Dynamiske systemer, differensiallikninger og differenslikninger (9788245050752) by Fagbokforlaget

Arild Wikan

Bjørn Davidsen og Ørjan Kristensen

Dynamiske systemer, differensiallikninger og differenslikninger

Dynamiskesystemer, differensiallikninger ogdifferenslikninger

ArildWikan,BjørnDavidsenogØrjanKristensen

ISBN:978-82-450-5075-2 1.utgave2026/1.opplag2026

Grafiskproduksjon:JohnGrieg,Bergen Layout,sideombrekkingogfigurarbeiderutførtav MerkurgrafiskAS(VegardBrekke)

Omslagsdesignvedforlaget Forsideillustrasjon:ØrjanKristensen

Spørsmålomdennebokenkanrettestil: Fagbokforlaget Kanalveien51 5068Bergen Tlf.:55388800 e-post:fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no

Materialetervernetetteråndsverkloven. Utenuttrykkeligsamtykkeereksemplarframstilling baretillattnårdeterhjemletilovelleravtalemedKopinor.

Vigmostad&BjørkeASerMiljøfyrtårn-sertifisert, ogbøkeneerprodusertimiljøsertifisertetrykkerier.

Idennebokenskalvifokuserepådynamiskesystemer,oghvordandissekanstuderesvedhjelpav differensiallikningerogdifferenslikninger.Hvamenesnåegentligmedet dynamisksystem?Medet dynamisksystemmenervikortsagtetsystemsomkanbefinnesegiuliketilstandersammenmedetsett reglersomsiernoeomhvordansystemetvilutviklesegovertid.Imatematiskspråkdraktsierenatenharet kontinuerlig dynamisksystemdersomsystemetutviklersegkontinuerligovertid.Systemetkalles diskret dersomdeternaturligåbetraktetidensomendiskretvariabel,foreksempelhvordanetsystemutviklerseg fraettårtildetneste.Detervanligåbeskriveutviklingenavsystemetidetkontinuerligetilfelletvedhjelp avdifferensiallikninger,mensenidetdiskretetilfelletanvenderdifferenslikninger.

Studieravdynamiskesystemerharenlangtradisjon.AlleredeNewton(1642–1727),Leibniz(1646–1716),ognoenårsenereEuler(1709–1783),utvikletmangerelevanteaspekteristudieravkontinuerlige dynamiskesystemer.Newtonvarspesieltinteressertiplanetbevegelser,noesomførtetildifferensiallikningersombleløstvedhjelpavpotensrekkemetoder.I1691oppdagetLeibnizhvordanseparablelikninger kunneløses.Eulerhuskesblantannetforathanutledethvordanhøyereordenslikningermedkonstante koeffisienterkunneløses.

Etterhvertsomårenehargått,harbrukavdifferensial-ogdifferenslikningergjortsittinntogogså innenforandrefagområderogandreproblemstillinger.Innenformedisinhardetblittvanligåmodellere utbredelsenavsmittsommesykdommervedhjelpavmatematiskemetoder(differensiallikninger).I1990årenesåmange«aids-modeller»dagenslys,ogdetutvikletsegetterhvertenrikholdiglitteraturomemnet. Idesenereårerdetsærligutbredelsenavkoronasomharværtifokus.Deflesteavosshuskerframediaat helsetoppenebrukteuttrykksom«våremodellerviser ».Detteermodellersomiallhovedsakbyggerpå differensiallikningerkombinertmedstatistiskemetoder.Fagfeltetøkologigjørogsåbrukavmatematisk systemteori.Befolkningsvekstmodelleresvedhjelpavdifferensiallikninger.Nårdetgjelderandredyrearter sliksomfisk,såkjennetegnesdeflesteavdissemedatnyeindividerfødesinnideulikepopulasjonene innenforrelativtkortetidsintervaller.Dermederdetnaturligåsepåhvordanstørrelsentilenbestandendrer segfraårtilår(eksempelvisfrafebruar2024tilfebruar2025).Dettegiropphavtiletdiskretdynamisk systemsombeskrivesoganalyseresvedhjelpavdifferenslikninger.Særliginnenforfiskeriforvaltning anvendesdennestrategienofte.Utsagnsom«vifiskernåhovedsakeligpådensterke2010-årsklassen» illustrererdettepoenget.Detkanviderenevnesatdeninternasjonalehvalkommisjonenogsågjørbrukav differenslikningsmodellerisittarbeid.

Ulikeklimamodellerogmodellerinnenformeteorologigjørogsåistorgradbrukavavansertmatematikk.Somingenkanunngååleggemerketil,såerviinneientidsalderhvordetobserveresraske klimaendringerogoppblomstringavekstremvær.EdvardLorenz(1917–2008)etablertedetteoretiske grunnlagetforvær-ogklimaprediksjoner.SammenmedDuffing(1861–1944)ogvanderPol(1889–1959) regnesLorenzforåværeenavpionereneinnenformodernematematiskkaosteori(denkjente «sommerfugleffekten»harsittutspringikaosteori).

Ogsåinnenforulikeretningerinnenforøkonomispillerbrukavdifferensial-ogdifferenslikningerenstor rolle.Eksempelvis,dersomenønskeråmaksimereprofittenvedåutnytteenressurs(fisk,olje, )hvoren ogsåmåtahensyntildiversebibetingelser,lederdettilproblemersomfallerinnunderparaplyenoptimal kontrollteori.Sentraltidenneteorienstårmaksimumsprinsippet,utvikletavdenblinde(blindfra14‑årsalderen) russiskematematikerenPontryagin(1908–1988).Foråfinnedenfullstendigeløsningenavetkontrollproblemerennødttilåløsefleredifferensiallikningerunderveis.Alternativt,hvisenmodellereridiskret tid,erdetfleredifferenslikningersommåløses.Fagfeltetkallesdaikkeforoptimalkontrollteori,men refererestilsomdynamiskprogrammering.DetersærligBellman(1920–1984)somharpionerstatusher.

Someksemplifisertovenforergodkjennskaptildifferensial-ogdifferenslikningerviktigåhaiverktøykassennårenskalløseulikeproblemtyperavdynamiskkarakter.Ambisjonenvårmedåskrivedenneboken erågileserenenforholdsvisgrundiginnføringihvordanenbehandlerdisselikningstypene.Såledeshåper viathenvilværegodtrustet,ententilarbeidslivellertilviderestudier,hvoranalyseavdynamiskesystemer harsinnaturligeplass.

Nårdetgjelderforkunnskapersomleserenbørha,vilvibemerkefølgende:Fleredifferensiallikninger løsesvedhjelpavintegrasjon.Derforbørleserenkjennetildevanligsteintegrasjonsteknikkenesom substitusjon,delvisintegrasjon,samtdelbrøksoppspalting.Itilfellerderdeterbrukforspesielleteknikker, vildisseselvsagtbligrundigforklart.Elementærkompleksanalyse,herundersammenhengermellom komplekseeksponentialfunksjonerogtrigonometriskefunksjoner,anvendesiflerekapitler,ogbørvære kjent.Brukavelementerfralineæralgebra(matriser,determinanterogberegningavegenverdierog egenvektorer)ersentrale,bådenårenskalløselikningerogforetastabilitets-ogbifurkasjonsanalyse.Viser detsomenklarfordelatlesereniallefalltilenvissgradbeherskerdisseelementene.Løsningsmetodenetil likningeneikapitlene8og9baserersegiutstraktgradpåbrukavpotensrekker.Erfaringsmessigharvisett at«manipulering»avslikerekkerkanværeproblematisk.Detteblirmindreproblematiskhvisenbesitter godebasiskunnskaperomrekker.

Bokenerbyggetopppåfølgendemåte:

Ikapittel1redegjøresdetforløsningsmetodertildevanligstetypeneavførsteordensdifferensiallikninger. Noenpraktiskeanvendelsererdetogsåfunnetplasstil.Kapittel2erviettilnumeriskeløsningeravførste ordensdifferensiallikninger.SentralthererTaylor-algoritmen,Runge-Kutta-metodenavorden2og4,samt prediktor-korrektor-metoder.Flereeksemplerersupplertmedprogramkoder(skrevetiMatlab).Ikapittel3 ertemaetandreordenslikninger,hovedsakeliglikningermedkonstantekoeffisienter.Etegetavsnittom Euler-likningenerogsåinkludert.

Kapittel4tarforsegsystemeravlikninger.Iførstedelservinærmerepåulikeløsningsmetodersom transformeringtilandreordenslikninger,brukavegenverdier,egenvektorerogmatrisemetoder.Numeriske metoderforsystemer,anvendtbådepålineæreogikke-lineæresystemer,utgjørkapitteletssistedel.

Differenslikningskapitlene5og6harmyeavsammestruktursom1–4,menitilleggviservivedbrukav prosedyrerogprogramkoder(skrevetiMatlab)hvordanlikningerkanløsesvedhjelpavenkelprogrammering. EtegetavsnittsomomhandlerMarkov-kjeder,erogsåvedlagt.Viharogsåinkludertetforholdsvisomfattende kapittel7omLaplace-transformen.Herpresenteresblantannetløsningsmetoderavdifferensiallikninger somervanskeligåløsemedtradisjonellemetoder.Enhetssprang-funksjonenogdensbruktilåløselikninger blirogsågrundigbehandlet.SærliginnenforingeniørfagerLaplace-transformetnyttigverktøy.

Ikapitlene8og9studereslineæredifferensiallikningermedvariablekoeffisienter.Hervisesdethvordan enkanløselikningeromkringordinærepunkt,ogvedbrukavFrobenius'metoderedegjøresdetforhvordan enkanløseproblemeromkringregulæresingulærepunkt.Bessel-likningenogbrukavBessel-funksjoner blirgrundigbehandlet.EtegetavsnittomintegralrepresentasjonavBessel-funksjonererogsåinkludert.

Ikapittel10harvisamletetknippemetodersomkananvendestilåfinnetilnærmedeløsningeravbåde lineæreogikke-lineæredifferensiallikninger.BlantannetviservihvordanenvedåbrukePoincaréLindstedtsmetodeogdiversemidlingsmetoderkanfinnetilnærmedeløsningeravdenikke-lineæreDuffinglikningenogdenikke-lineærevanderPol-likningen.Etparavsnittomindre,ytreogsammensatteutviklinger(herunderbrukavvanDykesmatching-prinsipp)harviogsåfunnetplasstil.

Analyseavikke-lineæredifferensiallikningerogsystemeravslikeertemaikapittel11.Herredegjøres detforuliketyperavlikevektspunkt,stabilitetsanalyse,faseromsanalyseogbifurkasjonsanalyse.Videre presenteresHartman-Grobmanssetning,ogdenstabilemangfoldighetssetningen.Kapitteletinneholderet riktutvalgeksemplersomviserikke-lineæroppførsel.

Ikapittel12tarviforossen-dimensjonaleavbildninger(differenslikninger).Blantsentraleelementerer topologiskekvivalensogperiodiskdynamikk.DetredegjøresforSarkovskyssetning,ogietegetavsnitt behandleskaotiskdynamikk.Itilleggviservigjennomprosedyrerogprogramkoderhvordanenkan genererebifurkasjonsdiagrammersamtberegneLyapunov-eksponenter.

To-dimensjonaleavbildningerertemaikapittel13.Herutvidesbifurkasjonsanalysenfrakapittel12til ogsååomhandleNeimark-Sackerbifurkasjoner.Senter-mangfoldighetssetningenharfåttensentralplass. Viderevisesgjennomeksemplerhentetfrapopulasjonsdynamiskestudierhvordanforskjelligebifurkasjonstyperogmultipleattraktorerkanopptreienogsammeavbildning.Flereeksemplerpåkaotiskeattraktorer medulikestrukturererogsåinkludert.

Nettressurs:

Tilbokenerdetutvikletennettressurssomdufinnerpåfølgendeadresse:

https://dynamiskesystemer.akademisk.fagbokforlaget.no/

Pånettressursenfinnerdudetaljerteløsningsforslagtiltest-deg-selv-oppgaverogavsluttendekapitteloppgaver.Itilleggtilbyssupplerendeinnholdtilemneriboken,samtnyttigmaterialeforåstyrkedine forkunnskaper.

Målgruppe:

Hvaersåmålgruppentildenneboken?Somviharredegjortfortidligere,harbrukavmatematiskemetoder etterhvertfåttenstadigstørreplassinnenformangefagområder.Itilleggtilmatematikkstudenter(først ogfremststudentersomerinteressertianvendtmatematikk)erderformålgruppenfysikk-,kjemi-,biologi-, økologi-,samtøkonomistudentersomtrengerkjennskaptilulikematematiskemetoder.Daviskrev kapittel7,haddevisærligingeniørstudenteritankene.Kapitlene10og11tarforsegvanskeligere likningstyper.Deerskrevetmedtankepåstudentersomtrengermeravansertemetoderisittarbeid. Enkombinasjonavanalytiskemetoder,perturbasjonsmetoder,samtnumeriskemetoder,eroftedetsommå tilnårenskalanalyserekompleksekontinuerligedynamiskesystemer.Diskreteikke-lineæresystemereret voksendematematiskfagfelt.Detteharblantannetsærligrelevansforproblemområderknyttetoppmot biologiogøkologi.Eksempelvisgjørfagfeltetforvaltningavmaritimeressurserutstraktbrukavdiskrete modeller.Studieravvekselvirkningmellomulikearter,herunderrovdyr-bytte-modeller,artersomkonkurrererisammehabitat,samtartersommigrererinninyeområder,fallerogsåinnunderdennekategorien. Bokenssistekapitlererskrevetmedtankepåatstudenterogfagfolkskalværegodtutrustetmednødvendig matematiskballastforåkunneanalyserekomplekseproblemerinnenovennevntefagfelt.

Omreferanser:

Vifinnerdetogsåviktigåknyttenoenkommentarertilreferanseproblematikk.Deteralltidetdilemma om(eventuelthvormye)enskalrefererefraandrelærebøkerellerandrekilder.Deflestelærebøkene imatematikk,bortsettfradesomerpå«avansertnivå»,manglerstortsettreferanser.Bøkermedinnhold somliggernæropptilforskningsfronten,harofteinkludertenomfangsrikreferanseliste.Medmuligeunntak (elementerfrakapittel13)kanikkevårboksiesåliggenærforskningsfronten.Derforharviettervanlig tradisjonværtsparsommemedreferansebruk.Likevelsynesvideterpåsinplassåpekepåfølgende: Ikapittel11harvietpareksemplersomliggernæropptiltilsvarendeeksempleri«MathematicalBiology» avJamesD.Murray[2].VårpresentasjonavvanDykesmatching-prinsipp(kapittel10)ersmiddover sammelestsom«PerturbationMethods»avAliH.Nayfeh[3].Detfinnesflereversjoneravmidlingssetningen(kapittel10).Vårversjonerformulertettermønsterfra«NonlinearOscillations,Dynamical Systems,andBifurcationsofVectorFields»skrevetavJohnGuckenheimerogPhilipHolmes[1].Enav forfatternetildenneboken,A.Wikan,skrevfornoenårsidenboken«DiscreteDynamicalSystems withanIntroductiontoDiscreteOptimizationProblems»[4].Detfinneselementerfradenneboken ikapitlene12og13.

Sist,menikkeminst:

Underutarbeidelsenavdennebokenharviprofittertpåverdifulletilbakemeldingerfraprofessor emeritusJohnWyller,somvihervedretterenstortakktil.SamarbeidetmedFagbokforlaget,ogspesielt forlagsredaktørSvenBarlinn,harogsåfungertutmerket.ItilleggønskerviåtakkeFagbokforlagetfor økonomiskstøtte.

HarstadogTromsø,5.februar2026

5Differenslikninger

6Systemavdifferenslikninger

6.1Frasystemtilandreordenslikning.......................................................136

6.2Brukavegenverdierogegenvektorer.....................................................138

6.3Komplekskonjugerteegenverdier........................................................140

7BrukavLaplace-transform

8Lineæreandreordenslikningermedvariablekoeffisienter

8.1Analytiskefunksjoner,ogordinæreogsingulærepunkter.................................186

8.2Løsningavlikningeromkringordinærepunkt............................................189

9Bessel-likningen,gammafunksjonerogBessel-funksjoner

Dynamiske systemer, differensiallikninger og differenslikninger er skrevet med tanke på studenter i realfag og økonomi. Bokens første del dekker emner som naturlig inngår i et innføringskurs. Den siste delen inneholder mer avansert teori og henvender seg i større grad mot masterstudenter og fagfolk.

Numeriske metoder har også fått en sentral plass. I egne kapitler og avsnitt presenteres algoritmer (ofte med supplerende programkode) for løsning av likninger. Det vises også hvordan metodene kan brukes til å beskrive dynamiske systemer med ikke-stasjonær og kaotisk oppførsel.

Forfatterne presenterer på en pedagogisk måte et rikholdig antall eksempler. De fleste er regnet ut og forklart ned til minste detalj. I tillegg er det et stort antall test deg selv-oppgaver og øvingsoppgaver med fasit, og nettressursen (https://dynamiskesystemer.akademisk.fagbokforlaget.no) tilbyr detaljerte løsningsforslag. Boken er derfor godt egnet til selvstudium.