Módulo de Matemática

Módulo de Matemática editora

UniR o

Encuentros de Integración Universitaria 2016 Silvia Butigué, Nancy Scattolini, Silvia Cabrera, Sonia Curti, Martha Lardone, Susana Mussolini y Juan Manuel Gallardo ISBN 978-987-688-251-4

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Módulo de matemática . encuentros de Integración Universitaria 2016 : / Silvia Butigué ... [et al.]. 1a ed . - Río Cuarto : UniRío Editora, 2018.

Libro digital, PDF Archivo Digital: descarga y online ISBN 978-987-688-251-4 1. Matemática. 2. Ciencias Económicas. I. Butigué, Silvia CDD 510.711

Módulo de matemática. Encuentros de Integración Universitaria 2016 Silvia Butigué, Nancy Scattolini, Silvia Cabrera, Sonia Curti, Martha Lardone, Susana Mussolini y Juan Manuel Gallardo

2018

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UniRío editora. Universidad Nacional de Río Cuarto Ruta Nacional 36 km 601 – (X5804) Río Cuarto – Argentina Tel: 54 (358) 467 6309 editorial@rec.unrc.edu.ar www.unrc.edu.ar/unrc/comunicacion/editorial/

ISBN 978-987-688-251-4 Primera Edición: Marzo de 2018

Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución 2.5 Argentina. http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/ar/deed.es_AR

Consejo Editorial Facultad de Agronomía y Veterinaria Prof. Laura Ugnia y Prof. Mercedes Ibañez

Facultad de Ciencias Humanas Prof. Gabriela Jure

Facultad de Ciencias Económicas Prof. Nancy Scattolini y Prof. Silvia Cabrera

Facultad de Ingeniería Prof. Jorge Vicario

Facultad de Ciencias Exactas, Físico-Químicas y Naturales Prof. Sandra Miskoski y Prof. Julio Barros

Biblioteca Central Juan Filloy Bibl. Claudia Rodríguez y Prof. Mónica Torreta Secretaría Académica Prof. Ana Vogliotti y Prof. José Di Marco

Equipo Editorial Secretaria Académica: Ana Vogliotti Director: José Di Marco Equipo: José Luis Ammann, Daila Prado, Maximiliano Brito, Ana Carolina Savino Soledad Zanatta y Daniel Ferniot

ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática

Contenido ¡Bienvenidos Ingresantes Al Módulo De Matemática! ......................... 4 Modalidad de Trabajo - Cronograma ............................................... 5 Organización y modalidad de lectura del módulo ............................ 6 Glosario ............................................................................................. 7 I Los Números Reales ........................................................................... 8 1.1. ¿Con qué conjunto de números trabajaremos? ........................ 9 1.2. Representación de números reales en la recta ....................... 11 1.3. Propiedades de las operaciones con números reales ............ 14 1.3.1 Propiedad asociativa de la suma y el producto. ........... 15 1.3.2 Propiedad distributiva del producto respecto a la suma y a la resta. ................................................................................. 16 1.4. Recomendaciones al operar con números reales ................... 19 1.5. Exponentes y radicales. ........................................................... 25 II Expresiones Algebraicas ................................................................. 33 2.1. Expresiones algebraicas racionales. ....................................... 34 2.1.1. Expresiones algebraicas enteras.................................. 34 2.1.1.1. Operaciones con expresiones algebraicas enteras. . 35 2.1.1.1.1. Productos notables................................................. 38 2.1.1.1.2. Reglas de factorización .......................................... 40 2.1.2. Expresiones algebraicas fraccionarias ........................ 45 2.1.2.1. Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. .......................................................................... 45 III Ecuaciones ...................................................................................... 47 3.1. Ecuaciones con una incógnita ................................................. 48 3.1.1. Ecuaciones lineales con una incógnita ........................ 48 3.1.2 Del Lenguaje Coloquial al Matemático.......................... 52 3.1.3. Ecuaciones cuadráticas................................................ 56 3.1.4. Ecuaciones con Módulo................................................ 60 3.1.5. Inecuaciones ................................................................. 62 3.2. Ecuaciones con dos incógnitas ............................................... 64 3.2.1. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas ... 65 Resolución de Actividades Problemáticas ......................................... 73 Bibliografía .......................................................................................... 80

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ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática

¡Bienvenidos Ingresantes Al Módulo De Matemática!

Nos es sumamente grato darte la más cordial bienvenida e invitarte a compartir este Módulo del área Matemática. El mismo tiene como finalidad recuperar contenidos y procedimientos estudiados en el Ciclo Secundario, que serán de suma utilidad en el cursado de las asignaturas Análisis Matemático I y Análisis Matemático II. Las mismas se dictan en el Primer Año de las Carreras de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Río Cuarto.

Esperamos que el material que hoy ponemos a tu disposición, te permita reflexionar acerca de aquellos contenidos que te ofrecen mayor dificultad.

Hemos procurado hacerlo amigable, con actividades, ejemplos y llamados de atención sobre los errores más frecuentes, de manera que en forma paulatina te vayas adentrando a los conceptos que queremos repasar en esta etapa.

Pensamos que lo que caracteriza esencialmente la acción educativa es la interacción didáctica que podamos entablar entre nosotros, como así también el aprendizaje que se logra a través del trabajo colaborativo entre ustedes. Todo ello se pondrá en acción cuando trabajemos con las actividades previstas para el ingreso a la Facultad en el transcurso de febrero del próximo año.

Los objetivos que nos han impulsado a escribir este Módulo son para recuperar: 

La utilización de los símbolos y representaciones gráficas.



La manipulación conveniente del herramental matemático.



La interpretación de los resultados hallados.

La propuesta queda a tu disposición. ¡Buen comienzo!

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ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática

Modalidad de Trabajo - Cronograma El cronograma de los temas seleccionados para avocarnos a su repaso es el siguiente: 

REPASO DE ALGEBRA Comenzaremos repasando cómo se forma el conjunto de los

números reales, veremos las operaciones que pueden realizarse con ese conjunto, revisando algunas de las propiedades que más aplicaremos, también trabajaremos con expresiones algebraicas. Concluiremos este bloque recordando las reglas de factorización y su aplicación para factorizar expresiones y simplificar fracciones. 

REPASO DE ECUACIONES Trabajaremos

con

ecuaciones

lineales

y

cuadráticas,

resolveremos inecuaciones lineales sencillas, con y sin módulo, introduciendo la notación de intervalo, para culminar con sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y métodos de resolución. Esto te permitirá abordar problemas sencillos, en particular de aplicación económica, a través del planteo de ecuaciones y la resolución de las mismas.

Esperamos que esta breve revisión te posibilite recordar esos conceptos, pero si adviertes que están muy olvidados o si los recuerdas pero quieres ampliarlos, puedes consultar los libros que has utilizado en el Secundario o algunos sitios web que conozcas o los que aquí te ofrecemos, como ser:

  

http://www.vitutor.com/di/re/r2.html contiene teórico práctico de los números reales, operaciones, intervalos, valor absoluto, temas que también se retomarán en este módulo. http://www.vitutor.com/ab/p/a_1.html hace referencia a expresiones algebraicas, factorización, teoría y práctica con actividades resueltas. http://www.vitutor.com/ecuaciones/1/ecua_Contenidos.html trata sobre ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita, teoría y práctica con ejercicios resueltos.

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ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática

Para poder organizarnos mejor en este camino que juntos transitaremos te presentamos la:

Organización y modalidad de lectura del módulo Cada tema que trataremos en este módulo está organizado en una primera parte teórica con ejemplos que te mostrarán el camino de cómo aplicar la teoría, algunas actividades que te desafían a resolverlas por ti sólo. Y una segunda parte de actividades que pretenden integrar los contenidos desarrollados para poner en práctica tus conocimientos.

Asimismo te encontrarás con preguntas a responder, las mismas tienen la intención de invitarte a recordar un concepto, una propiedad o tal vez una definición, antes de abordar la lectura del tema en cuestión. Esta práctica te ayudará a reflexionar sobre los conocimientos adquiridos, es decir, te servirán a tomar conciencia de lo que sabés y también de lo que no recordás.

El siguiente formato te indica que: Aquí encontrarás el contenido destacado Además, hemos insertado íconos que te irán señalando si se trata de una actividad a resolver u observaciones que debes prestar especial atención, recordatorios de conceptos que has aprendido en tu paso por la secundaria…, tal como se muestra a continuación.

Este ícono indicará una OBSERVACIÓN, NOTA o ACLARACIÓN referida al contenido que se está desarrollando Este corresponde a EJEMPLOS Te indica que es una ACTIVIDAD que te desafía a poner en práctica tus conocimientos.

Simboliza una REFLEXIÓN, un INTERROGANTE a responder Prestar especial ATENCIÓN al comentario que realizamos Procesos temporales La bibliografía consultada para elaborar este módulo

Y como modalidad de lectura te sugerimos que en primer lugar no dejes de leer los objetivos y el eje de cada unidad, así como la introducción, ya que esto te dará una visión global del contenido a desarrollar.

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ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ“N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica

Glosario Para hacer uso del lenguaje matemĂĄtico preciso, brindamos a continuaciĂłn este glosario que contiene los sĂ­mbolos y notaciones que le son propias.

SĂ?MBOLOS Y NOTACIONES USADOS EN MATEMĂ TICA

∈: “pertenece a� o “perteneciente a�

//: “es paralela a�

∉: “no pertenece� o “no

�: “es perpendicular a�

perteneciente a�

∞: “infinito�

â&#x;š: “implicaâ€? o “entoncesâ€?

Č đ?‘ŽČ : “mĂłdulo de đ?‘Žâ€? o “valor

â&#x;ş: “implica doblementeâ€? o “sĂ­ y sĂłlo siâ€?

/: “tales que� ˄: “y� ˅: “o� ∀: “cualquiera sea� o “para todo� ∃: “existe al menos uno� ∴: “en consecuencia� o “por tanto�

absoluto de ��

<: â&#x20AC;&#x153;es menor queâ&#x20AC;?

â&#x2030;¤: â&#x20AC;&#x153;es menor o igual queâ&#x20AC;? â&#x2030;Ž: â&#x20AC;&#x153;no es menor queâ&#x20AC;? >: â&#x20AC;&#x153;es mayor queâ&#x20AC;? â&#x2030;Ľ: â&#x20AC;&#x153;es mayor o igual queâ&#x20AC;? â&#x2030;Ż: â&#x20AC;&#x153;no es mayor queâ&#x20AC;? â&#x160;&#x2020;: â&#x20AC;&#x153;es subconjunto deâ&#x20AC;? o â&#x20AC;&#x153;estĂĄ

!: â&#x20AC;&#x153;Ăşnicoâ&#x20AC;?

incluido enâ&#x20AC;?

!!: â&#x20AC;&#x153;absurdoâ&#x20AC;?

â&#x160;&#x201A;: â&#x20AC;&#x153;estĂĄ incluido estrictamente enâ&#x20AC;?

=: â&#x20AC;&#x153;igualâ&#x20AC;? â&#x160;&#x2C6;: â&#x20AC;&#x153;no estĂĄ incluido enâ&#x20AC;? â&#x2030; : â&#x20AC;&#x153;distintoâ&#x20AC;? o â&#x20AC;&#x153;no es igualâ&#x20AC;? â&#x160;&#x192;: â&#x20AC;&#x153;incluye aâ&#x20AC;? â&#x2030;&#x2C6;: â&#x20AC;&#x153;semejante aâ&#x20AC;? â&#x2030;&#x2026;: â&#x20AC;&#x153;es congruente aâ&#x20AC;?

â&#x2C6;Š: â&#x20AC;&#x153;intersecciĂłnâ&#x20AC;? â&#x2C6;Ş: â&#x20AC;&#x153;uniĂłnâ&#x20AC;?

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ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática /Unidad I

I Los Números Reales En esta primera parte del módulo de matemática

nos

abocamos

al

campo

numérico real, el cual está conformado por los conjuntos de los números naturales, los enteros, los racionales y los irracionales.

De cada uno de esos conjuntos repasaremos sus

principales

características

y

su

representación geométrica.

Asimismo, revisaremos las propiedades de la adición,

multiplicación,

potenciación

y

radicación para poder realizar operaciones con los números reales.

Por

último,

te

encontrarás

con

recomendaciones o sugerencias para tener en cuenta cuando efectúes operaciones con números reales.

Objetivos:



Familiarizarse con el campo numérico real y la recta de los números reales.



Operar con números reales y aplicar sus propiedades.

Para lograrlos te proponemos los siguientes

Contenidos: 1.1. ¿Con qué conjunto de números trabajaremos?

1.2. Representación de números reales en la recta.

1.3. Propiedades de las operaciones con números reales.

1.3.1. Propiedad asociativa de la suma y el producto.

1.3.2. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma y a la resta.

1.4. Recomendaciones al operar con números reales.

1.5.

Exponentes y Radicales.

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1.1. ÂżCon quĂŠ conjunto de nĂşmeros trabajaremos?

Recordemos que, cuando mencionamos un conjunto, nos estamos refiriendo a un grupo de objetos.

A su vez, cada objeto que se encuentra en un conjunto se denomina elemento.

Un conjunto puede especificarse listando sus elementos en cualquier orden dentro de llaves, en este caso, se dice que el conjunto estĂĄ definido por extensiĂłn o enumeraciĂłn.

El conjunto de las vocales, escrito por extensiĂłn, se expresa: đ??´ = {đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;&#x2013;, đ?&#x2018;&#x153;, đ?&#x2018;˘} Pero, como frecuentemente trabajaremos con conjuntos que tienen infinitos elementos, en vez de listarlos, generalmente, describiremos las caracterĂ­sticas de sus elementos, que es otra manera de designarlo; en este caso, se dice que estĂĄ definido por comprensiĂłn.

En nuestro ejemplo: đ??´ = {đ?&#x2018;Ľ/đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;}, indica que sus elementos cumplen la condiciĂłn o caracterĂ­stica comĂşn de ser vocales.

Volviendo a nuestro interrogante: ÂżCon quĂŠ conjunto de nĂşmeros trabajaremos?

Con el CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

Antes de continuar con la lectura, ÂżpodrĂ­as mencionar diez nĂşmeros que pertenezcan a dicho conjunto? â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś En sĂ­mbolos podemos indicarlo:

â&#x201E;? = {đ?&#x2019;&#x2122;/đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;?}

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ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad I

Esta expresiĂłn indica que los reales son un conjunto formado por los elementos â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Ľâ&#x20AC;? que cumplen la condiciĂłn de pertenecer al conjunto de los nĂşmeros reales.

Se llega al conjunto de los nĂşmeros reales a travĂŠs de sucesivas ampliaciones de los conjuntos numĂŠricos, debido a la necesidad de ir resolviendo mĂĄs operaciones.

Al conjunto de los nĂşmeros naturales, đ?&#x2018; : {1,2,3, â&#x2039;Ż } Ăł {đ?&#x2018;Ľ/đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018; }, lo simbolizamos entre llaves, nombrando los primeros elementos y escribiendo tres puntos suspensivos, dado que el listado continĂşa sin fin.

Con este conjunto podemos sumar y multiplicar, obteniendo como resultado otro nĂşmero natural, pero no siempre es posible restar y dividir dos nĂşmeros naturales y obtener como resultado otro nĂşmero natural.

AdemĂĄs, no todas las raĂ­ces de nĂşmeros naturales dan como resultado otro nĂşmero natural, por ejemplo â&#x2C6;&#x161;3 no da como resultado otro nĂşmero natural.

Surge entonces, el conjunto de los enteros negativos, đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; : {â&#x2039;Ż , â&#x2C6;&#x2019;4, â&#x2C6;&#x2019;3, â&#x2C6;&#x2019;2, â&#x2C6;&#x2019;1} , que junto al cero y a los naturales (tambiĂŠn llamados enteros positivos, đ?&#x2018;? + â&#x2030;Ą đ?&#x2018; ), forman el conjunto de los nĂşmeros enteros:

đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;? + â&#x2C6;Ş {0} â&#x2C6;Ş đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; . En este conjunto es posible resolver,

ademĂĄs de la suma y multiplicaciĂłn, la resta y obtener como resultado otro nĂşmero entero.

Como dentro del conjunto de los nĂşmeros enteros, no todas las divisiones de dos nĂşmeros enteros dan como resultado otro nĂşmero entero y esto ocurre cuando el dividendo no es mĂşltiplo del divisor, aparecen los nĂşmeros fraccionarios, đ??š, que dan soluciĂłn a esta situaciĂłn y que junto a los enteros forman el conjunto de los nĂşmeros racionales, simbolizado con una đ?&#x2018;&#x201E;. Comprende a todo nĂşmero que pueda expresarse đ?&#x2018;?

Recordar que como operaciĂłn aritmĂŠtica no es posible dividir por cero: đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030; 0 đ?&#x2018;&#x17E;

como un cociente đ?&#x2018;&#x17E; , donde tanto "đ?&#x2018;?" como "đ?&#x2018;&#x17E;" son enteros y đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030; 0.

Son ejemplos de nĂşmeros racionales:

4 3

; 0,5 (ya que puede

5

2

expresarse como 10); 2 (ya que puede expresarse como 1); etc.

Existen dos maneras de escribir un mismo nĂşmero racional, como fracciĂłn o en forma decimal resolviendo el cociente.

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ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad I

En ĂŠste Ăşltimo caso podemos obtener una expresiĂłn decimal 3

exacta, por ejemplo: 1,5 que se obtiene de 2; o una expresiĂłn con infinitas cifras decimales que se repiten periĂłdicamente, por ejemplo: 2 13 0, 2Ě&#x201A; = 0,22222 â&#x20AC;Ś que proviene de 9 y 0,14Ě&#x201A; = 0,14444 â&#x20AC;Śque proviene de 90.

Completa el conjunto de los nĂşmeros reales, â&#x201E;?, el subconjunto de los nĂşmeros irracionales, đ??ź . La particularidad de los nĂşmeros irracionales es que no pueden ser escritos como una divisiĂłn entre enteros y se expresan con infinitas cifras decimales NO periĂłdicas. Es decir, los nĂşmeros irracionales son decimales cuya forma no es finita ni periĂłdica. Algunos provienen de raĂ­ces no exactas.

Veamos, por ejemplo, algunos de los nĂşmeros irracionales mĂĄs conocidos đ?&#x2018;&#x2019; = 2,7182818 â&#x20AC;Ś(NĂşmero base del logaritmo natural) đ?&#x153;&#x2039; = 3,141592654 â&#x20AC;Ś ;

â&#x2C6;&#x161;3 = 1,73205080 ; etc.

Los nĂşmeros racionales y los nĂşmeros irracionales forman el conjunto de los nĂşmeros reales: â&#x201E;? = đ?&#x2018;¸ â&#x2C6;Ş đ?&#x2018;°

1.2. RepresentaciĂłn de nĂşmeros reales en la recta Los nĂşmeros reales pueden ser representados por puntos en una recta.

Para ello, primero se selecciona un punto en la recta que representa el cero, llamado origen, luego se elige un segmento unidad, cuya medida se marca sucesivamente a la derecha y a la izquierda del cero. Con cada punto sobre la recta asociamos un nĂşmero con signo, que depende de la posiciĂłn del punto con respecto al origen. Las posiciones a la derecha del origen son consideradas positivas y a la izquierda negativas. De esta manera, a cada punto sobre la recta le corresponde un nĂşmero real Ăşnico, y a cada nĂşmero real le corresponde un Ăşnico punto sobre la recta. De allĂ­ que la llamamos recta de nĂşmeros reales.

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En la siguiente recta real se representan algunos números.

−3

−2

−1

0

1 √2

2

5 2

3

Detengámonos un momento en la lectura del módulo, ¿qué hemos planteado hasta aquí?

En el cuadro siguiente se muestran las sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos, hasta llegar al conjunto de los números reales.

Fig. 1. Esquema Conjunto de Números Reales

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Recordemos las principales CARACTERÍSTICAS del conjunto de números reales:



Es infinito.



No tiene primer ni último elemento.



Es un conjunto denso, pues entre dos números reales existe siempre un número infinito de números reales.



El conjunto de números reales completa la recta numérica ya que, si sobre una recta fijamos un origen y un segmento unidad, a cada número real corresponde un punto en la recta y a todo punto de la recta corresponde un número real.

A modo de síntesis, podemos realizar el siguiente ESQUEMA DEL CAMPO NUMÉRICO REAL.

Fig. 2. Campo Numérico Real Vuelve a revisar los números que mencionaste al comienzo del Módulo, ¿puedes identificar a qué conjunto numérico pertenecen dentro de los reales?

Con este conjunto de números trabajaremos en este curso. Los invitamos ahora a resolver las siguientes actividades, retomando los conceptos vistos hasta aquí.

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ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad I

Actividad 1: Escribe a quĂŠ conjunto numĂŠrico đ?&#x2018;&#x201E; (racional) o đ??ź (irracional) pertenece cada uno de los siguientes nĂşmeros: ; â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2C6;

â&#x2C6;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2C6;

;

1,1415 â&#x2C6;&#x2C6;

1,89Ě&#x201A; â&#x2C6;&#x2C6;

3 5

; 1,434343 â&#x20AC;Ś â&#x2C6;&#x2C6; 5

; â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2C6;

â&#x2C6;&#x2C6;

; 0,123456 . . . â&#x2C6;&#x2C6;

; 132 â&#x2C6;&#x2C6;

3

; â&#x2C6;&#x161;7 â&#x2C6;&#x2C6;

â&#x2C6;&#x2019;2,565758. . . â&#x2C6;&#x2C6;

; â&#x2C6;&#x161;81 â&#x2C6;&#x2C6;

Actividad 2: Traza una recta, fija el origen y un segmento unidad, y representar los siguientes nĂşmeros reales: â&#x2C6;&#x2019;3 ; 2,5 ;

4 1 ; â&#x2C6;&#x2019; ; đ?&#x153;&#x2039; 3 2

Para trabajar con un conjunto numĂŠrico debemos tener presente las propiedades de las operaciones que se verifican en ĂŠl, por ello repasaremos brevemente las que se verifican en el conjunto de los nĂşmeros reales.

1.3. Propiedades de las operaciones con nĂşmeros reales Muchos de los errores que se cometen al operar con nĂşmeros reales surgen por desconocimiento u olvido de algunas de ellas.

Damos a continuaciĂłn las propiedades bĂĄsicas de las operaciones con nĂşmeros reales.

Comencemos con las PROPIEDADES DE LA SUMA Y EL PRODUCTO DE NĂ&#x161;MEROS REALES. Para todos los nĂşmeros reales đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;? y đ?&#x2018;? , se cumplen las siguientes propiedades.

14 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad I

PROPIEDADES

EJEMPLO

đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;? =đ?&#x2018;?+đ?&#x2018;&#x17D;

2+3=3+2

đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;? =đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;

5 â&#x2C6;&#x2122; (â&#x2C6;&#x2019;3) = (â&#x2C6;&#x2019;3) â&#x2C6;&#x2122; 5 = â&#x2C6;&#x2019;15

(đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) + đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D; + (đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?)

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

(đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?)

(3 â&#x2C6;&#x2122; 4) â&#x2C6;&#x2122; 5 = 3 â&#x2C6;&#x2122; (4 â&#x2C6;&#x2122; 5)

đ?&#x2018;&#x17D;+0=đ?&#x2018;&#x17D;

y

0+đ?&#x2018;&#x17D; =đ?&#x2018;&#x17D;

3+0 =đ?&#x2018;&#x17D;

y

0+3=3

đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2122;0=0

y

0â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; =0

2â&#x2C6;&#x2122;0=0

y

0â&#x2C6;&#x2122;2=0

đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2122;1=đ?&#x2018;&#x17D;

y

1â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; =đ?&#x2018;&#x17D;

5â&#x2C6;&#x2122;1=5

y

1â&#x2C6;&#x2122;5=5

đ?&#x2018;&#x17D; + (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;) = (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;) + đ?&#x2018;&#x17D; = 0 1

1

đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2122; =1 y

De

todas

4 + (â&#x2C6;&#x2019;4) = (â&#x2C6;&#x2019;4) + 4 = 0

â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x17D; = 1 si đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030; 0

1

7â&#x2C6;&#x2122; =1 7

y

1 7

â&#x2C6;&#x2122;7=1

đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?

2 â&#x2C6;&#x2122; (3 + 4) = 2 â&#x2C6;&#x2122; 3 + 2 â&#x2C6;&#x2122; 4

đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?

5 â&#x2C6;&#x2122; (2 â&#x2C6;&#x2019; 4) = 5 â&#x2C6;&#x2122; 2 â&#x2C6;&#x2019; 5 â&#x2C6;&#x2122; 4

las

propiedades

que

hemos

enunciado,

trataremos

especialmente algunas de las que ocasionan mĂĄs errores al operar con dicho conjunto de nĂşmeros.

Comenzaremos con la: 1.3.1 Propiedad asociativa de la suma y el producto.

En sĂ­mbolos la propiedad se escribe: â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;?: (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) + đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D; + (đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?) y (đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;?). đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D;. (đ?&#x2018;?. đ?&#x2018;?)

Significa que, tanto en la suma como en el producto, los nĂşmeros pueden agruparse en cualquier orden.

Veamos algunos ejemplos:

ď&#x192;ź

2 + 3 + 4 = (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 15 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad I

ď&#x192;ź

1

1

1

10 . 3 . 2 = 10 . (3 . 2) = (10 . 3) . 2 = 15

Sin embargo, la propiedad asociativa no se verifica en el caso de la divisiĂłn, ni de la diferencia: Advierte que ni la resta

(16 â&#x2C6;ś 4): 2 = 4: 2 = 2

â&#x2030;

16 â&#x2C6;ś (4 â&#x2C6;ś 2) = 16: 2 = 8

(10 â&#x20AC;&#x201C; 5)â&#x20AC;&#x201C; 3 = 5 â&#x2C6;&#x2019; 3 = 2

â&#x2030;

10 â&#x20AC;&#x201C; (5 â&#x20AC;&#x201C; 3) = 10 â&#x2C6;&#x2019; 2 = 8

Otra de las propiedades de las operaciones con nĂşmeros reales

ni la divisiĂłn tienen esta propiedad, y esto es porque el orden en que se agrupan los

que aplicaremos frecuentemente es la:

nĂşmeros

1.3.2 Propiedad distributiva del producto respecto a la suma y a la resta.

Como su nombre lo indica, â&#x20AC;&#x153;distribuyeâ&#x20AC;? la operaciĂłn producto

altera

el

resultado.

â&#x20AC;&#x153;dentroâ&#x20AC;? de la suma o la resta.

En sĂ­mbolos la propiedad se escribe: â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;?: đ?&#x2018;&#x17D;. (đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;?

o (đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?). đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;?. đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?. đ?&#x2018;&#x17D;

y đ?&#x2018;&#x17D;. (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;? o (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?). đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;?. đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?. đ?&#x2018;&#x17D; Establece que si un nĂşmero multiplica a la suma (Ăł resta) de otros, es posible resolver la suma (Ăł resta) y luego multiplicar el resultado por el factor Ăł multiplicar el factor por cada tĂŠrmino de la suma (Ăł resta) y por Ăşltimo sumar (Ăł restar) los resultados parciales.

Advierte!

En el tercer ejemplo se incluyeron mĂĄs de dos tĂŠrminos

en

el

parĂŠntesis para mostrar que

tambiĂŠn

es

aplicable la propiedad

Esta Ăşltima opciĂłn es la que aplica la propiedad distributiva del

distributiva

del

producto a la suma

producto respecto de la suma (Ăł resta) de nĂşmeros reales.

algebraica.

AdemĂĄs, el nĂşmero real

Veamos algunos ejemplos en los que efectuamos las opciones descriptas precedentemente para que se aprecie que se arriba al mismo resultado.

que

multiplica

parĂŠntesis

es

al un

nĂşmero fraccionario por lo que, recuerda que su

1

2 ( 3 + 5) = 2 . 3 + 2 . 5 = 6 + 10 = 16

2

2 . 8 = 16

3

1 . (32 â&#x2C6;&#x2019; 4

4

1 . (24) 4

=

numerador multiplica a cada

Resolvimos primero el parĂŠntesis

12 + 4) = 24 4

Distribuimos el factor 2

32 12 â&#x2C6;&#x2019; 4 4

4 4

tĂŠrmino

parĂŠntesis

y

del su

denominador lo divide.

+ =8â&#x2C6;&#x2019;3+1=6 Distribuimos

đ?&#x;? đ?&#x;&#x2019;

=6 Resolvimos primero el parĂŠntesis

16 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad I

La propiedad anterior establece que el producto es distributivo respecto a la suma, por lo que no hay que confundir la propiedad en el otro sentido: La suma NO es distributiva respecto al producto. Es decir que si la operaciĂłn a realizar es 2 + (3.5) ,

no

confundirse queriendo aplicar la propiedad.

Veamos a travĂŠs de los dos procedimientos (uno correcto y el otro incorrecto) que los resultados a los que se arriba son diferentes.

Procedimiento correcto đ?&#x;? + (đ?&#x;&#x2018;. đ?&#x;&#x201C;) đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;?đ?&#x;&#x2022;

Procedimiento incorrecto

â&#x2030; â&#x2030; â&#x2030;

(đ?&#x;? + đ?&#x;&#x2018;). (đ?&#x;? + đ?&#x;&#x201C;) đ?&#x;&#x201C; . đ?&#x;&#x2022;

Se distribuyĂł errĂłneamente la suma

đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x201C;

se debe resolver la operaciĂłn indicada dentro del parĂŠntesis y luego se le suma el tĂŠrmino que estĂĄ fuera del parĂŠntesis.

Seguidamente enunciamos otras propiedades que se relacionan con la regla de los signos y que serĂ­a importante recordar. Si đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;? y đ?&#x2018;&#x2018; son nĂşmeros reales, (distintos de cero cuando figuran como denominador):

PROPIEDADES

EJEMPLO

đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?

2 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;3) = 2 + 3 = 5

(â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x17D; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;

(â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;&#x2122; 4 = â&#x2C6;&#x2019;4

â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?

â&#x2C6;&#x2019;(2 + 5) = â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; 5 = â&#x2C6;&#x2019;7

â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?

â&#x2C6;&#x2019;(3 â&#x2C6;&#x2019; 4) = â&#x2C6;&#x2019;3 + 4 = 1

â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;) = đ?&#x2018;&#x17D;

â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019;9) = 9

(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?

(â&#x2C6;&#x2019;8) â&#x2C6;&#x2122; 6 = â&#x2C6;&#x2019;8.6=-48

(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;) â&#x2C6;&#x2122; (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?

(â&#x2C6;&#x2019;2) â&#x2C6;&#x2122; (â&#x2C6;&#x2019;4) = 2.4 = 8

1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; ( ) = =â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?

1 â&#x2C6;&#x2019;3 3 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2122; ( ) = =â&#x2C6;&#x2019; 4 4 4

đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D; = =â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?

2 â&#x2C6;&#x2019;2 2 = =â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3 3 3 17 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad I

Por Ăşltimo, recordamos las siguientes propiedades:

PROPIEDADES

EJEMPLO

0 = 0 con đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030; 0 đ?&#x2018;&#x17D;

0 =0 3

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;( ) = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;

5 4( ) = 5 4

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2122; = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?. đ?&#x2018;&#x2018;

2 3 2.3 â&#x2C6;&#x2122; = 5 4 5.4

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; = = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?. đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?

2 3 2.3 2 â&#x2C6;&#x2122; = = 5 3 5.3 5

Esta Ăşltima propiedad constituye la PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FRACCIONES segĂşn la cual, si multiplicamos o dividimos numerador y denominador de una fracciĂłn por un mismo nĂşmero (excepto el 0), obtenemos una fracciĂłn equivalente a la dada.

PROPIEDADES

EJEMPLO

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;Âąđ?&#x2018;? Âą = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?

2 3 2Âą3 Âą = 4 4 4

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; Âą đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? Âą = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;

2 3 2â&#x2C6;&#x2122;5Âą3â&#x2C6;&#x2122;4 Âą = 4 5 4â&#x2C6;&#x2122;5

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;? =đ?&#x2018;&#x17D;áđ?&#x2018;? =đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2018; =đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;

2 3 =2á4= 2â&#x2C6;&#x2122;5 =2â&#x2C6;&#x2122;5 4 3 5 3 4 3â&#x2C6;&#x2122;4 5

Esta Ăşltima propiedad, corresponde a un cociente de fracciones, que se resuelve realizando el producto de extremos sobre producto de medios, o tambiĂŠn convirtiendo el cociente en multiplicaciĂłn de la fracciĂłn que figura como numerador por la fracciĂłn inversa que figura en el denominador.

Hemos recordado al conjunto de los nĂşmeros reales, sabemos quĂŠ operaciones podemos hacer con ellos y repasamos algunas de las propiedades mĂĄs importantes. ÂżEstamos en condiciones de comenzar a realizar operaciones con ellos y aplicar sus propiedades?

Facultad de Ciencias EconĂłmicas

18

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad I

Creemos que sĂ­, no obstante, nos parece importante que previo a ello te advirtamos sobre errores que por su frecuencia justifican que nos detengamos a considerarlos.

La revisiĂłn de algunos procedimientos que frecuentemente ocasionan errores, permitirĂĄ que reflexionemos sobre ellos para poder evitarlos.

La manipulaciĂłn de nĂşmeros reales es esencial para tener ĂŠxito en matemĂĄtica.

1.4. Recomendaciones al operar con nĂşmeros reales En este apartado nos detendremos especialmente en analizar los errores que comĂşnmente se cometen al operar con nĂşmeros reales.

ÂĄATENCIĂ&#x201C;N CON LOS SIGNOS! En muchos casos la apariciĂłn del signo menos (â&#x2C6;&#x2019;) requiere un poco mĂĄs de atenciĂłn. Para que puedas advertirlo te plantearemos las siguientes situaciones: Si la operaciĂłn a realizar es: 5 6

đ?&#x;&#x2018; + (đ?&#x;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x;?) = đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? = đ?&#x;&#x201D; đ?&#x;&#x2018; +

đ?&#x;&#x2018;

= đ?&#x;&#x201D;

(El parĂŠntesis puede suprimirse sin ninguna consecuencia) (Obtenemos lo mismo si resolvemos dentro del parĂŠntesis)

En cambio, si el parĂŠntesis estĂĄ precedido de un signo menos (â&#x2C6;&#x2019;), para suprimirlo debe cambiarse el signo de todos los tĂŠrminos de la expresiĂłn que figura dentro del parĂŠntesis: 7

đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x;?) = đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x201C; + đ?&#x;? = đ?&#x;&#x17D;

8

đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x;&#x2018;

= đ?&#x;&#x17D;

ÂĄADVIERTE lo que hubiera sucedido si eliminamos el parĂŠntesis sin cambiar los signos!

Procedimiento incorrecto. đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x;?) = đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;

(El parĂŠntesis puede suprimirse cambiando los signos) (Si resolvemos dentro del parĂŠntesis obtenemos el mismo resultado)

No se cambiaron los signos al suprimir el parĂŠntesis

Este procedimiento surge de aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, ya que el signo menos representa el factor (-1) que al multiplicar a cada tĂŠrmino del parĂŠntesis le cambia el signo por aplicaciĂłn de la ley de los signos.

Facultad de Ciencias EconĂłmicas

19

ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática /Unidad I

La llamada Ley de los signos se aplica tanto para el producto como para el cociente de números reales LEY DE LOS SIGNOS Producto

Cociente

(+) ∙ (+) = +

(+) ∶ (+) = +

(−) ∙ (−) = +

(−) ∶ (−) = +

(+) ∙ (−) = −

(+) ∶ (−) = −

(−) ∙ (+) = −

(−) ∶ (+) = −

A continuación, te compartimos los siguientes ejemplos: 9

(−3) (−5) = 15 1

10 (−1) . 5 . (−2) . 2 . (−3) = −15 11

(−4) .3 .(−2) (−6)

¡PRECAUCIÓN! Cuando intervienen más de dos

= −4

factores

se

debe

prestar atención a los En este ejemplo se combinaron productos con cocientes.

Es importante tener cuidado con los signos, sobre todo en

signos

que

asumiendo

van los

resultados parciales.

aplicaciones donde un signo erróneo nos estaría informando, por

Si hay un número impar

ejemplo, de la existencia de Ganancias cuando en realidad hay Pérdidas

de factores negativos el

o viceversa.

resultado será negativo,

Otro elemento que suele provocar errores es la aparición del cero, por ello también te decimos:

si el número de factores con signo negativo es par, el resultado será positivo.

20 Facultad de Ciencias Económicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad I

ÂĄCUIDADO CON EL CERO!

Antes de avanzar, piensa y responde: Âżes posible đ?&#x2018;&#x17D; 0

efectuar las siguientes divisiones: y

0 đ?&#x2018;&#x17D;

, con đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030; 0?

â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś Si aparece el cero como factor de un producto, cualquiera sea el nĂşmero o el signo de los demĂĄs factores, anula todo el resultado.

Si aparece en un cociente como dividendo, tambiĂŠn el resultado es nulo.

En

general,

el

cero

dividido por cualquier otro nĂşmero, da como resultado 0, con la sola excepciĂłn de que el denominador tambiĂŠn sea cero, ya que la đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x17D;

no tiene

cero

aparece

expresiĂłn soluciĂłn.

Si

el

como

divisor

de

cualquier cociente, la operaciĂłn

Veamos los siguientes ejemplos:

NO

soluciĂłn.

2 3

12 3 . 50 . (â&#x2C6;&#x2019;2). 0 . (â&#x2C6;&#x2019; ) = 0 0

13 0 â&#x2C6;ś 3 = 3 = 0 Los siguientes ejemplos muestran que: Si el cero aparece como divisor de un cociente, la operaciĂłn NO tiene soluciĂłn.

14

2

â&#x2C6;&#x2019;0

NO TIENE SOLUCIĂ&#x201C;N

No hay ningĂşn real que multiplicado por cero nos de -2

15

(â&#x2C6;&#x2019;1) .(â&#x2C6;&#x2019;3) . 15 2 . 0 . (â&#x2C6;&#x2019;4)

NO TIENE SOLUCIĂ&#x201C;N

Tampoco pudimos resolver este Ăşltimo cociente porque el cero anula el denominador y como la divisiĂłn por cero no existe, el cociente no puede resolverse.

Controla tu respuesta despuĂŠs de lo que acabas de leer.

Otro error muy frecuente se comete al intentar simplificar, es por ello que tambiĂŠn te recomendamos:

21 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

tiene

ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática /Unidad I

¡PRECAUCION AL SIMPLIFICAR!

Las simplificaciones suelen complicarse cuando trabajamos con números fraccionarios. Esto es a causa de que la aparición de numeradores y denominadores combinados en distintas operaciones, promueven simplificaciones de la expresión que no siempre son las correctas.

Como regla general, en cuanto a la simplificación de fracciones, podemos afirmar que en la multiplicación de fracciones es posible simplificar numeradores con denominadores; en cambio, si se las divide, es posible simplificar numeradores y denominadores entre sí.

Recuerda que al multiplicar fracciones se obtiene una nueva fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar los numeradores y su denominador, el producto de los denominadores.

Resolvamos el siguiente producto de Fracciones:



5 3

∙

4 5

=

5. 4 3. 5

=

4 20 15 3

=

4

Hemos simplificado por 5, numerador y denominador

3

También se pudo haber simplificado antes de efectuar la operación

1

5 4 4 ∙ = 3 5 3 1

Los dos procedimientos de simplificación son correctos y permiten arribar a igual resultado.

22 Facultad de Ciencias Económicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática /Unidad I

Consideremos el siguiente ejemplo:



2 3

4

2. 9 . 4

∶9=3

3

18

Hemos simplificado por 6, numerador y denominador

3

= 12 = 2 2

También se pudo haber simplificado numeradores y denominadores entre sí, previo a efectuar el cociente y el resultado hubiese sido el mismo.

1

2

2 4 1. 3 3 ∶ = = 3 9 1. 2 2 1 3

La misma operación pudo estar indicada con línea de fracción



2 3 4 9

3

=

18 12

2

3

=2

Multiplicamos extremos y lo dividimos por el producto de los medios, por último simplificamos por 6, numerador y denominador.

Si se trata de una división de fracciones, se resuelve multiplicando el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda para formar el numerador del resultado y dividiéndola por el producto entre el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

También se pudo haber simplificado antes de efectuar el cociente, extremos con medios.

Estas simplificaciones que redujeron en forma correcta, multiplicaciones y divisiones de fracciones, suelen trasladarse, erróneamente a operaciones de suma y resta de fracciones.

Veamos un ejemplo de suma de fracciones en donde cometimos un error muy común: Procedimiento incorrecto.

2

1 4 + 2 5

1

Es frecuente, el tratar de simplificar el 2 con el 4, por ser ambos divisibles por 2 y aparecer como numerador y denominador respectivamente, sin advertir que en este caso las fracciones están sumadas y que deberá resolverse sacando común denominador.

La única simplificación válida en operaciones de suma y resta de fracciones es cuando es posible reducir el numerador con el denominador de la misma fracción, y luego se resuelve a través del procedimiento de suma o resta de fracciones.

Facultad de Ciencias Económicas

23

ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática /Unidad I

Veamos el procedimiento correcto del ejemplo dado:



1 2

Primero buscar un denominador común que sea divisible por ambos denominadores

4

+ 5 = 10 (10 ∶ 2) . 1 = 5

y (10 ∶ 5) . 4 = 8 Segundo, dividir ese denominador común por cada denominador para luego multiplicarlo por el numerador respectivo

1 4 5 + 8 13 + = = 2 5 10 10

Resolvemos la suma en el numerador

El proceso inverso también puede realizarse.

Por ejemplo:

Si en el numerador tenemos un producto con un denominador común ¡CUIDADO!, el denominador no se distribuye en ese producto.

Observa el siguiente ejemplo: 5. 8 5 8 ≠ .

10 10 10 40 40 ≠ 10 100

Hemos visto que podemos distribuir un mismo denominador en una suma, pero si la suma está en el denominador, ¿es posible distribuir ese numerador? ¡ATENCIÓN! No es posible efectuar esa distribución.

Por ejemplo: 3 3 = 2+5 7

≠

3 3 15 + 6 21 + = = 2 5 10 10

RECUERDA: siempre debes prestar atención cuando operes con números, pero presta especial atención cuando adviertas signos Facultad de Ciencias Económicas

24

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad I

negativos, el cero, cuando quieras simplificar y cuando aparezcan fracciones.

Teniendo en cuenta las propiedades que repasamos, te proponemos resolver las actividades siguientes, comenzando con operaciones combinadas sencillas.

Observaciones para resolver actividades.

ATENCIĂ&#x201C;N:

Para

resolver la suma o resta de fracciones se debe

Actividad 3 Resuelve las siguientes operaciones con nĂşmeros reales: a)

2 3

b)

5 3

+9= .9 â&#x2C6;&#x2019;

comĂşn

denominador.

Nunca

debes

1 (â&#x2C6;&#x2019; 4)

simplificar

denominador

=

tĂŠrmino numerador

c) 4. (â&#x2C6;&#x2019;2 + 5) =

el

de

un

con

el

del

otro

tĂŠrmino.

CUIDADO: Los signos +

Actividad 4 Identifica el error que se cometiĂł en cada caso para arribar al resultado indicado y obtiene el resultado correcto: a)

sacar

2 3

1

3

+4=7

y â&#x20AC;&#x201C; separan tĂŠrminos.

RECUERDA:

Cuando

tienes un factor que multiplica a una suma o resta debes aplicar la

b) â&#x2C6;&#x2019; 2 . ( 3 â&#x20AC;&#x201C; 5) = â&#x2C6;&#x2019;11

propiedad: Distributiva del

Avanzando un poco mĂĄs con las operaciones con nĂşmeros reales, incluimos en este repaso los exponentes y radicales.

producto

con

respecto a la suma o a la resta.

1.5. Exponentes y radicales. ÂżRecuerdas quĂŠ operaciĂłn indica una potencia con exponente entero?

La expresiĂłn đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018; es una potencia de base đ?&#x;? y exponente đ?&#x;&#x2018; que se resuelve multiplicando tantas veces la base como lo indica el

A

veces

suele

confundirse

la

potencia

exponente.

con

un

simple producto y se resuelve 23

Por ello:

23 =

2â?&#x;. 2 . 2

=8

đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 3 đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; 2

INCORRECTAMENTE como đ?&#x;? . đ?&#x;&#x2018; = đ?&#x;&#x201D;

Recordemos las PROPIEDADES BASICAS DE LOS EXPONENTES 25 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática /Unidad I

PROPIEDADES

EJEMPLO 5

2 =⏟ 2∙2∙2∙2∙2

𝑥𝑛 = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ … ∙ 𝑥

5 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

𝑥 2 ∙ 𝑥 3 = 𝑥 2+3 = 𝑥 5 𝑥 𝑛 ∙ 𝑥 𝑚 = 𝑥 𝑛+𝑚 𝑥0 = 1 𝑥 −𝑛 =

si

23 ∙ 25 = 23+5 = 28 = 256 20 = 1

𝑥≠0

1 1 = 𝑥𝑛 ⏟ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ …∙ 𝑥

2−3 =

𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

1 1 = 3 2 8

1 = 𝑥5 𝑥 −5 1 = 23 2−3

1 = 𝑥𝑛 𝑥 −𝑛

212 = 212−8 = 24 = 16 28

𝑥𝑚 1 = 𝑥 𝑚−𝑛 = 𝑛−𝑚 𝑛 𝑥 𝑥

28 1 = 28−12 = 2−4 = 12 2 16

𝑥𝑚 = 𝑥 𝑚−𝑚 = 𝑥 0 = 1 𝑥𝑚

24 == 1 24 (𝑥 5 )3 = 𝑥 5∙3 = 𝑥 15

(𝑥 𝑚 )𝑛

=𝑥

𝑚∙𝑛

(23 )2 = 23∙2 = 26 = 64

(𝑥 ∙ 𝑦)𝑛 = 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛

(2 ∙ 4)3 = 23 43

𝑥 𝑛 𝑥𝑛 ( ) = 𝑛 𝑦 𝑦

2 3 23 8 ( ) = 3= 3 3 27

𝑥 −𝑛 𝑦 𝑛 ( ) =( ) 𝑦 𝑥

3 −2 4 2 16 ( ) =( ) = 4 3 9

Veamos un ejemplo en el que aparece una potencia en uno de los factores de un producto:

26 Facultad de Ciencias Económicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad I

ď&#x192;ź

Como el exponente afecta solo a uno de los factores, primero se debe resolver la potencia y luego multiplicar ese resultado por el otro factor (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2013;)

1 4

(â&#x2C6;&#x2019;8). ( ) = 2

En este producto no es posible simplificar el đ?&#x;? con el (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2013;) ya que el đ?&#x;? estĂĄ afectado por el exponente đ?&#x;&#x2019; y el (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2013;) no lo estĂĄ.

La potencia es distributiva respecto del cociente y del producto, por lo que, podemos distribuir el exponente 4 en el numerador y en el denominador de la fracciĂłn

(â&#x2C6;&#x2019;8) .

14 = 24 Resolvemos las potencias obtenidas

(â&#x2C6;&#x2019;8) .

â&#x2C6;&#x2019;1

(â&#x2C6;&#x2019;8) .

1 = 16

1 1 =â&#x2C6;&#x2019; 16 2

Y por Ăşltimo simplificamos

2

Hemos recordado cĂłmo se resuelven las potencias de exponente entero positivo, pero ÂżquĂŠ sucede si el exponente es cero o un nĂşmero entero negativo?

TODO nĂşmero (excepto el cero) elevado al exponente đ?&#x;&#x17D; , da por resultado đ?&#x;?. .

Ejemplos:

ď&#x192;ź

150 = 1

ď&#x192;ź

(â&#x2C6;&#x2019; ) = 1

ď&#x192;ź

00

3 0 2

NO TIENE SOLUCIĂ&#x201C;N.

Si, en cambio, el exponente de la potencia es un nĂşmero entero negativo, el procedimiento correcto para resolverlo consiste en elevar al inverso multiplicativo de la base al mismo exponente, pero con signo positivo.

27 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad I

ÂżRecuerdas

cĂłmo

se

obtienen

los

inversos

multiplicativos o recĂ­procos?

El recĂ­proco de El de 3 es

4

es

4 5

1 3 1

El de â&#x2C6;&#x2019;3 es -

3

El de 1 es

5

1 1

(advierte que no cambiamos el signo)

=1

El de 0 NO EXISTE porque serĂ­a

1 0

y la divisiĂłn por cero no estĂĄ

definida.

Resolvamos, por ejemplo, una potencia con exponente negativo.

2 â&#x2C6;&#x2019;2

16 (5)

5 2

52

= (2) = 22 =

25 4

Veamos otro ejemplo combinando el producto y el exponente negativo.

2 â&#x2C6;&#x2019;2

17

[(â&#x2C6;&#x2019;7) . 3]

=

2 â&#x2C6;&#x2019;2 = (â&#x2C6;&#x2019;7)â&#x2C6;&#x2019;2 . ( ) = 3

Como la potencia es distributiva respecto del producto, primero se distribuyĂł el exponente (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?) en cada uno de los factores de la base

1 2 3 2 = (â&#x2C6;&#x2019; ) . ( ) = 7 2

Como el exponente de las potencias tiene signo negativo se tomĂł el recĂ­proco de cada factor y se lo elevĂł al exponente đ?&#x;?.

=

1 49

.

9 9 = 4 196

AclaraciĂłn: tambiĂŠn se pudo haber resuelto este ejemplo de esta otra forma:

28 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad I

2 â&#x2C6;&#x2019;2 ྤ(â&#x2C6;&#x2019;7). ྨ = 3

Primero se resuelve el producto dentro del corchete, luego se eleva a (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?) este resultado parcial; como el exponente (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?) es negativo, se eleva al exponente đ?&#x;? el recĂ­proco del resultado parcial y por Ăşltimo se calcula la potencia.

14 â&#x2C6;&#x2019;2 3 2 9 = (â&#x2C6;&#x2019; ) = (â&#x2C6;&#x2019; ) = 3 14 196

A medida que se van combinando operaciones, se acrecienta la posibilidad de cometer errores, sobre todo al operar con signos y al efectuar simplificaciones incorrectas, por ello es conveniente realizar paso a paso cada operaciĂłn, por lo menos hasta adquirir la prĂĄctica suficiente.

Hemos recordado cĂłmo se resuelve una potencia que tiene por exponente un nĂşmero entero, pero ÂżquĂŠ sucede si en la potencia aparece un exponente fraccionario?; ÂżCĂłmo resolvemos, por ejemplo, la potencia 43/2?

PROCEDIMIENTO:

una

potencia

de

exponente

fraccionario da origen a una raĂ­z de Ă­ndice igual al denominador de la fracciĂłn y que tiene como radicando a la base de la potencia, que queda elevada a un exponente igual al numerador de la fracciĂłn.

2

2

En nuestro ejemplo 43/2 = â&#x2C6;&#x161;43 = â&#x2C6;&#x161;64 = 8 La potencia de exponente fraccionario da origen a una raĂ­z.

Extraer la raĂ­z a un nĂşmero es encontrar otro, tal que elevado al Ă­ndice de la raĂ­z permita obtener el radicando. Es decir que, para resolver estas potencias de exponentes fraccionarios, debemos saber resolver raĂ­ces.

29 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática /Unidad I

Recordemos, entonces, las PROPIEDADES BASICAS DE LOS RADICALES

PROPIEDADES

EJEMPLO 1

1 𝑥𝑛

5

35 = √3

𝑛

= √𝑥

1

3

83 = √8 = 2 1

𝑥 −𝑛 =

1

=

1

4− 2 =

𝑛

3 𝑛

1 42

√𝑥

𝑥𝑛 𝑛

1

1

1

3

=

1 √4

=

3

1 2 3

√9 ∙ √2 = √9 ∙ 2 = √18

𝑛

√ 𝑥 ∙ √𝑦 = √𝑥 ∙ 𝑦 3

3

3

3

√9 ∙ √3 = √9 ∙ 3 = √27 = 3

𝑛

√𝑥

3

√80

𝑥 = √ 𝑛 𝑦 √𝑦 𝑛

𝑚 𝑛

√ √𝑥 =

𝑚

𝑛

𝑛

3

√10

𝑛

𝑛

√ √2 = 12√2

√𝑥 𝑚

( √𝑥 ) = 𝑥

80 3 = √8 = 2 10

3 4

𝑚∙𝑛

𝑥 𝑛 = √𝑥 𝑚 = ( √𝑥 ) , 𝑚 ≠ 𝑛

3

=√

2

2

3

3 83 = √82 = ( √8) = 22 = 4 8

8

( √7) = 7

30 Facultad de Ciencias Económicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad I

Resolvamos mentalmente algunas raĂ­ces sencillas: 3

1 â&#x2C6;&#x161;8 = 2 porque 23 = 8 4

2 â&#x2C6;&#x161;81 = 3 5

3 â&#x2C6;&#x161;1 = 1 4

4 â&#x2C6;&#x161;25 =

â&#x2C6;&#x161;4 â&#x2C6;&#x161;25

2

=5

Veamos un ejemplo de combinaciones sencillas de

ď&#x201A;ˇ Cuando no se indica el Ă­ndice de la raĂ­z, se interpreta que el Ă­ndice es 2 (tambiĂŠn se la conoce como raĂ­z cuadrada). ď&#x201A;ˇ La radicaciĂłn al igual que la potencia es distributiva con respecto al producto y al cociente.

exponentes y radicales: â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x161;1 . (1) 8 4

3

â&#x2C6;&#x161;1 + 5 . (1) 4 6

=

Iremos resolviendo paso a paso las operaciones, para que se adviertan los pasos que vamos ejecutando: Para resolver el producto del numerador, primero se debe extraer la raĂ­z cĂşbica de

â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2C6;&#x161;1 . (1) 8 4

3

1 . 16 =2 3 1 â&#x2C6;&#x161;1 + 5 . (1) 2 .6 4 6

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;&#x2013; đ?&#x;? y resolver la potencia del otro factor đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;? (đ?&#x;&#x2019;) = (đ?&#x;?) = đ?&#x;?đ?&#x;&#x201D;. uno de los factores

đ?&#x;&#x2018;

â&#x2C6;&#x161; =

Mientras tanto, en el denominador se deberĂĄ resolver la raĂ­z 4+5 4 1 y luego multiplicar el resultado por 6 cuadrada de la suma â&#x2C6;&#x161;1 +

3 1 â&#x2C6;&#x161; .

8

5 4

1 â&#x2C6;&#x2019;2 4

( )

5 â&#x2C6;&#x161;1+ .

4

1 ( ) 6

=â&#x2C6;&#x161;

9

3

= â&#x2C6;&#x161;4 = 2

ÂĄATENCIĂ&#x201C;N! La radicaciĂłn al igual que la potenciaciĂłn NO es distributiva respecto de la suma, por lo que

=

8 1 4

= 32

primero resolver

se la

debe suma

y

luego extraerle la raĂ­z al resultado parcial.

Simplificando los productos de fracciones y resolviendo la Ăşltima fracciĂłn obtenida, se llega al resultado definitivo

Hasta aquĂ­ hemos desarrollado un breve repaso de las operaciones con nĂşmeros reales, describiendo a travĂŠs de ejemplos los procedimientos mĂĄs comunes y advirtiendo sobre los errores mĂĄs frecuentes.

Facultad de Ciencias EconĂłmicas

31

ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática /Unidad I

Para que ejercites los temas vistos, te proponemos resolver las siguientes operaciones con números reales:

Actividad 5 Resuelve las siguientes operaciones con números reales: 2 5 1 1 a) 3 . 3 + 5 : 3 − 5 . 5 = b)

1 9

. 2 − 7 . 3 + 2 . (− 4) =

3

1

7

c)

1 2

− 7 + 14 − 7 + 1 =

d)

5 12

1

1

5

3

2

1

7

5

1

− (2 − 2) + 6 − 4 =

4 −1

3 2

e) (3)

3 −2

. (4) ∶ (4)

=

f) (−2)−2 . (−2)−3 ∶ (−2)−1 = g)

27 ∶ 24 ∶ 2−3 (24 . 25 )2 ∶ 27

=

4

h) √(−2)−6 . (−2)8 . (−2)2 = 49 121

i) √

.√

9 −1

j) (5) k) l) m) n)

o) p)

3− 2 3

2 1 −(− ) 5 3 11 − 5 2 3 1 3 2 3

− ( − ) −1

1 4 2 2 3 1 3 . (1− ) 12 1 3

11 25

1 −4

1

3

− √− 8 . √(2)

=

=

−1

( + )

( −1)

9 −1

=

(2− ) −3 1 3

9 2

=

=

−( −2)

( +4 2 )

4 .( )

+ (5) . (5)

1 2

3 2 4

7 −1 22

25 − 4

= 7

+9=

2

. (−12) =

√ +1 4

−2

(3) 3 1 q) √(4) . (−3)3 . (−2)3 . (2)−1 =

r)

1 (− 2

+

5 −2 6 ) :7 3

3

7 8

− √1 − +

1

1

4 2 (9)

1 3 (8)

+

= 32

Facultad de Ciencias Económicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática /Unidad II

II Expresiones Algebraicas Si combinamos los conjuntos numéricos vistos anteriormente, con la idea

de

variable

(una

letra

como

número

generalizado) llegamos al concepto de ÁLGEBRA. El cálculo algebraico nace como una generalización del modelo numérico.

Así como para trabajar con modelos aritméticos ó numéricos tuvimos que aprender a realizar cálculos con números, para trabajar con un modelo algebraico debemos ser hábiles en cálculos con variables. Por ello en esta segunda parte se combinarán números representados con símbolos, a través de operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación ó extracción de raíces.

Objetivos:

  

Operar con expresiones algebraicas enteras.

Utilizar productos especiales.

Establecer las reglas básicas de factorización y aplicarlas para factorizar expresiones.



Simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas racionales

Para lograrlos te proponemos los siguientes:

Contenidos: 2.1. Expresiones Algebraicas Racionales.

2.1.1. Expresiones Algebraicas Enteras.

2.1.1.1.

Operaciones con Expresiones Algebraicas Enteras.

2.1.1.2.

Productos Notables.

2.1.1.3.

Reglas de Factorización.

2.1.2. Expresiones Algebraicas Fraccionarias.

2.1.2.1. Operaciones

con

Expresiones

Algebraicas

Fraccionarias.

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2.1. Expresiones algebraicas racionales.

En esta Unidad, vamos a trabajar con expresiones algebraicas, que son aquellas en las que figuran nĂşmeros y letras relacionadas por las operaciones aritmĂŠticas.

De acuerdo a las operaciones que intervienen, se las clasifican en expresiones algebraicas racionales e irracionales.

Nos dedicaremos al repaso de las expresiones racionales.

Las expresiones algebraicas RACIONALES son aquellas en las cuales algunas de sus variables forman parte del denominador o figuran en el numerador con exponente entero.

Por ejemplo, son expresiones algebraicas racionales: 1

đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ś

; 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3+2 ; đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 4

A su vez las Expresiones Algebraicas Racionales se dividen en dos grupos: las Enteras y las Fraccionarias.

Comenzaremos con las Expresiones Algebraicas Enteras: 2.1.1. Expresiones algebraicas enteras

Se llama expresiĂłn algebraica entera a toda combinaciĂłn de nĂşmeros y letras relacionadas a travĂŠs de las operaciones de adiciĂłn, sustracciĂłn, multiplicaciĂłn y potenciaciĂłn con exponente natural. Por ende, en estas expresiones no aparece ninguna letra en el denominador ni afectada por una raĂ­z o por un exponente negativo.

Ejemplos de expresiones algebraicas enteras:

ď&#x192;ź

3đ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ + 1 es una expresiĂłn algebraica entera en la variable đ?&#x2018;Ľ.

ď&#x192;ź

(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś)3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;Ś es una expresiĂłn algebraica entera en las variables đ?&#x2018;Ľ e đ?&#x2018;Ś.

ClasificaciĂłn de expresiones algebraicas enteras Las expresiones algebraicas enteras las clasificamos en monomios y polinomios:

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Monomio: Es toda expresiĂłn algebraica entera constituida por un sĂłlo tĂŠrmino. Las letras solamente estĂĄn afectadas por operaciones de producto y de potencia de exponente natural.

Por Ejemplo: â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;&#x17D;3 đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;?

Es un monomio constituido por el nĂşmero negativo, â&#x2C6;&#x2019;3, que recibe el nombre de "coeficiente" y la â&#x20AC;&#x153;parte literalâ&#x20AC;?: đ?&#x2018;&#x17D;3 đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;?.

Puede observarse que las operaciones involucradas son la multiplicaciĂłn y la potencia de exponente natural.

Monomios semejantes: Son los que tienen igual parte literal (las mismas letras elevadas a los mismos exponentes).

Por Ejemplo: â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;&#x17D;3 đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;? es semejante a 5đ?&#x2018;&#x17D;3 đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;?

Polinomio: Es una expresiĂłn algebraica entera compuesta por la suma algebraica (suma y/o resta) de monomios no semejantes.

Por ejemplo: 3đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 5đ?&#x2018;Ľ + 8

Es posible realizar operaciones con las expresiones algebraicas enteras, aplicando las mismas propiedades que vimos en los modelos numĂŠricos.

2.1.1.1. Operaciones con expresiones algebraicas enteras.

Comencemos con las SUMAS ALGEBRAICAS

PROCEDIMIENTO: Primero se suman los monomios semejantes que, como dijimos, son aquellos que tienen la misma parte literal y difieren sĂłlo en sus coeficientes. Luego de esta asociaciĂłn, obtenemos la suma de monomios no semejantes, dando por resultado el polinomio.

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Algunos ejemplos: 18

2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś 3 + 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś 3 = 7đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś 3

Sumamos los monomios semejantes

ď&#x192;ź

(3đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ + 1) + (4đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ś + 6đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) =

Como en este caso existen parĂŠntesis que agrupan tĂŠrminos, lo primero que debemos hacer es suprimirlos, recordando que si estĂĄn precedidos por el signo mĂĄs (+) las operaciones indicadas dentro del parĂŠntesis siguen igual y si las precede un signo menos (-) se deberĂĄn cambiar los signos comprendidos dentro del parĂŠntesis

3đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ + 1 + 4đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ś + 6đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 =

đ?&#x;?

Asociamos los tĂŠrminos semejantes: đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x161; con đ?&#x;? đ?&#x;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x161; ; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; con đ?&#x;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122;, 1 con â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x;&#x2018; y los sumamos.

Resultado final, al no poder seguir operando con la expresiĂłn

= 7đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ś + 4đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2

Otro ejemplo mĂĄs:

ď&#x192;ź

â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ś 2 + 5 â&#x2C6;&#x2019; (3đ?&#x2018;Ś 2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś) + đ?&#x2018;Ľ = Suprimimos el parĂŠntesis cambiando el signo de los tĂŠrminos que figuran dentro de ĂŠl

= â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ś 2 + 5 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľ = Sumamos o restamos los tĂŠrminos semejantes

= â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ś 2 + 5 + đ?&#x2018;Ľ

Este Ăşltimo es el resultado final ya que no es posible realizar ningĂşn otro cĂĄlculo con tĂŠrminos que NO son semejantes.

Avanzando

con

otras

operaciones,

veremos

MULTIPLICACIĂ&#x201C;N DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

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la 36

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad II

PROCEDIMIENTO: la propiedad distributiva es la herramienta clave para multiplicar expresiones algebraicas. Se las resuelve multiplicando tĂŠrmino a tĂŠrmino y por Ăşltimo se suman los tĂŠrminos semejantes.

Veamos un ejemplo en el que se multiplican dos expresiones algebraicas:

ď&#x192;ź

(2đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś)(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľ) = Se realiza el producto de una de las sumas por la otra, aplicando la propiedad distributiva del producto respecto a la suma

= 2đ?&#x2018;Ľ(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś) + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś) + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ = = â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + 2đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ =

Se aplica regla de signos del producto y propiedades del producto de potencias de igual base

Se asocian y suman o restan los tĂŠrminos semejantes

= â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + 2đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś 2 Otro ejemplo:

ď&#x192;ź

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)(đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś) = Comenzamos multiplicando los tĂŠrminos del primer parĂŠntesis por los del segundo o a la inversa porque el orden de los factores NO altera el producto.

=đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 1đ?&#x2018;Ľ 3 + 1đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 1đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś Efectuamos el producto de la x del primer parĂŠntesis por cada tĂŠrmino del segundo parĂŠntesis (prestar atenciĂłn a los signos) y luego hacemos lo mismo con el â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?.

= đ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 3 + đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś = Se resuelven los productos de cada tĂŠrmino đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;&#x2019; cuando sea posible: đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x2019;&#x2122; ; đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x161; , sumando o restando los tĂŠrminos semejantes.

= đ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 3 + đ?&#x2018;Ś

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Actividad 6 Resuelve las siguientes operaciones con expresiones algebraicas: a)

đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ľ =

b)

đ?&#x2018;Ľ2 + đ?&#x2018;Ľ2 =

c)

2đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľ =

d)

2đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;Ľ 2 =

e)

đ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;Ľ =

f)

đ?&#x2018;Ľ 2. đ?&#x2018;Ľ 2 =

g)

2đ?&#x2018;Ľ. 2đ?&#x2018;Ľ =

h)

2đ?&#x2018;Ľ 2 . 2đ?&#x2018;Ľ 2 =

i) (2đ?&#x2018;Ľ + 5). (â&#x2C6;&#x2019;8đ?&#x2018;Ľ + 4) =

j) 2đ?&#x2018;Ľ 2 + 5đ?&#x2018;Ľ + 2 â&#x2C6;&#x2019; (4đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ) =

Actividad 7 Completa el siguiente cuadro, con las operaciones indicadas: đ?&#x2018;´

đ?&#x2018;ľ

đ?&#x2018;´+đ?&#x2018;ľ

đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018;

đ?&#x;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?

đ?&#x;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;&#x201C;

đ?&#x;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;?

đ?&#x2018;´â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;ľ

đ?&#x2018;´â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;ľ

Actividad 8 Dadas las expresiones algebraicas enteras (o polinomios en đ?&#x2018;Ľ): đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;5 + 2đ?&#x2018;Ľ 3 + 4đ?&#x2018;Ľ 2 y đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ) = 3đ?&#x2018;Ľ 4 + đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 , calcula: đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) . đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ)

2.1.1.1.1. Productos notables.

Hay productos de expresiones algebraicas que por la frecuencia con que aparecen se los denomina ESPECIALES Ăł NOTABLES y que por el mismo motivo es muy conveniente incluirlos en este repaso.

CUADRADO DE UN BINOMIO En sĂ­mbolos: (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;)2 = đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;2 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;)2 = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;2 Binomio: porque es la suma (Ăł resta) de dos tĂŠrminos no semejantes.

Cuadrado: porque aparece elevado al exponente 2.

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ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad II

PROCEDIMIENTO: el resultado es el cuadrado del primer tĂŠrmino mĂĄs (Ăł menos) el doble producto del primer tĂŠrmino por el segundo mĂĄs el cuadrado del segundo tĂŠrmino.

Procedimiento correcto

Procedimiento incorrecto

(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;)2 = đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;2

(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;)2 = đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;&#x17D;2 Porque la potencia NO es distributiva con respecto a la suma (Ăł la resta).

El procedimiento correcto surge de multiplicar tĂŠrmino a tĂŠrmino la expresiĂłn algebraica de la base por sĂ­ misma:

ď&#x192;ź ď&#x192;ź

(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;)2 = (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;). (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;) = đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;2 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;)2 = (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;). (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;) = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;2

Desarrollemos el cuadrado del siguiente binomio: 19 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 5)2 = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2122; 5 + 52 = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 10đ?&#x2018;Ľ + 25

Actividad 9 Desarrolla las siguientes expresiones: a) (2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ)2 = b) (2đ?&#x2018;Ľ + 1)2 =

PRODUCTO DE UNA SUMA Y UNA DIFERENCIA En sĂ­mbolos: (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;). (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;) = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;2 Esta igualdad puede verificarse efectuando la multiplicaciĂłn y cancelando los tĂŠrminos iguales con signos opuestos: (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;). (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;) = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;2 = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;2

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PROCEDIMIENTO: La suma por la diferencia de dos bases es igual a la diferencia de los cuadrados de las bases.

Los productos notables

Por ejemplo: 20

son igualdades que se

(đ?&#x2018;Ľ + 2). (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2) = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 4

denominan identidades, dado que se

verifican

para

TambiĂŠn es frecuente que se deba desarrollar el procedimiento

cualquier valor que se

inverso de escribir la expresiĂłn algebraica como producto de sus

les asignen a sus letras.

factores utilizando: 2.1.1.1.2. Reglas de factorizaciĂłn Las mĂĄs utilizadas son:

FACTOR COMĂ&#x161;N En sĂ­mbolos: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x17D;. (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś) Es decir, se trata de la recĂ­proca de la propiedad distributiva del producto respecto a la suma (Ăł a la resta).

Por ejemplo:

ď&#x192;ź

2đ?&#x2018;Ľ 2 + 4đ?&#x2018;Ľ = 2đ?&#x2018;Ľ. (đ?&#x2018;Ľ + 2)

Como la expresiĂłn đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; se repite en los dos tĂŠrminos, se extrae como factor comĂşn, que multiplica a (đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;?).

La expresiĂłn (đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;?) se obtiene de dividir cada tĂŠrmino del primer miembro por el factor comĂşn, asĂ­: đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? á đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x2019;&#x2122; y đ?&#x;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122; á đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;?

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FACTOR COMĂ&#x161;N EN GRUPOS En sĂ­mbolos: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ 3 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 . (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2018;) + đ?&#x2018;?. (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2018;) = (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2018;). (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?)

En lugar de presentar un factor comĂşn en toda la expresiĂłn, se presenta el factor comĂşn en grupos de igual nĂşmero de tĂŠrminos.

Por ejemplo:

ď&#x192;ź

3đ?&#x2018;Ś 3 + 12đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 8 =

En este caso, de los dos primeros tĂŠrminos se extrae como factor comĂşn đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x;? , y de los dos Ăşltimos tĂŠrminos el factor comĂşn es (â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x;?).

= 3đ?&#x2018;Ś 2 (đ?&#x2018;Ś + 4) â&#x2C6;&#x2019; 2(đ?&#x2018;Ś + 4) =

= (đ?&#x2018;Ś + 4). (3đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 2)

Si observamos los parĂŠntesis, queda la misma expresiĂłn (đ?&#x2019;&#x161; + đ?&#x;&#x2019;) , la que ahora pasa a ser factor comĂşn de los dos tĂŠrminos, obteniĂŠndose el producto final

Actividad 10 Factoriza las siguientes expresiones. a) 4đ?&#x2018;Ľ 5 + 4đ?&#x2018;Ľ = b) 6đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; 16 + 24đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ =

41 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad II

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO En sĂ­mbolos: đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;2 = (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;)2 đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;2 = (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;)2 Si identificamos un trinomio cuadrado perfecto, podemos indicarlo como el cuadrado de la suma (o resta) de sus bases.

Por ejemplo, la expresiĂłn:

ď&#x192;ź

Es un trinomio cuadrado perfecto, porque tenemos dos tĂŠrminos elevados al cuadrado: đ?&#x;? y đ?&#x2019;&#x203A; y un tercer tĂŠrmino que es el doble producto de los otros dos: đ?&#x;? . đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;&#x2019;đ?&#x2019;&#x203A;.

4 + 4đ?&#x2018;§ + đ?&#x2018;§ 2 = (2 + đ?&#x2018;§)

Sin embargo:

9 + 2đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ś 2 = NO es un trinomio cuadrado perfecto

Porque a pesar de que tiene tres tĂŠrminos y existen dos tĂŠrminos que aparecen elevados al cuadrado (đ?&#x;&#x2018; e â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2019;&#x161;â&#x20AC;?), no aparece el doble producto del primero por el segundo: đ?&#x;? . đ?&#x;&#x2018; . đ?&#x2019;&#x161;

= đ?&#x;&#x201D;đ?&#x2019;&#x161;.

Actividad 11 Factoriza las siguientes expresiones. a) đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ + 1 = b) 4đ?&#x2018;Ľ 2 + 16đ?&#x2018;Ľ + 16 =

42 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad II

DIFERENCIA DE CUADRADOS En sĂ­mbolos: đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;2 = (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;). (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;) La diferencia (ÂĄatenciĂłn!, NO la suma) de dos tĂŠrminos cuadrados pueden expresarse como el producto de la suma por la diferencia de sus bases.

Por ejemplo:

ď&#x192;ź

16 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 = (4 + đ?&#x2018;Ľ). (4 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ)

Actividad 12 Decir si es Verdadero (V) o Falso (F): a) (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?)2 = (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?). (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) b) (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?)2 = (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?). (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) c) (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?)2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? 2 d) (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?)2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 e) đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 = (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?). (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) f) đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 = (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?). (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) g) (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ + 1)2 = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ + 1 h) đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;Ľ + 1 = (đ?&#x2018;Ľ + 1)2 i) 4đ?&#x2018;Ľ 2 + 16đ?&#x2018;Ľ + 16 = (2đ?&#x2018;Ľ + 4)2 j) â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;? 2 = (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?). (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?)

Actividad 13 Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: a) 4đ?&#x2018;Ľ 5 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ = b) 9đ?&#x2018;Ś + 24đ?&#x2018;Ś 2 + 16đ?&#x2018;Ś 3 = c) 24đ?&#x2018;Ľ 2 + 6đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 16 = d) 16đ?&#x2018;Ľ 3 + 9đ?&#x2018;Ľ + 24đ?&#x2018;Ľ 2 = e) 9đ?&#x2018;Ľ 6 â&#x2C6;&#x2019; 9đ?&#x2018;Ľ 2 = 43 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad II

A continuaciĂłn, te proponemos una Actividad Integradora de estos Productos Notables.

Actividad 14 Desarrolla o factoriza, segĂşn corresponda, cada una de las siguientes expresiones: a) (3 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ)2 = b) 4đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 36 = c) 2đ?&#x2018;Ľ 2 + 8đ?&#x2018;Ľ + 8 = d) 16đ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019; 16đ?&#x2018;Ľ 2 = e) 2đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; 16đ?&#x2018;Ľ 2 + 32đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 64 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ 2 + 32đ?&#x2018;Ľ = f) (2đ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Ś)2 =

Hemos analizado la suma y el producto de expresiones algebraicas, pero puede suceder que debamos considerar expresiones tales como: 8 đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1

;

2 + 3đ?&#x2018;Ľ 6đ?&#x2018;Ľ

en donde la variable aparece en el denominador

Estas expresiones se denominan: EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS, e implican cocientes:

44 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

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2.1.2. Expresiones algebraicas fraccionarias Las expresiones algebraicas fraccionarias son cocientes de polinomios.

En sĂ­mbolos: Expresiones Algebraicas Fraccionarias tienen la forma: đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ) donde đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) y đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ) son POLINOMIOS.

Ejemplos de expresiones algebraicas FRACCIONARIAS:

ď&#x192;ź

3đ?&#x2018;Ľ 3 +2đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ+1 3đ?&#x2018;Ľ 2 +2đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3

ď&#x192;ź

2đ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019;8 đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2

2.1.2.1. Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.

Las reglas que guĂ­an las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias son las mismas reglas de las fracciones, tambiĂŠn nombradas en este material.

Veamos algunos ejemplos en los que debamos resolver expresiones algebraicas fraccionarias: 1° se saca factor común en el numerador del primer factor y en el denominador del segundo factor

3

3đ?&#x2018;Ľ + 9 18 3. (đ?&#x2018;Ľ + 3) 18 3 .3 9 . = . = = 6 5đ?&#x2018;Ľ + 15 6 5. (đ?&#x2018;Ľ + 3) 5 5 1

ÂĄATENCIĂ&#x201C;N! No existe una regla que sea aplicable en cada caso. DependerĂĄ mucho de tu ingenio reconocer quĂŠ regla de factorizaciĂłn o quĂŠ producto notable conviene aplicar en el caso especĂ­fico de manera de simplificar la expresiĂłn y arribar al resultado.

2° se simplifican los factores del numerador con los del denominador, o sea, (đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;&#x2018;) con (đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;&#x2018;) y el đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013; con el đ?&#x;&#x201D;; luego se multiplica derecho.

Veamos otro ejemplo resuelto: Facultad de Ciencias EconĂłmicas

45

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica /Unidad II

Se resolviĂł la suma del numerador.

ADVIERTE que en el resultado no se pudo simplificar las đ?&#x2018;Ľ del numerador y denominador ya que la đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? estĂĄ afectada por la resta del 1 , no por el producto.

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) + 1 1 1 đ?&#x2018;Ľ + 2 = = 2 2 đ?&#x2018;Ľ+1 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1

Se buscĂł un comĂşn denominador para los dos sumandos, recuerda que đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? = (đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?). (đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;?)

Seguidamente te proponemos algunas actividades que incluyen operaciones con expresiones algebraicas racionales, junto a casos de factoreo, para reafirmar los temas repasados. ÂĄA PRACTICAR ÂĄ

Actividad 15 Factoriza, resuelve y simplifica, segĂşn corresponda: a)

đ?&#x2018;Ľ 2 +8đ?&#x2018;Ľ+16 đ?&#x2018;Ľ+4

c)

4đ?&#x2018;Ľ 5 â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľ 9đ?&#x2018;Ľ 6 â&#x2C6;&#x2019;9đ?&#x2018;Ľ 2

e)

24đ?&#x2018;Ľ 2 +6đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;16 3đ?&#x2018;Ľ 3 +12đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;8

g)

=

=

(đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1).(đ?&#x2018;Ľ+2) đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;7

â&#x2C6;&#x2019;

i)

(đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019;9) (đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;3) . (đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1) (đ?&#x2018;Ś+3)

k)

2đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ľ 2 : đ?&#x2018;Ľ 2â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

=

=

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľ+8 + (đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;7).(đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2) đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;7

=

=

b)

đ?&#x2018;Ľ 3 +4đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;16đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;64 đ?&#x2018;Ľ+4

d)

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ 3 +2đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2

f)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľ+2

h)

đ?&#x2018;Ľ+1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ+1 + đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ+1 2đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2

j)

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľ 2 . đ?&#x2018;Ľ 2 +2đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2

l)

4đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019;1 2đ?&#x2018;Ľ2 +8đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľ+2 đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2

=

=

= =

=

=

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ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática / Unidad III

III Ecuaciones Las representaciones son las figuras o ideas que sustituyen a la realidad y que nos permiten comunicarnos. Así, cuando en una empresa, queremos establecer la relación entre los costos variables y los fijos, hacemos una representación de tales costos, y para ello nos valemos del concepto matemático de ecuaciones. Pues, representar tales costos, se reduce a encontrar uno o algunos números que cumplan con ciertas condiciones, susceptibles de ser expresados por medio de igualdades y que representen tales costos. Estas igualdades, que satisfacen los costos desconocidos, se llaman ecuaciones.

En este módulo trabajaremos con ecuaciones lineales, cuadráticas, ecuaciones con módulo, también con sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y con inecuaciones.

Objetivos:

 

Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.



Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por distintos métodos.

Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales y representar el conjunto solución en la recta numérica.

Para lograrlos te proponemos repasar los siguientes:

Contenidos: 3.1 Ecuaciones con una incógnita.

3.1.1 Ecuaciones lineales con una incógnita 3.1.2 Del Lenguaje Coloquial al Matemático 3.1.3 Ecuaciones cuadráticas.

3.1.4 Ecuaciones con Módulo 3.1.5 Inecuaciones 3.2 Ecuaciones con dos incógnitas 3.2.1 Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

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ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica / Unidad III

3.1. Ecuaciones con una incĂłgnita

Una ecuaciĂłn es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se transforma en igualdad numĂŠrica cuando se atribuyen a las letras que figuran en la igualdad algebraica valores numĂŠricos particulares.

Resolver una ecuaciĂłn es encontrar los valores de sus variables para los cuales la ecuaciĂłn se verifica.

Los valores particulares que asumen las letras para que una ecuaciĂłn se convierta en una igualdad numĂŠrica son las raĂ­ces de la ecuaciĂłn.

ÂżAdviertes la diferencia que existe entre una identidad y una ecuaciĂłn? â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś

3.1.1. Ecuaciones lineales con una incĂłgnita Una ecuaciĂłn lineal con una incĂłgnita, es aquella igualdad que posee la incĂłgnita elevada al exponente 1.

Por ejemplo: 5 đ?&#x2018;Ľ + 2 = â&#x2C6;&#x2019;3 , es una ecuaciĂłn lineal, porque la incĂłgnita, đ?&#x2018;Ľ, estĂĄ elevada al exponente 1.

La soluciĂłn es: đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;1 porque 5. (â&#x2C6;&#x2019;1) + 2 = â&#x2C6;&#x2019;3

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ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica / Unidad III

Veamos el siguiente ejemplo resuelto, que nos permite hallar la raĂ­z o soluciĂłn de la ecuaciĂłn:

2 â&#x2C6;&#x2019; ྤâ&#x2C6;&#x2019;2(đ?&#x2018;Ľ + 1) â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3 2đ?&#x2018;Ľ 5đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019; + 3đ?&#x2018;Ľ ྨ= 2 3 12

Dentro del corchete, aplicamos propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

2 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3 2đ?&#x2018;Ľ 5đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 )= â&#x2C6;&#x2019; + 3đ?&#x2018;Ľ 2 3 12

Suprimimos parĂŠntesis, teniendo en cuenta que estĂĄ precedido por un signo menos.

2 + 2đ?&#x2018;Ľ + 2 +

đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 2đ?&#x2018;Ľ 5đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 = â&#x2C6;&#x2019; + 3đ?&#x2018;Ľ 2 3 12

Sacamos comĂşn denominador y resolvemos

24 + 24đ?&#x2018;Ľ + 24 + 6(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) = 8đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (5đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) + 36đ?&#x2018;Ľ Aplicamos propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

24đ?&#x2018;Ľ + 6đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ľ + 5đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 36đ?&#x2018;Ľ = 3 â&#x2C6;&#x2019; 24 â&#x2C6;&#x2019; 24 + 18

En el segundo miembro quitamos el parĂŠntesis que, al estar precedido por el signo menos, cambian los signos que figuran dentro de ĂŠl

Agrupamos tĂŠrminos y sumamos tĂŠrminos semejantes.

â&#x2C6;&#x2019;9đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;27

Dividimos los dos miembros por: â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2014;

đ?&#x2018;Ľ=3

Veamos cĂłmo resolvemos otra ecuaciĂłn un poco mĂĄs complicada, en la que aplicaremos productos notables y factorizaciĂłn.

49 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica / Unidad III

1 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6)2 â&#x2C6;&#x2019; 13 = 5(đ?&#x2018;Ľ + 3)(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) + 2đ?&#x2018;Ľ(â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ) 3 (đ?&#x2018;Ľ â?&#x; â&#x2C6;&#x2019; 6)2 â&#x2C6;&#x2019; 13 = đ??śđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;

5(đ?&#x2018;Ľ â?&#x; + 3)(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) đ??šđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;

Separamos en tĂŠrminos cada miembro.

Recordar que los signos mĂĄs y menos fuera de un parĂŠntesis separan tĂŠrminos

1 + 2đ?&#x2018;Ľ(â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ) â?&#x; 3 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D;

Desarrollamos, segĂşn corresponda, luego operamos y distribuimos el đ?&#x;&#x201C;.

2 đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľ + 36 â&#x2C6;&#x2019; 13 = 5(đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 9) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ 2 3 2 đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľ + 23 = 5đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 45 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ 2 3 2 đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľ + 23 = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 45 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 3 2 â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;Ľ + 23 = â&#x2C6;&#x2019;45 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 3

â&#x2C6;&#x2019;

34 đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;68 3

â&#x2C6;&#x2019;34đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;68 . 3 đ?&#x2018;Ľ=

Cancelamos đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? ambos miembros.

Agrupamos semejantes

2 â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;45 â&#x2C6;&#x2019; 23 3 2 đ?&#x2018;Ľ (â&#x2C6;&#x2019;12 + ) = â&#x2C6;&#x2019;68 3

Restamos los tĂŠrminos semejantes en el 2Âş miembro.

en

tĂŠrminos

Sacamos factor comĂşn đ?&#x2019;&#x2122; en el primer miembro y operamos en el segundo

Operamos en el parĂŠntesis El 3 que estĂĄ dividiendo al primer miembro pasa multiplicando a todo el otro miembro

â&#x2C6;&#x2019;204 â&#x2C6;&#x2019;34

Pasamos dividiendo al segundo miembro

â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2019;

Calculamos y obtenemos el valor de la incĂłgnita

đ?&#x2018;Ľ=6

Para verificar, sustituimos la incĂłgnita de la ecuaciĂłn original por el valor que obtuvimos: 1 (6 â&#x2C6;&#x2019; 6)2 â&#x2C6;&#x2019; 13 = 5(6 + 3)(6 â&#x2C6;&#x2019; 3) + 2 . 6(â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 2 . 6) 3 1 0 â&#x2C6;&#x2019; 13 = 5.9.3 + 12(â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 12) 3 37 â&#x2C6;&#x2019;13 = 135 + 12(â&#x2C6;&#x2019; ) 3 â&#x2C6;&#x2019;13 = â&#x2C6;&#x2019;13

La soluciĂłn es correcta porque la igualdad se cumple:

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ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica / Unidad III

PRACTICA CON LAS SIGUIENTES ECUACIONES

Actividad 16 Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica las soluciones: 5 3

9 10

5 2

a) (đ?&#x2018;Ľ + 2)(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2) + đ?&#x2018;Ľ ( đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) = (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3)2 +

27 2

1

b) â&#x2C6;&#x2019;4 (2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4) + (đ?&#x2018;Ľ + 4)2 = 2(7 + đ?&#x2018;Ľ)(7 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ) + 3đ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Ľ 2 c) (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 5)2 â&#x2C6;&#x2019; (1 + đ?&#x2018;Ľ)(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) = 2(5đ?&#x2018;Ľ + 3) d) (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6)2 â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľ + 8)2 = 28(đ?&#x2018;Ľ + 1) Actividad 17 Te proponemos nos ayudes a detectar el error que se cometiĂł en la resoluciĂłn de las siguientes ecuaciones. a) 1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ + (đ?&#x2018;Ľ + 1)(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) = (2đ?&#x2018;Ľ + 20) + đ?&#x2018;Ľ(1 + đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 1 2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 = đ?&#x2018;Ľ + 10 + đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ = 10 đ?&#x2018;Ľ = 10 + 3 đ?&#x2018;Ľ = 13 b) â&#x2C6;&#x2019;3(đ?&#x2018;Ľ + 1) â&#x2C6;&#x2019; 2 = 2(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7) + 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 = 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 14 + 4đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 = 6đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 14 â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;14 + 3 â&#x2C6;&#x2019;9đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;11 đ?&#x2018;Ľ=

11 9

En Ciencias EconĂłmicas, usaremos las ecuaciones para resolver situaciones problemĂĄticas que se plantearan en forma coloquial. Para poder resolverlas y aplicar el herramental matemĂĄtico adecuado necesitaremos traducir ese lenguaje coloquial al simbĂłlico.

51 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática / Unidad III

3.1.2 Del Lenguaje Coloquial al Matemático El lenguaje matemático es un código tal como lo es el lenguaje coloquial (con el que hablas todos los días). En matemática, no sólo podemos utilizar una letra como número generalizado sino también tenemos la posibilidad de representar con letras tanto incógnitas, como a variables y constantes. La complicación se presenta cuando debemos pasar a lenguaje matemático una estructura de relaciones vinculadas con cierta complejidad entre los datos conocidos y lo que se quiere averiguar.

Para facilitarte la resolución de los distintos problemas propuestos en este módulo, te sugerimos, que frente a cada uno trata de ayudarte con algunas preguntas, tales como:



¿Qué es lo que se quiere averiguar?, o expresado formalmente: ¿Cuál es la incógnita?



¿Cuáles son los datos disponibles?



¿Qué relación vincula los datos con las incógnitas?



¿Qué está permitido hacer?, en otras palabras: ¿Qué propiedades conocemos y que pueden utilizarse para resolver eficazmente la situación planteada?



¿El conjunto solución hallado, da respuesta al problema planteado?

Encontrar la solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación sobre la base de los datos de un problema suele ser más complejo.

Seguidamente te sugerimos algunas pautas que te ayudarán a resolver un problema.

52 Facultad de Ciencias Económicas

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ETAPAS EN LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA Etapa 1: PLANTEO del problema en lenguaje Matemático.

Elegir las variables cuya determinación es suficiente para responder a la situación planteada y traducir en ecuaciones las condiciones impuestas al o los valores buscados.

Etapa 2: RESOLUCIÓN de la o las Ecuaciones.

Calcular los valores que satisfacen las ecuaciones. En otras palabras, despejar la /s incógnita /s de las ecuaciones planteadas.

Etapa 3: INTERPRETACIÓN de la Solución.

Discutir si las soluciones halladas satisfacen el modelo, es decir, si los valores hallados son compatibles con el problema enunciado.

Trabajaremos con el siguiente ejemplo: Un comerciante disponía de una cierta cantidad de dólares. El primer año gastó 100 dólares. Luego, incrementó el dinero restante en un tercio. El año siguiente gastó nuevamente 100 dólares.

Posteriormente, agregó el triple del dinero que le quedaba, con lo que obtuvo el doble de su capital inicial. ¿Podrías averiguar de cuánto dinero disponía en un principio?

La traducción corresponde a la primera etapa de la resolución de problemas, es decir al PLANTEO del problema. Nos ayudaremos con las siguientes preguntas:

53 Facultad de Ciencias Económicas

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ÂżQuĂŠ es lo que se quiere averiguar?

Determinar cuĂĄl fue el capital inicial del comerciante

Representa la incĂłgnita ÂżCĂłmo la representamos en el lenguaje matemĂĄtico?

Con la letra inicial de la incĂłgnita đ?&#x2018;? = đ??śđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ??źđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;, medido en dĂłlares

ÂżCuĂĄles son los datos disponibles?

ÂżQuĂŠ relaciĂłn vincula los datos con la incĂłgnita?

El primer aĂąo se gastĂł 100 dĂłlares

A la cantidad desconocida đ?&#x2018;?, se la disminuyĂł en 100 dĂłlares.

Lenguaje MatemĂĄtico

đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 100

Al dinero restante đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 100, se lo debe multiplicar por un tercio. Dicha cantidad debe sumarse a la obtenida anteriormente.

IncrementĂł el dinero restante en un tercio.

Lenguaje MatemĂĄtico

1 (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 100) + â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 100) 3 54 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica / Unidad III

El aĂąo siguiente gastĂł nuevamente 100 dĂłlares.

A la expresiĂłn anterior, se le debe restar 100.

Lenguaje MatemĂĄtico

1 (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 100) + â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 100) â&#x2C6;&#x2019; 100 3

Antes de continuar, te recomendamos realizar algunos cĂĄlculos con la finalidad de trabajar con expresiones mĂĄs reducidas: 1 3 â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 100) + (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 100) â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2122; 100 (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 100) + â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 100) â&#x2C6;&#x2019; 100 = = 3 3 3đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 300 + đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 100 â&#x2C6;&#x2019; 300 4đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 700 = = 3 3

Posteriormente, agregĂł el triple del dinero que le quedaba â&#x20AC;Ś Lenguaje MatemĂĄtico

4đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 700 4đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 700 16đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 2800 +3â&#x2C6;&#x2122;( )= 3 3 3 Finalmenteâ&#x20AC;Ś El capital llegĂł al doble del inicial.

Lenguaje MatemĂĄtico

16đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 2800 = 2đ?&#x2018;?

3

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De esta forma se ha ido condicionando la incĂłgnita hasta tener planteada la ecuaciĂłn completa. Ahora, estamos en condiciones de determinar el capital inicial del comerciante, y para ello se debe resolver la ecuaciĂłn anterior, que si observas, se trata de una ecuaciĂłn lineal.

Teniendo en cuenta las etapas en la resoluciĂłn de un problema, te proponemos resuelvas la siguiente situaciĂłn problemĂĄtica:

Actividad 18 Resuelve la siguiente situaciĂłn problemĂĄtica, planteando la ecuaciĂłn correspondiente. No olvides verificar e interpretar la soluciĂłn.

Mi esposa gastĂł en la Farmacia

đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;

del dinero que

đ?&#x;?

tenĂ­a y luego, en la carnicerĂ­a đ?&#x;&#x201C; de lo que le quedĂł; aĂşn tiene $60. ÂżCuĂĄnto dinero tenĂ­a al principio?

Las ecuaciones que resolvimos son ecuaciones de 1° grado, porque la incógnita aparece elevada al exponente 1. TambiÊn en esta ocasión revisaremos los procedimientos para resolver ecuaciones de 2° grado.

3.1.3. Ecuaciones cuadrĂĄticas Una ecuaciĂłn de segundo grado o ecuaciĂłn cuadrĂĄtica es una igualdad en donde la incĂłgnita aparece elevada al cuadrado.

Por ejemplo, la ecuaciĂłn đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;Ľ = 0 , es una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica, porque la incĂłgnita â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Ľâ&#x20AC;? aparece elevada al cuadrado.

Resolvamos paso a paso la ecuaciĂłn:

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đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;&#x17D; Sacamos factor comĂşn đ?&#x2019;&#x2122; en el primer miembro y nos queda un producto de dos factores cuyo resultado es cero

đ?&#x2018;Ľ . (đ?&#x2018;Ľ + 2 ) = 0

Para que el resultado de dicho producto se anule existen dos

đ?&#x2018;Ľ = 0 Ăł (đ?&#x2018;Ľ + 2) = 0

alternativas: đ?&#x2019;&#x2122;

= đ?&#x;&#x17D;

Ăł

(đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;?) = đ?&#x;&#x17D; , por lo que đ?&#x2019;&#x2122; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?

đ?&#x2018;Ľ = 0 Ăł đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;2

Y esas son las dos soluciones de la ecuaciĂłn de segundo grado, ya que si reemplazamos dichos valores en la ecuaciĂłn, se verifica la igualdad.

Veamos otro ejemplo:

ď&#x192;ź

2đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0

En este caso no podemos proceder como en el caso anterior que sacamos factor comĂşn đ?&#x2019;&#x2122;, ya que existe un tĂŠrmino que no lo tiene.

Para estos casos y en general para resolver cualquier ecuaciĂłn cuadrĂĄtica, existe una fĂłrmula general, que seguramente la recordarĂĄs por haberla aplicado muchas veces en la resoluciĂłn de distintas actividades:

FĂ&#x201C;RMULA CUADRĂ TICA (tambiĂŠn denominada FĂłrmula Resolvente) Las soluciones de la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? = 0 , donde đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030; 0 (es đ?&#x2018;&#x17D; distinto de cero), estĂĄn dadas por:

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; =

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? Âą â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?

2đ?&#x2018;&#x17D;

ÂżLa recuerdas?

De la aplicaciĂłn de dicha fĂłrmula pueden surgir, dos raĂ­ces reales distintas, dos raĂ­ces reales iguales o dos raĂ­ces imaginarias segĂşn el signo que asuma la expresiĂłn que estĂĄ debajo de la raĂ­z cuadrada.

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ď&#x192;ź

Si đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? > 0 obtendremos dos raĂ­ces reales distintas.

ď&#x192;ź

Si đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? = 0 obtendremos dos raĂ­ces reales iguales.

ď&#x192;ź

Si đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? < 0 obtendremos dos raĂ­ces imaginarias.

Este caso no lo desarrollaremos porque ya dijimos que trabajaremos con el conjunto de nĂşmeros reales.

Retomando nuestro ejemplo, si debemos resolver la ecuaciĂłn:

ď&#x192;ź

2đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0

Aplicando la fĂłrmula cuadrĂĄtica:

â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019;2) Âą â&#x2C6;&#x161;(â&#x2C6;&#x2019;2)2 â&#x2C6;&#x2019; 4 . 2 . (â&#x2C6;&#x2019;4) 2 Âą â&#x2C6;&#x161;4 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;32) 2 Âą â&#x2C6;&#x161;36 2 Âą 6 = = = 2 .2 4 4 4

đ?&#x2018;Ľ1 =

2+6 =2 4

đ?&#x2018;Ľ2 =

2â&#x2C6;&#x2019;6 = â&#x2C6;&#x2019;1 4

Rta: Las soluciones de 2đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0 son: đ?&#x2018;Ľ = 2 y đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;1 Veamos otro ejemplo resuelto: 7 1 đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ + = 0 6 3 2

6đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7đ?&#x2018;Ľ + 2 = 0

Se multiplicĂł miembro a miembro por 6

Hallemos las raĂ­ces, utilizando la fĂłrmula resolvente:

đ?&#x2018;Ľ=

7Âą

8 2 = â&#x2C6;&#x2019; 4 .6. 2 7 Âą â&#x2C6;&#x161;49 â&#x2C6;&#x2019; 48 7 Âą â&#x2C6;&#x161;1 7 Âą 1 12 3 = = = ={ 6 1 12 12 12 12 đ?&#x2018;Ľ2 = = 12 2 đ?&#x2018;Ľ1 =

â&#x2C6;&#x161;(â&#x2C6;&#x2019;7)2

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Actividad 19 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6). (đ?&#x2018;Ľ + 2) = 0

d) 4đ?&#x2018;Ľ 2 = 9đ?&#x2018;Ľ

b) đ?&#x2018;Ľ 2 + 3đ?&#x2018;Ľ = 10

e) đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ = 2

c) 2đ?&#x2018;Ľ 2 + 9đ?&#x2018;Ľ = 5

f) 9đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľ + 1 = 0

Actividad 20 Una compaùía de TV por cable que tiene 20000 abonados y cobra $35 mensuales, ordena un estudio de mercado para decidir el aumento que aplicarå en sus tarifas. Los resultados del estudio indican que la empresa perderå 400 abonados por cada peso que aumente la tarifa. ¿Cuål deberå ser el aumento para que no haya ingreso? ¿Y para que el ingreso sea de $92500?

Tarifa $

Cantidad de Abonados

Ingreso ($)

35

20000

35 . 20000

35 + 1

20000 â&#x2C6;&#x2019; 400 . 1

(35 + 1) . (20000 â&#x2C6;&#x2019; 400 .1)

35 + 2

20000 â&#x2C6;&#x2019; 400 . 2

(35 + 2) . (20000 â&#x2C6;&#x2019; 400 .2)

35 + 3

20000 â&#x2C6;&#x2019; 400 . 3

(35 + 3) . (20000 â&#x2C6;&#x2019; 400 .3)

â&#x2039;Ž

â&#x2039;Ž

â&#x2039;Ž

35 + đ?&#x2018;Ľ

20000 â&#x2C6;&#x2019; 400 . đ?&#x2018;Ľ

â&#x20AC;Ś

La fĂłrmula que escribimos para una tarifa de 35 + đ?&#x2018;Ľ permite calcular el ingreso de la compaùía en funciĂłn del incremento aplicado en la tarifa. ÂżQuĂŠ valores debe tener đ?&#x2018;Ľ, para que sea soluciĂłn del problema?

Actividad 21 En una fĂĄbrica se incorporĂł una mĂĄquina de Ăşltima generaciĂłn, antes del 20 de diciembre de 2014, la misma aumentarĂĄ las ganancias de la empresa. Sin embargo, estĂĄ previsto que en cierto momento dichas ganancias comenzarĂĄn a disminuir por el deterioro de la mĂĄquina y los gastos de mantenimiento. Se estima que la situaciĂłn puede preverse segĂşn el siguiente modelo: đ??ş(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;1,25 đ?&#x2018;Ľ 2 + 2,5 đ?&#x2018;Ľ + 18,75

donde đ?&#x2018;Ľ es el tiempo transcurrido desde la compra de la mĂĄquina medido en aĂąos, y đ??ş es la ganancia adicional, resultado de su utilizaciĂłn, medida en miles de dĂłlares. Si no tiene ganancia adicional, ÂżcuĂĄl es el tiempo transcurrido?

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3.1.4. Ecuaciones con MĂłdulo Puede suceder que debamos resolver una ecuaciĂłn en la que aparece un valor absoluto.

Se llama MĂ&#x201C;DULO Ăł tambiĂŠn VALOR ABSOLUTO de un nĂşmero real a la distancia entre dicho nĂşmero y cero y lo simbolizamos: Č đ?&#x2019;&#x2122;Č Por ejemplo: los nĂşmeros 4 y â&#x2C6;&#x2019;4 son opuestos ya que tienen distinto signo, pero tienen igual mĂłdulo, porque estĂĄn a la misma distancia de cero.

Es decir que: Č â&#x2C6;&#x2019;4Č = Č 4Č = 4 Graficamente:

Generalizando:

Č đ?&#x2018;ĽČ = {

đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ 0

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Ľ < 0 Es importante tener en claro que â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ es positivo cuando đ?&#x2018;Ľ es negativo.

Aplicaremos la definiciĂłn de mĂłdulo para resolver las ecuaciones con mĂłdulo.

Resolvamos la ecuaciĂłn:

ď&#x192;ź

Č đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2Č = 3

Esta ecuaciĂłn expresa que đ?&#x2018;Ľ â&#x20AC;&#x201C; 2 es un nĂşmero que se encuentra a tres unidades de cero.

Por ello podemos decir que: đ?&#x2018;Ľâ&#x20AC;&#x201C; 2 = 3

â&#x;š

đ?&#x2018;Ľ = 3 + 2 = 5

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Ăł bien: đ?&#x2018;Ľ â&#x20AC;&#x201C; 2 = â&#x2C6;&#x2019;3

â&#x;š

đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019; 3 + 2 = â&#x2C6;&#x2019;1

De ambas igualdades surgen las soluciones de la ecuaciĂłn con mĂłdulo, que reemplazadas en la misma verifican la igualdad: Para đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;1: Č â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 2Č = 3 â&#x;š Č â&#x2C6;&#x2019;3Č = 3 Para đ?&#x2018;Ľ = 5: Č 5 â&#x2C6;&#x2019; 2Č = 3 â&#x;š Č 3Č = 3 En general se puede interpretar Č đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?Č

Ăł Č đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;Č como la

distancia entre đ?&#x2018;&#x17D; y đ?&#x2018;?.

Por ello en la ecuaciĂłn anterior Č đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2Č = 3 establece que la distancia entre đ?&#x2018;Ľ y 2 es de tres unidades, por lo que las soluciones: đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;1 y đ?&#x2018;Ľ = 5 indican los nĂşmeros que distan de 2 en tres unidades. CompruĂŠbalo en la recta numĂŠrica.

Por ejemplo, si resolvemos la ecuaciĂłn:

ď&#x192;ź

La raĂ­z cuadrada de đ?&#x2018;Ľ 2 se expresa como el mĂłdulo de đ?&#x2018;Ľ.

En sĂ­mbolos, escribimos:

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ 2 = Č đ?&#x2018;ĽČ Esta expresiĂłn del mĂłdulo de un nĂşmero, nos resultarĂĄ Ăştil cuando en una ecuaciĂłn sea necesario despejar una incĂłgnita que estĂŠ elevada a una potencia par.

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 6 = 19 đ?&#x;?

Despejamos đ?&#x2019;&#x2122;

đ?&#x2018;Ľ 2 = 19 + 6 Aplicamos raĂ­z cuadrada a ambos miembros de la igualdad

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ 2 = â&#x2C6;&#x161;25 Sustituimos el primer miembro utilizando el mĂłdulo y calculamos Č đ?&#x2019;&#x2122;Č = đ?&#x;&#x201C;

Č đ?&#x2018;ĽČ = 5

đ?&#x2018;Ľ = Âą5 Ahora reemplacemos cada uno de los valores en la ecuaciĂłn original para comprobar si se cumple la igualdad: Para đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;&#x201C; 52 â&#x2C6;&#x2019; 6 = 19

Para đ?&#x2019;&#x2122; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;

=

(â&#x2C6;&#x2019;5)2 â&#x2C6;&#x2019; 6 = 19

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Actividad 22 Halla el/los valores de đ?&#x2018;Ľ que verifica la igualdad a) Č đ?&#x2018;Ľ + 2Č = 1

b) (3 + đ?&#x2018;Ľ)2 â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0

c) Č 2đ?&#x2018;Ľ + 4Č = 0

d) đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 8 = 1

ÂżQuĂŠ sucede si aparece una desigualdad en vez de una igualdad?

La expresiĂłn se denomina inecuaciĂłn y el procedimiento de resoluciĂłn es muy similar al utilizado en las ecuaciones.

3.1.5. Inecuaciones

Una inecuaciĂłn es una desigualad en la que hay dos miembros relacionados mediante cualquiera de estos signos â&#x2030;¤, <, â&#x2030;Ľ, >. Si esos miembros son expresiones algebraicas, estamos en presencia de una inecuaciĂłn, en la cual figuran nĂşmeros e incĂłgnitas.

Por ejemplo:

ď&#x192;ź

đ?&#x2018;Ľ + 2 > 1 implica que đ?&#x2018;Ľ > 1 â&#x20AC;&#x201C; 2 por lo que đ?&#x2018;Ľ > â&#x2C6;&#x2019;1

La Ăşnica propiedad que cambia con respecto a las igualdades es cuando el nĂşmero que multiplica o divide a la incĂłgnita es un nĂşmero negativo, al despejarlo, invierte el sentido de la desigualdad.

Por ejemplo:

1 7 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ 4 4 7 1 â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ + 4 4 8 4 2 đ?&#x2018;Ľâ&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤

En este caso, al dividir miembro a miembro de la desigualdad por el valor, (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?), se invierte el sentido de la misma.

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1 Al trabajar con mĂłdulo tambiĂŠn pueden aparecer expresiones que contengan los signos â&#x2030;¤, <, â&#x2030;Ľ, >.

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Veamos algunos ejemplos: Hallemos los valores de đ?&#x2018;Ľ que verifican la desigualdad:

ď&#x192;ź

Č đ?&#x2018;ĽČ < 3

Debemos hallar todos los valores de đ?&#x2018;Ľ cuya distancia a cero sea menor que 3.

GrĂĄficamente la situaciĂłn serĂ­a: (//////////////////) 0 3 â&#x2C6;&#x2019;3 Los valores de đ?&#x2018;Ľ que estamos buscando pertenecen al intervalo (â&#x2C6;&#x2019;3; 3), es decir: â&#x2C6;&#x2019;3 < đ?&#x2018;Ľ < 3.

En sĂ­mbolos: Č đ?&#x2018;ĽČ < 3 â&#x;š â&#x2C6;&#x2019;3 < đ?&#x2018;Ľ < 3 serĂ­a el conjunto soluciĂłn de la inecuaciĂłn.

Observa ahora como hallamos los valores de đ?&#x2018;Ľ que verifiquen la desigualdad:

ď&#x192;ź

Č đ?&#x2018;ĽČ > 3

Debemos hallar todos los valores de đ?&#x2018;Ľ cuya distancia a cero sea mayor que 3.

GrĂĄficamente la situaciĂłn serĂ­a: //////////) â&#x2C6;&#x2019;3

(///////// 3////////// đ?&#x2018;Ľ

0

Los valores de đ?&#x2018;Ľ que estamos buscando pertenecen al intervalo (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;; â&#x2C6;&#x2019;3) o al intervalo (3 ; â&#x2C6;&#x17E;) , es decir đ?&#x2018;Ľ > 3 o đ?&#x2018;Ľ < â&#x2C6;&#x2019;3.

En sĂ­mbolos: Č đ?&#x2018;ĽČ > 3 â&#x;š đ?&#x2018;Ľ > 3 o đ?&#x2018;Ľ < â&#x2C6;&#x2019;3 Analicemos ahora el siguiente ejemplo:

ď&#x192;ź

Č đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2Č > 3

GrĂĄficamente la situaciĂłn serĂ­a: ////////) â&#x2C6;&#x2019;1

0

(///////// 5////////// đ?&#x2018;Ľ 63 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

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Los valores de x que estamos buscando pertenecen al intervalo (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;; â&#x2C6;&#x2019;1) o al intervalo (5 ; â&#x2C6;&#x17E;), es decir đ?&#x2018;Ľ > 5 o đ?&#x2018;Ľ < â&#x2C6;&#x2019;1.

En sĂ­mbolos: Č đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2Č > 3 â&#x;š đ?&#x2018;Ľ > 5 o đ?&#x2018;Ľ < â&#x2C6;&#x2019;1.

Actividad 23 Halla el conjunto soluciĂłn de las siguientes inecuaciones, graficando en la recta real cada uno de los conjunto soluciĂłn. a) 2đ?&#x2018;Ľ + 5 < 11

d) Č đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2Č < 3

b) 5 + 3đ?&#x2018;Ľ > 4

e) Č đ?&#x2018;Ľ + 1Č â&#x2030;Ľ 4

c) 6 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2019;3

f) Č đ?&#x2018;Ľ + 2Č â&#x2030;Ľ 2

Hemos repasado los procedimientos por los cuales se resuelven las ecuaciones con una incĂłgnita, veremos ahora cĂłmo se resuelven las ecuaciones en las cuales aparecen dos incĂłgnitas o variables.

3.2. Ecuaciones con dos incĂłgnitas Ya vimos que una ecuaciĂłn es una igualdad en la que debemos averiguar el valor de una incĂłgnita.

Cuando en la ecuaciĂłn aparecen dos letras representando variables o incĂłgnitas a averiguar el procedimiento cambia.

La expresiĂłn: đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x;&#x2018; es un ejemplo de una ecuaciĂłn de dos variables, y para resolverla debemos averiguar los valores de â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x20AC;? e â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2019;&#x161;â&#x20AC;? que verifican la igualdad.

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Dentro de las soluciones podemos intuir que estarĂĄn: đ?&#x2019;&#x2122; =đ?&#x;?

TambiĂŠn:

đ?&#x2019;&#x2122; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? ,

TambiĂŠn:

đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;&#x17D;

,

đ?&#x2019;&#x161; =đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x;&#x2019; ,

đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x;&#x2018;

etc. etc.

Todos esos pares de valores simultĂĄneamente verifican la ecuaciĂłn, ya que sumados dan por resultado đ?&#x;&#x2018;.

Pero ademĂĄs de esos pares de valores existen otros infinitos pares que verifican la ecuaciĂłn, por lo que podemos decir que existen infinitas soluciones para este tipo de ecuaciones.

Cada una de ellas puede ser interpretada como un punto de coordenadas (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) sobre una recta, ya que la ecuaciĂłn đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś = 3 es la ecuaciĂłn de una recta.

RECUERDA Para encontrar los pares de valores que pertenecen a una recta y que verifican su ecuaciĂłn se despeja una de las variables, en nuestro ejemplo: đ?&#x2019;&#x161; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;&#x2018; Luego se le da valores arbitrarios a â&#x20AC;&#x153; đ?&#x2018;Ľ â&#x20AC;? y se obtienen los correspondientes valores de â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;?.

Las ecuaciones donde las incĂłgnitas aparecen todas con grado 1, que no estĂĄn elevadas a ninguna otra potencia, ni bajo ninguna raĂ­z, se llaman ecuaciones lineales.

Si en vez de tener que averiguar los valores que asumen las variables que verifican una ecuaciĂłn lineal de dos variables, tenemos dos ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas cada una y debemos encontrar los valores que verifican ambas ecuaciones simultĂĄneamente.

3.2.1. Sistema de ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas representa un conjunto de dos rectas, y su resoluciĂłn consiste en hallar un punto en comĂşn entre ellas, es decir encontrar un valor de cada incĂłgnita que verifique el sistema.

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Para hallar la soluciĂłn de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas, se pueden aplicar distintos mĂŠtodos.

En este repaso recordaremos los procedimientos de tres de ellos: MĂŠtodo de igualaciĂłn, MĂŠtodo por sustituciĂłn y MĂŠtodo grĂĄfico.

Por ejemplo: Teniendo el siguiente sistema lineales con dos incĂłgnitas, nuestro objetivo serĂĄ hallar los valores de â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Ľâ&#x20AC;? y de â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;? tal que las dos ecuaciones sean verdaderas.

ď&#x192;ź

{

4đ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Ś = 22 Para ello, utilicemos el siguiente mĂŠtodo: 2đ?&#x2018;Ľ + 5đ?&#x2018;Ś = 18

MĂŠtodo de IgualaciĂłn 4đ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Ś = 22 { 2đ?&#x2018;Ľ + 5đ?&#x2018;Ś = 18 22 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ś= 3 { 18 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ś= 5 22 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ 18 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ = 3 5 5. (22 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ) = 3. (18 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ) 110 â&#x2C6;&#x2019; 20đ?&#x2018;Ľ = 54 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľ

Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente.

En este caso elegimos despejar la variable â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2019;&#x161;â&#x20AC;? en ambas ecuaciones Recordamos que, al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos tambiĂŠn lo son, por lo que podemos igualar los segundos miembros.

Luego, estamos en presencia de una ecuación de 1° grado con una variable que resolvemos despejando el valor de esa única variable.

â&#x2C6;&#x2019;20đ?&#x2018;Ľ + 6đ?&#x2018;Ľ = 54 â&#x2C6;&#x2019; 110 â&#x2C6;&#x2019;14đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;56

đ?&#x2018;Ľ=

â&#x2C6;&#x2019;56 â&#x2C6;&#x2019;14

đ?&#x2018;Ľ=4 Reemplazamos el valor de đ?&#x2018;Ľ obtenido, en alguna de las ecuaciones En nuestro ejemplo, elegimos reemplazar el valor de đ?&#x2018;Ľ = 4 en la segunda ecuaciĂłn.

18 â&#x2C6;&#x2019; 2. (4) 18 â&#x2C6;&#x2019; 8 10 đ?&#x2018;Ś= = = =2 5 5 5

Operamos para hallar el valor de đ?&#x2019;&#x161;

La soluciĂłn del sistema es el par de valores (đ?&#x2018;Ľ ; đ?&#x2018;Ś) = ( 4 ; 2 ) 66 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica / Unidad III

VERIFICACIĂ&#x201C;N Para comprobarlo reemplazamos en ambas ecuaciones el valor hallado: 2. (4) + 5. (2) = 18 4. (4) + 3. (2) = 22 8 + 10 = 18 16 + 6 = 22 18 = 18 22 = 22 Ahora sĂ­, podemos asegurar que el par (4 ; 2) es la Ăşnica soluciĂłn del sistema planteado.

Veamos cuĂĄl es el procedimiento si se resuelve el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas por otro mĂŠtodo:

MĂŠtodo de SustituciĂłn Resolveremos por este mĂŠtodo el mismo sistema que ya resolvimos por el mĂŠtodo de igualaciĂłn.

En nuestro ejemplo elegimos despejar la variable â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2019;&#x161;â&#x20AC;? en la primera ecuaciĂłn

22 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ 3

4đ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Ś = 22

đ?&#x2018;Ś=

2đ?&#x2018;Ľ + 5đ?&#x2018;Ś = 18

22 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľ + 5. ( ) = 18 3

Luego reemplazamos el valor hallado en la otra ecuaciĂłn.

{

Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones.

2đ?&#x2018;Ľ +

110 â&#x2C6;&#x2019; 20đ?&#x2018;Ľ = 18 3 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

Nuevamente nos ha quedado planteada una ecuación de 1° grado con una incógnita que sabemos resolver

20đ?&#x2018;Ľ 110 = 18 â&#x2C6;&#x2019; 3 3 14đ?&#x2018;Ľ 56 =â&#x2C6;&#x2019; 3 3 đ?&#x2018;Ľ=4

Luego reemplazamos el valor de đ?&#x2018;Ľ obtenido, en alguna de las ecuaciones para obtener el valor de la otra incĂłgnita đ?&#x2018;Ś.

En nuestro ejemplo lo reemplazamos en la primera ecuaciĂłn: 4. (4) + 3đ?&#x2018;Ś = 22 16 + 3đ?&#x2018;Ś = 22 3đ?&#x2018;Ś = 22 â&#x2C6;&#x2019; 16 3đ?&#x2018;Ś = 6

Facultad de Ciencias EconĂłmicas

67

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica / Unidad III

đ?&#x2018;Ś=

6 3

đ?&#x2018;Ś=2 Confirmamos que la soluciĂłn del sistema estĂĄ dado por el par (4; 2). No hace falta verificarlo, ya que se hizo al aplicar el mĂŠtodo de igualaciĂłn.

TambiĂŠn es posible hallar la soluciĂłn de un sistema a travĂŠs del MĂŠtodo grĂĄfico.

MĂŠtodo GrĂĄfico Consideramos como ejemplo el siguiente sistema: 3đ?&#x2018;Ś + 6 = 4đ?&#x2018;Ľ { đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ś =5 Para graficar las rectas que representan cada una de las ecuaciones de 1° grado con dos incĂłgnitas, despejamos â&#x20AC;&#x153; đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;? en cada ecuaciĂłn y obtenemos asĂ­ las fĂłrmulas de las dos funciones lineales.

En la primera

4

đ?&#x2018;Ś = 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2

En la segunda

đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ + 5

RECUERDA: para representar cada recta, podemos utilizar su pendiente y su ordenada al origen.

El nĂşmero que multiplica a â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Ľâ&#x20AC;? en la ecuaciĂłn es la pendiente, determina su inclinaciĂłn, y el tĂŠrmino independiente es la ordenada al origen, es decir, el punto en el que la recta corta al eje đ?&#x2018;Ś.

La soluciĂłn del sistema de dos ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas, cuya representaciĂłn en el plano son dos rectas, estĂĄ dada por el punto (3, 2) que pertenece a ambas rectas.

Es decir que el par (3, 2) verifica simultĂĄneamente ambas ecuaciones del sistema.

68 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática / Unidad III

¿Te animas a verificar gráficamente la solución del sistema resuelto por igualación y sustitución?

CLASIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, podemos encontrarnos ante tres casos:

Qué sucede en el gráfico

Clase de sistema

Las rectas se cortan en un punto, es decir que tienen

pendientes

Compatible Determinado

distintas.

Las

dos

ecuaciones

representan la misma recta, tienen

es

decir la

que

misma

Compatible Indeterminado

pendiente y la misma ordenada al origen.

Las

rectas

son

paralelas, es decir que tienen igual pendiente y distinta

ordenada

Incompatible

al

origen.

69 Facultad de Ciencias Económicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica / Unidad III

Te proponemos el siguiente desafĂ­o: ď&#x201A;ˇ

Escribe una ecuaciĂłn lineal con dos incĂłgnitas.

ď&#x201A;ˇ

ObtĂŠn una nueva ecuaciĂłn multiplicando la anterior por un mismo nĂşmero en ambos miembros.

ď&#x201A;ˇ

Forma un sistema con las dos ecuaciones anteriores ÂżA cuĂĄl de los tres casos mencionados, corresponderĂĄ el sistema obtenido?

Actividad 24 Resuelve los siguientes sistemas, grafĂ­calos en un sistema de ejes coordenados y luego clasifĂ­calos: 3đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś = 7

đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ś = 4

a) { đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;1

d) {

đ?&#x2018;Ľ =3+đ?&#x2018;Ś b) { 3đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;9 + 3đ?&#x2018;Ľ

2đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś = 8 e) { 5đ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Ś = 13

đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ś = 4 c) { đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 1 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

3đ?&#x2018;Ľ + 6đ?&#x2018;Ś = 12

3đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś = 2 f) { 3đ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Ś = 6

ÂżPudiste identificar algĂşn sistema que responda al desafĂ­o planteado?

Existen numerosos problemas cuya resoluciĂłn consiste en plantear un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas.

70 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica / Unidad III

A continuaciĂłn, te planteamos el siguiente problema: Un inversionista posee â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Ľâ&#x20AC;? Euros e â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;? DĂłlares. Sabe que al final del mes pasado el valor total de su dinero habĂ­a bajado $350,00 producto de una disminuciĂłn conjunta de un $1 en la cotizaciĂłn del Euro y $2 en la cotizaciĂłn del DĂłlar. Ayer el valor total ha aumentado $ 600,00; consultando las cotizaciones el Euro subiĂł $3,00 y el DĂłlar $1,00. Con los datos disponibles, Âżes posible saber cuĂĄntos Euros y DĂłlares posee el inversor?

ÂżQuĂŠ es lo que se quiere averiguar?

Determinar la cantidad de Euros y DĂłlares que posee el inversor.

Representan las incĂłgnitas ÂżCĂłmo la representamos en el lenguaje matemĂĄtico?

Con la letra đ?&#x2018;Ľ representaremos a la cantidad de Euros y con đ?&#x2018;Ś la cantidad de DĂłlares.

đ?&#x2018;Ľ = đ??śđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ??¸đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; ; đ?&#x2018;Ś = đ??śđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; đ??ˇđ?&#x2018;&#x2019; đ??ˇĂłđ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; ÂżCuĂĄles son los datos disponibles?

ÂżQuĂŠ relaciĂłn vincula los datos con las incĂłgnitas?

Sabe que al final del mes pasado el valor total de su dinero habĂ­a bajado $350,00 producto de una disminuciĂłn conjunta de un $1,00 en la cotizaciĂłn del Euro y $2 en la cotizaciĂłn del DĂłlar.

Los Euros y DĂłlares se valĂşan, en una fecha determinada, a su valor de cotizaciĂłn. En este caso el enunciado no nos brinda la cotizaciĂłn, pero nos dice que en ambas monedas la misma ha disminuido un $1.

Es por ello, que: đ??ˇđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ??¸đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ľ đ??śđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ??¸đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; + đ??ˇđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ??ˇĂłđ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ đ??śđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ??ˇĂłđ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; = đ??żđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;

Lenguaje MatemĂĄtico

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?. đ?&#x2019;&#x161; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; 71 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica / Unidad III

Hemos llegado a obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incĂłgnitas.

Lenguaje MatemĂĄtico

{

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;350 3đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś = 600

Ahora que ya tienes armado el sistema, te invitamos a que averigĂźes cuĂĄntos Euros y DĂłlares posee el inversor, utilizando alguno de los mĂŠtodos dados para su resoluciĂłn.

Con estas actividades damos por concluido el temario dispuesto para el repaso. Esperamos que la revisiĂłn de estos temas te haya permitido actualizarlos de manera de poder recordarlos cuando debamos recurrir a ellos.

72 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica

ResoluciĂłn de Actividades ProblemĂĄticas A continuaciĂłn, ponemos a tu disposiciĂłn las soluciones de las actividades propuestas en este mĂłdulo.

Pretendemos que las mismas te sirvan para comprobar si tu razonamiento y las tĂŠcnicas que empleaste en su resoluciĂłn, te llevaron a obtener las respuestas correctas. Por eso

ÂĄIntĂŠntalo solo!

Actividad 1: â&#x2C6;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2C6; đ??ź

5 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201E; 3

â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;

132 â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;

1,434343 â&#x20AC;Ś â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;

1,89Ě&#x201A; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;

0,123456 â&#x20AC;Ś â&#x2C6;&#x2C6; đ??ź

â&#x2C6;&#x2019;2.565758 â&#x20AC;Ś â&#x2C6;&#x2C6; đ??ź 3

1,1415 â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;

â&#x2C6;&#x161;7 â&#x2C6;&#x2C6; đ??ź

3 â&#x2C6;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201E; 5

â&#x2C6;&#x161;81 â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;

Actividad 2: â&#x2C6;&#x2019;3

0

4 3

2,5

Actividad 3: a)

29 3

b)

61 4

c) 12

Actividad 4: 11

a) 12

b) 4 73 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica

Actividad 5: 8

196

a) 45

j) 45 13

b) â&#x2C6;&#x2019; 24 c)

k)

10 7

1

l) â&#x2C6;&#x2019; 3

d) 4 3 5

15 8

7

m) 9 243

e) (4) = 1024

n) â&#x2C6;&#x2019;

f)(â&#x2C6;&#x2019;2)â&#x2C6;&#x2019;4

o) 2

g)

1 25

1127 48

Ě&#x201A; p) â&#x2C6;&#x2019;4, 44 1

h)2

q) 33

i)3

r) 21

32

Actividad 6: a)2đ?&#x2018;Ľ

f)đ?&#x2018;Ľ 4

b)2đ?&#x2018;Ľ 2

g)4đ?&#x2018;Ľ 2

c)4đ?&#x2018;Ľ

h)4đ?&#x2018;Ľ 4

d)4đ?&#x2018;Ľ 2

i)â&#x2C6;&#x2019;16đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 32đ?&#x2018;Ľ + 20

e)đ?&#x2018;Ľ 2

j)â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ 2 + 8đ?&#x2018;Ľ + 2

74 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática

Actividad 7: 𝑴

𝑵

𝑴+𝑵

𝑴−𝑵

𝑴∙ 𝑵

𝟐𝒙𝟑

𝟓 − 𝒙𝟑 𝟐

1 − 𝑥3 2

9 3 𝑥 2

−5𝑥 6

𝟓𝒂𝟓

𝟓𝒂𝟐

5𝑎2 (𝑎3 + 1)

5𝑎2 (𝑎3 − 1)

25𝑎7

Actividad 8: 𝑃(𝑥). 𝑄(𝑥) = 6𝑥 7 + 12𝑥 6 − 2𝑥 5 − 17𝑥 4 + 4𝑥 3 + 5𝑥 2 − 5𝑥

Actividad 9: a)𝑥 2 − 4𝑥 + 4

b)4𝑥 2 + 4𝑥 + 1

Actividad 10: a)4𝑥(𝑥 4 + 1)

b)(4 + 𝑥)(6𝑥 2 − 4)

Actividad 11: a)(𝑥 − 1)2

b)(2𝑥 + 4)2

Actividad 12: a) (𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏). (𝑎 + 𝑏)

F

b) (𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏). (𝑎 − 𝑏)

V 74

Facultad de Ciencias Económicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática

c) (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

V

d) (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 𝑏 2

F

e) 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏). (𝑎 − 𝑏)

F

f) 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏)

V

g) (−𝑥 + 1)2 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1

V

h) 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2

F

i) 4𝑥 2 + 16𝑥 + 16 = (2𝑥 + 4)2

F

j) −𝑥 2 + 𝑏 2 = (−𝑥 + 𝑏). (𝑥 + 𝑏)

V

Actividad 13: a) 4𝑥(𝑥 4 − 1)

d) 𝑥(4𝑥 + 3)2

b) 𝑦(3 + 4𝑦)2

e) 9𝑥 2 (𝑥 2 − 1). (𝑥 2 + 1)

c)(4 + 𝑥)(6𝑥 2 − 4)

Actividad 14: a)9 − 12𝑥 + 4𝑥 2

d)(4𝑥 2 − 4𝑥). (4𝑥 2 + 4𝑥)

b)(2𝑥 − 6)(2𝑥 + 6)

e)2(𝑥 − 2)(𝑥 − 4)2

c)2(𝑥 + 2)2

f)4𝑥 2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦 2

75 Facultad de Ciencias Económicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica

Actividad 15: a) (đ?&#x2018;Ľ + 4) b) (đ?&#x2018;Ľ + 4). (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4)

(đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2)

g) (đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;7) 1

h) 2

4

c) 9đ?&#x2018;Ľ

i)

(đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;3)2 (đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1)

1

d) (đ?&#x2018;Ľ+2)

j) đ?&#x2018;Ľ

e) 2 k) â&#x2C6;&#x2019;8đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;4)

f) (đ?&#x2018;Ľ 2

4â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ľ2

= â&#x2C6;&#x2019;(1 â&#x2C6;&#x2019;

4 ) đ?&#x2018;Ľ2

2

l) (đ?&#x2018;Ľ+1)(đ?&#x2018;Ľ+4)

Actividad 16: a)đ?&#x2018;Ľ = 3

c)đ?&#x2018;Ľ = 1

b)đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;27

d)đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;1

Actividad 17: a) En el penĂşltimo paso el -3 del primer miembro deberĂ­a haber pasado dividiendo a la expresiĂłn del segundo miembro. b) En el primer paso se detectan dos errores, en el primer miembro no se tiene en cuenta que un 2 estĂĄ restando a toda la expresiĂłn.

En el segundo miembro, se deberĂ­a haber distribuido el 2 solo en el binomio del primer tĂŠrmino y no en ambos tĂŠrminos.

2 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica

Actividad 18: Al Principio

1er Gasto

2do Gasto

GastĂł En La Farmacia

GastĂł En La CarnicerĂ­a

Dinero Disponible En Un Principio đ?&#x;?

Le Queda đ?&#x;&#x2018; Del Dinero Disponible En Un Principio

Le Queda $đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x17D; Del Dinero Disponible En Un Principio

El dinero que tenĂ­a al principio era 150 unidades monetarias.

Actividad 19: a)đ?&#x2018;Ľ1 = â&#x2C6;&#x2019;2, đ?&#x2018;Ľ2 = 6 b)đ?&#x2018;Ľ1 = â&#x2C6;&#x2019;5, đ?&#x2018;Ľ2 = 2 1

c)đ?&#x2018;Ľ1 = â&#x2C6;&#x2019;5, đ?&#x2018;Ľ2 = 2

9

d)đ?&#x2018;Ľ1 = 0, đ?&#x2018;Ľ2 = 4 e)đ?&#x2018;Ľ1 = 1 + â&#x2C6;&#x161;3 , đ?&#x2018;Ľ2 = 1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;3 1

f)đ?&#x2018;Ľ1 = đ?&#x2018;Ľ2 = 3

Actividad 20: Para que no haya ingreso el aumento deberĂĄ ser de $50.

76 Facultad de Ciencias EconĂłmicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIĂ&#x201C;N UNIVERSITARIA 2016 / MĂłdulo de MatemĂĄtica

Actividad 21: El tiempo transcurrido es 5 aĂąos.

Actividad 22: a) đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;3, đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;1

b) đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;5, đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;1

c) đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;2

d) đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;3, đ?&#x2018;Ľ = 3

Actividad 23: a)

đ?&#x2018;Ľ<3 ///////////////////////////) 0 3

b)

đ?&#x2018;Ľ>â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľ

1 3

(//////////////////////// 1 0 â&#x2C6;&#x2019; //// 3 c)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2030;Ľ3 á&#x2C6;ž//////////////// đ?&#x2018;Ľ 3

0 d)

đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľ > â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2039;&#x20AC; đ?&#x2018;Ľ < 5 (////////////////) 5 â&#x2C6;&#x2019;1 0

đ?&#x2018;Ľ

e) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2039; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ 3 ///////////á&#x2C6;ż â&#x2C6;&#x2019;5

0

á&#x2C6;ž///////////// 3

đ?&#x2018;Ľ

f) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2039;&#x20AC; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ 0 //////////á&#x2C6;ż -4

á&#x2C6;ž//////////////// 0

Facultad de Ciencias EconĂłmicas

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ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática

Actividad 24: a) 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑥 = 2 , 𝑦 = −1. 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜. b) 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 = 𝑥 − 3. 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜. c) 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛. 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒.

1

d) 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 = − 2 𝑥 + 2. 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜. e)𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑥 = 11, 𝑦 = −14. 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜. f) 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑥 = 0, 𝑦 = 2. 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜.

79 Facultad de Ciencias Económicas

ENCUENTROS DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA 2016 / Módulo de Matemática

Bibliografía 

HAEUSSLER Ernest y PAUL Richard. “Matemáticas para Administración y Economía”. Editorial Iberoamericana.

Primera Edición 1992.



LIAL Margaret, Hungerford Thomas “Matemáticas para Administración y Economía”, Editorial Prentice Hall.



http//www.vitutor.com.

ejercicios

resueltos

ecuaciones

80 Facultad de Ciencias Económicas

e-bo k

Módulo de Matemática Encuentros de Integración Universitaria 2016

editora

UniR o

Silvia Butigué, Nancy Scattolini, Silvia Cabrera, Sonia Curti, Martha Lardone, Susana Mussolini y Juan Manuel Gallardo Este módulo consta de tres capítulos. En el primero repasamos al conjunto de números reales, haciendo hincapié en las principales características y representaciones geométricas de los subconjuntos que lo forman. Revisamos las propiedades de las operaciones aritméticas con los números reales. El segundo trata sobre expresiones algebraicas, del mismo modo que se trabajó con modelos aritméticos en el primero, en éste adquiriremos habilidad en operaciones que combinan números con variables. Concluiremos este bloque recordando las reglas de factorización y su aplicación para factorizar expresiones y simplificar fracciones. En el tercer y último capítulo trabajaremos con ecuaciones lineales y cuadráticas, resolveremos inecuaciones lineales sencillas, introduciendo la notación de intervalo, para culminar con la resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Esto permitirá abordar problemas sencillos, en particular de aplicación económica, a través del planteo de ecuaciones y la resolución de las mismas. Cada tema tratado está organizado en una primera parte teórica con ejemplos, con algunas actividades que desafían a resolverlas individualmente. Y una segunda parte de actividades integradoras, preguntas que permitirán reflexionar sobre los conocimientos adquiridos.

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