Ms 2arh sem1 ian2016

Universitatea Politehnica din Timișoara Facultatea de Arhitectură

MECANICA CONSTRUCȚIILOR

Cap.I INTRODUCERE ÎN MECANICA CONSTRUCŢIILOR II.1. Obiectul mecanicii construcţiilor. Discipline componente Mecanica construcţiilor este ştiinţa care tratează principiile, metodele de calcul ale eforturilor şi deformaţiilor elementelor şi structurilor constructive, în vederea dimensionării raţionale a acestora.

Mecanica construcţiilor se identifică cu teoria structurilor care permite proporţionarea corectă a elementelor unei construcţii ca şi a structurii în ansamblu, atât în privinţa siguranţei în exploatare, cât şi a unei proiectări economice.

Dacă în trecut, construcțiile se realizau empiric, cu dimensiuni exagerate și cu risipă de materiale și forță de muncă, actualmente există posibilitatea realizării unor structuri (construcții) foarte complicate cu materiale superioare, proiectate rațional pe baza legilor mecanicii construcțiilor.

Cap.I INTRODUCERE ÎN MECANICA CONSTRUCŢIILOR II.1. Obiectul mecanicii construcţiilor. Discipline componente Experiența multiseculară a construirii clădirilor demonstrează că o construcție proiectată rațional este și o lucrare frumoasă sub aspect arhitectonic, întrucât respectă legile mecanicii. Atât inginerul, cât și arhitectul trebuie să cunoască aceste legi, pentru ca din colaborarea lor permanentă să rezulte construcții reușite din toate punctele de vedere.

Disciplinele care compun mecanica construcţiilor se întrepătrund şi se condiţionează reciproc şi au la bază atât teoria matematică şi fizică, cât şi cercetarea teoretică şi experimentală.

Disciplinele mecanicii construcţiilor sunt: - Statica construcţiilor, care se ocupă cu studiul condițiilor de echilibru static al structurilor de rezistență și își propune determinarea eforturilor secționale produse de acțiunile statice, precum și stabilirea deformațiilor apărute în urma acțiunilor statice respective;

Cap.I INTRODUCERE ÎN MECANICA CONSTRUCŢIILOR II.1. Obiectul mecanicii construcţiilor. Discipline componente -Dinamica construcţiilor, care studiază condițiile de echilibru dinamic al structurilor, respectiv urmărește determinarea eforturilor și deformațiilor structurii, când acțiunile din mediul înconjurător au un caracter dinamic; - Rezistenţa materialelor, care are drept scop dimensionarea și verificarea secțiunilor elementelor structurale în diverse situații de încărcare pe baza eforturilor secționale și a deformațiilor.

Generalizarea Rezistenței materialelor în domeniul elastic de comportare se face prin Teoria elasticității, iar în domeniul postelastic (plastic) prin Teoria plasticității.

Evoluția în timp a Mecanicii construcțiilor începe cu antichitatea, caracterizată prin construcții remarcabile (piramidele, templele grecești și romane, etc.), care certifică o serie de cunoștiințe avansate de mecanică și matematică ale constructorilor din acele timpuri. În toate aceste construcții se manifestă un simț deosebit al proporțiilor, al intuirii scurgerii eforturilor și al preluării sarcinilor.

Cap.I INTRODUCERE ÎN MECANICA CONSTRUCŢIILOR II.1. Obiectul mecanicii construcţiilor. Discipline componente În Evul mediu, structurile statice ale construcțiilor gotice, cu contraforturile lor lățite la bază, care preiau împingerile arcelor și bolților, conducând spre fundații încărcările, repreintă expresia echilibrului static și a stabilității. În epoca Renașterii apar primele reguli, bazate pe constatări practice, privind rezistența grinzilor, modul de acțiune al sarcinilor, modul de rupere al construcțiilor, toate datorate lui Leonardo da Vinci.

Contribuții importante în Rezistența materialelor a adus și Galilei, care s-a ocupat de rezistența și ruperea grinzilor, efectuând și o serie de verificări experimentale. În timpurile moderne s-au remarcat Robert Hooke (cu legea proporționalității dintre eforturi și deformații), Bernoulli (ipoteza secțiunilor plane), Euler (în problema flambajului barelor comprimate), Navier ș.a.

Cap.I INTRODUCERE ÎN MECANICA CONSTRUCŢIILOR II.1. Obiectul mecanicii construcţiilor. Discipline componente Introducerea în secolul XIX a oțelului în construcții a impulsionat dezvoltarea metodelor de determinare a eforturilor în elemente și structuri. De asemenea, introducerea betonului armat ca material de construcții a revoluționat construcțiile, permițând proiectarea unor forme arhitectural-inginerești extrem de diverse. În ultimele decenii s-a impus în proiectarea structurilor luarea în considerare a proprietăților plastice ale materialelor, fapt ce a permis obținerea unor soluții constructive raționale, cu consumuri mai reduse de materiale, concretizate în construcții frumoase și reușite sub aspect funcțional.

I.2. Elemente de construcţie. Structura de rezistenţă.

Tipuri de structuri a) Bara

- După forma axei - bare drepte - bare curbe - După direcţia şi sensul acţiunilor - tiranţi - stâlpi - grinzi - După dimensiunile secţiunii transversale - bare cu secţiune compactă - bare cu pereţi subţiri - fire

I.2. Elemente de construcţie. Structura de rezistenţă.

Tipuri de structuri b) Placa - Definită de: - grosime - suprafaţa mediană - După forma suprafeţei mediane: - plăci plane - plăci curbe

c) Blocul (masivul)

I.2. Elemente de construcţie. Structura de rezistenţă.

Tipuri de structuri Prin asamblarea în diverse moduri a elementelor de construcţie se realizează structurile de rezistenţă ale construcţiilor.

După tipul celui mai important element component există: a) Structuri formate din bare Legăturile dintre bare au un punct comun la intersecţia axelor numit nod.

- nod articulat - nod rigid Exemple: - Grinda cu zăbrele

- Grindă continuă

I.2. Elemente de construcţie. Structura de rezistenţă.

Tipuri de structuri -Reţea de grinzi

b) Structuri formate din fire

c) Structuri formate din plăci plane - planşee - acoperişuri prismatice - diafragme cu goluri d) Structuri formate din plăci curbe

- Cadru plan

I.3. Acţiuni în construcţii Prin acţiune se înţelege orice cauză capabilă să genereze stări de solicitare mecanică într-o construcţie.

- După modul de distribuţie în spaţiu: - concentrate - distribuite - După variaţia în timp: - statice - ciclice - dinamice - După durata de aplicare: - permanente - temporare - excepţionale - Grupări de acţiuni - grupările fundamentale - grupările speciale

I.4. Solicitarea structurilor I.4.1. Modelul barei ĂŽntinse

I.4.2. Modelul barei comprimate

Cap.II ASPECTELE SOLICITĂRII STRUCTURILOR II.1. Aspectul geometric al solicitării (studiul deformațiilor)

II.1.1. Deformațiile specifice simple a) Deformația specifică liniară ε

∆l ε= l

∆dz ε= dz

II.1.1. Deformațiile specifice simple b) Deformația specifică unghiulară γ

γ = α xy + α yx

II.1.2. Caracteristicile geometrice ale secțiunii transversale a) Momentul static. Centrul de greutate

Sx = ∫ y1dA 1 A

Sy1 = ∫ x1dA A

Sx1 = ∑ y1∆A n

S y1 = ∑ x1∆A n

Pentru determinarea coordonatelor centrului de greutate al secțiunii se aplică teorema lui Varignon: Suma momentelor statice ale elementelor diferențiale de arie față de o axă este egală cu momentul static rezultant al ariei totale concentrată în c.d.g., față de axa respectivă.

Sx = ∫ y1dA = y G A ⇒ y G = 1

∫ y1dA A

A

A

Sy = ∫ x1dA = x G A ⇒ x G = 1 A

∫ x1dA A

A

II.1.2. Caracteristicile geometrice ale secțiunii transversale b) Momente de inerție Momente de inerție axiale

2

I x = ∫ y dA A

2

I y = ∫ x dA A

II.1.2. Caracteristicile geometrice ale secțiunii transversale b) Momente de inerție Moment de inerție polar

I p = ∫ ρ 2 dA A

unde: 2

2

ρ =x +y

2

2

2

2

2

2

I p = ∫ ρ dA = ∫ ( x + y )dA = ∫ y dA + ∫ x dA = A

= Ix + Iy

A

A

A

II.1.2. Caracteristicile geometrice ale secțiunii transversale b) Momente de inerție Moment de inerție centrifugal

I xy = ∫ x y dA A

II.1.2. Caracteristicile geometrice ale secțiunii transversale c) Raza de inerție

2 x1

i A = I x1 i x1 =

Ix

1

A

II.1.2. Caracteristicile geometrice ale secțiunii transversale d) Transformarea momentelor de inerție prin translația axelor

x i = x + b i   y i = y + a i

I x i = ∫ y i2 dA A

= ∫ ( y + a i ) 2 dA A 2

= ∫ y dA + 2a i ∫ ydA + a i2 ∫ dA A

A

I x i = I x + a i2 A  2 I = I + b  yi iA y

A

II.1.2. Caracteristicile geometrice ale secțiunii transversale d) Transformarea momentelor de inerție prin translația axelor

x i = x + b i   y i = y + a i

I x i yi = ∫ x i y i dA A

= ∫ ( x + b i )( y + a i )dA A

= ∫ x ydA + a i ∫ xdA + b i ∫ ydA + a i b i ∫ dA A

A

A

I x i yi = I x y + a i b i A

A

II.2. Aspectul static al solicitării (studiul eforturilor) II.2.1. Efortul unitar (tensiunea) în secţiunea transversală

II.2.1. Efortul unitar (tensiunea) în secţiunea transversală

dP p= [ N mm 2 ] [kN m 2 ] dA

P p= A

II.2.2. Solicitarea în secţiunea transversală

dP p= → dP = p ⋅ dA dA a. Reducerea faţă de c.d.g. al secţiunii transversale a componentei normale a efortului elementar

II.2.2. Solicitarea în secţiunea transversală a. Reducerea faţă de c.d.g. al secţiunii transversale a componentei normale a efortului elementar

N z = ∫ σ z dA A

M x = ∫ (dN ) y = ∫ (σ z dA ) y A

A

M y = ∫ (dN ) x = ∫ (σ z dA ) x A

Nz

Mi

A

II.2.2. Solicitarea în secţiunea transversală b. Reducerea tensiunilor tangenţiale

dTx = τ zx dA dTy = τ zy dA

II.2.2. Solicitarea în secţiunea transversală b. Reducerea tensiunilor tangenţiale

Tx = ∫ dTx = ∫ τ zx dA A

A

Ty = ∫ dTy = ∫ τ zy dA A

[ = ∫ (τ

A

M r = ∫ (τ zy dA ) x − (τ zx dA ) y A

A

zy

x − τ zx y ) dA

]

II.3. Aspectul fizic al solicitării

σ = f1 (ε )

τ = f 2 (γ )

ε

II.3.1. Analiza deformației elastice Legea lui Hooke

σ = E⋅ε

τ = G⋅γ

unde: E – modulul de elasticitate longitudinal [N/mm2] G – modulul de elasticitate transversal [N/mm2]

ε t = − µε l

E G= 2 (1 + µ )

II.3.2. Analiza deformației plastice

unde: σc, τc – eforturi de curgere εc – deformație specifică de curgere

II.4. Condiții de echilibru static - echilibru global - echilibru local II.4.1. Echilibrul global al structurilor

Incastrarea

Simpla rezemare

Pentru calculul reacțiunilor: 3 ecuații de echilibru în plan n

Z = ∑ prz Pi = 0 → H A i =1 n

Y = ∑ pry Pi = 0 → VA i =1

n

M x = ∑ M iA = 0 → VB i =1

Structură - static determinată exterior - static nedeterminată exterior - mecanism

II.4.2. Echilibrul local Regula de semn

III. STATICA SISTEMELOR STATIC DETERMINATE III.1. Tipuri de legături Legături perfecte a) Capăt liber

b) Legătura simplă – reazemul simplu

III.1. Tipuri de legături Legături perfecte c) Legătura articulată – reazemul articulat

d) Legătura încastrată – reazemul încastrat

III.1. Tipuri de legături Legături perfecte e) Nodul - Nodul articulat

l a = 2(n a − 1) - Nod rigid

l r = 3(n r − 1)

III.1. Tipuri de legături Fixarea structurilor în plan

r≥3 Invariabilitatea geometrică a structurilor

l = 3(c − 1) În cazul general

l ≥ 3(c − 1) r + l ≥ 3 + 3(c − 1) → l + r ≥ 3c d = l + r − 3c d = 0;

d > 0;

d<0

III.2. Calculul static al eforturilor secţionale (solicitărilor).

Diagrame de eforturi. a) Grinda simplu rezemată încărcată cu o sarcină concentrată P - Determinarea reacţiunilor

Pb (∑ M )B = VA ⋅ l − P ⋅ b = 0 ⇒ VA = l Pa (∑ M )A = VB ⋅ l − P ⋅ a = 0 ⇒ VB = l ∑ H = 0 ⇒ HA = 0 - Verificarea reacţiunilor verticale

∑ V = VA + VB − P =

Pb Pa + −P =0 l l

III.2. Calculul static al eforturilor secţionale (solicitărilor).

Diagrame de eforturi. a) Grinda simplu rezemată încărcată cu o sarcină concentrată P - Determinarea solicitărilor în secţiunile curente z şi z’

Pb 0 ≤ z ≤ a → M z = VA ⋅ z = ⋅z l Pb Tz = VA = l Pa 0 ≤ z' ≤ b → M z' = VB ⋅ z' = ⋅ z' l Pa Tz' = − VB = − l

III.2. Calculul static al eforturilor secţionale (solicitărilor).

Diagrame de eforturi. b) Grinda simplu rezemată sub acţiunea unei încărcări uniform distribuite p - Determinarea reacţiunilor

VA = VB =

pl 2

- Determinarea solicitărilor în secţiunea curentă

pl l − p ⋅ z = p( − z ) 2 2 z pl pz 2 M z = VA ⋅ z − p ⋅ z ⋅ = z − 2 2 2 pz M z = (l − z ) 2

Tz = VA − p ⋅ z =

- Determinarea secţiunii în care momentul încovoietor e maxim

dM pl l l =0⇔ − p ⋅ z = p( − z ) = 0 ⇒ z = dz 2 2 2

III.3. Relații diferențiale între încărcări și eforturi b) Grinda simplu rezemată sub acțiunea unei încărcări uniform distribuite p - Secț. z → (N, T, M) - Secț. (z+dz) → (N+dN, T+dT, M+dM) dT  V ( Y ) T p dz ( T dT ) 0 = − − + = ⇒ = −p n ∑ ∑ n  dz  dN  H ( Z ) N N dN p dz 0 = − + + + = ⇒ = −p t ∑ ∑ t dz  p n dz dM  ( M ) = M + Tdz − − ( M + dM ) = 0 ⇒ =T ∑ G  2 dz 

- Pentru sarcină uniform distribuită p dT dM = −p ; =T dz dz d 2 M dT = = −p 2 dz dz

III.3. Relații diferențiale între încărcări și eforturi (2) Concluziile desprinse în urma constatărilor anterioare sunt următoarele: -Derivata forţei tăietoare în raport cu o secţiune curentă z este egală cu intensitatea încărcării distribuite din secţiunea respectivă, luată cu semn invers; -Derivata forţei tăietoare fiind negativă, forţa tăietoare este o funcţie descrescătoare, având maximul în dreptul reazemelor; -Pe porţiunea de grindă descărcată (p=0, dT/dz=0), forţa tăietoare este constantă; -Derivata momentului încovoietor în raport cu o secţiune curentă y este egală cu forţa tăietoare din secţiunea respectivă; -Momentul încovoietor este maxim în secţiunea în care forţa tăietoare se anulează, întrucât prima derivată este nulă, iar a doua derivată este negativă; -Pe porţiuni de grindă descărcată, unde forţa tăietoare este constantă, momentul încovoietor variază liniar; -Pe porţiuni pe care forţa tăietoare este pozitivă, momentul încovoietor este crescător, iar pe porţiunile pe care T este negativă, momentul încovoietor este descrescător; -Când încărcările exterioare sunt concentrate, momentul încovoietor este maxim în secţiunea în care forţa tăietoare îşi schimbă semnul; în acest caz, diagrama T prezintă o variaţie în trepte, cu salturi de mărimea forţelor concentrate, iar diagrama M are o formă poligonală, cu schimbări de pantă în dreptul forţelor concentrate; -Când încărcările exterioare sunt uniform distribuite, forţa tăietoare variază liniar, iar momentul încovoietor variază pe porţiunea respectivă parabolic.

III.4. Diagrame de eforturi la grinzi static determinate III.4.1. Grinda simplu rezemată Grinda simplu rezemată încărcată cu moment concentrat M0 - Determinarea reacţiunilor

VA = VB = V V ⋅ l = M 0 ⇒ VA = VB =

M0 l

- Determinarea solicitărilor

M0 l M 0 ≤ z' ≤ b : Tz' = −VB = − 0 l M A = 0; M B = 0 0 ≤ z ≤ a : Tz = −VA = −

a M1st = M1' = −VA ⋅ a = − M 0 l b M1dr = M1' = VB ⋅ b = M 0 l

III.4.2. Grinda încastrată a) Încărcare cu forțe concentrate - Reacțiunile se determină din condiții de echilibru global

∑ H = 0 ⇔ − 2P cos α + H B = 0 ⇒ H B = 2P cos α ∑ V = 0 ⇔ 2P sin α + P − VB = 0 ⇒ VB = P(1 + 2 sin α) 1 (∑ M ) B = 0 ⇔ −Pl − 2P sin α ⋅ l + M B = 0 ⇒ 2 M B = Pl(1 + sin α) - Determinarea eforturilor

N1dr = N1'' = 0 = N '2 N stB = N 'B = N '2' = 2P cos α T1dr = T1'' = −P = T2' T2st = T2'' = −VB = −P(1 + 2 sin α) M1 = 0 M 2 = −Pl(1 + sin α)

III.4.2. Grinda încastrată b) Încărcare cu forțe distribuite - Reacțiunile se determină din condiții de echilibru global

∑ H = 0 ⇔ HA = 0 ∑ V = 0 ⇔ − VA + p ⋅ l = 0 ⇒ VA = p ⋅ l (∑ M ) A = 0 ⇔ −M A + pl ⋅

l =0⇒ 2

pl 2 MA = 2 - Determinarea eforturilor

TAdr = TA'' = VA = p ⋅ l; T1 = 0 pl 2 MA = − ; M1 = 0 2 M 2 = −Pl(1 + sin α)

III.4.2. Grinda încastrată c) Încărcare cu moment concentrat - Reacțiunile se determină din condiții de echilibru global

∑ H = 0 ⇔ HA = 0 ∑ V = 0 ⇔ VA = 0 (∑ M ) A = 0 ⇔ M A − M 0 = 0 ⇒ MA = M0 - Determinarea eforturilor

N=T=0 M 2 = M A = −M 0 M '2' = 0

III.4.3. Grinda cu console

- Reacțiunile

∑ H = 0 ⇔ HA = 0 VA = VB =

1  2l  5 p l +  = pl 2  3 6

- Forța tăietoare

1 T1 = 0; TA' = − pl 3 pl pl 5pl 1 T|A'' = − + VA = − + = pl 3 3 6 2 pl 1 1 TB' = VA − − pl = − pl; TB'' = pl; T2 = 0 3 2 3 - Momentul încovoietor

1 2  pl  1 l  M1 = 0; M A = −   = − pl = M B 18  3  2 3  l l l 1l l 5 2 M 2 = 0; M l 2 = VA − p +  ⋅  +  = pl 2  3 2  2  3 2  72

III.4.3. Grinda cu console și articulații (grinzi Gerber) - Grinzile Gerber sunt grinzi compuse static determinate ce se obțin prin legarea între ele cu articulații a unor grinzi cu console, grinzi simplu rezemate și a unor console.

- Au un număr de reazeme intermediare - Articulațiile interioare corespund ca număr reazemelor intermediare - În general, la o grindă cu (n) deschideri trebuie introduse (n-1) articulații.

- Grinzile Gerber sunt alcătuite din 2 tipuri de grinzi simple: - grinzi principale, care au un număr suficient de legături cu terenul prin care transmit solicitările la teren; - grinzi secundare, care au o parte de legături cu terenul și alte legături (rezemări) pe grinzile principale sau pe alte grinzi secundare.

III.4.3. Grinda cu console și articulații (grinzi Gerber) (2)

Concluzii: - În articulație, diagrama T are valoarea forțelor de legătură V2, ce acționează pe capetele celor două porțiuni 1-2 și 2-3-4.

- În articulație, momentul încovoietor este nul, fapt ce permite calculul reacțiunilor din reazemele grinzii Gerber, adăugând la cele 3 ecuații de echilibru global, condiția de moment nul în articulația intermediară.