TEOREMA DE GAUSS
Republica Bolivariana De Venezuela Instituto universitario politécnico
“Santiago Mariño” Extensión Maracay
TEOREMA DE GAUSS ( Revista)
Prof: Ing. William Morillo
Alumno: Anel George CI: 29.598.812
Maracay, 31 de Julio del 2021
La ley de Gauss, también conocida como teorema de Gauss fue enunciada por el matemático alemán Karl Friederich Gauss (1777-1855). Dicho matemático determinó en esta ley una relación entre el flujo eléctrico que atraviesa una superficie
cerrada y la carga eléctrica que se encuentra en su interior. El teorema de Gauss establece que el flujo de campo eléctrico que atraviesa
una superficie cerrada es igual a la carga neta situada en su interior donde:
dividida por la constante dieléctrica del medio.
ΦE es el flujo neto de carga E→ es la intensidad de campo eléctrico
ΦE=∮SE→·dS→ = Qε
dS→ es un diferencial del vector de
Si observas con atención la expresión
superficie (trozo elemental de superficie)
anterior puedes deducir fácilmente que el flujo eléctrico no depende de la forma
Q es la carga contenida en la superficie
de la superficie cerrada, tan solo de la
carga que posee en su interior y de la ε es la constante dieléctrica del medio.
constante dieléctrica del medio.
El flujo eléctrico que circula a través de cualquier superficie cerrada no depende de la forma
de dicha superficie.
Aplicaciones de la ley de Gauss Aunque a la hora de calcular el campo eléctrico generado por ciertas superficies cargadas es posible hacer uso de la ley de Coulomb, en muchas
ocasiones resulta más sencillo utilizar el teorema de Gauss sobre el flujo eléctrico. Para ello es común seguir los siguientes pasos:
1.
Se
escoge
una
superficie
cerrada
perpendicular al campo eléctrico y cuya área sea conocida para nosotros. Esta superficie recibe el nombre de superficie
gaussiana y deberá envolver a la superficie que genera el campo.
2. Se aplica la expresión general del flujo eléctrico para cualquier tipo de superficie. ΦE=∮SE→·dS→
3. El valor obtenido en el punto anterior se iguala a la expresión del teorema de Gauss. ΦE= Qε
Comprobación de la ley de Gauss. Una esfera con una carga en su interior. El caso más simple para calcular el flujo eléctrico es el del campo creado por una carga q contenida en una esfera de radio r. Tal y como estudiamos en el apartado de intensidad del campo eléctrico, la intensidad del campo
eléctrico generado por una carga se obtiene por medio de la siguiente expresión:
E=q4·π·ε·r2
En este caso, como en cada punto de la esfera se cumple que E→ y dS→ son paralelos, el flujo a través de la superficie esférica es: ΦE=∮SE→·dS→ = ∮SE·dS·cos 0 = E∮SdS = E·S
Dado que la superficie de una esfera es S = 4·π·r2, entonces: ΦE=q4·π·ε·r2·4·π·r2 =qε
Probablemente
ya
te
habrás
dado
cuenta
que
independientemente del radio r que posea la esfera el flujo eléctrico es el mismo, pero no solo eso. Si observas la siguiente
figura
puedes
darte
cuenta
de
que
independientemente de la figura que empleemos, todas ellas
poseen el mismo flujo eléctrico cuando contienen a q en su interior.
Flujo del campo eléctrico
Flujo para una superficie cilíndrica en presencia de un campo uniforme
Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior
Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb
Forma diferencial de la ley de Gauss
Forma integral de la ley de Gauss
Distribución lineal de carga
Distribución esférica de carga
Ley de Gauss para el campo magnetostático
Interpretación La ley de Gauss puede ser utilizada para demostrar que no existe campo eléctrico dentro de una jaula de Faraday. La ley de Gauss es la equivalente electrostática a la ley de Ampère, que es una ley de magnetismo.
Ambas
ecuaciones
fueron
posteriormente integradas en las ecuaciones de Maxwell. Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como una medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie en cuestión. Para una carga puntual este número es constante si la carga está contenida por la superficie y es nulo si está fuera (ya que hay el mismo número de líneas que entran como que salen). Además, al ser la densidad de líneas proporcional a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcional a la carga, si está encerrada, o nulo, si no
lo está. Cuando tenemos una distribución de cargas, por el principio de superposición, sólo tendremos que considerar las cargas interiores, resultando la ley de Gauss.
Sin embargo, aunque esta ley se deduce de la ley de Coulomb, es más
general que ella, ya que se trata de una ley universal, válida en situaciones no electrostáticas en las que la ley de Coulomb no es aplicable.