ORIGENS HISTÓRICAS DOS COMPLEXOS

MATEMÁTICA PRÉ CÁLCULO

OS NÚMEROS COMPLEXOS

MATEMÁTICA PRÉ CÁLCULO ORIGENS HISTÓRICAS DOS COMPLEXOS

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Resolução Geométrica das equações algébricas

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Cardano e Bombelli com as Cúbicas

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A idéia de Bombelli e a criação dos números imaginários

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A evolução histórica dos números complexos

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Enfim a maturidade

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Os Complexos na Física e na Engenharia

ORIGENS HISTÓRICAS ÁLGEBRA E GEOMETRIA Atualmente, muitos textos de matemática usam as equações de segundo grau como exemplo para introduzir a utilização dos números complexos.

A solução dessa equação relaciona-se com o problema geométrico de encontrar os pontos onde o gráfico da função 𝑃(𝑥) intercepta o eixo das abscissas.

Porém, como veremos adiante, a necessidade de calcular raízes de números negativos, foi enfrentada pela primeira vez no século XVI, quando os matemáticos investigavam a solução das equações cúbicas.

No caso em que 𝑃(𝑥) é do segundo grau, sabemos que o gráfico da mesma é uma parábola.

Desde a antiga Grécia os matemáticos costumavam buscar interpretações geométricas para os problemas algébricos.

Por exemplo, tomemos a equação algébrica

𝑃 𝑥 =0 onde 𝑃(𝑥) é uma função polinomial.

Nesse caso, quando a fórmula de Bhaskara, conhecida desde o Séc. X, resultava na raiz quadrada de um número negativo, os matemáticos aceitavam o fato de que a equação simplesmente não tem solução, o que é compatível com o fato da parábola não interceptar o eixo horizontal.

ORIGENS HISTÓRICAS CARDANO E BOMBELLI COM AS CÚBICAS Em 1545, Girolano Cardano publicou seu Ars Magna, onde provava dois fatos: a. Toda equação cúbica pode ser escrita na forma: 𝑥 3 + 3𝑝𝑥 + 2𝑞 = 0 b. As soluções para equações desse tipo podem ser calculadas pela fórmula

𝑥=

3

−𝑞 +

𝑞2

+

𝑝3

+

3

−𝑞 − 𝑞 2 + 𝑝3

No entanto, se 𝑞 2 + 𝑝3 < 0 , a aplicação da fórmula de Cardano torna-se impraticável. O que levou o próprio Cardano a assumir que, nesses casos sua fórmula geraria “soluções inúteis” e era portanto inaplicável.

Coube a Rafael Bombelli, em 1572, em sua obra L´Álgebra, a primazia de enfrentar o problema das raízes de números negativos.

Bombelli investigava a solução de equações do tipo descrito acima, quando topou com a equação 𝑥 3 − 15𝑥 − 4 = 0 , na qual temos 𝑞2 + 𝑝3 = 4 − 125 < 0 .

Para resolvê-la sob a abordagem geométrica Bombelli a reescreveu na forma 𝑥 3 = 15𝑥 + 4 , o que sugere a interseção entre os gráficos da cúbica 𝑦 = 𝑥 3 e da reta 𝑦 = 15𝑥 + 4 .

O gráfico mostra que a equação tem três raízes reais.

Uma dessas raízes é 𝑥 = 4 , o que é facilmente verificável por substituição.

Por que motivo então a fórmula de Cardano não seria capaz de determinar essas raízes ?

ORIGENS HISTÓRICAS A EXTRAPOLAÇÃO DE BOMBELLI Nesse caso a fórmula de Cardano fornece a expressão

𝑥=

3

2 + −121 +

3

2 − −121

Bombelli então teve uma idéia que ele mesmo mais tarde chamaria de um “pensamento rebelde” Ele conjecturou que talvez a solução 𝑥 = 4 pudesse resultar da expressão acima, se existissem números Reais 𝑎 e 𝑏 , tais que 3

3

2 + −121 = 𝑎 + −𝑏 2 − −121 = 𝑎 − −𝑏

Admitindo a conjectura como Bombelli tirou duas conclusões:

verdadeira

i. Para obter a raíz 𝑥 = 4, devemos ter 𝑎 = 2 ; ii. Elevando-se os dois lados da primeira igualdade ao cubo, teremos

2 + −121 = (2 + −𝑏)3 Bombelli efetuou o produto notável do lado direito e impôs a condição de igualdade, e, usando as 2 identidades −𝑏 = −1 ∙ 𝑏 e −1 = −1 concluiu que 𝑏 = 1.

Note-se que para isso Bombelli aplicou ao número −1 as operações de soma e multiplicação regulares, mesmo sem ter uma ideia exata do significado desse número.

ORIGENS HISTÓRICAS A EXTRAPOLAÇÃO DE BOMBELLI 2 + −121 = (2 + −𝑏)3 3

2

2 + −121 = 2 + 3 ∙ 2 ∙ −𝑏 + 3 ∙ 2 ∙ 2 + −121 = 8 + 12 −𝑏 − 6𝑏 + −𝑏

−1 𝑏 −𝑏

2

2

+

= 8 + 12 −𝑏 − 6𝑏 + −𝑏

2 + −121 = 8 + 12 −𝑏 − 6𝑏 − 𝑏 −𝑏 2 + −121 = 8 + 12

−1 ∙ 𝑏 − 6𝑏 − 𝑏

−1 ∙ 𝑏

2 + 11 −1 = (8 − 6𝑏) + (12 − 𝑏) ∙ 𝑏 ∙ −1 8 − 6𝑏 = 2 12 − 𝑏 ∙ 𝑏 = 11

⇒𝑏 =1

−𝑏

3

−1 𝑏

2

ORIGENS HISTÓRICAS OS NÚMEROS COMPLEXOS DE BOMBELLI Regras adotadas por Bombelli para a manipulação algébrica do novo número −1

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±1

•

±1 (− −1) = ∓ −1

−1 = ± −1

•

−1

•

−1 − −1 = − −1

•

−1 = −1 −1 = 1

− −1 − −1 = −1

A operações de soma e produto entre dois números complexos, que definiremos mais adiante, são consequência direta das regras acima.

O trabalho de Bombelli lançou as bases da Teoria dos Números Complexos, porém sua natureza permaneceu envolta em dúvida e desconfiança por dois séculos e meio, embora tenham sido extensivamente usados durante esse período.

René Descartes (1596-1650), por exemplo, comentou em referência ao Teorema Fundamental da Álgebra, o qual era a essa época apenas uma conjectura. “ Posso acreditar que toda equação tenha tantas raízes quanto indicado pelo seu grau, porém nenhum número real corresponde a algumas dessas raízes imaginárias”

Estava assim cunhado o termo número imaginário, para se referir aos números que eram múltiplos do tal −1 e, em consequência, o termo número real, para diferenciar aqueles que não dependiam do mesmo.

ORIGENS HISTÓRICAS A EVOLUÇÃO DA TEORIA DOS COMPLEXOS No século XVIII Leibiniz e Bernoulli, empreenderam um grande esforço examinando a questão do significado dos complexos e desenvolvendo sua aplicação ao cálculo de integrais.

Mas o comentário abaixo, feito por Leibniz, mostra que os matemáticos ainda viam os complexos envoltos e algum mistério “Os números imaginários são um elegante e maravilhoso

Mas em um de seus trabalhos Euler comentou “Está claro que a raíz quadrada de -1 não pode ser incluída entre os números possíveis ... E essas circunstâncias nos levam ao conceito desses números que são denominados imaginários, por existirem apenas na imaginação.”

Mesmo o grande Carl Gauss, que em 1797 forneceu a primeira prova correta do Teorema Fundamental da Álgebra, mais tarde comentou.

refugio para o espírito divino, quase um anfíbio entre o ser e o não ser.”

“A verdadeira metafísica do número −1 é por si só ilusória”

O grande Leonard Euler, que fez avanços fundamentais na álgebra dos complexos, foi quem criou a notação 𝒊 , para se referir ao número −1 .

Na virada dos século XVIII para o XIX, o trabalho de três matemáticos contribuiu para começar a eliminar a atmosfera de mistério envolvendo os números complexos.

Foi Euler quem demonstrou a identidade que até hoje é venerada como a mais linda jóia já produzida, por envolver os cinco números mais famosos da matemática.

𝒆𝒊𝝅 − 𝟏 = 𝟎

Gauss, Wessel e Argang, em trabalhos independentes, propuseram a representação dos complexos como pontos de um plano, como veremos adiante.

ORIGENS HISTÓRICAS A MATURIDADE O século XIX marca finalmente o desenvolvimento da teoria completa dos números e das funções complexas.

Em 1833 William Rowan Hamilton deu uma definição algébrica formal dos números complexos como pares ordenados de números reais.

Entre 1814-1851 Cauchy, Reinman e outros desenvolveram uma teoria de como aplicar as regras do cálculo diferencial e integral aos números e funções complexas, o que ficou conhecido como Análise Complexa.

Ao final do século XIX diferentes interpretações dos números complexos haviam surgido, com a contribuição de vários matemáticos que trabalhavam em diferentes áreas.

Assim os números complexos podiam ser vistos como : •

Pontos ou Vetores bidimensionais;

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Operadores de rotação de vetores no plano;

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Uma classe de congruência de polinômios com coeficientes reais, modulo 𝑥 2 + 1; 𝑎 𝑏 Matrizes da forma onde 𝑎 e 𝑏 são −𝑏 𝑎 números reais.

• •

Um corpo completo de elementos da forma 𝑎 + 𝑏𝑖, onde 𝑎 e 𝑏 são números reais.

OS NÚMEROS COMPLEXOS HOJE APLICAÇÕES A FÍSICA E ENGENHARIA Desde então os números complexos se tornaram ferramentas fundamentais no modelamento de várias situações na física e na engenharia.

Por exemplo: -

Eletromagnetismo

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Hidrodinâmica

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Geometria Reimaniana e, consequentemente, Relatividade Geral

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Mecânica Quântica

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Análise de Sinais