angulos no congruentes tienen un par de lados congruentes y las alturas respectivas a estos lados congruentes tambi´en, entonces los dos tri´angulos tienen la misma medida de ´area. 67 83


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 3. Ante la pregunta “¿Crees que todas las bonitas son brutas?”. La celebridad Paris Hilton respondi´o: “No, tambi´en hay feas que son brutas”. Este argumento es similar al modus tollendo tollens p→q ¬p ¬q Si (p → q) ∧ (¬p) es verdadera tanto p → q como ¬p son verdaderas, o sea que p es falsa pero esto no implica que q sea falsa puesto que si q es verdadera, la implicaci´on es verdadera. Usualmente se presenta como un argumento de lo contrario (ex contrario) o por los contrarios (a contrariis), por ejemplo: Dos tri´angulos no tienen igual a´rea pues no son congruentes, porque de lo contrario tendr´ıan que serlo. Para probar que algo es bueno, mostramos lo que sabemos de lo contrario; como esto es malo, la conclusi´on dir´a que su contrario es bueno, porque a lo contrario le corresponde lo contrario; esquem´aticamente: p es q porque lo contrario de p es lo contrario de q. Es diferente a los argumentos causales donde: si se suprime la causa, se suprime el efecto. Aqu´ı, si determinada causa produce un efecto indeseable, conjeturamos que la contraria lo producir´a deseable. Adem´as es natural, porque muchos de nuestros conceptos aparecen por parejas: “no hay placer si no hay dolor”; “no hay calor sin que exista el fr´ıo”; “no hay cerca si no hay idea sobre lejos”. Por analog´ıa formamos juicios contrarios sobre los contrarios. Pero el error est´a en que aplicamos este tipo de argumento a situaciones que no tienen contrarios, por ejemplo: “si abusamos del alcohol enfermaremos, entonces si nos abstenemos del alcohol seremos sanos”, pero no estamos seguros de que la u ´nica causa de enfermedad sea el abuso del alcohol. Este tipo de argumento es u ´til para obtener conclusiones cuando hay informaci´on insuficiente; es persuasiva porque se apoya en nuestra manera natural de apreciar las cosas y por ello logra trasladar la carga de la prueba, es decir, deja en manos del adversario la obligaci´on de rechazar el argumento, si puede. 68 84


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento 2.2.2.3.

Falacia del medio no distribuido

Tiene la forma p→r q→r p→q Por ejemplo, de las premisas Si p es un n´ umero primo mayor que 2 entonces p es impar. Si q es un n´ umero de la forma 2n + 1, para cualquier n´ umero natural n, entonces q es impar. Es un error concluir que un n´ umero de la forma 2n + 1, para cualquier n´ umero natural n es primo o que todo n´ umero primo es de la forma 2n + 1, para cualquier n´ umero natural n. Su verosimilitud proviene de su parecido con la ley de los casos p→q r→q (p ∨ r) → q 2.2.2.4.

Argumentum ad logicam

Tambi´en conocido como la falacia de la falacia, es argumentar diciendo que una proposici´on es falsa porque es la conclusi´on de un argumento falaz; por ejemplo: . Entonces cancelando el 6 de arriba con el de abajo Sea la fracci´on 26 65 = 25 y de manera similar con la fracci´on 16 . tenemos que 26 65 64 pero es un razonamiento inv´alido usar esta forma de cancelaci´on, pues no hay en la aritm´etica de los n´ umeros racionales una regla que permita efectuarla, no se pueden cancelar los 6 de esta forma. Como razonamos mal, concluimos que es falso que 26 = 25 . 65 Podemos presentar esquem´aticamente esta forma falaz de argumentar, como ¬(p → q) ¬q 69 85


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos O en la forma: si p → q es falsa entonces q es falsa. Pero no es un razonamiento v´alido puesto que si q es verdadera, ¬q es falsa y en el caso de que p sea verdadero, entonces p → q es falso, y ¬(p → q) es verdadero, con lo que tenemos un antecedente verdadero y una conclusi´on falsa; o sea un razonamiento no v´alido. En algunos casos, se pueden obtener como conclusi´on proposiciones falsas lo que no valida el razonamiento; por ejemplo: Sea la fracci´on

2.2.2.5.

36 . 67

Entonces cancelando el 6 de arriba con el de abajo tenemos que 36 = 37 . 67

Argumentum ex silentio

Es una variaci´on del anterior, cuando no existen datos suficientes que lo sostengan; por ejemplo: Como en la actualidad s´olo se conocen 47 n´ umeros primos de Mersenne42, entonces el conjunto de los n´ umeros primos de Mersenne debe ser finito. Podemos esquematizarlo en la forma: si p fuera cierto lo sabr´ıamos (habr´ıa datos), pero no lo sabemos (no hay datos), entonces p es falso. La falacia surge de, considerar o que todas las cosas que existen son accesibles a nuestros sentidos, pero no todas son as´ı, por ejemplo: Dios, el esp´ıritu humano, etc., o que no hayamos estudiado seriamente la evidencia o que los datos que tengamos no sean significativos. El argumento es v´alido cuando la premisa es cierta, es decir, cuando podemos afirmar con fundamento que si algo existiera dejar´ıa rastros que nos permitieran percibirlo. 2.2.2.6.

Argumentum ad h´ ominem

Los argumentos llamados ad h´ ominen son contra el argumentador, no contra sus afirmaciones, pretenden invalidar las tesis atacando la persona, por ejemplo: “Los resultados de esta investigaci´on no deben ser buenos, puesto que el equipo que la realiz´o se la pasa bailando todos los fines de semana”. 42 Un n´ umero primo de Mersenne es de la forma 2n − 1, con n un n´ umero natural. En abril de 2011, se descubri´o el m´as reciente de ellos, es el n´ umero 243112609 − 1 con casi trece millones de cifras.

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento

Argumentaci´on y razonamiento No existe v´ınculo alguno entre la verdad del antecedente y el consecuente, no hay relaci´on entre alguna condici´on personal y el contenido sem´antico de lo afirmado. 2.2.2.7.

Falacia de los cuatro t´ erminos

Esta falacia ocurre cuando una palabra es usada con varios significados en un mismo razonamiento; por ejemplo: “El presidente de la rep´ ublica gobierna al pa´ıs, pero la esposa del presidente lo gobierna a ´el, por tanto, la esposa del presidente es la que gobierna al pa´ıs”. En este ejemplo, la palabra “gobierna” se ha usado con significados distintos en las dos primeras proposiciones, a pesar de que se escriben y suenan igual, es decir, “gobierna” es una palabra hom´ografa desde el punto de vista ling¨ u´ıstico. 2.2.2.8.

Argumento circular

Consiste en decir algo y defenderlo con lo dicho expresado en otros t´erminos, se asume la verdad de la conclusi´on como premisa.

Ejemplos 1. Dios existe porque en la biblia lo dice y lo que est´a en la biblia es cierto pues fue Dios quien inspir´o al hombre para que la escribiera. 2. Un conjunto no vac´ıo G con una operaci´on ∗ definida en ´el se denomina un grupo si y solo si satisface los siguientes axiomas: A1. La operaci´on es asociativa, esto es, para todo x, y, z de G, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

A2. Existe un elemento e en G tal que para todo x en G, e ∗ x = x. A este elemento se le denomina elemento neutro a izquierda.

A3. Para cada x de G, existe un elemento x−1 en G tal que, x−1 ∗x = e. A x−1 se le denomina elemento inverso a izquierda de x. A partir de estos axiomas43 , demostrar el siguiente teorema: 43 En la mayor´ıa de libros de teor´ıa de grupos, los axiomas A2 y A3 asumen que tanto el elemento neutro como los inversos funcionan tambi´en a la derecha, sin embargo, con la lista as´ı definida, es posible demostrar estos hechos.

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Teorema. Sea (G, ∗) un grupo con elemento neutro a izquierda e y x un elemento cualquiera de G, entonces: (a) x ∗ e = x. (b) x ∗ x−1 = e. Es decir, e es elemento neutro a derecha y x−1 es elemento inverso a derecha de x. Prueba: probemos primero que x−1 es elemento inverso a derecha de x: x ∗ x−1 = [e ∗ x] ∗ x−1 = [((x−1 )−1 ∗ x−1 ) ∗ x] ∗ x−1 = [(x−1 )−1 ∗ (x−1 ∗ x)] ∗ x−1 = [(x−1 )−1 ∗ e] ∗ x−1 = (x−1 )−1 ∗ x−1 =e

Por Por Por Por Por Por

A2. A3. A1. A3. A2. A3.

Ahora, a partir de este hecho, se demuestra que e es elemento neutro a derecha: x ∗ e = x ∗ (x−1 ∗ x) = (x ∗ x−1 ) ∗ x = e∗x =x

Por A3. Por A1. Pues x ∗ x−1 = e. Por A2.

Esto prueba lo que se quer´ıa. Pero hay un error en el quinto rengl´on de la “prueba”de la primera igualdad ya que se asume que (x−1 )−1 ∗ e = (x−1)−1 argument´andolo con base en A2, lo cual es falso pues se usa lo que se debe demostrar. La prueba de la segunda igualdad tambi´en es incorrecta pues se usa la primera. 2.2.2.9.

Argumentum ex populo

Consiste en argumentar por democracia, si la mayor´ıa de las personas aceptan la verdad de la afirmaci´on entonces es verdadera, es como demostrar teoremas por votaci´on; si alguien se opone a esa opini´on, deber´a argumentar su falsedad. 72 88


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Razonamientos no demostrativos

Capítulo 3. Razonamientos no demostrativosCAP´ITULO 3 Razonamientos no demostrativos

La matem´ atica no es una materia contemplativa sino creativa. Nadie puede sacar mayor consuelo de ella cuando ha perdido el poder o el deseo de crear. Godfrey H. Hardy

En el cap´ıtulo anterior estudiamos lo que llamamos un argumento v´alido y algunas formas de razonamientos err´oneos que llamamos falacias. En el primero, si partimos de premisas verdaderas, obtenemos una conclusi´on verdadera; pues si una proposici´on es consecuencia l´ogica de un conjunto de premisas, la informaci´on que esta contiene ya deb´ıa estar en las premisas; en este sentido, la verdad del consecuente est´a impl´ıcita en la verdad del antecedente, dicho de otra forma, por el camino de la deducci´on no podemos obtener nueva informaci´on de una informaci´on establecida de antemano. En las falacias no tenemos garant´ıa alguna de que la conclusi´on sea verdadera o falsa, partiendo de premisas verdaderas. Estudiaremos en este cap´ıtulo formas de obtener informaciones nuevas, que no est´an en las premisas; estas son las inferencias o razonamientos inductivos y las inferencias o razonamientos abductivos, pero debemos pagar un precio, en algunas ocasiones a partir de informaciones verdaderas obtenemos conclusiones verdaderas, pero en general esto no se puede garantizar. Inicialmente debemos precisar las condiciones sobre las premisas,

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 1. Si las premisas son verdaderas o aceptadas como tales, y hacemos un razonamiento deductivo, entonces las premisas aportan evidencias concluyentes para la afirmaci´on de la verdad de la conclusi´on. 2. Si las premisas suministran evidencia no concluyente, sino probable sobre la verdad de la conclusi´on, en este caso estamos haciendo un argumento inductivo o inferencia inductiva. Diremos que una proposici´on es necesaria cuando afirma que algo no puede ser de otro modo, es decir, da lugar a conclusiones obligadas. Es contingente cuando admite que algo puede ser de otro modo y permite conclusiones probables. Una conclusi´on necesaria o categ´orica implica que lo contrario es imposible, una conclusi´on probable implica que lo contrario puede y debe ocurrir, pero es menos probable y una conclusi´on posible implica que lo contrario es igualmente posible. Nuestro inter´es estar´a en buscar verdades en algunas ramas de las matem´aticas, y para ello propondremos algunos procedimientos. La inferencia inductiva parte de casos que son semejantes en algo para alcanzar conclusiones que generalizan dicha semejanza. La inferencia abductiva consiste en examinar ciertos hechos y en permitir que estos hechos sugieran una teor´ıa, o proponer nuevas ideas que expliquen los hechos y aunque este tipo de inferencia, como ya dijimos, no permite conclusiones ciertas en todos los casos, es muy frecuente en el mundo cotidiano. La inferencia deductiva afirma como conclusi´on un caso particular de una regla conocida, del contenido de ciertas proposiciones iniciales, las premisas, en ella se deducen una o varias consecuencias a partir de la aplicaci´on de leyes de inferencia de la l´ogica; no es necesaria la observaci´on, si las premisas son ciertas la conclusi´on ha de serlo tambi´en, porque se deriva necesariamente de ellas. As´ı por ejemplo, si se quiere probar que 40152006 − 1 es par, entonces se puede partir de la proposici´on cierta (en el conjunto de los n´ umeros naturales): Para todo par de n´ umeros naturales n y k se tiene que (2n + 1)k − 1 es par. Ya que 4015 es impar y 2006 es un n´ umero natural, entonces se tiene 2006 que 4015 − 1 es par. Generalmente, los argumentos basados en la experiencia u observaci´on se expresan mejor inductivamente y se sustentan mostrando los casos individuales. Para los argumentos que dan cuenta de informaciones inconclusas, la mejor forma de explicarlos es a trav´es de la formulaci´on de hip´otesis, y se defienden aportando razones que hagan posibles las conclusiones. Finalmente, 74 90


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Razonamientos no demostrativos los argumentos basados en leyes, reglas, definiciones, u otros principios aceptados se expresan mejor deductivamente, mostrando que se puede aplicar la ley, regla o definici´on, al caso que se considere. Hay muchas cosas que se pueden argumentar tanto inductiva como deductivamente, por ejemplo, un ni˜ no puede observar que cada vez que se suelta un objeto s´olido al aire, el objeto cae hacia el suelo. Alguien que conozca la ley de gravitaci´on puede llegar a la misma conclusi´on sin recurrir a la experiencia. (Es posible que Newton haya observado varias veces la ca´ıda de los cuerpos para establecer su ley). En el caso de la abducci´on, la conclusi´on va en sentido contrario: si un objeto s´olido en el aire est´a cayendo es porque seguramente alguien o algo caus´o su ca´ıda. Para Peirce (1935) en el fen´omeno de la creatividad cient´ıfica se articulan abducci´on, deducci´on e inducci´on: A la abducci´ on le corresponde el papel de introducir nuevas ideas en la ciencia: en una palabra la creatividad. La deducci´ on extrae las consecuencias necesarias y verificables que deber´ıan seguirse de ser cierta la hip´ otesis, y la inducci´ on confirma experimentalmente la hip´ otesis en una determinada proporci´ on de casos. Son tres clases de razonamiento que no discurren de modo independiente o paralelo, sino integrados y cooperando en las fases sucesivas del m´etodo cient´ıfico.

En los procesos de aprendizaje se usan todas estas formas de razonamiento, en algunas ocasiones es necesaria la abducci´on, pero en otras, la deducci´on asume el papel dominante. En matem´aticas, todas son de gran importancia; la abducci´on y la inducci´on son especialmente u ´tiles cuando una persona empieza a familiarizarse con nuevas situaciones e ideas, o cuando est´a tratando de descubrir nuevas propiedades de entes matem´aticos. Pero el razonamiento deductivo es el que nos permite elaborar pruebas o demostraciones. En este cap´ıtulo estudiaremos la inducci´on y la abducci´on. En el siguiente cap´ıtulo procuraremos aplicar estos procesos para encontrar regularidades en el estudio de los objetos l´ogicos que encontramos en el cap´ıtulo anterior.

3.1.

El razonamiento inductivo

En los razonamientos inductivos se pretende que las observaciones proporcionen alg´ un fundamento razonable para las conclusiones. Usualmente se parte de fen´omenos particulares y se busca una generalizaci´on de ellos; la base 75 91


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos del m´etodo es la suposici´on de que si algo es cierto en algunas ocasiones, tambi´en lo es en situaciones similares, aunque estas no se hayan observado. Se usa para generalizar la experiencia, permite aprender de ella, y la practicamos en cualquier edad, as´ı aprendemos: que las cosas pesadas caen, que el agua moja, que la ira y la sensatez no est´an juntas, etc. Tambi´en es frecuente la consecuci´on de principios cient´ıficos mediante generalizaci´on a partir de un n´ umero finito de experiencias identificando patrones y regularidades.

3.1.1.

El m´ etodo de induccio ´n cl´ asico: So ´crates y Aristo ´teles

Habitualmente inducir (del lat´ın in ducere, llevar adentro) es afirmar la validez de una ley general (generalizaci´on) a partir de cierto n´ umero de observaciones particulares, lo escribimos como: Si p1 es q, p2 es q, p3 es q, . . . , entonces, todo pi es q. En las obras de Arist´oteles, el t´ermino inducci´on viene de la traducci´on del t´ermino griego epagog´e, que significaba determinar proposiciones de car´acter universal a partir de casos particulares que pudieran estar contenidos en ella misma; en sus T´opicos, afirma: “La inducci´on es un tr´ansito de las cosas individuales a los conceptos universales”. En esta definici´on solo incluye generalizaciones, pero puede darse el caso de que un argumento inductivo nos lleve de casos particulares a casos particulares; como cuando afirmamos que “como todos los militares que conocemos se nombran por el apellido, entonces el teniente Ram´ırez tambi´en se debe nombrar por el apellido”. O tambi´en, un argumento inductivo puede ir de lo menos general a lo m´as general; por ejemplo, cada una de las siguientes afirmaciones es una ley general para los n´ umeros naturales: 2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2(2n − 1)

3 3 + 32 + 33 + · · · + 3n = (3n − 1) 2 5 5 + 52 + 53 + · · · + 5n = (5n − 1) 4 De ellas podemos obtener por inducci´on una generalizaci´on de generalizaciones con la f´ormula p (pn − 1) p + p2 + p3 + · · · + pn = p−1 para todo n´ umero natural p.

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Razonamientos no demostrativos

En todos los casos obtenemos informaci´on que no estaba contenida en las premisas. La diferencia entre deducci´on e inducci´on no est´a en la universalidad o particularidad de las premisas o de la conclusi´on, sino en la relaci´on l´ogica que existe entre las premisas y la conclusi´on; si es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusi´on falsa, es un argumento deductivo y decimos que es de car´acter demostrativo. En el razonamiento inductivo podemos afirmar la verdad de las premisas pero con la posibilidad de que la conclusi´on sea falsa, pues en esta clase de argumentaci´on la informaci´on de la conclusi´on no est´a contenida totalmente en la informaci´on de las premisas; es decir que es de car´acter no demostrativo. Esta definici´on tiene la dificultad de que su formulaci´on es negativa, un argumento inductivo es aquel que no es deductivo. Una tercera opci´on para definir la inferencia inductiva es aquella que nos permite ir de lo conocido a lo desconocido, ya que en la argumentaci´on deductiva no aparece nuevo conocimiento en la conclusi´on, pues toda la informaci´on est´a contenida en las premisas; en la argumentaci´on inductiva es posible, teniendo como base informaciones previamente aceptadas, salir de estas y hacer predicciones o plantear teor´ıas que excedan la informaci´on asentada en nuestras premisas originales.

3.1.2.

Inducci´ on completa

La inducci´on obtiene generalizaciones de la forma “todo x que satisface p, tambi´en satisface q”, sin embargo, no todas estas afirmaciones tienen el mismo significado; as´ı por ejemplo, la frase: “Como todos los n´ umeros d´ıgitos conocidos son n´ umeros de una sola cifra, entonces los n´ umeros d´ıgitos son de una sola cifra”, es una frase de cuya veracidad estamos seguros, en cuyo caso es una inducci´on concluyente o inducci´on completa, perfecta o universal, ya que se han examinado todos los casos posibles. Otra forma de inducci´on completa es de la forma “todo x a excepci´on de r, s y t satisfacen p, entonces cumplen q”, pues se consideran todos los casos y todas las excepciones. Las inducciones completas se refutan si aparece un elemento con la propiedad q que no cumple la propiedad p.

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Ejemplos 1. Podemos concluir que todos los estudiantes de un sal´on de clases son menores de 30 a˜ nos, verific´andolo con cada uno de ellos. 2. Queremos averiguar si el n´ umero 211 es primo. Un n´ umero p es primo si es divisible solo por 1 y por p. Debemos averiguar si 211 es divisible por alg´ un n´ umero menor que ´el. Para ello conocemos algunos criterios de divisibilidad que nos permiten saber que 211 no es par, ni divisible por 3, ni por 5. Ahora debemos dividir por cada n´ umero menor que 211. Primero observemos que no es necesario dividir entre n´ umeros compuestos, porque si 211 no es divisible por 2, no puede ser divisible por 4, ni por ninguna potencia de 2 y an´alogamente con cada n´ umero compuesto menor que 211. Debemos dividir 211 entre los n´ umeros primos menores que ´el, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 y 199. Por fortuna podemos ahorrarnos muchos c´alculos si tenemos en cuenta que un umero k compuesto √ no puede √ tener dos factores, ambos mayores √ n´ que k, pues si k = ab, a > k y b > k entonces k = ab > k, lo que es absurdo. Adicionalmente, el menor factor q diferente de 1, de un n´ umero k (diferente de 1) debe ser primo, pues si no lo fuera ser´ıa compuesto y cada uno de sus factores ser´ıa factor de k lo que contradice la minimalidad de √ q. En consecuencia, el menor factor de un n´ umero k no puede exceder a k, pues si k = qp y q es el menor factor de k entonces q < p y multiplicando √ esta desigualdad por q, obtenemos que q 2 < qp = k, o sea q < k. De manera que tenemos que dividir 211 entre los n´ umeros primos hasta 17 pues (17)2 = 289. Si dividimos 211

entre entre entre entre entre entre entre 78 94

2 3 5 7 11 13 17

el el el el el el el

residuo residuo residuo residuo residuo residuo residuo

es es es es es es es

1 1 1 1 2 3 7


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Razonamientos no demostrativos y como 211 no es divisible por ninguno de estos n´ umeros primos, y hemos considerado todos los casos, concluimos que 211 es un n´ umero primo. Este m´etodo para averiguar si un n´ umero es primo o no, tiene dificultades con n´ umeros un poco m´as grandes, por ejemplo para averiguar si el n´ umero 30 031 es primo, inicialmente debemos dividir entre 29 464 n´ umeros primos menores que ´el, con el truco de la ra´ız cuadrada reducimos a 40 divisiones. Pero para un n´ umero de 50 cifras, la tarea es irrealizable hasta para los modernos computadores que efect´ uan millones de operaciones por segundo, podr´ıan tardar m´as de un mill´on de a˜ nos (Devlin, 2003, p. 50).

3.1.3.

Inducci´ on incompleta

Si una inducci´on no es completa se denomina incompleta, imperfecta, extensiva o probable, y es la m´as com´ un. A pesar de que partimos de informaciones ciertas, la inducci´on incompleta no siempre nos lleva a conclusiones ciertas, por ello es conveniente expresar las conclusiones de una de tales inducciones haciendo expl´ıcito su limitado alcance usando antes de ella palabras como “generalmente”, “casi siempre”, “probablemente”, “posiblemente”, u otras equivalentes. Las generalizaciones siempre son discutibles porque las elaboramos con pocos casos, cada vez que aparezca un nuevo caso, la afirmaci´on se refuerza, es m´as probable; pero la verdad de la conclusi´on no es segura, a no ser que se hayan considerado todos los casos. Con frecuencia los elementos de un conjunto son tan numerosos que resultan inaccesibles, pero sabemos que la probabilidad de que la conclusi´on sea cierta aumenta cuando el n´ umero de casos observados es mayor y los casos son representativos. Los datos son representativos cuando no existen razones para creer que son significativamente diferentes del conjunto sobre el cual generalizamos. Existen herramientas para estudiar la veracidad de las afirmaciones obtenidas por esta forma, un ejemplo de ellas es el uso de m´etodos estad´ısticos (Freund y Wilson, 2003) para la selecci´on de muestras, que es el objeto de estudio de la estad´ıstica inductiva (Mood y Graybill, 1970) o los estudios basados en la teor´ıa de probabilidades (Gmurman, 1974). Aunque parezca extra˜ no, es posible generalizar a partir de un solo caso, basta con que sea t´ıpico. Si ensayamos una crema dental de una marca nueva y sabe amargo, concluimos que todas las cremas de esa marca sabr´an 79 95


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos amargo, pues no hay razones para suponer que en el caso de la prueba se haya empleado una crema especial. Es una generalizaci´on incompleta, pero con una diferencia fundamental: se apoya en un caso muy representativo, la generalizaci´on se refiere a una caracter´ıstica compartida por todos los objetos del conjunto de referencia. Pero si la generalizaci´on se basa en detalles particulares o accidentales, ya no es adecuada; por ejemplo, si del hecho de que un mango est´e verde concluimos que todos los mangos son verdes, la conclusi´on es falsa, pues el color del mango es una caracter´ıstica moment´anea, no forma parte de su esencia. Para refutar este tipo de generalizaci´on basta un contraejemplo o mostrar que el caso no es t´ıpico, si otro caso del mismo grupo, e igualmente t´ıpico, no cumple la regla, el argumento es insostenible. El razonamiento inductivo es frecuente en la cotidianidad y aparece de forma casi inconsciente: de unos tres o cuatro casos una mujer puede inducir que todos los hombres son iguales, o que siempre llegan tarde a una cita, o que nunca cumplen sus promesas, etc. A diferencia de lo que ocurre en las inducciones completas, las inducciones probables no se pueden refutar mostrando excepciones ya que estas se suponen. Estas inducciones no afirman que las cosas sean siempre de una manera, sino que habitualmente lo son. Para refutar una inducci´on incompleta se debe demostrar que las excepciones son tan frecuentes como los casos que la respetan o m´as. La generalizaci´on no siempre se hace a partir de hechos emp´ıricos, tambi´en se generalizan conocimientos para obtener nuevos conocimientos, cada vez m´as complejos; existen niveles de intermediaci´on y a medida que se asciende, las generalizaciones van perdiendo contacto con la realidad inmediata.

Ejemplos I. Inducci´ on en aritm´ etica 1. En el conjunto de los n´ umeros naturales, de la secuencia: 1 × 2 × 3 × 4 + 1 = (5)2 = [1 + (2 × 2)]2 2 × 3 × 4 × 5 + 1 = (11)2 = [1 + (2 × 2) + (2 × 3)]2 80 96


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Razonamientos no demostrativos 3 × 4 × 5 × 6 + 1 = (19)2 = [1 + (2 × 2) + (2 × 3) + (2 × 4)]2 4 × 5 × 6 × 7 + 1 = (29)2 = [1 + (2 × 2) + (2 × 3) + (2 × 4) + (2 × 5)]2 presumimos que la siguiente igualdad es verdadera para todo n´ umero natural n: n × (n + 1) × (n + 2) × (n + 3) + 1 = [1 + (2 × 2) + (2 × 3) + (2 × 4) + · · · + (2 × (n + 1))]2, pero ¿es verdadera esta conclusi´on o no? La prueba de una afirmaci´on que se hace sobre el conjunto de los n´ umeros naturales se efect´ ua usando el principio de demostraci´on por inducci´on matem´atica, que a pesar del nombre es un m´etodo deductivo. En el cap´ıtulo 9 dedicaremos una secci´on a su estudio. 2. En los n´ umeros perfectos. Los primeros 4 n´ umeros perfectos son 6, 28, 496, 8128, . . . El tercer n´ umero triangular es 6, el s´eptimo es 28, el trig´esimo primero es 496. Pit´agoras conjetur´o que todos los n´ umeros perfectos pares son triangulares, pues: 6 = 1 + 2 + 3 = T3 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = T7 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · + 30 + 31 = T31 8128 = 1 + 2 + 3 + · · · + 126 + 127 = T127 Para estar seguros, debemos hacer una prueba o demostraci´on (deducci´on). Prueba: un n´ umero perfecto par es de la forma44 P = 2n−1 (2n − 1) La proposici´on 36 del libro IX de los Elementos de Euclides, en lenguaje actual, afirma que: Si 2k − 1 es primo y n = 2k−1 (2k − 1), entonces n es perfecto. 44

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos donde n es un n´ umero natural cualquiera. Procuremos escribirlo copara alg´ un k mo un n´ umero triangular, esto es P = k(k+1) 2 2 Ă&#x2014; 2nâ&#x2C6;&#x2019;1 (2n â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 (2n â&#x2C6;&#x2019; 1)2n = 2 k(k + 1) = 2 = T2nâ&#x2C6;&#x2019;1

P =

con k = 2n â&#x2C6;&#x2019; 1. No se conoce la existencia de n´ umeros perfectos impares. II. Inducci´ on en trigonometr´Ĺa 1. La identidad trigonom´etrica para el coseno de a´ngulos medios, con 0 < θ < 180â&#x2014;Ś es:    1 + cos θ θ = cos 2 2       Hallemos cos 2θ2 , cos 2θ3 , cos 2θ4 , . . . θ   θ a. cos 2 = cos 2 2 2 θ   θ 2 b. cos 3 = cos 2 2 2 θ   θ 3 c. cos 4 = cos 2 2 2

=

=

=



 

1 + cos( θ2 ) 2 1 + cos( 2θ2 ) 2 1 + cos( 2θ3 ) 2



  θ 2 + 2 cos 2    1 θ = 2 + 2 cos 2 2 2    1 θ = 2 + 2 cos 3 2 2 1 = 2

De estos resultados podemos inducir que para todo n´ umero natural n â&#x2030;Ľ 1,      1 θ θ cos n = 2 + 2 cos nâ&#x2C6;&#x2019;1 2 2 2 82 98


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Razonamientos no demostrativos Adem´as, vemos que:      â&#x2C6;&#x161; 1 + cos θ 1 1 θ = 2+2 2 + 2 + 2 cos θ a. cos 2 = 2 2 2 2        â&#x2C6;&#x161; 1 1 θ θ 2 + 2 cos 2 = 2 + 2 + 2 + 2 cos θ b. cos 3 = 2 2 2 2      1 θ θ 2 + 2 cos 3 c. cos 4 = 2 2 2    â&#x2C6;&#x161; 1 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 cos θ 2 En general, presumimos que:      â&#x2C6;&#x161; 1 θ 2 + 2 + 2 + ¡ ¡ ¡ + 2 + 2 cos θ cos n = 2 2   n veces

Con n veces, indicamos el n´ umero de ra´Ĺces que aparecen en la expresi´on. Ahora si θ = 45â&#x2014;Ś tenemos que:   â&#x2014;Ś   â&#x2014;Ś 1 45 45 = 2 + 2 cos nâ&#x2C6;&#x2019;1 cos 2n 2 2 y

   â&#x2014;Ś  â&#x2C6;&#x161; 1 45 = 2 + 2 + 2 + ¡ ¡ ¡ + 2 + 2 cos 45â&#x2014;Ś cos 2n 2   n veces

y como cos 45â&#x2014;Ś =

â&#x2C6;&#x161; 2 2

entonces,

      â&#x2014;Ś  â&#x2C6;&#x161; 1 45 = 2+ 2 + 2+ ¡¡¡ + 2+ 2 cos n 2 2    (n+1) veces

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Observemos que a medida que n se hace m´as grande, el lado derecho de la igualdad anterior comienza a tomar la forma siguiente:   â&#x2C6;&#x161; 1 2 + 2 + 2 + ¡¡¡ 2 Haciendo un procedimiento similar al efectuado en las fracciones continuas simples para hallar el n´ umero representado, llamemos x a la siguiente expresi´on:   â&#x2C6;&#x161; x = 2+ 2+ 2+ ¡¡¡ Ahora, al escribir la ecuaci´on anterior en forma recurrente, encontramos que: â&#x2C6;&#x161; x = 2+x Haciendo algunos c´alculos, encontramos la ecuaci´on x2 â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; 2 = 0, cuya soluci´on positiva y que resuelve la ecuaci´on anterior es x = 2. Por tanto, cuando n crece sin l´Ĺmite, es decir, cuando n tiende a inďŹ nito, tenemos:       â&#x2014;Ś   â&#x2C6;&#x161; 1 45 l´Ĺm cos = l´ Äąm 2 + 2 + 2 + ¡ ¡ ¡ + 2 + 2 nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 2 2n    (n+1) veces

=

1 ¡2=1 2

Insistimos en que la verdad del resultado no se ha establecido, solo es una conjetura.

Ejercicios a. Realice razonamientos   similares al aqu´Ĺ mostrado para hallar una identidad de sen 2θn . b. Con base en la soluci´on al ´Ĺtem anterior, halle una expresi´ on para â&#x2014;Ś . sen 45 n 2 84

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Razonamientos no demostrativos  ◦ c. Conjeture el valor del l´ımn→∞ sen 45 . 2n

2. Inducci´on para una aproximaci´on de π.

Para hallar una aproximaci´on de π, inscribiremos varios pol´ıgonos regulares a una circunferencia de radio 1 y hallaremos los semiper´ımetros de cada uno de ellos. Comenzamos inscribiendo un cuadrado:

Figura 3.1 √ En este caso, el lado del cuadrado ABCD es equivalente a 2, ya que el di´ametro mide 2 unidades y el tri´angulo ABC es rect´angulo is´osceles. Usando el teorema de Pit´agoras hallamos la medida del lado √ del cuadrado. Luego, en este caso, el semiper´ımetro es igual a 2 2. A partir del pol´ıgono anterior, se puede inscribir otro pol´ıgono, hallando la mediatriz de cada lado del cuadrado y encontrando los puntos de corte de dichas rectas con la circunferencia, como aparece en la figura 3.2. Para hallar la medida del lado de este nuevo pol´ıgono (oct´agono) nos fijamos en el tri´angulo AOE. Sabemos que este tri´angulo es is´osceles pues AO y EO son radios de la misma circunferencia, adem´as, la medida del ´angulo AOE es de 45◦ , con esto y usando el teorema del coseno, encontramos que la medida del  lado√de este oct´agono es  √ 2 − 2 y el semiper´ımetro es igual a 4 2 − 2. 85

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

Figura 3.2 De manera similar, inscribimos un pol´ıgono de 16 lados a partir del anterior, como vemos en la figura 3.3. Una vez m´as, nos fijamos en el tri´angulo is´osceles AOI. La medida )◦ ya que el rayo OI es bisectriz del ∠AOE. del ´angulo AOI es ( 45 2 Usando de nuevo el teorema de Pit´agoras y la identidad del coseno del ´angulo medio, encontramos que la medida del segmento AI es    √ √ 2 − 2 + 2 y, por tanto, el semiper´ımetro es 8 2 − 2 + 2.

Figura 3.3 86 102


Actividades matemĂĄticas para el desarrollo de procesos lĂłgicos: razonar Razonamientos no demostrativos

Razonamientos no demostrativos En la iteraci´on siguiente, se obtiene un pol´Ĺgono de 32 lados:

Figura 3.4 Como en los casos anteriores, el rayo OQ es bisectriz del â&#x2C6; AOI, por lo que la medida del â&#x2C6; AOQ es ( 45 )â&#x2014;Ś . Usando una vez m´as el 22 teorema del coseno, y a partir de los resultados hallados en el ejemplo anterior, encontramos que la medida del ladopara este pol´Ĺgono es      â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 + 2 + 2 y el semiper´Ĺmetro, 16 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 + 2 + 2. Adoptando la notaci´on Pk para el semiper´Ĺmetro del pol´Ĺgono regular de k lados inscrito en una circunferencia de radio una unidad, tenemos lo siguiente: â&#x2C6;&#x161; P4 = 2 2  â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; P8 = 4 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 = 4 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos 45â&#x2014;Ś    â&#x2014;Ś  â&#x2C6;&#x161; 45 P16 = 8 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 + 2 = 8 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos 2     â&#x2014;Ś  â&#x2C6;&#x161; 45 P32 = 16 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 + 2 + 2 = 16 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos . 22 87 103


Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ă vila Mahecha - MarĂ­a Nubia Soler Ă lvarez

Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Si suponemos que la secuencia sigue, tendr´Ĺamos para las siguientes dos iteraciones:       â&#x2C6;&#x161;  P64 = 32 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 + 2 + 2 + 2   â&#x2014;Ś 45 = 32 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos 23

P128

           â&#x2C6;&#x161;  = 64 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 + 2 + 2 + 2 + 2 

= 64



45â&#x2014;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos 24



y en general: n

P2n+1 = 2





45â&#x2014;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos nâ&#x2C6;&#x2019;2 2



con n = 1, 2, 3, . . .

De modo que, cuando n crece sin l´Ĺmite, los pol´Ĺgonos inscritos tienden a la circunferencia de radio 1 unidad y los semiper´Ĺmetros se aproximan cada vez m´as a Ď&#x20AC;, esto es:    â&#x2014;Ś  45 =Ď&#x20AC; l´Ĺm P2n+1 = l´Ĺm 2n 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos nâ&#x2C6;&#x2019;2 nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 2

Ejercicio En lugar de considerar los semiper´Ĺmetros de los pol´Ĺgonos inscritos a una circunferencia de radio 1 unidad, considere las a´reas de dichos pol´Ĺgonos y halle una expresi´ on que permita aproximarse a Ď&#x20AC;. [Sugerencia: Dado una tri´angulo cuyas medidas de sus lados es a, b y c y la medida del ´angulo formado por los lados de medidas a y b es C, entonces el ´area de dicho tri´angulo es igual a 12 ¡ a ¡ b ¡ sen C.] 88 104


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Razonamientos no demostrativos

Razonamientos no demostrativos III. Inducci´ on en a ´lgebra lineal 1. Consideremos una matriz cuadrada A con entradas en los n´ umeros reales y con la siguiente propiedad: En cada fila todas las entradas son iguales a 0, excepto una entrada que es igual a 1, en cada columna todas las entradas son iguales a cero, excepto una entrada que es igual a 1. Consideremos el caso de las matrices de 2 × 2: Los u ´nicos casos de matrices que satisfacen la propiedad descrita son: � � 1 0 A1 = 0 1

´o

A2 =

� 0 1 1 0

Para el caso de las matrices 3× 3 tenemos las siguientes matrices que satisfacen la propiedad: ⎞ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 1 0 0 1 0 0 0 1 0 A2 = ⎝0 0 1 ⎠ A3 = ⎝1 0 0⎠ A1 = ⎝0 1 0⎠ 0 0 1 0 1 0 0 0 1 ⎞ 0 1 0 A4 = ⎝0 0 1⎠ 1 0 0 ⎛

⎞ 0 0 1 A5 = ⎝1 0 0 ⎠ 0 1 0 ⎛

⎞ ⎛ 0 0 1 A6 = ⎝0 1 0⎠ 1 0 0

Ejercicios a. ¿Cu´antas matrices de 4 × 4 satisfacen la propiedad enunciada? Haga una lista de todas ellas. b. ¿Cu´antas matrices de n × n satisfacen la propiedad enunciada? Explique su razonamiento. c. Se dice que la matriz transpuesta de una matriz A dada es la matriz AT en la que se intercambian las filas por las columnas de la matriz dada, as´ı por ejemplo, sea ⎞ ⎛ 1 2 3 A = ⎝0 5 7⎠ 4 3 8 89 105


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos luego,

⎛ ⎞ 1 0 4 AT = ⎝2 5 3⎠ 3 7 8 Discuta la veracidad de la siguiente afirmaci´on: “Para cada matriz A que satisface la propiedad enunciada, se tiene que existe un n´ umero natural n tal que la matriz An es la transpuesta de la matriz A”. 2. Sea la matriz45: ⎞ ⎛ 0 0 0 0 ⎜1 0 0 0⎟ ⎟ H3 = ⎜ ⎝0 2 0 0⎠ 0 0 3 0 Si calculamos:

0 ⎜ 0 (H3 )2 = ⎜ ⎝2 0

0 0 0 6

0 0 0 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

⎛ 0 ⎜ 0 (H3 )4 = ⎜ ⎝0 0

0 ⎜ 0 (H3 )3 = ⎜ ⎝0 6 ⎞ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎠ 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

y si sumamos los resultados con I, la matriz identidad 4 × 4 obtenemos: ⎞ ⎛ 1 0 0 0 ⎜1 1 0 0⎟ 1 1 ⎟ I + H3 + (H3 )2 + (H3 )3 = ⎜ ⎝1 2 1 0⎠ 2! 3! 1 3 3 1

De manera similar, sea:

⎛ 0 ⎜1 ⎜ H4 = ⎜ ⎜0 ⎝0 0

0 0 2 0 0

0 0 0 3 0

0 0 0 0 4

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

Este ejemplo fue presentado por el profesor de la Universidad de Cartagena Joaqu´ın Luna a uno de los autores. 45

90 106


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Razonamientos no demostrativos

Razonamientos no demostrativos Ahora ⎛ 0 ⎜0 ⎜ (H4 )2 = ⎜ ⎜2 ⎝0 0 ⎛

0 ⎜0 ⎜ (H4 )4 = ⎜ ⎜0 ⎝0 24

0 0 0 0 0 0 6 0 0 12 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

0 0 0 0 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

⎛ 0 0 ⎜0 0 ⎜ (H4 )3 = ⎜ ⎜0 0 ⎝6 0 0 24 ⎛ 0 ⎜0 ⎜ (H4 )5 = ⎜ ⎜0 ⎝0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0 ⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

0 0 0 0 0

y con esto ⎛

1 ⎜1 ⎜ 1 1 1 I + H4 + (H4 )2 + (H4 )3 + (H4 )4 = ⎜ ⎜1 2! 3! 4! ⎝1 1

0 1 2 3 4

0 0 1 3 6

0 0 0 1 4

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 1

Como se observa, se obtiene una matriz triangular inferior cuyas entradas diferentes de cero forman el tri´angulo de Pascal hasta el rengl´on cinco. Veamos, si con un procedimiento similar la matriz: ⎛

0 ⎜1 ⎜ ⎜0 H5 = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 0

0 0 2 0 0 0

0 0 0 3 0 0

0 0 0 0 4 0

0 0 0 0 0 5

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

junto con sus potencias, generan un resultado parecido al anterior. Para ello estudiemos con un poco m´as de cuidado cada una de las potencias que se van obteniendo: 91 107


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos ⎛

0 ⎜1 ⎜ ⎜0 (H5 )2 = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 0 ⎛

0 0 2 0 0 0

0 0 0 3 0 0

0 0 0 0 4 0

0 0 0 0 0 5

⎞ ⎛ 0 0 ⎜1 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎟ · ⎜0 ⎜ 0⎟ ⎟ ⎜0 0 ⎠ ⎝0 0 0

0 0 2 0 0 0

0 0 0 0 ⎜ 0 0 0 0 ⎜ ⎜2 · 1 0 0 0 ⎜ =⎜ 0 3 · 2 0 0 ⎜ ⎝ 0 0 4·3 0 0 0 0 5·4

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 ⎜ 0 0 0 0 ⎜ ⎜ 2 · 1 0 0 0 (H5 )3 = ⎜ ⎜ 0 3·2 0 0 ⎜ ⎝ 0 0 4·3 0 0 0 0 5·4

0 0 0 0 0 0

0 0 0 3 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 ⎜ 0 0 0 ⎜ ⎜ 0 0 0 (H5 )4 = ⎜ ⎜3 · 2 · 1 0 0 ⎜ ⎝ 0 4·3·2 0 0 0 5·4·3

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 ⎜ 0 0 ⎜ ⎜ 0 0 =⎜ ⎜ 0 0 ⎜ ⎝4 · 3 · 2 · 1 0 0 5·4·3·2

0 0 0 0 0 0

92 108

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

0 0 0 3 0 0

0 0 0 0 4 0

0 0 0 0 0 5

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

⎞ ⎛ 0 0 ⎜1 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎟ · ⎜0 ⎜ 0⎟ ⎟ ⎜0 0 ⎠ ⎝0 0 0

0 0 2 0 0 0

0 0 0 3 0 0

0 0 0 0 4 0

⎞ ⎛ 0 0 ⎜ 0⎟ ⎟ ⎜1 ⎜ 0⎟ ⎟ · ⎜0 ⎜ 0⎟ ⎟ ⎜0 0⎠ ⎝0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 5

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

0 0 0 ⎜ 0 0 0 ⎜ ⎜ 0 0 0 =⎜ ⎜3 · 2 · 1 0 0 ⎜ ⎝ 0 4·3·2 0 0 0 5·4·3 ⎛

0 0 0 0 4 0

0 0 2 0 0 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

0 0 0 0 0 5

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Razonamientos no demostrativos

Razonamientos no demostrativos ⎛

0 0 ⎜ 0 0 ⎜ ⎜ 0 0 5 ⎜ (H5 ) = ⎜ 0 0 ⎜ ⎝4 · 3 · 2 · 1 0 0 5·4·3·2 ⎛ 0 0 0 0 ⎜ 0 0 0 0 ⎜ ⎜ 0 0 0 0 ⎜ =⎜ 0 0 0 0 ⎜ ⎝ 0 0 0 0 5·4·3·2·1 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

0 0 0 0 0 0

Con esto, tenemos que: ⎛

0 ⎜0 ⎜ 2! ⎜ 1 2 2! (H5 ) = ⎜ ⎜0 2! ⎜ ⎝0 0

0 0 0 3! 1!·2!

0 ⎜0 ⎜ ⎜0 1 3 (H5 ) = ⎜ ⎜ 3! 3! ⎜ 3! ⎝0 0 ⎛

0 0 0 0

0 ⎜0 ⎜ ⎜0 1 4 (H5 ) = ⎜ ⎜0 4! ⎜ 4! ⎝ 4! 0

0 0 0 0 0 5! 3!·2!

0 0 0 0 0 0

5! 2!·3!

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

4! 2!·2!

0 0

0

0 0 0 0 4! 1!·3!

0

0 0 0 0 0 5! 1!·4!

0 0 0 0 0

93 109

⎞ ⎛ 0 0 ⎜1 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎟ · ⎜0 ⎜ 0⎟ ⎟ ⎜0 0⎠ ⎝0 0 0

0 0 2 0 0 0

0 0 0 3 0 0

0 0 0 0 4 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

0 0 0 0 0 5

⎞ ⎛ 0 0 0 0 0 ⎜0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎜�2� ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎟ = ⎜ 0 �3 � ⎜ 0⎟ 1 ⎟ ⎜0 �04� 0 0⎠ ⎝ 0 0 2 �05� 0 0 0 0 3

⎞ ⎛ 0 0 0 0 ⎜ ⎟ 0 0 0⎟ ⎜ 0 ⎜0 0 0 0⎟ ⎟ = ⎜�3� ⎜ 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ 0 �4� 0⎠ ⎝ 0 1 �05� 0 0 0 2 ⎞ ⎛ 0 0 0 ⎜0 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 0 0⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ 0⎟ ⎜�0� 0 0⎠ ⎝ 40 �0� 5 0 0 1

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

0 0 0 0 0 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos ⎛

0 ⎜0 ⎜ ⎜0 1 5 (H5 ) = ⎜ ⎜0 5! ⎜ ⎝0

0 0 0 0 0 0

5! 5!

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

Y de este modo,

⎞ ⎛ 0 0 ⎜0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎟=⎜ 0 ⎜ 0⎟ ⎟ ⎜0 ⎝0 ⎠ 0 �5� 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

I + H5 +

1 1 1 1 (H5 )2 + (H5 )3 + (H5 )4 + (H5 )5 2! 3! 4! 5!

⎛�0� �0 � ⎜ 1 ⎜�02� ⎜ �0 � =⎜ ⎜ 3 ⎜�04� ⎝ �05�

�01� �12� �13� �14� �15�

0

1

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

⎞ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 2 ⎟ 0 0 0 ⎟ 2 �3� �3� ⎟ 0 0 ⎟ �24� �34� �4� ⎠ �25� �35� �45� �05� 0 0 �� 2

3

4

5

Obteniendo en este caso, un resultado similar al anterior, en el que las entradas no ceros de la matriz triangular inferior son n´ umeros naturales que corresponden al tri´angulo de Pascal. Luego, podr´ıamos suponer que ocurre lo mismo para cada matriz Hn ; por tanto: ⎛ �0� ⎞ 0 ··· 0 0 0� � � � 1 1 ⎟ � ⎜ n � ⎜ �0� �1� �0� · · · 0 ⎟ � 1 2 2 2 ⎜ ··· 0 ⎟ (Hn )k = ⎜ 0 I+ ⎟ 1 2 ⎜ .. k! .. .. . . .. ⎟ k=1 ⎝ . . � . �⎠ �n� �n. � �n. � · · · nn 0 1 2

y con un salto al infinito, podemos comparar este resultado con la serie: � ∞ � � 1 k x e =1+ x k! k=1

en donde x es un n´ umero real cualquiera. Por tanto, si en lugar de 94 110


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Razonamientos no demostrativos

Razonamientos no demostrativos que x sea un n´ umero real ⎛ 0 ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝ .. .

colocamos la matriz H ⎞ 0 0 0 0 ··· 0 0 0 0 · · ·⎟ ⎟ 2 0 0 0 · · ·⎟ ⎟ 0 3 0 0 · · ·⎟ ⎟ 0 0 4 0 · · ·⎟ ⎠ .. .. .. . . . ··· . . .

y cambiamos el 1 por la matriz infinita I cuyas entradas todas son cero a excepci´on de la diagonal principal cuyas entradas son todas 1, podr´ıamos escribir que46: � ∞ � � 1 k H H . e =I+ k! k=1

IV. Inducci´ on en ciencias: Bacon La ciencia es la mejor aproximaci´on a lo que podr´ıamos llamar una verdad universal. Por lo que hemos dicho, el descubrimiento de nuevos conocimientos cient´ıficos no puede ser consecuencia del m´etodo deductivo y el m´etodo inductivo en su forma cl´asica no proporcionaba eficacia. El m´etodo inductivo en versi´on moderna fue desarrollado (Ferrater, 1986, pp. 10-12) por el ingl´es Francis Bacon (1561-1626), qui´en consider´o que el organon aristot´elico no era apropiado como m´etodo de descubrimiento, para que fuera considerado como fundamento de la ciencia; y en su lugar, destac´o la importancia de una observaci´on y experimentaci´on precisas, aport´o el m´etodo experimental inductivo, que consiste en: 1. Se re´ unen todos los hechos que sean posibles acerca de la naturaleza que se quiera investigar. 2. Se ordenan estos hechos seg´ un tres tablas: tabla de presencia (hechos en los que se da esa naturaleza o fen´omeno), tabla de ausencia (hechos en los que no se da), tabla de grados (hechos en que var´ıa). En la primera tabla se trata de reunir los hechos m´as dispares posibles; en 46 En palabras del profesor Luna: “el tri´ angulo de Pascal es el logaritmo de los n´ umeros naturales”.

95 111


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos cambio, en la tabla de ausencia se trata de recoger hechos semejantes a los de la primera tabla, pero tales que en ellos no se manifieste el fen´omeno. Ambas tablas deben ir coordinadas entre s´ı. 3. Se procede a la inducci´on propiamente dicha, la cual comienza por el procedimiento de exclusiones: excluir como forma aquello que no se encuentra cuando se da el fen´omeno, o que se encuentra cuando no se da, o que aumenta cuando el fen´omeno disminuye, o disminuye cuando el fen´omeno aumenta. La coordinaci´on de las dos primeras tablas facilita las exclusiones. Bacon insisti´o en la necesidad de abandonar los falsos supuestos, todos los prejuicios y actitudes preconcebidas, que obstruyen el camino de la verdadera ciencia y que llam´o en griego eidola o ´ıdolos de la mente: idola tribus tambi´en conocidos como ´ıdolos de la caverna, relacionados con las formas comunes de pensamiento, errores e ilusiones naturales para el ser humano; idola especus o de la especie con prejuicios propios del individuo, tambi´en llamados del cuarto de trabajo, donde se hace ´enfasis exagerado en las experiencias propias; o con los derivados del lenguaje conocido como idola fori o ´ıdolos del foro o del mercado donde se asume que distintas personas usan las mismas palabras para describir las mismas cosas; y finalmente los idola teatri o ´ıdolos del teatro donde aparecen ideas presentadas por los sistemas filos´oficos que constri˜ nen el libre pensar. En la inducci´on cl´asica se examinan fen´omenos particulares, se busca una hip´otesis, se comprueba si se aplica a tales fen´omenos y, en caso afirmativo, se convierte en un principio que explica lo que los fen´omenos particulares son en su esencia y esto no es modificable. Con Bacon, si descubrimos la esencia (forma), podremos modificar las propiedades (cualidades) o naturalezas de las cosas de un modo seguro, y no solo por el azar de experimentos no dirigidos como en la alquimia o la magia. Esta manera de ver permite mejorar la naturaleza, fabricar nuevos materiales, etc. Si examinamos el m´etodo y lo comparamos con la actividad inductiva en matem´aticas no notamos muchas diferencias, el experimento (en sentido mental) y el error, la nueva conjetura mejorada por los errores, por las excepciones, por los casos, por las clasificaciones resultantes del primer intento, las conjeturas ex´oticas o las que en primera instancia 96 112


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Razonamientos no demostrativos

Razonamientos no demostrativos desechamos, son formas mejoradas de inducci´on que aplicamos habitualmente en matem´aticas.

Ejemplo Criterios de paridad en cualquier base

N´ umeros pares

En los n´ umeros naturales queremos averiguar un criterio de divisibilidad por 2 cuando los n´ umeros est´an escritos en cualquier base, para ello escribimos algunos n´ umeros pares en distintas bases y observamos

2 10 100 110 1000 1010 1100 1110 10000 10010 10100 10110 11000

3 2 11 20 22 121 220 222 1001 1010 1012 1021 1100

N´ umero 4 5 2 2 10 4 12 11 20 13 22 20 30 22 32 24 100 31 102 33 110 40 112 42 120 44

de la base 6 7 8 2 2 2 4 4 4 10 6 6 12 11 10 14 13 12 20 15 14 22 20 16 24 22 20 30 24 22 32 26 24 34 31 26 40 33 30

9 2 4 6 8 11 13 15 17 20 22 24 26

10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

16 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18

Tabla 3.1 Una primera observaci´on est´a dirigida a la paridad de la u´ltima cifra que es lo que sucede en la base 10. Pero existen bases en las que un n´ umero par termina en impar, de hecho en todas las bases impares hay casos de estos. Una mejor observaci´on deja ver que hay dos grandes casos: las bases pares y las impares. Separamos el primer caso,

97 113


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N´ umeros pares

Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

2 10 100 110 1000 1010 1100 1110 10000 10010

Bases pares 4 6 8 10 2 2 2 2 10 4 4 4 12 10 6 6 20 12 10 8 22 14 12 10 30 20 14 12 32 22 16 14 100 24 20 16 102 30 22 18

16 2 4 6 8 A C E 10 12

Tabla 3.2

N´ umeros pares

Vemos que la paridad de la u´ltima cifra determina la paridad del n´ umero. Pero, como ya dijimos, esto no sucede en bases impares, Bases impares 3 5 7 9 2 2 2 2 11 4 4 4 20 11 6 6 22 13 11 8 121 20 13 11 220 22 15 13 222 24 20 15 1001 31 22 17 1010 33 24 20 Tabla 3.3 La tabla 3.3 nos sugiere que en este caso la paridad est´a determinada por la suma de las cifras del n´ umero. Inducimos que en toda base impar un n´ umero es par si la suma de sus cifras es par. Para demostrar que estas inferencias inductivas tienen una conclusi´on verdadera debemos hacer una demostraci´on. 98 114


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Razonamientos no demostrativos

Razonamientos no demostrativos Prueba: un n´ umero m = an . . . a3a2a1 a0 escrito en base k corresponde con m = an k n + · · · + a3 k 3 + a2 k 2 + a1 k + a0 a. Si k es par, entonces k = 2p, k 2 = 4p2 = 2(2p2 ) es par y para cualquier n, k n = 2(2n−1 pn ) es par. Adem´as, ai k i = ai (2r) = 2(ai r) es par para todo ai con i = 1, . . . , n y an k n + · · · + a3k 3 + a2 k 2 + a1k es suma de n´ umeros pares, por consiguiente debe ser par. Si a0 es par, n es par; si a0 es impar, n es impar. b. Si k es impar, entonces k = 2p+1, y k 2 = 4p2 +4p+1 = 2(2p2 +2p)+1 es impar y para cualquier n, k n = (2p+1)n tiene como u ´ltimo t´ermino 1, y en todos los dem´as est´a 2, o sea es un n´ umero de la forma 2t + 1, es un n´ umero impar47. Ya no podemos garantizar que cada t´ermino en la suma an k n + · · · + a3k 3 + a2k 2 + a1k sea un n´ umero impar, pero s´ı que k n − 1 = 2t es par48 para cualquier n. Esto significa que an (k n − 1) + · · · + a3(k 3 − 1) + a2(k 2 − 1) + a1(k − 1) es un n´ umero par, pero m =an k n + · · · + a3k 3 + a2k 2 + a1k + a0 =[an(k n − 1) + · · · + a3 (k 3 − 1) + a2(k 2 − 1) + a1(k − 1)] + (an + · · · + a1 + a0 ) Y como la expresi´on entre el par´entesis cuadrado es par, m ser´a par si la suma de sus cifras an + · · · + a1 + a0 es par.

3.1.4.

Falacias del razonamiento inductivo

Las falacias en el razonamiento inductivo son mucho m´as numerosas que en el razonamiento deductivo puesto que el m´etodo en s´ı mismo es falible, pero las podemos agrupar en dos grupos: la generalizaci´ on precipitada cuando el n´ umero de casos citados es insuficiente o pueden calificarse de coincidencias y la generalizaci´ on irrelevante cuando los datos no son representativos. 47 Esta afirmaci´ on es una inducci´on que parece deducci´on, la prueba debe hacerse por el m´etodo de la inducci´on matem´ atica. 48 Esta afirmaci´on tambi´en debe probarse por inducci´ on matem´ atica.

99 115


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos No importa que hagamos verificaciones en un gran n´ umero de casos, esto no garantiza la veracidad de una afirmaci´on intuida.

Ejemplos 1. Si observamos la secuencia 62 84 46 22

es es es es

divisible por divisible por divisible por divisible por .. .

2 2 2 2

podemos inducir que todos los n´ umeros cuya cifra de las unidades es par, es divisible por 2. Pero con las mismas observaciones iniciales podemos obtener otras conclusiones, por ejemplo, que todos los n´ umeros de dos cifras son divisibles por 2, o que todos los n´ umeros cuya suma de cifras sea par son divisibles por 2. Pero estos constituyen ejemplos de generalizaciones irrelevantes pues hay n´ umeros de dos cifras que no son pares y tambi´en hay n´ umeros cuya suma de cifras es par y no son divisibles por 2, por ejemplo 11, 3333, etc. 2. De la secuencia 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, . . . podemos inferir que el siguiente n´ umero es 200 ¿por qu´e? Todos los nombres en espa˜ nol de estos n´ umeros inician con D ¿Es esto una falacia? 3. De la secuencia ocho, catorce, dieciocho, diez,

cuatro siete nueve ¿?

Podemos inducir que el n´ umero que sigue frente al “diez” es “cuatro”, pues es el n´ umero de letras del nombre del n´ umero que aparece en la primera columna. O podemos inducir que es “cinco” porque cada n´ umero de la columna derecha es la mitad del de la columna izquierda ¿Es esto una falacia? 100 116


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Razonamientos no demostrativos

Razonamientos no demostrativos 4. En los n´ umeros perfectos. Los primeros 6 n´ umeros perfectos son: 6 =1 + 2 + 3 28 =1 + 2 + 4 + 7 + 14 496 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 8128 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016+ 2032 + 4064 33550336 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024+ 2048 + 4096 + 8191 + 16382 + 32764 + 65528 + 131056+ 262112 + 524224 + 1048448 + 2096896 + 4193792+ 8387584 + 16775168. Con estos ejemplos podemos inducir que el siguiente n´ umero perfecto termina en 8, pero no. El siguiente es 8589869056. Como ya dijimos Euclides demostr´o que los n´ umeros perfectos pares tienen la forma 2n−1 (2n − 1) si (2n − 1) es un n´ umero primo49. 6 = 21 (22 − 1) 28 = 22 (23 − 1) 496 = 24 (25 − 1) 8128 = 26 (27 − 1) A partir de estos ejemplos podemos conjeturar por inducci´on que el siguiente n´ umero perfecto debe corresponder a la f´ormula anterior con el siguiente n´ umero primo n = 11; pero no, 211 − 1 = 2047 = 23 × 89 no es un n´ umero primo y por tanto la f´ormula no genera un n´ umero perfecto. Y como el primero tiene una cifra, el segundo 2, el tercero 3 y el cuarto 4; el quinto deber´ıa tener 5 cifras y tampoco, tiene 8 cifras! El quinto es 33550336 = 212 (213 − 1). Conocidos ahora como primos de Mersenne. Euler demostr´o en el siglo XVIII que todos los n´ umeros perfectos pares se generan a partir de la f´ormula de Euclides. 49

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos El sexto est´a cerca a ocho mil millones y el octavo tiene 19 cifras. En septiembre de 2007, se conoc´ıan solamente 44 n´ umeros perfectos, los correspondientes a: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657. Este u ´ltimo tiene 19616714 cifras escrito en base 10. En Abril de 2010, se descubri´o otro, el correspondiente a n = 43112609 con casi trece millones de cifras. No se sabe si hay infinitos n´ umeros perfectos. 5. Si observamos50 las descomposiciones del binomio51 xn − 1, donde n es un n´ umero natural, en factores cuyos coeficientes sean enteros, para los primeros seis casos obtenemos: x − 1 = x − 1, x2 − 1 = (x − 1)(x + 1), x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1), x4 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1), x5 − 1 = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1), x6 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1), .. . De estas observaciones podemos inducir que los valores absolutos de todos los coeficientes de estas descomposiciones no pasan de uno. Pero V. K. Ivanov mostr´o que esta propiedad la tienen todos los binomios xn − 1 de grado menor que 105 ya que uno de los factores de x105 − 1 es el polinomio: Este y los siguientes tres ejemplos laboriosos y famosos son tomados de: Sominski (1975, pp. 9-12). 51 Este polinomio est´a relacionado con el problema de la divisi´on de la circunferencia en n partes iguales. 50

102 118


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Razonamientos no demostrativos

Razonamientos no demostrativos x48 + x47 + x46 − x43 − x42 − 2x41 − x40 − x39 + x36 + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 − x28 − x26 − x24 − x22 − x20 + x17 + x16 + x15 + x14 + x13 + x12 − x9 − x8 − 2x7 − x6 − x5 + x2 + x + 1 que no verifica la propiedad.

6. En el siglo XVII, G. W. Leibniz, demostr´o que para todo entero positivo umero n5 − n es divisible n, el n´ umero n3 − n es divisible por 3, el n´ 7 por 5 y el n´ umero n − n es divisible por 7. De aqu´ı supuso que para todo k impar y cualquier n natural, el n´ umero nk − n es divisible por 9 k, pero insistiendo not´o que 2 − 2 = 510 no es divisible por 9. 7. D. A. Grave, matem´atico sovi´etico, supuso que para todo n´ umero primo p el n´ umero 2p−1 −1 no es divisible por p2 . La hip´otesis se confirm´o para todos los n´ umeros p menores que 1000, pero 21092 − 1 es divisible por 10932 (1093 es un n´ umero primo); la hip´otesis de Grave result´o falsa. 8. Despu´es de analizar algunos casos particulares, se puede sospechar que umero cuadrado. Pero para todo n la expresi´on 991n2 + 1 no es un n´ existen algunos que s´ı, el valor m´ınimo de n para el cual es un cuadrado el n´ umero 991n2 + 1, es: n = 12.055.735.790.331.359.447.442.538.767 9. Un ejemplo ma ´s numeroso: si queremos comparar los nu ´meros 52 b

b(b )

y

bbb

escritos en una base cualquiera k, basta53 comparar los exponentes, puesto que la base es la misma, o sea bb

y

kb + b,

para que el primero sea mayor, es necesario que b(b−1) > (k + 1), 52 bb b debe entenderse como un n´ umero b como base y un n´ umero bb como exponente escrito en base k, es decir bb = kb + b (Luque et al., 2002, p. 152). 53 Esto se debe a que si x < y entonces ax < ay , donde, a, x, e y son n´ umeros naturales.

103 119


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos donde hemos dividido por b ambas expresiones (suponiendo naturalmente que b no es 0). Si b es 4 la expresi´on es cierta hasta base 62, donde b(b−1) es 43 = 12 (64 en base 10) y k + 1 = 11 (63 en base 10). Si b = F , en bases mayores o iguales a 16, la desigualdad FF > FF es v´alida hasta en la base F (F −1) − 2, o sea en base 1615 − 2 que es cercana a un trill´on. ¡Esta es una f´ormula que es v´alida en m´as de un trill´on de casos, pero no en todos los casos! Y a medida que b aumente el n´ umero de excepciones es mayor. 10. ¿En cu´antas partes divide el espacio n planos pasando todos por un mismo punto sin que pasen nunca tres por una misma recta? Consideremos algunos casos particulares elementales de este problema. Un plano divide el espacio en dos partes. Dos planos, con un punto com´ un, dividen el espacio en cuatro partes. Tres planos que pasan por un mismo punto, pero no tienen recta com´ un, dividen el espacio en ocho partes. A primera vista parece que, al aumentar en uno el n´ umero de planos, la cantidad de partes en que queda dividido el espacio se duplica y, por consiguiente, cuatro planos lo dividen en 16 partes, cinco lo dividen en 32 partes y, en general, n planos dividen el espacio en 2n partes. Pero la realidad es otra: cuatro planos dividen el espacio en 14 partes, cinco planos lo dividen en 22 partes, seis en 32 partes, siete en 44 y as´ı sucesivamente. Observemos con mayor cuidado la secuencia en tabla 3.4: No. planos No. partes

1 2

2 4

3 8

4 14

Tabla 3.4 104 120

5 22

6 32

7 44


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Razonamientos no demostrativos

Razonamientos no demostrativos A partir de lo anterior observamos que: 2=2 4= 2+2 8 = 4 + 4 = [2 + 2] + 4 = 2 + (2 + 4) 14 = 8 + 6 = [2 + (2 + 4)] + 6 = 2 + (2 + 4 + 6) 22 = 14 + 8 = [2 + (2 + 4 + 6)] + 8 = 2 + (2 + 4 + 6 + 8) 32 = 22 + 10 = [2 + (2 + 4 + 6 + 8)] + 10 = 2 + (2 + 4 + 6 + 8 + 10) 44 = 32 + 12 = [2 + (2 + 4 + 6 + 8 + 10)] + 12 = 2 + (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12) Los n´ umeros en negrilla, son las cantidades que se van sumando al siguiente n´ umero a partir del anterior. Organizando una vez m´as los n´ umeros anteriores en una tabla, tenemos: No. planos 1 2 3 4 5 6 7

No. partes 2 4 = 2 + 2(1) 8 = 2 + 2(1 + 2) 14 = 2 + 2(1 + 2 22 = 2 + 2(1 + 2 32 = 2 + 2(1 + 2 44 = 2 + 2(1 + 2

+ + + +

3) 3 + 4) 3 + 4 + 5) 3 + 4 + 5 + 6)

Tabla 3.5 lo cual nos hace sospechar que n planos que contienen un mismo punto y que cada tres no tienen una recta en com´ un dividen al espacio en 2 + 2(1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1)) partes. Si llamamos Sn al n´ umero de partes que estos planos dividen al espacio, conjeturamos que: Sn = 2 + 2(1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1)). Sabemos que 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) =

n(n−1) 2

por tanto,

Sn = 2 + 2(1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1))   n(n − 1) = 2 + n(n − 1). =2+2 2 105 121


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 11. Un ejemplo que se cumple en cualquier caso finito (Castro, 2002, pp. 207-209): si en un tri´angulo rect´angulo is´osceles de cateto 1 cm se divide cada cateto por la mitad y trazamos una curva que est´a sobre la hipotenusa del tri´angulo rect´angulo como se indica en la figura 3.5, observamos que la longitud de esta curva es 2 cm.

Figura 3.5 Dividamos ahora cada cateto en cuatro partes iguales y tracemos la curva que est´a sobre la hipotenusa del tri´angulo rect´angulo como se indica en la figura 3.6. De nuevo, la longitud de esta curva es tambi´en 2 cm.

Figura 3.6 Si dividimos cada cateto en ocho partes iguales y trazamos la curva que est´a sobre la hipotenusa del tri´angulo rect´angulo como en la figura 3.7. Una vez m´as, la longitud de esta curva es 2 cm. 106 122


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Razonamientos no demostrativos

Razonamientos no demostrativos

Figura 3.7 Dividiendo cada cateto en 16, 32, 64, . . . partes iguales y trazando una curva que est´a sobre la hipotenusa del tri´angulo rect´angulo, en forma similar a la de los casos anteriores, es claro que para cada uno de los casos la longitud de esta curva tambi´en es 2 cm.

Figura 3.8 Por tanto, a medida que se va tomando la divisi´on m´as fina, la curva va tendiendo hacia la hipotenusa del tri´angulo y a la vez su longitud es de 2 cm, luego, podemos concluir inductivamente que: “la longitud de la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo is´osceles de cateto 1 cm es 2 cm”. ¿Es esto una generalizaci´on precipitada? Cuando nos apoyamos en gr´aficos para hacer inferencias inductivas, debemos tener en cuenta las limitaciones de nuestros sentidos y de los instrumentos de medida que utilizamos para describir una situaci´on. Para ilustrar este tipo de dificultades, observemos la figura 3.9, donde aparentemente disposiciones diferentes de los mismos objetos geom´etricos, reportan ´areas diferentes: 107 123


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

Figura 3.9

Ejercicios 1. De manera an´ aloga a los n´ umeros triangulares, cuadrados y pentagonales, los n´ umeros hexagonales se pueden representar de la siguiente manera:

Figura 3.10 ¿Cu´antos puntos hay en cada hex´agono? ¿Cu´antos puntos hay en un hex´ agono que tenga 5 puntos por lado, 6, 7? ¿Cu´ antos en un hex´ agono con n puntos por lado? Establezca una expresi´on general que permita saber cu´al es la suma de los primeros n n´ umeros hexagonales. 2. La pir´ amide de la figura 3.11 est´ a conformada por tres pisos, en el piso inferior hay 9 puntos, en el siguiente 6, en el superior de ´este 3 y en la cima solo hay un punto. ¿Cu´ antos puntos hay en total? ¿Cu´antos en una pir´ amide de 7 pisos? ¿De 8?... ¿De n? 108 124


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Razonamientos no demostrativos

Figura 3.11

3.2.

El razonamiento abductivo

La abducci´ on (del lat´ın abductio y esta palabra de ab-desde lejos-ducere llevar) o retroducci´ on es un tipo de razonamiento que consiste en asumir una hip´otesis para explicar hechos observados a partir de una regla conocida, es inferir la causa de un resultado teniendo en cuenta una regla y el resultado, de los efectos inferimos las causas; es un acto de adivinaci´on de las causas o antecedentes, considerando este adivinar como un poder instintivo (Kapitan, 1992, 8); abduction est´a relacionado con la apagog´e de Arist´oteles, y se hace corresponder con la palabra latina abductio traducida por Julius Pacius (Baldwin, 1905). En muchos casos las abducciones surgen como conjeturas espont´aneas producto de la imaginaci´on y del instinto. Peirce habla del musement, un momento m´as instintivo que racional en el que hay un flujo de ideas, hasta que de pronto se ilumina la sugerencia, seg´ un el mismo Peirce (1935), la “abducci´on es el primer paso del razonamiento cient´ıfico”, ya que desde el inicio se efect´ ua una restricci´on de hip´otesis aplicables a un fen´omeno y “es la u ´nica forma de razonar que realmente puede incrementar nuestro saber”; opina que solo la abducci´on est´a totalmente dedicada al enriquecimiento cognitivo aunque con cierto riesgo de error. En palabras de Peirce (1935): Lo que hace la explicaci´on de un fen´ omeno es proporcionar una proposici´on que, si se hubiera sabido que era verdadera antes de que el fen´ omeno se presentase, hubiera hecho el fen´omeno predecible, si no con certeza, al menos como algo muy probable. As´ı pues, hace el

109 125


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos fen´ omeno racional, es decir, lo convierte en una consecuencia l´ogica, ya sea necesaria o probable. (Traducci´on libre).

Cuando abducimos reconocemos semejanzas entre objetos y suponemos que existen relaciones m´as profundas que los vinculan, ampliamos el alcance de la semejanza entre objetos, en la inducci´on generalizamos alguna caracter´ıstica com´ un de objetos observados a todos los objetos de una clase; esto es, ampliamos el conjunto de individuos semejantes. De nuevo si recurrimos a la explicaci´on de Peirce: Mediante la inducci´ on, concluimos que hechos similares a los hechos observados son verdaderos en casos no examinados. Mediante la hip´otesis, concluimos la existencia de un hecho muy diferente de todo lo observado, del cual, seg´ un las leyes conocidas, resultar´ıa necesariamente algo observado. El primero es un razonamiento de los particulares a la ley general; el segundo, del efecto a la causa. El primero clasifica, el segundo explica. (Traducci´ on libre).

Para Plat´on la hip´otesis es un supuesto del que se extraen consecuencias, se distingue del axioma que se admite verdadero, mientras que la hip´otesis puede ser falsa, solo se postula. Desde el punto de vista de la l´ogica formal la abducci´on puede ser incluida dentro de la falacia de afirmar el consecuente; pero si se conocieran todas las consecuencias del antecedente, el razonamiento no ser´ıa ya falacia. Los tres procesos b´asicos de razonamiento: deducci´on, συναγωγ η´ (sinagog´e) o αναγωγ η´ (anagog´e), inducci´on ε´παγωγ η´ (epagog´e) de Arist´oteles y Plat´on y abducci´on α ´ παγωγ η´ (apagog´e) no se dan en forma aislada, siempre aparecen juntos, se articulan e integran en los procesos de creaci´on. La abducci´on propone hip´otesis, la deducci´on extrae las consecuencias de la hip´otesis y la inducci´on las verifica. En la ense˜ nanza y aprendizaje de las matem´aticas seg´ un m´etodos expositivos tradicionales poco se ejercita la inducci´on y la abducci´on y pocas veces los estudiantes tienen la opci´on de crear hip´otesis, evaluarlas y validarlas. Si en los problemas que planteamos en la clase de matem´aticas permitimos la formulaci´on de hip´otesis, la realizaci´on de inducciones, inferencias, conjeturas y analog´ıas, seguramente el pensamiento creativo tendr´ıa m´as desarrollo. Sin embargo, debemos tener conciencia de nuestras limitaciones en el uso de la abducci´on y de la inducci´on; ellas no tiene la validez l´ogica de una deducci´on, en ambos casos la conclusi´on afirma m´as de lo que puede inferirse 110 126


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Razonamientos no demostrativos de las premisas y por ello debe ser confirmada. Una abducci´on es correcta si la regla elegida para explicar la conclusi´on se confirma tantas veces que su probabilidad, pr´acticamente, equivale a una razonable certeza y si no existen otras reglas que expliquen igualmente bien o mejor los fen´omenos en cuesti´on. Popper (2002), en su The logic of scientific discovery, dice: El m´etodo cient´ıfico tiene dos partes, una inventiva y otra demostrativa. La primera ayuda a elaborar buenas hip´ otesis, la segunda a probarlas. (Traducci´ on libre).

Pero aclara que ´el s´olo hablar´a de la segunda, de c´omo probar hip´otesis; pues el modo de obtenerlas depende del genio y no puede ense˜ narse.

3.3.

Argumentaci´ on por analog´ıa

La argumentaci´on por analog´ıa, el παραδειγμα (paradeigma) de Arist´oteles, es una mezcla entre inducci´on y abducci´on, fundamental en los procesos de descubrimiento, Peirce (1935) afirma: El argumento por analog´ıa, que un popular escritor de l´ ogica llama razonamiento de particulares a particulares, deriva su validez de combinar los caracteres de la inducci´on y la hip´ otesis, siendo analizable ya sea en una deducci´ on, o en una inducci´ on, o en una hip´ otesis y una deducci´ on. (Traducci´ on libre).

La abducci´on, maneja semejanzas, similaridades o analog´ıas, y la inducci´on tambi´en lo hace. Pero la abducci´on tambi´en toma en cuenta las diferencias, la analog´ıa se da tanto en la inducci´on como en la abducci´on, la captaci´on de analog´ıas est´a presupuesta en la abducci´on. El razonamiento anal´ ogico, conocido tambi´en como argumento a simili (semejante) o argumento a pari (igual), supone que las propiedades de un objeto conocido las tiene otro que tratamos de conocer y que es semejante al primero; de un caso particular se pasa a otro caso particular. “Ante una situaci´on desconocida usamos la memoria para compararla con experiencias anteriores y buscar posibles soluciones por analog´ıa” (Castro, 2002, p. 214), dado un problema particular observando otros problemas an´alogos se construye un problema general, del cual este es un caso particular y lo que se busca es resolver el problema general. 111 127


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Es una forma d´ebil de inducci´on, en esta tenemos certeza de la verdad de algunos ejemplos y pasamos a la verdad de otro. En la analog´ıa se asume la verdad de una afirmaci´on a partir de que una situaci´on similar es verdadera; podemos esquematizarlos en la forma: p es q x es parecido a p Luego x ser´a probablemente q Pero debemos enfatizar que un razonamiento anal´ogico no es demostrativo, no es concluyente, para convertirlo en demostrativo debemos lograr una deducci´on. Para hacer analog´ıas basta un ejemplo, es m´as concluyente si son varios, y si el n´ umero de casos es significativo, podemos convertir una analog´ıa en una inducci´on. Detr´as de una analog´ıa hay una raz´on que se puede aplicar a casos diferentes, es la raz´on suficiente (ratio legis, ratio decidendi de una sentencia), es la semejanza relevante que permite una conclusi´on razonable. Pero tambi´en existen diferencias, y para que la analog´ıa sea v´alida las diferencias deben ser irrelevantes. Este tipo de razonamiento es fundamental para comunicarnos pues nos permite asumir la posici´on del otro, formular conjeturas para predecir c´omo ser´an las cosas de las que no tenemos certeza, basados en nuestras experiencias. En matem´aticas puede tomar la forma de una falacia, la afirmaci´on del consecuente, donde en un teorema tenemos que: A implica B es verdadero, afirmamos que B es verdadero, entonces concluimos que A es verdadero. Pero puede ser u ´til conjeturar que B es verdadero y procurar conclusiones deductivas a partir de ´el, y si no conseguimos una contradicci´on, podemos conseguir ideas fruct´ıferas u otras teor´ıas. Por supuesto esto no afirma la verdad de A. Otra posibilidad es partir de A implica B, C y D y de la suposici´on de la verdad de B, C, o D concluir la probabilidad de la verdad de A. 112 128


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Razonamientos no demostrativos

Razonamientos no demostrativos

Ejemplos I. Abducci´ on en ciencias 1. Johannes Kepler hizo una abducci´on cuando estudiando las longitudes observadas de Marte supuso que la o´rbita era una elipse, luego observ´o que los datos se ajustaban a esta hip´otesis y extendi´o su hip´otesis a los otros planetas (Goldstein et al., 2002, pp. 99-102). 2. La hip´otesis del a´tomo de Dalton sirvi´o para explicar la ley de la conservaci´on de la materia, la ley de proporciones definidas y la ley de las proporciones m´ ultiples; luego se convirti´o en la teor´ıa at´omica. 3. En la f´ısica cl´asica se tiene evidencia experimental de que la cantidad de movimiento de un sistema aislado se conserva, si suponemos que el espacio es homog´eneo entonces obtenemos como consecuencia que la cantidad de movimiento de un sistema aislado se conserva. 4. La hip´otesis de la gravedad en Newton, publicada en Los Principia, se convirti´o en la teor´ıa de la gravedad luego de un gran n´ umero de verificaciones experimentales. 5. La hip´otesis corpuscular de la luz permiti´o explicar fen´omenos como la reflexi´on y la propagaci´on rectil´ınea. 6. La hip´otesis ondulatoria de la luz permiti´o explicar fen´omenos como la difracci´on y la interferencia de la luz. II. Abducci´ on en c´ alculo 1. En el periodo 1615-1660, Kepler, Cavalieri, Torricelli, Pascal, Fermat, Wallis, Gregory, Barrow usaron n´ umeros infinitesimales para hallar cuadraturas y tangentes a curvas, suponiendo que estos n´ umeros ten´ıan en algunos casos comportamientos como los n´ umeros usuales pero en otros ten´ıan comportamientos extra˜ nos. Su uso permiti´o el desarrollo de las t´ecnicas del c´alculo que posteriormente se formalizaron en el c´alculo diferencial e integral actuales (Boyer, 1959; Keisler, 1976). 2. Leibniz (1646-1716) demostr´o que la suma de la serie de los inversos de los n´ umeros triangulares se obtiene como una serie telesc´opica en 113 129


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos la forma:   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + ··· = 2 + + + + + ··· 3 6 10 15 2 6 12 20 30       1 1 1 1 1 + + − − =2 1− 2 2 3 3 4    1 1 − + ··· + 4 5      1 1 1 1 =2 1+ − + + − + 2 2 3 3      1 1 1 1 + − + + − + + ··· = 2 4 4 5 5 Pero supuso, sin demostraci´on, que las series infinitas se comportan como las sumas finitas, lo que invalida la demostraci´on, pero no le quita su inmenso valor como ejemplo de abducci´on. Johann Bernoulli us´o este resultado para “demostrar” que la serie arm´onica 1 1 1 1 A = 1+ + + + ··· + + ··· 2 3 5 n+1 es divergente. Para ello consider´o las series: 1 2 3 n B= + + + ··· + + ··· = A − 1 2 6 12 n(n + 1) resultado de escribir A − 1 de manera que los numeradores de A sean la serie de los n´ umeros naturales. Y la serie de Leibniz de los rec´ıprocos de los n´ umeros triangulares con cada t´ermino dividido por 2: 1 1 1 1 + + ··· , C= + + 2 6 12 20 luego eliminando un sumando en cada paso hace 1 1 1 + + ··· , D= + 6 12 20 1 1 1 + + + ··· , E= 12 20 30 1 1 1 + + + ··· , F = 20 30 56 y as´ı sucesivamente.

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Razonamientos no demostrativos

Enseguida, Bernoulli sum´o las igualdades t´ermino a t´ermino para obtener:     1 1 1 1 1 1 C + D + E + ··· = + + + + + 2 6 6 12 12 12   1 1 1 1 + + + + + ··· 20 20 20 20 =

1 2 3 4 + + + + · · · = B = A − 1. 2 6 12 20

Entonces usa el resultado de Leibniz C=

1 1 1 1 + + + + ··· = 1 2 6 12 20

Y nota que D=C−

1 1 1 = 1− = 2 2 2

E =D−

1 1 1 1 = − = 6 2 6 3

F =E−

1 1 1 1 = − = 12 3 12 4

y as´ı sucesivamente. O sea que C + D + E + ··· = A En conclusi´on A − 1 = A. Pero esto es absurdo, a menos que A sea una cantidad infinitamente grande. Pues si dividimos la igualdad entre A, tenemos que 1 1− = 1 A O sea que 1 =0 A 115 131


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Esto signiďŹ ca que la serie arm´onica diverge. Esta demostraci´on tiene la diďŹ cultad de que se asigna un valor A a una serie de la que no sabemos si tiene un valor ďŹ nito y supone que A se comporta como un n´ umero usual, asume como v´alido el resultado de Leibniz. No es una deducci´on, es otro ejemplo de abducci´on. 3. Un c´ alculo asombroso: Euler(1707-1783) logr´o calcular correcta1 mente el valor al cual converge â&#x2C6;&#x17E; k=1 k2 suponiendo que ciertas leyes que se cumplen en los casos ďŹ nitos tambi´en se tienen en los inďŹ nitos (Acevedo y Falk, 1994, pp. 2-3), veamos: 3 5 7 En primera instancia Euler supone que sen x = x â&#x2C6;&#x2019; x3! + x5! â&#x2C6;&#x2019; x7! + x9 â&#x2C6;&#x2019; ¡ ¡ ¡ puede usarse para escribir: 9! P (x) =

 x 1â&#x2C6;&#x2019;

x3 3!

=

xâ&#x2C6;&#x2019;

=

sen x x

x2 3!

+

x4 5!

+

x5 5!

â&#x2C6;&#x2019; x7! + x

â&#x2C6;&#x2019; x 7

x6 7!

+

x8 9!

x9 9!

â&#x2C6;&#x2019; ¡¡¡

â&#x2C6;&#x2019; ¡¡¡



o lo que es igual, P (x) = 1 â&#x2C6;&#x2019;

x2 x4 x6 x8 + â&#x2C6;&#x2019; + â&#x2C6;&#x2019; ¡¡¡ 3! 5! 7! 9!

Luego, factoriza P (x) como,      x2 x2 x2 x2 P (x) = 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 1â&#x2C6;&#x2019; 2 1â&#x2C6;&#x2019; 2 1â&#x2C6;&#x2019; ¡¡¡ Ď&#x20AC; 4Ď&#x20AC; 9Ď&#x20AC; 16Ď&#x20AC; 2 argumentando su validez en que ambas expresiones tienen las mismas ra´Ĺces. Al desarrollar esta u ´ltima expresi´on, obtiene que   1 1 1 1 x2 + ¡ ¡ ¡ + + + P (x) = 1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC; 2 4Ď&#x20AC; 2 9Ď&#x20AC; 2 16Ď&#x20AC; 2 116 132


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Razonamientos no demostrativos Entonces al igualar los coeficientes de x2 de la expresi´on anterior con la inicial para P (x) encuentra que:   1 1 1 1 1 + ··· − =− 2 + 2 + 2 + 3! π 4π 9π 16π 2   1 1 1 1 + ··· =− 2 1+ + + π 4 9 16 luego, ∞  1 1 π2 1 1 + + + · · · = . = 1 + k2 4 9 16 6 k=1

4. Wallis (1616-1703) us´o la abducci´on y la inducci´on para conseguir muchos resultados en c´alculo infinitesimal, para ello us´o f´ormulas polinomiales para la suma de potencias enteras de los primeros n enteros, que aparecen sin justificaci´on en el Arithmetica Infinitorum publicado en 1656. Entre sus resultados (Acevedo y Falk, 1994, p. 5), consideremos la raz´on de la suma de una sucesi´on (de una potencia fija) con una serie de t´erminos constantes todos iguales al valor m´as grande que aparece en la suma. 0k + 1k + 2k + · · · + nk nk + nk + nk + · · · + nk Si k = 1, 1 0+1+2 = 2+2+2 2

0+1+2+3 1 = 3+3+3+3 2

0+1+2+3+4 1 = 4+4+4+4+4 2

etc.

Cuando n se incrementa, la raz´on se mantiene fija en 12 . Pues para todo n´ umero natural n tenemos que 1 + 2 + · · · + n = n(n+1) y el 2 1 denominador es n(n + 1). Wallis llama al 2 , la raz´on caracter´ıstica del ´ındice k = 1. 117 133


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Si k = 2, 1 1 02 + 12 = + 2 2 1 +1 3 6 1 02 + 12 + 22 1 = + 2 2 2 2 +2 +2 3 12 02 + 12 + 22 + 32 1 1 = + 2 2 2 2 3 +3 +3 +3 3 18 1 02 + 12 + 22 + 32 + 42 1 = + 2 2 2 2 2 4 +4 +4 +4 +4 3 24 Wallis induce que el lado derecho de las ecuaciones es 1 1 + 3 6n Y asumi´o que su resultado era v´alido para valores de k fraccionarios, negativos (excepto para −1), e irracionales, lo que abri´o la posibilidad de considerar como exponentes, n´ umeros diferentes a los n´ umeros naturales. 5. En una carta del 24 de octubre de 1676, Isaac Newton muestra su proceso de descubrimiento de la serie binomial, seg´ un lo relata Boyer (1987, p. 496): Se encontr´ o en la obra de Wallis con el c´ alculo de a´reas (desde x = 0 hasta x = x) encerradas por curvas cuyas ordenadas eran de la forma (1−x2 )n . Examinando las ´areas que se obten´ıan para exponentes n iguales a 0, 1, 2, 3, etc., descubri´ o (inducci´ on) que el primer t´ermino siempre era x, el segundo t´ermino era − 03 x3 o − 13 x3 ´ ´ o − 23 x3 ´ o − 33 x3 , seg´ un que el exponente n fuera 0, 1, 2 o 3 y as´ı sucesivamente. Por lo tanto, aceptando el principio de ´ interc´alculo o interpolaci´ on de Wallis, supuso (abducci´ on) que los dos primeros t´erminos que aparezcan en el ´area para n = 12 deber´ıan ser 1 3 x x− 2 3

118 134


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Razonamientos no demostrativos Y, de la misma manera, procediendo por analog´ıa, encontr´o los t´erminos siguientes, siendo los cinco primeros x−

1 3 2x

3

1 5 8x

5

1 7 16 x

7

5 9 128 x

9

Posteriormente comprob´o Newton que se podr´ıa haber obtenido el mismo resultado deduciendo primero que 1 1 1 1 5 8 (1 − x2 ) 2 = 1 − x2 − x4 − x6 − x −··· 2 8 16 128

por medio de una interpolaci´ on an´ aloga a la anterior, y despu´es hallando el a´rea por integraci´ on de la serie t´ermino a t´ermino. (Cursivas fuera del texto).

En particular, si el exponente es un entero negativo aparecen series infinitas como: 1 = (1 + x)−1 1+x (−1)(−1 − 1) 2 x 2 (−1)(−1 − 1)(−1 − 2) 3 x + ··· + 6 = 1 − x + x2 − x3 + · · · = 1 + (−1)x +

Y para expresiones con radicales, aparecen series como: √ 1 1 + x = (1 + x) 2 ( 1 )( 1 − 1) 2 ( 12 )( 12 − 1)( 12 − 2) 3 1 x + x + ··· = 1+ x+ 2 2 2 2 2·3 1 1 1 = 1 + x − x2 + x3 + · · · 2 8 16 Pero en estas “demostraciones” no hace ninguna referencia a la convergencia de las series y como en el ejemplo anterior hay muchas hip´otesis sobre su comportamiento. Es una abduccio´n no una deducci´on.

119 135


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 6. Para la extracci´on de ra´Ĺces cuadradas, Newton propone (Newman, 1997, pp. 108-115): m

(P + P Q) n = P

m n

+

m mâ&#x2C6;&#x2019;n AQ + BQ n 2n m â&#x2C6;&#x2019; 3n m â&#x2C6;&#x2019; 2n CQ + DQ + ¡ ¡ ¡ + 3n 4n

donde A, B, C, . . . son los t´erminos inmediatos que les preceden en el desarrollo. Es decir, A, B, C, . . . se obtienen de forma recurrente, pues cada uno representa el t´ermino anterior en la suma del segundo miembro. O sea que m

A=Pn m m m B = AQ = P n Q n n   mâ&#x2C6;&#x2019;n mâ&#x2C6;&#x2019;n m m n C= BQ = P Q Q 2n 2n n ( m )( m â&#x2C6;&#x2019; 1) m 2 P nQ = n n 2 m â&#x2C6;&#x2019; 2n m â&#x2C6;&#x2019; 2n CQ = D= 3n 3n =



 m )( â&#x2C6;&#x2019; 1) (m m n n P n Q2 Q 2

(m )( m â&#x2C6;&#x2019; 1)( m â&#x2C6;&#x2019; 2) m 3 n n n P nQ 2¡3

y as´Ĺ sucesivamente. De esta forma, se obtiene: m

m

m

m

(P + P Q) n = (P (1 + Q)) n = P n (1 + Q) n  ( m )( m â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 m m Q =P n 1+ Q+ n n n 2 ( m )( m â&#x2C6;&#x2019; 1)( m â&#x2C6;&#x2019; 2) 3 n Q + ¡¡¡ + n n 2¡3 120 136




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Razonamientos no demostrativos dividiendo por P m

(1 + Q) n = 1 +

m n

( m )( m − 1) 2 ( m )( m − 1)( m − 2) 3 m n Q+ n n Q + n n Q +··· n 2 2·3

que es la expresi´on que usamos ahora. De nuevo hay un manejo heur´ıstico de las series, lo que no le quita algo de su inmenso valor. III. Abducci´ on en geometr´ıa Este problema fue planteado por uno de los autores a un grupo de estudiantes del curso de geometr´ıa del espacio de la Universidad Pedag´ogica Nacional. Sea el �XY Z. Determine el punto W sobre el XY tal que Escriba una conjetura e intente una justificaci´on.

XW YW

=

XZ . YZ

Varios de ellos intentaron diversas soluciones, algunas son: Soluci´on 1. Por arrastre, usando una calculadora con el software Cabri G´eom`etre. Los estudiantes usaron la calculadora y eligieron un punto W cualquiera sobre el XY y lo arrastraron hasta que se diera la proporci´on. Hecho esto, los estudiantes trataron de determinar qu´e caracter´ıstica(s) tiene el punto W , para ello trazaron segmentos y se dieron cuenta de que el ZW al parecer est´a contenido en la bisectriz del ∠XZY . Por tanto, los estudiantes formularon como hip´otesis la siguiente afirmaci´on: “El punto W , que satisface la proporci´on dada, es el que resulta de la intersecci´on entre la bisectriz del ∠XZY y el XY ”. Hecho esto, se construy´o otro tri´angulo XY Z, se aument´o el n´ umero de decimales de la calculadora y se hizo la construcci´on del punto W bajo la hip´otesis adoptada, corrobor´andola a trav´es de la prueba de arrastre que permite el software Cabri G´eom`etre al modificar el tri´angulo dado las veces que se quisiera. Sin embargo, no se logr´o en esta primera etapa una justificaci´on, desde la teor´ıa, que validara la hip´otesis. Soluci´on 2. Por prueba y error. Otros grupos de estudiantes usaron tambi´en la calculadora, pero comenzaron a trazar la mediana, bisectriz y altura a partir del punto Z del 121 137


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos tri´angulo dado y, con estas, determinaron distintos puntos W que resultaron de la intersecci´on entre estas l´ıneas y el XY . Hecho esto, se realizaron afirmaciones como las siguientes: • La altura no puede ser, ya que existen tri´angulos en los que la altura no est´a contenida en el interior del tri´ angulo y por tanto no existe un punto W en el lado XY que cumpla la proporci´ on dada. • La mediana puede ser, pero en algunos casos, ya que si fuera as´ı,W = 1, lo cual implicar´ıa ser´ıa el punto medio del XY y por tanto, XW YW que XZ = YZ, es decir, el �XY Z tendr´ıa que ser is´ osceles y el XY el lado de medida diferente. Pero no es dado que el �XY Z sea is´osceles. • Al parecer, el punto W que satisface la proporci´on dada es el que se obtiene como resultado de la intersecci´on entre la bisectriz del ∠Z y el XY , ya que al tomar medidas con la opci´ on que ofrece la calculadora y haciendo ambos cocientes, se obtiene una igualdad, pero no estamos plenamente seguros de que as´ı sea. Al menos funciona con los casos que examinamos y ello nos hace pensar que el punto W as´ı hallado es el que satisface la proporci´ on. Soluci´on 3. Usando el teorema de Thales. Un grupo de estudiantes intentan el uso del teorema de Thales argumentando que por ser el tema de la clase en ese momento, muy seguramente el problema pueda ser resuelto con ayuda de dicho teo−−→ rema. Para ello, trazan el XZ y ubican un punto M en dicho rayo de manera que ZM = Y Z y X −Z −M. Con esto, se determina el �XY M ←−→ y por Z se halla la recta paralela a la Y M de manera que la intersecci´on entre la paralela y el XY sea el punto buscado W (figura 3.12). ←−→ Argumentan esta construcci´on de la siguiente manera: “Dado que W Z � ←−→ ←−→ ←→ Y M y tanto la XM como XY son secantes a estas paralelas, entonces por el teorema de Thales se tiene que: XZ XW = ZM YW 122 138


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Razonamientos no demostrativos

Figura 3.12 Pero como ZM = Y Z, entonces al reemplazar en la proporci´on anterior ZM por Y Z, se obtiene la proporci´on buscada”. De este modo, el grupo resuelve el problema pero se cuestionan lo siguiente: Hemos escuchado decir a nuestros compa˜ neros que el punto W se obtiene a partir de la intersecci´ on entre la bisectriz del ∠XZY y el XY . −−→ Ya comprobamos en nuestra construcci´on que el ZW es efectivamente la bisectriz del ∠XZY pero no sabemos por qu´e.

Ejercicios −−→ 1. Con base en esta u ´ltima construcci´on. Explique por qu´e el ZW es la bisectriz del ∠XZY . 2. Si se modifica un poco la soluci´on 3 y se traza primero la bisectriz del ∠XZY y se halla el punto W de intersecci´on entre esta bisectriz y el XY , y luego se determina la recta paralela a esta bisectriz y que contiene al punto Y de modo que se determine un punto N de intersecci´ on entre el XZ y la paralela, ¿es cierto que YZ = ZN? Explique. 3. Sea una circunferencia C y un punto P de manera que P no est´a ni en el c´ırculo de C ni en C y sean A y B dos puntos en C tales que A − B − P o B − A − P . ¿Para cu´ al elecci´ on de A o B, AP · P B es m´ axima? 123 139


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 4. Halle en un tri´ angulo equil´atero cualquiera un punto en el interior de este de manera que la suma de las distancias a los lados del tri´ angulo sean m´ınimas. Formule una conjetura e intente una explicaci´ on. 5. Se da el W Z en un plano α. Para todo n´ umero positivo m, hay al menos un punto Y tal que el a´rea del XY Z es m. Describa el conjunto de todos los puntos Y del plano α tales que las a´reas de los tri´ angulos XYZ es m. Intente una explicaci´on. 6. Si en un plano β existe un segmento AB y un punto P exterior al segmento, tal que P equidista de A y de B, ¿Qu´e cosas podr´ıa afirmar de P? Explique. 7. En una oportunidad se le pregunt´ o a una estudiante lo siguiente: “Sup´ on que tienes dos tri´angulos con igual a´rea. ¿Qu´e podr´ıas decir de los dos tri´ angulos y por qu´e?”. La estudiante respondi´ o: “Los dos tri´ angulos son iguales, es la u ´nica posibilidad de que tengan la misma area”. ¿Tiene raz´ ´ on? IV. Abducci´ on y analog´ıa en aritm´ etica 1. En el tri´angulo de Pascal 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 observamos que en algunos casos el primer n´ umero n despu´es del 1 en cada fila divide a todos los n´ umeros de la fila; una primera hip´otesis sugiere que es en el caso en que ´este sea impar, pero si alargamos la lista notamos que el 9 no cumple la condici´on. Una hip´otesis alternativa es que esto suceda cuando n es primo y verificamos unos cuantos valores, no aparece excepci´on. Conjeturamos que esto es cierto para todo n n´ umero primo. Procuremos una demostraci´on. 124 140


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Razonamientos no demostrativos Prueba: el (k − 1)-´esimo elemento de la fila n es de la forma (con 1 < k < n) T =

n(n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · (n − (k − 1)) k!

Y esto es un n´ umero natural. El n´ umero M = T k! es divisible por n, pero k! = 2 · 3 · 4 · 5 · · · k, y si n es primo, entonces n no divide a k! pues como k < n, n no aparece en los factores que definen k! y adem´as no puede suceder que el producto de dos o m´as factores que definen k! sea igual a n, pues n es primo. Por tanto podemos concluir que T es divisible por n. 2. No existe una ley exacta de distribuci´on de los n´ umeros primos y tal vez no exista (Ogilvy, 1984, p. 24), pero • Existen n´ umeros primos consecutivos (gemelos): (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), . . . , que solo dejan un n´ umero compuesto entre ellos: 4, 6, 12, 18, 30, . . . En el a˜ no 2007 los n´ umeros primos gemelos m´as grandes conocidos eran 2003663613 · 2195000 ± 1, que tienen 58711 d´ıgitos cada uno. • Hay sucesiones de tres n´ umeros compuestos consecutivos 8, 9 y 10 entre los primos 7 y 11, igualmente hay cinco n´ umeros compuestos consecutivos 24, 25, 26, 27 y 28 entre 23 y 29. • ¿Podr´ıamos encontrar 20 n´ umeros compuestos consecutivos?

• ¿Podr´ıamos encontrar un n´ umero arbitrario n, de n´ umeros compuestos consecutivos? En la demostraci´on de Euclides de la infinitud de los n´ umeros primos ´el construye el n´ umero N = 2×3×5×7 Y para que el n´ umero no sea divisible por ninguno de los primos que aparecen en el producto, le suma 1 a N. Si, por el contrario, queremos obtener un n´ umero compuesto, podemos sumar 2 o 3 o 5 o cualquier primo que est´e en el producto, as´ı el 125 141


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos n´ umero obtenido ser´a divisible por el primo sumado, por ejemplo: N1 N2 N3 N4

= 2×3+2 = 2×3+3 = 2×3×5+2 = 2×3×5×7+5

es es es es

divisible por divisible por divisible por divisible por

2 3 2 5

Y como estamos formando n´ umeros compuestos no hay inconveniente en agregar n´ umeros compuestos al producto, N N N N

= 2×3×4×5×6×7+2 = 2×3×4×5×6×7+3 = 2×3×4×5×6×7+4 = 2×3×4×5×6×7+5

es es es es

divisible por divisible por divisible por divisible por

2 3 4 5

Y en general conjeturamos que N! + n es divisible por n De esta manera podemos construir un intervalo de n´ umeros de cualquier tama˜ no donde solo haya n´ umeros compuestos. 3. Todo cubo es la diferencia de dos cuadrados. Observemos: 13 23 33 43 53

=1 =3+5 = 7 + 9 + 11 = 13 + 15 + 17 + 19 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29

En el n-´esimo rengl´on hay n n´ umeros impares. La lista de los primeros n´ umeros en el lado derecho del igual de cada rengl´on es 1, 3, 7, 13, 21 . . . Estos son los impares cuya posici´on en la lista de los n´ umeros impares es   n(n − 1) +1 1, 2, 4, 7, 11 . . . 2 126 142


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Razonamientos no demostrativos es decir 1, 2, 4, 7, 11 . . .

n2 − n + 2 2

O sea que el primer n´ umero en el n-´esimo rengl´on es   2 n −n+2 − 1 = n2 − n + 1 2 2 La lista de los u ´ltimos n´ umeros de cada rengl´on es 1, 5, 11, 19, 29 . . . Estos son los impares cuya posici´on en la lista de los n´ umeros impares es 1, 3, 6, 10, 15 . . . O sea que el u ´ltimo n´ umero en el n-´esimo rengl´on es el Tn -´esimo impar, es decir   n(n + 1) 2Tn − 1 = 2 − 1 = n2 + n − 1 2 La suma de ambos lados del igual nos da 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = (Tn )2 puesto que la suma 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 Adem´as, la suma de cada rengl´on es (n2 − n + 1) + (n2 − n + 3) + (n2 − n + 5) + · · · + (n2 + n − 1) esta es una suma aritm´etica con primer t´ermino n2 − n + 1 y u ´ltimo 2 54 t´ermino n + n − 1 cuyo resultado es S= 54

[(n2 − n + 1) + (n2 + n − 1)]n (2n2 )n = = n3 2 2

Esta observaci´on se debe a Nic´omaco de Gerasa (siglo I).

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Esto significa que la suma de los t´erminos de cada rengl´on es un cubo, pero cada rengl´on es la diferencia de una suma de n´ umeros impares consecutivos hasta su u ´ltimo t´ermino; es decir, un cuadrado, y la suma de impares consecutivos hasta el u ´ltimo n´ umero del rengl´on anterior. En resumen todo n´ umero c´ ubico se puede escribir como diferencia de dos n´ umeros cuadrados. Dicho de otra forma, la ecuaci´on en x, y n3 = x2 − y 2 tiene soluciones enteras para cualquier n n´ umero natural. 4. La conjetura de Goldbach: Christian Goldbach en una carta a Euler escrita en 1742 expresa la siguiente conjetura: “todo n´ umero par mayor que dos es suma de dos n´ umeros primos”. Algunas verificaciones por computador han validado el resultado hasta al menos un trill´on, sin embargo no sabemos si la conjetura es cierta o no. Tampoco sabemos si esta conjetura fue resultado de una inducci´on o de una abducci´on o de ambas. 5. El peque˜ no teorema de Fermat y los n´ umeros primos: en t´erminos de la aritm´etica modular, el peque˜ no teorema de Fermat puede formularse as´ı: si p es un n´ umero primo y 1 ≤ a ≤ p − 1, entonces, ap−1 ≡ 1 (m´od p). Cuando a = 2, para cualquier primo p mayor que 2 se tiene que: 2p−1 ≡ 1 (m´od p). Observemos que si dado un n´ umero p, la anterior congruencia no se tiene, entonces p no es primo. Esto nos da un m´etodo para tratar de determinar si un n´ umero dado es primo. La tarea consiste en calcular 2p−1 en aritm´etica m´odulo p. Si el resultado es distinto de 1, concluimos que p no es primo55. En 1986, L. M. Adleman, R. S. Rumely, H. Cohen, H. W. Lenstra y C. Pomerance desarrollaron el test ARCLP (Devlin, 2003, p. 50), que usando el peque˜ no teorema de Fermat puede verificar si un n´ umero de 20 d´ıgitos es primo en menos de 10 segundos, y uno de 50 d´ıgitos en menos de 15 segundos. 55

128 144


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Razonamientos no demostrativos

Razonamientos no demostrativos 6. Conjeturas para f´ ormulas polin´ omicas generadoras de n´ u2 umeros primos meros primos: el polinomio 2x + 29 produce n´ para valores enteros de x comprendidos entre 0 y 28. El polinomio x2 + x + 41 de Euler pod´ıa transformarse en y 2 − 79y + 1601, con el cambio de variable x = y − 40 y da n´ umeros primos para ochenta n´ umeros consecutivos. Goldbach demostr´o que ning´ un polinomio pod´ıa generar n´ umeros primos para todos los valores de la variable x y Legendre prob´o que ninguna funci´on algebraica racional pod´ıa generar siempre n´ umeros primos.

129 145


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Capítulo 4. Matemáticas de los objetos lógicosCAP´ITULO 4 Matem´aticas de los objetos l´ogicos

No hay modo de entender bien al hombre si no se repara en que la matem´ atica brota de la misma ra´ız que la poes´ıa, del don imaginativo. Jos´e Ortega y Gasset

En este cap´ıtulo estudiaremos, desde un punto de vista matem´atico, los objetos y relaciones que aparecieron en los cap´ıtulos 1 y 2. Una manera es hacer un estudio algebraico de los elementos y sus relaciones mediante funciones y operaciones, generalizando el tratamiento estoico-meg´arico del razonamiento deductivo, y otra, que dejamos para el cap´ıtulo 8, es la generalizaci´on del razonamiento silog´ıstico de Arist´oteles usando la perspectiva booleana. Como nuestro inter´es est´a centrado en la actividad matem´atica en el aula de clase, proponemos una l´ınea de trabajo donde el estudiante asume el rol de matem´atico para observar objetos l´ogicos56 y encontrar relaciones entre ellos. Para ello precisaremos que entendemos por observar desde un punto de vista matem´atico. 56 En 1270 Ramon Llull en su Ars Magna, propuso la construcci´ on de un lenguaje completo y autom´atico para el razonamiento. En los siglos XVI y XVII, Descartes (1596-1650) y Leibniz (1646-1716) retomaron la idea buscando una matem´ atica universal o l´ ogica matem´ atica o c´ alculo del razonamiento, y lograron relacionar en forma m´as estrecha la l´ogica y la matem´atica. En el siglo XIX, Boole aplic´o m´etodos algebraicos para el estudio de problemas l´ogicos y fund´o la l´ogica matem´atica moderna.

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

4.1.

¿Qu´ e significa un punto de vista matem´ atico?

En un comienzo, la matem´atica estaba asociada con el proceso de pensar, la palabra griega μαθημα (mathema) significaba (Artmann, 1999) aquello que es aprendido, aprendizaje, ciencia, conocimiento, en este sentido fue usado por Plat´on y probablemente por Pit´agoras. Est´a asociada al verbo griego manthanein que significa aprender. La palabra fue derivada de la ra´ız indoeuropea mendh, tener un alma despierta, aplicarse uno sobre s´ı mismo. Y est´a relacionada con otras palabras como: mind en ingl´es y en lat´ın mens (mente, esp´ıritu), en alem´an munter (alegre, vivo, despierto) y minne (amor, en sentido po´etico), en griego mantis (vidente) y en s´anscrito man (pensar). La palabra mathematik´ os, μαθηματ ικ´ o ς, significaba amante del conocimiento. La matem´atica era m´as una actitud, una forma de ser y de mirar; de abstraer al mundanal ruido, de elevar el esp´ıritu, pensar, contemplar, adivinar; o en un mejor lenguaje, conjeturar, razonar, demostrar, etc. Tales de Mileto introdujo la idea de demostraci´on de unas afirmaciones en matem´aticas usando argumentaciones l´ogicas, as´ı naci´o la idea de teorema y con este, las teor´ıas matem´aticas y la posibilidad de explicar el universo usando la raz´on, el nacimiento de la ciencia. En las matem´aticas hay dos aspectos fundamentales y complementarios: la actividad y el producto. Como actividad consiste en resolver problemas, descubrir y demostrar teoremas y enlazarlos en teor´ıas y las herramientas del razonamiento matem´atico son las mismas que las que se usan en cualquier otro estudio sistem´atico (Luque et al., 2002, p. 11): Recordar (reconocer), relacionar (asociar), comparar (medir), hacer analog´ıas, justificar pasos y secuencias, clasificar (hacer equivalencias), ordenar, agrupar, componer (hacer s´ıntesis), analizar (separar), invertir procesos, demostrar (inferir), generar (crear), generalizar (reconocer regularidades), abstraer, aplicar, evaluar, usar s´ımbolos, sustituir (traducir), aplicar f´ormulas, expresar regularidades en t´erminos abstractos, tantear (poner a prueba ideas), planear cursos de acci´on, interpretar geom´etricamente, contar (calcular), transformar, interpolar y extrapolar. En las matem´aticas, la abstracci´on cumple un papel fundamental; entendida esta, como la actividad intelectual que consiste en separar un aspecto de la realidad (en primera instancia, luego de las abstracciones y de las abstrac132 148


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos ciones de las abstracciones, etc.) y aislarlo de todo, con la u´nica finalidad de conocerla mejor; y esto es lo que procuran los matem´aticos: abstraer, encontrar las estructuras subyacentes, en principio en la realidad, luego en las mismas ideas matem´aticas. Enfaticemos que ninguna de las entidades que estudiamos en matem´aticas existe en el mundo f´ısico; los n´ umeros, los puntos, las l´ıneas, las superficies, las figuras geom´etricas, las funciones y dem´as objetos matem´aticos son abstracciones, son ideas. En este aspecto la matem´atica aporta su car´acter abstracto, que es lo que la hace u ´til. Un objeto matem´atico, como por ejemplo un elemento del grupo Z2 , puede representarse como un valor de verdad en la disyunci´on exclusiva de la l´ogica, o como una reflexi´on de los puntos de un plano con respecto a un eje, o como una matriz de Pauli para estudiar el spin de part´ıculas en la mec´anica cu´antica, o como muchos otros objetos f´ısicos o matem´aticos que tienen su mismo comportamiento; esto es, en un conjunto con dos elementos, uno es la identidad y el cuadrado del otro es la identidad. La ecuaci´on de Bernoulli que gobierna el vuelo de los aviones, es la misma que explica el funcionamiento de un carburador; y as´ı, en muchos casos, una misma estructura matem´atica est´a presente en situaciones que aparentemente no tienen relaci´on. Y tambi´en sucede que una misma situaci´on f´ısica o matem´atica, tenga diferentes formas de ser explicadas; por ejemplo, la mec´anica de los a´tomos puede explicarse con ecuaciones diferenciales complejas o con c´alculo de matrices, o con operadores sobre espacios de Hilbert. Esto tambi´en puede enriquecer nuestras ideas pedag´ogicas. Como ejercicio para la mente, las matem´aticas son excepcionales; son, como las llam´o Bertrand Russell, una gimnasia del cerebro, de aqu´ı su principal utilidad en el campo pedag´ogico. De otro lado, debemos hacer una salvedad, para los que creen que en matem´aticas se trata de encontrar la verdad, o que se discute sobre verdades absolutas, ya establecidas, producto del inmenso trabajo de los profetas que las descubrieron (Pit´agoras, Arqu´ımedes, Newton, etc.), y que nuestra tarea como matem´aticos y como profesores de matem´aticas es predicar esas verdades; que llegamos tarde a la construcci´on de las matem´aticas, que ya todo est´a hecho, que un teorema despu´es de demostrado es cierto, y su verdad no depende ya de los caprichos humanos. Esto tampoco es as´ı; las teor´ıas matem´aticas tienen unos supuestos de base, suponen que ellos son ciertos y ellos deducen otros, pero podemos en muchos casos, suponer que la negaci´on de algunos de los supuestos iniciales son ciertos y obtenemos nuevas teor´ıas tan v´alidas como las otras; de esta manera surgieron las geometr´ıas no eu133 149


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos clidianas, las teor´ıas no cantoriana de conjuntos, etc. El mismo Russell lo expres´o: “las matem´aticas son un campo de estudio donde no sabemos de qu´e hablamos, ni si lo que decimos es verdad”. Esto tambi´en puede convertirse en una herramienta pedag´ogica, la posibilidad de hacer de cada clase una partida de ajedrez, estableciendo las reglas del juego al comienzo y jugar respetando las reglas, eso es hacer matem´aticas. Las matem´aticas como producto han cambiado su concepto con el tiempo: en el siglo V a.C. con Pit´agoras y su escuela era la ciencia que estudia los n´ umeros; en el 300 a.C., ampliaron al estudio de los n´ umeros y de la forma (Devlin, 2003, p. 10), en el siglo XVII, se incluy´o el estudio del movimiento, del cambio y del espacio. A finales del siglo XIX, la matem´atica se miraba a s´ı misma y comenz´o a estudiar sus m´etodos. En 1900, los temas de estudio se incrementaron y en la actualidad hay m´as de setenta categor´ıas diferentes. La matem´atica ya no son los temas, ahora un tema es matem´atico no por su contenido sino por la forma de ser tratado, por la metodolog´ıa utilizada Las matem´aticas son la ciencia de las estructuras. Lo que hace el matem´ atico es examinar estructuras abstractas −estructuras num´ericas, estructuras de formas, de movimiento, de comportamiento, del modo seg´ un el cual se llevan a cabo las votaciones por parte de una poblaci´ on, las estructuras con las que se repiten los sucesos aleatorios, etc.−. Tales estructuras pueden ser reales o imaginarias, visuales o mentales, est´aticas o din´ amicas, cualitativas o cuantitativas, puramente utilitarias o de algo m´ as que un inter´es recreativo. (Devlin, 2003, p.13).

En consecuencia, nuestra tarea inicial es buscar estructuras, nuestro inter´es por ahora se centra en las estructuras algebraicas, es decir, conjuntos donde est´an definidas operaciones y estudio de sus propiedades.

4.2.

El conjunto base: los valores de verdad

El cap´ıtulo 1 comenz´o con la discusi´on acerca de la verdad y la falsedad, y estuvo dedicado a mirar sus significados, hasta llegar a la conclusi´on de que en matem´aticas no era importante establecer la verdad de una proposici´on, sino acordar algunas verdades b´asicas que se asumen como premisas y de ellas deducir la verdad de las conclusiones que se puedan derivar usando las reglas de inferencia que estudiamos en el cap´ıtulo 2. 134 150


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos Si el significado de la verdad y la falsedad no importa, bien podr´ıamos cambiar en todas sus apariciones de nuestro estudio V por F y F por V, sin que nuestra tarea de hacer matem´aticas se vea seriamente afectada. Incluso, podemos cambiar los s´ımbolos V y F por 1 y 0, respectivamente, o cambiar sus significados, cambi´andonos de contexto y suponer por ejemplo que 1 y 0 son los s´ımbolos que representan la imparidad y paridad de un n´ umero natural arbitrario, en cuyo caso podemos definir operaciones entre los conjuntos que definen estos conceptos, donde la conjunci´on l´ogica toma el significado de producto de paridades y la disyunci´on exclusiva de su suma. O cambiar de nuevo los s´ımbolos por entes abstractos representados (Luque et al., 2009a, pp. 1-16) por las letras a y b. Mejor dicho considerar el conjunto A = {a, b}. En nuestro estudio actual usaremos el conjunto X = {0, 1} sin asignarle significado alguno a los s´ımbolos 0 y 1, la elecci´on la justificamos en la facilidad que nos reporta cuando es necesario hacer c´alculos molestos, en cuyos casos recurriremos a una ayuda inform´atica. Por supuesto que el conjunto de valores no tiene por qu´e restringirse a dos valores, podemos considerar (Luque et al., 1997) por ejemplo conjuntos con 3 elementos A = {0, 12 , 1} donde inicialmente 0 represente el valor de verdad falso, 1 el verdadero y 12 la indecisi´on, o la incertidumbre, o cualquier otra interpretaci´on l´ogica de un tercer valor; o simplemente no asignarle significados a los s´ımbolos usados y tratarlos como elementos de un conjunto abstracto. Y si queremos hacer l´ogica con tres valores en el conjunto A podemos definir las operaciones ∧, ∨ e → mediante las tablas: ∧ 0 1 2

1

0 0 0 0

1 2

1 0

∨ 0

0 0

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

0

1

1

Tabla 4.1

1

1 2 1 2 1 2

1

1 1 1 1

Tabla 4.2 → 0 1 2

1

0 1 0 0

1 2

1 1 1 2

1 1 1 1

Tabla 4.3 la equivalencia l´ogica de manera an´aloga a la l´ogica bivalente, es decir p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) 135 151


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos obteniendo como resultado la tabla: ↔ 0 1 2

1

0 1 0 0

1 2

0 1 1 2

1 0 1 2

1

Tabla 4.4 Y la negaci´on de cada x, que notaremos (¬x) con: ¬1 = 0 1 ¬ =0 2 ¬0 = 1. O podemos considerar conjuntos con un n´ umero infinito enumerable de elementos N = {1, 2, 3, . . .}, definiendo las operaciones de conjunci´on p ∧ q = m´ın{p, q}, disyunci´on p ∨ q = m´ax{p, q}, implicaci´on

 1 si p ≤ q p→q= q si p > q.

y la negaci´on de un elemento p ∈ N es

 1 si p = 0 ¬p = (p → 0) = 0 si p > 0.

O elegir un conjunto con infinitos no enumerables elementos como el intervalo real cerrado I = [0, 1] que se usa en la l´ogica difusa (Ross, 2004, p. 136). 136 152


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos Definiendo ¬p = 1 − p p ∧ q = m´ın{p, q} p ∨ q = m´ax{p, q} p → q = m´ax{1 − p, q} Aqu´ı nos limitaremos a un conjunto con dos elementos.

4.3.

Los conectivos l´ ogicos binarios

Para iniciar precisemos un poco el lenguaje. Una operaci´ on unaria ♦ en un conjunto A, la definimos como una funci´on ♦ :A → A x �→ ♦(x) Una operaci´ on binaria ∗ en un conjunto A, la definimos como una funci´on57 ∗ :A × A → A (x, y) �→ x ∗ y Una actividad frecuente en el estudio de una operaci´on binaria es considerar sus propiedades algebraicas, algunas muy conocidas como la asociativa, conmutativa, existencia de elementos id´enticos o existencia de elementos inversos, y otras no muy populares en nuestro medio pero s´ı estudiadas por algunos autores (Ilse et al., 1984, pp. 67-71). Por comodidad en la notaci´on omitiremos aqu´ı el s´ımbolo ∗ para indicar la operaci´on entre dos elementos x y y; es decir x ∗ y lo notamos xy. Si para todo x, y, z en un conjunto X, donde est´a definida una operaci´on ∗, se cumple la igualdad de la columna de la derecha de la tabla 4.5, decimos que tiene la propiedad cuyo nombre es el de la columna de la izquierda. A manera de ejemplo consideraremos las propiedades se˜ naladas en la tabla 4.5, pero el lector puede fabricar las suyas: 57 Esta noci´ on puede generalizarse a operaciones n-arias definidas en un conjunto A como las funciones que tienen como dominio el producto cartesiano de n copias de A y como codominio al conjunto A.

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

Idempotencia Unipotencia Absorbente a izquierda Absorbente a derecha Pseudoabsorbente a izquierda Pseudoabsorbente a derecha Semisim´etrica a izquierda I Semisim´etrica a izquierda II Semisim´etrica a derecha Identidad de Peirce Elasticidad Identidad I de Stein (1957) Identidad I de Stein conmutada Identidad I de Stein Rec´ıproca Identidad II de Stein Identidad III de Stein Identidad I de Sch¨oder (1873) Identidad II de Sch¨oder Identidad de Schwitzer a izquierda Identidad de Schwitzer a derecha Identidad de Tarski Conmutatividad Asociativa Asociativa c´ıclica I Asociativa c´ıclica II Identidad de Abel - Graßmann I Identidad de Abel - Graßmann II Permutabilidad a izquierda Permutabilidad a derecha Propiedad del producto reducido58 Transitividad a izquierda Transitividad a derecha Transitividad media Autodistributividad a izquierda 58

El original en alem´ an es Eingewandtes Produkt.

138 154

xx = x xx = yy x(xy) = x (xy)x = x x(xy) = y (xy)y = x x(yx) = x x(yx) = y (xy)x = y (xy)x = x x(yx) = (xy)x x(xy) = yx x(xy) = xy (yx)x = yx x(yx) = (yx)y (xy)(yx) = y x(xy) = (xy)y (xy)(yx) = x (xy)(xz) = zy (xy)(zy) = zx x(y(zx)) = zy xy = yx x(yz) = (xy)z x(yz) = z(xy) x(yz) = (zx)y x(yz) = z(yx) x(yz) = (yx)z x(yz) = y(xz) (xy)z = (xz)y (xy)z = x(zy) (xy)(xz) = yz (xy)(zy) = xz (xy)(yz) = xz x(yz) = (xy)(xz)


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos

Autodistributividad a derecha Autodistributividad a izquierda abeliana Autodistributividad a derecha abeliana Identidad de Neumann Bisimetr´ıa

(xy)z = (xz)(yz) x(yz) = (xy)(zx) (xy)z = (zx)(yz) x((yz)(yx)) = z (xy)(uv) = (xu)(yv)

Tabla 4.5 Si observamos la tabla 4.5, vemos que no es muy dif´ıcil inventarse una propiedad algebraica, basta combinar variables y par´entesis a uno y otro lado de una igualdad de manera que tengamos expresiones con sentido. Y si al comienzo necesitamos algunos referentes, podemos hacer peque˜ nos cambios en lo conocido; por ejemplo, la propiedad el´astica puede verse como una asociatividad restringida a dos elementos.

4.3.1.

Estructuras algebraicas de los conectivos l´ ogicos

Iniciaremos nuestro estudio con las propiedades algebraicas de los conectivos vistos como operaciones binarias en el conjunto X = {0, 1} de valores de verdad, donde 0 representa el valor de verdad falso y 1 el verdadero. En el cap´ıtulo 1 representamos proposiciones simples con letras min´ usculas del abecedario, p, q, etc., sin interesarnos por el significado que ten´ıan en un contexto determinado, solo nos interes´o su valor de verdad. Conseguimos proposiciones compuestas uniendo proposiciones simples, usamos t´ermino de enlace o conectivos l´ogicos como: la conjunci´on “y”, que representamos con el s´ımbolo ∧, la disyunci´on “o” que representamos con ∨, la disyunci´on exclusiva que notamos , etc. Una manera de simplificar y organizar las cuentas para hallar los valores de verdad de una proposici´on compuesta es disponer los valores de verdad posibles de cada proposici´on en una tabla 59 donde se combinen todos. Si una proposici´on est´a compuesta por n proposiciones simples, el n´ umero de combinaciones posibles de valores de verdad es 2n . Esta idea la propuso C.S. Peirce en 1885 y fue perfeccionada por Post y Wittegstein en 1920. (Zalamea, 1993). 59

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 4.3.1.1.

La negaci´ on

La negaci´on ¬p de una proposici´on p puede verse como una operaci´on unaria de sus valores de verdad, o sea una funci´on de {0, 1} en {0, 1}, cuya tabla de verdad correspondiente es: p 0 1

¬p 1 0

Tabla 4.6 Con la tabla 4.6 es inmediato verificar la ley de la doble negaci´on que establece: ¬¬p = p. 4.3.1.2.

La operaci´ on ⊗

La negaci´on tambi´en puede verse como una operaci´on binaria definida en el conjunto {0, 1}, para ello debemos incluir los valores de verdad de dos proposiciones p y q, y la operaci´on la podemos representar en una tabla60 donde la columna exterior indica los valores posibles de la primera proposici´on x, en la fila exterior est´an los valores posibles de la segunda proposici´on y y la posici´on xy (fila x columna y) de la tabla corresponde al valor de la operaci´on particularizado en el elemento que ocupa la fila x con el de la columna y. En este caso tenemos varias posibilidades para definir la negaci´on como una operaci´on binaria, una que exprese la negaci´on del primer t´ermino, ignorando el segundo, a esto le ponemos un s´ımbolo, digamos ⊗, o sea: p⊗q = ¬p cuya tabla es ⊗ 0 1

0 1 1 1 0 0

Tabla 4.7 donde hicimos caso omiso de que q existe, pues si q = 0 entonces p ⊗ 0 = ¬p si p = 0 , ¬p = 1 si p = 1 , ¬p = 0 60

Esta forma de escribir una operaci´on fue propuesta por Arthur Cayley (1821-1895).

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos y si q = 1 entonces p ⊗ 1 = ¬p y en este caso si p = 0 , ¬p = 1 si p = 1 , ¬p = 0 Es como invitar a alguien (a q) a comer y no permitirle sentarse a la mesa; tambi´en en matem´aticas hay falta de cortes´ıa. Como esta es una operaci´on binaria, podemos estudiar sus propiedades y vemos61 que no cumple las propiedades usuales de la suma y la multiplicaci´on de los conjuntos num´ericos; en particular, no es conmutativa: x ⊗ y �= y ⊗ x, no es asociativa: x ⊗ (y ⊗ z) �= x ⊗ (y ⊗ z), no tiene elemento id´entico. La no conmutatividad la muestra el ejemplo (0 ⊗ 1) �= (1 ⊗ 0). La no asociatividad la demuestra el ejemplo (0 ⊗ 0) ⊗ 0 �= 0 ⊗ (0 ⊗ 0) ((1) ⊗ 0) �= (0 ⊗ (1)) 0 �= 1. Pero si estudiamos las propiedades que listamos en la tabla 4.5 encontramos que para todo x, y, z, u, v en {0, 1} se cumplen solamente las propiedades: 1. x ⊗ x = y con x �= y. 2. x ⊗ y = y con x �= y. 3. Es pseudoabsorbente a derecha: (x ⊗ y) ⊗ y = x. 4. Es permutable a derecha: (x ⊗ y) ⊗ z = (x ⊗ z) ⊗ y. 5. Es autodistributiva a derecha: (x ⊗ y) ⊗ z = (x ⊗ z) ⊗ (y ⊗ z). 6. Es bisim´etrica: (x ⊗ y) ⊗ (u ⊗ v) = (x ⊗ u) ⊗ (y ⊗ v). La propiedad pseudoabsorbente a derecha (x ⊗ y) ⊗ y = x es equivalente a la doble negaci´on pues como x ⊗ y = ¬x, seg´ un la definici´on de ⊗, entonces (x ⊗ y) ⊗ y = (¬x) ⊗ y = ¬(¬x) = x. Las propiedades autodistributiva a derecha y bisim´etrica expresan identidades que no aportan informaci´on adicional: 61 Como en la mayor´ıa de los casos las cuentas son engorrosas, utilizamos el programa ´ Algebra finita 1.0., para que las haga por nosotros.

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos (x ⊗ y) ⊗ z = (¬x) ⊗ z = ¬(¬x) = (x ⊗ z) ⊗ (y ⊗ z) = (¬x) ⊗ (¬y) = ¬(¬x) (x ⊗ y) ⊗ (u ⊗ v) = (¬x) ⊗ (¬u) = (x ⊗ u) ⊗ (y ⊗ v) = (¬x) ⊗ (¬y). En el trabajo matem´atico es frecuente tratar de simplificar y cuando estudiamos las propiedades de un objeto, es deseable que algunas de ellas caractericen el objeto y las dem´as propiedades sean consecuencias l´ogicas de las que tomamos como b´asicas. Es decir si suponemos que algunas propiedades son tomadas como axiomas (son verdaderas en este contexto) las dem´as las podemos deducir de estos u ´ltimos, en el sentido de que las asumimos como hip´otesis o antecedentes de una implicaci´on y utilizando las reglas de inferencia podemos concluir que los consecuentes son verdaderos. Veamos un ejemplo. Un sistema axiom´ atico para la operaci´ on ⊗ Si elegimos como axiomas las propiedades 1. y 2. del listado anterior, esto es que para todo x, y en {0, 1} se cumple A1. x ⊗ x = y A2. x ⊗ y = y

con x �= y. con x �= y.

podemos demostrar las dem´as. Antes de demostrar la propiedad pseudoabsorbente a derecha, probemos la siguiente proposici´on. Proposici´ on 1. Sean x, y, z ∈ {0, 1}, si x = y y x �= z entonces x⊗x = z. Prueba: supongamos que x ⊗ x �= z entonces por la contrarrec´ıproca de A1, x = z, lo cual va en contra de la hip´otesis, por tanto, x ⊗ x = z. Propiedad pseudoabsorbente a derecha. Para todo x, y en {0, 1} se cumple (x ⊗ y) ⊗ y = x. Prueba: como en {0, 1} solo hay dos elementos, solo existen dos posibilidades o x = y o x �= y. Caso 1. x = y. Como x ∈ {0, 1}, entonces toma uno solo de estos valores, esto asegura que existe un z en {0, 1} tal que x �= z, por tanto: 142 158


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos (x ⊗ y) ⊗ y

= (y ⊗ y) ⊗ y =z⊗y =y =x

Por Por Por Por

hip´otesis x = y proposici´on 1 A2 y hip´otesis x �= z hip´otesis x = y.

Caso 2. Si asumimos que x �= y, tenemos que (x ⊗ y) ⊗ y

=y⊗y =x

Por A2 Por A1.

Por la ley de los casos concluimos que para todo x, y en {0, 1} se cumple (x ⊗ y) ⊗ y = x. Lo que finaliza la demostraci´on.

Ejercicio Demuestre las propiedades permutable a derecha, autodistribuitiva a derecha y bisim´etrica de la operaci´ on ⊗. Como la operaci´on ⊗ no es asociativa, no es lo mismo decir (x ⊗ y) ⊗ z que x ⊗ (y ⊗ z). Esto obliga a usar signos de agrupaci´ on: ( ), [ ], { }, para decir cu´al operaci´on se hace primero, por ejemplo (x ⊗ y) ⊗ z significa que primero hallamos el valor de x ⊗ y y luego este resultado lo operamos con el valor de z. Cuando una operaci´on • en un conjunto A no cumple una propiedad, podemos ver eso como un defecto o como una virtud; por ejemplo, si la operaci´on • no es conmutativa, para cada par de elementos x, y de A podemos definir otra operaci´on  de forma que: x  y = y • x. 143 159


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Si la operaci´on no es asociativa, ni conmutativa surgen m´as posibilidades: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12

y y y y y y y y y y y y

= x • (x • y) = (x • x) • y = x • (y • x) = (x • y) • x = x • (y • y) = (x • y) • y = y • (y • x) = (y • y) • x = y • (x • y) = (y • x) • y = y • (x • x) = (y • x) • x

o con dos x y dos y, x 13 y = (x • y) • (y • x)

y otras m´ ultiples combinaciones de x, y y, permutaciones de ellas y variaciones en la colocaci´on de los par´entesis. Esta forma de trabajo que consiste en combinar elementos y datos para obtener nuevos elementos, adem´as de frecuente es muy fruct´ıfera. 4.3.1.3.

La operaci´ on ∗

Como la operaci´on ⊗ no es conmutativa nos da lugar a otra operaci´on p ∗ q := q ⊗ p = ¬q cuya tabla ignora los valores de verdad de p, esto es * 0 1

0 1 1

1 0 0

Tabla 4.8 De nuevo estudiamos sus propiedades y encontramos que esta operaci´on cumple para todo x, y en {0, 1}: 144 160


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos i. x ∗ x = y con x �= y. ii. x ∗ y = x con x �= y. iii. La identidad II de Schr¨oder : (x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = x. iv. Es pseudoabsorbente a izquierda: x ∗ (x ∗ y) = y. v. Es permutable a izquierda: x ∗ (y ∗ z) = y ∗ (x ∗ z). vi. Es autodistributiva a izquierda: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ (x ∗ z). vii. Es bisim´etrica: (x ∗ y) ∗ (u ∗ v) = (x ∗ u) ∗ (y ∗ v). Como vemos, en este punto de vista, no es lo mismo negar la primera proposici´on que negar la segunda, aunque las operaciones entre sus valores de verdad tienen sus semejanzas, tambi´en tienen sus diferencias, ⊗ y * no son la misma operaci´on desde el punto de vista algebraico, no son isomorfas62 . La propiedad pseudoabsorbente a izquierda x ∗ (x ∗ y) = y es equivalente a la doble negaci´on pues como x ∗ y = ¬y, entonces x ∗ (x ∗ y) = x ∗ (¬y) = ¬(¬y) = y. Tambi´en la identidad II de Schr¨oder expresa la ley de la doble negaci´on puesto que (x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = (¬y) ∗ (¬x) = ¬(¬x) = x. Un sistema axiom´ atico para la operaci´ on ∗ Asumimos como axiomas las propiedades I. y II. de la lista anterior. I es el mismo A1. y II. lo notaremos A3. A1. x ∗ x = y A3. x ∗ y = x

con x �= y. con x = � y.

Para la demostraci´on de la identidad II de Schr¨oder debemos usar la proposici´on 1 pero aplicada al caso de la operaci´on ∗. La demostraci´on es igual ya que se usa el mismo axioma y los mismos argumentos. La demostraci´on de la identidad II de Schr¨ oder es como sigue: Dos estructuras (X, ∗) y (Y, ◦) son isomorfas si y solo si existe una funci´on biyectiva f : X → Y tal que f(x ∗ y) = f(x) ◦ f(y). 62

145 161


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Prueba: debemos probar que para todo x, y en {0, 1} se cumple que (x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = x. De nuevo, solo existen dos posibilidades o x = y o x �= y. Caso 1. Si asumimos que x = y, entonces existe z �= x tal que x∗x = y∗y = z, luego (x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = (x ∗ x) ∗ (x ∗ x) =z∗z =x

Por hip´otesis x = y Por proposici´on 1 Por A1.

Caso 2. Si asumimos que x �= y, tenemos que (x ∗ y) ∗ (y ∗ x)

=x∗y =x

Por A3 Por A3.

Por la ley de los casos concluimos que para todo x, y en {0, 1} se cumple que (x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = x. Lo que finaliza la demostraci´on.

Ejercicio Demuestre las otras propiedades listadas. Las otras combinaciones de la operaci´on ⊗ debidas a la no asociatividad no reportan nuevas operaciones. 4.3.1.4.

La barra de Sheffer

Si observamos la tabla 4.7 de la operaci´on ⊗ notamos que en la fila del 0 solo hay 1 que es la negaci´on de 0, y en la fila del 1 solo hay 0 que es su negaci´on. Pero esto tambi´en sucede en la diagonal principal, el elemento correspondiente a 0 ⊗ 0 es la negaci´on de 0 y 1 ⊗ 1 = ¬ 1 = 0. En tabla 4.8 de la operaci´on ∗, si leemos por columnas o en la diagonal principal, obtenemos la negaci´on del elemento correspondiente. Esto nos sugiere otra forma de expresar la negaci´on como una operaci´on binaria colocando la negaci´on solo en la diagonal, para expresar la negaci´on de un elemento x como la operaci´on de x consigo mismo independiz´andolo del otro elemento y esto nos reporta dos nuevas operaciones binarias, una completando lo restante en la tabla con 1 y la otra completando con 0. 146 162


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos La primera opci´on la notamos x|y y es conocida como barra de Sheffer, negaci´ on alternativa u operador NAND, cuya tabla es | 0 1

0 1 1 1 1 0

Tabla 4.9 Por definici´on, para todo x, y en {0, 1}, x | x = ¬x. De las propiedades mencionadas en la tabla 4.5, esta operaci´on solo cumple las propiedades: 1. Conmutativa: para todo x, y en {0, 1}, se cumple que x | y = y | x. 2. El´ astica: para todo x, y en {0, 1}, se cumple que x | (y | x) = (x | y) | x. Podemos probar f´acilmente que a partir de la propiedad conmutativa, es posible deducir la propiedad el´astica, veamos: x | (y | x) = (y | x) | x = (x | y) | x

Propiedad conmutativa. Propiedad conmutativa.

Lo cual prueba que toda operaci´on que sea conmutativa es el´astica tambi´en (la rec´ıproca no es cierta). Un sistema axiom´ atico para la operaci´ on | Asumiremos como axiomas la propiedad conmutativa, que notaremos A4 y a A1, esto es: A1. x | x = y con x �= y A4. Propiedad conmutativa: x | y = y | x. 147 163


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos En los listados de axiomas de las operaciones anteriores sobre el conjunto {0, 1}, obtuvimos una u ´nica representaci´on de dichas operaciones, sin embargo, para esta u ´ltima operaci´on tenemos dos posibilidades dependiendo del resultado de x | y, que puede ser 0 o 1, por tanto, las tablas que resultan son la tabla 4.9 y la 4.10. ↓ 0 1

0 1 1 0 0 0

Tabla 4.10 La tabla 4.10 la estudiaremos enseguida. 4.3.1.5.

El funtor de Peirce

La segunda opci´on a la que hac´ıamos referencia anteriormente, corresponde a la tabla 4.10, que completamos con 0 en lugar de 1, obteniendo una nueva operaci´on binaria que notamos x↓y conocida como el funtor de Peirce, negaci´ on conjunta u operador NOR. Esta operaci´on tiene las mismas propiedades algebraicas que la barra de Sheffer, como era de esperarse, ya que como hemos visto, ambas operaciones cumplen los mismos axiomas. Notemos que a diferencia de ⊗ y de *, la barra de Sheffer y el funtor de Peirce tienen muy pocas propiedades; en particular no son autodistributivas, ni tienen otra propiedad de las de la tabla 4.5. Como estas dos operaciones | y ↓ tienen las mismas propiedades, elijamos una de ellas, por ejemplo |, para explorar algunas opciones. La operaci´on | no es asociativa pues (0 | 0) | 1 �= 0 | (0 | 1). Esto nos da posibilidades para construir nuevas operaciones binarias como:

148 164


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos 4.3.1.6.

La implicaci´ on

La combinaci´on x → y := x | (x | y) cuya tabla es → 0 1

0 1 1 1 0 1

Tabla 4.11 coincide con los valores de verdad para la implicaci´on en el sentido de Fil´on, que es la implicaci´on que se ha asumido en la mayor parte de la matem´atica moderna, y lo haremos nosotros, siguiendo el camino propuesto por Russell, Frege y otros l´ogico-matem´aticos de comienzos del siglo XX. Para construir la tabla 4.11 lo que hacemos es considerar todas las combinaciones posibles de x y y y las ponemos como se muestra en la tabla 4.12. x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

x|y 1 1 1 0

x | (x | y) 1 1 0 1

Tabla 4.12 Para x = 1 y y = 0 el valor de esta combinaci´on es 0 en los dem´as casos el valor es 1. Por esto lo notamos x → y. Esta operaci´on cumple las siguientes propiedades: para todo x, y en {0, 1} 1. No es conmutativa: x → y �= y → x. 2. No es asociativa: : x → (y → z) �= x → (y → z). 3. No tiene elemento id´entico, pero s´ı tiene un elemento id´entico a izquierda: 1 → x = x. 4. Es permutable a izquierda: x → (y → z) = y → (x → z). 5. Identidad de Peirce: (x → y) → x = x. 149 165


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 6. Es autodistributiva a izquierda: x → (y → z) = (x → y) → (x → z). 7. Si x �= y entonces x → y = y. 8. Es unipotente: x → x = y → y. 9. Identidad I de Stein conmutada: x → (x → y) = x → y. La no conmutatividad la muestra el ejemplo (0 → 1) �= (1 → 0). La no asociatividad la demuestra el ejemplo (0 → 1) → 0 �= 0 → (1 → 0). Un sistema axiom´ atico para la operaci´ on → Si usamos la propiedad 7, que coincide con A2, y la 8, que notaremos A5, obtenemos un sistema axiom´atico para esta operaci´on: A2. Si x �= y entonces x → y = y. A5. Es unipotente: x → x = y → y. Con estos podemos deducir las otras propiedades enunciadas (Luque et al., 2009a, p. 30); por ejemplo: La permutabilidad a izquierda afirma que para todo x, y, z en el conjunto X = {0, 1} se cumple que x → (y → z) = y → (x → z). Prueba: consideramos dos casos, pues solo hay dos valores posibles para z, z = x o z = y. Caso I. Si x = z entonces hay dos casos para y, x = y o x �= y.

Caso 1. Si x = y, se tiene inmediatamente la afirmaci´on al hacer las sustituciones en x → (y → z). Caso 2. Si x �= y, entonces y �= z y x → x = x o x → x = y. Si x → x = x entonces:

x → (y → z) = x → (y → x) =x→x =x =y→x = y → (x → x) = y → (x → z) 150 166

Hip´otesis x = z. Hip´otesis x �= y y A2. Hip´otesis x → x = x. Hip´otesis x �= y y A2. Hip´otesis x → x = x. Hip´otesis x = z.


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos Si x → x = y entonces: x → (y → z) = x → (y → x) =x→x =y→y = y → (x → x) = y → (x → z)

Hip´otesis Hip´otesis Por A5. Hip´otesis Hip´otesis

x = z. x �= y y A2. x → x = y. x = z.

Caso II. Si z = y. La demostraci´on es an´aloga al caso anterior. Por la ley de los casos concluimos que para todo x, y en {0, 1} se cumple que x → (y → z) = y → (x → z).

Ejercicio Demuestre las propiedades 3, 5, 6, 9 y 10 de la operaci´ on →. 4.3.1.7.

Implicaci´ on rec´ıproca

Si cambiamos la posici´on de los par´entesis en la definici´on de implicaci´on obtenemos una nueva operaci´on binaria x ← y := (x | x) | y y la llamamos implicaci´ on rec´ıproca de x e y. Este nombre es debido a que x←y=y→x pues tienen la misma tabla: ← 0 1

0 1 1 0 1 1

Tabla 4.13 Esta operaci´on cumple las siguientes propiedades: para todo x, y en {0, 1} i. No es conmutativa: x ← y �= y ← x. ii. No es asociativa: (x ← y) ← z �= x ← (y ← z). 151 167


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos iii. No tiene elemento id´entico, pero s´ı tiene un elemento id´entico a derecha: x ← 1 = x. iv. Es permutable a derecha: (x ← y) ← z = (x ← z) ← y. v. Es autodistributiva a derecha: (x ← y) ← z = (x ← z) ← (y ← z). vi. Es unipotente: x ← x = y ← y. vii. Si x �= y entonces x ← y = x. viii. Identidad I de Stein Rec´ıproca: (y ← x) ← x = y ← x. ix. Semisim´etrica a izquierda I : x ← (y ← x) = x. Un sistema axiom´ atico para la operaci´ on ← Si asumimos la propiedad VI. que coincide con A5 y la VII. que es la misma A3 como axiomas, podemos demostrar las otras propiedades, en particular la prueba de la propiedad IV. es similar a la permutabilidad izquierda de la implicaci´on. Como ejemplo veamos la prueba de la autodistributividad a derecha: Prueba: debemos probar que para todo x, y, z en el conjunto X = {0, 1} se cumple que (x ← y) ← z = (x ← z) ← (y ← z). Una vez m´as, se obtienen dos casos, x = z o y = z. Caso A. Si x = z hay dos casos m´as, que x = y o x �= y. De modo que: Caso I: sea x = y. Para este nuevo caso se usar´a el resultado de x ← x, lo cual genera dos casos m´as, que x ← x = x o x ← x = y. Por tanto, Caso 1. Sea x ← x = x, entonces: (x ← y) ← z = (x ← x) ← x = (x ← x) ← (x ← x) = (x ← z) ← (y ← z) 152 168

Hip´otesis x = y, x = z. Hip´otesis x ← x = x. Hip´otesis x = y, x = z.


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos Caso 2. Sea x ← x = y, entonces: (x ← y) ← z = (x ← x) ← x = (x ← z) ← y = (x ← z) ← (x ← x) = (x ← z) ← (y ← z)

Hip´otesis Hip´otesis Hip´otesis Hip´otesis

x = y, x = z. x = y, x = z. x ← x = y. x = y, x = z.

Caso II: si x �= y entonces y �= z y una vez m´as existen dos casos, que x ← x = x o x ← x = y. Por tanto, Caso 1. Sea x ← x = x, luego, (x ← y) ← z = x ← z =x←x =x =x←y = (x ← x) ← y = (x ← z) ← y = (x ← z) ← (y ← z)

Hip´otesis x �= y y A3. Hip´otesis x = z. Hip´otesis x ← x = x. Hip´otesis x �= y. Hip´otesis x ← x = x. Hip´otesis x = z. Afirmaci´on y �= z y A3.

Caso 2. Sea x ← x = y, luego, (x ← y) ← z = x ← z =x←x =y←y = (x ← x) ← y = (x ← z) ← (y ← z) = (x ← z) ← (y ← z)

Hip´otesis x �= y y A3. Hip´otesis x = z. A5. Hip´otesis x ← x = y. Afirmaci´on y �= z y A3. Hip´otesis x = z.

Caso B. Si y = z, la prueba es similar a la anterior. Por la ley de los casos concluimos que para todo x, y en {0, 1} se cumple que (x ← y) ← z = (x ← z) ← (y ← z). Lo que finaliza la demostraci´on.

153 169


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

Ejercicio Demuestre las propiedades 3, 8 y 9 de la operaci´ on ←. Si bien, definimos la operaci´on ← a partir de una combinaci´on de la barra de Sheffer, existen otras maneras de definir la misma operaci´on, por ejemplo, en t´erminos de la implicaci´on, algunas son: x ← y = y → (y → x) x ← y = (x → y) → x x ← y = (x → y) → (y → x).

Ejercicio Demuestre las anteriores igualdades. 4.3.1.8.

Disyunci´ on

Pero si con la implicaci´on elegimos la combinaci´on x ∨ y := (x → y) → y obtenemos la disyunci´on de x e y, puesto que su tabla es ∨ 0 1

0 1 0 1 1 1

Tabla 4.14 que coincide con la definici´on de disyunci´on en la secci´on 2.1.3.1. Esta operaci´on tambi´en se conoce como suma l´ ogica, pero el nombre no es muy afortunado puesto que esta operaci´on no tiene las mismas propiedades que una suma, pues no es un grupo abeliano. La disyunci´on cumple las propiedades 1. Asociativa. 2. Conmutativa. 154 170


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos 3. El 0 es elemento id´entico. 4. El elemento 1 no tiene un inverso. Adicionalmente satisface las propiedades: 5. Idempotencia. 6. Identidad I de Stein. 7. Identidad II de Stein. 8. Identidad I de Schr¨oder. 9. Asociativa c´ıclica I. 10.

Asociativas c´ıclica II.

11.

Identidad de Abel - Graßmann I.

12.

Identidades de Abel - Graßmann II.

13.

Permutabilidad a izquierda.

14.

Permutabilidad a derecha.

15.

Propiedad del producto reducido.

16.

Autodistributividad a izquierda.

17.

Autodistributividad a derecha.

18.

Autodistributividad a izquierda abeliana.

19.

Autodistributividad a derecha abeliana.

20.

Bisimetr´ıa.

Es curioso que a partir de una operaci´on no conmutativa y no asociativa podamos construir operaciones conmutativas y asociativas.

155 171


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Un sistema axiom´ atico para la operaci´ on ∨ Si asumimos como axiomas la propiedad 5. de idempotencia, que notamos A6, y la propiedad 2. o conmutativa, que es la misma A4, podemos derivar (Luque et al., 2009a, pp. 23-27) todas las propiedades enunciadas. El conjunto de axiomas que se elige para determinar una estructura en general no es u ´nico. En particular, la caracterizaci´on habitual (Lentin y Rivaud, 1971, p.40) de las operaciones conjunci´on y disyunci´on de la l´ogica bivalente, dentro de la teor´ıa de ret´ıculos, es que son asociativas, conmutativas e idempotentes, pero en nuestro caso la propiedad asociativa la podemos deducir de las otras dos. Debemos tener cuidado con la l´ınea l´ogica en las demostraciones, porque a veces aparecen gazapos como: Propiedad cancelativa de la disyunci´on: para todo x, y, z en {0, 1} se cumple que x ∨ y = x ∨ z entonces y = z. Consideramos dos casos: Si x ∨ y = x y∨x =x

Por hip´otesis Por A6.

Por tanto, y es el elemento id´entico. Como x ∨ y = x ∨ z x∨z = x z∨x = x

Por hip´otesis Por hip´otesis Por A6.

Por tanto, z es el elemento id´entico. Pero un elemento id´entico es u ´nico. Si hubiera otro elemento id´entico y  entonces, y = y ∨ y =y

Por ser y elemento id´entico Por ser y  elemento id´entico

En conclusi´on y = z. An´alogamente, si x ∨ y = y = y ∨ x concluimos que x es el elemento id´entico y entonces x ∨ z = z ∨ x = z como por hip´otesis x ∨ y = x ∨ z entonces y = z. Pero 1 ∨ 0 = 1 ∨ 1 y 1 �= 0, o sea que ∨ no es cancelativa. ¿Cu´al es el error en la argumentaci´on? 156 172


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos Si cambiamos x por y y y por x en la definici´on de ∨, obtenemos y ∨ x = (y → x) → x que tiene la misma tabla que la disyunci´on. Esta es otra forma de ver la propiedad conmutativa. Otras formas de escribir la disyunci´on son: En t´erminos de ←:

x ∨ y = x ← (x ← y) x ∨ y = y ← (y ← x)

En t´erminos de →:

x ∨ y = (x → y) → y x ∨ y = (y → x) → y

En t´erminos de |: En t´erminos de ¬ y ↓: En t´erminos de ∨ y →

x ∨ y = (x | x) | (y | y) x ∨ y = ¬(x ↓ y) x ∨ y = (¬x) → y

Y si cambiamos x = ¬z obtenemos una expresi´on de → en t´erminos de ∨ en la forma z → y = (¬z) ∨ y. 4.3.1.9.

La tautolog´ıa

Si en la igualdad x ← y = (x → y) → x cambiamos la posici´on de los par´entesis obtenemos una nueva operaci´on x�y := x → (y → x) cuya tabla es 157 173


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos � 0 1

0 1 1 1 1 1

Tabla 4.15 En este caso el resultado de la operaci´on es 1 para todo x, y en {0, 1}. Si interpretamos el valor de verdad 1 con una proposici´on verdadera, tendremos que en una tautolog´ıa, sin importar el valor de las proposiciones componentes, su valor en todos los casos es 1. Esta operaci´on es asociativa, conmutativa, el´astica (consecuencia de la conmutatividad), asociativas c´ıclicas I y II, cumple las identidades de Abel - Graßmann I y II, la permutabilidad a izquierda y a derecha, la propiedad del producto reducido y la bisimetr´ıa, que son consecuencias inmediatas de la asociatividad y de la propiedad conmutativa. Adem´as es unipotente, y cumple las identidades I y II de Stein y las autodistributivas a izquierda y a derecha, a izquierda y a derecha abelianas y las transitivas izquierda, derecha y media. Como todos los resultados son 1, podr´ıamos sospechar que todas las propiedades listadas se cumplen de manera trivial, pero esto no es as´ı, por ejemplo no es idempotente: 0 � 0 �= 0, ni semisim´etrica a izquierda II: 1 � (0 � 1) �= 0, ni semisim´etrica a derecha: (1 � 0) � 1 �= 0. Un sistema axiom´ atico para la operaci´ on  Las propiedades que establecen que para todo x, y en {0, 1} se cumple A5. x�x = y�y (unipotencia) A7. x�y = x�x sirven como axiomas para la operaci´on �, que permiten demostrar las otras propiedades. Si cambiamos x por y y y por x en la definici´on de �, obtenemos y�x = y → (x → y) = x�y como debe ser.

158 174


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos

Ejercicio Demuestre las propiedades enunciadas para �. Otras formas de escribir la tautolog´ıa en t´erminos de implicaci´on son x�y = y → (x → x) x�y = y → (x → y)

x�y = y → (y → x) x�y = x → (y → y)

x�y = x → (y → x).

En t´erminos de implicaci´on y negaci´on:

x�y = ((¬x) → (¬y)) → (y → x). En t´erminos de ←:

x�y = (x ← x) ← y x�y = (y ← x) ← y

x�y = (x ← y) ← x x�y = (y ← y) ← x

o si queremos una expresi´on estruendosa

x�y = ((x ↓ y) ↓ ((x ↓ y) ↓ (x ↓ y))) ↓ ((x ↓ y) ↓ ((x ↓ y) ↓ (x ↓ y))). 4.3.1.10.

La contradicci´ on

Una operaci´on an´aloga a la tautolog´ıa pues todos sus valores son iguales, en este caso iguales a 0, es la que llamamos contradicci´ on, ella tiene las mismas propiedades que la tautolog´ıa y puede expresarse de diferentes formas, por ejemplo: x ⊥ y = (x ↓ y) ↓ ((x ↓ y) ↓ (x ↓ y))

su tabla es:

⊥ 0 1

0 1 0 0 0 0

Tabla 4.16 159 175


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 4.3.1.11.

La primera proyecci´ on

Si cambiamos el orden de los par´entesis en la definici´on de � obtenemos x π1 y = (x → y) → x cuya tabla es: π1 0 1

0 1 0 0 1 1

Tabla 4.17 que tambi´en se puede expresar como x π1 y = x y de ah´ı su nombre. Esta operaci´on no es conmutativa, pero s´ı es asociativa, semisim´etrica izquierda I, el´astica, permutable a derecha, transitiva a derecha y media, autodistributiva a izquierda y a derecha y autodistributiva izquierda abeliana; adem´as cumple las identidades de Peirce, I y II de Schr¨oder, la bisim´etrica y la del producto reducido. Un sistema axiom´ atico para la operaci´ on π1 La propiedad: para todo x, y en {0, 1} se cumple que A8. x π1 y = x sirve de u ´nico axioma para esta operaci´on, que tambi´en puede escribirse en t´erminos de → as´ı: x π1 y = (x → x) → x x π1 y = (y → y) → x

En t´erminos de ⊗ como:

x π1 y = (x ⊗ x) ⊗ y x π1 y = (x ⊗ y) ⊗ x 160 176


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos x π1 y = (x ⊗ y) ⊗ y En t´erminos de ∗ as´ı: x π1 y = x ∗ (y ∗ x) x π1 y = y ∗ (y ∗ x) x π1 y = y ∗ (x ∗ x) En t´erminos de ←: x π1 y = x ← (y ← x) x π1 y = x ← (y ← y). 4.3.1.12.

La segunda proyecci´ on

Como la primera proyecci´on no es conmutativa, obtenemos otra operaci´on si cambiamos x por y y y por x en la definici´on de π1, esto es x π2 y = (y → x) → y cuya tabla es π2 0 1

0 1 0 1 0 1

Tabla 4.18 y que tambi´en se puede expresar como x π2 y = y o x π2 y = y π1 x. Un sistema axiom´ atico para la operaci´ on π2 La propiedad: para todo x, y en {0, 1} se cumple que A9. x π2 y = y 161 177


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

es un u ´nico axioma para la operaci´on π2 que es asociativa y adem´as cumple las propiedades semisim´etrica izquierda I, el´astica, de Abel - Graßman II, permutable a izquierda, del producto reducido, transitiva a izquierda, autodistributiva izquierda y derecha, autodistributiva derecha abeliana, bisim´etrica y la identidad de Peirce. Como en los casos anteriores, π2 puede escribirse en t´erminos de la implicaci´on como: x π2 y = (x → x) → y x π2 y = (y → y) → y y en t´erminos de ⊗, ∗, ←, π1 as´ı: x x x x x x x x x x x x x x 4.3.1.13.

π2 π2 π2 π2 π2 π2 π2 π2 π2 π2 π2 π2 π2 π2

y y y y y y y y y y y y y y

= (y ⊗ x) ⊗ y = (y ⊗ y) ⊗ x = (y ⊗ x) ⊗ x = x ∗ (x ∗ y) = y ∗ (x ∗ y) = x ∗ (y ∗ y) = y ← (x ← y) = y ← (x ← x) = y π1 (x π1 y) = (y π1 x) π1 y = y π1 (y π1 x) = (y π1 y) π1 x = (y π1 x) π1 x = y π1 (x π1 x).

La conjunci´ on

Si con la operaci´on | usamos la combinaci´on x ∧ y := (x | y) | (x | y) obtenemos como tabla 162 178


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos ∧ 0 1

0 1 0 0 0 1

Tabla 4.19 que coincide con los valores de verdad para la conjunci´on definida en el cap´ıtulo 2. Se conoce tambi´en como multiplicaci´on l´ogica por la similaridad de su tabla de verdad con la de la multiplicaci´on de los n´ umeros naturales 0 y 1. La conjunci´on como operaci´on satisface los mismos axiomas que la disyunci´on y, por tanto, tiene las mismas propiedades que esta. Otras formas de escribir la conjunci´on son: En t´erminos de → y ¬: x ∧ y = ¬(x → (¬y)) En t´erminos de ¬ y |: En t´erminos de ¬ y ∨:

x ∧ y = ¬(x | y) x ∧ y = ¬((¬x) ∨ (¬y)).

4.3.1.14.

Diferencia y diferencia rec´ıproca

Usando la negaci´on y la implicaci´on podemos definir otras dos operaciones, una con la negaci´on de la implicaci´on que llamamos diferencia (notada −•) y otra con la negaci´on de la implicaci´on rec´ıproca, que llamamos diferencia rec´ıproca (notada •−); esto es: x − • y := ¬(x → y) x • − y := ¬(x ← y)

cuyas tablas son respectivamente: −• 0 1

•− 0 1

0 1 0 0 1 0

Tabla 4.20

0 1 0 1 0 0

Tabla 4.21 163 179


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Desde el punto de vista algebraico, la diferencia −• tiene las mismas propiedades que la implicaci´on rec´ıproca ←, pues est´an definidas por los mismos axiomas enunciados anteriormente para esta; tambi´en la diferencia rec´ıproca •− tiene las mismas propiedades que la implicaci´on →. De igual forma, la diferencia y la diferencia rec´ıproca se pueden escribir en t´erminos de ↓ como: x−• x−• x−• x−• x−• x−• 4.3.1.15.

y y y y y y

= (x ↓ x) ↓ y = y ↓ (x ↓ y) = (y ↓ x) ↓ y = (x ↓ y) ↓ y = x ↓ (y ↓ x) = y ↓ (x ↓ x)

x x x x x x

• −y • −y • −y • −y • −y • −y

= x ↓ (x ↓ y) = (x ↓ y) ↓ x = x ↓ (y ↓ x) = x ↓ (y ↓ y) = (y ↓ y) ↓ x = (y ↓ x) ↓ x.

La implicaci´ on contrarrec´ıproca de x → y

La combinaci´on (¬x) → (¬y) no aporta una nueva operaci´on pues su tabla de valores coincide con la de la implicaci´on rec´ıproca x ← y = (¬x) → (¬y) y su rec´ıproca coincide con la implicaci´on; es decir x → y = (¬y) → (¬x) (¬y) → (¬x) se llama la implicaci´ on contrarrec´ıproca de x → y. Una forma de justificar esta u ´ltima igualdad es construir una tabla con todas las posibilidades de combinaciones de valores para x e y y calcular ambos lados de la igualdad para luego compararlos (tabla 4.22). x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

¬x 1 1 0 0

¬y 1 0 1 0

x→y 1 1 0 1

Tabla 4.22 164 180

(¬y) → (¬x) 1 1 0 1


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos 4.3.1.16.

La doble implicaci´ on

Combinando la implicaci´on con la implicaci´on rec´ıproca en una conjunci´on obtenemos la operaci´on doble implicaci´ on ↔, x ↔ y := ((x → y) ∧ (x ← y)) cuya tabla es ↔ 0 1

0 1 1 0 0 1

Tabla 4.23 que coincide con la equivalencia l´ogica del cap´ıtulo 2. Esta operaci´on es asociativa, tiene como elemento id´entico a 1, cada elemento es el inverso de s´ı mismo y es conmutativa; es decir, es un grupo abeliano. Un sistema axiom´ atico para la operaci´ on ↔ Si elegimos como axiomas: A4. Conmutativa. x ↔ y = y ↔ x A5. Unipotencia. x ↔ x = y ↔ y A10. y ↔ x �= x ↔ x Podemos demostrar las propiedades: Asociativa: para todo x, y, z en el conjunto X = {0, 1} se cumple que x ↔ (y ↔ z) = (x ↔ y) ↔ z. Prueba: como en X solo hay dos elementos, entonces z = x o z = y, por tanto dividimos la prueba en dos partes: Caso 1. Sea z = x, entonces, x ↔ (y ↔ x) = (y ↔ x) ↔ x = (x ↔ y) ↔ x 165 181

Por A4. Por A4.


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Caso 2. Sea z = y y si asumimos que x ↔ y = x, entonces por A10., tenemos que y ↔ y = y, por tanto x ↔ (y ↔ y) = x ↔ y = (x ↔ y) ↔ y. Si asumimos que x ↔ y = y, por A10. tenemos que y ↔ y = x, por tanto x ↔ (y ↔ y) = x ↔ x =y↔y = (x ↔ y) ↔ y

Por A5. Por A10.

Semisim´ etrica a izquierda II : para todo x, y en el conjunto X = {0, 1} se cumple que x ↔ (y ↔ x) = y. Prueba: como en X solo hay dos elementos, dividimos la prueba en dos partes: Caso 1. Si x ↔ y = x Como x ↔ y = x, por el axioma 3 tenemos que x ↔ x = y, por tanto x ↔ (y ↔ x) = x ↔ (x ↔ y) =x↔x =y

Por A4. Por hip´otesis. Por A10.

Caso 2. Si x ↔ y = y x ↔ (y ↔ x) = x ↔ (x ↔ y) =x↔y =y

Por A4. Por hip´otesis. Por hip´otesis.

Semisim´ etrica a derecha: para todo x, y en el conjunto X = {0, 1} se cumple que (x ↔ y) ↔ x = y. 166 182


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos Prueba:

.

(x ↔ y) ↔ x = x ↔ (x ↔ y) = x ↔ (y ↔ x) =y

Por A4. Por A4. Por la propiedad semisim´etrica a izquierda.

Identidad de Schwitzer a izquierda: para todo x, y, z en el conjunto X = {0, 1} se cumple que (x ↔ y) ↔ (x ↔ z) = z ↔ y. Prueba: . Caso 1. Si z = x Si asumimos que x ↔ y = x, por A10. tenemos que x ↔ x = y, por tanto (x ↔ y) ↔ (x ↔ x) = x ↔ y. Si asumimos que x ↔ y = y, por A10. tenemos que x ↔ x = x, por tanto (x ↔ y) ↔ (x ↔ x) = y ↔ x =x↔y

Por A4.

Caso 2. Si z = y Si asumimos que x ↔ y = x, tenemos que (x ↔ y) ↔ (x ↔ y) = x ↔ x =y↔y

Por A5.

Si asumimos que x ↔ y = y, tenemos que (x ↔ y) ↔ (x ↔ y) = y ↔ y. Identidad de Schwitzer a derecha: para todo x, y, z en el conjunto X = {0, 1} se cumple que (x ↔ y) ↔ (z ↔ y) = z ↔ x. Prueba:

.

(x ↔ y) ↔ (z ↔ y) = (y ↔ x) ↔ (y ↔ z) =z↔x

167 183

Por A4. Por identidad de Schwitzer a izquierda.


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Identidad de Tarski : para todo x, y, z en el conjunto X = {0, 1} se cumple que x ↔ (y ↔ (z ↔ x)) = z ↔ y. Prueba:

.

x ↔ (y ↔ (z ↔ x)) = x ↔ (y ↔ (x ↔ z)) = x ↔ ((y ↔ x) ↔ z) = x ↔ (z ↔ (y ↔ x)) = (x ↔ z) ↔ (y ↔ x) = (z ↔ x) ↔ (y ↔ x) =y↔z =z↔y

Por A4. Por la propiedad asociativa. Por A4. Por la propiedad asociativa. Por A4. Por la identidad de Schwitzer a derecha. Por A4.

Transitiva a izquierda: para todo x, y, z en el conjunto X = {0, 1} se cumple que (x ↔ y) ↔ (x ↔ z) = y ↔ z. Prueba:

. (x ↔ y) ↔ (x ↔ z) = z ↔ y =y↔z

Por la identidad de Schwitzer a izquierda. Por A4.

Identidad de Neumann: para todo x, y, z en el conjunto X = {0, 1} se cumple que x ↔ ((y ↔ z) ↔ (y ↔ x)) = z. Prueba:

.

x ↔ ((y ↔ z) ↔ (y ↔ x)) = x ↔ (x ↔ z) Por la identidad de Schwitzer a izquierda. = x ↔ (z ↔ x) Por A4. =z Por la propiedad semisim´etrica a izquierda II. 168 184


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos Las siguientes son algunas formas en las que tambi´en podemos escribir la doble implicaci´on: En t´erminos de | y ∧: x ↔ y = [x | (x | y)] ∧ [(x | x) | y] En t´erminos de ← y ∧: x ↔ y = [(y ← x) ← x] ∧ (x ← y). 4.3.1.17.

La disyunci´ on exclusiva

Si combinamos la diferencia con la diferencia rec´ıproca en una disyunci´on obtenemos la operaci´on  x  y := ((x − •y) ∨ (x • −y)) cuya tabla es  0 1

0 1 0 1 1 0

Tabla 4.24 Que coincide con la disyunci´on exclusiva del cap´ıtulo 2. Esta operaci´on cumple los mismos axiomas que la doble implicaci´on y, por tanto tiene las mismas propiedades. En particular tiene estructura de grupo abeliano y merece m´as el nombre de suma l´ogica pues su tabla es la misma que la de la suma en Z2 . Hasta aqu´ı hemos ampliado el conjunto de conectivos l´ogicos considerados en la l´ogica habitual , ↔, ∨, →, ∧, incluyendo ⊗, ∗, |, ↓, −•, •−, ←, π1, π2, � y ⊥. Y esto agota todas las posibilidades de operaciones en un conjunto con dos elementos. En la tabla 4.25 listamos los 16 conectivos l´ogicos en la primera fila y las 39 propiedades de la tabla 4.5 en la primera columna, ella muestra cu´ales propiedades cumple cada operaci´on y nos permite agruparlas por propiedades.

169 185


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

Asociativa Conmutativa Elemento neutro Existencia de inversos Idempotencia Unipotencia Pseudoabsorbente a izquierda Pseudoabsorbente a derecha Semi-sim´etrica a izquierda II Semi-sim´etrica a derecha Identidad de Stein I Identidad de Stein II Identidad de Stein III Identidad de Schr¨ oder I Identidad de Schr¨ oder II El´astica Asociativa c´ıclica I Asociativa c´ıclica II Identidad de Abel-Graßmann I Identidad de Abel-Graßmann II

∨ ∧  ↔ → •− ↓ | ← −• π1 π2 ∗ ⊗ � ⊥ × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×

× × × ×

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

×

×

× × × × × ×

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

× × ×

× × × × × × ×

× ×

× ×

× ×

× × × ×

× ×

× × × ×

× ×

× × × ×

× ×

× × × ×

×

170 186

× ×


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos

Permutable a izquierda Permutable a derecha Producto reducido Transitiva a izquierda Transitiva a derecha Transitiva media Identidad de Schweitzer a izquierda Identidad de Schweitzer a derecha Autodistributiva a izquierda Autodistributiva a derecha Autodistributiva abeliana a izquierda Autodistributiva abeliana a derecha Identidad de Tarski Identidad de Neumann Bisim´etrica

∨ ∧  ↔ → •− ↓ | ← −• π1 π2 ∗ ⊗ � ⊥ × × × × × ×

× ×

× ×

× × × ×

× × ×

× × ×

× × × ×

×

× ×

× ×

×

× ×

× ×

×

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

× × × × × × ×

× ×

×

× ×

× × × × ×

× × ×

× ×

× × × ×

× × × × × ×

× × × × × × Tabla 4.25

Si observamos los conectivos con las propiedades y las estructuras m´as conocidas encontramos:

171 187


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Dos grupos abelianos: , ↔ Dos monoides conmutativos: ∧, ∨. Dos semigrupos conmutativos: � y ⊥ Dos semigrupos: π1 y π2 Dos grupoides conmutativos: ↓ y | Los otros 6 son solo grupoides63 .

4.4.

Relaciones entre los conectivos l´ ogicos

Los dos grupos abelianos  y ↔ son isomorfos, esto es algebraicamente id´enticos. De igual forma, los dem´as pares de operaciones mencionadas anteriormente son tambi´en isomorfas, exceptuando π1 y π2, siendo la negaci´on la funci´on biyectiva que transforma una operaci´on en la otra. Las dos proyecciones π1 y π2 no son isomorfas, la u´nica funci´on biyectiva, la negaci´on, transforma cada una de ellas en s´ı misma y no en otra. Si ampliamos nuestra mirada y consideramos la lista de propiedades enunciadas en la tabla 4.25, notamos que la primera proyecci´on π1 es permutable a derecha, la segunda π2 no; esta es permutable a izquierda, la primera no. Ahora podemos diferenciar los grupoides y encontramos que −• y ← son isomorfas, •− y → tambi´en son isomorfas. Pero ← y → no lo son pues la primera es permutable a derecha y la segunda no, esta es permutable a izquierda y la primera no. La negaci´on de la primera proyecci´on ⊗ y la de la segunda ∗ tambi´en est´an solas, ⊗ es permutable a derecha, ∗ a la izquierda, pero la primera proyecci´on π1 es idempotente y su negaci´on ⊗ no.

4.4.1.

Sistemas de conectivos fundamentales

Como en el caso de las propiedades de las operaciones donde intentamos expresar algunas de ellas en t´erminos de otras que consideramos b´asicas, (axiomas), tambi´en podemos estudiar la posibilidad de expresar todos los conectivos en funci´on de algunos b´asicos. Ya hemos hecho esta tarea usando como conectivos b´asicos la conjunci´on y la negaci´on, y solo con el funtor de Peirce (Luque et al., 2009a, pp. 17-18, 41-58), con la negaci´on y la implicaci´on en el cap´ıtulo 2, pero tambi´en es posible con la negaci´on y la Un grupoide es una pareja (A, ∗) donde A es un conjunto y ∗ es una operaci´on definida en A (no se le exige propiedad alguna). 63

172 188


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos implicaci´on rec´ıproca. A los conjuntos de conectivos que generan los dem´as los llamamos sistemas fundamentales de conectivos. A continuaci´on desarrollaremos un ejemplo usando la negaci´on y la implicaci´on rec´ıproca: 1. La implicaci´on. Vimos que x → y = y ← x. De esta forma, logramos escribir la implicaci´on en t´erminos de la implicaci´on rec´ıproca. 2. La disyunci´on. Una manera de definir la disyunci´on, diferente a la presentada en las secciones anteriores, es la siguiente: x ∨ y = (y → x) → x, y sabemos que x ← y = y → x, por tanto, podemos expresar la igualdad anterior as´ı: x ∨ y = x ← (x ← y). 3. El funtor de Peirce. Si negamos a x ∨ y, obtenemos el funtor de Peirce, es decir: x ↓ y = ¬(x ∨ y), y como ya tenemos una manera de escribir a x ∨ y en t´erminos de ←, entonces tenemos que: x ↓ y = ¬(x ← (x ← y)). 4. La conjunci´on. Una de las leyes de De Morgan, afirma que: ¬(x ∧ y) = (¬x) ∨ (¬y), de modo que al negar a ambos lados de la igualdad anterior, se obtiene que: x ∧ y = ¬((¬x) ∨ (¬y)), y como conocemos una forma de escribir la ∨ en t´erminos de ←, entonces resulta: x ∧ y = ¬((¬x) ← ((¬x) ← (¬y))). 173 189


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 5. La doble implicaci´on. Se defini´o la doble implicaci´on como: x ↔ y = (x → y) ∧ (x ← y),

y como ya tenemos una forma equivalente para → en t´erminos de ←, entonces, x ↔ y = (y ← x) ∧ (x ← y),

y usando la forma encontrada para escribir la conjunci´on en t´erminos de ←, tenemos: x ↔ y = ¬[¬(y ← x) ← {¬(y ← x) ← ¬(x ← y)}].

6. La diferencia. Si negamos la implicaci´on, obtenemos la diferencia, esto es: x − • y = ¬(x → y), y usando la expresi´on para escribir → en t´erminos de ← obtenemos: x − • y = ¬(y ← x).

7. La diferencia rec´ıproca. Hemos visto que x • −y = y − • x, por tanto, x • −y = ¬(x ← y).

8. La barra de Sheffer. Si negamos la conjunci´on, obtenemos la barra de Sheffer, esto es x | y = ¬(x ∧ y), y ahora usando equivalencias antes encontradas, tenemos: x | y = ¬[¬(¬x ← (¬x ← ¬y))], y de esto: x | y = (¬x) ← ((¬x) ← (¬y)). 9. La disyunci´on exclusiva. Si negamos la doble implicaci´on, resulta la disyunci´on exclusiva: x  y = ¬(x ↔ y),

y con la expresi´on hallada para la doble implicaci´on en t´erminos de ←, logramos: x  y = ¬{¬[¬(y ← x) ← {¬(y ← x) ← ¬(x ← y)}]},

esto es:

x  y = ¬(y ← x) ← [¬(y ← x) ← ¬(x ← y)]. 174 190


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos 10.

La operaci´on ∗. Al combinar la diferencia y la conjunci´on, podemos hallar la siguiente expresi´on para la operaci´on ∗: x ∗ y = (x ← y) − • (x ∧ y), dado que x − • y = ¬(y ← x), entonces lo anterior se transforma en: x ∗ y = ¬[(x ∧ y) ← (x ← y)], y sustituyendo por la expresi´on equivalente para la conjunci´on, resulta: x ∗ y = ¬[¬(¬x ← (¬x ← ¬y)) ← (x ← y)].

11.

La operaci´on ⊗. Cuando se defini´o la operaci´on ∗, se hizo as´ı: x ∗ y = y ⊗ x, por tanto, podemos escribir a la operaci´on ⊗ en t´erminos de ∗ as´ı: x ⊗ y = y ∗ x, y usando la expresi´on hallada para escribir ∗ en t´erminos de ←, encontramos: x ⊗ y = ¬[¬(¬y ← (¬y ← ¬x)) ← (y ← x)].

12.

La tautolog´ıa. Si en la definici´on hallada para la disyunci´on cambiamos de lugar los par´entesis, encontramos una expresi´on para la tautolog´ıa: x�y = (x ← x) ← y.

13.

La contradicci´on. Al negar la tautolog´ıa se obtiene la contradicci´on, por tanto: x ⊥ y = ¬(x�y), y de esto, resulta:

x ⊥ y = ¬[(x ← x) ← y]. 14.

La primera proyecci´on. Si en la definici´on hallada para la disyunci´on, cambiamos de lugar la x y la y del par´entesis, logramos una expresi´on para la primera proyecci´on as´ı: x π1 y = x ← (y ← x). 175 191


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 15. La segunda proyecci´on. Si en la expresi´on hallada para la primera proyecci´on cambiamos la x, que est´a fuera del par´entesis, por y, y la y que est´a dentro del par´entesis por x, logramos una expresi´on para la segunda proyecci´on: x π2 y = y ← (x ← x). De esta forma, hemos demostrado que el conjunto {¬, ←} es un sistema fundamental de conectivos ya que a partir de ellos dos escribimos todos los dem´as conectivos l´ogicos. Es curioso que el funtor de Peirce y la barra de Sheffer son los u ´nicos conectivos l´ogicos que permiten expresar a todos los dem´as en t´erminos de uno solo de ellos, a pesar de ser tan pobres en propiedades algebraicas, de nuestra lista solo cumplen la conmutativa y una consecuencia suya la propiedad el´astica. Por la forma en que las construimos, notamos que las operaciones definidas no son independientes unas de otras, por ejemplo x⊗y x∗y x←y x−• y x∨y x∧y xy x|y x↓y x↓y x|y x↓y x|y

= ¬x = ¬y = (¬x) → (¬y) = ¬(x → y) = (¬x) → y = ¬(x → (¬y)) = ((x − • y) ∨ (x • −y)) = x → (¬y) = ¬((¬x) → y) = ¬(x ∨ y) = ¬(x ∧ y) = (¬x) ∧ (¬y) = (¬x) ∨ (¬y)

En la tabla 4.26 (Luque et al., 2009a, p. 21) se muestran algunas relaciones entre los 16 conectivos, en ella aparece en la primera fila (de encabezamiento) 176 192


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos los 16 conectivos y en la primera columna diferentes combinaciones entre negaciones y conectivos. ∧

c x�y ∧ ∨ c H(�) = ∨ ∧ c ¬((¬x)�(¬y)) c N (�) = | ↓ c ¬(x�y) c ¬(x�(¬y)) → •− c ¬((¬x)�y) ← −• c J(�) = ↓ | c (¬x)�(¬y) c R(�) = −• ← c x�(¬y) c (¬x)�y •− → c y�x ∧ ∨ c ¬((¬y)�(¬x)) ∨ ∧ c ¬(y�x) | ↓ c ¬(y�(¬x)) c ¬((¬y)�x) c (¬y)�(¬x) c y�(¬x) c (¬y)�x

← → ↓ •− −•

−• •− | → ←

|

→ ← −• •−  ↔ ∗ ⊗ π1 π2 � ⊥

|

•− −• ← → ↔  ∗ ⊗ π1 π2 ⊥ �

∨ −• •− → ← ↔  π2 π1 ⊗ ∗ ⊥ �

|

−• ← •− → ∨

→ •− ← | ↓ ∧ •− −• ∨ ← →

−• ↓ | ∨ → ← ∧ −• •−

→ ← −• •−  ↔ ∗ ⊗ π1 π2 � ⊥

 ↔ ∗ π1 ⊗ π2 ⊥ �  ↔ π2 ⊗ π1 ∗ ⊥ �

∧ ↓

↓ ∧

| ∨

∨ |

|

↓ ↔  π2 ⊗ π1 ∗ � ⊥

∨ ← −• •− ∧ ↓ → | ∨

| → •− −• ↓ ∧ ← ∨ |

↓ •− → ← | ∨ −• ∧ ↓

← → •− −•  ↔ π2 π1 ⊗ ∗ � ⊥

∧ −• ← → ∨ | •− ↓ ∧

↔  ↔ ↔    ↔ ↔

 ↔   ↔ ↔ ↔  

∗ ⊗ ⊗ π1 ⊗ π1 π1 π1 ⊗

π1 ∗ ∗ π2 π2 ∗ π2 ∗ π2

⊗ π2 π2 ∗ ∗ π2 ∗ π2 ∗

π2 π1 π1 ⊗ π1 ⊗ ⊗ ⊗ π1

� � ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ � � �

⊥ ⊥ � � � � ⊥ ⊥ ⊥

Tabla 4.26 Aunque no son todas las relaciones posibles, cada fila nos sugiere estudiar algunas combinaciones como c = (¬x) � c (¬y) x(J �)y c donde hemos notado (J �) c al para cualquier conectivo l´ogico binario �, c (¬y). nuevo conectivo definido por la combinaci´on (¬x) � O extender la relaci´on c = ¬(x � c y) x(N �)y 177 193


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos a cualquier conectivo, ya no con la esperanza de encontrar nuevas operaciones, pues las u ´nicas 16 posibles operaciones con dos elementos ya est´an inventariadas, sino con la idea de encontrar nuevas relaciones entre ellas.

Ejemplos c es −• entonces 1. Si �

O sea que

x(J (−•))y = (¬x) − • (¬y) = ¬((¬x) → (¬y)) = ¬(y → x) = ¬(x ← y). (¬x) − • (¬y) = x • −y

Y, por tanto, J (−•) = •−, naturalmente, J (↓) = ∧ y J (|) = ∨, etc.

Por su construcci´on es f´acil ver que J (J (↓)) = ↓ y en general c = �. c J (J (�)) c es ↓ entonces N(↓) = ∨ y N(∨) =↓, N(∧) =| 2. Si en particular � y N(|) = ∧, N(→) = −• y N(−•) =→, N() =↔ y N(↔) = , N(⊗) = π1 y N(π1) = ⊗, N(π2 ) = ∗, N(∗) = π2 ; adem´as N(↓) = J (|), c = �. c N(⊥) = �; tambi´en tenemos que N(N(�))

As´ı podemos definir para cada relaci´on entre conectivos particulares una funci´on en el conjunto de los conectivos que podemos notar �. Con esto ampliamos nuestro estudio al conjunto � de las funciones de � en � y podemos considerar la posibilidad de componer funciones, por ejemplo la composici´on H = N ◦ J , o sea que c = ¬[(¬x) � c (¬y)] x(H �)y

es particularmente interesante, pues agrupa conectivos que tienen las mismas propiedades como H(↓) = | H(∧) = ∨ H(−•) = ← H(•−) = → H() = ↔

y y y y y 178 194

H(|) = ↓ H(∨) = ∧ H(←) = −• H(→) = •− H(↔) = .


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos Y como cada una de las dos funciones N y H son nilpotentes, esto significa que N 2 = (N ◦ N) = I y J 2 = (J ◦ J ) = I, entonces H 2 = (H ◦ H) = (N ◦ J ) ◦ (N ◦ J ) = I, puesto que N ◦ J = J ◦ N, al aplicar dos veces H a la c obtenemos de nuevo a �. c misma operaci´on �, Algunas de estas funciones, relaciones entre ellas y estructuras formadas usando la operaci´on de composici´on han sido estudiadas por Luque, Jim´enez ´ y Angel (2009a). Un estudio similar pero con otras funciones fue realizado por Oostra (2005, pp. 233-268). En particular, la fila 2 de la tabla 4.26 que es la funci´on H,

c H(�) = c (¬y)) ¬((¬x) �

|

−•

•−



π1

π2

|

•−

−•



π1

π2

Tabla 4.27 expresa una generalizaci´on de las conocidas leyes de De Morgan para la conjunci´on y la disyunci´on, pues debido a la ley de la doble negaci´on tenemos que x ∧ y = ¬((¬x) ∨ (¬y)) entonces ¬(x ∧ y) = ((¬x) ∨ (¬y)) x → y = ¬((¬x) • −(¬y)) entonces ¬(x → y) = ((¬x) • −(¬y)) x  y = ¬((¬x) ↔ (¬y)) entonces ¬(x  y) = ((¬x) ↔ (¬y)) x π2 y = ¬((¬x) π2 (¬y)) entonces ¬(x π2 y) = ((¬x) π2 (¬y)). Cada par de operaciones vinculadas por una ley de De Morgan son isomorfas; esto significa que tienen las mismas propiedades y, por supuesto, las definen los mismos axiomas.

4.4.2.

Propiedades de absorci´ on

Otra forma de relacionar dos operaciones es estudiar igualdades donde aparecen dos o m´as conectivos; omitiendo las negaciones en la tabla 4.26 y cambiando en algunas posiciones un conectivo por otro, un ejemplo de ellas es la propiedad de absorci´ on a izquierda que establece que ∗ es absorbente a izquierda con respecto a + si para todo x, y en A, se cumple que x ∗ (x + y) = x 179 195


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos adem´as ∗ es absorbente a derecha con respecto a + si para todo x, y en A, se cumple que (x + y) ∗ y = y y ∗ es absorbente con respecto a + si lo es a izquierda y a derecha.

Ejemplos La conjunci´on y la disyunci´on son absorbentes a izquierda una con respecto a la otra, o sea que para todo x, y en {0, 1} se cumplen x ∨ (x ∧ y) = x x ∧ (x ∨ y) = x Podemos demostrar estas propiedades si asumimos las propiedades de idempotencia y conmutatividad para la conjunci´on y la disyunci´on, y las leyes de De Morgan. Veamos: Prueba: dividimos la prueba en dos partes: 1. Veamos que se cumple x ∨ (x ∧ y) = x.

Para la prueba expresaremos x ∨ (x ∧ y) usando la propiedad de De Morgan para la ∧, as´ı: x ∨ (x ∧ y) = ¬((¬x) ∧ (¬(x ∧ y)))

Hay dos casos x = y o x �= y:

Caso 1. Si x = y se tiene que

¬((¬x) ∧ (¬(x ∧ y))) = ¬((¬x) ∧ (¬(x ∧ x))) = ¬((¬x) ∧ (¬x)) = ¬(¬x) =x

Por hip´otesis Por idempotencia de ∧ Por idempotencia de ∧ Doble negaci´on

Caso 2. Si x �= y se tiene que ¬x = y, ¬y = x y debemos considerar dos casos m´as: 180 196


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos Si x ∧ y = x se tiene que ¬((¬x) ∧ (¬(x ∧ y))) = ¬((¬x) ∧ (¬x)) = ¬(¬x) =x

Por hip´otesis Por idempotencia de ∧ Doble negaci´on

Si x ∧ y = y se tiene que ¬((¬x) ∧ (¬(x ∧ y))) = ¬((¬x) ∧ (¬y)) = ¬(y ∧ x) = ¬(x ∧ y) = ¬y =x

Por hip´otesis De Morgan Conmutativa Por hip´otesis

2. Veamos que se cumple x ∧ (x ∨ y) = x. Para la prueba, se expresar´a a x ∧ (x ∨ y) de otra forma, usando la propiedad de De Morgan para la ∨, as´ı: x ∧ (x ∨ y) = x ∧ (¬((¬x) ∧ (¬y))) Como en la demostraci´on anterior hay dos casos, x = y o x �= y: Caso 1. Si x = y se tiene que x ∧ (¬((¬x) ∧ (¬y))) = x ∧ (¬((¬x) ∧ (¬x))) = x ∧ (¬(¬x)) =x∧x =x

Por hip´otesis Por idempotencia de ∧ Doble negaci´on Por idempotencia de ∧

Caso 2. Si x �= y se tiene que ¬x = y, ¬y = x y dos casos m´as: 181 197


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Si x ∧ y = x se tiene que x ∧ (¬((¬x) ∧ (¬y))) = x ∧ (¬(y ∧ x)) = x ∧ (¬(x ∧ y)) = x ∧ (¬x) = x∧y =x

Por hip´otesis Por conmutativa de ∧ Por hip´otesis Por hip´otesis Por hip´otesis

Si x ∧ y = y se tiene que x ∧ (¬((¬x) ∧ (¬y))) = x ∧ (¬(y ∧ x)) = x ∧ (¬(x ∧ y)) = x ∧ (¬y) =x∧x =x

Por hip´otesis Conmutativa de ∧ Por hip´otesis Por hip´otesis Por idempotencia de ∧

Cada propiedad donde aparezcan dos o m´as elementos de una operaci´on en la tabla 4.5 nos sugiere al menos una relaci´on entre operaciones si cambiamos un conectivo en ella; por ejemplo: Decimos que ∗ es pseudoabsorbente a izquierda64 con respecto a + si para todo x, y en A, se cumple que: x ∗ (x + y) = y, adem´as ∗ es pseudoabsorbente a derecha con respecto a + si para todo x, y, z en A, se cumple que: (x + y) ∗ y = x y ∗ es pseudoabsorbente con respecto a + si lo es a izquierda y a derecha. Decimos que una operaci´on ∗ es semisim´etrica a izquierda II con respecto a + si para todo x, y en {0, 1} se cumple que x ∗ (y + x) = y, 64 Notemos que en la propiedad pseudoabsorbente el elemento que se repite desaparece, en la propiedad absorbente el elemento que no se repite es el que desaparece.

182 198


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos y que una operaci´on ∗ es semisim´etrica a derecha con respecto a + si para todo x, y en {0, 1} se cumple que (x + y) ∗ x = y, una operaci´on ∗ es semisim´etrica con respecto a + si lo es a izquierda II y a derecha. O que una operaci´on ∗ es el´astica con respecto a + si para todo x, y en {0, 1} se cumple que x ∗ (y + x) = (x + y) ∗ x; o que una operaci´on ∗ cumple la propiedad de Stein I con respecto a + si para todo x, y en {0, 1} se cumple que x ∗ (x + y) = y + x; o que una operaci´on ∗ cumple la propiedad de Stein II con respecto a + si para todo x, y en {0, 1} se cumple que x ∗ (x + y) = y ∗ x y as´ı sucesivamente.

Ejemplos Los siguientes ejemplos ilustran algunas de las propiedades anteriores: 1. Todo par de operaciones ∗ y + que sean conmutativas, satisfacen la propiedad el´astica, esto es, ∗ es el´astica con respecto a + y + es el´astica con respecto a ∗: • La operaci´on | es el´astica con respecto a la operaci´on ∧ y viceversa.

• La operaci´on ∧ es el´astica con respecto a la operaci´on ↓ y vicerversa. • En general, cualquier par de las siguientes operaciones: ∧, |, ↓, ∨, ↔ y , son el´asticas una con respecto a la otra.

2. La operaci´on ∧ es absorbente a derecha con respecto a →, y la operaci´on → es absorbente a derecha con respecto a |; es decir, para todo x, y de {0, 1}, (x → y) ∧ y = y y (x | y) → y = y. 183 199


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 3. La operaci´on → cumple la propiedad Stein I con respecto a |, es decir, para todo x, y en el conjunto {0, 1}, x → (x | y) = y | x. 4. La operaci´on | cumple la propiedad Stein II con respecto a ∧, de igual manera lo hacen ∧ con respecto a →, ∧ con respecto a ↔, ↓ con respecto a ∨, ∨ con respecto a , | con respecto a →, | con respecto a ↔, ↓ con respecto a , etc., esto es, para todo x, y en {0, 1}: x | (x ∧ y) = y | x x ∧ (x → y) = y ∧ x x ∧ (x ↔ y) = y ∧ x x ↓ (x ∨ y) = y ↓ x x ∨ (x  y) = y ∨ x x | (x → y) = y | x x | (x ↔ y) = y | x x ↓ (x  y) = y ↓ x.

Ejercicio ´ Usando el programa Algebra finita 1.0., halle pares de operaciones que satisfagan algunas de las propiedades mencionadas anteriormente. Incluya algunos conectivos no usuales.

4.4.3.

Propiedad distributiva

Si en las consideraciones anteriores incluimos un tercer elemento, debemos iniciar con la posibilidad m´as conocida y estudiada: la propiedad distributiva. Como en general las operaciones que estudiamos no son conmutativas debemos distinguir dos casos de distributividad, una a derecha y otra a izquierda. Cuando sobre un mismo conjunto A est´an definidas dos operaciones cualesquiera que notamos + y ×, decimos que × es distributiva a derecha con respecto a +; si para todo x, y, z en A tenemos que: (x + y) × z = (x × z) + (y × z). 184 200


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos Y decimos que × es distributiva a izquierda con respecto a +; si para todo x, y, z en A tenemos que: z × (x + y) = (z × x) + (z × y).

Ejemplos 1. ⊗ es distributiva a derecha con respecto a ∗; o sea que para todo x, y, z en {0, 1} tenemos que: (x ∗ y) ⊗ z = (x ⊗ z) ∗ (y ⊗ z). ⊗ no es distributiva a izquierda con respecto a ∗ puesto que 0 ⊗ (0 ∗ 0) �= (0 ⊗ 0) ∗ (0 ⊗ 0). 0 ⊗ (1) �= (1) ∗ (1). 1 �= 0. 2. Es conocido que en los conjuntos num´ericos como los n´ umeros naturales, enteros, racionales, reales, complejos, etc., la multiplicaci´on distribuye con respecto a la suma, pero la suma no distribuye con respecto a la multiplicaci´on; esto es, no se cumple que x + (y ∗ z) = (x + y) ∗ (x + z). 3. Por el contrario en algunos casos de los conectivos l´ogicos, la distribuci´on es doble; por ejemplo, la conjunci´on distribuye con respecto a la disyunci´on y viceversa. Esto es z ∨ (x ∧ y) = (z ∨ x) ∧ (z ∨ y) (x ∧ y) ∨ z = (x ∨ z) ∧ (y ∨ z). Como la disyunci´on es conmutativa basta probar una de ellas, elijamos la primera. z ∨ (x ∧ y) = (z ∨ x) ∧ (z ∨ y). 185 201


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Prueba: como en {0, 1} solo hay dos elementos, consideramos dos casos: Caso 1. Si z = x debemos probar que para todo x, y en {0, 1} se cumple que x ∨ (x ∧ y) = (x ∨ x) ∧ (x ∨ y): (x ∨ x) ∧ (x ∨ y) = x ∧ (x ∨ y) Por la idempotencia de ∨ . =x Por la absorbente a izquierda de ∧ con respecto a ∨ . = x ∨ (x ∧ y) Por la absorbente a izquierda de ∨ con respecto a ∧ . Caso 2. Si z = y debemos probar que para todo x, y en {0, 1} se cumple que y ∨ (x ∧ y) = (y ∨ x) ∧ (y ∨ y): (y ∨ x) ∧ (y ∨ y) = (y ∨ x) ∧ y = y ∧ (y ∨ x) = y ∧ (x ∨ y) =y

Por la idempotencia de ∨ . Por la conmutativa de ∧ . Por la conmutativa de ∨ . Por la absorbente a izquierda de ∧ con respecto a ∨ . = y ∨ (x ∧ y) Por la absorbente a izquierda de ∨ con respecto a ∧ .

Tambi´en la conjunci´on distribuye con respecto a la disyunci´on, o sea que para todo x, y, z en {0, 1} se cumple que z ∧ (x ∨ y) = (z ∧ x) ∨ (z ∧ y) (x ∨ y) ∧ z = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z). La prueba es similar a la anterior. Es m´as, una de ellas implica la otra, veamos: Prueba: supongamos que se tiene: x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) 186 202


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos Partiendo de (x ∧ z) ∨ (y ∧ z): (x ∧ z) ∨ (y ∧ z) = [(x ∧ z) ∨ y] ∧ [(x ∧ z) ∨ z] = [(x ∧ z) ∨ y] ∨ z = [(x ∧ y) ∨ (z ∧ y)] ∨ z = (x ∧ y) ∨ [(z ∧ y) ∨ z] = (x ∧ y) ∨ z

Por hip´otesis. Por la propiedad absorbente. Por hip´otesis. Por la propiedad asociativa de ∨ . Por la propiedad absorbente.

que es lo que dese´abamos demostrar. 4. La operaci´on → distribuye a izquierda con respecto a conjunci´on ∧, esto es para todo x, y, z en {0, 1} z → (x ∧ y) = (z → x) ∧ (z → y). Prueba: como ya tenemos demostradas varias propiedades de ∧ y de ∨ y podemos escribir las dem´as en t´erminos de ellas y de la negaci´on, demostrar que z → (x ∧ y) = (z → x) ∧ (z → y), es lo mismo que demostrar (¬z) ∨ (x ∧ y) = ((¬z) ∨ x) ∧ ((¬z) ∨ y), puesto que z → y = (¬z) ∨ y. Pero esto ya est´a demostrado. 5. Pero → no distribuye a derecha con respecto a conjunci´on ∧, pues (x ∧ y) → z �= (x → z) ∧ (y → z). En particular si x = 0, y = 1 y z = 0: (0 ∧ 1) → 0 �= (0 → 0) ∧ (1 → 0). 0 → 0 �= 1 ∧ 0 1 �= 0 187 203


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 6. → distribuye a izquierda con respecto a ∨, esto es para todo x, y, z en {0, 1} z → (x ∨ y) = (z → x) ∨ (z → y). 7. Pero → no distribuye a derecha con respecto a ∨, en particular si x = 0, y = 1 y z = 0. 8. La disyunci´on ∨ distribuye a izquierda y a derecha con respecto a →, es decir: z ∨ (x → y) = (z ∨ x) → (z ∨ y) y (x → y) ∨ z = (x ∨ z) → (y ∨ z). 9. Pero la conjunci´on ∧ no distribuye ni a derecha ni a izquierda con respecto a →, en particular si x = 0, y = 0 y z = 0. 10. La conjunci´on ∧ distribuye a izquierda y a derecha con respecto a −•, y la disyunci´on ni a izquierda ni a derecha. z ∧ (x − • y) = (z ∧ x) − • (z ∧ y) (x − • y) ∧ z = (x ∧ z) − • (y ∧ z). 11. Solo ⊥ y ∧ distribuyen con respecto a . 12. Solo ∨ y � distribuyen con respecto a ↔. 13.  distribuye con respecto a ⊥, ∧, −•, π1, •−, π2, y ∨. 14. � distribuye con respecto a ∧, π1, π2, ∨, ↔, ←, →. 15. Todas distribuyen con respecto a π1 y π2 . 16. Ninguna distribuye con respecto a ↓ ni a |. 17. ⊥, π1, π2 , � distribuyen con respecto a ∧ y ∨. 18. ⊥, ∧, −•, π1 distribuyen a derecha con respecto a ⊥, ∧, −•, π1, •−, π2,  y ∨. 19. ⊥, ∧, •−, π2 distribuyen a izquierda con respecto a ⊥, ∧, −•, π1, •−, π2,  y ∨. 188 204


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos 20.

π1 distribuye a derecha con respecto a todas.

21.

π2 distribuye a izquierda con respecto a todas.

22.

π1, ∨, ←, � distribuyen a derecha con respecto a ∧, π1, π2, ∨, ↔, ←, → y �.

23.

π2, ∨, →, � distribuyen a izquierda con respecto a ∧, π1, π2 , ∨, ↔, ←, →, �.

24.

π1, , ↔, ⊗ distribuyen a derecha con respecto a π1 , π2, ∗, ⊗.

25.

π2, , ↔, ∗ distribuyen a izquierda con respecto a π1, π2, ∗, ⊗.

26.

⊥, ∧, π1, π2, ∨, � distribuyen con respecto a ellas mismas.

27.

−• y •− solo distribuyen con respecto a π1 y π2 .

28.

 y ↔ distribuyen con respecto a π1, π2, ∗ y ⊗.

c 1 distribuye con respecto a � c 2, entonces En general si una operaci´on � c 1 distribuye con respecto a H � c 2 , donde para todo x, y en la operaci´on H � {0, 1} c = ¬[(¬x) � c (¬y)]. x(H �)y Prueba: c 1 (y H � c 2 z) = x H � c 1 (¬(¬y � c 2 ¬z)) x H� c 1 ¬(¬(¬y � c 2 ¬z))) = ¬(¬x � c c = ¬(¬x �1 (¬y �2 ¬z) c 2 (¬x � c 1 ¬z)) c 1 ¬y) � = ¬((¬x � c 1 ¬y)) � c 2 (¬¬(¬x � c 1 ¬z))] = ¬[(¬¬(¬x � c 2 ¬(x H � c 1 z)] c 1 y) � = ¬[¬(x H � c 2 (x H � c 1 z). c 1 y) H � = (x H � Entre las estructuras conocidas tenemos que (A, ∨, ∧) es un anillo con unidad (1) conmutativo. (A, , ⊥) es un anillo conmutativo. (A, ↔, ∨) es un anillo con unidad (0) conmutativo. (A, ↔, �) es un anillo conmutativo. 189 205


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 4.4.3.1.

Otras formas de distributividad

En forma similar a lo que hicimos con las propiedades de absorci´on, podemos definir otras formas de distributividad cambiando una operaci´on en las propiedades de la tabla 4.5, as´ı:

1. Decimos que una operaci´on ∗ cumple la propiedad de Schwitzer I a izquierda con respecto a + si para todo x, y en {0, 1} se cumple que (x ∗ y) + (x ∗ z) = z ∗ y 2. Decimos que una operaci´on ∗ cumple la propiedad de Schwitzer II a izquierda con respecto a + si para todo x, y en {0, 1} se cumple que (x ∗ y) + (x ∗ z) = z + y 3. Decimos que una operaci´on ∗ cumple la propiedad de Schwitzer I a derecha con respecto a + si para todo x, y en {0, 1} se cumple que (x ∗ y) + (z ∗ y) = z ∗ x 4. Decimos que una operaci´on ∗ cumple la propiedad de Schwitzer II a derecha con respecto a + si para todo x, y en {0, 1} se cumple que (x ∗ y) + (z ∗ y) = z + x, y as´ı con las dem´as propiedades.

Ejemplos 1. La operaci´on ↔ cumple la propiedad de Schwitzer II a derecha e izquierda con respecto a , es decir: (x ↔ y)  (x ↔ z) = z  y (x ↔ y)  (z ↔ y) = z  y. 190 206


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos 2. Y adem´as,  cumple la propiedad de Schtwitzer II a derecha e izquierda con respecto a ↔: (x  y) ↔ (x  z) = z ↔ y (x  y) ↔ (z  y) = z ↔ y.

Ejercicio ´ Usando el programa Algebra finita 1.0., halle pares de operaciones que satisfagan algunas de las propiedades mencionadas anteriormente. Incluya algunos conectivos no usuales.

4.4.4.

Otras estructuras con dos operaciones: ret´ıculos

Existen en la literatura estructuras bastante estudiadas con dos operaciones, entre ellas las m´as populares en el ´algebra abstracta son los anillos (Burton, 1970) y los campos (Bourbaki, 1990). En estas estructuras se exige que haya una operaci´on privilegiada con las mejores propiedades, y en lo usual esta es la estructura de grupo abeliano; por nuestras costumbres la notamos +. La segunda operaci´on que notamos ∗ ya no necesariamente es perfecta, pero s´ı debe respetar a la primera, esto es que ∗ sea distributiva con respecto a + y en la medida en que ∗ tenga m´as propiedades el nombre de la estructura va cambiando, (no con mucha originalidad) si ∗ es asociativa se llama anillo, si adem´as tiene elemento id´entico es un anillo con unidad, si adicionalmente ∗ es cancelativa65 tenemos un dominio de integridad, si cada elemento diferente del m´odulo de la suma tiene un inverso para la operaci´on ∗, se llama cuerpo y si adem´as de todo es conmutativo es un campo. En teor´ıa de conjuntos ordenados las m´as conocidas son los ret´ıculos; estos se pueden caracterizar con el orden o desde un punto de vista estrictamente algebraico66, abordaremos aqu´ı este u ´ltimo. Si a ∗ b = a ∗ c con a �= 0, entonces b = c. Inicialmente Schr¨oder propuso una definici´ on con los axiomas de idempotencia de las dos operaciones incluidas; en 1897 Dedekind demostr´o que estas eran deducibles de las dem´as. La prueba de la equivalencia de los dos sistemas de axiomas fue hecha por Ore en 1935 y la demostraci´on de que los axiomas son independientes fue resuelta por Kimura en 1950 (Padmanabhan y Rudeanu, 2008). 65 66

191 207


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos En este caso no ensamblamos dos operaciones algebraicamente diferentes, sino dos representaciones de la misma operaci´on, en un especie de hermafroditismo matem´atico una operaci´on cambia su cara y se ensambla consigo misma. Un ret´ıculo es una tripla (A, ∗, +) donde A es un conjunto no vac´ıo, ∗ y + son dos operaciones binarias definidas en A, tales que para todo a, b, c en A: R1. a ∗ b = b ∗ a R2. (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) R3. (a ∗ b) + a = a R4. a + b = b + a R5. (a + b) + c = a + (b + c) R6. (a + b) ∗ a = a Es decir que ∗ y + son conmutativas, asociativas y absorbentes una con respecto a la otra. Teorema 4.1. Para todo a en un ret´ıculo A se cumple que a∗a=a y

a+a=a

Prueba: probemos la segunda igualdad. a + a = a + (a ∗ (a + a)) = a + (a ∗ y) =a

Por R1 y R6 Poniendo y = (a + a) Por R1 y R3.

Teorema 4.2. Para todo a, b en un ret´ıculo A se cumple que a+b=a

si y solo si

a∗b = b

Prueba: probemos la segunda igualdad suponiendo la primera. a ∗ b = (a + b) ∗ b =b

Por hip´otesis Por R4 y R6 192 208


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos

Ejemplos 1. Sea M un m´odulo. El conjunto de los subm´odulos de M con las operaciones suma67 de subm´odulos e intersecci´on es un ret´ıculo. 2. Sea R un anillo. El conjunto de los ideales de R con la suma68 de ideales y la intersecci´on es un ret´ıculo. 3. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico. La tripla (τ, ∪, ∩) formada por el conjunto τ de los conjuntos abiertos con la uni´on y la intersecci´on de conjuntos es un ret´ıculo.   4. El conjunto 3 = 0, 12 , 1 con las operaciones ∧ 0 1 2

1

0 0 0 0

1 2

1 0

∨ 0

0 0

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

0

1

1

Tabla 4.28

1

1 2 1 2 1 2

1

1 1 1 1

Tabla 4.29

es un ret´ıculo usado por H. Reichenbach en una formulaci´on alternativa con l´ogica trivalente para la mec´anica cu´antica (Reichenbach, 1932).   1 5. El conjunto n = 0, 12 , 13 , . . . , (n−1) , 1 con las operaciones p ∧ q = m´ın{p, q}

p ∨ q = m´ax{p, q}

donde m´ın y m´ax son el m´ınimo y m´aximo respectivamente en el orden usual de los n´ umeros racionales, es un ret´ıculo. Notemos que las operaciones ∗ y + son intercambiables en un ret´ıculo A, las dos son esencialmente la misma pues tienen las mismas propiedades, son isomorfas. Si fijamos una de ellas digamos +, y el ret´ıculo tiene elemento id´entico para esta operaci´on, a este elemento lo notamos 0, y si el ret´ıculo tiene elemento id´entico para la operaci´on ∗ a este lo notamos 1. Esto significa que para todo a, b en un ret´ıculo A 67 68

a + 0 = a y a ∗ 1 = a.

La suma de dos subm´odulos H y J de un m´ odulo M es el m´odulo generado por H ∪ J. La suma de dos ideales H y J de un anillo R es el ideal generado por H ∪ J.

193 209


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Teorema 4.3. Si en un ret´ıculo existe un elemento id´entico 0 para la operaci´ on + este es u ´nico. El elemento 1 tambi´en es u ´nico. Prueba: probemos lo primero. Supongamos que hay dos elementos id´enticos 0 y 0 entonces 0 = 0 + 0 = 0 . Teorema 4.4. Para todo a en un ret´ıculo A con elementos id´enticos a ∗ 0 = 0. Prueba: a ∗ 0 = (a ∗ 0) + 0 = (0 ∗ a) + 0 =0

Por ser 0 elemento id´entico de +. Por R1. Por R3.

Ejemplos 1. En el ret´ıculo (τ, ∪, ∩), el elemento 0 es el conjunto ∅ y el elemento 1 es el conjunto X. 2. El conjunto (Pvect (X), ∩, ⊕) de los subespacios de un espacio vectorial X donde ∩ es la intersecci´on de conjuntos y A ⊕ B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} es el subespacio vectorial generado por A∪B. El elemento 0 es el espacio vectorial trivial {0} y el elemento 1 es el espacio total X. 4.4.4.1.

Ret´ıculos complementados

Si en un ret´ıculo A existen elementos 0 y 1 y para un elemento dado a existe un elemento b tal que a+b=1 y a∗b=0 b se llama un complemento de a y si todo elemento del ret´ıculo tiene un complemento, el ret´ıculo se llama complementado. 194 210


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos 4.4.4.2.

Ret´ıculos distributivos

Un ret´ıculo es distributivo si alguna de las dos operaciones distribuye con respecto a la otra. Si observamos la demostraci´on de que la propiedad distributiva de la conjunci´on con respecto a la disyunci´on en el ejemplo 3 de la secci´on 4.4.3. implica la propiedad distributiva de la disyunci´on con respecto a la conjunci´on, notamos que los u ´nicos argumentos son la propiedad asociativa y la absorbente, y esto significa que una distributividad implica la otra tambi´en en un ret´ıculo cualquiera. Teorema 4.5. Si un ret´ıculo (A, ∗, +) es distributivo entonces las operaciones ∗ y + son cancelativas. Prueba: para probar la primera implicaci´on supongamos que A es distributivo y se cumplen: x + z = y + z, x ∗ z = y ∗ z entonces: x = x ∗ (x + z) = x ∗ (y + z) = (x ∗ y) + (x ∗ z) = (x ∗ y) + (y ∗ z) = y ∗ (x + z) = y ∗ (y + z) =y

por por por por por por por

R6. hip´otesis. la propiedad distributiva de ∗ con respecto a +. hip´otesis. la propiedad distributiva de ∗ con respecto a +. hip´otesis. R6.

Teorema 4.6. Si en un ret´ıculo (A, ∗, +) las operaciones ∗ y + son cancelativas entonces A es distributivo (Birkhoff, 1940, p. 39).

Ejemplos 1. El ret´ıculo (N, (, ), [, ]) donde N es el conjunto de los n´ umeros naturales, (a, b) es el m´aximo com´ un divisor entre a y b; [a, b] es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo entre a y b es distributivo. Prueba: demostremos que las dos operaciones ( , ) y [ , ] son cancelativas

195 211


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Supongamos que para todo x, y, z en N (x, z) = (y, z) y [x, z] = [y, z] con z distinto de 0. Como [x, y] =

xy (x, y)

entonces xz = (x, z)[x, z] = (y, z)[y, z] = yz o sea x = y. Si z = 0 entonces x = (x, 0) = (y, 0) = y. 2. El ret´ıculo (SUBG (G), ∩, [, ]) de los subgrupos de un grupo G, donde ∩ es la intersecci´on de conjuntos y [H, K] representa el subgrupo generado por la uni´on de los subgrupos H y K, no es un ret´ıculo distributivo (Luque et al., 1997, pp. 17-18) puesto que si G = S3 es el grupo de permutaciones de tres elementos y H = �(1 2)�, J = �(1 3)�, K = �(2 3)� son los subgrupos de G generados por las transposiciones (1 2), (1 3) y (2 3) respectivamente entonces: [H, J ] ∩ K = S3 ∩ K = K pero [(H ∩ K), (J ∩ K)] = [{e}, {e}] = {e}. 3. Sea X un conjunto. El conjunto ℘(X) de las partes de X con las operaciones de uni´on e intersecci´on es un ret´ıculo distributivo. La prueba es directa usando la propiedad distributiva de la disyunci´on con respecto a la conjunci´on y la definici´on de uni´on e intersecci´on. 196 212


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos 4. En el ret´ıculo M3 descrito por las tablas 4.30 y 4.31 cada uno de los elementos a, b y c es complemento de los otros dos, en particular a es complemento de b y de c. 0 es el complemento de 1 y viceversa. Como vemos, no es necesario que el complemento de un elemento sea u´nico. + 0 a b c 1

0 0 a b c 1

a a a 1 1 1

b b 1 b 1 1

c c 1 1 c 1

1 1 1 1 1 1

Tabla 4.30 ∗ 0 a b c 1

0 0 0 0 0 0

a 0 a 0 0 a

b 0 0 b 0 b

c 0 0 0 c c

1 0 a b c 1

Tabla 4.31 5. El ret´ıculo 3 no es complementado pues 12 no tiene complemento ya que si existiera deber´ıa tenerse que para alg´ un z de 3: z∧

1 =0 2

y

z∨

1 =1 2

pero el u ´nico z que cumple la primera condici´on es el 0, y la otra el 1. Un ret´ıculo donde cada elemento tenga un u ´nico complemento se llama u ´nicamente complementado. Teorema 4.7. Sea B un ret´ıculo distributivo y complementado, x ∈ B y x’ un complemento de x, entonces x + 1 = 1. 197 213


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Prueba: 1 = x + x = x + (x ∗ 1) = (x + x) ∗ (x + 1) = 1 ∗ (x + 1) =x+1

por por por por por

definici´on de complemento. ser 1 elemento id´entico para ∗ . la propiedad distributiva de + respecto a ∗ . definici´on de complemento. ser 1 elemento id´entico para ∗ .

Teorema 4.8. Si un ret´ıculo complementado (A, ∗, +) es distributivo entonces es u ´nicamente complementado. Prueba: supongamos que a y b son complementos de un elemento x de A. Entonces a ∗ x = 0, b ∗ x = 0 y a + x = 1, b + x = 1. Por tanto,

b=b+1 = b + (a + x) = b + (x + a) = (b + x) + a = 1+a =a+1 =a

Por Por Por Por Por Por Por

el teorema 4.7. hip´otesis. R4. R5. hip´otesis. R4. el teorema 4.7.

Una prueba alternativa, m´as breve es: Sean x y x dos complementos de x, las igualdades: x ∗ x = 0

y

x ∗ x = 0

x + x = 1

y

x + x = 1,

y implican, por el teorema 4.5, que x = x. 4.4.4.3.

Ret´ıculos modulares

Un ret´ıculo A es modular si para todo a, b, c en A se cumple que a + (b ∗ (a + c)) = (a + b) ∗ (a + c) 198 214


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos o equivalentemente a ∗ (b + (a ∗ c)) = (a ∗ b) + (a ∗ c). Teorema 4.9. Si (A, ∗, +) es un ret´ıculo distributivo entonces es modular. Prueba: sean a, b, c en A entonces a ∗ (b + (a ∗ c)) = (a ∗ b) + a ∗ (a ∗ c) Por la propiedad distributiva de ∗ respecto a +. = (a ∗ b) + (a ∗ a) ∗ c Por R2. = (a ∗ b) + (a ∗ c) Por el teorema 4.1. El teorema rec´ıproco no es cierto.

Ejemplo (Pvect (X), ∩, ⊕) es un ret´ıculo modular no distributivo. Veamos que no es distributivo. Prueba: si A, B, C son subespacios vectoriales del espacio X entonces A ∩ (B ⊕ C) no necesariamente es igual a (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C); por ejemplo, si X = R2, A es la recta de pendiente 1 que pasa por el origen, B es el eje x y C el eje y: A ∩ B = {0} = A ∩ C,

y por tanto pero

(A ∩ B) ⊕ (A ∩ C) = {0}, A ∩ (B ⊕ C) = A ∩ X = A.

Ahora veamos que es modular, es decir, si A, B, C son subespacios vectoriales de un espacio vectorial X, A ∩ (B ⊕ (A ∩ C)) = (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C). Prueba: sea x ∈ A ∩ (B ⊕ (A ∩ C)) entonces x ∈ A y x = b + y con y ∈ A ∩ C y b ∈ B, por tanto y ∈ A y y ∈ C, de donde b = x − y ∈ A, por ser A subespacio de X. Como b ∈ A y b ∈ B entonces b ∈ A ∩ B y como y ∈ A ∩ C tenemos que x ∈ (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C). Luego A ∩ (B ⊕ (A ∩ C)) ⊆ (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C). 199 215


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

Ejercicio Pruebe que (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ⊕ (A ∩ C)). Un ret´ıculo distributivo y complementado se llama un ´ algebra de Boole.

4.5.

Conectivos como matrices

Cada conectivo l´ogico puede tambi´en verse como una matriz 2 × 2 con entradas en el campo (Z2 , +, ×):         0 0 1 1 1 1 1 0 ⊥= �= |= ↓= 0 0 1 1 1 0 0 0 =

→=



 0 1 1 0

  1 1 0 1

  1 0 ∗= 1 0

  1 0 ↔= 0 1

∨=

  0 1 0 0

←=

•− =



 0 1 1 1

  1 0 1 1

∧=

−• =

  0 0 π1 = 1 1

  1 1 ⊗= 0 0



 0 0 0 1

  0 0 1 0

  0 1 π2 = 0 1

Y con este punto de vista ganamos la estructura que tienen el conjunto de matrices. Por ejemplo podemos sumar, multiplicar, hacer transpuestas, calcular determinantes, estudiar transformaciones, etc., si hallamos las transpuestas encontramos que: (⊥)T =⊥

(�)T = �

()T = 

(↔)T =↔

(→)T =←

(•−)T = −•

(∗)T = ⊗

(|)T =|

(↓)T =↓

(∨)T = ∨

(∧)T = ∧

(←)T =→

(⊗)T = ∗

(π1 )T = π2

(−•)T = •− (π2 )T = π1

Si encontramos las inversas de aquellas que tienen: (|)(−1) = ∨,

()(−1) = ,

(↔)(−1) =↔,

Con la multiplicaci´on usual de matrices 200 216

(→)(−1) =→,

(←)(−1) =← .


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos 1. ⊥ es la matriz 0. 2. ↔ es la matriz 1. 3. ↓, ⊗, *, ∧, π1 , π2 son elementos idempotentes, esto es (↓)n =↓ y (⊗)n = ⊗, (∗)n = ∗. 4. −•, •−, � son elementos nilpotentes, o sea que (−•)2 = 0, (•−)2 = 0, (�)2 = 0. 5. El conjunto {0, −•} es isomorfo con (Z2 , ×): · 0 −•

0 0 0

−• 0 −•

Tabla 4.32 y tiene todas las propiedades que enunciamos para ∧ y para ∨. 6. ()2 = 1, (→)2 = 1 , (←)2 = 1, o sea que cada uno de los conjuntos {1, }, {1, →}, {1, ←} con la multiplicaci´on de matrices es isomorfo con el grupo abeliano (Z2 , +): · 1 

1 1 

  1

Tabla 4.33 7. (|)3 = 1, (∨)6 = 1. 8. El conjunto {1, ∧} tiene la misma estructura que la disyunci´on · 1 ∧

1 1 ∧

∧ ∧ ∧

Tabla 4.34 201 217


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 9. El conjunto {⊗, ↓} tiene la misma estructura que π2 · ⊗ ↓

⊗ ⊗ ⊗

↓ ↓ ↓

Tabla 4.35 10. El conjunto {∗, ↓} tiene la misma estructura que π1 · ∗ ↓

∗ ∗ ↓

↓ ∗ ↓

Tabla 4.36 11. La operaci´on · en el conjunto {0, ↓, −•} · 0 ↓ −•

0 0 0 0

↓ 0 ↓ −•

−• 0 0 0

Tabla 4.37 es asociativa69 , no tiene elemento id´entico, ni es conmutativa, pero s´ı es el´astica, permutable a derecha, autodistributiva a derecha, bisim´etrica, cumple la propiedad del producto reducido y la identidad II de Stein. 12. La operaci´on · en el conjunto {0, ↓, ∧} · 0 ↓ ∧

0 0 0 0

↓ 0 ↓ 0

∧ 0 0 ∧

Tabla 4.38 De hecho todas las estructuras que encontramos son asociativas, pero esto es natural pues la multiplicaci´on de matrices lo es. 69

202 218


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos es asociativa, conmutativa y el´astica, idempotente, no tiene elemento id´entico, es permutable a derecha y a izquierda, autodistributiva a derecha y a izquierda, bisim´etrica, cumple la propiedad del producto reducido y las identidades I y II de Stein, I de Schr¨oder, I y II de Abel-Graßman. 13.

La operaci´on en el conjunto {0, •−, ↔} tiene como tabla · 0 •− ↔

0 0 0 0

•− 0 0 •−

↔ 0 •− ↔

Tabla 4.39 es asociativa, conmutativa y el´astica, ↔ es el elemento id´entico, es permutable a derecha y a izquierda, bisim´etrica, cumple la propiedad del producto reducido y las identidades I y II de Abel-Graßman. 14.

En el conjunto {0, ⊗, π1} · 0 ⊗ π1

0 0 0 0

⊗ 0 ⊗ π1

π1 0 ⊗ π1

Tabla 4.40 la operaci´on es asociativa y el´astica, idempotente, no tiene elemento id´entico, es permutable a derecha, autodistributiva a derecha y a izquierda, bisim´etrica, cumple la propiedad del producto reducido y la identidad I de Schr¨oder. 15.

En el conjunto {0, ↓, •−, −•, ∧, ↔, } 203 219


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos · 0 ↓ •− −• ∧ ↔ 

0 0 0 0 0 0 0 0

↓ 0 ↓ 0 −• 0 ↓ −•

•− 0 •− 0 ∧ 0 •− ∧

−• 0 0 ↓ 0 −• −• ↓

∧ 0 0 •− 0 ∧ ∧ •−

↔ 0 ↓ •− −• ∧ ↔ 

 0 •− ↓ ∧ −•  ↔

Tabla 4.41 la operaci´on es asociativa y el´astica, ↔ es el elemento id´entico. 16. En el conjunto {0, ↓, •−, π2} · 0 ↓ •− π2

↓ 0 ↓ 0 0

0 0 0 0 0

•− 0 •− 0 0

π2 0 •− •− π2

Tabla 4.42 la operaci´on es asociativa y el´astica, no tiene elemento id´entico, ni es conmutativa, pero cumple la identidad II de Stein. 17. Una subestructura de la anterior es · 0 ↓ •−

0 0 0 0

↓ 0 ↓ 0

•− 0 •− 0

Tabla 4.43 Esta operaci´on es asociativa y el´astica, no tiene elemento id´entico, ni es conmutativa, pero cumple las identidades II de Stein y II de Graßman, es permutable a izquierda, autodistributiva a izquierda, y bisim´etrica. 204 220


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Matem´aticas de los objetos l´ogicos 18.

El conjunto {0, ↓, −•, π1} · 0 ↓ −• π1

0 0 0 0 0

↓ 0 ↓ −• −•

−• 0 0 0 −•

π1 0 0 0 π1

Tabla 4.44 es asociativa y el´astica, no tiene elemento id´entico, ni es conmutativa, pero cumple la identidad II de Stein. Notemos que tiene las mismas propiedades que el ejemplo 14. Una subestructura de esta es la operaci´on del ejemplo 11. 19.

La operaci´on en los conjuntos {0, •−, ⊗} y {0, −•, ∧} tiene la misma estructura y cumple las mismas propiedades del ejemplo 17. · 0 •− ⊗

0 0 0 0

•− 0 0 •−

⊗ 0 0 ⊗

· 0 −• ∧

Tabla 4.45 20.

0 0 0 0

−• 0 0 −•

∧ 0 0 ∧

Tabla 4.46

Los conjuntos {0, •−, ↓, ∗, π2} y {0, •−, ∧, ⊗, π1} junto con la multiplicaci´on de matrices tienen como tablas · 0 •− ↓ ∗ π2

0 0 0 0 0 0

•− 0 0 •− π2 0

↓ 0 0 ↓ ∗ 0

∗ 0 ↓ ↓ ∗ ∗

· 0 •− ∧ ⊗ π1

π2 0 •− •− π2 π2

Tabla 4.47

0 0 0 0 0 0

•− 0 0 0 •− ∧

∧ 0 •− ∧ •− ∧

⊗ 0 0 0 ⊗ π1

π1 0 ⊗ π1 ⊗ π1

Tabla 4.48

Entre las propiedades consideradas solo son asociativas y el´asticas. En el conjunto de todos los conectivos la operaci´on multiplicaci´on es asociativa y el´astica, ↔ es el elemento id´entico. La tabla correspondiente es 205 221


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos ·



π2

−•

|

π1

•−

|



−•

−•

π1

−•



•−

π1

−•

π1

π1

π2



−•

π1



•−

−•

|

π2

π1





•−

|

−•

π1

π2

π2

|

•−







−•

π1

•−

•−

•−

•−

•−

•−

•−

•−

•−

•−

|

π2



|

−•

|

π2

−•

π1

•−





⊥ ⊥



π1



−•

−•

π1

−•

π1

−•

−•

π1

π1

π1

−•

π1

π1

−•

−•

π1

π1

π2

π2

π2



−•

π2





π2

π2

π2



π2



⊗ 

•−

•−

•−

π2





π2

π2

π2



π2





•−

⊗ 



⊥ ⊥

⊥ ⊥

Tabla 4.49 El mismo conjunto de matrices con entradas en el grupo abeliano (Z2 , +) es tambi´en un grupo abeliano y tiene como tabla +



•−

−•

π1

π2



π2

•−

−•

π1

−•

•−

|

|



|

π1







π2



−•

|

•−

π2

π1

|



•−

−•

π1

π2





|

−•

|

•− ↓



•−

π2

π1



•−

π1

π2





−•

π2



π1

−•

•−

π1





|

|

π2

•−

−•

|

−•

π1

π2

|

•−

|

−•

π1

π2









−•

π2

π1

•−





π1

•−

−•

π2

|

π2

−•

•−

π1

|

206 222





↓ ↔ 

 ↔


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos +



•−

|

−•

π1 ↔

π1

|

−•

•−

π2

•−

−•

|

|







π2







π2



π1



−•

•−

π2

π1

•−

|

−•

π1

π2





Tabla 4.50 La estructura formada por el conjunto de todas las matrices con entradas en el campo (Z2 , +, ∗) que est´an asociadas a un conectivo l´ogico la notamos (C, +, ∗) es un anillo con unidad. Ahora podemos estudiar teor´ıa de anillos y comparar cu´ales propiedades tiene nuestro caso particular, hallar sus conmutadores, ideales y dem´as.

4.5.1.

Como acci´ on de grupoide

Otra forma de mirar las matrices es usarlas para definir transformaciones lineales, en nuestro caso podemos estudiar el efecto que cada uno de los conectivos visto como matriz tiene al multiplicarse por un vector de V = Z2 × Z2 . El espacio V solo tiene 4 vectores          0 0 1 1 V = , , , 0 1 0 1 Si multiplicamos cada uno de estos vectores por una de las matrices:         0 0 0 1 0 0 0 0 π1 = −• = •− = ∧= 1 0 0 0 1 1 0 1 Obtenemos

    0 0 . y 0 1     1 1 1 0 obtenemos y⊗= Con ↓= 0 0 0 0     0 1 . y 0 0 207 223


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Con ∗ =



     1 1 1 0 0 1 obtenemos , π2 = y�= 1 1 1 0 0 1     0 1 . y 0 1

      1 0 1 1 0 1 obviamente y con 1t =  = Con 1 = ↔= , , |= 0 1 1 0 1 0       1 1 0 1 1 0 →= ,∨= y ←= obtenemos el conjunto completo 0 1 1 1 1 1 V. ¿Qu´e podemos obtener de esta informaci´on? Podemos estudiar geometr´ıa o topolog´ıa en este conjunto, todo depende del ojo y del inter´es de cada uno de nosotros.

4.6.

El espacio de las funciones X X

Una posibilidad siempre abierta y frecuentemente muy fruct´ıfera en teor´ıa de conjuntos, que se extiende a casi todas las ramas de la matem´atica, es estudiar las funciones que tienen como fuente o como meta conjuntos que tienen propiedades interesantes. Nuestro conjunto b´asico X = {0, 1}, por tener dos elementos el conjunto de las funciones de X en s´ı mismo, que lo notamos X X = {f : X → X, f es funci´on} tiene cuatro elementos X X = {I, ¬, 0, 1}, donde I(x) = x para todo x ∈ X 0(x) = 0 para todo x ∈ X 1(x) = 1 para todo x ∈ X 208 224


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

Matem´aticas de los objetos l´ogicos y ¬:X→X 0 �→ 1 1 �→ 0 Para cualquier par de funciones f y g en X X y para cada x ∈ X, est´a definida de manera natural la operaci´on composici´on f ◦ g(x) = f(g(x)). La tabla de la composici´on para X X es: ◦ 0 ¬ I 1

0 0 1 0 1

¬ 0 I ¬ 1

I 0 ¬ I 1

1 0 0 1 1

Tabla 4.51 Esta operaci´on es asociativa y tiene elemento id´entico I; es decir (X X , ◦) es un monoide. Adem´as es el´astica, pero no es conmutativa. El conjunto de las funciones biyectivas de X en s´ı mismo lo notamos S(X) = {f : X → X, f es funci´on biyectiva} y con la operaci´on composici´on (S(X), ◦) es un grupo pues cada funci´on biyectiva f ∈ S(X) tiene una funci´on inversa f −1 : X → X que satisface: (f −1 ◦ f)(x) = (f ◦ f −1 )(x) = I(x). Hemos procurado mostrar varias posibilidades de construcci´on y comparaci´on de estructuras matem´aticas, por supuesto esto solo es una muestra; en la medida en que aprendemos m´as, nuestra visi´on e intuici´on nos permitir´a hacer m´as conexiones, m´as analog´ıas, m´as inducciones y m´as abducciones. No hay un camino seguro, pero estudiar cualquier opci´on, aunque en principio parezca tonta o in´ util, es generalmente fruct´ıfero. Hasta los errores, y sobre todo estos, nos ense˜ nan caminos nuevos. Una condici´on necesaria es el trabajo permanente, la curiosidad y el ensayo. 209 225


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos I

Capítulo 5. Matemáticas de los procesos lógicos I CAP´ITULO 5 Matem´aticas de los procesos l´ogicos I

Nunca puede haber sorpresas en l´ ogica. L. Wittgenstein

5.1.

Validez de las reglas de inferencia

En el cap´ıtulo anterior matematizamos los objetos b´asicos de la l´ogica buscando estructuras en los conectivos y en conjuntos de conectivos, ahora mostraremos una forma de matematizar el proceso de inferencia deductiva. Trabajaremos en la propuesta de Peirce que consiste en tabular todas las posibilidades de combinaci´on de los valores de verdad de las f´ormulas correspondientes a cada razonamiento, y si en todos los casos obtenemos verdadero, la f´ormula se llama tautolog´ıa y representa una forma de razonamiento deductivo v´alido. Otra opci´on es axiomatizar la teor´ıa de la inferencia como una teor´ıa matem´atica que a partir de unas afirmaciones iniciales pueda demostrar otras leyes de inferencia como teoremas. Esto lo haremos en el siguiente cap´ıtulo. En este cap´ıtulo probaremos la validez de las reglas de inferencia del cap´ıtulo 2 y 4, demostrando las tautolog´ıas que les corresponden como consecuencia del teorema de la deducci´on, usando tablas de verdad; luego nos dedicamos a encontrar nuevas tautolog´ıas.

227


Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ávila Mahecha - María Nubia Soler Álvarez

Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

5.1.1.

Tautolog´ıas y tablas de verdad

Hemos representado las proposiciones mediante letras y definido algunas operaciones l´ogicas usando sus valores de verdad; por ejemplo en una implicaci´on, si la proposici´on antecedente es falsa, sin importar el valor de verdad de la proposici´on consecuente, la implicaci´on resulta verdadera; sin embargo, la implicaci´on es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso, como vemos, existe un caso en que la proposici´on es falsa, pero en el caso de la proposici´on p ∨ (¬p), esta es cierta sin importar el valor de verdad de p; de igual manera ocurre cuando negamos dos veces una proposici´on. Estudiaremos enseguida proposiciones compuestas que resulten verdaderas bajo todos los valores de verdad de las proposiciones que la componen, estas proposiciones tambi´en llamadas verdades l´ ogicas representan razonamientos deductivos v´alidos pues su verdad no depende del contenido sem´antico de sus proposiciones componentes. Por el teorema de la deducci´on a cada regla de inferencia v´alida le corresponde una implicaci´on que es verdadera en todos los casos, independiente del valor de verdad de cada una de las proposiciones componentes; es decir le corresponde una tautolog´ıa. Como hemos visto, las operaciones l´ogicas est´an definidas en t´erminos de sus valores de verdad, es decir, que si dos proposiciones compuestas tienen tablas de verdad id´enticas fila a fila, entonces ambas proposiciones son desde el punto de vista l´ogico iguales, las llamamos equivalentes. Veamos un ejemplo en el cual sucede esto: cuando a un joven le decimos: “no bebas mucho o te emborrachas”, es lo mismo decir: “si bebes mucho, te emborrachas”, al representar con p la proposici´on “tu bebes mucho con q la proposici´on “tu te emborrachas”, tenemos para ambos casos las siguientes tablas de verdad: 2

p 0 0 1 1

(¬p) ∨ q ¬p q (¬p) ∨ q 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1

p 0 0 1 1

Tabla 5.1

p→q q p→q 0 1 1 1 0 0 1 1 Tabla 5.2

Comparando la u ´ltima columna de cada tabla, vemos que ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad para los mismos valores de verdad 212 228


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Matem´aticas de los procesos l´ogicos I de p y q, esto significa que son equivalentes y lo escribiremos as´ı: ((¬p) ∨ q) ↔ (p → q) Y lo representamos con la tabla: p 0 0 1 1

q 0 1 0 1

¬p 1 1 0 0

(¬p) ∨ q 1 1 0 1

p→q 1 1 0 1

((¬p) ∨ q) ↔ (p → q) 1 1 1 1

Tabla 5.3 La u ´ltima columna de la tabla 5.3 demuestra que ((¬p) ∨ q) ↔ (p → q) es una tautolog´ıa. Hemos usado la palabra “igual” para dos tablas que tienen los mismos valores de verdad, pero usaremos la palabra “equivalente” cuando nos referimos a las proposiciones en cuyo caso utilizamos el s´ımbolo ↔ (doble implicaci´on o equivalencia). A continuaci´on listaremos algunas tautolog´ıas con sus tablas de verdad correspondientes, en la columna correspondiente al c´alculo definitivo de la proposici´on compuesta solo aparece el n´ umero 1. Si una proposici´on compuesta tiene valor 0 independiente del valor de verdad de sus proposiciones componentes la llamamos una contradicci´ on. Para demostrar que una regla de inferencia es v´alida, demostramos que la implicaci´on correspondiente es una tautolog´ıa y esto lo hacemos construyendo su tabla de verdad.

Ejemplos 1. Para demostrar la ley de la doble negaci´on, la implicaci´on asociada a p ¬¬p es p → (¬¬p), y la correspondiente a ¬¬p p 213 229


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos es (¬¬p) → p, que podemos juntar en una sola de la forma: (¬¬p) ↔ p cuya tabla es ¬p 0 1

p 1 0

¬¬p 1 0

(¬¬p) ↔ p 1 1

Tabla 5.4 Como la columna correspondiente a (¬¬p) ↔ p es en todos los casos 1, la f´ormula es una tautolog´ıa. 2. La implicaci´on asociada a la ley del modus ponendo ponens es (p ∧ (p → q)) → q y la demostramos con la tabla p 0 0 1 1

q 0 1 0 1

p→q 1 1 0 1

p ∧ (p → q) 0 0 0 1

(p ∧ (p → q)) → q 1 1 1 1

Tabla 5.5 3. La ley del modus tollendo tollens se demuestra probando que ((p → q) ∧ (¬q)) → (¬p) es una tautolog´ıa y para ello usamos la tabla p 0 0 1 1

q 0 1 0 1

p→q 1 1 0 1

¬q 1 0 1 0

¬p 1 1 0 0

(p → q) ∧ (¬q) 1 0 0 0 Tabla 5.6 214 230

((p → q) ∧ (¬q)) → (¬p) 1 1 1 1


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Matem´aticas de los procesos l´ogicos I 4. La ley de reducci´ on al absurdo tiene asociada la implicaci´on (p → 0) → (¬p) y esta f´ormula es una tautolog´ıa, pues su tabla de verdad es p 0 1

p→0 1 0

¬p 1 0

(p → 0) → (¬p) 1 1

Tabla 5.7 5. Las reglas de simplificaci´ on las demostramos con las implicaciones (p ∧ q) → p (p ∧ q) → q, que son tautolog´ıas como lo muestra la siguiente tabla p 0 0 1 1

q 0 1 0 1

p∧q 0 0 0 1

(p ∧ q) → p 1 1 1 1

(p ∧ q) → q 1 1 1 1

Tabla 5.8 6. Como la expresi´on (p ∧ q) → p es verdadera para todo valor de p y de q, en particular es verdadera cuando q es verdadera (tiene valor de verdad 1), o sea que (p ∧ 1) → p, pero tambi´en tenemos que p → (p ∧ 1) es una tautolog´ıa, es decir que (p ∧ 1) ↔ p, es una tautolog´ıa, como lo prueba la siguiente tabla p 0 1

p∧1 0 1

(p ∧ 1) ↔ p 1 1

Tabla 5.9 215 231


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 7. De forma similar, podemos establecer70 que (p ∧ 0) ↔ 0 es una tautolog´ıa. 8. Ley de la negaci´ on del condicional se establece probando que (¬(p → q)) ↔ (p ∧ (¬q)) es una tautolog´ıa y esto lo muestra la tabla: p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

¬q 0 1 0 1

p→q 1 0 1 1

p ∧ (¬q) 0 1 0 0

¬(p → q) 0 1 0 0

(¬(p → q)) ↔ (p ∧ (¬q)) 1 1 1 1

Tabla 5.10 9. La ley de adici´ on la expresamos como p → (p ∨ q) y la demostramos con la tabla p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p∨q 1 1 1 0

p → (p ∨ q) 1 1 1 1

Tabla 5.11 An´alogamente demostramos que q → (p ∨ q) es una tautolog´ıa. 10. Como la expresi´on q → (p ∨ q) es verdadera para todo valor de p y de q en particular es verdadera cuando p es falso (tiene valor de La expresi´on (p ∧ 0) ↔ 0 significa que (p ∧ 0) es falsa para cualquier valor de verdad de p. 70

216 232


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Matem´aticas de los procesos l´ogicos I verdad 0), o sea que q → (0 ∨ q) pero tambi´en es cierto que (0 ∨ q) → q es una tautolog´ıa, o sea que, (0 ∨ q) ↔ q. Tambi´en tenemos71 que (1 ∨ q) ↔ 1. 11.

La ley de De Morgan para la conjunci´ on la representamos con (¬(p ∧ q)) ↔ ((¬p) ∨ (¬q)) y su tabla de verdad muestra que es una tautolog´ıa: p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p∧q 1 0 0 0

¬(p ∧ q) 0 1 1 1

(¬p) ∨ (¬q) 0 1 1 1

(¬(p ∧ q)) ↔ ((¬p) ∨ (¬q)) 1 1 1 1

Tabla 5.12 5.1.1.1.

Otras leyes de De Morgan

Como ya mencionamos en el cap´ıtulo 4, existen leyes similares a las leyes de De Morgan para la negaci´on de otros conectivos l´ogicos binarios, por ejemplo: c � c q) ¬(p �

c  (¬q) (¬p) �

|

−•

•−



π1

π2

|

•−

−•



π1

π2

|

•−

−•

π1

π2



Tabla 5.13 c representa a un conectivo cualquiera y � c � el conectivo corresDonde � pondiente, por ejemplo: ¬(p | q) ↔ ((¬p) ↓ (¬q)) 71

La expresi´on (1 ∨ q) ↔ 1 significa que (1 ∨ q) es una tautolog´ıa.

217 233


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos ¬(p → q)) ↔ ((¬p) • −(¬q))

La prueba de cualquiera de ellos se hace construyendo la tabla de verdad de la equivalencia. Por ejemplo: p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

¬p 0 0 1 1

¬q 0 1 0 1

p→q 1 0 1 1

¬(p → q) 0 1 0 0

(¬p) • −(¬q) 0 1 0 0

¬(p → q)) ↔ ((¬p) • −(¬q)) 1 1 1 1

Tabla 5.14 c y� c  son isomorfas, ellas Las operaciones definidas por los conectivos � est´an relacionados mediante la funci´on H: c  y = x(H �)y c = ¬[(¬x) � c (¬y)]. x� Por ejemplo,

x ↔ y = ¬[(¬x)  (¬y)].

c y � c Esto significa que las operaciones definidas por los conectivos � tienen las mismas propiedades algebraicas, y en particular est´an determinadas por los mismos axiomas, es decir forman una sola estructura algebraica. Como vemos en la tabla 5.13 solo hay 10 estructuras algebraicas con 2 elementos, sus propiedades est´an expl´ıcitas en la tabla 4.25. La tabla 4.26 es una fuente de tautolog´ıas; por ejemplo, si miramos en la fila 7 y la columna 4 dice que x ↓ (¬y) = x • −y de donde (p ↓ (¬q)) ↔ (p • −q)

es una tautolog´ıa. Si elegimos p = q y observamos la tabla de •−, tenemos que (p • −p) ↔ 0 o escrito en una forma m´as popular

((¬p) ∧ p) ↔ 0 que corresponde con la ley de no contradicci´on: (¬((¬p) ∧ p)) ↔ 1. 218 234


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Matem´aticas de los procesos l´ogicos I 5.1.1.2.

Otras identidades algebraicas

La tabla 4.25 nos permite formular tautolog´ıas que se corresponden con cada una de las propiedades algebraicas para cada uno de ellos, cada igualdad desde el punto de vista algebraico nos reporta una tautolog´ıa sustituyendo la igualdad por la equivalencia l´ogica y como las reglas de inferencia se expresan con implicaciones, veamos las tautolog´ıas que nos reportan las propiedades de la implicaci´on: 1. La existencia de elemento id´entico a izquierda: 1 → x = x nos reporta la tautolog´ıa (1 → p) ↔ p. 2. La permutabilidad a izquierda: x → (y → z) = y → (x → z) (p → (q → r)) ↔ (q → (p → r)). 3. La identidad de Peirce: (x → y) → x = x ((p → q) → p) ↔ p. 4. La autodistributiva a izquierda: x → (y → z) = (x → y) → (x → z) [p → (q → r)] ↔ [(p → q) → (p → r)]. 5. La unipotencia: x → x = y → y (p → p) ↔ (q → q), donde p, q y r representan los valores de verdad de proposiciones cualesquiera. La equivalencia 5. la podemos escribir (p → p) ↔ 1, o diciendo que (p → p) es una tautolog´ıa.

219 235


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Las leyes de idempotencia La ley de simplificaci´ on disyuntiva no solo se cumple en una direcci´on, sino que la implicaci´on rec´ıproca tambi´en es v´alida; esto significa que es una equivalencia (p ∨ p) ↔ p. Y a´ un m´as, la equivalencia tambi´en se tiene para la conjunci´on (p ∧ p) ↔ p. Ambas equivalencias las reunimos bajo el nombre de leyes de idempotencia. Probemos la segunda p 0 1

p∧p 0 1

(p ∧ p) ↔ p 1 1

Tabla 5.15 Las otras dos operaciones con dos elementos que son idempotentes son las dos proyecciones π1 y π2 , es decir que (p π1 p) ↔ p Leyes conmutativas

(p π2 p) ↔ p.

La conjunci´on y la disyunci´on, la contradicci´on y la tautolog´ıa, la barra de Sheffer y el functor de Peirce, la disyunci´on exclusiva y la equivalencia l´ogica, cumplen la propiedad conmutativa, o sea que (p ∧ q) ↔ (q ∧ p) (p ∨ q) ↔ (q ∨ p) (p ⊥ q) ↔ (q ⊥ p) (p � q) ↔ (q � p) (p | q) ↔ (q | p) (p ↓ q) ↔ (q ↓ p) (p  q) ↔ (q  p) (p ↔ q) ↔ (q ↔ p) 220 236


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Matem´aticas de los procesos l´ogicos I son tautolog´ıas. Leyes asociativas La conjunci´on y la disyunci´on, la tautolog´ıa y la contradicci´on, la disyunci´on exclusiva y la equivalencia l´ogica, y las dos proyecciones π1 y π2 cumplen la propiedad asociativa, esto significa que: [(p ∧ q) ∧ r] ↔ [p ∧ (q ∧ r)] [(p ∨ q) ∨ r] ↔ [p ∨ (q ∨ r)] [(p � q) � r] ↔ [p � (q � r)] [(p ⊥ q) ⊥ r] ↔ [p ⊥ (q ⊥ r)] [(p  q)  r] ↔ [p  (q  r)] [(p ↔ q) ↔ r] ↔ [p ↔ (q ↔ r)] [(p π1 q) π1 r] ↔ [p π1 (q π1 r)] [(p π2 q) π2 r] ↔ [p π2 (q π2 r)] son tautolog´ıas. Como en cada una de las tautolog´ıas anteriores hay tres proposiciones involucradas las posibilidades de combinaci´on para hacer la tabla de verdad aumentan, probemos una de ellas: p 0 0 0 0 1 1 1 1

q 0 0 1 1 0 0 1 1

r 0 1 0 1 0 1 0 1

A p∧q 0 0 0 0 0 0 1 1

B q∧r 0 0 0 1 0 0 0 1

C A∧r 0 0 0 0 0 0 0 1

Tabla 5.16

221 237

D p∧B 0 0 0 0 0 0 0 1

C↔D 1 1 1 1 1 1 1 1


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Leyes de absorci´ on La conjunci´on es absorbente con respecto a la disyunci´on y viceversa, o sea que (p ∨ (p ∧ q)) ↔ p (p ∧ (p ∨ q)) ↔ p son tautolog´ıas, probemos la primera: p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p∧q 1 0 0 0

p ∨ (p ∧ q) 1 1 0 0

(p ∨ (p ∧ q)) ↔ p 1 1 1 1

Tabla 5.17 La primera proyecci´on es absorbente con respecto a la segunda proyecci´on y viceversa, es decir que p π1 (p π2 q) ↔ p p π2 (p π1 q) ↔ p

son tautolog´ıas; veamos la segunda de ellas: p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p π1 q 1 1 0 0

p π2 (p π1 q) 1 1 0 0

(p π2 (p π1 q)) ↔ p 1 1 1 1

Tabla 5.18 Leyes distributivas Como ya vimos la conjunci´on distribuye con respecto a la disyunci´on y la disyunci´on distribuye con respecto a la conjunci´on, esto nos reporta como tautolog´ıas: [p ∧ (q ∨ r)] ↔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] [p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] 222 238


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Matem´aticas de los procesos l´ogicos I Tambi´en la conjunci´on distribuye con respecto a la disyunci´on exclusiva, o sea que [p ∧ (q  r)] ↔ [(p ∧ q)  (p ∧ r)] [p ∨ (q ↔ r)] ↔ [(p ∨ q) ↔ (p ∨ r)] son tautolog´ıas, probemos la primera: p 0 0 0 0 1 1 1 1

q 0 0 1 1 0 0 1 1

r 0 1 0 1 0 1 0 1

A q∨r 0 1 1 1 0 1 1 1

B p∧A 0 0 0 0 0 1 1 1

C p∧q 0 0 0 0 0 0 1 1

D p∧r 0 0 0 0 0 1 0 1

E C∨D 0 0 0 0 0 1 1 1

B↔E 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabla 5.19 La pen´ ultima equivalencia es una expresi´on de la propiedad distributiva de la multiplicaci´on con respecto a la suma en el campo (Z2 , +, ∗). La implicaci´on → distribuye a izquierda con respecto a la conjunci´on ∧, esto significa que (r → (p ∧ q)) ↔ ((r → p) ∧ (r → q)) es una tautolog´ıa. La tabla siguiente lo demuestra. r 0 0 0 0 1 1 1 1

p 0 0 1 1 0 0 1 1

q 0 1 0 1 0 1 0 1

A r→p 1 1 1 1 0 0 1 1

B r→q 1 1 1 1 0 1 0 1

C A∧B 1 1 1 1 0 0 0 1

Tabla 5.20 223 239

D p∧q 0 0 0 1 0 0 0 1

E r→D 1 1 1 1 0 0 0 1

E↔C 1 1 1 1 1 1 1 1


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Pero como → no distribuye a derecha con respecto a la conjunci´on ∧, entonces ((p ∧ q) → r) ↔ ((p → r) ∧ (q → r)) no es una tautolog´ıa, como lo muestra la siguiente tabla p 0 0 0 0 1 1 1 1

r 0 0 1 1 0 0 1 1

q 0 1 0 1 0 1 0 1

A p→r 1 1 1 1 0 0 1 1

B q→r 1 0 1 1 1 0 1 1

C A∧B 1 0 1 1 0 0 1 1

D p∧q 0 0 0 0 0 1 0 1

E D→r 1 1 1 1 1 0 1 1

C↔E 1 0 1 1 0 1 1 1

Tabla 5.21 La implicaci´on → distribuye a izquierda con respecto a ∨, esto significa que (r → (p ∨ q)) ↔ ((r → p) ∨ (r → q)) es una tautolog´ıa. Pero → no distribuye a derecha con respecto a ∨, entonces ((p ∨ q) → r) ↔ ((p → r) ∨ (q → r)) no es una tautolog´ıa. La disyunci´on ∨ distribuye a izquierda y a derecha con respecto a →, y por tanto (r ∨ (p → q)) ↔ ((r ∨ p) → (r ∨ q)) y

((p → q) ∨ r) ↔ ((p ∨ r) → (q ∨ r))

son tautolog´ıas. Pero debemos tener cuidado pues la conjunci´on ∧ no distribuye ni a derecha ni a izquierda con respecto a →. La conjunci´on ∧ distribuye a izquierda y a derecha con respecto a −•, y por tanto (r ∧ (p − • q)) ↔ ((r ∧ p) − • (r ∧ q)) 224 240


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Matem´aticas de los procesos l´ogicos I y ((p − • q) ∧ r) ↔ ((p ∧ r) − • (q ∧ r)) son tautolog´ıas. Pero la disyunci´on ni a izquierda ni a derecha con respecto a −•.

Ejercicios Construya la tabla de verdad que demuestre las leyes 1. Asociativa de la disyunci´on. 2. Distributiva de la disyunci´on con respecto a la conjunci´on. 3. Distributiva de la conjunci´on con respecto a la disyunci´on exclusiva. 4. Distributiva de la disyunci´on con respecto a la doble implicaci´ on. 5. Absorci´ on de la conjunci´ on con respecto a la disyunci´on. 6. Permutabilidad izquierda de la implicaci´ on. 7. Autodistributividad izquierda de la implicaci´ on. 8. Las equivalencias presentadas en las leyes de la secci´ on 5.1.1.2. que no fueron demostradas. Tambi´en a cada una de las propiedades algebraicas de los conectivos que vimos en el cap´ıtulo anterior le corresponde una tautolog´ıa. No insistiremos en tautolog´ıas que no incluyan a los conectivos usuales. La forma contrapositiva o contrarrec´ıproca En matem´aticas encontramos definiciones que en ocasiones, al leerlas en forma afirmativa, resultan dif´ıciles de usar, sin embrago, al leerlas en forma negativa, resulta m´as u ´til al momento de ser aplicada; por ejemplo, cuando decimos que una funci´on es inyectiva, debemos probar que para cada par de elementos x, y distintos del dominio de la funci´on, sus im´agenes son tambi´en distintas; sin embargo, podemos probar m´as f´acilmente la inyectividad de una funci´on, suponiendo que si dos im´agenes de una funci´on son iguales entonces las preim´agenes deben ser iguales tambi´en, en el caso de que no ocurra, la 225 241


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos funci´on no es inyectiva. La tautolog´ıa correspondiente a este razonamiento es la ley contrapositiva o contrarrec´ıproca: (p → q) ↔ ((¬q) → (¬p)). La tabla que demuestra esta propiedad es: p 1 1 0 0

A p→q 1 0 1 1

q 1 0 1 0

¬q 0 1 0 1

B (¬q) → (¬p) 1 0 1 1

¬p 0 0 1 1

A↔B 1 1 1 1

Tabla 5.22 5.1.1.3.

Otras relaciones entre conectivos

Para expresar relaciones entre la implicaci´on, la negaci´on, la conjunci´on y la disyunci´on, tenemos las siguientes tautolog´ıas (p → q) ↔ ((¬p) ∨ q) (p → q) ↔ (¬(p ∧ (¬q))) (p ∨ q) ↔ ((¬p) → q) (p ∧ q) ↔ (¬(p → (¬q))). Esto significa que la implicaci´on se puede definir de varias maneras: a partir de la negaci´on y la conjunci´on, de la negaci´on y la disyunci´on; pero tambi´en la conjunci´on y la disyunci´on se pueden definir a partir de la implicaci´on y la negaci´on. Probemos la primera, haciendo la tabla: p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

A p→q 1 0 1 1

¬p 0 0 1 1

B (¬p) ∨ q 1 0 1 1

Tabla 5.23 226 242

A↔B 1 1 1 1


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Matem´aticas de los procesos l´ogicos I Leyes de silogismo hipot´ etico o transitividad de la implicaci´ on Ley del silogismo hipot´etico o transitividad de la implicaci´on la expresamos como [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r), y la demostramos con la tabla: p 0 0 0 0 1 1 1 1

q 0 0 1 1 0 0 1 1

r 0 1 0 1 0 1 0 1

A p→q 1 1 1 1 0 0 1 1

B q→r 1 1 0 1 1 1 0 1

C A∧B 1 1 0 1 0 0 0 1

D p→r 1 1 1 1 0 1 0 1

C→D 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabla 5.24 Como la equivalencia l´ogica corresponde a una implicaci´on doble, tambi´en cumple la propiedad transitiva de la equivalencia l´ogica, esto es [(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] → (p ↔ r), y su tabla de verdad es: p 0 0 0 0 1 1 1 1

q 0 0 1 1 0 0 1 1

r 0 1 0 1 0 1 0 1

A p↔q 1 1 0 0 0 0 1 1

B q↔r 1 0 0 1 1 0 0 1

C A∧B 1 0 0 0 0 0 0 1

Tabla 5.25 227 243

D p↔r 1 0 1 0 0 1 0 1

C→D 1 1 1 1 1 1 1 1


Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ávila Mahecha - María Nubia Soler Álvarez

Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos De manera similar a lo que sucede en las desigualdades entre n´ umeros, podemos operar en ambos lados de una implicaci´on con la conjunci´on o con la disyunci´on y obtenemos una implicaci´on en el mismo sentido, esto es: (p → q) → [(p ∨ r) → (q ∨ r)] (p → q) → [(p ∧ r) → (q ∧ r)]. Probemos la primera:

p 0 0 0 0 1 1 1 1

q 0 0 1 1 0 0 1 1

r 0 1 0 1 0 1 0 1

A p∨r 0 1 0 1 1 1 1 1

B q∨r 0 1 1 1 0 1 1 1

C A→B 1 1 1 1 0 1 1 1

D p→q 1 1 1 1 0 0 1 1

D→C 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabla 5.26 Tambi´en podemos operar en ambos lados de una implicaci´on con otra implicaci´on pero en este caso debemos tener cuidado en cambiar el orden del antecedente y el consecuente en la implicaci´on resultante, en s´ımbolos lo que afirmamos es que (p → q) → [(q → r) → (p → r)] es una tautolog´ıa y lo demostramos con la siguiente tabla:

p 0 0 0 0 1

q 0 0 1 1 0

r 0 1 0 1 0

A p→q 1 1 1 1 0

B q→r 1 1 0 1 1

C p→r 1 1 1 1 0

228 244

D B→C 1 1 1 1 0

A→D 1 1 1 1 1


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos I

Matem´aticas de los procesos l´ogicos I

1 1 1

0 1 1

1 0 1

0 1 1

1 0 1

1 0 1

1 1 1

1 1 1

Tabla 5.27 O podemos partir de dos implicaciones y obtener una nueva implicaci´on con la disyunci´on (o la conjunci´on) de los antecedentes como antecedente y la disyunci´on (o la conjunci´on) de los consecuentes como consecuente, estas leyes se conocen como dilemas constructivos. [(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∨ r) → (q ∨ s)] [(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∧ r) → (q ∧ s)]. Probemos uno de ellos: p 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

q 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

r 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

s 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

A p→q 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

B r→s 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

C A∧B 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1

D p∧r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1

E q∧s 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1

F D→E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1

C→F 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabla 5.28 Otras tautolog´ıas conocidas como leyes de importaci´ on y exportaci´ on respectivamente son [(p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r)] [(p ∧ q) → r)] → [(p → (q → r)]. 229 245


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Finalmente, veamos la tabla de verdad que demuestra que la ley del tercero excluido (p ∨ (¬p)) ↔ 1 es una tautolog´ıa.

p 0 1

¬p 1 0

p ∨ (¬p) 1 1

Tabla 5.29 Y que la de la ley de no contradicci´ on [¬(p ∧ (¬p))] ↔ 1 tambi´en es tautolog´ıa. p 0 1

¬p 1 0

p ∧ (¬p) 0 0

¬(p ∧ (¬p)) 1 1

Tabla 5.30 Otra forma de decir esta ley es que (p ∧ (¬p)) ↔ 0 o sea que p ∧ (¬p) es una contradicci´on.

5.1.2.

Otras leyes de inferencia

Hemos visto la forma de pasar de una regla de inferencia a una tautolog´ıa y la manera de demostrar tautolog´ıas, pero tambi´en hemos mostrado tautolog´ıas que no hab´ıan sido mencionadas como reglas de inferencia; en realidad, de cada una de las tautolog´ıas anteriores podemos extraer una forma de razonamiento v´alido, por ejemplo la tautolog´ıa [(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∧ r) → (q ∧ s)] nos produce la regla de inferencia p→q r→s (p ∧ r) → (q ∧ s) 230 246


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos I

Matem´aticas de los procesos l´ogicos I 5.1.2.1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Resumen de tautolog´ıas

(¬¬p) ↔ p [p ∧ (p → q)] → q [(p → q) ∧ (¬q)] → (¬p) [(p ∨ q) ∧ (¬p)] → q (p → (r ∧ (¬r))) → (¬p) p → (q → p) [(p ∧ (¬q)) → (r ∧ (¬r))] ↔ (p → q) [(p → q) ∧ (p → (¬q))] → (¬p) r  q = (p ↔ q)  (p ↔ r)

10.

r  q = (p ↔ q)  (r ↔ q)

11.

r ↔ q = (p  q) ↔ (p  r)

12.

r ↔ q = (p  q) ↔ (r  q)

13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.

(p ∧ (¬p)) → q (p ∧ q) → p (p ∧ q) → q (p ∧ 1) ↔ p (p ∧ 0) ↔ 0 ((p ∨ 1) ↔ 1) ((p ∨ 0) ↔ p) (p → 1) ↔ 1 (1 → p) ↔ p p → (p ∨ q) q → (p ∨ q) (p ↔ p) (p ∨ (¬p)) ¬(p ∧ (¬p)) ¬(p ↔ (¬p)) (¬(p → q)) ↔ (p ∧ (¬q)) (¬(p ↔ q)) ↔ ((p ∧ (¬q)) ∨ ((¬p) ∧ q)) (¬(p ∧ q)) ↔ ((¬p) ∨ (¬q)) (¬(p ∨ q)) ↔ ((¬p) ∧ (¬q))

30. 31.

Ley de la doble negaci´on Modus ponendo ponens Modus tollendo tollens Modus tollendo ponens Reducci´on al absurdo

Schwitzer II derecha de ↔ con respecto a  Schwitzer II izquierda de ↔ con respecto a  Schwitzer II derecha de  con respecto a ↔ Schwitzer II izquierda de  con respecto a ↔ Simplificaci´on Simplificaci´on

Ley Ley Ley Ley Ley

de adici´on de adici´on de identidad del tercero excluido de no contradicci´on

Negaci´on de la implicaci´on Negaci´on de la equivalencia Ley de De Morgan para ∧ Ley de De Morgan para ∨ 231 247


Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ávila Mahecha - María Nubia Soler Álvarez

Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43.

(¬(p → q)) ↔ ((¬p) • −(¬q)) (¬(p  q)) ↔ ((¬p) ↔ (¬q)) (¬(p π2 q)) ↔ ((¬p) π2 (¬q)) (p → q) ↔ ((¬q) → (¬p)) (p → q) ↔ ((¬p) ∨ q) (p → q) ↔ (¬(p ∧ (¬q))) (p ∨ q) ↔ ((¬p) → q) (p ∨ q) ↔ ((p → q) → q) (p ∨ q) ↔ ((q → p) → q) (p ∧ q) ↔ (¬(p → (¬q))) (p ∧ q) ↔ (¬((¬p) ∨ (¬q))) (p → (q → r)) ↔ (q → (p → r))

44. 45.

[(p → q) → p)] → p [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)

46.

[(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] → (p ↔ r)

47. 48. 49. 50. 51.

(p → q) → [(p ∨ r) → (q ∨ r)] (p → q) → [(p ∧ r) → (q ∧ r)] (p → q) → [(q → r) → (p → r)] [(p → q) ∧ (r → q)] → [(p ∨ r) → q] [(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∨ r) → (q ∨ s)] [(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∧ r) → (q ∧ s)] [(p → q) ∧ (q → p)] ↔ (p ↔ q) (p → q) → [(q → r) → (p → r)] (p ↔ q) → (p → q) (p ↔ q) → (q → p) [(p ∧ q) ∨ ((¬p) ∧ (¬q))] ↔ (p ↔ q) [(p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r)] [(p ∧ q) → r)] → [(p → (q → r)] (p ∨ p) ↔ p (p ∧ p) ↔ p (p π1 p) ↔ p (p π2 p) ↔ p (p → p) ↔ (q → q)

52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64.

232 248

Ley de De Morgan para → Ley de De Morgan para  Ley de De Morgan para π2 Contrarrec´ıproca

Permutabilidad izquierda de → Ley de Peirce Transitividad de la implicaci´on Transitividad de la equivalencia

Ley de los casos Dilema constructivo 1 Dilema constructivo 2

Ley de importaci´on Ley de exportaci´on Idempotencia de ∨ Idempotencia de ∧ Idempotencia de π1 Idempotencia de π2 Unipotencia de →


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos I

Matem´aticas de los procesos l´ogicos I 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88.

(p − •p) ↔ (q − •q) (p • −p) ↔ (q • −q) (p ⊥ p) ↔ (q ⊥ q) (p  p) ↔ (q  q) (p ↔ p) ↔ (q ↔ q) (p ← p) ↔ (q ← q) (p�p) ↔ (q�q) (p ∨ q) ↔ (q ∨ p) (p ∧ q) ↔ (q ∧ p) (p ↔ q) ↔ (q ↔ p) (p  q) ↔ (q  p) (p | q) ↔ (q | p) (p ↓ q) ↔ (q ↓ p) (p�q) ↔ (q�p) (p ⊥ q) ↔ (q ⊥ p) [(p ∨ q) ∨ r] ↔ [p ∨ (q ∨ r)] [(p ∧ q) ∧ r] ↔ [p ∧ (q ∧ r)] [(p  q)  r] ↔ [p  (q  r)] [(p�q)�r] ↔ [p�(q�r)] [(p ⊥ q) ⊥ r] ↔ [p ⊥ (q ⊥ r)] [(p ↔ q) ↔ r] ↔ [p ↔ (q ↔ r)] [(p π1 q) π1 r] ↔ [p π1 (q π1 r)] [(p π2 q) π2 r] ↔ [p π2 (q π2 r)] p ∨ (p ∧ q) ↔ p

89.

p ∧ (p ∨ q) ↔ p

90.

p π1 (p π2 q) ↔ p

91.

p π2 (p π1 q) ↔ p

92.

p ∧ (q  r) ↔ (p ∧ q)  (p ∧ r)

93.

p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

94.

p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

95.

[p ∨ (q ↔ r)] ↔ [(p ∨ q) ↔ (p ∨ r)] 233 249

Unipotencia de −• Unipotencia de •− Unipotencia de ⊥ Unipotencia de  Unipotencia de ↔ Unipotencia de ← Unipotencia de � Conmutativa de ∨ Conmutativa de ∧ Conmutativa de ↔ Conmutativa de  Conmutativa de | Conmutativa de ↓ Conmutativa de � Conmutativa de ⊥ Asociativa de ∨ Asociativa de ∧ Asociativa de  Asociativa de � Asociativa de ⊥ Asociativa de ↔ Asociativa de π1 Asociativa de π2 Ley de absorci´on de ∨ con respecto a ∧ Ley de absorci´on de ∧ con respecto a ∨ Ley de absorci´on de π1 con respecto a π2 Ley de absorci´on de π2 con respecto a π1 Distributiva izquierda de con respecto a  Distributiva izquierda de con respecto a ∨ Distributiva izquierda de con respecto a ∧ Distributiva izquierda de

∧ ∧ ∨ ∨


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

96.

[(p → r) ∧ (p → q)] ↔ [(p → (r ∧ q)]

97.

((p → q) ∨ (p → r)) ↔ (p → (q ∨ r))

98.

[(p  q) ∧ r] ↔ [(p ∧ r)  (q ∧ r)]

99.

[(p ∨ q) ∧ r] ↔ [(p ∧ r) ∨ (q ∧ r)] [p → (q → r)] ↔ [(p → q) → (p → r)]

100.

con respecto a ↔ Distributiva izquierda de → respecto a ∧ Distributiva izquierda de → respecto a ∨ Distributiva derecha de ∧ respecto a  Distributiva derecha de ∧ respecto a ∨ Autodistributiva izquierda de →

Ejercicio Construya la tabla de verdad que demuestre las leyes descritas en las equivalencias 38, 40, 42, 44 y 45.

5.2.

Uso de tablas de verdad para efectuar razonamientos

Como las tablas de verdad nos permiten verificar si una f´ormula es una tautolog´ıa o no, y como cada tautolog´ıa est´a asociada con un razonamiento v´alido, podemos usar las tablas de verdad para verificar si un razonamiento es correcto.

Ejemplos 1. Este ejercicio lo resolvimos en el cap´ıtulo 2 usando reglas de inferencia, ahora usaremos una tabla de verdad donde escribimos todas las combinaciones posibles. Supongamos como premisas que: i. Si estudio tengo ´exito ii. Si no estudio me divierto iii. Si no tengo ´exito no me divierto 234 250


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos I

Matem´aticas de los procesos l´ogicos I ¿De estas premisas podemos concluir que tengo ´exito? Primero simbolicemos las proposiciones que forman las premisas con letras: p : estudio q : tengo ´exito r : me divierto Las premisas se simbolizan: i. p → q

ii. (¬p) → r

iii. (¬q) → (¬r) Ahora estudiemos todas las posibilidades de valores de verdad para cada proposici´on: p 1 1 1 1 0 0 0 0

¬p 0 0 0 0 1 1 1 1

q 1 1 0 0 1 1 0 0

¬q 0 0 1 1 0 0 1 1

r 1 0 1 0 1 0 1 0

¬r 0 1 0 1 0 1 0 1

p→q 1 1 0 0 1 1 1 1

(¬p) → r 1 1 1 1 1 0 1 0

(¬q) → (¬r) 1 1 0 1 1 1 0 1

Tabla 5.31 vemos que solamente en los casos de las filas resaltadas, todas las premisas son verdaderas y en todos estos casos la proposici´on q es verdadera, luego podemos concluir que “tengo ´exito”. 2. Un hombre va de viaje hacia Katmand´ u. En un punto de la carretera, junto a una gasolinera, hay una bifurcaci´on. La gasolinera es atendida por dos hermanos, uno de los cuales siempre miente, mientras el otro siempre dice la verdad. Haciendo una u ´nica pregunta a uno de los hermanos, cuya respuesta sea s´ı o no, es posible saber cu´al es la carretera hacia Katmand´ u. ¿Cu´al es la pregunta? 235 251


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Se˜ nalando una carretera cualquiera se pregunta, ¿la afirmaci´on “esa es la carretera correcta y usted dice la verdad o es la incorrecta y usted miente” es verdadera o falsa? Notando p : esa es la carretera correcta q : usted dice la verdad Podemos simbolizar la afirmaci´on como: (p ∧ q) ∨ ((¬p) ∧ (¬q)). Ahora veamos la tabla de verdad correspondiente p 1 1 0 0

¬p 0 0 1 1

q 1 0 1 0

¬q 0 1 0 1

p∧q 1 0 0 0

(¬p) ∧ (¬q) 0 0 0 1

(p ∧ q) ∨ ((¬p) ∧ (¬q)) 1 0 0 1

Tabla 5.32 De la tabla podemos concluir que en ambos casos, si le preguntamos al mentiroso o al que dice la verdad, responder´an verdadera, si la carretera se˜ nalada es la correcta y responder´a falsa, si la carretera se˜ nalada es la incorrecta. i. Si se le pregunta al veraz se˜ nalando la carretera correcta p = 1, q = 1 y el valor de la proposici´on compuesta es 1. ii. Si se le pregunta al veraz se˜ nalando la carretera incorrecta p = 0, q = 1 y el valor de la proposici´on compuesta es 0. iii. Si se le pregunta al mentiroso se˜ nalando la carretera correcta p = 1, q = 0 y el valor de la proposici´on compuesta es 0, pero como miente entonces dir´a que el valor de la proposici´on es 1. iv. Si se la pregunta al mentiroso se˜ nalando la carretera incorrecta p = 0, q = 0 y el valor de la proposici´on compuesta es 1, pero como miente entonces dir´a que el valor de la proposici´on es 0. 236 252


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos I

Matem´aticas de los procesos l´ogicos I

5.3.

Tautolog´ıas y reemplazamiento

Otra forma de probar y conseguir tautolog´ıas, se basa en la regla de reemplazamiento que podemos establecer como: Si p es una tautolog´ıa y q es una proposici´on que obtiene de p reemplazando una proposici´on simple r de p por otra proposici´on s en cada ocurrencia de r en p entonces q es una tautolog´ıa.

Ejemplos 1. Sabemos que (p → q) ↔ ((¬q) → (¬p)) es una tautolog´ıa (35), entonces si reemplazamos p por s → u en cada ocurrencia de p, obtenemos que ((s → u) → q) ↔ ((¬q) → (¬(s → u))) es una tautolog´ıa. 2. Sabemos que (p → q) ↔ ((¬p)∨q) es una tautolog´ıa (36). Consideremos la expresi´on [p ∧ (p → q)] → q En ella reemplazamos la implicaci´on por su equivalente para obtener ([p ∧ (p → q)] → q) ↔ ((¬(p ∧ (p → q))) ∨ q) y de aqu´ı, las equivalencias ↔ [((¬p) ∨ (¬(p → q))) ∨ q]

Por la ley de De Morgan para la conjunci´on (30) ↔ [((¬p) ∨ (p ∧ (¬q))) ∨ q] Por la negaci´on de la implicaci´on (28) ↔ [(((¬p) ∨ p) ∧ ((¬p) ∨ (¬q))) ∨ q] Por la distributiva de ∨ con respecto a ∧ (76) ↔ [(1 ∧ ((¬p) ∨ (¬q))) ∨ q] Por el principio del tercero excluido72 (25) ↔ [((¬p) ∨ (¬q)) ∨ q] Porque (1 ∧ p) ↔ p para todo valor de p (21) ↔ [(¬p) ∨ ((¬q) ∨ q)] Por la propiedad asociativa

Expresado en la forma ((¬p) ∨ p) ↔ 1; lo que significa que la expresi´on (¬p) ∨ p tiene valor de verdad 1 independientemente del valor de verdad de p. 72

237 253


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos de ∨ (80) Por el principio del tercero excluido (25) Porque (p ∨ 1) ↔ 1 para todo valor de p (18)

↔ [(¬p) ∨ 1] ↔1

Hemos mostrado una secuencia de afirmaciones obtenidas, cada una de la anterior, mediante el reemplazo de una proposici´on por otra equivalente a ella, haciendo uso de algunas tautolog´ıas y la u ´ltima afirmaci´on es una tautolog´ıa. Por la transitividad de la equivalencia podemos concluir que el modus ponendo ponens [p ∧ (p → q)] → q es una tautolog´ıa. Esto se parece vagamente a lo que en matem´aticas llamamos una demostraci´on. Esta manera de argumentar la validez de unas afirmaciones basada en reemplazar una proposici´on por otra que tenga el mismo valor de verdad; es decir, por una equivalente, la usaremos para mejorar la presentaci´on de nuestras reglas de inferencia, en camino a formar un sistema de axiomas para la l´ogica proposicional. 3. De paso podemos formular nuevas reglas de inferencia a partir de tautolog´ıas que podemos construir por sustituci´on de equivalencias establecidas; por ejemplo, (p ∧ (p → q)) ↔ (p ∧ ((¬p) ∨ q)) ↔ ((p ∧ (¬p)) ∨ (p ∧ q)) ↔ (0 ∨ (p ∧ q)) ↔ (p ∧ q)

Por Por Por Por

la la la la

equivalencia (36) equivalencia (93) equivalencia (26) equivalencia (19)

es decir, (p ∧ (p → q)) ↔ (p ∧ q) es una tautolog´ıa y, por tanto, en particular p ∧ (p → q) p∧q es un razonamiento v´alido. 238 254

(101)


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos I

Matem´aticas de los procesos l´ogicos I 4. O podemos intercambiar la implicaci´on y la conjunci´on en la f´ormula anterior: (p → (p ∧ q)) ↔ ((¬p) ∨ (p ∧ q)) Por la equivalencia (36) ↔ (((¬p) ∨ p) ∧ ((¬p) ∨ q)) Por la equivalencia (94) ↔ (1 ∧ (p → q)) Por las equivalencias (25) y (36) ↔ (p → q) Por la equivalencia (16) Lo que significa que (p → (p ∧ q)) ↔ (p → q)

(102)

es una tautolog´ıa y, por tanto, en particular p → (p ∧ q) p→q es una regla de inferencia v´alida. 5. Sabemos que (p → q) ↔ ((¬p) ∨ q) (36) es una tautolog´ıa; por la ley de De Morgan para la conjunci´on (30) y la ley de la doble negaci´on (1), concluimos que ((¬p) ∨ q) ↔ (¬(p ∧ (¬q))), y por la propiedad transitiva de la equivalencia (46) obtenemos que (p → q) ↔ (¬(p ∧ (¬q))) es una tautolog´ıa. 6. Si escribimos p ∧ q al comienzo ((p ∧ q) → p) ↔ ((¬(p ∧ q)) ∨ p) ↔ (((¬p) ∨ (¬q)) ∨ p) ↔ (((¬p) ∨ p) ∨ (¬q)) ↔ (1 ∨ (¬q)) ↔1

Por Por Por Por Por

(36) (30) (72) y (80) (25) (18).

Hemos presentado una argumentaci´on para validar la ley de simplificaci´on (p ∧ q) → p, usando otras tautolog´ıas. 239 255


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

Ejercicios 1. Utilizando la ley de reemplazamiento ((p → q) ∧ (¬q)) → (¬p) es una tautolog´ıa.

demuestre

que

2. Encuentre una expresi´on equivalente a p ∧ (p ↔ q) en t´erminos de la conjunci´ on y la negaci´on. 3. Encuentre una expresi´on equivalente a p ↔ (p ∧ q) en t´erminos de la disyunci´on y la negaci´ on. 4. Demuestre que (((p → q) ∧ (¬q)) → (¬p)) ↔ 1.

240 256


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Capítulo 6. Matemáticas de los procesos lógicosCAPII: ´ITULO 6 axiomáticas para la lógica Matem´aticas de los procesos l´ogicos II: axiom´aticas para la l´ogica

A pesar de ser una locura tiene su l´ ogica. Shakespeare (Hamlet )

En este cap´ıtulo buscaremos formular axiomatizaciones para el proceso de inferencia, esto significa que de todas las leyes de inferencia (o sus tautolog´ıas correspondientes) debemos seleccionar algunas de ellas que nos sirvan como axiomas y nos permitan deducir las dem´as a partir de ellas. Aunque hemos intentado hacer algo parecido a lo que habitualmente hacemos en matem´aticas tratando de deducir unas equivalencias de otras, faltan muchas cosas por aclarar: ¿Cu´ales son los supuestos b´asicos que nos servir´an de argumentos para justificar los dem´as? ¿Cu´ales son los mecanismos de demostraci´on? ¿Qu´e es una demostraci´on? Podemos comenzar seleccionando algunas tautolog´ıas de las 102 mencionadas en el cap´ıtulo anterior, repasando cu´ales hemos usado como argumentos para validar las dem´as y procurando elegir las m´as sencillas; una primera opci´on es (este proceso no es completo, ni asegura algo, solo es una

257


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos muestra de c´omo puede efectuarse una selecci´on): (p ∨ 0) ↔ p (¬¬p) ↔ p ((¬p) ∨ (¬q)) ↔ (¬(p ∧ q)) (¬(p ∨ q)) ↔ ((¬p) ∧ (¬q)) (p ∧ p) ↔ p (p ∨ q) ↔ (q ∨ p) (p ∨ (q ∨ r)) ↔ ((p ∨ q) ∨ r) (p ∧ (q ∨ r)) ↔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (p → p) ↔ 1 ↔ (q → q) (p → q) ↔ ((¬p) ∨ q)

(19) (1) (30) (31) (61) (72) (80) (93) (64) (36)

Veamos cu´ales tautolog´ıas podemos deducir de las anteriores usando como regla de inferencia la ley de reemplazamiento ya enunciada. T1. ((¬p) ∨ (¬q)) ↔ (¬(p ∧ q))

De Morgan para ∧

Demostraci´on: ((¬p) ∨ (¬q))

↔ ¬(¬((¬p) ∨ (¬q))) ↔ ¬((¬(¬p)) ∧ (¬(¬q))) ↔ ¬(p ∧ q)

T2. (p ∨ (¬p)) ↔ 1

Por (1). Por (31). Por (1).

Tercero excluido

Demostraci´on: p ∨ (¬p)

↔ (p → p) ↔1

Por (72) y (36). Por (64).

T3. (¬(p → q)) ↔ (p ∧ (¬q))

Negaci´on de implicaci´on

Demostraci´on:

242 258


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II (¬(p → q)) ↔ ¬((¬p) ∨ q) ↔ (p ∧ (¬q)) T4. (p ∧ (¬p)) ↔ 0

Por (36). Por (31) y (1). No contradicci´on

Demostraci´on: (p ∧ (¬p))

↔ ¬(p → p) ↔ ¬1 ↔0

Por (T3). Por (64).

T5. (p ∧ 1) ↔ p Demostraci´on: (p ∧ 1)

↔ ¬(¬p) ∨ 0) ↔ ¬((¬p) ↔p

Por (31) y (1). Por (19). Por (1).

T6. (p ∧ (q ∧ r)) ↔ ((p ∧ q) ∧ r)

Asociativa de ∧

Demostraci´on: (p ∧ (q ∧ r))

↔ (p ∧ ¬((¬q) ∨ (¬r))) ↔ ¬((¬p) ∨ ((¬q) ∨ (¬r))) ↔ ¬(((¬p) ∨ (¬q)) ∨ (¬r)) ↔ ¬((¬p) ∨ (¬q)) ∧ r ↔ ((p ∧ q) ∧ r)

Por Por Por Por Por

(1) y (1) y (80). (1) y (1) y

(31). (31). (31). (31).

T7. (1 ∨ p) ↔ 1 Demostraci´on: (1 ∨ p)

↔ ¬(0 ∧ (¬p)) ↔ ¬((p ∧ (¬p)) ∧ (¬p))

Por (T1) y (1). Por (T4). 243 259


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos ↔ ¬(p ∧ ((¬p) ∧ (¬p))) ↔ ¬(p ∧ (¬p)) ↔ (¬p) ∨ p ↔1 T8. (p ∨ p) ↔ p

Por Por Por Por

(T6). (61). (T1) y (1). (72) y (T2).

Idempotencia de ∨

Demostraci´on: (p ∨ p)

↔ ¬((¬p) ∧ (¬p)) ↔ ¬(¬p) ↔p

Por (T1). Por (61). Por (1).

T9. (p ∨ (q ∧ r)) ↔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))

Distributiva de ∨ con respecto a ∧

Demostraci´on: (p ∨ (q ∧ r))

↔ (p ∨ ¬((¬q) ∨ (¬r))) ↔ ¬((¬p) ∧ ((¬q) ∨ (¬r))) ↔ ¬(((¬p) ∧ (¬q)) ∨ ((¬p) ∧ (¬r))) ↔ (¬((¬p) ∧ (¬q))) ∧ (¬((¬p) ∧ (¬r))) ↔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))

T10. ((p ∨ q) ∧ (¬q)) → p

Por Por Por Por Por

(1) y (31). (1) y (T1). (93). (31). (1) y (T1).

Modus tollendo ponens

Demostraci´on: ((p ∨ q) ∧ (¬q)) → p ↔ ¬((p ∨ q) ∧ (¬q)) ∨ p ↔ ((¬(p ∨ q)) ∨ q) ∨ p ↔ (((¬p) ∧ (¬q)) ∨ q) ∨ p ↔ (((¬p) ∨ q) ∧ ((¬q) ∨ q)) ∨ p ↔ (((¬p) ∨ q) ∧ 1) ∨ p ↔ ((¬p) ∨ q) ∨ p ↔ ((¬p) ∨ p) ∨ q ↔ 1∨q 244 260

Por Por Por Por Por Por Por Por

(36). (1) y (T1). (31). (T9). (15) y (T2). (T5). (72) y (80). (72) y (T2).


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II ↔1

Por (T7).

Notemos que en estas argumentaciones hemos usado 16 veces la tautologia (1), 1 vez la tautologia (19), 10 veces la (31), 2 veces la (61), 4 veces la (72), 2 veces la (80), 1 vez la (93), 2 veces la (64), 3 veces la (36). El siguiente paso es elegir las m´as usadas y procurar conseguir las dem´as por sustituci´on, hasta lograr un conjunto b´asico de tautolog´ıas que podamos llamar axiomas. Esta manera tiene varias limitaciones, la primera es que est´a basada solamente en equivalencias y como u ´nica regla de inferencia la sustituci´on y nuestro modelo de inferencia est´a basado m´as en la implicaci´on que en la equivalencia. Tampoco sabemos si con los axiomas elegidos podemos demostrar todos los teoremas enunciados o posibles o si sobran axiomas, en el sentido de que se puedan demostrar unos de ellos usando los dem´as. Como ya hemos visto que algunos conectivos sirven para expresar a los dem´as, podemos elegir unos conectivos y las propiedades que los caracterizan y relacionan, asumir como axiomas las tautolog´ıas correspondientes para construir o demostrar las otras tautolog´ıas. Por ejemplo es sensato escoger la implicaci´on y la negaci´on, o la barra de Sheffer, o la conjunci´on y la negaci´on, o con tres conectivos o m´as, como veremos en las axiom´aticas que presentamos. Tambi´en debemos ampliar el conjunto de las reglas de inferencia, y es natural incluir el modus ponendo ponens pues tiene que ver directamente con la implicaci´on, de hecho es la forma de eliminarla. p→q p q O incluir una regla que nos permita pasar de una equivalencia (p ↔ q) a una implicaci´on. Llegamos a un punto en el que es necesario precisar lo que entendemos por axiomatizar, o lo que es lo mismo formular una teor´ıa axiom´atica y dentro de ella lo que significa deducir o demostrar, para ello veamos cu´ales son los componentes b´asicos.

6.1.

Sistemas axiom´ aticos

Un sistema axiom´atico est´a formado por: 245 261


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 1. Un conjunto de signos primitivos que no poseen significado alguno (como el abecedario) y un conjunto de variables que representan a los signos primitivos en la formulaci´on de los axiomas y que se pueden reemplazar por cualquiera de ellos. 2. Unas reglas de formaci´on, la sintaxis del lenguaje, que nos indican la forma de construir nuevos elementos del lenguaje a partir de los signos primitivos (reglas para formar palabras). 3. Un conjunto de operaciones que relacionan unos signos con otros (reglas para formar frases con las palabras). 4. Un conjunto de axiomas, de manera que ninguno de ellos pueda ser deducido a partir de los dem´as (independencia); que no sea posible dentro del sistema deducir un teorema y su negaci´on (consistencia); y que todo enunciado o su negaci´on deba ser demostrable, la disyunci´on es en sentido exclusivo (completitud )73 . 5. Un conjunto de definiciones que abrevian descripciones de objetos del lenguaje e introducen nuevos operadores. 6. Unos criterios de deducci´on o reglas de inferencia. A partir de los axiomas, las definiciones y las reglas de inferencia se demuestran los teoremas. Una deducci´on formal o demostraci´on de la f´ormula q es una sucesi´on finita p1 , p2 , . . . , pn de f´ormulas del lenguaje donde cada una de ellas es un axioma o consecuencia de f´ormulas anteriores en la sucesi´on por la aplicaci´on de las reglas de inferencia admitidas y donde la u ´ltima f´ormula de la lista es q. El proceso de axiomatizar y el resultado del proceso, como casi todos en matem´aticas, no son u ´nicos; generalmente existen varias formulaciones axiom´aticas para una misma teor´ıa. Inicialmente mostraremos un ejemplo de una teor´ıa axiom´atica que aunque parece para la l´ogica, no lo es. Luego presentaremos varias axiom´aticas para la l´ogica cuyas diferencias est´an en los conectivos b´asicos y en las reglas de En 1931, Kurt G¨ odel descubri´ o que en todo sistema axiom´atico formal que incluya la aritm´etica usual existen proposiciones indecidibles desde el interior del sistema; lamentablemente, o por fortuna, no estableci´ o un criterio para determinar cu´ales eran tales proposiciones. 73

246 262


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Matem´aticas de los procesos l´ogicos II inferencia, lo que produce distintas demostraciones de los mismos teoremas, o donde un axioma en una formulaci´on es un teorema en la otra. En los tres primeros ejemplos usaremos m´etodos directos de demostraci´on, pero luego usaremos una forma de demostraci´on con premisas lo que simplifica muchas demostraciones.

6.2.

Sistemas axiom´ aticos para la lo ´gica proposicional

En lo que sigue, los s´ımbolos no tienen significado, pero cuando interpretamos los s´ımbolos ¬, →, ↔ como negaci´on, implicaci´on y equivalencia, respectivamente, los axiomas y teoremas se corresponden con las tautolog´ıas de la l´ogica habitual.

6.2.1.

Axiom´ atica T

El conjunto (Tarski, 1995, pp. 147-151) de s´ımbolos proposicionales es L = {p, q, r, . . . }. El conjunto de las variables proposicionales es {α, β, γ, δ, . . .}. El conjunto de conectivos l´ogicos es {¬, →, ↔}. El conjunto de signos de puntuaci´on es {( , )}. La u ´nica regla de inferencia es  El modus ponendo ponens MPP. p → q, p � q. 247 263


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Los axiomas son realmente esquemas axiom´aticos74: T1. T2. T3. T4. T5. T6. T7.

α → (β → α) (α → (α → β)) → (α → β) (α → β) → ((β → γ) → (α → γ)) (α ↔ β) → (α → β) (α ↔ β) → (β → α) (α → β) → ((β → α) → (α ↔ β)) ((¬β) → (¬α)) → (α → β)

A manera de ejemplo demostremos Teorema 1. p → p Demostraci´on: 1. 2. 3.

p → (p → p) (p → (p → p)) → (p → p) p→p

Por T1 haciendo α = β = p. Por T2 haciendo α = β = p. Por MPP (1, 2).

Notemos que es muy curioso demostrar f´ormulas aparentemente simples como p → p, y asumir como axioma f´ormulas tan ex´oticas como T3 o T6. Teorema 2. p → ((p → q) → ((p → q) → q)) Demostraci´on: 1.

p → ((p → q) → p)

2.

((p → q) → p) → ((p → q) → ((p → q) → q)) (p → ((p → q) → p)) → ((((p → q) → p) → ((p → q) → ((p → q) → q))) → (p → ((p → q) → ((p → q) → q))))

3.

Por T1 haciendo α = p, β = p → q. Por T3 haciendo α = p → q, β = p, γ = q. Por axioma 3 haciendo α = p, β = ((p → q) → p), γ = ((p → q) →

Los esquemas axiom´aticos representan un sistema de infinitos axiomas, un axioma por cada sustituci´on de las variables proposicionales en cada aparici´on de ellas en el esquema. Esto puede evitarse usando una regla de inferencia de sustituci´on donde dada una sucesi´on A, una f´ ormula bien formada B y una variable proposicional, digamos p, est´a permitido generar una sucesi´on C, sustituyendo por B cada aparici´on de p en A. 74

248 264


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Matem´aticas de los procesos l´ogicos II

4.

5.

(((p → q) → p) → ((p → q) → ((p → q) → q))) → (p → ((p → q) → ((p → q) → q))) p → ((p → q) → ((p → q) → q))

((p → q) → q)). Por MPP (1, 3).

Por MPP (2, 4).

Teorema 3. p → ((p → q) → q) Demostraci´on: ((p → q) → ((p → q) → q)) → ((p → q) → q) 2. p → ((p → q) → ((p → q) → q)) 3. (p → ((p → q) → ((p → q) → q))) → ((((p → q) → ((p → q) → q)) → ((p → q) → q)) → (p → ((p → q) → q))) 4. (((p → q) → ((p → q) → q)) → ((p → q) → q)) → (p → ((p → q) → q)) 5. p → ((p → q) → q)

1.

Por T2 haciendo α = p → q, β = q. Por el T2 Por T3 haciendo α = p, β = (p → q) → ((p → q) → q), γ = (p → q) → q. Por MPP (2, 3). Por MPP (1, 4).

Teorema 4. (p → (q → r)) → (q → (p → r)) Demostraci´on: 1. 2.

3. 4. 5.

(p → (q → r)) → (((q → r) → r) → (p → r))

Por T3 con α = p, β = q → r, γ = r. (q → ((q → r) → r)) → ((((q → r) → r) → T3 con α = q, (p → r)) → (q → (p → r))) β = (q → r) → r, γ = p → r. q → ((q → r) → r) Por T3 con p = q, q = r. (((q → r) → r) → (p → r)) → (q → (p → r)) MPP (2, 3). ((p → (q → r) → (((q → r) → r) → (p → r))) T3 con → (((((q → r) → r) → (p → r)) → α = p → (q → r), (q → (p → r))) → ((p → (q → r)) → β = (((q → r) → r) (q → (p → r)))) → (p → r)), γ = q → (p → r). 249 265


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 6.

7.

((((q → r) → r) → (p → r)) → (q → (p → r))) → ((p → (q → r)) → (q → (p → r))) (p → (q → r)) → (q → (p → r))

MPP (5, 1).

MPP (6, 4).

Teorema 5. (¬p) → (p → q) Demostraci´on: 1. (¬p) → ((¬q) → (¬p)) 2. ((¬q) → (¬p)) → (p → q) 3. ((¬p) → ((¬q) → (¬p))) → ((((¬q) → (¬p)) → (p → q)) → ((¬p) → (p → q))) 4. (((¬q) → (¬p)) → (p → q)) → ((¬p) → (p → q)) 5 (¬p) → (p → q)

T1 con α = ¬p, β = ¬q. T7 con α = p, β = q. T3 con α = ¬p, β = (¬q) → (¬p) γ = p → q. MPP (3, 1). MPP (4, 2).

Teorema 6. p → ((¬p) → q) Demostraci´on: 1 (¬p) → (p → q) 2. ((¬p) → (p → q)) → (p → (¬p → q)) 3. p → (¬p → q)

Por T5 Por T4 reemplazando p por ¬p, q por p, r por q. MPP (2, 1).

Observemos que la secuencia de las l´ıneas en la demostraci´on de los teoremas requiere de sustituciones que en un principio son dif´ıciles de imaginar. La secuencia de los teoremas es menos natural, menos intuitiva, generalmente obedece a que en los intentos de demostrar un teorema, que consideramos m´as natural, es necesario probar antes otros resultados.

Ejercicios Demuestre dentro de la axiomatica T 250 266


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Matem´aticas de los procesos l´ogicos II

Teorema Teorema Teorema Teorema

7. (¬(¬p)) → (q → p) 8. (¬(¬p)) → p 9. p → (¬(¬p)) 10. (¬(¬p)) ↔ p

Y con las siguientes definiciones D1: (p ∨ q) ↔ ((¬p) → q) D2: (p ∧ q) ↔ (¬((¬p) ∨ (¬q))) que simplifican la notaci´on podemos demostrar: Teorema 11. ((¬p) → q) → (p ∨ q) Demostraci´on: 1.

((p ∨ q) ↔ ((¬p) → q)) → (((¬p) → q) → (p ∨ q))

2. 3.

(p ∨ q) ↔ ((¬p) → q) ((¬p) → q) → (p ∨ q)

T5 con α = p ∨ q, β = (¬p) → q. D1. MPP (1, 2).

Teorema 12. p ∨ (¬p) Demostraci´on: 1. 2. 3.

((¬p) → (¬p)) → (p ∨ (¬p)) (¬p) → (¬p) p ∨ (¬p)

T11 reemplazando q por ¬p. T1 reemplazando p por ¬p. MPP (1, 2).

Teorema 13. p → (p ∨ q) Demostraci´on: 1. 2. 3.

p → ((¬p) → q) ((¬p) → q) → (p ∨ q) (p → ((¬p) → q)) →

Por T6. Por T11. T3 con α = p, 251 267


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

4. 5.

((((¬p) → q) → (p ∨ q)) → (p → (p ∨ q))) β = (¬p) → q, γ = p ∨ q. (((¬p) → q) → (p ∨ q)) → (p → (p ∨ q)) MPP (3, 1). p → (p ∨ q) MPP (4, 2).

Ejercicios Demuestre dentro de la axiomatica T Teorema Teorema Teorema Teorema Teorema

14. 15. 16. 17. 18.

(p ∧ q) → (¬((¬p) ∨ (¬q))) (¬(¬(p ∧ q))) → (¬((¬p) ∨ (¬q))) ((¬p) ∨ (¬q)) → (¬(p ∧ q)) (¬p) → (¬(p ∧ q)) (p ∧ q) → p

Es curioso que en nuestro discurso no aparezcan razonamientos v´alidos, ni tautolog´ıas; mejor dicho, no parece que estuvi´eramos hablando sobre l´ogica, todo esto parece muy artificial. Es el precio que debemos pagar por obtener mayores niveles de abstracci´on; finalmente este era el sue˜ no de Leibniz, Lull, Boole y los precursores del c´alculo proposicional, lograr sustituir los razonamientos por c´alculos con proposiciones.

6.2.2.

Axiom´ atica C

En esta versi´on se introducen los s´ımbolos ∧, ∨, como primitivos y los axiomas reflejan algunas de sus propiedades b´asicas; el s´ımbolo ↔ se define en t´erminos de los primitivos. El conjunto75 de s´ımbolos proposicionales es L = {p, q, r, . . . }. El conjunto de las variables proposicionales es {α, β, γ, δ, . . .}. El conjunto de conectivos l´ogicos es {¬, →, ∧, ∨}. 75

Esta axiom´ atica aparece en (Caicedo, 1990, pp. 37-40)

252 268


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Matem´aticas de los procesos l´ogicos II El conjunto de signos de puntuaci´on es {( , )}. Definiciones D1. p ↔ q := (p → q) ∧ (q → p) Las f´ormulas bien formadas del lenguaje son secuencias finitas de s´ımbolos que se forman a partir de las siguientes reglas: a. Cada s´ımbolo primitivo es una f´ormula bien formada. b. Si p es una f´ormula entonces ¬p es una f´ormula bien formada. c. Si p y q son f´ormulas, entonces p ∧ q, p ∨ q, p → q y p ↔ q son f´ormulas bien formadas. d. Las u ´nicas f´ormulas bien formadas son las que se construyen con las reglas a. b. y c. La u ´nica regla de inferencia es el modus ponendo ponens MPP. p → q, p � q Los axiomas, que como en el caso anterior, son esquemas axiom´aticos donde las letras α, β, etc., pueden sustituirse por cualquier f´ormula bien formada, en cada una de sus ocurrencias. C1. C2. C3. C4. C5. C6. C7. C8. C9.

α → (β → α) (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) ((¬α) → (¬β)) → (β → α) (α ∧ β) → α (α ∧ β) → β (α → β) → ((α → γ) → (α → (β ∧ γ))) α → (α ∨ β) β → (α ∨ β) (α → γ) → ((β → γ) → ((α ∨ β) → γ))

253 269


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

Teorema 1. p → p Demostraci´on: 1. (p → ((p → p) → p)) → ((p → (p → p)) → (p → p)) 2. p → ((p → p) → p) 3. (p → (p → p)) → (p → p) 4. p → (p → p) 5. p → p

C2 con α = p, β = p → p y γ = p. C1 con α = p, β = p → p. MPP (1, 2). C1 con α = p, β = p. MPP (3, 4).

Teorema 2. (¬(¬p) → (¬q)) → (q → (¬p)) Demostraci´on: (¬(¬p) → (¬q)) → (q → (¬p))

C3 con α = ¬p, β = q.

Teorema 3. p → (q → (p → q)) Demostraci´on: 1.

(q → (p → q)) → (p → (q → (p → q)))

2. 3.

q → (p → q) (p → (q → (p → q))

C1 con α = q → (p → q) y β = p. C1 con α = q y β = p. MPP (1, 2).

Teorema 4. p → (p ∧ p) Demostraci´on: 1. 2. 3. 4.

(p → p) → ((p → p) → (p → (p ∧ p))) p→p (p → p) → (p → (p ∧ p)) p → (p ∧ p) 254 270

C6 con α = β = γ = p. Por T1. MPP (1, 2). MPP (2, 3).


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Matem´aticas de los procesos l´ogicos II

Teorema 5. (p ∧ p) → p Demostraci´on: (p ∧ p) → p

C5 con α = β = p.

Teorema 6. (p ∧ q) → (q ∧ p) Demostraci´on: 1. (p ∧ q) → p 2. (p ∧ q) → q 3. ((p ∧ q) → q) → (((p ∧ q) → p) → ((p ∧ q) → (q ∧ p))) 4. ((p ∧ q) → p) → ((p ∧ q) → (q ∧ p)) 5. (p ∧ q) → (q ∧ p)

C4 con α = p, β = q. C5 con α = p, β = q. C6 con α = p ∧ q, β = q y γ = p. MPP (2, 3). MPP (1, 4).

Teorema 7. p → (p ∨ p) Demostraci´on: p → (p ∨ p)

C7 con α = β = p.

Teorema 8. (p ∨ p) → p Demostraci´on: 1. 2. 3. 4.

(p → p) → ((p → p) → ((p ∨ p) → p)) p→p (p → p) → ((p ∨ p) → p) (p ∨ p) → p

C9 sustituyendo α = β = γ = p. Por T1. MPP (1, 2). MPP (2, 3).

255 271


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

Teorema 9. (p ∨ q) → (q ∨ p) Demostraci´on: 1. q → (q ∨ p) 2. p → (q ∨ p) 3. (p → (q ∨ p))) → ((q → (q ∨ p)) → ((p ∨ q) → (q ∨ p)) 4. ((q → (q ∨ p)) → ((p ∨ q) → (q ∨ p)) 5. (p ∨ q) → (q ∨ p)

C7 con α = q, β = p. C8 con α = q, β = p. C9 con α = p, β = q y γ = q ∨ p. MPP (2, 3). MPP (1, 4).

Teorema 10. ((p ∧ q) ∨ (q ∧ p)) → p Demostraci´on: 1. ((p ∧ q) → p) → (((q ∧ p) → p) → ((p ∧ q) ∨ (q ∧ p)) → p)) 2. (p ∧ q) → p 3. (q ∧ p) → p 4. ((q ∧ p) → p) → ((p ∧ q) ∨ (q ∧ p)) → p) 5. ((p ∧ q) ∨ (q ∧ p)) → p

6.2.3.

C9 con α = p ∧ q, β = q ∧ p y γ = p. C4 con α = p y β = q. C5 con α = q y β = p. MPP (1, 2). MPP (3, 4).

Axiom´ atica B

En esta versi´on (Bochenski, 1982, pp. 45-48) los s´ımbolos primitivos se reducen a uno (la barra de Sheffer) y los dem´as s´ımbolos se definen en t´erminos de ´el, los axiomas se reducen a cuatro. El conjunto de s´ımbolos proposicionales llamadas variables enunciativas es L = {p, q, r, . . . }. El conjunto de las variables proposicionales es {α, β, γ, δ, . . .}. 256 272


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Matem´aticas de los procesos l´ogicos II El conjunto de conectivos l´ogicos76 es {|}. El conjunto de signos de puntuaci´on es {( , )}. Definiciones D1. D2. D3. D4. D5.

¬p = p | p p ∨ q = (¬p) | (¬q) p → q = (¬p) ∨ q p ∧ q = ¬((¬p) ∨ (¬q)) p ↔ q = (p → q) ∧ (q → p)

Reglas de formaci´on a. Una variable enunciativa es un enunciado. b. Si p es un enunciado entonces ¬p es un enunciado. c. Si p y q son enunciados, entonces p | q, p ∧ q, p ∨ q, p → q y p ↔ q son enunciados. Como reglas de inferencia se especifican: 1. Regla de definici´ on: puede introducirse en el sistema un t´ermino nuevo formulando un grupo de t´erminos, llamado definici´ on, que consta de: (1) una expresi´on que contiene el nuevo t´ermino y en el cual todos los dem´as son t´erminos del sistema; (2) “=”; (3) una expresi´on que solo contiene t´erminos primitivos o t´erminos ya definidos. 2. Regla de sustituci´on por definici´ on: en un enunciado una definici´on puede sustituirse por la expresi´on que define, y rec´ıprocamente, sin ser sustituida por todas las ocurrencias de la misma forma de esa expresi´on. 3. Regla de separaci´ on (modus ponendo ponens): si p → q es una ley del sistema y p es una ley del sistema, entonces q es una ley del sistema. 76 El primer sistema fundamentado en la barra de Sheffer fue publicado por J.G.P. Nicod en 1917.

257 273


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos MPP. p → q, p � q Axiomas77 B1. B2. B3. B4.

(α ∨ α) → α α → (α ∨ β) (α ∨ β) → (β ∨ α) (α → β) → ((γ ∨ α) → (γ ∨ β))

En Principia Mathematica de Russell y Whitehead aparecen adem´as de estos cuatro axiomas, un quinto axioma que expresa lo siguiente: (α ∨ (β ∨ γ)) → (β ∨ (α ∨ γ)). Bernays demostr´o que era deducible de los dem´as. Teorema 1. (p → q) → ((r → p) → (r → q)) Demostraci´on: 1. 2. 3. 4.

(p → q) → ((¬r ∨ p) → (¬r ∨ q)) r → p = ¬r ∨ p r → q = ¬r ∨ q (p → q) → ((r → p) → (r → q))

B4 con α = p, β = q y γ = ¬r. D3 reemplazando p = r y q = p. D3 reemplazando p = r. Sustituci´on de 2 y 3 en 1.

Teorema 2. p → p Demostraci´on: (p → q) → ((r → p) → (r → q)) (p ∨ p) → p p → (p ∨ q) ((p ∨ p) → p) → ((p → (p ∨ p)) → (p → p)) 5. (p → (p ∨ p)) → (p → p) 6. p → (p ∨ p)

1. 2. 3. 4.

77

Por T1. B1 con α = p. B2 con α = p. Sustituci´on de p por p ∨ p, q por p y r por p en 1. MPP (2, 4). B2 con α = β = p.

Este sistema corresponde al presentado por Hilbert y Bernays (1934).

258 274


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II 7.

p→p

MPP (5, 6).

Teorema 3. (¬p) ∨ p Demostraci´on: 1. 2. 3.

p→p p → p = (¬p) ∨ p (¬p) ∨ p

Por T2. D3 reemplazando q = p. Sustituci´on de 2 en 1.

Teorema 4. p ∨ (¬p) Demostraci´on: 1. ((¬p) ∨ p) → (p ∨ (¬p)) 2. (¬p) ∨ p 3. p ∨ (¬p)

B3 con α = ¬p, β = q. Por T3. MPP (2, 1).

Teorema 5. p → (¬(¬p)) Demostraci´on: 1. 2. 3. 4. 5.

p ∨ (¬p) (¬p) ∨ (¬(¬p)) p → q = (¬p) ∨ q p → (¬(¬p)) = (¬p) ∨ (¬(¬p)) p → (¬(¬p))

Por T4. Sustituyendo p por ¬p en 1. D3. Sustituyendo q por ¬(¬p) en 3. Sustituyendo 4 en 2.

Teorema 6. p ∨ (¬(¬(¬p))) Demostraci´on: 1. 2.

((¬p) → (¬(¬(¬p)))) → ((p ∨ (¬p)) → (p ∨ (¬(¬(¬p))))) (¬p) → (¬(¬(¬p))) 259 275

B4 con α = ¬p, β = ¬(¬(¬p)) y γ = p. Por T5 sustituyendo


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

3. 4. 5.

p por ¬p. MPP (1, 2). Por T4. MPP (3, 4).

(p ∨ (¬p)) → (p ∨ (¬(¬(¬p)))) p ∨ (¬p) p ∨ (¬(¬(¬p)))

Teorema 7. (¬(¬p)) → p Demostraci´on: 1. 2.

(p ∨ (¬(¬(¬p)))) → ((¬(¬(¬p))) ∨ p) (¬(¬p)) → p = (¬(¬(¬p))) ∨ p

3. 4. 5.

(p ∨ (¬(¬(¬p)))) → ((¬(¬p)) → p) p ∨ (¬(¬(¬p))) (¬(¬p)) → p

B3 con α = p, β = ¬(¬(¬p)). D3 sustituyendo p por ¬(¬p) y q por p. Sustituci´on de 2 en 1. Por T6. MPP (3, 4).

Teorema 8. ((¬q) ∨ p) → ((¬q) ∨ (¬(¬p))) Demostraci´on: 1. 2. 3.

(p → (¬(¬p))) → (((¬q) ∨ p) → ((¬q) ∨ (¬(¬p)))) p → (¬(¬p)) ((¬q) ∨ p) → ((¬q) ∨ (¬(¬p)))

B4 con α = p, β = ¬(¬p) y γ = ¬q. Por T5. MPP (2, 1).

Teorema 9. ((¬q) ∨ p) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q)) Demostraci´on: 1. (p → q) → ((r → p) → (r → q)) 2. (((¬q) ∨ (¬(¬p))) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q))) → ((((¬q) ∨ p) → ((¬q) ∨ (¬(¬p)))) → (((¬q) ∨ p) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q)))) 3. ((¬q) ∨ (¬(¬p))) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q)) 260 276

Por T1. Sustituyendo p por (¬q) ∨ (¬(¬p)), q por (¬(¬p)) ∨ (¬q) y r por (¬q) ∨ p en 1. B3 con α = ¬q y β = ¬(¬p).


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II 4. 5. 6.

(((¬q) ∨ p) → ((¬q) ∨ (¬(¬p)))) → (((¬q) ∨ p) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q))) ((¬q) ∨ p) → ((¬q) ∨ (¬(¬p))) ((¬q) ∨ p) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q))

MPP (2, 3). Por T8. MPP (4, 5).

Teorema 10. (p → q) → ((¬q) → (¬p)) Demostraci´on: 1. 2. 3. 4. 5.

((¬q) ∨ p) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q)) ((¬p) ∨ q) → ((¬(¬q)) ∨ (¬p)) p → q = (¬p) ∨ q (p → q) → ((¬(¬q)) ∨ (¬p)) (¬q) → (¬p) = (¬(¬q)) ∨ (¬p)

6.

(p → q) → ((¬q) → (¬p))

Por T9. Sustituyendo p por q y q por p en 1. D3. Sustituci´on de 3 en 2. Sustituyendo p por ¬q y q por ¬p en 3. Sustituci´on de 5 en 4.

Teorema 11. (p → (¬p)) → (¬p) Demostraci´on: 1. 2. 3.

((¬p) ∨ (¬p)) → (¬p) p → (¬p) = (¬p) ∨ (¬p) (p → (¬p)) → (¬p)

B1 con α = ¬p. D3 sustituyendo q por ¬p. Sustituci´on de 1 en 2.

Teorema 12. p → (q ∨ p) Demostraci´on: 1. (p → q) → ((r → p) → (r → q)) 2. ((p ∨ q) → (q ∨ p)) → ((p → (p ∨ q)) → (p → (q ∨ p))) 3. (p ∨ q) → (q ∨ p) 4. (p → (p ∨ q)) → (p → (q ∨ p)) 5. p → (p ∨ q) 6. p → (q ∨ p) 261 277

Por T1. Sustituyendo p por p ∨ q, q por q ∨ p y r por p en 1. B3 con α = p y β = q. MPP (2, 3). B2 con α = p y β = q. MPP (4, 5).


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

Teorema 13. p → (q → p) Demostraci´on: 1. 2. 3. 4. 5.

p → (q ∨ p) p → ((¬q) ∨ p) p → q = (¬p) ∨ q q → p = (¬q) ∨ p p → (q → p)

Por T12. Sustituyendo q por ¬q en 1. D3. Sustituyendo p por q y q por p en 3. Sustituci´on de 4 en 2.

Teorema 14. p → ((¬p) → p) Demostraci´on: 1. 2.

p → (q → p) p → ((¬p) → p)

Por T13. Sustituyendo q por ¬p en 1.

Teorema 15. (q ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r)) Demostraci´on: 1. (r → (p ∨ r)) → ((q ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r))) 2. p → (q ∨ p) 3. r → (p ∨ r) 4. (q ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r))

B4 con α = r y β = p ∨ r y γ = q. Por T12. Sustituyendo p por r y q por p en 3. MPP (1, 3).

Teorema 16. (p ∨ (q ∨ r)) → (p ∨ (q ∨ (p ∨ r))) Demostraci´on: 1. 2.

((q ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r))) → ((p ∨ (q ∨ r)) → (p ∨ (q ∨ (p ∨ r)))) (q ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r)) 262 278

B4 con α = q ∨ r, β = q ∨ (p ∨ r) y γ = p. Por T15.


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II 3.

(p ∨ (q ∨ r)) → (p ∨ (q ∨ (p ∨ r)))

MPP (2, 3).

Teorema 17. (p ∨ (q ∨ r)) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) Demostraci´on: 1. 2.

(p → q) → ((r → p) → (r → q)) ((p ∨ (q ∨ (p ∨ r))) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p)) → (((p ∨ (q ∨ r)) → (p ∨ (q ∨ (p ∨ r)))) → ((p ∨ (q ∨ r)) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p)))

3.

(p ∨ (q ∨ (p ∨ r))) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p)

4.

((p ∨ (q ∨ r)) → (p ∨ (q ∨ (p ∨ r)))) → ((p ∨ (q ∨ r)) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p)) (p ∨ (q ∨ r)) → (p ∨ (q ∨ (p ∨ r))) (p ∨ (q ∨ r)) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p)

5. 6.

Por T1. Sustituyendo p por p ∨ (q ∨ (p ∨ r)), q por (q ∨ (p ∨ r)) ∨ p, y r por p ∨ (q ∨ r) en 1. B3 con α = p y β = q ∨ (p ∨ r). MPP (2, 3). Por T16. MPP (4, 5).

Teorema 18. p → (q ∨ (p ∨ r)) Demostraci´on: 1. (p → q) → ((r → p) → (r → q)) 2. ((p ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r))) → ((p → (p ∨ r)) → (p → (q ∨ (p ∨ r)))) 3. p → (q ∨ p) 4. (p ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r)) 5. (p → (p ∨ r)) → (p → (q ∨ (p ∨ r))) 6. p → (p ∨ r) 7. p → (q ∨ (p ∨ r))

263 279

Por T1. Sustituyendo p por p ∨ r, q por q ∨ (p ∨ r) y r por p en 1. Por T12. Sustituyendo p por p ∨ r en 3. MPP (2, 4). B2 con α = p y β = r. MPP (5, 6).


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

Teorema 19. ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r))) Demostraci´on: 1. (p → (q ∨ (p ∨ r))) → (((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r)))) 2. p → (q ∨ (p ∨ r)) 3. ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r)))

B4 con α = p, β = q ∨ (p ∨ r) y γ = q ∨ (p ∨ r). Por T18. MPP (1, 2).

Teorema 20. ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → (q ∨ (p ∨ r)) Demostraci´on: 1. 2.

3. 4. 5.

6. 7.

(p → q) → ((r → p) → (r → q)) Por T1. (((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r))) Sustituyendo p por → (q ∨ (p ∨ r))) → ((((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) (q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r)), → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r)))) q por q ∨ (p ∨ r) y → (((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → (q ∨ (p ∨ r)))) r por (q ∨ (p ∨ r)) ∨ p en 1. (p ∨ p) → p ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r))) B1 con α = q ∨ (p ∨ r). → (q ∨ (p ∨ r)) (((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) MPP (2, 4). → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r)))) → (((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → (q ∨ (p ∨ r))) ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) Por T19. → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r))) ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → (q ∨ (p ∨ r)) MPP (5, 6).

Ejercicios Demuestre dentro de la axiom´atica B Teorema 21. ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → (q ∨ (p ∨ r)). Teorema 22. (p ∨ (q ∨ r)) → (q ∨ (p ∨ r)). 264 280


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II Teorema Teorema Teorema Teorema

23. 24. 25. 26.

(p ∨ (q ∨ r)) → (r ∨ (p ∨ q)). (p ∨ (q ∨ r)) → ((p ∨ q) ∨ r). (p ∨ (q ∨ r)) → (q ∨ (r ∨ p)). (p ∨ (q ∨ r)) → (r ∨ (q ∨ p)).

Hasta aqu´ı hemos mostrado varias axiom´aticas para la l´ogica proposicional y en cada una de ellas sus t´ecnicas de deducci´on y sus herramientas m´as usadas, con el prop´osito de dar una idea panor´amica de ellas, pero por sobre todo ilustrar diferentes puntos de vista, que aunque equivalentes desde el punto de vista l´ogico, nos ense˜ nan que no hay una sola forma de hacer las cosas y que cada m´etodo tiene sus ventajas y desventajas, en algunas los axiomas son m´as intuitivos pero las demostraciones m´as engorrosas, otras son m´as elegantes pero m´as oscuras, etc. Cada uno de nosotros puede saborearlas y extraer sus propias conclusiones. Por supuesto, como todo en matem´aticas, esto requiere de mucho trabajo, paciencia y persistencia.

6.2.4.

Pruebas con premisas (prueba condicional)

Usaremos ahora una herramienta que introdujimos en el cap´ıtulo 2, que nos permite simplificar pruebas, en especial cuando lo que se quiere demostrar tiene la forma de una implicaci´on. Es el teorema de la deducci´on. Establece que si M es un conjunto de f´ormulas cualquiera y q es una f´ormula cualquiera tales que, M � q, entonces � M → q, en particular si M = {p}

{p} � q, implica � (p → q). Si suponiendo que p es cierto podemos deducir q, hemos demostrado que p → q es cierto. No demostramos que q sea cierto; lo es si la premisa es cierta. Pero como en las teor´ıas tenemos premisas esto resulta muy u ´til. Y si M = {p1 , p2 , . . . , pn } entonces78, {p1 , p2 , . . . , pn } � q implica que {p1 , p2 , . . . , pn−1 } � (pn → q). Y an´alogamente, por reiteraci´on {p1 , p2 , . . . , pn } � q implica que � (p1 → (p2 → (p3 → · · · → (pn → q))) . . .).

El teorema rec´ıproco tambi´en es v´alido {p1 , p2 , . . . , pn−1} � (pn → q) implica {p1 , p2 , . . . , pn } � q. En las demostraciones lo usaremos en ambos sentidos. 78

265 281


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Este teorema no es realmente un teorema dentro de una teor´ıa axiom´atica particular para la l´ogica proposicional, es un teorema sobre la formulaci´on de teoremas dentro de una teor´ıa, a esto le llaman un metateorema, y como no depende de las axiom´aticas particulares puede aplicarse en cualquiera de ellas. Dentro de una teor´ıa matem´atica, por ejemplo la aritm´etica, en el tema de divisibilidad con las premisas a | b y b | c deseamos probar que a | c, debemos suponer que las premisas son verdaderas para deducir la conclusi´on. Las tautolog´ıas llamadas (Zehna y Johnson, 1972, p. 13) ley de exportaci´on ((p ∧ q) → r) → (p → (q → r)), y ley de importaci´on (p → (q → r)) → ((p ∧ q) → r), expresan una idea similar.

6.2.5.

Axiom´ atica K

El sistema K se compone79 de: Los s´ımbolos proposicionales: p, q, r, s, . . . Las variables proposicionales: α, β, γ, δ, . . . Los s´ımbolos de conectivos: ¬, ∧, ∨, →. Reglas sint´acticas: a. Un s´ımbolo proposicional es una f´ormula bien formada. b. Si α es una f´ormula bien formada entonces ¬α tambi´en lo es. c. Si α y β son f´ormulas bien formadas, entonces tambi´en lo son α ∧ β, α ∨ β, α → β. Propuesto por Stephen Kleene en 1952 tomando como base el sistema formal de Hilbert (Paniagua et al., 2003, pp. 79-93). 79

266 282


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II Regla de inferencia: regla de separaci´on (MPP): si α y α → β son teoremas o axiomas del sistema, entonces β tambi´en lo es. Axiomas: K1: K2: K3: K4: K5: K6: K7: K8:

α → (β → α) (α → β) → ((α → (β → δ)) → (α → δ)) α → (β → (α ∧ β)) (α ∧ β) → α; (α ∧ β) → β α → (α ∨ β); β → (α ∨ β) (α → δ) → ((β → δ) → ((α ∨ β) → δ)) (α → β) → ((α → (¬β)) → (¬α)) (¬¬α) → α

Teorema K1. (De identidad) p → p La demostraci´on de este teorema hecha al comienzo de esta secci´on para la axiom´atica T sirve para cualquier axiom´atica de las aqu´ı mencionadas. Teorema K2. (Silogismo hipot´ etico) (p → q) → ((q → r) → (p → r)) Demostraremos que {(p → q), (q → r), p} � r: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

(q → r) (p → q) p q r {(p → q), (q → r), p} � r (p → q) → ((q → r) → (p → r))

Teorema K3. p → ((p → q) → q) Demostraremos que {p, (p → q)} � q: 267 283

Premisa. Premisa. Premisa. MPP (2, 3). MPP (1, 4). TD (1, 2, 3 y 5). TD (6).


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 1. 2. 3. 4. 5.

(p → q) p q {p, (p → q)} � q p → ((p → q) → q)

Premisa. Premisa. MPP (1, 2). TD (1, 2 y 3). TD (4).

Teorema K4. p → ((¬p) → q) Demostraremos que {p, (¬p)} � q: 1. 2. 3. 4. 5 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

¬p p p → ((¬q) → p) ((¬q) → p) ((¬q) → p) → (((¬q) → (¬p)) → (¬¬q)) (((¬q) → (¬p)) → (¬¬q)) (¬p) → ((¬q) → (¬p)) ((¬q) → (¬p)) ¬¬q (¬¬q) → q q {p, (¬p)} � q p → ((¬p) → q)

Premisa. Premisa. K1 con α = p y β = ¬q. MPP (2, 3). K7 con α = ¬q y β = p. MPP (4, 5). K1 con α = ¬p y β = ¬q. MPP (7, 1). MPP (8, 6). K8 con α = q. MPP (9, 10). TD (1, 2 y 11). TD (12).

Teorema K5. (p → q) → ((p → r) → (p → (q ∧ r))) Demostraremos inicialmente que {(p → q), (p → r), p} � (q ∧ r): 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

p→q p→r p q q → (r → (q ∧ r)) r → (q ∧ r) r (q ∧ r) {(p → q), (p → r), p} � (q ∧ r) 268 284

Premisa. Premisa. Premisa. MPP (1, 3). K3 con α = q y β = r. MPP (4, 5). MPP (2, 3). MPP (6, 7). TD (1, 2, 3, 8).


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II 10. 11. 12.

{(p → q), (p → r)} � (p → (q ∧ r) {(p → q)} � ((p → r) → (p → (q ∧ r))) (p → q) → ((p → r) → (p → (q ∧ r)))

TD (9). TD (10). TD (11).

Teorema K6. (p → q) → ((¬q) → (¬p)) Demostraremos inicialmente que {(p → q), ¬q} � (¬p): 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

¬q p→q (p → q) → ((p → (¬q)) → (¬p)) (p → (¬q)) → (¬p) (¬q) → (p → (¬q)) p → (¬q) ¬p {(p → q), ¬q} � (¬p) {(p → q)} � (¬q) → (¬p) (p → q) → ((¬q) → (¬p))

Premisa. Premisa. K7 con α = p y β = q. MPP (2, 3). K1 con α = ¬q y β = p. MPP (5, 1). MPP (4, 6). TD (7). TD (8). TD (9).

Teorema K7. (p → q) → (¬(p ∧ (¬q))) Demostraremos inicialmente que {(p → q)} � (¬(p ∧ (¬q))): 1. 2. 3.

(p → q) (p ∧ (¬q)) → p ((p ∧ (¬q)) → p) → ((p → q) → ((p ∧ (¬q)) → q))

4. 5. 6.

(p → q) → ((p ∧ (¬q)) → q) (p ∧ (¬q)) → q ((p ∧ (¬q)) → q) → (((p ∧ (¬q)) → (¬q)) → (¬(p ∧ (¬q)))) ((p ∧ (¬q)) → (¬q)) → (¬(p ∧ (¬q))) (p ∧ (¬q)) → (¬q) ¬(p ∧ (¬q)) {(p → q)} � (¬(p ∧ (¬q)))

7. 8. 9. 10.

269 285

Premisa. K4 con α = p y β = ¬q. K2 reemplazando p por p ∧ (¬q), q por p y r por q. MPP (2, 3). MPP (4, 1). K7 con α = p ∧ (¬q) y β = q. MPP (5, 6). K4 con α = p y β = ¬q. MPP (7, 8). TD (9).


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 11.

(p → q) → (¬(p ∧ (¬q)))

6.2.6.

TD (10).

Axiom´ atica L

El sistema L se compone de: Los s´ımbolos proposicionales: p, q, r, s, . . . Las variables proposicionales: α, β, γ, δ, . . . Los s´ımbolos de conectivos: ¬, →. Reglas sint´acticas: a. Un s´ımbolo proposicional es una f´ormula bien formada. b. Si α es una f´ormula bien formada entonces ¬α tambi´en lo es. c. Si α y β son f´ormulas bien formadas, entonces α → β tambi´en lo es. d. Las u ´nicas f´ormulas bien formadas son las construidas mediante las reglas a. b. y c. Regla de inferencia: regla de separaci´on (MPP): si α y α → β son teoremas o axiomas del sistema, entonces β tambi´en lo es. Axiomas80: L1: α → (β → α) L2: (α → (β → δ)) → ((α → β) → (α → δ)) Esta propuesta est´ a basada en otra hecha por Frege, quien propuso los siguientes seis axiomas: 1. α → (β → α) 2. (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) 3. (α → (β → γ)) → (β → (α → γ)) 4. (α → β) → ((¬β) → (¬α)) 5. ¬(¬α) → α 6. α → ¬(¬α) Jan L � ukasiewicz en 1929 demostr´o que los axiomas 3, 4, 5 y 6 se pod´ıan sustituir por L3. 80

270 286


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II L3: ((¬α) → (¬β)) → (β → α) Una demostraci´on con premisas del siguiente teorema ya est´a hecha, veamos una demostraci´on sin premisas dentro del sistema L. Teorema L1. p → p Demostraci´on: 1. 2. 3. 4. 5.

(p → ((p → p) → p)) → ((p → (p → p)) → (p → p)) p → ((p → p) → p) (p → (p → p)) → (p → p) p → (p → p) p→p

L2 con α = δ = p y β = (p → p). L1 con α = p y β = (p → p). MPP (1, 2). L1 con α = β = p. MPP (3, 4).

Teorema L2. (¬¬p) → p Demostraremos que {¬¬p} � p: 1. 2.

¬¬p (¬¬p) → ((¬¬¬¬p) → (¬¬p))

3. 4.

(¬¬¬¬p) → (¬¬p) ((¬¬¬¬p) → (¬¬p)) → ((¬p) → (¬¬¬p)) (¬p) → (¬¬¬p) ((¬p) → (¬¬¬p)) → ((¬¬p) → p) (¬¬p) → p p {¬¬p} � p (¬¬p) → p

5. 6. 7. 8. 9. 10.

Premisa. L1 con α = ¬¬p y β = ¬¬¬¬p. MPP (1, 2). L3 con α = ¬¬¬p y β = ¬p. MPP (3, 4). L3 con α = p y β = ¬¬p. MPP (5, 6). MPP (7, 1). TD (1 a 8). TD (9).

Teorema L3. (p → q) → ((q → r) → (p → r)) Demostraremos que {(p → q), (q → r)} � (p → r): 271 287


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

(q → r) (p → q) (q → r) → (p → (q → r)) p → (q → r) (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) (p → q) → (p → r) p→r {(p → q), (q → r)} � (p → r) (p → q) → ((q → r) → (p → r))

Premisa. Premisa. L1 con α = q → r y β = p. MPP (1, 3). L2 con α = p, β = q, δ = r. MPP (4, 5). MPP (2, 6). TD (1 a 7). TD (8).

Teorema L4. p → ((p → q) → q) La demostraci´on del teorema K3 se puede copiar literal. Teorema L5. p → (¬¬p) Demostraci´on: 1. 2. 3. 4.

(¬¬¬¬p) → (¬¬p) ((¬¬¬¬p) → (¬¬p)) → ((¬p) → (¬¬¬p)) (¬p) → (¬¬¬p) p → (¬¬p)

L2 sustituyendo p por ¬¬p. L3 con α = ¬¬¬p y β = ¬p. MPP (1, 2). Sustituyendo ¬p por p en 3.

Teorema L6. (p → (¬q)) → (q → (¬p)) Demostraremos que {p → (¬q)} � (q → (¬p)): 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

p → (¬q) ((¬¬p) → p) → ((p → (¬q)) → ((¬¬p) → (¬q))) (¬¬p) → p (p → (¬q)) → ((¬¬p) → (¬q)) (¬¬p) → (¬q) ((¬¬p) → (¬q)) → (q → (¬p)) q → (¬p) 272 288

Premisa. L3 reemplazando p por ¬¬p, q por p y r por ¬q. Por L2. MPP(2, 3). MPP (1, 4). L3 con α = ¬p y β = q. MPP(5, 6).


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II 8. {p → (¬q)} � (q → (¬p)) 9. (p → (¬q)) → (q → (¬p))

TD (1 a 7). TD (8).

Teorema L7. ((¬p) → q) → ((¬q) → p) Demostraremos que {(¬p) → q} � ((¬q) → p): 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

(¬p) → q ((¬p) → (¬¬q)) → ((¬q) → p) ((¬p) → q) → ((q → (¬¬q)) → ((¬p) → (¬¬q))) (q → (¬¬q)) → ((¬p) → (¬¬q)) q → (¬¬q) (¬p) → (¬¬q) (¬q) → p {(¬p) → q} � ((¬q) → p) ((¬p) → q) → ((¬q) → p)

Premisa. L3 con α = p y β = ¬q. L3 reemplazando p por ¬p, r por ¬¬q. MPP (1, 3). Por L5. MPP (4, 5). MPP (6, 2). TD (1 a 7). TD (8).

Teorema L8. p → (q → (¬(p → (¬q)))) Demostraremos que {p} � q → (¬(p → (¬q))): 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

p ((p → (¬q)) → (¬q)) → (q → (¬(p → (¬q)))) p → ((p → (¬q)) → (¬q))

Premisa. L6 reemplazando p por p → (¬q). L4 reemplazando q por ¬q. MPP (1, 3). MPP (2, 4). TD (1 a 5). TD (6).

(p → (¬q)) → (¬q) q → (¬(p → (¬q))) {p} � q → (¬(p → (¬q))) p → (q → (¬(p → (¬q))))

Teorema L9. p → ((¬p) → q) Demostraremos que {p} � (¬p) → q: 273 289


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 1. 2. 3. 4. 5. 6.

p ((¬p) → q) → ((¬q) → p) p → ((¬q) → p) (¬q) → p {p} � (¬p) → q p → ((¬p) → q)

Premisa. Por L7. L1 con α = p y β = ¬q. MPP (1, 3). TD (1 a 5). TD (5).

Teorema L10. (¬(p → (¬q))) → p Demostraci´on: 1. 2.

3. 4. 5. 6. 7.

((¬p) → (p → (¬q))) → ((¬(p → (¬q))) → p) ((¬p) → (q → (¬p))) → (((q → (¬p)) → (p → (¬q))) → ((¬p) → (p → (¬q)))) (¬p) → (q → (¬p)) ((q → (¬p)) → (p → (¬q))) → ((¬p) → (p → (¬q))) (q → (¬p)) → (p → (¬q))

L7 reemplazando q por p → (¬q). L3 reemplazando p por ¬p, q por (q → (¬p)) y r por p → (¬q). L1 con α = ¬p y β = q. MPP (2, 3). L6 reemplazando q por p y p por q. MPP (4, 5). MPP (1, 6).

(¬p) → (p → (¬q)) (¬(p → (¬q))) → p

Teorema L11. p → (¬(p → (¬p))) Demostraremos que {p} � ¬(p → (¬p)): 1. 2. 3. 4. 5. 6.

p p → (p → (¬(p → (¬p)))) p → (¬(p → (¬p))) ¬(p → (¬p)) {p} � ¬(p → (¬p)) p → (¬(p → (¬p)))

Premisa. L8 reemplazando q por p. MPP (1, 2). MPP (1, 3). TD (1 a 4). TD (5).

274 290


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II

Teorema L12. (p → (¬p)) → (¬p) Demostraci´on: 1. (p → (¬(p → (¬p)))) → ((p → (¬p)) → (¬p)) 2. p → (¬(p → (¬p))) 3. (p → (¬p)) → (¬p)

L6 reemplazando q por p → (¬p). Por L11. MPP (1, 2).

Teorema L13. ((¬p) → p) → p Demostraremos que {(¬p) → p} � p: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

(¬p) → p ((¬p) → p) → ((p → (¬¬p)) → ((¬p) → (¬¬p))) (p → (¬¬p)) → ((¬p) → (¬¬p)) p → (¬¬p) (¬p) → (¬¬p) ((¬p) → (¬¬p)) → (¬¬p) ¬¬p (¬¬p) → p p {(¬p) → p} � p ((¬p) → p) → p

Premisa. L3 reemplazando p por ¬p, q por p y r por ¬¬p. MPP (1, 2). Por L5. MPP (3, 4). L12 reemplazando p por ¬p. MPP (5, 6). Por L2. MPP (7, 8). TD (1 a 9). TD (10).

Teorema L14. (p → r) → ((q → r) → (((¬p) → q) → r)) Demostraremos que {(p → r), (q → r), (¬p) → q} � r: 1. 2. 3. 4.

p→r q→r (¬p) → q ((¬p) → q) → ((q → r) → ((¬p) → r)) 275 291

Premisa. Premisa. Premisa. L3 reemplazando p por ¬p.


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 5. 6. 7.

(q → r) → ((¬p) → r) (¬p) → r ((¬p) → r) → ((¬r) → p)

8. 9.

(¬r) → p ((¬r) → p) → ((p → r) → ((¬r) → r))

10. 11. 12.

(p → r) → ((¬r) → r) (¬r) → r ((¬r) → r) → r

13. 14. 15.

r {(p → r), (q → r), (¬p) → q} � r (p → r) → ((q → r) → (((¬p) → q) → r))

MPP (3, 4). MPP (2, 5). L7 reemplazando q por r. MPP (6, 7). L3 reemplazando p por ¬r y q por p. MPP (9, 8). MPP (1, 8). L13 reemplazando p por r. MPP (11, 12). TD (1 a 13). TD (14).

Teorema L15. (p → q) → ((p → (¬q)) → (¬p)) Demostraremos que {(p → q), (p → (¬q))} � (¬p): 1. 2. 3.

p→q p → (¬q) (p → q) → ((q → (¬p)) → (p → (¬p)))

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

(q → (¬p)) → (p → (¬p)) (p → (¬q)) → (q → (¬p)) q → (¬p) p → (¬p) (p → (¬p)) → (¬p) ¬p {(p → q), (p → (¬q))} � (¬p) (p → q) → ((p → (¬q)) → (¬p))

276 292

Premisa. Premisa. L3 reemplazando r por ¬p. MPP (1, 3). Por L6. MPP (2, 5). MPP (4, 6). Por L12. MPP (7, 8). TD (1 a 9). TD (10).


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II

6.3.

Otras axiomatizaciones para la lo ´gica proposicional

Existen otras axiomatizaciones para la l´ogica proposicional, una de ellas propuesta por Nicod en 1917 usando como u´nico conectivo primitivo la barra de Sheffer y u ´nico axioma: (α | (β | γ)) | ((δ | (δ | δ)) | ((ε | β) | ((α | ε) | (α | ε)))) y la regla de inferencia: α, α | (β | γ) � γ.

Si se utiliza ¬ y → como conectivos primitivos, se obtiene un sistema equivalente con regla de inferencia MP y el axioma: ((((α → β) → (¬γ → ¬δ)) → γ) → ε) → ((ε → α) → (δ → α)). Para finalizar las presentaciones de sistemas axiom´aticos para la l´ogica proposicional, presentamos ahora un sistema m´as cerca a nuestras intuiciones donde el papel preponderante lo asumen las reglas de inferencia y no los axiomas.

6.3.1.

El sistema G (deducci´ on natural)

Este sistema fue inventado por Gerard Gentzen en 1934, con el prop´osito de representar de una mejor manera los razonamientos informales habituales y cotidianos, de ah´ı su nombre. Es un m´etodo sint´ actico basado en la estructura l´ogica o sintaxis de las f´ormulas de la l´ogica proposicional, pero no tiene en cuenta los posibles valores de verdad de las proposiciones. Las transformaciones sint´acticas que est´an permitidas dentro del sistema se explicitan en las reglas de inferencia o derivaci´ on, que son las que se usan para crear pruebas o derivaciones. Una prueba de una proposici´on A o una deducci´ on de A, es una secuencia finita de f´ormulas cuya u ´ltima l´ınea es A. Hay dos reglas de inferencia para cada operador l´ogico, una para introducirlo y otra para eliminarlo. 6.3.1.1.

Regla ∧E (eliminaci´ on de ∧ o regla de simplificaci´ on)   p∧ q   p

o 277 293

  p ∧q   q


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos En esta notaci´on la l´ınea vertical la llamamos l´ınea de rango, y la flecha indica cu´al es la f´ormula que inferimos a partir de las premisas. 6.3.1.2.

6.3.1.3.

6.3.1.4.

Regla ∧I (introducci´ on de ∧ o regla de adjunci´ on)  p   q   p ∧ q

o

 q   p   p ∧ q

Regla →E (eliminaci´ on de → o modus ponendo ponens)  p → q   p   q

Regla →I (introducci´ on de →, teorema de la deducci´ on o prueba condicional)       

 p   q

p

→q

Esta regla permite construir una f´ormula condicional p → q, asumiendo como premisa en una subderivaci´ on o prueba auxiliar una f´ormula p, y bajo esa suposici´on derivar q, entonces la proposici´on p → q puede ponerse como conclusi´on en la l´ınea de rango inmediatamente a la izquierda de la subderivaci´on. 6.3.1.5.

Regla ¬I (introducci´ on de ¬ o reducci´ on al absurdo)         

 p   q   ¬q

 ¬p

278 294


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II 6.3.1.6.

Regla ¬E (eliminaci´ on de ¬ o reducci´ on al absurdo)         

  ¬p   q   ¬q p

Es la misma regla ¬I pero aplicada a la negaci´on de la f´ormula p. 6.3.1.7.

Regla ∨I (introducci´ on de ∨ o regla de adici´ on)  p    p ∨ q

o

 p    q ∨ p

Permite agregar una f´ormula nueva a una derivaci´on, siempre y cuando la f´ormula nueva forme una disyunci´on con alguna de las f´ormulas que no hayan sido eliminadas en la derivaci´on. 6.3.1.8.

Regla ∨E (eliminaci´ on de ∨ o dilema constructivo)                

p∨q  p   r  q   r r

Asumiendo como premisa una disyunci´on p ∨ q no podemos concluir alguna de sus componentes, pero s´ı es posible derivar la misma f´ormula r a partir de cada uno de ellos, entonces podemos derivar r. Debemos enfatizar en que las dos subderivaciones indicadas por la regla para la introducci´on de la disyunci´on son independientes, entre ellas no podemos compartir informaci´on. 279 295


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 6.3.1.9.

Regla ↔I (introducci´ on de ↔)             

 p   q  q   p p

↔q

De nuevo las subderivaciones son independientes. 6.3.1.10.

Regla ↔E (eliminaci´ on de ↔)  p ↔ q   p   q

o

 p ↔ q   q   p

Es como un modus ponendo ponens doble. Algunas veces es necesario repetir una proposici´on dentro de una deducci´on y para ello introducimos una regla adicional: 6.3.1.11.

Regla de reiteaci´ on R  p    p

Nos permite repetir una f´ormula en la misma l´ınea de rango donde ocurre originalmente, y en cualquier l´ınea de rango inferior, pero no en una l´ınea de rango superior. El concepto fundamental en el sistema de deducci´on natural es el de derivabilidad que es completamente an´alogo al de los otros sistemas: Una f´ormula p es derivable de un conjunto de f´ormulas Γ si y solo si existe una derivaci´on en la que todas las suposiciones principales sean miembros de Γ y p ocurra en el rango de esas suposiciones u ´nicamente, lo notamos Γ � p. Un argumento es v´ alido si y solo si la conclusi´on del argumento es derivable del conjunto de las premisas. 280 296


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II Un teorema del sistema de deducci´on natural (SDN) es una f´ormula p que se deriva del conjunto vac´ıo. La equivalencia de dos f´ormulas p y q se define en t´erminos de derivabilidad en SDN, si y solo si q es derivable de {p} y p es derivable de {q}. 6.3.1.12.

Reglas de inferencia derivadas

Para facilitar las demostraciones se pueden adicionar nuevas reglas al SDN, que ya conocimos en el cap´ıtulo 2, unas son de inferencia y otras de equivalencia. Las primeras nos permiten derivar una f´ormula a partir de otras f´ormulas, las segundas nos permiten reemplazar una f´ormula por otra l´ogicamente equivalente. 1. Reglas de inferencia derivadas 1.1. Modus tollendo tollens (MTT)  p → q    ¬q    ¬p

1.2. Silogismo hipot´etico (SH)

1.3. Silogismo disyuntivo (SD)  p∨ q    ¬p   q

 p → q   q → r   p → r

2. Reglas de equivalencia

o

 p ∨q    ¬q   p

2.1. Conmutatividad (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)

(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) 281 297


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 2.2. Asociaciatividad (p ∧ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∧ r) (p ∨ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∨ r) 2.3. Doble negaci´on (DN) p ⇔ (¬¬p) 2.4. Implicaci´on (p → q) ⇔ ((¬p) ∨ q) 2.5. Contrarrec´ıproca (p → q) ⇔ ((¬q) → (¬p)) 2.6. Exportaci´ on e importaci´on (p → (q → r)) ⇔ ((p ∧ q) → r) 2.7. De De Morgan (¬(p ∧ q)) ⇔ ((¬p) ∨ (¬q)) (¬(p ∨ q)) ⇔ ((¬p) ∧ (¬q)) 2.8. Idempotencia p ⇔ (p ∧ p) p ⇔ (p ∨ p) 2.9. Distributividad (p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) 2.10. Equivalencia (p ↔ q) ⇔ ((p → q) ∧ (q → p)) (p ↔ q) ⇔ ((p ∧ q) ∨ ((¬p) ∧ (¬q))) 282 298


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II Aqu´ı presentamos algunas deducciones en este sistema, pero en el sitio: www.danielclemente.com /logica/dn.html hay una presentaci´on did´actica y agradable del tema. Tambi´en en el libro de Andr´es P´aez (2010) hay m´ ultiples ejemplos de derivaciones y sugerencias para dise˜ narlas, bastante accesibles a los profanos.

Ejemplos 1. Probemos que de p y p → q se puede obtener p ∧ q: 1. 2. 3. 4.

p p→q → E(2, 1) q p ∧ q ∧ I(1, 3) 

En las dos primeras filas aparecen los datos dados. En la tercera se aplica la regla de eliminaci´on del → usando las premisas 2 y 1 y finalmente en la u ´ltima fila se usa la regla de introducci´on de la ∧ y esto demuestra lo que se quer´ıa. 2. Dado que p → q y q → r, demostrar que p → (q ∧ r). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

p→q q→r p q r q ∧ r  p → (q ∧ r)

H → E(1, 3) → E(2, 4) ∧ I(4, 5) → I(3, 6)

En esta demostraci´on se ha tenido que realizar una subdemostraci´on o demostraci´on previa. Vemos que de los datos dados no se puede obtener mayor informaci´on y ya que lo que se debe demostrar es una implicaci´on, entonces se hace necesaria hacer una hip´otesis, esto es, suponer p y ver qu´e sucede, por esto, aparece una H al lado derecho de la proposici´on del rengl´on 3. Con esto, y aplicando la regla de eliminaci´on del →, se obtiene a q y a r, con lo cual podemos formar a q ∧ r seg´ un la regla de adjunci´on y con esto se demuestra lo que se quiere al usar la regla de introducci´on del →. 283 299


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 3. Una doble hip´otesis: de la proposici´on p → (q → r), demostrar q → (p → r). 1. p → (q → r) 2. q 3. p 4. q → r 5. q 6. r 7.  p → r 8.  q → (p → r)

H H → E(1, 3) R(2) → E(4, 5) I(3, 6) I(2, 7)

De la proposici´on p → (q → r) no se puede obtener mucha informaci´on, por tanto, es necesario asumir la hip´otesis de tener q y con ello la hip´otesis de tener p para demostrar la proposici´on, ya que estas dos son antecedentes en las implicaciones del resultado que se desea demostrar. 4. Un ejemplo del uso de la regla de casos o eliminaci´on del ∨: de p ∨ (q ∧ r) demostrar que p ∨ q. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

p ∨ (q ∧ r) p p∨q q∧r q p∨q p ∨ q

H ∨ I(2) H ∧ E(4) ∨ I(5) ∨ E(1, 3, 6)

En esta prueba aparecen dos casos: tener a p y tener a q ∧r. Para poder aplicar la regla de eliminaci´on de ∨ es necesario que de ambas hip´otesis se obtengan los mismos resultados que para nuestro caso es p ∨ q y de este modo poder demostrar la proposici´on dada como se ha hecho en los ejemplos anteriores. 5. Reducci´on al absurdo: de las premisas p → q y ¬q, demostrar ¬p. 284 300


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

Matem´aticas de los procesos l´ogicos II 1. 2. 3. 4. 5. 6.

p→q ¬q p q ¬q  ¬p

H → E(1, 3) R(2) ¬I(3, 4, 5)

Como en el caso anterior, se hace una hip´otesis, pero esta vez se niega la conclusi´on con el fin de obtener una proposici´on que sea contradictoria con otra ya dada, esto se logra cuando al aplicar la regla de eliminaci´ on del → y resulta la proposici´on q contraria a la proposici´on ¬q dada.

285 301


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar lógica de predicados

Capítulo 7. Lógica de predicados CAP´ITULO

7

L´ogica de predicados

Un matem´ atico es un hombre ciego en un cuarto oscuro que busca un gato negro que no est´ a all´ı. Charles Darwin

La l´ogica de proposiciones que hemos estudiado hasta ahora trata con afirmaciones de las cuales voluntariamente hemos dejado de lado su significado en un determinado contexto, en ella no hay reglas de inferencia que nos permitan deducir conclusiones en las que est´en incluidas palabras como todos o algunos; nos ocuparemos ahora81 de los contextos, que llamaremos universos de discurso. En un universo de discurso tenemos cosas y ellas tienen propiedades o atributos, cada cosa puede tener varias propiedades y una propiedad tambi´en puede ser de varias cosas82 . Por ejemplo en el universo de los n´ umeros reales un n´ umero puede ser racional, irracional o entero. En el universo de la geometr´ıa plana eucli81 ´ Gran parte de la redacci´on de este cap´ıtulo es un aporte de Jos´e Leonardo Angel ´ Bautista como integrante del grupo de Algebra de la Universidad Pedag´ogica Nacional. 82 El estudio formal de la l´ ogica de predicados se inici´o con Giuseppe Peano y Gottlob Frege a finales del siglo XIX , agregando al c´alculo de proposiciones mecanismos deductivos que dependen de la naturaleza de las proposiciones sin limitarse exclusivamente a los valores de verdad.

303


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos diana, el plano, hay puntos, segmentos, tri´angulos, c´ırculos, etc., los tri´angulos pueden ser equil´ateros, rect´angulos, etc.

7.1.

De las proposiciones a los predicados

Consideremos un conjunto X, de cuyos elementos deseamos expresar algo; por ejemplo si X es el conjunto de los n´ umeros naturales, sobre los elementos de X podemos afirmar que son primos, pares, impares o divisores de 5, etc., algunos de ellos lo ser´an y otros no. Estos calificativos, que separan a los n´ umeros naturales entre aquellos que cumplen la propiedad y aquellos que no, los llamaremos predicados sobre X, y los notaremos como P (x), pues como para cada elemento x de X, P toma un valor de verdad, intuimos que P se comporta como una funci´on del conjunto X en el conjunto {0, 1}, que representa a los valores de verdad falso y verdadero. Un predicado puede tener significado en diferentes conjuntos, por ejemplo “x es primo”, tiene sentido para los n´ umeros naturales, enteros o enteros gaussianos, o entre seres humanos, y si queremos evitar problemas con paradojas o c´ırculos viciosos debemos tener claro desde el principio nuestro universo de discurso. Las expresiones como “x es un n´ umero primo” las llamamos predicados, pues les falta precisar el sujeto para convertirse en proposiciones. Usaremos letras min´ usculas para representar a los elementos de X, y distinguiremos entre algunos objetos particulares de X que merecen tener nombre propio, que llamaremos constantes, y nombres gen´ericos o comunes, que llamaremos variables. Debemos enfatizar que el nombre variable no significa que est´a cambiando con el tiempo, como lo afirmaba Dirichlet al suponer que “dado un conjunto num´erico, una variable ha de asumir gradualmente todos los valores”; pues esto es imposible; de hecho nuestras variables no var´ıan. De igual forma, una constante suele interpretarse como algo que permanece fijo, sin embargo, el s´ımbolo de constante “5” tiene diferente significado seg´ un el universo de discurso al que nos estemos refiriendo; por ejemplo, puede ser el n´ umero natural cinco, o el n´ umero real cinco, o el n´ umero complejo 5, o la funci´on constante definida de cualquier conjunto A, en un conjunto donde est´e el s´ımbolo 5, y para cualquier elemento del dominio, su imagen es 5; por tanto, tampoco las constantes tienen siempre el mismo significado. Por ejemplo, si nuestro universo de discurso es el conjunto de todos los 288 304


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L´ogica de predicados perros, un predicado sobre X es “x es salvaje” y podemos reemplazar x por un perro cualquiera para establecer si es o no salvaje (x es variable). Pero si decimos “Mi perro Thor es el u ´nico que tiene cinco patas”; en este caso, “Mi perro Thor” es una constante. Una variable, representa a cualquier elemento de un conjunto, y es susceptible de ser reemplazada por ´el, mientras que una constante es un elemento espec´ıfico en un conjunto determinado. En matem´aticas, se usan una variedad de otros s´ımbolos para construir predicados; en el conjunto de los n´ umeros reales, expresiones como “x + y = 10” y “x < y” son predicados. Pero expresiones como “x + y”, “x2 + x − 2”, “z” y “y”, no son predicados; porque cuando sustituimos las variables por n´ umeros tomados del universo de discurso, ellas asumen valores num´ericos, pero no determinan una proposici´on, a este tipo de expresiones les llamamos t´erminos. La distinci´on entre los predicados y los t´erminos puede hacerse m´as clara trayendo una analog´ıa de la gram´atica (Wolf, 1997). Tanto en matem´aticas como en gram´atica una frase debe tener un verbo. Las palabras “es igual” funcionan como una conjugaci´on del verbo ser, y el grupo de palabras “es menor que” incluye el verbo “es” y funciona como un verbo. As´ı, si decimos que una cantidad es igual a otra o es menor que otra, tenemos una frase completa o un predicado. Por consiguiente, = y < deben considerarse como verbos matem´aticos que pueden usarse para crear predicados. El nombre t´ecnico para tales s´ımbolos de verbo es s´ımbolos de predicado. A los s´ımbolos matem´aticos como +, −, y ×, que se usan para formar t´erminos que denotan objetos los llamamos s´ımbolos de funci´on o s´ımbolos de operador.

Ejemplo En el conjunto de los n´ umeros reales, en la expresi´on f(x) = x + 7, x representa una variable, 7 es un s´ımbolo que representa al n´ umero constante 7, = es un s´ımbolo de predicado, y tanto + como f son s´ımbolos de funci´on. Hemos descrito s´ımbolos para variables, s´ımbolos para constantes, s´ımbolos de operador y s´ımbolos de predicado requeridos para un lenguaje simb´olico con el cual podamos entendernos para trabajar con predicados, de manera similar a como se hac´ıa con el c´alculo de proposiciones. Estos son los ingredientes b´asicos de lo que se llama un lenguaje de primer orden. 289 305


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7.2.

De los predicados a las proposiciones: cuantificadores

Con lo hecho conseguimos una manera de obtener proposiciones a partir de predicados, reemplazando la variable x del predicado por un elemento particular del universo X. Otra forma es usar cuantificadores; por ejemplo, en el conjunto de los n´ umeros naturales N, el predicado “x ≥ 0” es verdadero “para todo x” en N. Las expresiones “para todo”, “para cada”, “para cualquier”, “todo”, “cada”, hacen menci´on al cuantificador universal y lo representamos con el s´ımbolo ∀. El ejemplo lo escribimos como la proposici´on verdadera: (∀x ∈ N)(x ≥ 0). Tambi´en es verdadero para todo x en N, el predicado “x + 1 > x”, esto lo escribimos como la proposici´on verdadera (∀x ∈ N)(x + 1 > x). Otras formas de cuantificador universal son “ning´ un”, “nadie”, “nada”, ellas afirman que todos los elementos del universo no cumplen una propiedad. Si X es el conjunto de los tri´angulos en el plano, y anteponemos la expresi´on “existe alg´ un x”, al predicado “x es triangulo escaleno y equi´angulo”, entonces obtenemos una proposici´on que, para cada elemento del conjunto, tiene valor de verdad falso. Las expresiones “existe alg´ un”, “para alg´ un”, “hay un “para al menos un”, hacen menci´on al cuantificador existencial y lo representamos con el s´ımbolo ∃. Por ejemplo, la proposici´on 2

(∃x ∈ N)(x2 ≤ 1) afirma que existe por lo menos un n´ umero natural x tal que su cuadrado es menor o igual que 1. Sabemos que si x es 0 o 1, entonces el predicado (x2 ≤ 1) se convierte en ambos casos en una proposici´on verdadera. En la notaci´on anterior, se especific´o a cu´al conjunto pertenece cada elemento que representa la variable x. La colecci´on de objetos de los cuales la variable representa cualquier valor se llama el dominio o el universo de esa variable, el cual asuminos que no es vac´ıo. 290 306


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L´ogica de predicados Si en cada una de las expresiones que representan el cuantificador existencial, reemplazamos la palabra “alg´ un” por “un u ´nico” (“existe un u ´nico”, “para un u ´nico”, etc.), entonces se genera un nuevo cuantificador, que llamamos cuantificador de existencia u ´nica, y representaremos con el s´ımbolo ∃! De igual manera, podemos definir un cuantificador, para cada necesidad, como por ejemplo un cuantificador que mencione la existencia de dos, tres, n elementos, un n´ umero enumerable83, etc.

Ejemplos 1. La proposici´on (∃!x ∈ N)(x2 ≤ 1) significa que existe un u ´nico n´ umero natural x tal que su cuadrado es menor o igual a 1. Notemos la diferencia entre el cuantificador existencial y el cuantificador de existencia u ´nica; adem´as, un cuantificador debe seguirse inmediatamente por una variable, la cual a su vez debe seguirse por un predicado. 2. La proposici´on (∃k x ∈ N)(x2 ≤ 10x + 1) significa que existen k n´ umeros naturales x tal que su cuadrado es menor o igual que 10x + 1. Hemos utilizado el s´ımbolo ∃k en el sentido ya explicado, sin embargo puede utilizarse cualquier s´ımbolo, siempre que tengamos claro su significado. 3. La proposici´on (∀x ∈ Z + )(∃φ(x)y ∈ Z + )(y < x ∧ (x, y) = 1) significa que para cada entero positivo x existen φ(x) n´ umeros enteros positivos menores que x, que son primos relativos con x, donde φ(x) denota la funci´on φ de Euler para el n´ umero x. 4. Existe un n´ umero enumerable de n´ umeros primos en N. Si un predicado aparece sin cuantificadores, y sin conectivos l´ogicos, decimos que este es simple o at´omico. Cuando en un predicado un s´ımbolo 83

Tantos como n´ umeros naturales.

291 307


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos est´a cuantificado, este s´ımbolo es una variable, y cuando no lo est´a es una constante. Una proposici´on formada con un predicado precedido de un cuantificador universal es verdadera si y solo si, para cada elemento del dominio de la variable, la proposici´on que se forma es verdadera; el cuantificador universal podemos pensarlo como varias proposiciones unidas por conjunciones, una por cada elemento del universo; o sea que la proposici´on es falsa si una de las proposiciones componentes lo es, si para un elemento es falsa. En caso contrario es verdadera. Si una proposici´on est´a formada por un predicado precedido de un cuantificador existencial, entonces esta es verdadera, si por lo menos existe un elemento dentro del dominio de la variable, para el cual la proposici´on que se forma es verdadera. El cuantificador existencial podemos pensarlo como varias proposiciones unidas por disyunciones, una por cada elemento del universo. Si queremos considerar todos los elementos de un subconjunto A del universo X, la expresi´on (∀x ∈ A)(p(x)) significa que (∀x ∈ A)(x ∈ A → p(x)). Pero la expresi´on (∃x ∈ A)(p(x)) significa (∃x ∈ A)(x ∈ A ∧ p(x)).

Ejercicios 1. Sea X el conjunto de los n´ umeros reales; la proposici´ on (∀x ∈ X)(x2 > (−1)) es verdadera, ya que el cuadrado de cada n´ umero real es positivo. ¿Existir´ a alg´ un universo de discurso, en el cual dicha proposici´ on sea falsa? 2. Sea N el conjunto de los n´ umeros naturales; dada la proposici´ on (∃x ∈ N)(x2 + 1 = 0), 292 308


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L´ogica de predicados no existe alg´ un valor en el dominio, para el cual la proposici´ on que se forma, sea verdadera; muestre un universo donde la proposici´ on sea verdadera. 3. Sea X un conjunto, A y B subconjuntos de X. La expresi´on A ⊆ B si y s´ olo si (∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ B) es la definici´ on usual de contenencia entre subconjuntos de X. Si cambiamos el conectivo → por otro cualquiera de los conectivos l´ ogicos, obtenemos 15 tipos de contenencia, uno para cada conectivo. El correspondiente a ↔ es la igualdad de conjuntos. Ejemplifique algunas. Tambi´en podemos cambiar el cuantificador para definir 16 posibilidades de contenencia existencial; por ejemplo, A ⊆∃ B si y s´ olo si (∃x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ B). Proponga otros ejemplos.

7.2.1.

Alcance de un cuantificador

As´ı como en la l´ogica de proposiciones necesitamos par´entesis para determinar el significado de una proposici´on compuesta, en la l´ogica de predicados requerimos adem´as establecer la forma en que un cuantificador afecta a un predicado, o el alcance de un cuantificador. Por ejemplo, la proposici´on (∀x ∈ X)P (x) → Q(x) podemos interpretarla como (∀x ∈ X)[(P (x)) → (Q(x))] o como [(∀x ∈ X)(P (x))] → (Q(x)), y en cada caso el significado es distinto. Por ejemplo, en el caso [(∀x ∈ X)(P (x))] → (Q(x)) 293 309


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos el s´ımbolo x tiene dos usos diferentes: en (∀x ∈ X)(P (x)) se refiere a un elemento cualquiera del universo X, y por tanto aparece cuantificada; pero en Q(x) no est´a expl´ıcito si es un elemento particular o uno arbitrario de X. Si no se utilizan los par´entesis para especificar cu´ales predicados est´an afectados por el cuantificador, podemos acordar que el cuantificador tiene m´as prioridad que cualquier conectivo, o sea (∀x ∈ X)(P (x)) → Q(x) significa [(∀x ∈ X)(P (x))] → (Q(x)). Cuando una variable est´a cuantificada la llamamos ligada, y en otro caso la llamamos libre. Por ejemplo, si X es el conjunto de n´ umeros reales; en el predicado (∀x ∈ X)((x + 2 > y) la variable x esta cuantificada, mientras que y no lo est´a, por tanto x es ligada y y es libre. Una variable ligada es similar a una variable muda, como la variable dentro de una sumatoria, la cual no representa un valor desconocido en particular. Por ejemplo, en la proposici´on 5 

k = 15,

k=1

k es una variable ligada, y puede ser reemplazada por cualquier otra variable sin alterar el significado. En la expresi´on n  k=1

k=

n(n + 1) , 2

nuevamente k es ligada. Una proposici´ on es una expresi´ on en la cual no hay variables libres, mientras que un predicado es una expresi´on en la cual hay por lo menos una variable libre (Margaris, 1990).

7.2.2.

Combinaci´ on de cuantificadores

En los ejemplos anteriores hemos considerado expresiones con un solo cuantificador; ahora, combin´emoslos y observemos su significado. 294 310


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L´ogica de predicados

Ejemplos 1. Si N es el conjunto de los n´ umeros naturales, la proposici´on (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(x ≥ y) significa que todo n´ umero natural es mayor o igual que alg´ un otro. Pero, si invertimos el orden de escritura de los cuantificadores (∃y ∈ N)(∀x ∈ N)(x ≥ y), significa que existe un n´ umero natural que es menor o igual que todos los otros n´ umeros naturales. 2. La proposici´on (∃Y )(∀X)(X ∈ / Y ), en la teor´ıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Skolem (1908), significa que existe un conjunto sin elementos (conjunto vac´ıo), mientras que (∀X)(∃Y )(X ∈ / Y) afirma que para cada X existe un conjunto Y del cual X no es elemento. Los cuantificadores pueden aparecer a menudo en secuencia. Por ejemplo, en el conjunto de los n´ umeros reales, la proposici´on (∀x ∈ X)(∀y ∈ X)(∃z ∈ X)(x + y > z) significa que: para cualquier par de n´ umeros x e y, existe un n´ umero z, tal que x sumado con y es mayor que z. Cuando una declaraci´on contiene una secuencia de dos o m´as cuantificadores del mismo tipo (∀ o ∃), es posible escribir el cuantificador solo una vez y separar las variables por comas. As´ı, la proposici´on anterior tambi´en la escribimos como (∀x, y ∈ X)(∃z ∈ X)(x + y > z). Esto debe verse simplemente como una abreviaci´on de la forma completa. 295 311


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7.2.3.

Cuantificadores y conectivos l´ ogicos

De manera natural, si tenemos un predicado P y un predicado Q sobre un conjunto X, entonces con las proposiciones que se forman reemplazando en ellos cada uno de los elementos del conjunto, es posible utilizar todo lo desarrollado en el c´alculo de proposiciones, desde utilizar los conectivos l´ogicos para formar proposiciones compuestas, hasta emplear leyes de inferencia para llevar a cabo un razonamiento. 7.2.3.1.

Negaci´ on de cuantificadores

En el conjunto de los n´ umeros reales, la proposici´on (∃x ∈ X)(x + x = x × x) es verdadera si x = 0 o x = 2, tambi´en la proposici´on ¬((∀x ∈ X)(x + x �= x × x)) es verdadera en los mismos casos. En general tenemos que ¬[(∀x ∈ X)(P (x))] ↔ (∃x ∈ X)(¬P (x)) y que ¬[(∃x ∈ X)(P (x))] ↔ (∀x ∈ X)(¬P (x)) son tautolog´ıas. A manera de ejemplo, mostremos que ¬[(∃x ∈ X)(P (x))] ↔ (∀x ∈ X)(¬P (x)). Sea X cualquier conjunto de referencia y P un predicado sobre X. Mostraremos que tanto ¬[(∃x ∈ X)(P (x))] como (∀x ∈ X)(¬P (x)) tienen el mismo valor de verdad: i. Supongamos que ¬[(∃x ∈ X)(P (x))] es verdadera, luego (∃x ∈ X)(P (x)) es falsa; por la definici´on del cuantificador existencial, se tiene que P (a) es una proposici´on falsa para todo a en X; ahora, por definici´on de negaci´on, ¬P (a) es verdadera para todo a en X; y, por el significado del cuantificador universal, (∀x ∈ X)(¬P (x)) es una proposici´on verdadera. 296 312


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L´ogica de predicados ii. Ahora, si suponemos que ¬[(∃x ∈ X)(P (x))] es falsa, entonces (∃x ∈ X)(P (x)) es verdadera; por la definici´on de cuantificador existencial, se tiene que P (a) es una proposici´on verdadera para alg´ un a en X; ahora, por definici´on de negaci´on, ¬P (a) es falsa para alg´ un a en X y, por el significado del cuantificador universal, (∀x ∈ X)(¬P (x)) es una declaraci´on falsa. De I, II y la definici´on de doble implicaci´on, obtenemos la conclusi´on.

Ejercicio Demuestre que ¬[(∀x ∈ X)(P (x))] ↔ (∃x ∈ X)(¬P (x)). 7.2.3.2.

Conjunci´ on de cuantificadores

Si utilizamos el conjunto de los n´ umeros racionales como universo, y consideramos los predicados P : “x+y = y+x” y Q: “x×y = y×x” en X, entonces tanto la proposici´on P (a, b) como la proposici´on Q(a, b) son verdaderas para cualquier par a y b de n´ umeros racionales; de donde, la proposici´on P (a, b) ∧ Q(a, b) es verdadera para cualquier par a y b de n´ umeros racionales; adem´as, si tenemos que P (a, b) ∧ Q(a, b) es verdadera para todo par de n´ umeros racionales a y b, entonces, por separado tanto P (a, b) como Q(a, b) son proposiciones verdaderas para cada par de racionales a y b. En general, dado un conjunto X y un par de predicados G(x) y H(x), se tiene que [(∀x ∈ X)(G(x)) ∧ (∀x ∈ X)(H(x))] ↔ (∀x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)). Veamos que tanto [(∀x ∈ X)(G(x)) ∧ (∀x ∈ X)(H(x))] como (∀x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)) tienen el mismo valor de verdad en cada x de X: Supongamos que [(∀x ∈ X)(G(x)) ∧ (∀x ∈ X)(H(x))] es verdadera; por la definici´on del conector l´ogico ∧, sabemos que tanto (∀x ∈ X)(G(x)) como 297 313


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos (∀x ∈ X)(H(x)) son verdaderas, y por la definici´on del cuantificador universal se tiene que G(a) es verdadera para cualquier a en X, y H(a) tambi´en lo es; por tanto, G(a) ∧ H(a) es verdadera para cada a en X, finalmente, por definici´on de cuantificador universal, la declaraci´on (∀x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)) es verdadera. Similarmente, si suponemos que [(∀x ∈ X)(G(x)) ∧ (∀x ∈ X)(H(x))] es falsa, entonces (∀x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)) tambi´en lo es. Podr´ıamos suponer que la proposici´on [(∃x ∈ X)(G(x)) ∧ (∃x ∈ X)(H(x))] ↔ (∃x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)) es verdadera, sin embargo ¡esto no es cierto! Por ejemplo, si consideramos los predicados P (x): “10 < x” y Q(x): “x < 5”, sobre el conjunto de los n´ umeros racionales, entonces (∃x ∈ X)(P (x))

y

son verdaderas, y por tanto

(∃x ∈ X)(Q(x))

(∃x ∈ X)(P (x)) ∧ (∃x ∈ X)(Q(x)) es verdadera, pero (∃x ∈ X)(P (x) ∧ Q(x))

no es una proposici´on verdadera. As´ı que de manera general, la proposici´on

[(∃x ∈ X)(G(x)) ∧ (∃x ∈ X)(H(x))] → (∃x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)) es falsa, mientras que la proposici´on (∃x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)) → [(∃x ∈ X)(G(x)) ∧ (∃x ∈ X)(H(x))] es verdadera.

Ejercicios 1. Demuestre que (∃x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)) → [(∃x ∈ X)(G(x)) ∧ (∃x ∈ X)(H(x))]. 298 314


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L´ogica de predicados 2. Exponga un argumento que justifique cada una de las siguientes afirmaciones, y d´e un ejemplo con cada una: • ((∀x ∈ X)(G(x)) ∧ (∃x ∈ X)(H(x))) → (∃x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)).

• (∃x ∈ X)(G(x) ∧ H(y)) ↔ [(∃x ∈ X)(G(x)) ∧ H(y)]. 7.2.3.3.

Disyunci´ on de cuantificadores

Si X es el conjunto de los n´ umeros naturales, P el predicado “x es par” y Q el predicado “x es impar”, entonces las proposiciones P (a) y Q(a) no son verdaderas para todo n´ umero natural a, pero la proposici´on P (a) ∨ Q(a) s´ı lo es; en general, dado un conjunto A y un par de predicados G(x) y H(x), la proposici´on (∀x ∈ X)(G(x) ∨ H(x)) → [(∀x ∈ X)(G(x)) ∨ (∀x ∈ X)(H(x))] es falsa; sin embargo, la proposici´on [(∀x ∈ X)(G(x)) ∨ (∀x ∈ X)(H(x))] → (∀x ∈ X)(G(x) ∨ H(x)) es verdadera, veamos una argumentaci´on: Si suponemos que [(∀x ∈ X)(G(x)) ∨ (∀x ∈ X)(H(x))] es verdadera, entonces, por la definici´on del conector ∨, se tiene que (∀x ∈ X)(G(x)) es verdadera o (∀x ∈ X)(H(x)) es verdadera; si (∀x ∈ X)(G(x)) es verdadera, entonces G(a) es verdadera para cada a de A, de donde, por la ley de adici´on G(a) ∨ H(a) es verdadera para todo a en A y, por definici´on de ∀, se tiene que (∀x ∈ X)(G(x) ∨ H(x)) es verdadera. De manera similar, si se supone que (∀x ∈ X)(H(x)) es verdadera, se obtiene que la proposici´on inicial es tambi´en verdadera. Haciendo un an´alisis similar al presentado anteriormente, podemos obtener que [(∃x ∈ X)(G(x)) ∨ (∃x ∈ X)(H(x))] ↔ (∃x ∈ X)(G(x) ∨ H(x)) es verdadera.

299 315


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Ejercicio Demuestre que cada una de las siguientes son proposiciones verdaderas y d´e un ejemplo en cada caso: • [(∃x ∈ X)(G(x)) ∨ (∃x ∈ X)(H(x))] ↔ (∃x ∈ X)(G(x) ∨ H(x)). • (∀x ∈ X)(G(x) ∨ H(y)) ↔ [((∀x ∈ X)G(x)) ∨ H(y)]. 7.2.3.4.

Reglas de inferencia para el c´ alculo de predicados

Las reglas de inferencia para el c´alculo de predicados tienen su origen en la teor´ıa silog´ıstica de Arist´oteles, este fue el primer c´alculo de razonamientos con los cuantificadores “todos” y “algunos”. En la l´ogica de Arist´oteles, con lenguaje moderno, el mundo consta de objetos x que pueden o no tener una propiedad P . Una interpretaci´on formal de P requiere la especificaci´on de un conjunto no vac´ıo X de objetos y un subconjunto de objetos que tienen la propiedad P . De esta forma, si x es una variable en X, entonces P (x) es una f´ ormula l´ ogica que se lee: x tiene la propiedad P . La funci´on principal de la silog´ıstica era comprobar que los cuantificadores “para todo” y “existe” se usaran correctamente en una argumentaci´on. Pero no todos los razonamientos matem´aticos estaban descritos por la silog´ıstica aristot´elica; pues faltaba una forma de l´ogica que tomase enunciados que consideramos ciertos y que construyese nuevos enunciados m´as complicados pero igualmente verdaderos, usando ciertas reglas bien definidas; en otras palabras, faltaba la noci´on de relaci´on con varios argumentos. El proceso inferencial en la l´ogica de predicados es an´alogo al de la l´ogica proposicional; es una secuencia finita de proposiciones obtenidas a partir de las premisas usando unas reglas de razonamiento, donde la conclusi´on ocupa la u ´ltima posici´on de la secuencia, usando las reglas de inferencia de la l´ogica proposicional, a la manera de Gentzen, incluimos dos reglas para introducir cuantificadores y dos para eliminarlos. Ya hemos utilizado algunas de estas reglas en las argumentaciones precedentes, esta es su formalizaci´on.

300 316


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L´ogica de predicados 1. Ley de especificaci´ on universal o eliminaci´ on del generalizador (EG) Si durante el razonamiento, tenemos que (∀x ∈ X)(P (x)) es verdadera, entonces podemos afirmar que P (y) es verdadera, para cualquier y del dominio. Cuando una expresi´on est´a cuantificada universalmente, la variable cuantificada puede ser sustituida por cualquier t´ermino y el cuantificador se puede eliminar: (∀x ∈ X)P (x), luego P (y). Si algo (P ) puede decirse de todo el dominio ((∀x ∈ X)P (x)), entonces puede decirse de cualquiera de sus elementos P (y), donde y es un t´ermino cualquiera. 2. Ley de generalizaci´ on universal o introducci´ on del generalizador (IG) Cuando se dispone de una expresi´on que contiene una variable libre, esta variable puede cuantificarse universalmente: P (y), luego (∀x ∈ X)P (x). Para que la aplicaci´on de la regla sea correcta, son necesarias las siguientes condiciones: A. La variable y debe ser arbitraria, es decir: A1. Cuando se ha deducido P (y), donde hay y, podr´ıa haberse puesto cualquier otro t´ermino. A2. No aparece en la hip´otesis de la subdeducci´on donde la regla se aplica. B. La introducci´on del cuantificador universal no debe provocar capturas involuntarias de variables libres. Esto significa que la variable x no aparece libre en la f´ormula P . C. Todas las ocurrencias de la variable libre y en la f´ormula P deben ser sustituidas por x. Si algo (P ) puede decirse de y, esto es (P (y)) y se puede garantizar que y podr´ıa ser cualquier objeto del dominio, entonces P puede decirse de todos 301 317


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos los elementos del dominio ((∀x ∈ X)P (x)). Por ejemplo, es correcto afirmar que: Un n´ umero y es par si y = 2n para alg´ un n´ umero natural n entonces (∀x ∈ N)(x es par si x = 2n para alg´ un n´ umero natural n). 3. Ley de especificaci´ on existencial o eliminaci´ on del particularizador (EP) Cuando una expresi´on est´a cuantificada existencialmente, la variable cuantificada puede ser sustituida por una constante nueva y el cuantificador se puede eliminar: (∃x ∈ X)(P (x)), luego P (a). Para que la aplicaci´on de la regla sea correcta, es necesario garantizar que la constante utilizada es nueva, es decir, que no haya aparecido antes. Esta regla puede interpretarse como: si se sabe que hay un elemento del dominio que cumple una determinada propiedad (P ), nos podemos referir al mismo con una constante (a), siempre y cuando la misma constante no se utilice tambi´en para referirse a cualquier otro elemento del dominio. Por ejemplo, en un grupo (G, ∗) con elemento id´entico que llamamos e (∃y ∈ G)(∀x ∈ G)(x ∗ y = y ∗ x = x) implica (∃e ∈ G)(∀x ∈ G)(x ∗ e = e ∗ x = x). 4. Ley de generalizaci´ on existencial o introducci´ on del particularizador (IP) Las variables libres de un predicado se pueden cuantificar existencialmente y las constantes de una expresi´on pueden sustituirse por una variable cuantificada existencialmente: P (y), luego (∃x ∈ X)(P (x)). Donde y es un t´ermino cualquiera (si se trata de una variable, debe ser libre). La regla puede entenderse como: si algo (P ) puede decirse de y, esto es (P (y)), entonces existe un elemento del dominio del cual puede decirse P , ((∃x ∈ X)(P (x)). 302 318


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L´ogica de predicados Algunas de las reglas referidas a cuantificadores van acompa˜ nadas de restricciones que hay que tener en cuenta para garantizar que se apliquen correctamente. A continuaci´on se presentan dos m´as: una que afecta a la introducci´on del cuantificador universal y otra que restringe el uso que puede hacerse de las constantes introducidas al eliminar cuantificadores existenciales. A. Cuando una expresi´on contiene a la vez: A1. Una variable libre (y) que proviene de la eliminaci´on de un cuantificador universal. A2. Una constante (a) que proviene de la eliminaci´on de un cuantificador existencial que estaba dentro del alcance del cuantificador universal anterior (aquel cuya eliminaci´on ha dado lugar a la aparici´on de la variable y). No se puede aplicar la regla de generalizaci´on universal respecto a la variable libre y. Por ejemplo, de la expresi´on (∀x ∈ X)(∃y ∈ X)(C(x, y)) no se puede deducir (∃y ∈ X)(∀x ∈ X)(C(x, y)). Pero intentem´oslo: 1. 2. 3. 4. 5.

(∀x ∈ X)(∃y ∈ X)(C(x, y)) (∃y ∈ X)(C(u, y)) C(u, a) (∀x ∈ X)C(x, a) (∃y ∈ X)(∀x ∈ X)C(x, y)

Premisa. EG aplicada a 1. EP aplicada a 2. IG aplicada a 3. (¡ERROR!) IP aplicada a 4.

El error en el paso 4 est´a en que el cuantificador existencial se halla dentro del alcance del universal. Sin embargo, no hay alg´ un problema si el cuantificador existencial no se halla dentro del alcance del cuantificador universal. Por ejemplo, de la expresi´on (∀x ∈ X)P (x) ∧ (∃y ∈ X)Q(y) 303 319


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos s´ı se puede deducir (∃y ∈ X)(∀x ∈ X)(P (x) ∧ Q(y)). B. Las constantes introducidas al aplicar la regla de especificaci´on existencial son locales en la subdeducci´on que las ha originado, y solo pueden ser utilizadas en el mismo nivel o en niveles inferiores, pero no pueden aplicarse a niveles superiores. En las demostraciones que incluyan cuantificadores generalmente debemos inicialmente eliminarlos provisionalmente, para conseguir proposiciones donde aplicamos las reglas de inferencia conocidas y luego introducimos de nuevo los cuantificadores que hab´ıan sido suprimidos.

Ejemplos 1. Sea X el conjunto de los n´ umeros naturales. Consideremos el siguiente argumento Todos los n´ umeros perfectos son pares, algunos n´ umeros triangulares son n´ umeros perfectos, luego algunos n´ umeros triangulares son pares. y representemos tales proposiciones con la ayuda de cuantificadores y s´ımbolos de predicado, de la siguiente manera: (∀x ∈ X)(P (x) → Q(x)) (∃x ∈ X)(R(x) ∧ P (x)) (∃x ∈ X)(R(x) ∧ Q(x)) donde P (x) = x es un n´ umero perfecto, Q(x) = x es par y R(x) = x es un n´ umero triangular. Establezcamos la validez de la conclusi´on (Zehna y Johnson, 1972, pp. 27-28) (∃x ∈ X)(R(x) ∧ Q(x))

obtenida a partir de las premisas

(∀x ∈ X)(P (x) → Q(x)) 304 320


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L´ogica de predicados y (∃x ∈ X)(R(x) ∧ P (x)). Veamos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

(∀x ∈ X)(P (x) → Q(x)) (∃x ∈ X)(R(x) ∧ P (x)) R(a) ∧ P (a) P (a) → Q(a) P (a) Q(a) R(a) R(a) ∧ Q(a) (∃x ∈ X)(R(x) ∧ Q(x))

Premisa. Premisa. Por EP aplicada a 2. Por EG aplicada a 1. Por ley de eliminaci´on aplicada a 3. MPP (4, 5). Por ley de eliminaci´on aplicada a 3. Por ley de adjunci´on aplicada a 6 y 7. Por IP aplicada a 8.

Lo que demuestra el razonamiento. Pero a partir de las premisas iniciales, no podemos concluir que (∀x ∈ X)(R(x) ∧ Q(x)), debido a las condiciones de uso de la ley de generalizaci´on universal IG. 2. Obtengamos ahora la conclusi´on (∀x ∈ X)[R(x) ∧ ¬P (x)] a partir de las premisas 1. (∀x ∈ X)(P (x) → Q(x)) 2. (∀x ∈ X)(¬Q(x) → R(x)) 3. ¬((∃x ∈ X)Q(x)). 305 321


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Para ello razonamos como sigue: 4. (∀x ∈ X)(¬Q(x)) 5. 6. 7. 8. 9.

Por negaci´on de proposiciones con cuantificadores aplicado a 3. EG aplicado a 1. EG aplicado a 2. EG aplicado a 4. MPP (6, 7). Por modus tollendo tollens aplicado a 5 y 7. Por ley de adjunci´on aplicada a 8 y 9. IG aplicado a 10.

P (a) → Q(a) ¬Q(a) → R(a) ¬Q(a) R(a) ¬P (a)

10. R(a) ∧ ¬P (a) 11. (∀x ∈ X)[R(x) ∧ ¬P (x)]

Ejercicios Demuestre y proponga ejemplos: 1. (∀x)(P (x) ↔ Q(x)) → [(∀x)(P (x)) ↔ (∀x)(Q(x))] 2. (∀x)(P (x) ↔ Q(x)) → [(∃x)(P (x)) ↔ (∃x)(Q(x))] 3. (∀x)(P (x) → Q(x)) → [(∀x)(P (x)) → (∀x)(Q(x))] 4. (∀x)(P (x) → Q(x)) → [(∃x)(P (x)) → (∃x)(Q(x))] 5. [(∀x)(P (x)) → (∀x)(Q(x))] → (∃x)(P (x) → Q(x)) 6. (∃x)(P (x) → Q(x)) ↔ [(∀x)(P (x)) → (∃x)(Q(x))] 7. [(∃x)(P (x) → (∀x)(Q(x))] → (∀x)(P (x) → Q(x)) 8. [(∃x)(P (x) → (∃x)(Q(x))] → (∃x)(P (x) → Q(x)) 9. (∀x)(Q(y) → P (x)) ↔ [Q(y) → ((∀x)P (x))] 10. (∀x)(P (x) → Q(y)) ↔ [((∃x)P (x)) → Q(y)] 11. (∀x)(∃y)(P (x, y) → Q(x, y)) → [(∃x)(∀y)(P (x, y)) → (∃x)(∃y)(Q(x, y))].

306 322


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Capítulo 8. Matemática de la lógica de predicadosCAP´ITULO 8 Matem´atica de la l´ogica de predicados

La imaginaci´ on es m´ as importante que la sabidur´ıa. A. Einstein

8.1.

Silogismos aristot´ elicos

La silog´ıstica de Arist´oteles estudia cuatro tipos de proposiciones, llamadas proposiciones categ´ oricas, simbolizados desde la Edad Media con a, e, i y o: a: Todo S es P e: Todo S no es P o Ning´ un S es P i: Alg´ un S es P o: Alg´ un S no es P

(universal afirmativo) (universal negativo) (particular afirmativo) (particular negativo).

Un silogismo bien formulado consta de dos premisas y una conclusi´on, cada premisa debe tener un t´ermino en com´ un con la conclusi´on y un segundo t´ermino relacionado con la otra premisa, los escribiremos en forma abreviada: SaP: Todo S es P. SeP: Todo S no es P. SiP: Alg´ un S es P. SoP: Alg´ un S no es P.

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Por ejemplo, el silogismo Todo S es P, Todo P es R entonces Todo S es R, lo simbolizamos SaP P aR SaR O m´as brevemente aaa. Y el silogismo Todo C es B, Alg´ un D es C entonces Alg´ un D es B, lo simbolizamos CaB DiC DiB O mejor aii. Solo hay cuatro posibles figuras para un silogismo: Figura 1 Premisa mayor Premisa menor Conclusi´on

M P S M S P

Figura 2 P S S

M M P

Figura 3

Figura 4

M P M S S P

P M M S S P

Como tenemos cuatro formas distintas de relacionar al sujeto y al predicado de cada proposici´on (completando los espacios de las figuras anteriores con las letras a, e, i, o) y cuatro figuras distintas de silogismo, se tiene un total de 44 = 256 silogismos posibles, sin embargo, de los 256 hay algunos que no son l´ogicamente v´alidos; solo diecinueve84, son las formas v´alidas halladas por Arist´oteles, aunque en el proceso cometi´o dos errores que siglos despu´es Boole encontr´o y corrigi´o como se ver´a m´as adelante: Figura Figura Figura Figura

1: 2: 3: 4:

aaa, eae, aii, eio eae, aee, eio, aoo aai, iai, aii, eao, oao, eio aai, aee, iai, eao, eio

A manera de ejemplo, con la primera regla de la figura 2, partiendo de 84 Actualmente se han eliminado los silogismos que tienen la misma estructura l´ogica y solo quedan ocho formas: Figura 1: aaa, eae, aii, eio; Figura 2: aoo; Figura 3: aai, eao, oao.

308 324


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Matem´atica de la l´ogica de predicados las premisas Ning´ un n´ umero entero es matriz Todo n´ umero dual es una matriz, podemos concluir que Ning´ un n´ umero dual es entero.

8.2.

´ Algebras de Boole

En 1847 George Boole (1815-1864) public´o en su libro The mathematical Analysis of logic, un an´alisis de los silogismos aristot´elicos haciendo uso de herramientas algebraicas. Consider´o las proposiciones como referidas a conjuntos de objetos y razon´o con esos conjuntos, parti´o de conjuntos arbitrarios x, y, z y denot´o por 0 al conjunto vac´ıo, por 1 al conjunto de todos los objetos (en la silog´ıstica aristot´elica no existen estos objetos), por x ∗ y al conjunto formado por los elementos comunes tanto de x como de y, a x + y como el conjunto formado por los elementos de x, y o de los dos, a (1 − x) como el complemento de x, o bien el conjunto de todos los objetos que no pertenecen a x y con la ecuaci´on x = 0 expres´o que x no tiene elementos. Con esto, Boole estableci´o que la aritm´etica de conjuntos cumpl´ıa las siguientes propiedades (Zehna y Johnson, 1972, p. 89), que son las mismas que cumplen los conectivos l´ogicos disyunci´on y conjunci´on: B1. x + y = y + x B2. x + (y + z) = (x + y) + z B3. x + 0 = x B4. 2x = x + x = x B5. x ∗ y = y ∗ x B6. x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z B7. x ∗ 1 = x B8. x2 = x ∗ x = x B9. x ∗ (y + z) = x ∗ y + x ∗ z B10. x + (y ∗ z) = (x + y) ∗ (x + z) B11. (∀x ∈ A)(∃x ∈ A) (x + x = 1 ∧ x ∗ x = 0)

Ley conmutativa de + Ley asociativa de + Existencia de elemento id´entico para + Ley de idempotencia para + Ley conmutativa de ∗ Ley asociativa de ∗ Existencia de elemento id´entico para ∗ Ley de idempotencia de ∗ Ley distributiva de ∗ con respecto a + Ley distributiva de + con respecto a ∗ x se llama el complemento de x. 309 325


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos A un conjunto con dos operaciones que cumplan las propiedades anteriores se denomina en la actualidad ´algebra de Boole o ´algebra booleana, esta es la estructura matem´atica del c´ alculo de proposiciones. Sea (B, +, ∗) un ´algebra de Boole. (Donde no haya lugar a confusi´on omitiremos el s´ımbolo ∗ y escribiremos xy en lugar de x ∗ y). Teorema 8.1. 0 y 1 son u ´nicos. Prueba: supongamos que existe y ∈ B, con y �= 0 y que y tambi´en es elemento id´entico para +; entonces para todo x ∈ B se tiene que y + x = x = x + y. En particular, y + 0 = 0, pero y + 0 = y, por tanto y = 0 y por hip´otesis y �= 0, lo cual es una contradicci´on. Por reducci´on al absurdo, 0 es u ´nico. La demostraci´on de que 1 es u ´nico se obtiene cambiando 0 por 1 y + por ∗ en la demostraci´on anterior. Teorema 8.2. Si x ∈ B, entonces x es u ´nico. Prueba: sea x ∈ B (hip´otesis). Entonces existe x por el Axioma B11. Supongamos que, existe otro complemento y �= x que satisface el Axioma B11, entonces x = x + 0 = x + (xy) = (x + x)(x + y) = (x + x)(x + y) = 1(x + y) = (x + y)1 = x + y

por por por por por por por

el el el el el el el

axioma axioma axioma axioma axioma axioma axioma

B3. B11 aplicado a y. B10. B1 aplicado a x + x. B11 aplicado a x + x. B1. B7.

por por por por por por por

el el el el el el el

axioma axioma axioma axioma axioma axioma axioma

B3. B11 aplicado a x. B10. B1 aplicado a y + x . B11 aplicado a y + x. B5. B9.

Similarmente, y =y+0 = y + (xx) = (y + x)(y + x) = (y + x)(x + y) = 1(x + y) = (x + y)1 = x + y

310 326


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Matem´atica de la l´ogica de predicados En conclusi´on, y = x, pero por hip´otesis y �= x , lo cual es una contradicci´on que demuestra el teorema. Como corolario del teorema 8.2, para un x dado notaremos x al u ´nico elemento de B que cumple las igualdades xx = 0 y x + x = 1. No todas las propiedades de la lista son necesarias como axiomas, por ejemplo las leyes de idempotencia se pueden deducir de las dem´as como lo muestran los siguientes teoremas: Teorema 8.3. Idempotencia. Si x ∈ B, entonces x + x = x y xx = x. Prueba: x=x+0 = x + (xx) = (x + x)(x + x ) = (x + x)1 =x+x

por por por por por

el el el el el

axioma axioma axioma axioma axioma

B3. B11. B10. B11. B7.

Tambi´en, x = x1 = x(x + x ) = (xx) + (xx ) = (xx) + 0 = xx

por por por por por

el el el el el

axiomas B7. axioma B11. axioma B9. axioma B11. axioma B3.

Si observamos la lista de axiomas y la demostraci´on anterior notamos que cada una de las operaciones + y ∗ tienen las mismas propiedades y distribuyen una con respecto a la otra, esto significa que si p es un teorema de un ´algebra de Boole B, que contiene +, ∗, 0, 1, entonces la proposici´on que resulta al cambiar + por ∗ y 0 por 1, en todas sus apariciones en p, es tambi´en un teorema85 de B; lo llamaremos el teorema dual de p. Teorema 8.4. Si x ∈ B entonces x + 1 = 1.

En ocasiones a esta afirmaci´on la llaman principio de dualidad (Dubreil y Dubreil, 1965, p. 203). 85

311 327


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Prueba: sea x ∈ B, entonces: 1 = x + x = x + (x 1) = (x + x )(x + 1) = 1(x + 1) = x+1

por por por por por

el el el el el

axioma axioma axioma axioma axioma

B11. B7. B9. B11. B7.

Teorema 8.5. Si x ∈ B entonces x0 = 0. Prueba: es el teorema dual del teorema 8.4. Teorema 8.6. Absorbente de + respecto a ∗. Si x, y ∈ B, entonces x + (xy) = x. Prueba: sean x, y ∈ B, entonces x = x1 = x(y + 1) = (xy) + (x1) = (xy) + x = x + (xy)

por por por por por

el el el el el

axioma B7. teorema 8.4. axioma B9. axioma B7. axioma B1.

Teorema 8.7. Absorbente de ∗ respecto a +. Si x, y ∈ B, entonces x(x + y) = x. Prueba: es el teorema dual del teorema 8.6. Hasta aqu´ı hemos probado que un ´algebra de Boole es un ret´ıculo, adem´as es un ret´ıculo distributivo y complementado. Por tanto, los teoremas demostrados para ret´ıculos valen para a´lgebras de Boole. Con la ayuda de las propiedades absorbentes tambi´en podemos deducir la propiedad asociativa de + y de ∗ a partir de las otras propiedades que asumimos como axiomas, como demostraremos en los teoremas 8.8 y 8.9. 312 328


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Matem´atica de la l´ogica de predicados Teorema 8.8. Asociativa de +. Para todo x, y, z en un ´algebra de Boole B, se cumple: x + (y + z) = (x + y) + z Prueba: para evitar expresiones estruendosas abreviemos w := x + (y + z), v := (x + y) + z. Debemos mostrar que w = v. Para probar esto demostraremos antes que se cumple xv = xw y xv = xw Veamos, xv = x((x + y) + z) = (x(x + y)) + (xz) = x + (xz) =x = x(x + (y + z)) = xw

Por Por Por Por Por Por

hip´otesis. B9. el teorema 8.7. el teorema 8.6. el teorema 8.7. hip´otesis.

Ahora, xv = x((x + y) + z) = (x(x + y)) + (xz) = [(xx) + (xy)] + (xz) = [0 + (xy)] + (x z) = (xy) + (xz) = x(y + z) = 0 + (x (y + z)) = (xx) + (x(y + z)) = x(x + (y + z)) = x w

Por Por Por Por Por Por Por Por Por Por

hip´otesis. B9. B9. los axiomas B5. y B11. B1 y B3. B9. B1 y B3. B5 y B11. B9. hip´otesis.

Como la suma es una operaci´on, tenemos que si a = b entonces a + c = b + c, esto significa que en ambos lados de una igualdad podemos sumar t´erminos iguales y obtenemos otra igualdad. Si sumamos las dos igualdades demostradas anteriormente, obtenemos que (xv) + (xv) = (xw) + (xw) 313 329


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos por B5 resulta (vx) + (vx) = (wx) + (wx) y por B9 v(x + x ) = w(x + x ) ahora aplicamos B11 para conseguir v1 = w1. Y finalmente por B7 conseguimos lo que quer´ıamos demostrar, o sea que v = w, esto es, x + (y + z) = (x + y) + z. Notemos que los u ´nicos teoremas que hemos usado en esta demostraci´on son los teoremas 8.6 y 8.7, y en su demostraci´on no hemos usado los axiomas B2 ni B6, que es lo que estamos demostrando. Teorema 8.9. Asociativa de ∗. Para todo x, y, z en un ´algebra de Boole B, se cumple: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z Prueba: la prueba de este teorema es por dualidad del anterior, pero la escribiremos por razones pedag´ogicas. Sean w := x ∗ (y ∗ z), v := (x ∗ y) ∗ z. Debemos mostrar que w = v. Para probar esto demostraremos antes que se cumple x + v = x + w y x + v = x + w Veamos, x + v = x + ((x ∗ y) ∗ z) = (x + (x ∗ y)) ∗ (x + z) = x ∗ (x + z) =x = x + (x ∗ (y ∗ z)) =x+w 314 330

Por Por Por Por Por Por

hip´otesis. B10. el teorema 8.6. el teorema 8.7. el teorema 8.6. hip´otesis.


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de la lógica de predicados

Matem´atica de la l´ogica de predicados Ahora, x + v = x + ((x ∗ y) ∗ z) = (x + (x ∗ y)) ∗ (x + z) = [(x + x) ∗ (x + y)] ∗ (x + z) = [1 ∗ (x + y)] ∗ (x + z) = (x + y) ∗ (x + z) = x + (y ∗ z) = 1 ∗ (x + (y ∗ z)) = (x + x) ∗ (x + (y ∗ z)) = x + (x ∗ (y ∗ z)) = x + w

Por Por Por Por Por Por Por Por Por Por

hip´otesis. B10. B10. los axiomas B1. y B11. B5 y B7. B10. B5 y B7. B5 y B11. B10. hip´otesis.

Como el producto es una operaci´on, tenemos que si a = b entonces a ∗ c = b ∗ c, esto significa que en ambos lados de una igualdad podemos multiplicar t´erminos iguales y obtenemos otra igualdad. Si multiplicamos las dos igualdades demostradas anteriormente, obtenemos que (x + v) ∗ (x + v) = (x + w) ∗ (x + w), por B1 resulta

(v + x) ∗ (v + x ) = (w + x) ∗ (w + x ), y por B10 v + (x ∗ x) = w + (x ∗ x).

Ahora aplicamos B11 para conseguir

v+0 =w+0 Y finalmente por B3 conseguimos lo que quer´ıamos demostrar, es decir, v = w, esto es, x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z. Hemos demostrado que para definir un a´lgebra de Boole solo son necesarias las propiedades conmutativa de la suma y el producto, la existencia de elementos id´enticos 0 y 1, las propiedades distributivas de cada operaci´on con respecto a la otra y la existencia de complementos para cada elemento del ´algebra. 315 331


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Teorema 8.10. Involuci´on. Si x ∈ B, entonces (x) = x. Prueba: sea x ∈ B y y = x. x + x xx x + x xx

=1 =0 = x + x = x x

Por Por Por Por

y+x=1 yx = 0 y + y = 1 yy  = 0 y = x

Por Por Por Por Por

el el el el

axioma axioma axioma axioma

B11. B11. B1. B5.

hip´otesis. hip´otesis. axioma B11. el axioma B11. el teorema 8.2.

En conclusi´on, (x) = x, remplazando x por y. Teorema 8.11. La ley distributiva de + con respecto a ∗ implica la ley distributiva de ∗ con respecto a + y viceversa. Prueba: supongamos que se tiene z + (xy) = (z + x)(z + y), entonces z(x + y) = (zx) + (zy). Partiendo de (zx) + (zy) = [(zx) + z][(zx) + y] = z[(zx) + y] = z[(z + y)(x + y)] = [z(z + y)](x + y) = z(x + y)

La otra prueba es por dualidad. 316 332

Por hip´otesis. Por la propiedad absorbente de ∗ respecto a +. Por hip´otesis. Por B6. Por la propiedad absorbente de ∗ respecto a +.


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Matem´atica de la l´ogica de predicados Teorema 8.12. Leyes cancelativas sim´ ult´aneas. Si (xz) = (yz) y (x + z) = (y + z) entonces x = y. Prueba: x = x(x + z) = x(y + z) = xy + xz = xy + yz = yx + yz = y(x + z) = y(y + z) =y

Por Por Por Por Por Por Por Por

el teorema 8.7. hip´otesis. B9. hip´otesis. B5. B9. hip´otesis. el teorema 8.7.

Debemos tener cuidado con lo que se afirma, no es que cada operaci´on por separado sea cancelativa; se afirma que cuando se tengan como premisas las dos condiciones (xz) = (yz) y (x + z) = (y + z) entonces podemos concluir que x = y. Teorema 8.13. 0 = 1 y 1 = 0. Prueba: 0+1=1 1∗0=0 0+1= 1+0 1+0=1 0 ∗ 1 = 0.

Por el teorema 8.4 con x = 0. Por el teorema 8.5 con x = 1. Por B1.

Las dos u ´ltimas igualdades muestran que 0 = 1 . 0 = (1 ) = 1 Por el teorema 8.10 Teorema 8.14. Para todo x, y en un a´lgebra de Boole B se cumple que x + y = x si y solo si xy = y 317 333


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Prueba: probemos la primera igualdad suponiendo la segunda. x + y = x + xy = x1 + xy = x(1 + y) = x(y + 1) = xy =y

Por Por Por Por Por Por

hip´otesis. B7. B9. B1. el teorema 8.4. hip´otesis.

La prueba de la segunda igualdad suponiendo la primera es por dualidad. Teorema 8.15. Ley de De Morgan para la suma. Si x, y ∈ B, entonces (x + y) = x ∗ y  . Prueba: sean x, y ∈ B. Entonces (x + y) + (x + y) = 1 (x + y) ∗ (x + y) = 0 (x + y) + (x ∗ y ) = [(x + y) + x ] ∗ [(x + y) + y ] = [x + (x + y)] ∗ [x + (y + y )] = [(x + x) + y] ∗ [x + 1] = (1 + y) ∗ 1 =1∗1 =1

Por Por Por Por Por Por Por Por

B11. B11. B10. B1 y B2. B2 y B11. B11 y el teorema 8.4. el teorema 8.4. B7.

Y (x + y) ∗ (x ∗ y ) = [(x + y) ∗ x] ∗ y  = [(x ∗ x) + (y ∗ x)] ∗ y  = [0 + (y ∗ x )] ∗ y  = (y ∗ x ) ∗ y  = y  ∗ (y ∗ x) = (y  ∗ y) ∗ x = 0 ∗ x =0 Por el teorema 8.2 se tiene que (x + y) = x ∗ y . 318 334

Por Por Por Por Por Por Por Por

B6. B5 y B9. B11. B1 y B3. B5. B6. B11. B5 y teorema 8.5.


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de la lógica de predicados

Matem´atica de la l´ogica de predicados Teorema 8.16. Ley de De Morgan para la multiplicaci´ on. Si x, y ∈ B,    entonces (x ∗ y) = x + y . Prueba: es el teorema dual del teorema 8.15. Teorema 8.17. Sean x, y elementos de un a´lgebra de Boole B, entonces a. x + y = 0 implica que x = 0 y y = 0. b. xy = 1 implica que x = 1 y y = 1. Prueba: a. Supongamos que x + y = 0, entonces x = x(x + y) = x0 =0

Por el teorema 8.7. Por hip´otesis. Por el teorema 8.5.

An´alogamente, y = y(x + y) = 0. b. Si xy = 1, x + y  = 0 x = 0 y y  = 0 x=1yy=1

Por dualidad. Por la parte a. Por dualidad.

Teorema 8.18. Un algebra de Boole B es un ret´ıculo modular. Esto significa que para todo x, y, z en B se cumple que x + (y ∗ (x + z)) = (x + y) ∗ (x + z) y por dualidad x ∗ (y + (x ∗ z)) = (x ∗ y) + (x ∗ z). Prueba: demostremos que x ∗ (y + (x ∗ z)) = (x ∗ y) + (x ∗ z). x ∗ (y + (x ∗ z)) = (x ∗ y) + x ∗ (x ∗ z) = (x ∗ y) + (x ∗ x) ∗ z = (x ∗ y) + (x ∗ z)

319 335

Por B9. Por B6. Por B8 o teorema 8.3.


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

Ejemplos 1. Si B = ℘(X) es el conjunto de partes de un conjunto X no vac´ıo, y las operaciones suma y multiplicaci´on son la uni´on ∪ y la intersecci´on ∩ de los conjuntos respectivamente, 0 es el conjunto vac´ıo ∅, 1 es el conjunto X, y P  es el complemento del subconjunto P de X; entonces B es un ´algebra de Boole. 2. El conjunto {0, 1} con las operaciones ⊕ 0 1

⊗ 0 1

0 1 0 1 1 1

Tabla 8.1

0 0 0

1 0 1

Tabla 8.2

Es un algebra de Boole. Aqu´ı los s´ımbolos 0 y 1 no tienen significado alguno. 3. El conjunto D de todos los divisores positivos del n´ umero entero 30, junto con las operaciones �, � y el complemento  definidos como a � b = m´ınimo com´ un m´ ultiplo entre a y b a � b = m´aximo com´ un divisor entre a y b a = 30 a es un ´algebra de Boole. Una opci´on para probar este hecho es ingresar las tablas que se presen´ tan a continuaci´on en el programa Algebra finita 1.0, y verificar que se cumplen los axiomas A1, A2, A3 y A4. D = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} � 1 2 3 5

1 1 2 3 5

2 2 2 6 10

3 3 6 3 15

5 5 10 15 5 320 336

6 6 6 6 30

10 10 10 30 10

15 15 30 15 15

30 30 30 30 30


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de la lógica de predicados

Matem´atica de la l´ogica de predicados

6 10 15 30

6 10 15 30

6 10 30 30

6 30 15 30

30 10 15 30

6 30 30 30

30 10 30 30

30 30 15 30

30 30 30 30

Tabla 8.3 � 1 2 3 5 6 10 15 30

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 1 2 2 1 2

3 1 1 3 1 3 1 3 3

5 1 1 1 5 1 5 5 5

6 1 2 3 1 6 2 3 6

10 1 2 1 5 2 10 5 10

15 1 1 3 5 3 5 15 15

30 1 2 3 5 6 10 15 30

Tabla 8.4 Una prueba m´as formal puede consultarse en Braunss y Zubrod (1974).

8.2.1.

L´ ogica en ´ algebras de Boole

En un ´algeba de Boole, en analog´ıa con la l´ogica bivalente, podemos definir la operaci´on implicaci´ on entre x y y como x → y = x + y. y la operaci´on doble implicaci´ on como x ↔ y = (x → y)(y → x). Y si interpretamos el producto como la conjunci´on, la suma como la disyunci´on y el complemento como la negaci´on, tenemos todos los elementos para construir l´ogicas en ´algebras de Boole.

321 337


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

Ejercicios 1. Verifique si la implicaci´on y la doble implicaci´ on en un ´algebra de Boole tienen las mismas propiedades que la implicaci´on y la equivalencia de la l´ ogica bivalente usual. 2. Estudie cu´ ales tautolog´ıas de la l´ ogica bivalente usual son v´ alidas en un ´algebra de Boole cualquiera.

8.2.2.

Relaciones de congruencia en ´ algebras de Boole

Como en toda estructura algebraica, en a´lgebras de Boole tambi´en estudiamos la posibilidad de construir la estructura en el cociente por una relaci´on de equivalencia. Pero para que esto sea posible es necesario que la relaci´on de equivalencia sea compatible con las operaciones, a esto lo llamamos una relaci´ on de congruencia. En un ´algebra de Boole B, una relaci´on de equivalencia ≈ definida en B tal que para todo x, y en B si x ≈ y, entonces (xz) ≈ (yz) (x + z) ≈ (y + z) para todo z ∈ B x ≈ y  . En el conjunto cociente B/ ≈= {[x] : x ∈ B} [x] = [y] si y solo si x ≈ y.

Y las operaciones que definen un ´algebra de Boole en el cociente86 son: [x] ∗ [y] = [xy] [x] + [y] = [x + y] Teorema 8.19. (B/ ≈, +, ∗) es un ´algebra de Boole. Usamos los mismos s´ımbolos para las operaciones en B y en B/ ≈, puesto que no dan lugar a confusi´ on. 86

322 338


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de la lógica de predicados

Matem´atica de la l´ogica de predicados Prueba: B/ ≈, no es vac´ıo puesto que B no lo es. Sean [x], [y] ∈ B/ ≈, entonces x, y ∈ B. [x] + [y] = [x + y] = [y + x] = [y] + [x]

Por definici´on de + en B/ ≈. Por B1. Por definici´on de + en B/ ≈.

Por dualidad tenemos que [x] ∗ [y] = [y] ∗ [x]. [x] + ([y] + [z]) = [x] + ([y + z]) = [x + (y + z)] = [(x + y) + z] = [x + y] + [z] = ([x] + [y]) + [z]

por por por por por

definici´on de definici´on de B2. definici´on de definici´on de

+ en B/ ≈. + en B/ ≈. + en B/ ≈. + en B/ ≈.

De manera similar se prueban la ley asociativa de la multiplicaci´on y las leyes distributivas. El elemento 0 es [0] y el elemento 1 es [1]. El complemento de [x] es [x] = [x] puesto que [x] + [x] = [x + x ] = [1] y [x] ∗ [x] = [x ∗ x ] = [0].

Por consiguiente, (B/ ≈, +, ∗) es un ´algebra de Boole.

8.3.

´ Algebras de Boole y los silogismos aristot´ elicos

Con el prop´osito de establecer un v´ınculo entre el ´algebra de Boole y los silogismos aristot´elicos, definimos: x − y = z si y s´olo si x = y + z en particular como x + x = 1 tenemos que x = 1 − x. 323 339


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Teorema 8.20. x(y − z) = xy − xz Prueba: sea y − z = w entonces por definici´on y = w + z, por tanto, xy = x(w + z) xy = xw + xz xw = xy − xz x(y − z) = xy − xz

Por Por Por Por

definici´on. B9. definici´on. hip´otesis.

Teorema 8.21. Si x − y = 0 entonces x = y. Prueba: x−y =0 x=y+0 x=y

Por hip´otesis. Por definici´on. Por B3.

Teorema 8.22. Si x − y �= 0 entonces x �= y. Prueba: supongamos que x = y entonces x=y+0 x−y =0

Por B3. Por definici´on.

Pero esto contradice la hip´otesis y, por tanto, x �= y. Teorema 8.23. Si xy �= 0 entonces x �= 0 y y �= 0. Prueba: supongamos que y = 0 entonces xy = x0 =0

Por hip´otesis. Por teorema 8.5.

esto contradice la hip´otesis y, por tanto, y �= 0. An´alogamente probamos que x �= 0. Y como la implicaci´on distribuye a izquierda con respecto a la conjunci´on hemos probado que (r → (p ∧ q)), demostrando ((r → p) ∧ (r → q)). 324 340


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de la lógica de predicados

Matem´atica de la l´ogica de predicados Con la interpretaci´on de las proposiciones como conjuntos y las operaciones definidas en su ´algebra, Boole (1958, pp. 226-242) escribi´o las proposiciones aristot´elicas a, e, i, o as´ı: xay: todo x es y xey: ning´ un x es y xiy: alg´ un x es y xoy: alg´ un x no es y

x(1 − y) = 0 xy = 0 xy �= 0 x(1 − y) �= 0

La primera expresi´on significa que entre x y el complemento de y no hay elementos comunes; la segunda significa que entre x e y no hay elementos en com´ un; la tercera expresa que la intersecci´on entre x e y no es vac´ıa, y la u ´ltima se˜ nala que la intersecci´on entre x y el complemento de y no es vac´ıa. Ahora podemos demostrar, usando las leyes algebraicas expuestas, las formas de silogismos aristot´elicos, por ejemplo: 1. Las premisas de la forma aaa de la figura 1, conocido como el modo silog´ıstico B´arbara: Todo c es d Todo b es c las expresamos como c(1 − d) = 0 b(1 − c) = 0

De la primera igualdad obtenemos por B7 y el teorema 8.20 que c − cd = 0 y, por el teorema 8.21, tenemos que c = cd. De la segunda, con los mismos argumentos, obtenemos que b = bc. Para demostrar la conclusi´on, partimos de b = bc = b(cd) = (bc)d b = bd b − bd = 0 b(1 − d) = 0

Premisa. Premisa. Por B6. Premisa. Por la contrarrec´ıproca del teorema 8.22. Por el teorema 8.20.

325 341


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Eso significa que todo b es d. Notemos que en la argumentaci´on algebraica no tiene importancia el significado de los s´ımbolos; esto es un avance en relaci´on con la l´ogica aristot´elica (pero en esencia es la misma que consideraron los estoicos), pues libera las proposiciones de tener una forma o significado determinados, o a los razonamientos de tener forma silog´ıstica. 2. Las premisas de la forma aoo de la figura 2: Todo b es c Alg´ un d no es c las expresamos: b(1 − c) = 0 d(1 − c) �= 0 De la primera igualdad obtenemos que b = bc. De la segunda obtenemos, por el teorema 8.20, que d − dc �= 0, y por el teorema 8.22 que d �= dc. Debemos probar que d(1 − b) �= 0, para ello supongamos que d = db. d = db dc = (db)c = d(bc) = db =d

Por hip´otesis. Multiplicando ambos lados de la igualdad por c. Por B6 y B5. Premisa. Por hip´otesis.

Pero esto contradice que d �= dc, luego d �= db y en consecuencia d − bd �= 0 d(1 − b) �= 0

Por la contrarec´ıproca del teorema 8.21. Por Teorema 8.20.

Eso significa que alg´ un d no es b, lo que demuestra la forma aoo de la figura 2. 3. Las premisas de la forma aee de la figura 2: 326 342


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de la lógica de predicados

Matem´atica de la l´ogica de predicados Todos los p son m. Ning´ un m es s. algebraicamente se representan con: p(1 − m) = 0, ms = 0. Y por el teorema 8.20 p − pm = 0. O sea p = pm. Y como pretendemos concluir que Ning´ un p es s que en s´ımbolos es ps = 0, escribimos ps = (pm)s = p(ms) = p0 =0

Premisa. Por B6. Premisa. Por el teorema 8.5.

que es la conclusi´on deseada. Boole, as´ı mismo, prob´o que dos de las figuras dadas como v´alidas por Arist´oteles en realidad no lo son, estas corresponden a la figura 3 y son, aai y eao, veamos la primera: Todo x es y Todo x es z Luego, alg´ un z es y. Las premisas se escriben: x(1 − y) = 0

x(1 − z) = 0.

Debemos probar que zy �= 0. Pero esto no necesariamente es cierto; pues si x = 0 entonces las dos ecuaciones se cumplen pero y o z pueden asumir cualquier valor, en particular alguno de los dos puede ser 0 y con ello zy = 0, haciendo que la conclusi´on sea falsa y las premisas verdaderas, luego no es una forma v´alida de razonar. Si x �= 0, el silogismo es correcto, en palabras de Devlin (2003), 327 343


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Esta es sin lugar a dudas la raz´ on por la cual el error no se descubri´ o por miles de a˜ nos. Cuando se piensa en t´erminos de palabras acerca de predicados, no es natural preguntarse lo que ocurre si uno de los predicados describe algo que es imposible. Pero cuando se manipula ecuaciones algebraicas sencillas, ello no es solamente natural sino que para el matem´ atico constituye una costumbre el comprobar si los t´erminos son cero o no (pp. 81-82).

8.4.

Anillos de Boole

Un anillo est´a formado por una tripla (R, +, •) donde R es un conjunto no vac´ıo, + y • son operaciones binarias definidas en R, tales que para todo x, y, z ∈ R: R1. x + (y + z) = (x + y) + z (+ es asociativa). R2. Existe 0 ∈ R tal que x + 0 = 0 + x = x. R3. Para cada x ∈ R, existe −x ∈ R tal que x + (−x) = (−x) + x = 0. R4. x + y = y + x (+ es conmutativa). R5. x • (y • z) = (x • y) • z (• es asociativa). R6. x • (y + z) = (x • y) + (x • z) y (y + z) • x = (y • x) + (z • x) (• es distributiva con respecto a + a izquierda y a derecha). Si adem´as se cumple que x • y = y • x para todo x, y ∈ R, el anillo es conmutativo o abeliano, y si la operaci´on tiene elemento id´entico lo notamos 1 y lo llamamos unidad. En un ´algebra booleana (B, +, ∗) ninguna de las operaciones cumple la propiedad R3, o sea que no es un anillo. Pero si definimos la operaci´on ⊕ para todo x y y como x ⊕ y = (x ∗ y ) + (x ∗ y) entonces (B, ⊕, ∗) es un anillo conmutativo con unidad. Teorema 8.24. La operaci´ on ⊕ es conmutativa. 328 344


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de la lógica de predicados

Matem´atica de la l´ogica de predicados Prueba: si x, y ∈ B, entonces x ⊕ y = (x ∗ y ) + (x ∗ y) = (y  ∗ x) + (y ∗ x) = (y ∗ x) + (y  ∗ x) =y⊕x

Por Por Por Por

definici´on. B5. B1. definici´on.

Teorema 8.25. El elemento id´entico para ⊕ es 0. Prueba: x ⊕ 0 = (x ∗ 0 ) + (x ∗ 0) = (x ∗ 1) + 0 =x

Por definici´on. Por el teorema 8.5. Por B7 y B3.

Teorema 8.26. El elemento inverso −x de cada elemento x es el mismo x. Prueba: x ⊕ x = (x ∗ x) + (x ∗ x) =0+0

Por definici´on. Por B11.

La prueba de la asociatividad de ⊕ puede consultarse en Zehna y Johnson (1972, pp. 97-98).

Ejercicios Probar las identidades: 1. (z ∗ y) + (y  ∗ z ) = (y  + z) ∗ (y + z  ). 2. (x + y ) ∗ (x + y) = (x ∗ y) + (x ∗ y ). 3. (x ⊕ y) = (x + y ) ∗ (x + y). 4. x ∗ (y ⊕ z) = (x ∗ y) ⊕ (x ∗ z).

329 345


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

Capítulo 9. El razonamiento matemático CAP´ITULO 9 El razonamiento matem´atico

La l´ ogica es invencible porque para combatir la l´ ogica, es necesario usar la l´ ogica. Pierre Boutroux

Como vimos en el cap´ıtulo 4, la relaci´on entre el razonamiento l´ogico y la matem´atica viene de nacimiento, se atribuye a Tales de Mileto (640-546 a.C.) la primera prueba de un teorema geom´etrico. El uso de la deducci´on para describir consecuencias desconocidas, de principios conocidos y de la inducci´on, abducci´on y analog´ıa para conjeturar leyes desconocidas, a partir de otras conocidas, ha llevado a la ciencia y a las matem´aticas a sus estados actuales de desarrollo. Pero curiosamente (S´anchez, 2006), la l´ogica silog´ıstica de Arist´oteles no es la m´as usada en matem´aticas, desde Euclides el punto de vista estoico-meg´arico, ha tenido m´as preponderancia. El razonamiento matem´atico dio lugar al m´etodo axiom´atico, donde se aceptan como verdaderas unas afirmaciones que llamamos axiomas, y a partir de ellas se deducen los dem´as a los que llamamos teoremas, usando reglas de inferencia habitualmente impl´ıcitas. El paradigma de los sistemas axiom´aticos es el de la geometr´ıa de Euclides ilustrado en sus Elementos. En otras disciplinas, como la biolog´ıa, la qu´ımica, la econom´ıa y la f´ısica se pretende construir sistemas semejantes. Otros ejemplos los mostraremos m´as adelante.

347


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Una de las caracter´ısticas m´as fecundas del m´etodo axiom´atico es su poder de abstracci´on. Si los axiomas sobre los cuales se construye una teor´ıa, se aplican a otros objetos diferentes a los pensados inicialmente, entonces ambos conjuntos de objetos son los mismos pero con apariencias diferentes, por ejemplo, la geometr´ıa elemental de la orisfera87 satisface los mismos axiomas y teoremas de la geometr´ıa Euclidiana, por tanto, ambas geometr´ıas son equivalentes; de igual manera, el conjunto de los n´ umeros racionales satisface los axiomas de campo de los n´ umeros reales, entonces ambos sistemas num´ericos son en sentido algebraico el mismo. En ciencias se usa el m´etodo hipot´etico-deductivo, cuya u ´nica diferencia con el axiom´atico es que los axiomas se construyen a partir observaciones experimentales, por ejemplo las tres leyes de Newton para la mec´anica o las cuatro leyes de Maxwell para la electrodin´amica cl´asica. Mucho se ha discutido sobre la primac´ıa de la matem´atica sobre la l´ogica o de esta sobre aquella, pero esto parece una discusi´on bizantina, para formular una teor´ıa de la l´ogica necesitamos conjuntos y n´ umeros naturales y para formular una teor´ıa de conjuntos necesitamos una teor´ıa l´ogica. Pero podemos estudiar aspectos matem´aticos de los objetos y los procesos l´ogicos como lo hemos hecho en cap´ıtulos anteriores o como hizo Boole, o tratar de incluir la aritm´etica, por ejemplo, como parte de la l´ogica como intent´o Frege. George Cantor cre´o una teor´ıa de conjuntos para fundamentar toda la matem´atica, y la bas´o en la l´ogica; ahora forma parte de ella como una parte de la l´ogica de predicados, pero en 1903 B. Russell demostr´o que la teor´ıa de conjuntos de Cantor era inconsistente. En 1908 Zermelo present´o una teor´ıa axiom´atica de conjuntos mejorada por Fraenkel y Skolem (Fraenkel, 1953), que es una de las m´as conocidas (Mu˜ noz, 2002). En este cap´ıtulo exploraremos algunas maneras de usar la l´ogica en las teor´ıas matem´aticas.

87 En geometr´ıas no euclidianas, la orisfera es el lugar geom´etrico de los extremos de las secantes de igual pendiente trazadas de un punto A de una recta a todas las rectas del espacio paralelas a ella en una direcci´on determinada (Efimov, 1984, pp. 111-113).

332 348


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico

9.1.

Teor´ıas matem´ aticas

Una teor´ıa matem´atica requiere de un tema, es decir, algunos objetos que queremos estudiar, este ser´a el universo de discurso, pueden ser n´ umeros, puntos, funciones, objetos, etc., una estructura l´ogica, unos axiomas y algunos t´erminos no definidos para no entrar en el c´ırculo vicioso de definir t´erminos por medio de otros t´erminos, y estos en t´erminos de otros y as´ı de manera indefinida.

9.1.1.

C´ omo nace una teor´ıa

La geometr´ıa fue por muchos a˜ nos un paradigma de teor´ıa matem´atica y, durante los primeros dos mil a˜ nos de su existencia, fue un conjunto de conocimientos emp´ıricos obtenidos por inducci´on, a partir del estudio de muchos casos especiales, sin el fundamento de una demostraci´on l´ogica. Este proceso es com´ un a muchas teor´ıas matem´aticas que nacen como un conjunto de observaciones y procedimientos heur´ısticos que se formalizan luego en un sistema axiom´atico. Luego los griegos tomaron los resultados de los egipcios y formularon una teor´ıa deductiva, iniciando con Tales y culminando con los Elementos de Euclides, donde aparece como una secuencia bien organizada de teoremas deducidos a partir de unas pocas hip´otesis iniciales, usando las leyes de la l´ogica.

9.1.2.

Demostraci´ on en teor´ıas matem´ aticas

Una deducci´ on axiom´ atica o demostraci´on dentro de una teor´ıa tiene como premisas los axiomas de la teor´ıa o alguna afirmaci´on que se ha derivado de los axiomas usando las reglas de inferencia aceptadas. En una teor´ıa matem´atica asumimos como regla de inferencia (Zehna y Johnson, 1972, p. 15) que una demostraci´on de que una proposici´on q es consecuencia l´ogica de las premisas p1 , p2 , p3 , . . . , pn , es una secuencia de proposiciones s1 , s2 , s3, . . . , sr , tales que sr es q y para 1 ≤ i ≤ r, y cada si cumple alguna de las siguientes condiciones: 1. si es una de las premisas p1 , p2 , p3 , . . . , pn , o la conjunci´on de dos o m´as de ellas (regla P). 2. si es una tautolog´ıa (regla T). 333 349


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 3. si es tautol´ogicamente implicada por la conjunci´on de las proposiciones anteriores en la demostraci´on (regla TI). Todas las premisas las asumimos verdaderas, como discutimos en el cap´ıtulo 1, esto solo tiene sentido dentro de la teor´ıa, y debemos insistir en que no demostramos que q (la conclusi´on) es verdadera, sino que q es verdadera si todas las pi son verdaderas. Por el teorema de la deducci´on una proposici´on q se deduce de un conjunto de premisas p1 , p2 , . . . , pk si la proposici´on (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pk ) → q es una tautolog´ıa. Generalmente este criterio es inaplicable, porque el n´ umero de proposiciones que intervienen suele ser numeroso y esto hace los c´alculos largos y tediosos.

9.1.3.

Prueba condicional

Pero si la conclusi´on de un teorema tiene la forma de una implicaci´on p → q, debemos apelar a las tautolog´ıas que llamamos leyes de importaci´on y exportaci´on: [(p ∧ q) → r)] ↔ [(p → (q → r)]

para establecer la regla de inferencia de prueba condicional (PC) en la forma: Si una proposici´on q se deduce l´ogicamente de la conjunci´on de un conjunto de premisas p1 , p2 , . . . , pk y una proposici´on r, entonces la proposici´on r → q se deduce del conjunto de premisas p1 , p2 , . . . , pk . En s´ımbolos, si (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pk ∧ r) � q, entonces (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pk ) � (r → q).

Un uso frecuente de la prueba condicional est´a en las llamadas pruebas indirectas (PI), donde para probar que una proposici´on q es consecuencia l´ogica de un conjunto de premisas asumimos como premisa condicional ¬q para concluir una contradicci´on como r ∧ (¬r); (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pk ∧ (¬q)) → (r ∧ (¬r)) por el principio de prueba condicional concluimos que (¬q) → (r∧(¬r)) se deduce del conjunto de premisas y por la ley del absurdo: ((¬q) → 0) → (¬¬q), o sea que por la ley de la doble negaci´on ((¬q) → 0) → q 334 350


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico y por tanto q debe ser una consecuencia l´ogica del conjunto de premisas.

9.1.4.

Estrategias de demostraci´ on

Como se infiere de lo dicho, las dos estrategias m´as frecuentes para hacer una demostraci´on son la directa y la indirecta. 9.1.4.1.

La estrategia directa

Consiste en cadena de afirmaciones que conducen directamente a la conclusi´on, a partir de una proposici´on p que sabemos verdadera y avanzar hacia otra proposici´on q que deseamos probar su veracidad, para esto, es necesario algunos pasos intermedios que se van deduciendo l´ogicamente a partir de la proposici´on p, esto significa que de p se deducen ciertas proposiciones a partir de leyes l´ogicas como: modus ponendo ponens, sustituci´ on, ley de los casos, etc. Los razonamientos disyuntivos son un ejemplo, en los que la primera premisa es una disyunci´on exclusiva, donde se afirman dos posibilidades incompatibles, de modo que si se afirma una se excluye la otra; para resolver cu´al de las posibilidades es cierta, hay dos caminos: negar una o afirmar la contraria, cada una de las opciones se analiza por separado, generalmente mediante un razonamiento condicional. Otra posibilidad son los razonamientos por enumeraci´ on, donde se consideran todas las soluciones posibles de un determinado problema para escoger entre ellas una buena, o para argumentar todos los casos. Un caso particular son los dilemas, en ellos las dos posibilidades que se consideran conducen a la misma conclusi´on: p implica q y r implica q. 9.1.4.2.

La estrategia indirecta

Esta estrategia busca demostrar que una proposici´ on q es consecuencia l´ogica de una proposici´on p verdadera, suponiendo que la negaci´on de q es verdadera. Est´a basada en la implicaci´on contrarrec´ıproca de (p → q), es decir (p → q) ↔ ((¬q) → (¬p)). Una variante de esta forma es la demostraci´ on por reducci´on al absurdo, (ad absurdum ducens) suponiendo (¬q) buscamos llegar a una contradicci´on, 335 351


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos bien sea demostrar (¬p), o contradecir un axioma o un teorema de la teor´ıa, o conseguir una conjunci´on de la forma r ∧ (¬r). 9.1.4.3.

Refutaciones

En muchas ocasiones debemos razonar no para demostrar que las afirmaciones que hacemos son ciertas sino para mostrar que las afirmaciones de otro son falsas, esto es refutar. La manera m´as directa es impugnar lo que se afirma, mostrando que alguna premisa es falsa o porque hay errores en la argumentaci´on como mencionamos en las falacias. En la mayor´ıa de los casos los criterios que hemos dado para las pruebas formales no son aplicables de manera estricta a las demostraciones en las distintas ramas de las matem´aticas, pues esto har´ıa que cada prueba fuera innecesariamente larga y frecuentemente ilegible; por lo general se acepta abreviar pasos en argumentaciones que llamaremos pruebas informales que sin faltar al rigor del razonamiento, no exprese todos sus pasos. Aunque no debemos exagerar en la supresi´on de explicaciones y argumentos hasta el punto de que nos hagamos ininteligibles.

9.2. 9.2.1.

Dos teor´ıas ba ´sicas para las teor´ıas matema ´ticas La l´ ogica de predicados

En los cap´ıtulos 6 y 7 presentamos los elementos fundamentales de la l´ogica de predicados que nos servir´an de base para la construcci´on de otras teor´ıas matem´aticas. Resumiremos enseguida sus resultados. Las reglas de formaci´on de t´erminos son:  Cualquier constante es un t´ermino.  Cualquier variable es un t´ermino.  Cualquier expresi´on f(t1 , . . . , tn ) es un t´ermino, donde cada ti es un t´ermino y f es un s´ımbolo de funci´on.  Ninguna otra cosa es un t´ermino. 336 352


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico Las reglas de formaci´on de f´ormulas bien formadas (fbf ) son:  Si R es un s´ımbolo de relaci´on y los ai son t´erminos entonces R(a1, . . . , an ) es una fbf.  Si α es una f´ormula bien formada, entonces ¬α es fbf. Sus variables libres son las variables libres de α.  Si δ y φ son fbf, entonces δ ∧ φ, δ ∨ φ, δ → φ y δ ↔ φ son fbf. Sus variables libres son las variables libres de δ o φ.  Si α es una f´ormula bien formada, entonces (∀x ∈ X)(α) y (∃x ∈ X)(α) son f´ormulas bien formadas. Se puede usar cualquier otra variable en lugar de x. Sus variables libres son las variables libres de α distintas de x.  Ninguna otra cosa es una f´ormula bien formada. Reglas de inferencia Usaremos todas las reglas de inferencia de la l´ogica proposicional y de predicados y todas las tautolog´ıas enumeradas al final del cap´ıtulo 5. Incluidas las reglas de introducci´on y eliminaci´on para los cuantificadores existencial y universal. 1. Regla EG. (∀x)(p(x)) → p(y), donde y es una variable libre. 2. Regla EP. (∃x)(p(x)) → p(y), donde x es una variable ligada e y es fija. 3. Regla IG. Si s(x) es consecuencia l´ogica de premisas p1 , p2 , . . . , pn (x ligada en las premisas y no ha sido liberada por la regla E), entonces (∀x)(s(x)) es consecuencia l´ogica de las premisas p1 , p2 , . . . , pn . Esta regla es la que permite comenzar una demostraci´on con la frase “Sea x fijo pero arbitrario” cuando se quiere demostrar para todo x, p(x). 4. Regla IP. Si s(y) se deduce de un conjunto de premisas p1 , p2 , . . . , pn (y libre) entonces (∃x)(s(x)). 337 353


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

9.2.2. La teor´ ıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Skolem Como casi todas las teor´ıas matem´aticas existen varias teor´ıas de conjuntos y varias axiom´aticas diferentes para cada teor´ıa; esto u ´ltimo se caracteriza por la posibilidad de deducir los axiomas de una de ellas como teoremas asumiendo los axiomas de la otra y viceversa, en cuyo caso decimos que las dos axiom´aticas son equivalentes. 9.2.2.1.

T´ erminos no definidos

Si quisi´eramos definir que es un conjunto, podr´ıamos decir que es una reuni´on de elementos que tienen alguna propiedad en com´ un, pero esto excluye al conjunto vac´ıo y al conjunto unitario porque ninguno de ellos es una reuni´on de elementos, y adem´as hay reuniones de cosas que no son conjuntos, como la colecci´on o clase que re´ una a todos los conjuntos. Esto obliga a que no definamos la palabra conjunto sino que la tomemos como un t´ermino primitivo, tampoco definiremos lo que significa pertenece que notamos con la letra ∈. 9.2.2.2.

Definiciones

Sea X un conjunto, A, B, C subconjuntos de X. a. Relaciones entre conjuntos c definimos una relaci´on entre cualquier par Para cada conectivo l´ogico � de subconjuntos A y B de X por medio de c B si y s´olo si (∀x ∈ X)(x ∈ A � c x ∈ B). A�

Ejemplos 1. Contenencia entre conjuntos: decimos que A est´a contenido en B y lo notamos A ⊆ B si y solo si (∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ B). 338 354


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico Esta definici´on puede tambi´en expresarse en forma negativa diciendo (A  C) si y solo si ¬(∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ B) si y solo si (∃z ∈ X)(¬(z ∈ A → z ∈ B)) si y solo si (∃z ∈ X)(z ∈ A ∧ z ∈ / B). 2. Igualdad de conjuntos: decimos que A es igual a B y lo notamos A = B si y solo si (∀x ∈ X)(x ∈ A ↔ x ∈ B) Otras formas equivalentes son A = B si y solo si (∀x ∈ X)((x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A)) A = B si y solo si (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) O en forma negativa (A �= B) ↔ ¬(∀x ∈ X)((x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A)) ↔ (∃z ∈ X)(¬((z ∈ A → z ∈ B) ∧ (z ∈ B → z ∈ A))) ↔ (∃z ∈ X)(¬(z ∈ A → z ∈ B) ∨ ¬(z ∈ B → z ∈ A)) ↔ (∃z ∈ X)((z ∈ A ∧ z ∈ / B) ∨ (z ∈ B ∧ z ∈ / A)) ↔ (∃z ∈ X)(z ∈ A ∧ z ∈ / B) ∨ (∃z ∈ X)(z ∈ B ∧ z ∈ / A) ↔ (∃z ∈ X)(z ∈ A ∧ z ∈ / B) ∨ (∃w ∈ X)(w ∈ B ∧ w ∈ / A). 3. Contenencia estricta: decimos que A est´ a estrictamente contenido en B y lo notamos A ⊂ B si y solo si (A ⊆ B) ∧ (A �= B). 4. Disyunci´on: decimos que A est´ a en disyunci´on con B y lo notamos88 A ∨ B si y solo si (∀x ∈ X)(x ∈ A ∨ x ∈ B). Y as´ı para cada conectivo. En las relaciones que no son muy conocidas usaremos el mismo s´ımbolo del conectivo pero en negrilla, aunque el contexto no da lugar a confusiones. 88

339 355


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos b. Operaciones entre conjuntos Para cada conectivo definimos la operaci´on c B = {x ∈ X : x ∈ A � c x ∈ B} A� c B Notemos que a diferencia de las relaciones entre conjuntos donde A � c B es un subconjunto89 de X. es una proposici´on verdadera o falsa, aqu´ı A �

Ejemplos 1. La intersecci´on A ∩ B = x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B. 2. La uni´on A ∪ B = x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B. 3. La diferencia A−B =x ∈ X : x∈ A−• x∈ B

o equivalentemente

A−B = x∈ X :x ∈ A∧x∈ / B. 4. El complemento A de un conjunto A lo definimos como A = X − • A = X − A. 5. La diferencia rec´ıproca A •− B =x∈X :x∈A •− x∈B que tambi´en se escribe como A •− B =x∈X : x∈ / A∧x ∈B o sea A • −B = B − A.

89 c B es una proposici´ De nuevo el contexto permitir´a diferenciar si A � on o un conjunto, aunque en el caso de que sea un conjunto el s´ımbolo del conectivo lo escribiremos sin negrilla.

340 356


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico 6. La disyunci´on exclusiva A  B = {x ∈ X : x ∈ A  x ∈ B} es la conocida diferencia sim´etrica entre A y B, que tambi´en puede escribirse en la forma A  B = (A ∪ B) − (A ∩ B) por la tautolog´ıa (p  q) ↔ ((p ∨ q) − • (p ∧ q)) = (A − B) ∪ (B − A) por la tautolog´ıa (p  q) ↔ ((p − • q) ∨ (q − • p)). Y as´ı para cada conectivo. Las propiedades de las operaciones entre conjuntos definidos por cada c son las mismas que las del conectivo correspondiente visto como conectivo � operaci´on. Por ejemplo, la diferencia rec´ıproca entre conjuntos i. No es conmutativa: A • − B �= B • − A. ii. No es asociativa: (A • − B) • − C �= A • − (B • − C). iii. No tiene elemento id´entico, pero s´ı tiene un elemento id´entico a izquierda: X • − B = B. iv. Es permutable a izquierda: A • − (B • − C) = B • − (A • − C). v. Identidad de Peirce: (A • − B) • − A = A. vi. Es autodistributiva a izquierda: A • − (B • − C) = (A • − B) • − (A • − C). vii. Si A �= B entonces (A • − B) = B. viii. Es unipotente: (A • − A) = (B • − B). 341 357


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 9.2.2.3.

Teoremas

Sea X un conjunto. Sean A, B y C subconjuntos de X, Teorema 9.1. A ⊆ A. Prueba: debemos demostrar que (∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ A). 1. 2. 3. 4.

Sea y ∈ A, fijo pero arbitrario (y ∈ A → y ∈ A) (∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ A) A⊆A

Regla EG. Por la tautolog´ıa (p → p). y libre. Regla IG en 2. Definici´on de ⊆ en 3.

Teorema 9.2. ((A ⊆ B) ∧ (B ⊂ C)) → (A ⊂ C). Prueba: debemos obtener como conclusi´on que A ⊂ C, o equivalentemente que (A ⊆ C) ∧ (A �= C), es decir que ((∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ C)) ∧ ((∃z ∈ X)(z ∈ A ∧ z ∈ / C) ∨(∃w ∈ X)(w ∈ C ∧ w ∈ / A)). Veamos A⊆B (∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ B) B⊂C (B ⊆ C) ∧ ((∃z ∈ X)(z ∈ C ∧ z ∈ / B) ∨ (∃w ∈ X)(w ∈ C ∧ w ∈ / A)) 5. ((B ⊆ C) ∧ (∃z ∈ X)(z ∈ C ∧ z ∈ / B)) ∨ ((B ⊆ C) ∧ (∃w ∈ X)(w ∈ C ∧ w ∈ / A)) 1. 2. 3. 4.

Y hay dos casos 6. (B ⊆ C) ∧ ((∃z ∈ X)(z ∈ C ∧ z ∈ / B))  6 . (B ⊆ C) ∧ ((∃w ∈ X)(w ∈ C ∧ w ∈ / A)) 342 358

Premisa. Definici´on de ⊆ en 1. Premisa. Definici´on de ⊂ en 3. Distributiva de ∨ con respecto a ∧ .


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El razonamiento matem´atico En el caso 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

B⊆C (∀x ∈ X)(x ∈ B → x ∈ C) (∃z ∈ B)(z ∈ C ∧ z ∈ / B) y ∈C ∧y ∈ /B y∈C y∈ /B y∈A→y∈B y∈ /B→y∈ /A

15. y ∈ /A 16. y ∈ C ∧ y ∈ /A 17. (∃z ∈ X)(z ∈ C ∧ z ∈ / A) 18. y ∈ B → y ∈ C 19. y ∈ A → y ∈ C 20. (∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ C) 21. A ⊆ C 22. (A ⊆ C) ∧ (∃z ∈ X)(z ∈ C ∧ z ∈ / A) 23. A ⊂ C

Ley de simplificaci´on en 6. Definici´on de ⊆ en 7. Ley de simplificaci´on en 6. Regla EP en 9 con y libre. Ley de simplificaci´on en 10. Ley de simplificaci´on en 10. Regla EG en 2 con y libre. Ley de contrarrec´ıproca en 13 y libre MPP (12, 14) con y libre. Ley de adjunci´on (11, 15) con y libre. Regla IP en 16. Regla EG en 8 con y libre. Ley de transitividad de → entre 13 y 18 con y libre. Regla IG en 19. Definici´on de ⊆ en 20. Ley de adjunci´on entre 17 y 21. Definici´on de ⊂ en 22.

El caso 6’ es similar y conduce a la misma conclusi´on A ⊂ C. Por la ley de los casos conseguimos la conclusi´on deseada. Notemos lo exageradamente tedioso que resulta probar un hecho relativamente b´asico de una teor´ıa b´asica, si quisi´eramos hacer una prueba as´ı de detallada en c´alculo diferencial o en geometr´ıa anal´ıtica requerir´ıamos bastantes p´aginas sin ganar mucho en la contundencia del argumento. Esto obliga a omitir algunas explicaciones en las llamadas pruebas informales. Habitualmente la prueba de que dos conjuntos A y B son iguales se hace en dos etapas, se prueba que A ⊆ B y que B ⊆ A. Para ello se toma un 343 359


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos elemento fijo pero arbitrario de A y se demuestra que est´a en B y luego se toma un elemento fijo pero arbitrario de B y se muestra que est´a en A. Pero nuestra caracterizaci´on de todos los conectivos con sus propiedades permite abreviar algunas pruebas, usando las propiedades de los conectivos correspondientes. Por ejemplo, Teorema 9.3. (A − B) − C = (A − C) − (B − C). Prueba: (A − B) − C = {x ∈ X : (x ∈ A − • x ∈ B) − • x ∈ C} = {x ∈ X : (x ∈ A − • x ∈ C) − • (x ∈ B − • x ∈ C)} = (A − C) − (B − C)

Por definici´on de −. Por autodistributiva a derecha de −•. Por definici´on de −.

La prueba usando la definici´on alternativa en t´erminos de conjunci´on y negaci´on requiere alrededor de 40 pasos. Teorema 9.4. (A ∪ B) = A ∩ B . Prueba: veamos una prueba informal. Sea x ∈ (A ∪ B) fijo pero arbitrario x ∈ (A ∪ B) ↔ x ∈ X − (A ∪ B) Definici´on de complemento. ↔ x∈X ∧x ∈ / (A ∪ B) Definici´on de −. ↔ x ∈ X ∧ (x ∈ / A∧x∈ / B) Ley de De Morgan para la disyunci´on. ↔ (x ∈ X ∧ x ∈ / A) Tautolog´ıa [p ∧ (q ∧ r)] ↔ ∧ (x ∈ X ∧ x ∈ / B) (p ∧ q) ∧ (p ∧ r).   Definici´on de complemento. ↔ x∈A ∧x ∈B   ↔ x∈A ∩B Definici´on de ∩.

Ejercicios 1. Demuestre: Teorema 9.5. ((A ⊆ B) ∧ (A  C)) → (B  C). 344 360


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El razonamiento matem´atico Teorema 9.6. (A ⊆ ∅) ↔ (A = ∅). Teorema 9.7. A ∪ ∅ = A.

Teorema 9.8. A ∪ A = A.

Teorema 9.9. A ∩ A = A.

Teorema 9.10. A ∩ ∅ = ∅.

Teorema 9.11. A ⊆ A ∪ B.

Teorema 9.12. A ∩ B ⊆ A.

Teorema 9.13. A ∩ B ⊆ A ∪ B.

Teorema 9.14. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Teorema 9.15. A − B ⊆ A. Teorema 9.16. A − A = ∅.

Teorema 9.17. A − (A − ∅) = ∅.

Teorema 9.18. (A ⊆ B) → B − (B − A) = A.

Teorema 9.19. (A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D)) → B − (B − A) = A.

Teorema 9.20. (A ⊆ B) → ((A ∪ B) = B ∧ (A ∩ B) = A).

Teorema 9.21. ((A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D)) → ((A ∪ C) ⊆ (B ∪ D)).

Teorema 9.22. ((A ⊆ B) → (A ∩ C) ⊆ (B ∩ C).

Teorema 9.23. ((A ⊆ C) ∧ (B ⊆ C)) → ((A ∪ C) ⊆ B). Teorema 9.24. ∅ − A = ∅.

Teorema 9.25. A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C). Teorema 9.26. ((A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C)) → (A ⊆ C).

2. Refute: a. (A ⊆ B ∧ B  C) → (A  C).

b. (A �= B ∧ B �= C) → (A �= C).

Las teor´ıas matem´aticas que presentamos enseguida usan la l´ogica de predicados y la teor´ıa de conjuntos como base para su formulaci´on, est´an inmersas en estas u ´ltimas y, por tanto, usan todas las tautolog´ıas y los teoremas de ambas, sin mencionarlo expl´ıcitamente; esto explica de alguna manera las 345 361


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos dificultades que tienen los estudiantes que en un primer semestre toman un curso de c´alculo diferencial o de ´algebra lineal. Queremos mostrar algunos ejemplos de demostraciones en cada teor´ıa para subrayar que los argumentos utilizados en cada una de ellas son los mismos y estos son los que ya hemos estudiado. Pero hay un ejemplo notable: las teor´ıas de los n´ umeros naturales, ellas tienen un m´etodo adicional de demostraci´on: inducci´on matem´atica.

9.3.

Teor´ıas de n´ umeros

Llamamos teor´ıas de n´ umeros a las teor´ıas que estudian los n´ umeros naturales, enteros, racionales, reales complejos, cuaterniones, octoniones, sedeniones, etc. Algunas de ellas pueden estudiarse como construcciones dentro de otras (Luque et al., 2005, pp. 53-281), por ejemplo, tomando como teor´ıa b´asica la de los n´ umeros naturales, o axiomatizar primero los n´ umeros reales y dentro de ellos construir los dem´as (Apostol, 1988, pp. 21-58).

9.3.1.

Teor´ıa de los n´ umeros naturales: Peano

Esta teor´ıa est´a inscrita dentro de la teor´ıa de conjuntos y asume como conceptos primitivos90: Un conjunto N de n´ umeros naturales y una relaci´on binaria: sucesor, en N. Axiomas: A1. 0 es un n´ umero natural. A2. Para cada x existe exactamente un n´ umero natural, llamado el sucesor de x, que notaremos x+ . A3. Para todo x se tiene que x+ = 0. A4. Si x+ = y + entonces x = y. A5. Si un subconjunto A de los n´ umeros naturales tiene las siguientes propiedades: i. 0 pertenece a A. 90

En la teor´ıa de conjuntos estos conceptos se presentan como definiciones.

346 362


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El razonamiento matem´atico ii. Si x pertenece a A entonces x+ pertenece a A. podemos concluir que A = N. Definiciones: Para todo x y todo y n´ umeros naturales: D1. La suma de x y y notada x + y se define por recursi´on: a. x + 0 = x b. x + y + = (x + y)+ D2. La multiplicaci´on de x y y notada xy se define por recursi´on: a. x0 = 0 b. xy + = (xy) + x D3. Orden: Si existe v en N tal que y = x + v con v �= 0, entonces y > x. Para probar que un predicado p(n) es v´alido para todos los n´ umeros naturales, primero verificamos que p(n) es verdadero para el n´ umero 0; luego suponemos que es verdadera para un n´ umero k, fijo pero arbitrario, y demostramos que p(n) es verdadera para el sucesor de n. Como trataremos la demostraci´on por inducci´on en otra secci´on de este cap´ıtulo, referimos las demostraciones de las propiedades fundamentales de los n´ umeros naturales: asociativa, conmutativa, cancelativa y existencia de elementos id´enticos de la suma y el producto y distributiva del producto ´ con respecto a la suma a Luque, Jim´enez y Angel (2009a, pp. 192-204). Y asumiremos aqu´ı estas propiedades como teoremas. Pero no todos los teoremas en la teor´ıa de los n´ umeros naturales se demuestran por inducci´on, por ejemplo Teorema 9.27. (∀a, b, c ∈ N)(a > b → ac > bc). 347 363


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Prueba informal: sean a, b, c ∈ N fijos pero arbitrarios 1. 2. 3. 4.

a>b a>b→a =b+d a=b+d a = b + d → ac = (b + d)c

5. 6. 7. 8.

a = b + d → ac = bc + dc ac = bc + dc ac = bc + dc → ac > bc ac > bc

Premisa. D3. MPP (1, 2). Multiplicando ambos lados de la igualdad por c. La multiplicaci´on de n´ umeros naturales es una operaci´on. Propiedad distributiva ∗ respecto a +. MPP (3, 5). D3. MPP (6, 7) regla TI.

Teorema 9.28. Si un n´ umero n es par, entonces n2 tambi´en es par. Prueba informal: 1. 2. 3. 4. 5.

n es un n´ umero par (∃k ∈ N)(n = 2k) n2 = (2k)(2k) n2 = 2(k(2k)) n2 es par

9.3.2.

Premisa. Definici´on de n´ umero par. Definici´on de n2. Ley asociativa de la multiplicaci´on en N. Definici´on de n´ umero par.

Teor´ıas de los n´ umeros reales

Tambi´en hay varias teor´ıas axiom´aticas de los n´ umeros reales (Luque et al., 2009b, pp. 27-48) mostraremos aqu´ı la presentada en Apostol (1988, pp. 21-58) donde divide los axiomas en tres grupos: los axiomas de campo que muestran las propiedades algebraicas b´asicas determinadas por las operaciones de suma y multiplicaci´on; los axiomas de orden que establecen los criterios para comparar n´ umeros, identificando cu´ando un n´ umero es mayor, menor o igual que otro, y un axioma de completitud que nos permite introducir los n´ umeros irracionales y estudiar las propiedades de continuidad de los n´ umeros reales. Como nuestro inter´es solo radica en ejemplificar modos de argumentaci´on basta limitarnos a los axiomas de campo. De paso toda afirmaci´on que se demuestre en esta teor´ıa es v´alida en cualquier otro campo, como los n´ umeros complejos o los campos Zp con p primo.

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El razonamiento matem´atico

umero real, suma y multiplicaci´on. T´erminos primitivos: n´ Tambi´en esta teor´ıa est´a incluida en la teor´ıa de conjuntos y usa como reglas de inferencia todas las reglas del c´alculo de predicados. Axiomas de campo: en el conjunto de los n´ umeros reales esta´n definidas dos operaciones la adici´on (+) y la multiplicaci´on, ellas satisfacen los siguientes axiomas: La pareja (R, +) es un grupo abeliano, esto significa que C1. Si a, b son n´ umeros reales, entonces a + b es un n´ umero real. C2. Propiedad asociativa de la suma: Si a, b, c son n´ umeros reales, entonces a + (b + c) = (a + b) + c. C3. Existe un elemento id´entico para la suma en el conjunto de los n´ umeros reales, que notamos 0 y es tal que para cualquier n´ umero real a se cumple que: a + 0 = 0 + a = a. C4. Para todo n´ umero real a existe un elemento que llamamos inverso aditivo de a, y notamos −a, tal que: a + (−a) = (−a) + a = 0. C5. Propiedad conmutativa de la suma: Si a, b son n´ umeros reales, entonces a + b = b + a. La operaci´on que llamamos multiplicaci´on y que notamos con el signo ×, es tal que la pareja (R − {0}, ×) es un grupo abeliano, esto significa que: C6. Si a, b son n´ umeros reales, entonces a × b es un n´ umero real. C7. Propiedad asociativa de la multiplicaci´on: Si a, b, c son n´ umeros reales, entonces a × (b × c) = (a × b) × c.

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos C8. Existe un elemento id´entico para la multiplicaci´on el conjunto de los n´ umeros reales, que notamos 1, tal que para cualquier n´ umero real a se cumple que: a × 1 = 1 × a = a. C9. Para todo n´ umero real a diferente de cero (a �= 0) existe un n´ umero real que llamamos el inverso multiplicativo de a y notamos a−1 o 1a , de tal manera que a × a−1 = a−1 × a = 1. C10. Propiedad conmutativa de la multiplicaci´on: Si a, b son n´ umeros reales, entonces a × b = b × a. C11. Propiedad distributiva de la multiplicaci´on con respecto a la suma de n´ umeros reales: si a, b, c son n´ umeros reales, entonces: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Una consecuencia de que la suma y la multiplicaci´on de n´ umeros reales sean operaciones es que la igualdad entre n´ umeros reales es compatible con las operaciones en el sentido de que: para todo a, b, c, d n´ umeros reales, si a = b y c = d entonces a + c = b + d y a × c = b × d. Definiciones: D1. Si a, b son n´ umeros reales, definimos la sustracci´ on entre a y b por: a − b = a + (−b) y la divisi´on entre a y b, siempre que b no sea 0, por: a 1 =a× . b b Una prueba informal de los teoremas 9.29 y 9.30 nos sirve para mostrar que los razonamientos son los mismos que hemos usado anteriormente. Teorema 9.29. (∀a ∈ R)(a × 0 = 0). 350 366


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico Prueba informal: sea a un n´ umero real fijo pero arbitrario. 1. a × 0 = a × (0 + 0) 2. a × 0 = a × 0 + a × 0 3. a × 0 + (−a × 0) = (a × 0 + a × 0) + (−a × 0) 4. 0 = a × 0 + (a × 0 + (−a × 0)) 5. 0 = a × 0 + 0 6. 0 = a × 0

C3. C11. Compatibilidad de = con + y C4. C4 y C2. C4. C3.

Teorema 9.30. (∀a, b ∈ R)(a × b = 0 → (a = 0 ∨ b = 0)). Prueba informal: sean a y b n´ umeros reales fijos pero arbitrarios. Para hacer la prueba por reducci´on al absurdo, supongamos 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

¬(a = 0 ∨ b = 0) a �= 0 ∧ b �= 0 a×b = 0 (∀a ∈ R)(∃a−1 ∈ R) (a × a−1 = a−1 × a = 1) a−1 × (a × b) = a−1 × 0 a−1 × 0 = 0 a−1 × (a × b) = 0 (a−1 × a) × b = 0 1 × b = 0. b=0 b �= 0 b = 0 ∧ b �= 0 (¬(a = 0 ∨ b = 0)) � (b = 0 ∧ b �= 0) ¬(¬(a = 0 ∨ b = 0)) (a = 0 ∨ b = 0) 351 367

Hip´otesis Ley de De Morgan para ∨ en 1. Premisa. Axioma C9. Compatibilidad de = con × Teorema 9.29. Sustituci´on de 6 en 5. Axioma C7. Sustituci´on de 4 en 8. Axioma C8. Ley de simplificaci´on en 2. Ley de adjunci´on entre 10 y 11. Teorema de la deducci´on. Ley de reducci´on al absurdo. Ley de doble negaci´on.


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos

9.4.

Teor´ıas algebraicas

En ´algebra se estudian conjuntos donde hay definidas operaciones y las propiedades de estas, por ejemplo el estudio de conjuntos donde est´a definida una operaci´on que sea asociativa (teor´ıa de semigrupos (Howie, 2003)), de semigrupos con identidad (teor´ıa de monoides), de conjuntos con una operaci´on que cumpla la propiedad de Hilbert91 (teor´ıa de cuasigrupos (Smith, 2007)) y cuasigrupos con identidad (teor´ıa de loops (Kiechle, 2002)), pero la m´as conocida teor´ıa de conjuntos con una sola operaci´on es la teor´ıa de grupos (Humphreys, 2001). Daremos un ejemplo de demostraci´on en esta u ´ltima, porque en esencia es la misma que en todas las dem´as.

9.4.1.

Teor´ıa de grupos

Un grupo (G, ∗) est´a formado por un conjunto no vac´ıo G y una operaci´on ∗, o sea, una funci´on ∗ : G × G → G, que asigna a cada par de elementos a, b, de G, un elemento c de G que escribimos a∗b = c y satisface los siguientes axiomas: G1. Asociatividad: para todo a, b, c en G (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). G2. Existencia de elemento neutro o id´entico: existe en G, un elemento e (llamado elemento id´entico), que al operar con cualquier otro elemento a de G da como resultado el mismo a. a ∗ e = e ∗ a = a. G3. Existencia de inversos: para cada elemento a de G, existe un elemento inverso de a escrito a−1 llamado el opuesto o inverso de a, que al operarlo con a da como resultado el elemento id´entico. a−1 ∗ a = a ∗ a−1 = e. Si adem´as la operaci´on es conmutativa el grupo es abeliano. 91 Para todo a y b en el conjunto, existen x y y en el conjunto, tales que las ecuaciones a ∗ x = b y y ∗ a = b tienen soluci´ on u ´nica.

352 368


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico Definici´on: Si (G, ∗) y (H, ◦) son grupos, entonces una funci´on f : G → H es un homomorfismo si y solo si, para todo x, y de G: f(x ∗ y) = f(x) ◦ f(y).

Veamos algunos teoremas:

Teorema 9.31. El elemento id´entico e es u ´nico. Teorema 9.32. Para cada elemento a de G, el elemento a−1 es u ´nico. Teorema 9.33. (∀x, y ∈ G)(x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1 . Prueba informal: sean x, y ∈ G fijos pero arbitrarios 1. 2. 3. 4. 5.

(x ∗ y) ∗ (y −1 ∗ x−1 ) = x ∗ (y ∗ y −1 ) ∗ x−1 (x ∗ y) ∗ (y −1 ∗ x−1 ) = x ∗ (e) ∗ x−1 (x ∗ y) ∗ (y −1 ∗ x−1 ) = x ∗ x−1 (x ∗ y) ∗ (y −1 ∗ x−1 ) = e (x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1

Por Por Por Por Por

G1. G3. G2. G3. teorema 9.32.

Teorema 9.34. Sea (G, ∗) un grupo abeliano y f : G → G una funci´on definida por f(x) = x−1, entonces f es un homomorfismo. Prueba informal: debemos probar que (∀x, y ∈ G)(f(x ∗ y) = f(x) ∗ f(y)). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Sean x, y ∈ G x, y libres x∗y ∈G (∀x, y ∈ G)(f(x ∗ y) = (x ∗ y)−1 ) (∀x, y ∈ G)((x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1 ) (∀x, y ∈ G)(f(x ∗ y) = y −1 ∗ x−1 ) (∀x, y ∈ G)(f(x ∗ y) = x−1 ∗ y −1 ) (∀x ∈ G)(f(x) = x−1 ) (∀y ∈ G)(f(y) = y −1 ) (∀x, y ∈ G)(f(x ∗ y) = f(x) ∗ f(y))

10. f es un homomorfismo de G en G 353 369

Regla EG. * es una operaci´on. Definici´on de f . Teorema 9.33. Regla de sustituci´on de 4 en 3. Conmutativa de ∗. Definici´on de f . Definici´on de f . Regla de sustituci´on de 7 y 8 en 6. Definici´on de homomorfismo.


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Por supuesto en los textos no aparece as´ı, generalmente se hace una prueba m´as informal. Cuando estudiamos conjuntos con dos o m´as operaciones, aparecen estructuras como los anillos (grupos abelianos donde est´a definida una segunda operaci´on asociativa que distribuye con respecto a la primera), campos (grupos abelianos donde est´a definida una segunda operaci´on que, si no contamos al elemento id´entico de la primera operaci´on, tambi´en es grupo abeliano y distribuye con respecto a la primera), ret´ıculos como los del cap´ıtulo anterior, etc. En estas teor´ıas las demostraciones fluyen igual que en las teor´ıas con una sola operaci´on salvo que aparecen relaciones entre las dos operaciones como la distributividad o las propiedades de absorci´on mencionadas en el cap´ıtulo anterior. Si consideramos tres o m´as operaciones, generalmente hay una de ellas que no es una operaci´on binaria interna, en estas estructuras se pretende ensamblar dos o m´as estructuras sobre uno o dos conjuntos; por ejemplo, si ensamblamos un grupo abeliano con un campo nos resultan los espacios vectoriales, pero si cambiamos el campo por un anillo la estructura resultante es un m´odulo, y si ensamblamos un espacio vectorial con un semigrupo obtenemos un ´algebra asociativa, y si la cuarta operaci´on (en el espacio vectorial ya hay tres) no es asociativa pero cumple la identidad de Jacobi (a ∗ b) ∗ c + (b ∗ c) ∗ a + (c ∗ b) ∗ a = 0 es un ´algebra de Lie, etc. Queremos insistir en que las demostraciones en ´algebra son esencialmente del mismo tipo de razonamientos que hacemos en general en matem´aticas, las diferencias est´an en los niveles de abstracci´on de los objetos que manejamos.

9.5.

Teor´ıas geom´ etricas

Es m´as conocido que existen varias geometr´ıas y varias versiones axiom´aticas para cada una de ellas, presentaremos dos versiones de la geometr´ıa euclidiana y un teorema en cada una de ellas. De nuevo las formas de razonar no cambian. 354 370


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico

9.5.1.

Geometr´ıa de Hilbert

En 1899, David Hilbert (1953) present´o un conjunto de 21 axiomas en cuatro grupos que fundamentaron la geometr´ıa. Existe la creencia de que estudiar la axiom´atica de Hilbert es m´as dif´ıcil que estudiar otras axiom´aticas, pero los recursos l´ogicos necesarios son los mismos en cualquiera de ellas. T´erminos primitivos: punto, l´ınea recta, plano, una relaci´on ternaria de interestancia u ordenaci´on entre puntos, tres relaciones binarias de pertenencia entre puntos y rectas, entre puntos y planos y entre rectas y planos; dos relaciones binarias de congruencia, una entre segmentos y otra entre ´angulos. Axiomas: i. Axiomas de enlace o incidencia 1. Dados los puntos A y B existe siempre una recta a que con cada uno de los dos puntos se corresponden mutuamente; es decir que dados los puntos A y B existe una recta a que pasa por A y por B. 2. Dados dos puntos A y B no existe m´as que una recta, la cual con cada uno de los puntos A y B se corresponden mutuamente. 3. Sobre una recta existen al menos dos puntos. Existen al menos tres puntos no situados sobre una recta. 4. Dados tres puntos A, B y C no situados en una misma recta, existe siempre un plano α que se corresponde mutuamente con los tres puntos. En cada plano existe siempre un punto correspondi´endose mutuamente con ´el. 5. Dados tres puntos A, B y C no situados en una misma recta, no existe m´as que un plano que se corresponde mutuamente con los tres puntos A, B y C. 6. Si dos puntos A, B de una recta a est´an situados en un plano α, cada punto de la recta a pertenece al plano α. 7. Si dos planos α, β tienen un punto A en com´ un, entonces tambi´en tienen al menos otro punto B en com´ un. 8. Existen al menos 4 puntos no situados en un plano. ii. Axiomas de orden o interestancia 355 371


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 1. Cuando un punto B est´a situado entre un punto A y un punto C, entonces A, B y C son tres puntos distintos de una recta y B est´a situado entre C y A. 2. Dados dos puntos A y C, existe siempre al menos un punto B sobre la recta AC de tal modo que C est´a situado entre A y B. 3. De tres puntos cualesquiera de una recta, no existe m´as que uno situado entre los otros dos. Definici´ on 1. Dada una pareja de puntos A y B, los puntos del segmento AB son todos aquellos que est´an entre A y B. Estos dos son los extremos del segmento. 4. Axioma de Pasch92: sean A, B y C tres puntos no situados en la misma recta y sea a una recta contenida en el plano ABC, que no contiene a ninguno de los tres puntos mencionados. Entonces si a pasa por alg´ un punto del segmento AB, entonces pasa tambi´en por alg´ un punto o bien del segmento BC o bien del segmento AC. Con estos axiomas basta para probar algunos teoremas, el modelo de razonamiento en los dem´as utiliza los mismos principios. Teorema 9.35. Dos rectas diferentes en un plano tienen a lo sumo un punto com´ un. Prueba informal: sean a y b dos rectas diferentes. Consideramos dos casos: Caso 1: si las rectas a y b no tienen puntos en com´ un, el teorema se cumple. Caso 2: si las rectas a y b tienen puntos en com´ un. Supongamos 1. a y b son rectas diferentes 2. Las rectas a y b tienen m´as de un punto en com´ un 3. Si a y b tienen dos puntos A y B en com´ un 4. Por A y B pasa una u ´nica recta 5. a y b son rectas iguales 92

Hip´otesis. Hip´otesis. Hip´otesis. Axioma 2 de incidencia. Axioma 2 de incidencia.

En 1902, R. L. Moore demostr´ o que este axioma no es independiente de los dem´as.

356 372


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico 6. (a y b son rectas iguales) ∧ Ley de adjunci´on 1 y 6. (a y b son rectas diferentes) 7. Las rectas a y b tienen un punto en com´ un Ley del absurdo (2 a 6).

9.5.2.

Axiom´ atica de Weyl

T´erminos primitivos93: punto y vector. Axiomas: i. Axiomas de adici´on de vectores En el conjunto de vectores V est´a definida una operaci´on que se llama adici´on, +:V ×V →V que satisface para todo a, b y c vectores en V :

1. La adici´on de vectores es conmutativa: a + b = b + a. 2. La adici´on de vectores es asociativa: (a + b) + c = a + (b + c). 3. Existencia de un vector cero: existe un vector 0 tal que a + 0 = a para todo vector a en V . 4. Existencia de un inverso aditivo: para cada vector a existe un vector (−a) tal que a + (−a) = 0. ii. Axiomas de multiplicaci´on de un vector por un n´ umero Para un conjunto dado R con dos operaciones que sea un campo algebraico (usualmente se eligen los n´ umeros reales o los complejos) cuyos elementos se llaman n´ umeros, est´a definida una operaci´on (externa) () : R × V → V que satisface: Esta versi´ on de la geometr´ıa es conocida como geometr´ıa vectorial, sin embargo la mayor´ıa de libros de texto que la tratan no justifican, a nuestro parecer, las construcciones suficientemente. Por ello presentamos una traducci´on libre de la que aparece en Yaglom (1979, pp. 242-247). 93

357 373


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 1. Para cada vector a en V se tiene que (1)a = a, donde 1 es el elemento id´entico de la multiplicaci´on en el campo. 2. La multiplicaci´on de un vector por un n´ umero es asociativa: α(βa) = (αβ)a, para cada vector a en V y n´ umeros α, β en R. 3. La multiplicaci´on de un vector por un n´ umero es distributiva con respecto a la adici´on de n´ umeros: (α + β)a = αa + βa, para todos los n´ umeros α, β en R y para cada vector a en V . 4. La multiplicaci´on de un vector por un n´ umero es distributiva con respecto a la adici´on de vectores: α(a + b) = αa + αb, para cada n´ umero α en R y todos los vectores a y b en V . Definici´on: Para dos vectores a y b la sustracci´ on b − a es el un u ´nico vector x tal que x + a = b. Teorema 9.36. El vector 0 es u ´nico. Teorema 9.37. Para todo α en R, α · 0 = 0. Teorema 9.38. Para todo a en V , 0 · a = 0. Teorema 9.39. El vector −a es u ´nico. Teorema 9.40. Para todo a en V y α en R, (−α)a = −(αa). Prueba: (−α)a + αa = (−α + α)a = 0·a =0 (−α)a = −(αa)

Por el axioma 3. Por el axioma de existencia de inversos aditivos en el campo R. Teorema 9.38. Teorema 9.39. 358 374


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico Como vemos, las pruebas aqu´ı hasta el momento son estrictamente algebraicas. La geometr´ıa plana (o geometr´ıa de dos dimensiones) est´a determinada por los siguientes axiomas : iii. Axiomas de dimensi´on 1. Para cada tres vectores a, b, c en V , existen tres n´ umeros α, β, ρ en R, no todos cero, tales que αa + βb + ρc = 0. 2. Existen dos vectores a y b en V tales que αa + βb = 0 si y solo si α = 0 y β = 0. La formulaci´on usual de los axiomas de dimensi´on envuelve el concepto de dependencia lineal de vectores. Se dice que los vectores a1, a2 , . . . , ak son linealmente dependientes si existen los n´ umeros α1 , α2, . . . , αk , no todos cero, tales que α1 a1 + α2a2 + · · · + αk ak = 0. Si este no es el caso, entonces se dice que los vectores a1 , a2, . . . , ak son linealmente independientes. Se puede enunciar nuevamente los axiomas de dimensi´on 1 y 2 como sigue: 1. Cualesquiera tres vectores son linealmente dependientes. 2. Existen dos vectores linealmente independientes. Los axiomas de dimensi´on permiten introducir el concepto de coordenadas de un vector. El conjunto de vectores linealmente independientes que genera el espacio, se llama una base. Sea {e, f} una base, entonces se puede mostrar que para cada vector a (que puede coincidir con e o f) existe un u ´nico par de n´ umeros x, y en R tales que a = xe + yf

(9.1)

Los n´ umeros x, y son llamados las coordenadas de a relativas a la base {e, f}. 359 375


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Las demostraciones son esencialmente las mismas que se hacen en el ´algebra lineal. La f´ormula (9.1) y las propiedades de adici´on de vectores y multiplicaci´on de un vector por un n´ umero (dadas por axiomas I y II) implican que si los vectores a, b tienen coordenadas (x, y) y (x1 , y1), entonces los vectores a + b y αa (donde α es cualquier n´ umero) tienen coordenadas (x + x1 , y + y1) y (αx, αy) respectivamente. Para convertir el espacio vectorial bidimensional gobernado por los grupos de axiomas I, II y III (el vector plano) en un espacio de vectorial euclidiano, se debe agregar una operaci´on binaria llamada producto escalar de vectores, que asocia a un par de vectores a, b un n´ umero σ llamado el producto escalar de a y b y denotado por a • b. El producto escalar es gobernado por los siguientes axiomas: iv. Axiomas del producto escalar de vectores 1. El producto escalar de vectores es conmutativo: a • b = b • a para cualesquiera dos vectores a y b en V . 2. El producto escalar de vectores es asociativo relativo a la operaci´on de la multiplicaci´on de un vector por un n´ umero: (αa) • b = α(a • b) para arbitrarios a, b en V y α en R. 3. El producto escalar de vectores es distributivo con respecto a la adici´on de vectores: (a + b) • c = a • c + b • c para arbitrarios a, b, c en V . 4. El producto escalar es semi-definido positivo : a•a ≥ 0 para cualquier a en V . El n´ umero a • a es llamado el cuadrado de a y se denota por a2.

5. a2 = 0 si y solo si a = 0.

Los axiomas 4 y 5 afirman que el producto escalar es definido positivo. Teorema 9.41. 0 • a = 0 para cada a en V . Prueba: (c + 0) • a = c • a + 0 • a c•a= c•a+0•a 0=0•a

Axioma 3 del grupo IV. 0 es elemento id´entico para +. Ley cancelativa de +. 360 376


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico Los axiomas del grupo IV implican la existencia de bases ortogonales, es decir, bases {i, j} tal que i2 = j 2 = 1

y

i • j = 0.

(9.2)

Si a, b son dos vectores con coordenadas (x, y) y (x1 , y1) respectivamente relativas a una base ortonormal {i, j}, entonces a • b = xx1 + yy1.

(9.3)

La igualdad (9.3) implica que a 2 = x2 + y 2   esto sugiere definir la norma a y longitud |a| del vector a por    a = x2 + y 2 , |a| = x2 + y 2

(9.4)

(9.5)

Finalmente, el concepto no definido de punto est´a ligado al concepto de vector por una relaci´on que asocia a cada par ordenado de puntos A, B un vector a denotado por AB, donde A es llamado el comienzo y B el fin de AB. Esta relaci´on no definida punto-vector est´a sujeta a los siguientes dos axiomas. v. Axiomas de la relaci´on punto-vector 1. Para cada punto A hay un u ´nico punto B tal que AB = a. 2. Para cualesquiera tres puntos A, B, C tenemos AB + BC = AC. La recta AB (A �= B) la definimos como el conjunto de puntos M tal que AM y AB sean linealmente dependientes (es decir, AM = λAB para alg´ un λ). El vector AB es llamado el vector direcci´on de la recta y determina esta de manera u ´nica. Si se pone AB = t, entonces la recta AB puede describirse como el conjunto de puntos M tales que AM = λt, o, si O es cualquier punto del plano como el conjunto de puntos M tales que OM = OA + λt. Sea {e, f} una base y sea O un punto del plano. Cuando nos referimos a las coordenadas de un punto M del plano nos referimos a las coordenadas 361 377


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos del vector OM relativo a la base {e, f}. El punto O es llamado el origen. Si se denota las coordenadas de A por (p, q) y las coordenadas de t por (−b, a), entonces las coordenadas (x, y) de un punto M en la recta l que pasa por A y teniendo el vector direcci´on t que satisface las relaciones: x = p − λb,

y = q + λa,

o, ax + by = ap + bq, o brevemente, ax + by + c = 0.

(9.6)

esta es la ecuaci´on de una recta con vector direcci´on t = (−b, a) que pasa por el punto A(p, q). La constante c en (9.6) tiene el valor c = −ap − bq. La distancia entre dos puntos A y B est´a definida como la longitud del vector AB. Por el axioma 2 del grupo V, se tiene que AB = OB − OA, o sea que las coordenadas de AB son iguales a la diferencia de las coordenadas de los puntos B y A. Se sigue que si {i, j} es una base ortogonal, entonces por (9.5) la distancia dAA1 entre los puntos A(x, y) y A1(x1, y1 ) est´a dada por  dAA1 = (x1 − x)2 + (y1 − y)2.

Decimos que las rectas l y l1 con vectores direcci´on t y t1 son paralelas si los vectores t y t1 son linealmente dependientes (es decir, proporcional, t1 = λt para alg´ un λ) y perpendiculares si t y t1 son ortogonales, es decir, t • t1 = 0. Finalmente, definimos el ´angulo δ11 entre las rectas l y l1 por la f´ormula: cos δ11 =

tt1 |t||t1|

(9.7)

Se puede probar94 que el valor absoluto del n´ umero en el lado derecho de (9.7) no excede a 1, para que la f´ormula (9.7) determine un a´ngulo δ.

9.6.

Topolog´ıa

Sea X un conjunto y ℘(X) su conjunto de partes, una topolog´ıa sobre X es una colecci´on τ de subconjuntos de X que satisfacen: 94

Esta desigualdad es conocida como de Cauchy-Schwartz.

362 378


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico i. ∅ y X pertenecen a τ . ii. La intersecci´on de dos elementos de τ tambi´en es un elemento de τ . iii. La reuni´on de una colecci´on de elementos de τ tambi´en es un elemento de τ . (X, τ ) es un espacio topol´ ogico. Los elementos de τ se llaman conjuntos abiertos. Definici´on 1: un subconjunto F de un espacio topol´ogico (X, τ ) es cerrado si su complemento F c es abierto. Definici´on 2: dado un subconjunto A de un espacio topol´ogico (X, τ ), un punto p ∈ A es un punto interior de A si existe un abierto G tal que p ∈ G y G ⊆ A. Al conjunto de los puntos interiores de A lo notamos A◦ . Definici´on 3: sea (X, τ ) es un espacio topol´ogico. Un punto p ∈ X es un punto de acumulaci´on o punto l´ımite de un subconjunto A de X si y solo si todo conjunto abierto G que tiene a p tiene puntos de A diferentes de p; es decir, ((p ∈ G) ∧ (G ∈ τ )) → (G − {p} ∩ A �= ∅). Al conjunto de los puntos de acumulaci´on de A le llamamos el conjunto derivado 95 de A y lo notamos A�. Teorema 9.42. Un subconjunto A de un espacio topol´ogico es abierto si y s´olo si A ⊆ A◦ . Teorema 9.43. Un subconjunto A de un espacio topol´ogico es cerrado si y solo si tiene todos sus puntos de acumulaci´on; es decir si A� ⊆ A. Prueba informal: debemos probar dos implicaciones: i. A es cerrado entonces A� ⊆ A. En esta secci´ on notamos F c al complemento de A para evitar confundirlo con el conjunto derivado de A. 95

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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Sea p ∈ Ac fijo pero arbitrario 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 9. 10.

p ∈ Ac p∈ /A c A es abierto (p ∈ Ac ) ∧ (Ac es abierto) A ∩ Ac = ∅ (p ∈ Ac ) ∧ (A ∩ Ac = ∅) p∈ / A p∈ /A→p∈ / A p ∈ A → p ∈ A (∀p ∈ X)(p ∈ A → p ∈ A) A ⊆ A

Por hip´otesis. Definici´on de Ac . Por definici´on de conjunto cerrado. Ley de adjunci´on (1 y 3). Definici´on de Ac . Ley de adjunci´on (1 y 6). Definici´on de A . Teorema de la deducci´on (2 a 7). Ley contrarrec´ıproca de 8. Regla IG. Definici´on de ⊆.

ii. A ⊆ A entonces A es cerrado, demostraremos que Ac es abierto. Sea p ∈ Ac fijo pero arbitrario 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

A ⊆ A (∀p ∈ X)(p ∈ A → p ∈ A) p ∈ A → p ∈ A p∈ /A→p∈ / A / A p ∈ Ac → p ∈

Hip´otesis. Definici´on de ⊆ en 1. Regla EG. Ley contrarrec´ıproca de 3. Sustituci´on de la hip´otesis en 4. c Por hip´otesis. p∈A  MPP (5, 6). p∈ /A (∃G ∈ τ )((p ∈ G) ∧ (G − {p} ∩ A = ∅)) Definici´on de A. p∈ /A Definici´on de Ac en 6. G ∩ A = (G − {p}) ∩ A = ∅) Definici´on de ∩, 9 y 8. c Definici´on de ⊆ en 10. G⊆A c p es un punto interior de Ac . (p ∈ G) ∧ (G ∈ τ ) ∧ (G ⊆ A ) Ac ∈ τ Teorema 9.42. 364 380


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico

9.7.

El me´todo de demostraci´ on por inducci´on matema ´tica

Consiste en un m´etodo de demostraci´on de teoremas aritm´eticos o, m´as precisamente, de teoremas referentes a las propiedades generales de los n´ umeros naturales, y para la aritm´etica de los n´ umeros naturales este m´etodo es el instrumento universal (y a veces u ´nico) de demostraci´on; pero estos n´ umeros aparecen en muchos contextos matem´aticos, es decir, en diferentes teor´ıas, habitualmente donde se reiteran procesos o aparecen definiciones por recurrencia. Es un m´etodo de demostraci´on de teoremas aritm´eticos por su forma, pero l´ogicos, geom´etricos, anal´ıticos, algebraicos o de cualquier otra ´ındole por su contenido. En l´ogica hay una versi´on de recursi´on donde operamos con f´ormulas proposicionales que se construyen a partir de f´ormulas at´omicas usando conectivos l´ogicos; las propiedades generales de las f´ormulas se demuestran en dos pasos, primero se prueba que la propiedad es v´alida para las f´ormulas at´omicas y luego suponiendo que es v´alida para p y q at´omicas se prueba para las compuestas p ∧ q, p → q, ¬p y p ∨ q, y de esto se infiere que la proposici´on es verdadera para todas las f´ormulas.

9.7.1.

El m´ etodo

La demostraci´on por este m´etodo consta de dos partes: 1. La base, o sea, la verificaci´on de la proposici´on para un n´ umero natural (o varios; por ejemplo, para 0 o´ 1). 2. El paso inductivo que consiste en la demostraci´on de la proposici´on general: para todo n es cierto que la validez de la proposici´on para n implica su validez para n + 1, permite ampliar autom´atica e indefinidamente la base pasando de un caso particular al siguiente, o sea, de n a n + 1. Enfaticemos en que una demostraci´on por inducci´on exige la demostraci´on de ambos pasos. En el cap´ıtulo 3 mostramos varios ejemplos donde una afirmaci´on es verdadera para algunos casos pero no en general. Tambi´en omitir el primer paso conduce a afirmaciones falsas; por ejemplo, “Todo n´ umero natural es igual al n´ umero natural siguiente”. 365 381


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Prueba: apliquemos para la demostraci´on el m´etodo de inducci´on matem´atica. Supongamos que k =k+1 (9.8) y demostremos que k+1=k+2

(9.9)

sumando 1 a ambos miembros de la igualdad (9.8), consegimos la igualdad (9.9). Entonces, si la proposici´on es v´alida para n = k, tambi´en lo es para n = k + 1. Y la afirmaci´on es v´alida para todo n´ umero natural. Algunas veces la conjetura no corresponde con la secuencia observada, pero el m´etodo de demostraci´on por inducci´on (Sominski, 1975) permite ver su falsedad; por ejemplo en las sumas Sn =

1 1 1 1 + + + ··· + . 1·2 2·3 3·4 n(n + 1)

Supongamos que hemos llegado a la hip´otesis de que n+1 3n + 1

Sn =

(9.10)

La f´ormula (9.10) es v´alida para n = 1 ya que S1 = 12 , supongamos que es v´alida para n = k, o sea, que k+1 3k + 1

Sk =

y tratemos de demostrar que tambi´en es v´alida para n = k + 1, o sea, que Sk+1 =

k+2 . 3k + 4

Tenemos Sk+1 = Sk +

1 (k + 1)(k + 2)

=

k+1 1 + 3k + 1 (k + 1)(k + 2)

=

k 3 + 4k 2 + 8k + 2 (k + 1)(k + 2)(3k + 1) 366 382


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico que es un resultado distinto al que quer´ıamos encontrar. Lo que significa que de la validez de la formula (9.10) para n = k no se deduce su validez para n = k + 1. Por consiguiente la f´ormula (9.10) es falsa. El m´etodo de inducci´on matem´atica permite determinar la ley general ensayando las hip´otesis que surgen, rechazando las falsas y demostrando la correcta. Este m´etodo es asumido como un axioma, que permite obtener, a partir de la base y del paso inductivo, una demostraci´on puramente deductiva de la proposici´on para todos los n´ umeros naturales n. De la base demostrada, digamos, para el n´ umero 0, obtenemos aplicando el paso inductivo la demostraci´on para el n´ umero 1 y despu´es de la misma forma para 2, 3, . . . De este modo el teorema puede ser argumentado para cualquier n´ umero natural. El nombre de inducci´on matem´atica se debe simplemente a que se asocia con los razonamientos inductivos tradicionales, ya que la base se demuestra solo para un caso particular; pero el paso inductivo es una proposici´on general que no necesita de ninguna hip´otesis particular y se demuestra seg´ un los c´anones de los razonamientos deductivos. Por esta raz´on la inducci´on matem´atica es un m´etodo deductivo de demostraci´on.

Ejemplos A. En aritm´ etica umero Teorema 9.44. En base 10 los n´ umeros de la forma 10n − 1 todo n´ natural n son divisibles por 3. Prueba: a. Verificamos que la afirmaci´on se cumple para n = 0, en efecto 100 − 1 = 1 − 1 = 0 = 3 · 0. b. Supongamos que la afirmaci´on es v´alida para alg´ un n´ umero natural n = k, fijo pero arbitrario; es decir, suponemos que para el n´ umero natural k, 10k − 1 es divisible por 3. Debemos probar que la afirmaci´on tambi´en es cierta para el sucesor de k, o sea, k + 1: 10k+1 − 1 = [10k · 10] − 1 367 383

Porque an · am = an+m .


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos = [(3p + 1)10] − 1

Hip´otesis de inducci´on: Existe p en los naturales tal que 10k − 1 = 3p, luego,

10k = 3p + 1. Propiedad distributiva de la multiplicaci´on con respecto a la suma de n´ umero naturales, propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicaci´on de n´ umeros naturales y asociativa de la suma. Propiedad distributiva de la multiplicaci´on con respecto a la suma de n´ umero naturales.

= 3(10p) + 9

= 3[10p + 3]

Esto u ´ltimo demuestra que la afirmaci´on es v´alida para el sucesor de k y adem´as demuestra que es v´alida para todo n´ umero natural.

Ejercicios Demuestre por inducci´on: n(2n−1)(2n+1) . 3 1)n = (n−1)n(n+1) . 3

1. 12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 = 2. 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + (n −

3. 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + · · · + n(n + 1)(n + 2) =

4.

1 1·3

+

1 3·5

+ ··· +

1 (2n−1)(2n+1)

=

n(n+1)(n+2)(n+3) . 4

n . 2n+1

5. 2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2(2n − 1). 6. 3 + 32 + 33 + · · · + 3n =

7. 5 + 52 + 53 + · · · + 5n =

3(3n −1) . 2 5(5n −1) . 4

8. Los ejercicios 5, 6 y 7 sugieren una expresi´on general, encu´entrela y pru´ebela por inducci´on. Teorema 9.45. El principio del buen orden. El principio del buen orden afirma que todo subconjunto no vac´ıo de n´ umeros naturales, contiene un elemento que es el menor de todos, en 368 384


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico otras palabras, existe un primero elemento, es decir, el conjunto de los n´ umeros naturales est´a bien ordenado, veamos: Prueba: debemos probar que para cualquier X ⊆ N existe un x ∈ X que es el m´ınimo. Consideremos primero el caso en que X tenga un n´ umero finito de elementos. Si X tiene exactamente un elemento, entonces dicho elemento es el m´ınimo. Supongamos que para cualquier subconjunto de N con menos de k elementos se cumple que el subconjunto posee elemento m´ınimo. Sea entonces X ⊆ N tal que el n´ umero de elemento de X sea k y n ∈ X, entonces hay dos casos, que n sea el elemento m´ınimo o que no lo sea. Si n es el elemento m´ınimo de X entonces se cumple el principio, pero si no es as´ı, consideremos el conjunto X − {n} que posee k − 1 elementos. Por la hip´otesis de inducci´on, este conjunto tiene elemento m´ınimo que resulta ser el m´ınimo de X tambi´en. De este modo se demuestra lo que se quer´ıa. Si X es infinito, y n un elemento de X, entonces, sea A = {0, 1, 2, 3, . . . , n}. Como X ∩ A �= ∅, ya que n est´a en la intersecci´on y como este conjunto es finito, entonces X ∩ A posee elemento m´ınimo m, que es el elemento m´ınimo de X, puesto que si x ∈ X y x < m ≤ n, entonces m no ser´ıa m´ınimo de X ∩ {0, 1, 2, . . . , n}. De lo anterior se puede concluir que en el conjunto de los n´ umeros naturales se cumple el principio de buen orden. B. El m´ etodo del descenso infinito de Fermat El m´etodo del descenso infinito es un m´etodo de demostraci´on propuesto por Fermat en el siglo XVII que se aplica a problemas que tratan sobre n´ umeros naturales. Es una mezcla entre el m´etodo de reducci´on al absurdo y el principio del buen orden de los n´ umeros naturales que generalmente se usa para demostrar que una propiedad determinada no se cumple. Si queremos demostrar una cierta afirmaci´on de la forma ¬P , suponemos que para un cierto n n´ umero natural se cumple su negaci´on, P , y a partir de ah´ı demostramos que entonces tambi´en se cumple P para un n´ umero natural menor que n. Repitiendo el razonamiento, obtenemos una sucesi´on infinita y decreciente de n´ umeros naturales que cumple la propiedad P , lo cual es imposible. Por tanto, aplicando la ley de reducci´on al absurdo obtenemos que ¬P es verdadera. 369 385


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Puesto que, por el principio del buen orden, todo subconjunto no vac´ıo de n´ umeros naturales tiene un elemento m´ınimo, si podemos probar que cada vez que un n´ umero tiene una propiedad, la tiene un elemento menor, entonces la propiedad es falsa, puesto que en ning´ un caso podemos efectuar el proceso de manera indefinida. (Siempre hay un m´ınimo). Como vemos, es un proceso de reducci´on al absurdo, con un algoritmo establecido para lograr el absurdo, se pasa de un n´ umero a otro que cumple la misma propiedad pero que sea m´as peque˜ no. Pero tambi´en es an´alogo al m´etodo de demostraci´on por inducci´on matem´atica, en este suponemos que un n´ umero n tiene una propiedad y procuramos demostrar que el n´ umero siguiente tambi´en (ascenso al infinito). En el m´etodo de Fermat suponemos que un n´ umero tiene una propiedad y procuramos demostrar que uno menor que ´el tambi´en la tiene, solo que como en los n´ umeros naturales hay cota inferior, si logramos hacer infinito el proceso, la propiedad debe ser falsa y, por consiguiente su negaci´on es verdadera. Habitualmente usamos el principio de inducci´on para demostrar que una propiedad es cierta y el descenso infinito para comprobar que una propiedad es falsa.

Ejemplos a. Demostrar que la ecuaci´on x3 + 2y 3 = 4z 3 no tiene como soluciones n´ umeros naturales todos ellos diferentes de 0. Prueba: supongamos que la ecuaci´on s´ı tiene una soluci´on (x, y, z) = (0, 0, 0). Debemos encontrar una propiedad que cumpla la tripla (x, y, z) y que se pueda heredar a n´ umeros menores. Una primera observaci´on nos indica que x debe ser par, o sea que x = 2a, y si reemplazamos a x en la ecuaci´on obtenemos que 4a3 + y 3 = 2z 3 370 386


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico lo que implica que y es par, es decir y = 2b, reemplazando de nuevo en la ecuaci´on, concluimos que z tambi´en es par, z = 2c. Cuando sustituimos x, y y z en la ecuaci´on original y simplificamos, obtenemos la misma ecuaci´on inicial a3 + 2b3 = 4c3 , pero satisfecha por n´ umeros (a, b, c) �= (0, 0, 0) tales que a < x, b < y y c < z. Y como el proceso se puede repetir indefinidamente, debemos concluir que tal soluci´on no existe. b. La ecuaci´on x4 + y 4 = z 2 no tiene como soluciones n´ umeros naturales todos ellos diferentes de 0. Prueba: supongamos que s´ı tiene una soluci´on (x, y, z) �= (0, 0, 0) y que x y y tienen alg´ un factor en com´ un diferente de 1, entonces existe un n´ umero primo p que es divisor de x y y, por tanto p4 | (x4 + y 4), esto es, p4 | z 2 luego p2 | z. Podemos entonces dividir x y y por p, y z por p2 consiguiendo  x 4  y 4  z 2 + = 2 p p p y z x Si elegimos a = p , b = p y c = p2 encontramos una soluci´on a la ecuaci´on propuesta con a < x, b < y y c < z. Reiterando el proceso obtenemos un descenso infinito que nos conduce al absurdo. Concluimos que si x y y satisfacen la ecuaci´on, no deben tener factores comunes, es decir96 (x, y) = 1. Por tanto (x2, y 2) = 1 y (x2, y 2, z) forman una terna pitag´orica primitiva97. Podemos asumir que x2 es impar y y 2 es par, entonces existen enteros positivos m y n tales que (m, n) = 1 y x2 = m2 − n2 ,

y 2 = 2mn,

z = m2 + n2.

Notamos (a, b) al m´aximo com´ un divisor de a y b. Una terna pitag´ orica (a, b, c) se llama primitiva si a, b y c no tienen factores en com´ un diferentes de 1. Las ternas pitag´oricas primitivas son de la forma (m2 − n2 , 2mn, m2 + n2 ), donde (m, n) = 1, uno de ellos es par y el otro impar, y m > n > 0. 96 97

371 387


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos Pero tambi´en (x, n, m) es una terna pitag´orica primitiva con x impar. Por consiguiente, existen enteros positivos s y t tales que (s, t) = 1. x = s2 − t 2 ,

n = 2st,

m = s2 + t 2 .

Como s y t son primos relativos, de la u ´ltima igualdad podemos concluir que m, s y t no tienen factores en com´ un. Como (m, n) = 1 y  y 2 mn = mst, = 2 2 entonces el producto mst es un cuadrado perfecto, y esto implica que m, s y t son todos cuadrados perfectos. Luego existen n´ umeros naturales a, b y c tales que s = a2 ,

t = b2

y

m = c2 .

Como m = s2 + t2, entonces a 4 + b 4 = c2 , es decir que (a, b, c) es una soluci´on de la ecuaci´on original con un n´ umero c menor que z, puesto que √ c = m < m2 < m2 + n2 = z. Si reiteramos el proceso obtenemos una sucesi´on infinita de n´ umeros naturales que satisface la ecuaci´on lo que es imposible. En consecuencia la ecuaci´on propuesta no tiene soluciones en los n´ umeros naturales. Una importante consecuencia es que el caso n = 4 del u ´ltimo teorema de Fermat; esto es que la ecuaci´on x4 + y 4 = z 4 tampoco tiene soluciones diferentes de 0 en los n´ umeros naturales, pues si (x, y, z) es una soluci´on a esta ecuaci´on entonces (x, y, z 2) es soluci´on de la anterior, lo que es absurdo. c. El m´etodo de Fermat tambi´ ´til para demostrar la irracionalidad √en es√u de algunos n´ umeros como 2 y 3. Veamos la primera. 372 388


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico √ Prueba: supongamos 2 es racional, es decir, que existen enteros positivos p0 y q0 tales que √ p0 2= , q0 luego p20 = 2q02 y por tanto, p0 es par. Sea p1 =

p0 , 2

entonces

4p21 = 2q02 y en consecuencia, q0 es par. Sea q1 =

q0 , 2

entonces

p21 = 2q12 luego p1 es par, an´alogamente obtenemos que q1 es par. Y de nuevo definimos p2 = p21 y q2 = q21 , y reiteramos el proceso consiguiendo una sucesi´on infinita decreciente de n´ umeros naturales pi p0 > p1 > p2 > p3 > · · · > pi+1 = > ··· 2 √ pero esto es imposible. En consecuencia 2 no es racional. Otra √ forma de usar el descenso infinito para probar la irracionalidad de 2 es reescribir la igualdad p20 = 2q02 sumando en ambos lados de la igualdad p20 − 4p0 q0 + 2q02 y factorizando para obtener (2q0 − p0 )2 = 2(p0 − q0)2 , lo que significa que

p0 2q0 − p0 = , q0 p0 − q0 pero el denominador de la segunda fracci´on es menor que el de la primera y, reiterando el proceso, obtenemos un descenso infinito que nos conduce al absurdo. 2=

Ejercicios Demostrar que 373 389


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 1. Ning´ un tri´angulo rect´angulo puede tener como ´area un cuadrado. 2. Todo n´ umero primo de la forma 4n + 1 se puede escribir como suma de dos cuadrados de una y solo una forma. 3. La ecuaci´on 8x4 + 4y 4 + 2z 4 = t4 no tiene soluciones en los n´ umeros naturales diferentes de 0. 4. La ecuaci´on x3 − 3y 3 − 9z 3 = 0 no tiene soluciones enteras con x > 0.

9.8.

Argumentaci´ on o demostraci´ on en clase de matem´ aticas

Cuando iniciamos este cap´ıtulo hicimos demostraciones detalladas de algunos teoremas, luego realizamos pruebas informales, ahora discutiremos si todo lo que se hace en una clase de matem´aticas cuando pretendemos demostrar algo es o debe ser una demostraci´on. Cuando en matem´aticas pretendemos convencer a alguien de que alguna afirmaci´on es una verdad dentro de una teor´ıa, debemos primero construir la teor´ıa y esto no es posible en todos los niveles educativos, lo que nos quita la posibilidad de hacer demostraciones en el sentido aqu´ı expuesto y nos deja con la opci´on de argumentar lo mejor que nos sea posible dependiendo del auditorio. En particular, nuestra tarea como profesores est´a primordialmente en desarrollar la capacidad de argumentaci´on racional de nuestros estudiantes para justificar procedimientos y de conjeturaci´on para proponerlos; en nuestra opini´on, esto solo se logra en la permanente actividad matem´atica de la clase. Tambi´en algunos textos matem´aticos presentan argumentaciones (S´anchez, 2006, p. 7) que, aunque distan de todas las formalidades de lo que hemos llamado una demostraci´on, son instructivos sin deformar los conceptos matem´aticos. Pero debemos tener cuidado en que los argumentos que se dan en clase respeten las leyes de inferencia que hemos estudiado que como vimos, la mayor´ıa son muy naturales e intuitivamente cercanas, algunas incluso parecen tonter´ıas, as´ı el lenguaje en principio no sea muy formal.

Ejemplos Veamos algunos argumentos presentados como demostraciones. 374 390


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico 1. El teorema de Pit´ agoras. Argumento 1. Uno de los enunciados del teorema de Pit´agoras es: dado un tri´angulo rect´angulo, el cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados sobre los catetos. La figura 9.1 a la izquierda, es una representaci´on del enunciado del teorema, y a la derecha se han dispuesto ocho tri´angulos de a´rea τ cada uno, y tres cuadrados de a´reas α, β y δ formando dos cuadrados iguales, de manera que: 4τ + β + δ = 4τ + α, ya que si a cosas iguales restamos cosas iguales, los restos son iguales, obtenemos que: β + δ = α, lo que quer´ıamos ver.

Figura 9.1 375 391


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 2. El teorema de Pit´ agoras. Argumento 2. Este argumento, tambi´en geom´etrico, se basa en un “rompecabezas”que evidencia el teorema (figura 9.2).

Figura 9.2 umeros reales. 3. El intervalo (0, 1) es equivalente98 al conjunto de los n´

Figura 9.3 Dibujemos el segmento 01 y hallemos el punto medio P de dicho segmento. Tracemos el tri´angulo �01Q equil´atero. Por Q tracemos una paralela l al segmento 01 y elijamos un punto A sobre 0Q , luego trace←→ mos P A y hallemos el punto de intersecci´on f(A) de esta recta con 98

Dos conjuntos A y B se dicen equivalentes, si existe una funci´ on biyectiva f : A → B.

376 392


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

El razonamiento matem´atico la recta l, as´ı, si se hace corresponder cada punto A de (0, 1) con el punto f(A) como se ha obtenido aqu´ı, se obtiene una biyecci´on entre los puntos de (0, 1) y los puntos de l. 4. La suma de los n´ umeros triangulares.

Figura 9.4 A partir de la figura 9.4 (Nelsen, 1993, p. 94), observamos que el a´rea del rect´angulo grande es (n + 2)Tn , ahora, el a´rea de este rect´angulo es tambi´en: 3(T1 + T2 + T3 + · · · + Tn ), por tanto, 3(T1 + T2 + T3 + · · · + Tn ) = (n + 2)Tn . Con lo que (n + 2)Tn 3 (n + 2) n(n + 1) = 3 2 n(n + 1)(n + 2) = . 6

T1 + T2 + T3 + · · · + Tn =

377 393


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Actividades matem´aticas para el desarrollo de procesos l´ogicos 5. φ es un n´ umero irracional. Se sabe que 1

φ=

1

1+ 1+

= [1, 1]

1 1+ ···

Y como cualquier n´ umero racional se puede representar como una fracci´on continua simple finita, esto significa que los n´ umeros que se puedan representar como una fracci´on continua simple infinita no pueden ser racionales, por tanto, φ es irracional.

378 394


Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Bibliografía

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385 401


Índice temático

abducción, 125 en aritmética, 140 en cálculo, 129 en ciencias, 129 en geometría, 137 absorbente a derecha, 154, 196 absorbente a izquierda, 154, 195 afirmación del consecuente, 82, 128 alcance de un cuantificador, 309 álgebra de Boole, 216, 325, 326, 328 lógica, 337 relaciones de congruencia, 338 silogismos aristotélicos, 339 álgebra de Lie, 370 anillo, 39, 205, 207 de Boole, 344 argumento, 35 ad antiquitatem, 80 ad baculum, 78 ad hóminem, 86 ad ignorantiam, 81 ad logicam, 85 ad verecundiam, 79 circular, 87 ex populo, 88 ex silentio, 86 falaz, 78 por analogía, 127 válido, 36, 43 asociativa cíclica I, 154, 171, 174, 186 asociativa cíclica II, 154, 171, 174, 186 autodistributiva a derecha, 155, 168, 171

autodistributiva a derecha abeliana, 155 autodistributiva a izquierda, 154, 171 autodistributiva a izquierda abeliana, 155 axiomática B (Bochenski), 272 axiomática C (Caicedo), 268 axiomática de Weyl, 373 axiomática K (Kleene), 282 axiomática L (Frege-.Lukasiewicz), 286 axiomática T (Tarski), 263 axiomas, 347 de adición de vectores, 373 de campo, 348, 364, 365 de dimensión, 375 de enlace, 371 de la relación punto-vector, 377 de orden, 364, 371 del producto escalar de vectores, 376 barra de Sheffer, 162, 164, 190, 192, 261, 293 bisimetría, 155, 171, 174 campo, 80, 207, 216, 223, 239, 348, 364, 370, 373 cancelativa, 172, 207, 211, 333, 363 combinación de cuantificadores, 310 conclusión categórica, 90 conclusión posible, 90 conclusión probable, 90 condicional estricto, 66 conjetura de Goldbach, 81, 144 conjunción, 29, 55, 64, 151, 152, 155, 172, 178, 188, 189, 202 de cuantificadores, 313 conmutativa, 154, 297


consecuencia lógica, 37, 44, 46, 47, 63, 89, 126, 349-351, 353 contradicción, 175, 191, 236, 237 cuantificador existencial, 306-308, 312, 313, 318, 319 cuantificador universal, 306, 308, 312, 314, 317, 319 deducción axiomática, 349 dialéctica, 45 diferencia, 179, 190, 356 recíproca, 179, 190, 356 disyunción, 29, 58, 64, 152, 155, 170, 172, 189, 295, 355 de cuantificadores, 315 exclusiva, 61, 64, 149, 155, 185, 190, 236, 239, 357 doble implicación, 29, 181, 185, 199 doble negación, 48, 68, 156 dominio de integridad, 207 El último teorema de Fermat, 55, 81, 388 El método de demostración por inducción matemática, 381 El método del descenso infinito de Fermat, 385 El pequeño teorema de Fermat, 51, 144 El principio del buen orden, 384, 386 El sistema G (deducción natural), 293 estoicos, 28, 49, 50, 59, 342 estrategias de demostración, 351 falacia, 78, 89 de la falacia, 85 de los cuatro términos, 87 del contexto, 80 del medio no distribuido, 85 del razonamiento inductivo, 115 falsa analogía, 80 funtor de Peirce, 164, 188, 189, 192 Geometría de Hilbert, 371 grupo, 43, 56, 77, 82, 87 grupoide, 188, 223 idempotencia, 154, 171, 186, 196, 236, 348, 298

identidad de Abel - Graßmann I, 154, 171, 186 identidad de Abel - Graßmann II, 154, 171, 186 identidad de Neumann, 155, 184, 187 identidad de Peirce, 154, 165, 178, 235, 357 identidad de Schwitzer a derecha, 154, 183, 187 identidad de Schwitzer a izquierda, 154, 183, 187 identidad de Tarski, 154, 184, 187 identidad I de Schöder, 154, 171, 187, 219 identidad I de Stein, 154, 171, 186, 219 conmutada, 154, 166 recíproca, 154, 168 identidad II de Schöder, 154, 161, 186 identidad II de Stein, 154, 171, 186, 218, 220 identidad III de Stein, 154, 186 implicación, 29, 47, 152, 165, 188, 298, 337 contrarrecíproca, 180, 298, 351 material, 65 recíproca, 29, 167 inducción, clásica, 92 completa, 93 en álgebra lineal, 105 en aritmética, 96 en ciencias, 111 en trigonometría, 98 incompleta, 95 inferencia abductiva, 90 inferencia deductiva, 37, 43, 90, 227 inferencia filónica, 67 inferencia inductiva, 90, 93, 115, 123 involución, 332 lógica difusa, 46, 152 lógica relevante, 66 ley de adición, 58, 232, 247 ley de especificación existencial, 318 ley de especificación universal, 317 ley de generalización existencial, 318


ley de generalización universal, 317 ley de la adjunción, 55 ley de la negación del condicional, 56 ley de los casos, 63 ley de reducción al absurdo, 52 ley del silogismo hipotético, 62 leyes asociativas, 237 leyes conmutativas, 236 leyes de absorción, 195, 238 leyes de De Morgan, 60 leyes de simplificación, 55 leyes del bicondicional, 56 leyes distributivas, 238 método axiomático, 22, 346, 348 método experimental inductivo, 111 método hipotético-deductivo, 348 modus ponendo ponens, 49, 68, 230, 294 modus tollendo ponens, 59 modus tollendo tollens, 50, 68, 230 monoide, 43, 76, 188, 215, 368 números de Mersenne, 86 números perfectos, 45, 97, 117, 118, 320 negación de cuantificadores, 312 negación de la equivalencia, 61 negación del antecedente, 83 operación ⊗, 156 operación *, 160 operación binaria, 153 operación unaria, 153 organon, 45 otras formas de distributividad, 206 otras leyes de De Morgan, 233 permutabilidad a derecha, 154, 168, 171, 174, 187 permutabilidad a izquierda, 154, 166, 171, 174, 187 predicados, 304, 306, 316, 324, 352 premisa mayor, 37, 38 premisa menor, 37, 38 primera proyección, 176 principio de la razón suficiente, 72

principio del tercero excluido, 71 principio lógico de identidad, 71 principio lógico de no contradicción, 71 propiedad del producto reducido, 154, 171, 174, 187, 219 propiedad elástica, 154, 186 prueba condicional, 281, 294, 350 pseudoabsorbente a derecha, 154, 157, 158, 198 pseudoabsorbente a izquierda, 138, 161, 198 razonamiento abductivo, 89 razonamiento analógico, 127, 128 razonamiento deductivo válido, 36, 43, 227 razonamiento inductivo, 89, 91 razonamiento matemático, 21, 148, 347 regla de reemplazamiento, 253 regla de separación, 49, 273, 283, 286 regla de sustitución, 273 retórica, 18, 36, 46 retículos, 207 complementados, 210 distributivos, 211 modulares, 214 segunda proyección, 177 semigrupos, 43, 188, 368 semisimétrica a derecha, 154, 174, 182, 199, semisimétrica a izquierda I, 154, 168, 178 semisimétrica a izquierda II, 154, 174, 182, 198 silogismo disyuntivo, 63, 297 silogismos aristotélicos, 323 simplificación disyuntiva, 59 sistema de Gentzen, 49, 64, 293 sistemas axiomáticos, 261 sistemas de conectivos fundamentales, 188 sofistas, 18, 19, 36, 46 tautología, 173, 174, 191, 204, 205, 227, 228, 253 teoría de grupos, 368 teoríıa de los números naturales, 362 teorías algebraicas, 368


teorías de los números reales, 364 teorías de números, 362 teorías geométricas, 370 teorías matemáticas, 349 teorema de la deducción, 67, 227, 228, 281, 294, 350 teorema de Lagrange, 82 teorema de Pitágoras, 40, 42, 75, 391, 392 teorema de Thales, 138 tesis gorgianas, 19 topología, 224, 378 transitividad a derecha, 154 transitividad a izquierda, 154 transitividad media, 154 triíangulo de Pascal, 107, 110, 140, unipotencia, 154, 186


Índice onomástico

Aristóteles, 20, 46, 92, 125-127, 323, 324 Bacon, 111, 112 Boole, 28, 268, 324, 325 Cantor, 348 Descartes, 25, 28 Diodoro, 47, 67-69, 74 Diofanto, 28 Euclides, 40, 53, 76 Euler, 55, 132, 145 Fermat, 129, 385 Filón, 65, 74 Frege, 24, 32, 33, 165, 286 Gorgias, 18, 19, 36, 46, Hipias, 46 Leibniz, 32, 72, 119, 129, 268 Newton, 20, 50, 91, 129, 134, 136, 149, 348 Peano, 23, 24, 3, 6, 2 Peirce, 91 Protágoras, 18, 46 Sócrates, 19, 92 Skolem, 24, 311, 348, 354 Tartaglia, 31 Vietà, 28 Wallis, 129, 133, 134 Zermelo, 24, 311, 348, 354


Impreso en el mes de agosto de 2013 en los talleres de Javegraf Bogotรก, 2013. Colombia.


3

Martha Cecilia Herrera, Piedad Ortega Valencia, José Gabriel Cristancho, Vladimir Olaya Gualteros.

Crianza y discapacidad:

una visión desde las vivencias y relatos de las familias en varios lugares de Colombia. Dora Manjarrés Carrizalez, Elvia Yaneth León González, Rosanna Martínez Gil, Andrés Gaitán Luque.

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos:

razonar

Carlos Julio Luque Arias, Juan Carlos Ávila Mahecha, María Nubia Soler Álvarez

Inicia con una discusión sobre el concepto de verdad, de argumentación, de razonamientos válidos para lograr una construcción intuitiva de las reglas de inferencia deductivas, pasando por razonamientos no demostrativos, los cuales permiten obtener informaciones nuevas que no están contenidas en las premisas; estas son las inferencias inductivas y las abductivas, donde se hacen inducciones y conjeturas a partir de observaciones particulares. Buscamos estructuras algebraicas estudiando las propiedades de las operaciones lógicas, las abstraemos y axiomatizamos; seguidamente, expresamos unas en términos de las otras, encontrando relaciones que nos servirán para explicar las verdades lógicas conocidas como tautologías y obtener otras estructuras algebraicas como los retículos. Por último, presentamos varias formas de axiomatizar la lógica proposicional, con el propósito de excluir las unicidades y las creencias de que en matemáticas hay verdades y procedimientos verdaderos, y abogar por los múltiples acercamientos a los mismos objetos y teorías matemáticas; precisamos el lenguaje de la lógica de predicados y lo algebrizamos a la manera de Boole. Terminamos particularizando en el razonamiento matemático.

Colección: Memorias y entramados educativos y culturales

Colección: Memorias y entramados educativos y culturales

Colección: Memorias y entramados educativos y culturales Carlos Julio Luque Arias Juan Carlos Ávila Mahecha María Nubia Soler Álvarez

2

configuraciones de la subjetividad en ecologías violentas.

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar

1

Memoria y formación:

Este no es un libro de lógica; sin embargo, pretende aportar a su aprendizaje mediante el planteamiento de tareas y de diversas alternativas para su abordaje. En unas actividades el estudiante está en condiciones de crear conocimiento matemático nuevo para él, como las descritas en los cinco primeros capítulos; otras son para estudiar y comparar propuestas matemáticas establecidas como las descritas en los capítulos restantes.

3

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos:

razonar

Carlos Julio Luque Arias Juan Carlos Ávila Mahecha María Nubia Soler Álvarez

Carlos Julio Luque Arias Licenciado en Matemáticas y Física, y magíster en Educación con especialidad en Física de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. Magíster Scientiae en Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Estudios de promoción en Física de Altas Energías en la Universidad de Dortmund (Alemania). Profesor titular del Departamento de Matemáticas y coordinador del grupo de investigación de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional. Ha publicado seis libros sobre actividad matemática para el desarrollo de procesos lógicos. Juan Carlos Ávila Mahecha Licenciado en Matemáticas y magíster en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. En 2006 le fue otorgada la distinción meritoria por su tesis de pregrado titulada Generación de funciones reales a partir de series. Desde 2004 forma parte del grupo de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia, en la que ha colaborado en el desarrollo de algunos proyectos de investigación como monitor y coinvestigador. Ha participado como asistente y conferencista en diversos eventos académicos nacionales e internacionales. Actualmente adelanta estudios de Maestría en Matemáticas en la Universidad de Cádiz, en España. María Nubia Soler Álvarez Licenciada en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, magíster en Ciencias-Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Actualmente trabaja en la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. Investigación en Educación Matemática en el área de argumentación y la prueba en la clase de matemáticas. Coeditora de Tecné, Episteme y Didaxis (TED), revista dedicada a la Educación en Ciencias Experimentales, Matemáticas y Tecnologías.

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar  

Este libro es producto de la investigación: Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: los procesos matemáticos de orde...

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