PROVA DE MATEM TICA ESPCEX

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PROVA DE MATEMÁTICA EsPCEx 2020-2021 (MODELO D) DATA 27 DE SETEMBRO DE 2020 ENUNCIADOS 1) Para fabricar uma mesa redonda que comporte 8 pessoas em sua volta, um projetista concluiu que essa mesa, para ser confortável, deverá considerar, para cada um dos ocupantes, um arco de circunferência com 62,8 cm de comprimento. O tampo redondo da mesa será obtido a partir de uma placa quadrada de madeira compensada. Adotando   3,14, a menor medida do lado dessa placa quadrada que permite obter esse tampo de mesa é a) 72 cm b) 80 cm c) 144 cm d) 160 cm e) 180 cm n 2) Qual o valor de n, no binômio  x  3 para que o coeficiente do 5º termo nas potências decrescentes de x seja igual a 5670? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

3) Se o polinômio p  x   x 3  ax 2  13x  12 tem x  1 como uma de suas raízes, então é correto afirmar que a) x  1 é raiz de multiplicidade 2. b) as outras raízes são complexas não reais. c) as outras raízes são negativas. d) a soma das raízes é igual a zero. e) apenas uma raiz não é quadrado perfeito.

4) A função real definida por f  x    k 2  2k  3 x  k é crescente se, e somente se a) k  0 b) 1  k  3 c) k  1 ou k  3 d) k  1 ou k  3 e) k  1 ou k  3 5) Os pontos A  3, 2  e C  1,3 são vértices opostos de um quadrado ABCD. A equação da reta que contém a diagonal BD é a) 5x  4y  7  0. b) 8x  10y  3  0. c) 8x  10y  13  0. d) 4x  5y  3  0. e) 4x  5y  7  0.

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6) Na figura a seguir, ABCD é um quadrado, E é o ponto médio de BC e F é o ponto médio de DE.

A razão entre as áreas do quadrado ABCD e do triângulo AEF, nessa ordem, é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7) Dois dados cúbicos não viciados, um azul e outro vermelho, são lançados. Os dois dados são numerados de 1 a 6. Qual a probabilidade da soma dos números que saírem nos dois dados dar 7, sabendo-se que no dado azul saiu um número par?

1 1 1 1 1 a) b) c) d) e) 12 18 3 6 2 8) Oito alunos, entre eles Gomes e Oliveira, são dispostos na primeira fileira do auditório da EsPCEx, visando assistirem a uma palestra. Sabendo-se que a fileira tem 8 poltronas, de quantas formas distintas é possível distribuir 8 alunos, de maneira que Gomes e Oliveira não fiquem juntos? a) 8! b) 7  7! c) 7! d) 2  7! e) 6  7!

9) A figura abaixo mostra um reservatório com 6 metros de altura. Inicialmente esse reservatório está vazio e ficará cheio ao fim de 7 horas. Sabe-se também que, após 1 hora do começo do seu preenchimento, a altura da água é igual a 2 metros. Percebeu-se que a altura, em metros, da água, “t” horas após começar o seu preenchimento, é dada por h  t   log 2  at 2  bt  c  , com t  0,7 , onde a, b e c são constantes reais. Após quantas horas a altura da água no reservatório estará com 4 metros?

a) 3 horas e 30 minutos c) 2 horas e 30 minutos e) 1 hora e 30 minutos

b) 3 horas d) 2 horas

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10) No ano de 2010, uma cidade tinha 100.000 habitantes. Nessa cidade, a população cresce a uma taxa de 20% ao ano. De posse dessas informações, a população dessa cidade em 2014 era de a) 207.360 habitantes. b) 100.160 habitantes. c) 180.000 habitantes. d) 172.800 habitantes. e) 156.630 habitantes.

11) Sabendo-se que a equação 2x 2  ay 2  bxy  4x  8y  c  0 representa uma circunferência de raio 3, a soma a  b  c é igual a a) 10 b) 6 c) 2 d) 2 e) 6 12) Um poliedro possui 20 vértices. Sabendo-se que de cada vértice partem 3 arestas, o número de faces que o poliedro possui é igual a a) 12 b) 22 c) 32 d) 42 e) 52 13) Os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC medem, respectivamente, 4 cm, 4 cm e 6 cm. Então a medida, em cm, da mediana relativa ao lado AB é igual a a) 14. b) 17. c) 18. d) 21. e) 22.

14) Dado o triângulo equilátero MNP de lado x e a reta r que passa pelo vértice M e é paralela ao lado NP, o volume do sólido gerado pela rotação desse triângulo em torno da reta r é igual a a)

x3 3

b) x 3

c)

x3 2

d)

3x 3 4

4 15) Se  é um arco do 4° quadrante tal que cos   , então 5 1 3 5 2 2 . . a) b) . c) d) .

2 2 2 2

e) 2x 3

2sec   3 tg  é igual a

e)

19 .

2

16) Sejam f  x   4x 2  12x  5 e g  x   x  2 funções reais. O menor inteiro para o qual f g  x   0 é a) 2

b) 1

c) 0

d) 1

e) 2

x  1 1 1   0      17) Sejam as matrizes A   2 1 3 , B   y  e C   12  . Se AB  C, então  z  1 1 1  4  x  y  z é igual a a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2

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18) Na figura abaixo está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números complexos. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que Z0  1. Sobre o número complexo dado por

 Z2 2  Z5 Z3

é correto afirmar

que é um número

a) real e negativo. b) real e positivo. c) imaginário com parte real negativa e parte imaginária positiva. d) imaginário com parte real positiva e parte imaginária negativa. e) imaginário puro com parte imaginária negativa.

19) Uma reta tangente à curva de equação y  x 2 é paralela à reta 6x  y  5  0. As coordenadas do ponto de tangência são a)  3,9  . b)  6,5  . c)  5, 6  . d)  5,9  . e)  9,3 .

20) Se a medida do raio da circunferência circunscrita a um octógono regular é R, então a medida do raio da circunferência inscrita a esse octógono é igual a R R R R R a) 1  2. b) 1  3. c) 2  2. d) 2  3. e) 2  3.

2 2 2 2 2

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PROVA DE MATEMÁTICA EsPCEx 2020-2021 (MODELO D) DATA 27 DE SETEMBRO DE 2020 RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 1) d (Geometria plana – circunferência e quadrado) 2) d (Binômio de Newton e triângulo de Pascal) 3) d (Equação polinomial – relações de Girard) 4) e (Função afim) 5) b (Geometria analítica – retas) 6) d (Geometria plana – áreas) 7) c (Probabilidade condicional) 8) e (Análise combinatória – permutação) 9) b (Função logarítmica) 10) a (Progressão geométrica) 11) b (Geometria analítica – circunferência) 12) a (Geometria espacial – poliedros e relação de Euler) 13) e (Geometria plana – relações métricas no triângulo qualquer) 14) c (Geometria espacial – volume de sólido de revolução) 15) b (Trigonometria – relações fundamentais) 16) b (Função composta) 17) e (Sistemas lineares – escalonamento) 18) a (Números complexos – forma trigonométrica) 19) a (Geometria analítica – cônicas) 20) c (Trigonometria e geometria plana)

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PROVA DE MATEMÁTICA EsPCEx 2020-2021 (MODELO D) DATA 27 DE SETEMBRO DE 2020 RESOLUÇÃO 1) Para fabricar uma mesa redonda que comporte 8 pessoas em sua volta, um projetista concluiu que essa mesa, para ser confortável, deverá considerar, para cada um dos ocupantes, um arco de circunferência com 62,8 cm de comprimento. O tampo redondo da mesa será obtido a partir de uma placa quadrada de madeira compensada. Adotando   3,14, a menor medida do lado dessa placa quadrada que permite obter esse tampo de mesa é a) 72 cm b) 80 cm c) 144 cm d) 160 cm e) 180 cm RESPOSTA: d O comprimento da circunferência é igual ao comprimento de 8 arcos de 62,8 cm. Assim, temos: 2 R  8  62,8  2  3,14  R  8  62,8  6, 28  R  8  62,8  R  80

A menor medida do lado do quadrado é obtida quando a circunferência está inscrita no quadrado. Dessa forma, o lado L do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência, ou seja, L  2R  2  80  160 cm.

2) Qual o valor de n, no binômio  x  3 para que o coeficiente do 5º termo nas potências decrescentes de x seja igual a 5670? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 n

RESPOSTA: d O termo de ordem

 p  1

n no desenvolvimento do binômio  x  3 em potências

decrescentes de x é Tp1  Cnp  3p  x n 3.

O coeficiente do 5° termo é obtido fazendo-se p  1  5  p  4. Assim, esse coeficiente será dado por

C4n  34  5670  C4n  70 Podemos encontrar n inspecionando a 5ª coluna no triângulo de Pascal.

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p n0 n 1 n2 n 3 n4 n 5 n6 n7 n 8

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8

1 3 6 10 15 21 28

1 4 10 20 35 56

1 5 15 35 70

1 6 1 21 7 56 28

1 8

1

Assim, observamos que C84  70  n  8.

3) Se o polinômio p  x   x 3  ax 2  13x  12 tem x  1 como uma de suas raízes, então é correto afirmar que a) x  1 é raiz de multiplicidade 2. b) as outras raízes são complexas não reais. c) as outras raízes são negativas. d) a soma das raízes é igual a zero. e) apenas uma raiz não é quadrado perfeito.

RESPOSTA: d Se x  1 é raiz de P  x  , então P 1  13  a 12  13 1  12  0  a  0.

Substituindo a  0 na expressão de P  x  , obtemos p  x   x 3  13x  12.

0 Pelas relações de Girard, a soma das raízes é 1    0, o que implica que a soma das 1   raízes de P x é zero, o que está na alternativa d).

Caso quiséssemos encontrar as raízes do polinômio, poderíamos aplicar o algoritmo de Ruffini-Horner, ou fatorá-lo tendo em mente que ele possui um fator  x  1 , pois x  1 é raiz.

A seguir, obteremos as raízes do polinômio realizando sua fatoração.

P  x   x 3  13x  12  x 3  x  12x  12  x  x 2  1  12  x  1

 x  x  1 x  1  12  x  1   x  1  x  x  1  12   x  1  x 2  x  12    x  1 x  4   x  3 Portanto, as raízes de P  x  são 4, 1 e 3, cuja soma é zero como já havíamos verificado anteriormente.

4) A função real definida por f  x    k 2  2k  3 x  k é crescente se, e somente se a) k  0 b) 1  k  3 c) k  1 ou k  3 d) k  1 ou k  3 e) k  1 ou k  3 madematica.blogspot.com Página 7 de 17

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RESPOSTA: e Uma função afim da forma f  x   ax  b é crescente quando o seu coeficiente angular a é positivo.

Assim, a função f  x    k 2  2k  3 x  k é crescente se, e somente se k 2  2k  3  0   k  3  k  1  0  k  1  k  3.

5) Os pontos A  3, 2  e C  1,3 são vértices opostos de um quadrado ABCD. A equação da reta que contém a diagonal BD é a) 5x  4y  7  0. b) 8x  10y  3  0. c) 8x  10y  13  0. d) 4x  5y  3  0. e) 4x  5y  7  0.

RESPOSTA: b A diagonal BD é perpendicular à diagonal AC e passa pelo seu ponto médio.  3   1  2   3   1  , O ponto médio de AC é O     1,  .  2 2   2 3   2  5 5   .

O coeficiente angular da reta que passa por A e C é mAC   1  3 4 4

O coeficiente angular da reta que passa por B e D, que é perpendicular a AC, é dado por 1 1 4 mBD     . m AC  5 5    4  1 Dessa forma, a reta que contém a diagonal BD passa pelo ponto O 1,  e tem  2 4 coeficiente angular mBD  . Assim, sua equação é dada por 5 1 y 2  4  5y  5  4x  4  10y  5  8x  8  8x  10y  3  0 x 1 5 2

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6) Na figura a seguir, ABCD é um quadrado, E é o ponto médio de BC e F é o ponto médio de DE.

A razão entre as áreas do quadrado ABCD e do triângulo AEF, nessa ordem, é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 RESPOSTA: d

S Inicialmente, observamos que SADE  ABCD .

2 Os triângulos AEF e ADE possuem vértice comum e base sobre a mesma reta, então SABCD S S SAFE FE 1 S 2    SAFE  ADE   ABCD  ABCD  4.

SADE DE 2 2 2 4 SAFE

7) Dois dados cúbicos não viciados, um azul e outro vermelho, são lançados. Os dois dados são numerados de 1 a 6. Qual a probabilidade da soma dos números que saírem nos dois dados dar 7, sabendo-se que no dado azul saiu um número par?

1 1 1 1 1 a) b) c) d) e) 12 18 3 6 2 RESPOSTA: c Sejam os resultados representados por pares ordenados, onde o 1° elemento do par representa o resultado do dado azul e o 2° elemento do par, o resultado do dado vermelho.

Sabendo que o resultado do dado azul foi um número par, então o número de elementos do espaço amostral (reduzido) é #     3  6  18.

Os casos favoráveis, ou seja, os casos em que a soma dos resultados nos dois dados é 7 são A   2,5 ;  4,3 ;  6,1 , então #  A   3. # A 3 1   .

Dessa forma, a probabilidade pedida é P  A   #    18 6 madematica.blogspot.com Página 9 de 17

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Poderíamos fazer esse problema usando a ideia de probabilidade condicional 3 P  soma 7  azul par  36 3 1 P  soma 7 | azul par      .

18 18 6 P  azul par  36 8) Oito alunos, entre eles Gomes e Oliveira, são dispostos na primeira fileira do auditório da EsPCEx, visando assistirem a uma palestra. Sabendo-se que a fileira tem 8 poltronas, de quantas formas distintas é possível distribuir 8 alunos, de maneira que Gomes e Oliveira não fiquem juntos? a) 8! b) 7  7! c) 7! d) 2  7! e) 6  7!

RESPOSTA: e O número de formas distintas de dispor os 8 alunos das 8 poltronas sem restrição é 8!.

O número de permutações nas quais Gomes e Oliveira estão juntos é 7! 2!, onde consideramos Gomes e Oliveira um grupo único na permutação e permutamos as suas posições dentro do grupo.

Dessa forma, o número de permutações desses 8 alunos, de maneira que Gomes e Oliveira não fiquem juntos, é igual ao total de permutações sem restrição menos a quantidade de permutações em que eles estão juntos, ou seja, 8! 7! 2!  8  7! 7! 2  7! 8  2   6  7!.

9) A figura abaixo mostra um reservatório com 6 metros de altura. Inicialmente esse reservatório está vazio e ficará cheio ao fim de 7 horas. Sabe-se também que, após 1 hora do começo do seu preenchimento, a altura da água é igual a 2 metros. Percebeu-se que a altura, em metros, da água, “t” horas após começar o seu preenchimento, é dada por h  t   log 2  at 2  bt  c  , com t  0,7 , onde a, b e c são constantes reais. Após quantas horas a altura da água no reservatório estará com 4 metros?

a) 3 horas e 30 minutos b) 3 horas c) 2 horas e 30 minutos d) 2 horas e) 1 hora e 30 minutos

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RESPOSTA: b O reservatório inicialmente está vazio, então h  0  0.

Após 1 hora do início, a altura da água é 2 metros, então h 1  2.

O reservatório ficará cheio após 7 horas, então h  7   6.

Dessa foram, temos:   h  t   log 2  at 2  bt  c   at 2  bt  c  2h t h  0   0  a  02  b  0  c  2h

0

 c  20  1

  h 1  2  a 12  b 1  1  2h 1  a  b  1  22  a  b  3 (*)   h  7   6  a  7 2  b  7  1  2h 7  49a  7b  1  26  7a  b  9 (**) Subtraindo (*) de (**), vem: 6a  6  a  1.

Substituindo a  1 em (*), resulta: 1  b  3  b  2.

2 Assim, a expressão de h  t  é h  t   log 2  t 2  2t  1  log 2  t  1  2 log 2 t  1 .

A fim de descobrir após quantas horas a altura da água no reservatório estará com 4 metros, devemos obter t tal que h  t   4. Assim, h  t   2 log 2 t  1  4  log 2 t  1  2  t  1  22  t  1  4

 t  5  t  3 Observe que a solução t  5 não é válida, pois devemos ter t  0.

Portanto, a altura da água no reservatório será 4 metros às 3 horas.

10) No ano de 2010, uma cidade tinha 100.000 habitantes. Nessa cidade, a população cresce a uma taxa de 20% ao ano. De posse dessas informações, a população dessa cidade em 2014 era de a) 207.360 habitantes. b) 100.160 habitantes. c) 180.000 habitantes. d) 172.800 habitantes. e) 156.630 habitantes.

RESPOSTA: a Se a população da cidade em 2010 era de 100 000 habitantes e ela cresce a uma taxa de 20% ao ano, então a população a partir desse ano é uma progressão geométrica de 1° termo a1  100 000 e razão q  1  20%  1, 2.

Assim, a população da cidade no ano 2010   n  1 é dada por a n  a1  q n 1  100000 1, 2n 1.

Para obter a população em 2014, devemos adotar 2010   n  1  2014  n  5. Assim, a população da cidade em 2014 era a 5  100000 1, 251  100000  2, 0736  207360.

11) Sabendo-se que a equação 2x 2  ay 2  bxy  4x  8y  c  0 representa uma circunferência de raio 3, a soma a  b  c é igual a a) 10 b) 6 c) 2 d) 2 e) 6 madematica.blogspot.com Página 11 de 17

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RESPOSTA: b Para que a equação 2x 2  ay 2  bxy  4x  8y  c  0 represente uma circunferência, os coeficientes de x 2 e y 2 devem ser iguais, e o coeficiente do termo xy deve ser nulo.

Assim, devemos ter a  2 e b  0.

Vamos substituir os valores de a e b na equação original e colocá-la na forma reduzida. c 2x 2  2y2  4x  8y  c  0  x 2  2x  y2  4y   2 c 2 10  c 2   x 2  2  x  12   y2  2  2y  22    12  22   x  1   y  2   2 2 Para que essa equação corresponda a uma circunferência de raio 3, devemos ter 10  c 2  3  10  c  18  c  8.

2 Portanto, a  b  c  2  0   8  6.





12) Um poliedro possui 20 vértices. Sabendo-se que de cada vértice partem 3 arestas, o número de faces que o poliedro possui é igual a a) 12 b) 22 c) 32 d) 42 e) 52 RESPOSTA: a Nesse poliedro todos os vértices são do tipo 3. Assim, temos V  v3  20.

Sabemos que 3v3  4v4  5v5   2A  3v3  2A  3  20  2A  A  30.

Pela relação de Euter, temos V  F  A  2  20  F  30  2  F  12.

13) Os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC medem, respectivamente, 4 cm, 4 cm e 6 cm. Então a medida, em cm, da mediana relativa ao lado AB é igual a a) 14. b) 17. c) 18. d) 21. e) 22.

RESPOSTA: e

Seja M o ponto médio do lado AB, então CM é a mediana relativa ao lado AB. Vamos aplicar a relação de Stewart a fim de calcular a medida de CM.

AC2 CM 2 BC2 42 CM 2 62   1   1 AM  AB AM  MB MB  AB 24 22 24  16  2  CM 2  36  8  2  CM 2  44  CM  22

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14) Dado o triângulo equilátero MNP de lado x e a reta r que passa pelo vértice M e é paralela ao lado NP, o volume do sólido gerado pela rotação desse triângulo em torno da reta r é igual a a)

x3 3

b) x 3

c)

x3 2

d)

3x 3 4

e) 2x 3

RESPOSTA: c

O volume do sólido formado pela revolução do triângulo MNP é igual ao volume do cilindro menos o volume de dois cones. x 3 O cilindro tem raio da base OP  e altura OO '  x, então seu volume é 2 2

x 3 3x 3 Vcil.    .  x   2  4 Os cones têm raio da base OP  O ' N 

x x 3 e altura OM  O'M  , então os cones 2 2

2

têm volume Vcone

1  x 3  x x3   .    3  2  2 8

Assim, o volume V do sólido de revolução é V  Vcil.  2  Vcone 

3x3 x3 x3  2  .

4 8 2

Esse problema pode ser feito mais rapidamente aplicando-se o teorema de Pappus-Guldin.

x2 3 e que a distância do centro 4 2 x 3 x 3  . Assim, o de gravidade G de MNP ao eixo de rotação r é d  GM   3 2 3 x 2 3 x 3 x 3 volume do sólido de revolução é V  2Sd  2   .

4 3 2 Observe que a área do triângulo equilátero MNP é S 

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4 15) Se  é um arco do 4° quadrante tal que cos   , então 5 1 3 5 2 2 a) b) . c) d) . . .

2 2 2 2

2sec   3 tg  é igual a

e)

19 .

2

RESPOSTA: b Pela relação fundamental da trigonometria, vem: 2

16 9 3 4 sen 2   cos2   1  sen 2      1  sen 2   1    sen    25 25 5 5 3 Como   Q IV , então sen   0, o que implica sen    .

5 Note que o valor de sen  a menos do sinal poderia ter sido obtido observando-se a relação de  com um dos ângulos agudos do triângulo retângulo 3-4-5.

Agora podemos calcular as outras linhas trigonométricas de .

3  1 1 5 sen  3 sec     tg    5  4 cos  4 4 cos  4 5 5 Portanto, o valor da expressão pedida é 5 10 9 1 1  3 2sec   3tg   2   3         .

4  4 4 4 4 2

16) Sejam f  x   4x 2  12x  5 e g  x   x  2 funções reais. O menor inteiro para o qual f g  x   0 é a) 2

b) 1

c) 0

d) 1

e) 2

RESPOSTA: b

f  g  x    0  4  g  x   12  g  x   5  0  2  g  x   1  2  g  x   5  0 1 5 1 5 1 5 3 1   g x    x  2    2  x   2    x  2 2 2 2 2 2 2 2 O menor número inteiro nesse intervalo é 1.

2

x   0  1 1 1      17) Sejam as matrizes A   2 1 3 , B   y  e C   12  . Se AB  C, então  z   4  1 1 1 x  y  z é igual a a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2

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RESPOSTA: e 1 1 1   x   0   xyz   0  x  y  z  0            AB  C   2 1 3   y    12    2x  y  3z    12  2x  y  3z  12  1 1 1  z   4   x  y  z   4   x  y  z  4 Vamos escalonar o sistema para obter os valores de x, y e z. x  y  z  0 x  y  z  0 L2L2 L1    2x  y  3z  12 3x  2z  12 L3L3 L1   x  y  z  4  2x  4  2x  4  x  2  3   2   2z  12  2z  6  z  3   2   y  3  0  y  1 Portanto, x  y  z   2   1  3  2.

18) Na figura abaixo está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números complexos. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que Z0  1. Sobre o número complexo dado por

 Z2 2  Z5 Z3

é correto afirmar

que é um número

a) real e negativo. b) real e positivo. c) imaginário com parte real negativa e parte imaginária positiva. d) imaginário com parte real positiva e parte imaginária negativa. e) imaginário puro com parte imaginária negativa.

RESPOSTA: a A circunferência é dividida em 12 partes iguais, então o ângulo entre dois números 2  complexos consecutivos é  .

12 6

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Como Z0  1, então a circunferência tem raio 1 e todos os números complexos têm módulo 1.

Assim, temos:     Z2  1 cis  2    1 cis    6 3     Z3  1 cis  3    1 cis   2  6    5  Z5  1 cis  5    1 cis    6  6  2

  5   2   5   2 1 cis   1 cis  1  cis   1  cis    Z2   Z5   3  6  3   6    Z3   1 cis  1 cis   2  2  2 5    cis      cis     1 6 2  3 Portanto,

 Z2 2  Z5  1, que é um número real e negativo.

Z3

19) Uma reta tangente à curva de equação y  x 2 é paralela à reta 6x  y  5  0. As coordenadas do ponto de tangência são a)  3,9  . b)  6,5  . c)  5, 6  . d)  5,9  . e)  9,3 .

RESPOSTA: a Uma reta paralela à curva 6x  y  5  0 tem equação dada por 6x  y  k  0, para k .

Para que essa reta seja tangente à curva y  x 2 , devemos fazer com que sua interseção seja um ponto único. Assim, temos: 6x  y  k  0  y  6x  k y  x 2  6x  k  x 2  x 2  6x  k  0

Para que a equação x 2  6x  k  0 tenha solução única, seu discriminante deve ser nulo.

2    6   4 1  k   0  36  4k  0  k  9 As coordenadas do ponto de tangência são as coordenadas do ponto único de interseção das duas curvas.

2 x 2  6x   9   0  x 2  6x  9  0   x  3  0  x  3 y  32  9

Portanto, as coordenadas do ponto de tangência são  3,9  .

A seguir apresentamos outra forma de resolver esse problema.

O coeficiente angular da reta tangente à parábola y  x 2 no ponto  x 0 , y0  é igual à sua derivada nesse ponto, ou seja, y '  2x 0 . madematica.blogspot.com Página 16 de 17

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Se a tangente é paralela à reta 6x  y  5  0  y  6x  5, então possuem o mesmo coeficiente angular, o que implica y '  2x 0  6  x 0  3, que é a abscissa do ponto de tangência.

A ordenada do ponto de tangência é y0  x 02  32  9. Portanto, as coordenadas do ponto de tangência são  3,9  .

20) Se a medida do raio da circunferência circunscrita a um octógono regular é R, então a medida do raio da circunferência inscrita a esse octógono é igual a R R R R R a) 1  2. b) 1  3. c) 2  2. d) 2  3. e) 2  3.

2 2 2 2 2 RESPOSTA: c O ângulo central determinado por um lado do octógono regular é

360  45.

8

No triângulo isósceles AOB, os lados iguais OA  OB são iguais ao raio R do círculo circunscrito ao octógono, e a altura relativa à base OM é igual ao raio r do círculo inscrito ao octógono. ˆ  45   rad, então cos   r  r  R cos  .

No triângulo retângulo OMB, MOB 8 R 2 8 8   1  cos 2 Sabemos que cos    e sabendo que cos  0, pois . Fazendo   2 8 8  2 1  cos 1   4  2  2 2  2 2 .  QI , temos cos  8 2 2 4 2 8 R Portanto, r  2  2.

2

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