Probabilidad y Estadística

CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO industrial y de servicios No. 36 APUNTES Y CUADERNILLO DE TRABAJO DE LA MATERIA DE:

PROBABILIDAD ESTADÍSTICA

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NOMBRE DEL ALUMNO: ______________ No. LISTA: ____ GRUPO: _______ ESPECIALIDAD: _______ Turno: ____________ FEBRERO 2017 ELABORÓ: ING. ROBERTO SALINAS ORTEGA ING. EUNICE RAMOS GALVÁN

Índice

Página

Competencias Genéricas del Perfil de Egreso de EMS en México Competencias Disciplinares Básicas en Matemáticas del SNB UNIDAD 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Estadística, Introducción Campos de Aplicación Conceptos Básicos Pasos a seguir para un estudio estadístico de una variable cuantitativa Tablas de distribución de frecuencias Representaciones gráficas de datos Parámetros estadísticos: Medidas de Tendencia Central Medidas de Dispersión o Variabilidad Medidas de forma Índice de sesgo o coeficiente de asimetría Ejemplo de Estudio Estadístico para datos agrupados Proyecto sugerido para el primer parcial Temas Anexos UNIDAD 2. PROBABILIDAD Parte 1: Temas Antecedentes: Teoría de Conjuntos Operaciones con Conjuntos Técnicas de Conteo: Diagrama de Árbol Principio Fundamental de Conteo Permutación Combinación Proyecto sugerido para el segundo parcial Parte 2: Probabilidad Probabilidad en evento simple Probabilidad en evento múltiple Probabilidad condicional Teorema de Bayes Bibliografía Básica

2 2

3 4 5 8 8 9 11 16 20 22 31 32

48 54 60 65 68 73 76 77 80 88 99 107 114

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COMPETENCIAS GENÉRICAS DEL PERFIL DE EGRESO DE LA EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DE MÉXICO

Se autodetermina y cuida de sí 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y se comunica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Piensa crítica y reflexivamente 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

Aprende de forma autónoma 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Trabaja en forma colaborativa 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Participa con responsabilidad en la sociedad 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS EN MATEMÁTICAS DEL SNB

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

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UNIDAD 1. ESTADISTICA DESCRIPTIVA 1. INTRODUCCIÓN La Estadística es la rama de las Matemáticas que estudia los procedimientos para recoger, organizar, resumir y analizar información susceptible de enumerarse o medirse, así como para sacar conclusiones válidas, predecir tendencias y tomar decisiones razonables basadas en tal estudio.

El término Estadística proviene del latín ¨status¨ que significa Estado, ya que sus orígenes están en los censos que llevaban a cabo los gobernantes (Edad Media) para conocer a detalle todo sobre sus gobernados.

A partir del siglo XVII la Estadística se ocupó del cálculo de probabilidades. En un principio se relacionó con los juegos de azar y posteriormente se desarrolló al grado de ciencia.

Las 2 ramas principales de la Estadística son: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: Es la parte de la Estadística que sólo se ocupa de recolectar, clasificar, analizar y concluir acerca de un grupo dado de datos. Sus conclusiones no las extrapola hacia un grupo mayor.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL: También llamada Muestral, pues al trabajar con una muestra hace la descripción y análisis de los datos para sacar conclusiones hacia la población. Es decir, a partir de los resultados obtenidos al estudiar una muestra, pretende inducir o generalizar hacia las propiedades de la población de la cual proviene la muestra.

La Estadística tiene su principal aplicación en situaciones donde prevalece la variabilidad e incertidumbre, donde los eventos no se rigen por leyes deterministas.

Hay muchas situaciones de la vida cotidiana donde se presentan diversos grados de incertidumbre y se tiene que tomar decisiones con base en las probabilidades.

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2. CAMPOS DE APLICACIÓN. En casi todas las áreas del quehacer humano la Estadística es una herramienta científica de gran utilidad: Investigación Negocios Industria Educación

Medicina Agricultura Comunicaciones Deportes

Transportes Ciencias Gobierno Etc.

A continuación un extracto de un artículo escrito por María Luisa Santillán de la UNAM: Día a día, realizamos muchas acciones y tomamos decisiones a partir de un pensamiento estadístico y casi nunca somos conscientes de ello. Cuando no abordamos el Metro en las horas pico es porque sabemos que ese no es el mejor momento para hacerlo. Esta decisión la tomamos a partir de la experiencia y de la información que hemos recopilado previamente sobre una situación similar.

La estadística impacta prácticamente todos los aspectos de nuestra vida, porque a partir de todas nuestras actividades es posible recopilar datos que, después de ser analizados, nos permiten tomar decisiones. Esta es la ciencia que estudia los fenómenos inciertos o las situaciones que no se pueden predecir con certeza, pero sobre los cuales podemos recabar información.

En áreas como la medicina, la economía, la agricultura, la ciencia o la política, se recopila información que, tras ser analizada, permite la toma de decisiones, en muchos casos trascendental, para el avance o mejoramiento de alguna situación o aspecto relacionado.

Por ello, se considera que la estadística es un factor fundamental en la creación de políticas públicas, en el avance científico, en el mejoramiento del control de calidad de la producción o en lograr que un tratamiento farmacéutico sea más efectivo.

Enrique Gutiérrez Peña, del Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas de la UNAM, comentó que día a día se acumula más información y, por ello, es necesario formar gente capaz de poder analizarla e interpretarla, para que esta “llegue a los tomadores de decisiones”.

Señaló que la estadística aún no es completamente reconocida, a pesar de que impacta muchos ámbitos de nuestra vida, y que en México la gente que hace estadística y “se ensucia las manos” con los datos, no siempre tiene una educación formal, pues solo cuenta con un conocimiento a nivel técnico que se va transmitiendo en esas áreas y no hay necesariamente comunicación con los especialistas.

Por último, el investigador señaló que el reto que tiene esta ciencia es adaptar los métodos estadísticos tradicionales, los cuales fueron diseñados para analizar bases de datos pequeñas, para hacerlos capaces de analizar y procesar grandes volúmenes de información.

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Aportaciones a la vida diaria.

La estadística ha impactado todos los ámbitos de nuestro quehacer cotidiano.

Al cuidado de la salud. Tras realizar una muestra estadística, los epidemiólogos Richard Doll y Bradford Hill demostraron, que fumar era el principal factor de riesgo para desarrollar cáncer pulmonar.

En las calles. La utilización de modelos estadísticos de flujo y movilidad humana ha permitido mejorar la infraestructura y el uso del transporte y el tránsito en algunas ciudades.

En el ámbito informático. La publicidad y perfiles de personas afines a ti que aparecen en las redes sociales se deben a datos estadísticos basados en tus hábitos de uso.

Origen. La palabra estadística proviene del vocablo Estado, pues eran los sabios u hombres de Estado quienes hacían registros de la población, los impuestos, nacimientos o defunciones, entre otros. https://www.fundacionunam.org.mx/humanidades/la-estadistica-en-nuestra-vida-diaria/

3. CONCEPTOS BÁSICOS Elementos: personas u objetos que contienen cierta información que se desea estudiar Población: conjunto de individuos o elementos con una característica común observable. Cualquier colección de unidades que pueden interesar en un estudio.

Por ejemplo: el conjunto de piezas elaboradas en un taller durante el mes, el conjunto de personas que asistieron al evento, el conjunto de aulas en una escuela, etc. En un estudio estadístico se representa con la letra “N” Población finita: posee un número limitado de elementos, es decir, se puede contar el total de elementos de la población. El conjunto de libros en la biblioteca, el conjunto de estudiantes becados, el conjunto de colores básicos, etc.

Población infinita: posee un número incontable de elementos. El conjunto de números reales, el número posible de resultados en sucesivas tiradas de una moneda, el número de puntos en un segmento, el # de estrellas en el firmamento, etc. En Estadística Inferencial poblaciones con un número bastante grande de elementos son tratadas como si fueran infinitas.

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Muestra: es un subconjunto de la población y es representativo de la misma. Se simboliza con la letra “n” Cuando la población o conjunto a estudiar es muy grande se hace difícil la observación o medición de todos y cada uno de sus elementos, por el enorme costo en tiempo y esfuerzo que implica, por lo que se prefiere trabajar con una muestra.

Dato: un número o nombre que es la expresión observable de una característica o propiedad. Los datos son observaciones recolectadas en un estudio como mediciones, conteos, respuestas a una encuesta, adjetivos calificativos, etc.

Datos cualitativos: es aquel que se define a través de un nombre o palabra. Un dato cualitativo proviene de una variable cualitativa.

Variable Dato Para su manejo estadístico los datos Color Rojo cualitativos muchas veces se codifican a Nombre Juan números, lo cual no significa que se Nacionalidad Inglés vuelvan cuantitativos. Por ejemplo: 1 Calificación Excelente significa género masculino y 2 significa género femenino.

Datos cuantitativos: es aquel que se determina por un número, obtenido ya sea por una medición por un conteo. Provienen de variables cuantitativas.

Variable Dato Número de hijos 4 Distancia 100m Consumo mensual 500 kwh Número de piezas defectuosas 15 Característica: atributo, propiedad, magnitud o cualidad distintiva de algo o de alguien.

Variable: característica que toma diferentes valores dentro de un conjunto dado, susceptibles de ser observados o medidos.

Variable discreta: es aquella que no acepta valores intermedios entre dos valores contiguos. Los datos resultan de conteos o enlistado de atributos. Ejemplos: nacionalidad, género, estado civil, número de piezas producidas, número de barriles diarios de petróleo, religión, raza, número de hijos, respuestas afirmativo-negativo, número de animales, número de plantas, etc.

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Variable continua: es una que puede tomar cualquier valor entre 2 valores contiguos dados. Generalmente son variables cuyos datos se obtienen por mediciones.

Ejemplos: tiempo, edad, peso, producciĂłn en toneladas, ĂĄrea, volumen almacenado, temperatura, etc.

ParĂĄmetro: es un valor numĂŠrico a travĂŠs del cual se describe o mide una caracterĂ­stica de toda una poblaciĂłn. Se simboliza mediante letras griegas como Por ejemplo Media aritmĂŠtica (Îź ), desviaciĂłn estĂĄndar( Ďƒ), tamaĂąo de la muestra (N).

EstadĂ­stico: es un valor numĂŠrico que describe o mide caracterĂ­sticas de una muestra.

TambiĂŠn se le conoce como estimador. Se utilizan letras latinas para representarlo. Ě… ), desviaciĂłn estĂĄndar( s), tamaĂąo de la muestra Por ejemplo: media aritmĂŠtica ( đ?‘ż (n).

CracterĂ­stica

constante

variable

cuantitativa

cualitativa

discreta

discreta

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continua

4. PASOS A SEGUIR EN UN ESTUDIO ESTADĂ?STICO DE UNA VARIABLE CUANTITATIVA 1Âş Se elige la variable de interĂŠs, se define su alcance y el nĂşmero de la poblaciĂłn o muestra bajo estudio.

2Âş Se recolectan los datos, teniendo cuidado de hacerlo con honestidad y profesionalismo. Es el llamado trabajo de campo. Puede ser por mediciĂłn, conteo, observaciĂłn, revisiĂłn de archivos, encuesta, anĂĄlisis de muestras, etc. Se registran en una tabla los datos en el orden en el que se recabaron.

3Âş Se ordenan los datos recolectados en orden ascendente, es decir, de menor a mayor; esto facilitarĂĄ el siguiente paso. Se calcula el rango (R) que es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.

4Âş Si son 30 o mĂĄs datos se elabora una Tabla de DistribuciĂłn de Frecuencias para datos agrupados, que es una manera de resumir la informaciĂłn de campo para su posterior anĂĄlisis. Cuando los datos son menos de 30 no se requiere este paso.

TABLA DE DISTRIBUCIĂ“N DE FRECUENCIAS Cuando el nĂşmero de observaciones es muy grande (mayor o igual a 30), se hace un arreglo sistemĂĄtico de los valores, agrupĂĄndolos en intervalos de clase (llamados tambiĂŠn clases o categorĂ­as). Con esto se facilita su manejo e interpretaciĂłn, aunque se pierde algo de informaciĂłn.

Se recomiendan no menos de 5 y no mĂĄs de 20 intervalos de clase.

El nĂşmero de clases se decide: a) Por Criterio, ya sea siguiendo una pauta numĂŠrica o por facilidad de manejo. b) Por fĂłrmula. Algunos autores sugieren lo sig.: b.1) para no muchos datos (N ≤ 400): NĂşmero de intervalos = √đ?‘ľ donde N = total de datos. b.1) para muchos datos (N ˃ 400), NĂşmero de intervalos = 1 + 3.322( log N). c) estableciendo por anticipado una anchura o un nĂşmero de clases: # đ?’„đ?’?đ?’‚đ?’”đ?’†đ?’” =

đ?’“đ?’‚đ?’?đ?’ˆđ?’? đ?’‚đ?’?đ?’„đ?’‰đ?’–đ?’“đ?’‚

đ?’‚đ?’?đ?’„đ?’‰đ?’–đ?’“đ?’‚ =

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đ?’“đ?’‚đ?’?đ?’ˆđ?’? # đ?’…đ?’† đ?’„đ?’?đ?’‚đ?’”đ?’†đ?’”

Para un estudio básico se recomienda la tabla de distribución de frecuencias con las siguientes columnas: CLASES f F f.r. f.r.a.

X LRIC LRSC En la 1er columna van los intervalos de clases o simplemente clases con sus límites inferior a la izquierda y superior a la derecha, por ejemplo la clase “50 – 59” En la 2ª columna va la frecuencia absoluta, es decir, el número de datos que caen en cada categoría o clase.

En la 3er columna va la frecuencia acumulada.

En la 4ª columna se colocan las frecuencias relativas, es decir, la proporción de datos que caen en cada categoría, en porcentaje.

La 5ª columna es la frecuencia relativa acumulada.

La 6ª columna contiene la marca de clase o punto medio, es decir el valor de la variable que representa a todos los datos de cada clase. Se obtiene con el promedio de los límites inferior y superior.

La 7ª y 8ª columnas contienen los límites reales inferior y superior de cada clase, respectivamente. En vista de que los límites originales dejan un hueco entre cada clase y la subsiguiente se hace necesario cerrar ese hueco; al superior se le añade la mitad de ese hueco, al inferior se le resta. De esta manera los límites reales presentan una cifra significativa más que los límites originales.

La diferencia entre estas últimas dos columnas se conoce como tamaño o anchura de clase y se representa por la letra “C” 5º Elaborar las representaciones gráficas del comportamiento de los datos; para datos agrupados básicamente son: histograma, polígono, curva de frecuencias y ojiva.

La representación gráfica: Contribuye a un mejor análisis de los datos.

Facilita la comprensión del comportamiento de la variable bajo estudio.

Pierde detalles de la información pero se gana una mejor visión de conjunto. a) Histograma: es la representación gráfica de una tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados en variables cuantitativas, ya sean continuas o discretas. Consiste en una serie de rectángulos unidos (sin espacios) con sus bases 9

apoyadas en el eje horizontal; cada rectángulo corresponde a una clase y el punto medio de cada una de sus bases coincide con las marcas de clase.

Histograma Las alturas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de clase.

En el eje horizontal está la variable bajo estudio.

En el eje vertical está el número de casos o frecuencia para cada categoría. b) Polígono de frecuencias: se forma al unir con segmentos de recta los puntos medios de las partes superiores de los rectángulos del histograma. Éste comienza y termina en el eje horizontal.

El área bajo la poligonal es igual al área total del histograma.

El polígono de frecuencias permite comparar, en una sola gráfica, dos o más distribuciones de frecuencias. c) Curva de frecuencias: es el polígono de frecuencias “suavizado”. Entre mayor sea el número de datos y por ende el número de clases, el polígono se asemejará más a la curva de frecuencias.

Las curvas de frecuencias pueden tener forma simétrica (normal) o asimétrica (sesgada). d) Ojiva “menos de”: gráfica poligonal usando las frecuencias acumuladas.

La ordenada se levanta sobre el límite inferior.

Tiene forma de “s” alargada 10

6 Âş Se calculan los estadĂ­sticos o parĂĄmetros, que son las Medidas de tendencia central y las Medidas de dispersiĂłn.

Medidas de tendencia central.

Se les llama asĂ­ a aquellos valores numĂŠricos de una colecciĂłn de datos ordenados que, como su nombre lo dice, buscan posicionarse en la parte media o central.

TambiĂŠn se les llama valores promedio. Los mĂĄs importantes son la media aritmĂŠtica, la mediana y la moda.

A) MEDIA ARITMÉTICA

Por definiciĂłn es la suma de todos los valores dividida entre el total de estos.

Su sĂ­mbolo es: Ě… : Media aritmĂŠtica muestral đ?‘ż Îź: Media aritmĂŠtica poblacional Una representaciĂłn fĂ­sica de la media serĂ­a una lĂ­nea de nĂşmeros balanceada sobre un fulcro (figura), donde la media quedarĂ­a exactamente encima del fulcro.

A.1) Para datos no agrupados en categorĂ­as o clases Ě…= đ?‘ż

ĆŠđ?’™ đ?‘ľ

Ejemplo: El equipo de basquetbol del CBTis 36 tiene 10 jugadores con las siguientes estaturas en metros: 1.89, 1.94, 1.79, 1.87, 1.76, 1.91, 1.84, 1.82, 1.80, 1.87 Hallar la media aritmĂŠtica de las estaturas. Ě…= đ?‘ż

đ?&#x;?. đ?&#x;–đ?&#x;— + đ?&#x;?. đ?&#x;—đ?&#x;’ + đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;— + đ?&#x;?. đ?&#x;–đ?&#x;• + đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;” + đ?&#x;?. đ?&#x;—đ?&#x;? + đ?&#x;?. đ?&#x;–đ?&#x;’ + đ?&#x;?. đ?&#x;–đ?&#x;? + đ?&#x;?. đ?&#x;–đ?&#x;Ž + đ?&#x;?. đ?&#x;–đ?&#x;• đ?&#x;?đ?&#x;Ž

Ě… = đ?&#x;?đ?&#x;–.đ?&#x;’đ?&#x;— = đ?&#x;?. đ?&#x;–đ?&#x;“ đ??Ś đ?‘ż đ?&#x;?đ?&#x;Ž

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A.2) Para datos agrupados en clases o categorĂ­as.

Se utiliza la fĂłrmula

̅ = Ɗ�� � �

Nota: La utilizaremos mĂĄs adelante. AcuĂŠrdate que se les llama datos agrupados a los que estĂĄn organizados en una Tabla de DistribuciĂłn de Frecuencias en clases o categorĂ­as. Aplica ĂŠsta misma nota para los otros Ă­ndices estadĂ­sticos. Posteriormente viene el ejemplo

A.3) Media aritmĂŠtica ponderada.

Se aplica para calcular el valor promedio de cantidades, cada una de las cuales tiene diferente peso (factor de ponderaciĂłn).

Ejemplo 1. En algunas universidades de prestigio se exige para ingresar a una licenciatura obtener una calificaciĂłn mĂ­nima de 8, repartida en los siguientes aspectos: Aspecto Valor ponderado Examen de admisiĂłn 60% Promedio acadĂŠmico 20% InglĂŠs 10% Trayectoria extracurricular 10% Dados los siguientes resultados de un aspirante encuentre si es candidato a ingresar: Examen de admisiĂłn 8.6, promedio 9.6, inglĂŠs 6.7, trayectoria extracurricular 3 Ě… = đ?&#x;–.đ?&#x;”(đ?&#x;”đ?&#x;Ž)+đ?&#x;—.đ?&#x;”(đ?&#x;?đ?&#x;Ž)+đ?&#x;”.đ?&#x;•(đ?&#x;?đ?&#x;Ž)+đ?&#x;‘(đ?&#x;?đ?&#x;Ž) = đ?‘ż đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž

đ?&#x;–. đ?&#x;Žđ?&#x;“

Respuesta : SĂ­ es candidato

Ejemplo 2. Si un comerciante compra 2 bultos de ropa: uno con 60 piezas a $10 cada una y otro con 100 prendas a $8 cada una, determina el precio promedio de cada pieza. Ě… = đ?&#x;”đ?&#x;Ž(đ?&#x;?đ?&#x;Ž)+đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž(đ?&#x;–) = đ?&#x;? đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = $8.75 đ?‘ż đ?&#x;”đ?&#x;Ž+đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž

đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Ž

Para la mayorĂ­a de los estudios estadĂ­sticos la media aritmĂŠtica es un buen indicador del valor promedio del grupo, sobre todo en datos que se distribuyen en una forma simĂŠtrica o aproximadamente simĂŠtrica.

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B) MEDIANA ( Ěƒ đ?‘ż ) Se le llama asĂ­ al valor que ocupa la posiciĂłn central en una colecciĂłn ordenada de datos. Por encima de la mediana estĂĄn la mitad de los datos y por debajo de la mediana se encuentra la otra mitad. En algunos casos se prefiere como indicador del promedio de un grupo.

Es Ăştil cuando se desea saber la posiciĂłn que ocupa alguien o algo dentro de un grupo, por ejemplo, nos podemos preguntar quĂŠ lugar ocupa MĂŠxico en la prueba PISA dentro de los paĂ­ses de la OCDE; o bien quĂŠ lugar de aprovechamiento ocupa un estudiante dentro de su grupo.

Si son 2 los valores que ocupan la posiciĂłn central se saca un promedio de ambos.

GeomĂŠtricamente la mediana es el valor en el eje horizontal que corresponde a la recta vertical que divide al histograma, en dos secciones de igual ĂĄrea.

Ejemplo para datos no agrupados: 1, 3, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10

Mediana = 7 Ăł

Ěƒ=đ?&#x;• đ?‘ż

Para datos agrupados en categorĂ­as la fĂłrmula es: đ?‘ľ đ?&#x;?

Ěƒ ) = đ?‘łđ?‘šđ?‘°đ?’‹ + ( đ?‘´đ?’†đ?’…đ?’Šđ?’‚đ?’?đ?’‚ ( đ?‘ż

− đ?‘­đ?’‹âˆ’đ?&#x;? đ?’‡đ?’‹

)đ?’„

đ?‘łđ?‘šđ?‘°đ?’‹ = đ?’?Ă­đ?’Žđ?’Šđ?’•đ?’† đ?’“đ?’†đ?’‚đ?’? đ?’Šđ?’?đ?’‡đ?’†đ?’“đ?’Šđ?’?đ?’“ đ?’…đ?’†đ?’? đ?’Šđ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’—đ?’‚đ?’?đ?’? ¨đ?’‹Â¨ đ?’Šđ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’—đ?’‚đ?’?đ?’? ¨đ?’‹Â¨ âˆś đ?’Šđ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’—đ?’‚đ?’?đ?’? đ?’? đ?’„đ?’?đ?’‚đ?’”đ?’† đ?’‰đ?’‚đ?’”đ?’•đ?’‚ đ?’…đ?’?đ?’?đ?’…đ?’† đ?’”đ?’† đ?’‚đ?’„đ?’–đ?’Žđ?’–đ?’?đ?’‚đ?’? đ?’?đ?’‚ đ?’Žđ?’Šđ?’•đ?’‚đ?’… đ?’…đ?’† đ?’?đ?’?đ?’” đ?’…đ?’‚đ?’•đ?’?đ?’”. đ?‘­đ?’‹âˆ’đ?&#x;? : đ?’‡đ?’“đ?’†đ?’„đ?’–đ?’†đ?’?đ?’„đ?’Šđ?’‚ đ?’‚đ?’„đ?’–đ?’Žđ?’–đ?’?đ?’‚đ?’…đ?’‚ đ?’‰đ?’‚đ?’”đ?’•đ?’‚ đ?’†đ?’? đ?’Šđ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’—đ?’‚đ?’?đ?’? đ?’‚đ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’Šđ?’?đ?’“ đ?’‚đ?’? ¨đ?’‹Â¨ đ?’‡đ?’‹ = đ?’‡đ?’“đ?’†đ?’„. đ?’–đ?’†đ?’?đ?’„đ?’Šđ?’‚ đ?’‚đ?’ƒđ?’”đ?’?đ?’?đ?’–đ?’•đ?’‚ đ?’…đ?’†đ?’? đ?’Šđ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’—đ?’‚đ?’?đ?’? ¨đ?’‹Â¨ đ?‘Ş: đ?’•đ?’‚đ?’Žđ?’‚Ăąđ?’? đ?’? đ?’‚đ?’?đ?’„đ?’‰đ?’–đ?’“đ?’‚ đ?’…đ?’† đ?’„đ?’?đ?’‚đ?’”đ?’† đ?‘ľ: đ?’•đ?’?đ?’•đ?’‚đ?’? đ?’…đ?’† đ?’…đ?’‚đ?’•đ?’?đ?’”

Ě‚) C) MODA ( đ?‘ż La moda de una colecciĂłn de datos es aquel dato que aparece con mayor frecuencia.

La moda se utiliza con preferencia a la media o a la mediana cuando se desea detectar el valor o medida mĂĄs predominante en un grupo, tanto para datos cualitativos como cuantitativos.

En datos no agrupados se detecta fĂĄcilmente cuando estĂĄn ordenados.

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En datos agrupados se utiliza la fĂłrmula: Ě‚ = đ?‘łđ?‘šđ?‘°đ?’Œ + ( đ?šŤđ?&#x;? ) đ?‘Ş đ?‘´đ?’?đ?’…đ?’‚ = đ?‘ż đ?šŤ +đ?šŤ đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?‘łđ?‘šđ?‘°đ?’Œ : đ?‘łĂ­đ?’Žđ?’Šđ?’•đ?’† đ?’“đ?’†đ?’‚đ?’? đ?’Šđ?’?đ?’‡đ?’†đ?’“đ?’Šđ?’?đ?’“ đ?’…đ?’† đ?’?đ?’‚ đ?’„đ?’?đ?’‚đ?’”đ?’† "đ?’Œ" đ?’Šđ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’—đ?’‚đ?’?đ?’? ¨đ?’ŒÂ¨: đ?’†đ?’” đ?’†đ?’? đ?’’đ?’–đ?’† đ?’‘đ?’“đ?’†đ?’”đ?’†đ?’?đ?’•đ?’‚ đ?’?đ?’‚ đ?’Žđ?’‚đ?’šđ?’?đ?’“ đ?’‡đ?’“đ?’†đ?’„đ?’–đ?’†đ?’?đ?’„đ?’Šđ?’‚ đ?’‚đ?’ƒđ?’”đ?’?đ?’?đ?’–đ?’•đ?’‚ đ?šŤđ?&#x;? = đ?’‡đ?’Œ − đ?’‡đ?’Œâˆ’đ?&#x;? đ?’‡đ?’Œ : đ?’‡đ?’“đ?’†đ?’„đ?’–đ?’†đ?’?đ?’„đ?’Šđ?’‚ đ?’…đ?’†đ?’? đ?’Šđ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’—đ?’‚đ?’?đ?’? ¨đ?’ŒÂ¨ đ?šŤđ?&#x;? = đ?’‡đ?’Œ − đ?’‡đ?’Œ+đ?&#x;? đ?’‡đ?’Œâˆ’đ?&#x;? : đ?’‡đ?’“đ?’†đ?’„đ?’–đ?’†đ?’?đ?’„đ?’Šđ?’‚ đ?’…đ?’†đ?’? đ?’Šđ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’—đ?’‚đ?’?đ?’? đ?’‚đ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’Šđ?’?đ?’“ đ?’‚đ?’? ¨đ?’ŒÂ¨ đ?’‡đ?’Œ+đ?&#x;? : đ?’‡đ?’“đ?’†đ?’„. đ?’…đ?’†đ?’? đ?’Šđ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’—đ?’‚đ?’?đ?’? đ?’‘đ?’?đ?’”đ?’•đ?’†đ?’“đ?’Šđ?’?đ?’“ đ?’‚đ?’? ¨đ?’ŒÂ¨ đ?‘Ş: đ?’•đ?’‚đ?’Žđ?’‚Ăąđ?’? đ?’? đ?’‚đ?’?đ?’„đ?’‰đ?’–đ?’“đ?’‚ đ?’…đ?’† đ?’„đ?’?đ?’‚đ?’”đ?’†

Cuadro comparativo MEDIA Es el valor promedio ¨equilibra¨ los datos Para variables cuantitativas

MEDIANA Es el valor central ¨Parte a la mitad¨ los datos Para variables cuantitativas y cualitativas Muy afectada por los Poco afectada por los valores extremos valores extremos La de mås amplia Se prefiere en variables aplicación, sobre todo en como sueldos, nivel variables de origen natural. educativo y otras con valores muy contrastantes.

Se prefiere en variables que Se prefiere, junto con la se distribuyen normal o moda, en aquellas aproximadamente normal colecciones de datos con En una distribuciĂłn una marcada asimetrĂ­a. fuertemente asimĂŠtrica no se considera un buen representante de los datos.

MODA Es el valor mås frecuente ¨concentra¨ los datos Para variables cualitativas No afectada por los valores extremos Se usa en mercadotecnia, encuestas de opinión, lo mås usual, lo mås popular, etc.

Ha de tomarse muy en cuenta en aquellas colecciones de datos donde hay una gran cantidad de ĂŠstos alrededor del valor modal.

RelaciĂłn entre media, mediana y moda. BĂĄsicamente se establecen 3 relaciones distintas al comparar estos tres estadĂ­sticos: Es normal o aproximadamente normal Las 3 medidas coinciden en el centro de la curva o estĂĄn muy cercanas: Ě… ≈ Me ≈ Mo đ?‘ż Ě…â‰ˆđ??— Ěƒâ‰ˆđ??— Ě‚ đ??— No presenta la curva sesgo o asimetrĂ­a.

Esta curva aparece con mucha frecuencia, sobre todo en variables fĂ­sicas o naturales.

SIMÉTRICA 14

Alargamiento o ¨cola¨ a la izquierda.

No coinciden las tres medidas: Ě… Mo ˃ Me ˃ đ?‘ż Ě‚>đ??— Ěƒ>đ??— Ě… đ??— El sesgo es negativo Este tipo de curva es poco frecuente.

Los datos con las frecuencias mĂĄs bajas se ubican a la izquierda de la media.

ASIMÉTRICA A LA IZQUIERDA

Alargamiento o cola a la derecha No coinciden las 3 medidas: Ě… ˃ Me ˃ Mo đ?‘ż Ě…>đ??— Ěƒ>đ??— Ě‚ đ??— Sesgo positivo Es la mĂĄs frecuente de las curvas sesgadas Los datos con menores frecuencias se ubican a la derecha de la media.

ASIMÉTRICA A LA DERECHA

Ejemplo comparativo en datos no agrupados: La siguiente lista muestra los salarios diarios de c/u de los 9 empleados en una pequeĂąa empresa: $200

$200

$300

$350

$450

$600

$650

$3000

$5000

Ě… =$ 1 183.30 đ?‘ż La media aritmĂŠtica no es representativa como sueldo promedio (los valores estĂĄn muy contrastantes) Me = $450 La mediana es un buen representativo del sueldo promedio.

Mo = $200 No es un buen indicador del promedio (hay pocos valores cerca de este valor).

15

7. MEDIDAS DE DISPERSIĂ“N O VARIABILIDAD Son valores que intentan dar una idea de cuan esparcidos o concentrados se encuentran los datos de una colecciĂłn. Miden que tan homogĂŠnea o heterogĂŠnea es una poblaciĂłn o muestra.

Las principales medidas de dispersiĂłn son: rango, desviaciĂłn media, desviaciĂłn estĂĄndar, varianza, coeficiente de variaciĂłn y sesgo.

A.- RANGO. Es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos. TambiĂŠn se le conoce como amplitud o recorrido.

El rango de los números 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 19 y 20 es R= 20 – 12 = 8 R= 12 – 20 significa que los valores van desde 12 el menor hasta 20 el mayor.

Es muy dĂŠbil como medida de dispersiĂłn, y hace ĂŠnfasis sĂłlo en los valores extremos.

Se piensa que cuanto mayor es el rango mayor es la dispersiĂłn de los datos, lo cual no necesariamente es cierto.

B. DESVIACIĂ“N MEDIA Se define como el promedio de las diferencias absolutas de los datos con respecto a la media aritmĂŠtica de los mismos.

Para datos no agrupados la fĂłrmula es: đ?‘Ť. đ?‘´. =

Para datos agrupados: đ?‘Ť. đ?‘´. =

Ě…| ∑|đ?‘żâˆ’đ?‘ż đ?‘ľ

Ě…| ∑ đ?’‡|đ?‘żâˆ’đ?‘ż đ?‘ľ

Ejemplo: Dados los valores 15, 13, 8, 17, 25, 10, encuentre su desviaciĂłn media.

SoluciĂłn: Ě… = đ?&#x;?đ?&#x;“+đ?&#x;?đ?&#x;‘+đ?&#x;–+đ?&#x;?đ?&#x;•+đ?&#x;?đ?&#x;“+đ?&#x;?đ?&#x;Ž = 14.67 Primero calculamos la media aritmĂŠtica đ?‘ż đ?&#x;”

Enseguida la desviaciones Ě… 15 13 8 17 25 đ?‘ż Ě… | .33 |đ?‘ż − đ?‘ż 1.67 6.67 2.33 10.33 Por Ăşltimo obtenemos el promedio de esas desviaciones 16

10 4.67

N=6 â…€ = 26

D. M. =

đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;”

= 4.33

Esto significa que la variaciĂłn promedio de estos datos es de Âą4.33 unidades con respecto al valor medio de los mismos que es 14.67 unidades.

Este estadĂ­stico tiene poco uso por el hecho de manejar valores absolutos, lo cual crea problemas algebraicos en los mĂŠtodos de la EstadĂ­stica inferencial.

C.) VARIANZA Se define como el promedio de los cuadrados de la diferencia de cada valor con respecto a su media aritmĂŠtica.

Para datos no agrupados:

Para datos agrupados:

đ?&#x;?

đ?’”đ?&#x;? =

đ?’” =

Ě… )đ?&#x;? â…€(đ?‘żâˆ’đ?‘ż đ?‘ľ

Ě… )đ?&#x;? â…€đ?’‡(đ?‘żâˆ’đ?‘ż đ?‘ľ

Tiene mucha importancia en InvestigaciĂłn, en EstadĂ­stica mĂĄs avanzada.

Tiene el inconveniente de que no presenta las mismas unidades de medida que los datos, ya que estĂĄn elevados al cuadrado.

D.) DESVIACIĂ“N ESTĂ NDAR O TĂ?PICA Se define como la raĂ­z cuadrada del promedio de los cuadrados de la diferencia de cada valor con respecto a su media aritmĂŠtica. Es la raĂ­z cuadrada de la varianza FĂłrmula: para datos agrupados para datos no agrupados

đ?’”= √

Ě… )đ?&#x;? đ?šş đ?’‡ (đ?‘żâˆ’đ?‘ż đ?‘ľ

đ?’”= √

Ě… )đ?&#x;? đ?šş (đ?‘żâˆ’đ?‘ż đ?‘ľ

Es un indicador numĂŠrico del grado de dispersiĂłn o variabilidad de los datos con respecto a la media aritmĂŠtica. Nos permite comparar las diferencias de variabilidad entre dos o mĂĄs conjuntos de datos.

17

CaracterĂ­sticas: 1.- Viene en las mismas unidades de medida que los datos.

2.- Toma en cuenta a todos los datos, pero se ve mĂĄs afectada por los valores extremos que por los centrales.

3.- En una distribuciĂłn simĂŠtrica o ligeramente sesgada 3 desviaciones estĂĄndar por encima y por debajo de la media incluyen a casi todos los datos (99.7%), por lo que generalmente la desviaciĂłn estĂĄndar es alrededor de 1/6 del rango.

4.- Su valor se puede incrementar muy drĂĄsticamente cuando incluimos uno o mĂĄs datos muy extremos. a) EJERCICIO. Complete la tabla y calcule la desviaciĂłn estĂĄndar.

Valor al cierre en la Bolsa de 8 compaùías de inversión (en millones de dólares) ABACUS EUROEX PERSHING CARRIERS J.K. C�A. DOMINICK AM. P.H. PHILLIPS Cía.

14 29 26 15 40 41 17 30 Valor Ě… )đ?&#x;? (đ?‘ż − đ?‘ż

Recuerde que mĂĄs adelante veremos el ejemplo para datos agrupados

E) COEFICIENTE DE VARIACIĂ“N El grado de variabilidad de una colecciĂłn de datos se puede determinar comparando la proporciĂłn que guarda su desviaciĂłn estĂĄndar con respecto a su media aritmĂŠtica.

Esto lo hace el coeficiente de variaciĂłn.

Su fĂłrmula expresa la desviaciĂłn estĂĄndar como un porcentaje de la media aritmĂŠtica.

Como compara en porcentaje la desviaciĂłn estĂĄndar o tĂ­pica con respecto a la media en una colecciĂłn de datos, se le conoce como una medida de dispersiĂłn relativa. đ?‘Ş. đ?‘˝. =

đ?‘ş (đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž) Ě… đ?‘ż

18

Con ayuda del coeficiente de variación podemos comparar el grado de variabilidad entre dos colecciones de datos o poblaciones distintas, no importa si presentan diferentes unidades de medición.

No es lo mismo una desviación estándar de 2 con una media de 4 que una desviación estándar también de 2 pero con una media de 8. 𝑪. 𝑽. =

𝟐 𝟖

(𝟏𝟎𝟎) = 𝟐𝟓%

s=2

𝑪. 𝑽. =

X=8

𝟐 𝟒

(𝟏𝟎𝟎) = 𝟓𝟎%

s=2

menor variabilidad

X=4

mayor variabilidad

Advertencia: el coeficiente de variabilidad pierde su utilidad cuando la media aritmética es cero o muy próxima a cero, ya que en estos casos su valor puede salir muy alto, lo que no necesariamente significa una dispersión alta de los datos.

Otro ejemplo: En un estudio acerca del consumo de electricidad se dividió en dos sectores a la ciudad, obteniéndose los siguientes resultados: SECTOR 1

SECTOR 2

X = 480 kwh s = 51 kwh Sector 1:

X = 690 kwh s = 65 kwh

𝟓𝟏 (𝟏𝟎𝟎) = 𝟏𝟎. 𝟔𝟐% 𝑪𝑽 = 𝟒𝟖𝟎

¿En cuál de los dos sectores hay mayor variabilidad en el consumo de electricidad?

Sector 2: 𝑪𝑽 =

𝟔𝟓 (𝟏𝟎𝟎) = 𝟗. 𝟒𝟐% 𝟔𝟗𝟎

A pesar de contar con una desviación estándar menor, se observa mayor variabilidad en el consumo de electricidad en el sector 1.

19

En el boxeo la categorĂ­a de pesos pesados tolera una mayor variabilidad en el peso de sus integrantes que la categorĂ­a minimosca, por lo que si calculamos sus coeficientes de variabilidad y los comparamos serĂĄ mayor en la primera.

8.- MEDIDAS DE FORMA Son indicadores estadĂ­sticos que ofrecen informaciĂłn acerca de la manera en que se acomodan los datos en una distribuciĂłn. Se clasifican en dos tipos: medidas de asimetrĂ­a o sesgo y medidas de apuntamiento o curtosis.

A) Ă?NDICE DE SESGO O COEFICIENTE DE ASIMETRĂ?A. Es una medida que indica que tan simĂŠtrica o asimĂŠtrica es una distribuciĂłn. Cuando los datos se reparten por igual a ambos lados de la media se llama forma normal (simĂŠtrica), Si los datos se cargan mĂĄs para un lado o para otro de la media se dice que es una curva sesgada o asimĂŠtrica.

La simetrĂ­a perfecta no se encuentra nunca en la prĂĄctica, pero hay mĂĄrgenes de tolerancia.

Actualmente hay un buen nĂşmero de parĂĄmetros o estadĂ­sticos que nos miden el grado de asimetrĂ­a, sesgo o normalidad de una colecciĂłn de datos, de los cuales se pueden usar uno o varios a la vez, pero cuyo cĂĄlculo es muy complejo para hacerlo en forma manual. Para nuestros modestos fines presentamos el Ă?ndice de sesgo de Pearson por su simplicidad de cĂĄlculo, no tanto por su fortaleza.

I: Ă­ndice de sesgo de Pearson

Ě… − đ?‘´đ?’†) đ?&#x;‘ (đ?‘ż đ?‘°= đ?’” Ě…âˆ’đ?‘ż Ěƒ) đ?&#x;‘ (đ?‘ż đ?‘°= đ?’”

-3 < I < 3 Ě&#x2026; : media aritmĂŠtica đ?&#x2018;ż Ě&#x192; : mediana Me=đ?&#x2018;ż S: desviaciĂłn estĂĄndar o tĂ­pica

Cuando el Ă­ndice de sesgo sale negativo (I < 0), indica que la curva esta sesgada (alargada) a la izquierda.

Cuando I sale positivo (I > 0) indica que hay un sesgo o alargamiento a la derecha.

20

Iâ&#x2030;Ľ1 Distribuciones marcadamente

asimĂŠtricas o sesgadas

I â&#x2030;¤ -1

EJEMPLO de un estudio estadĂ­stico con todos los pasos seĂąalados. (DATOS AGRUPADOS) La siguiente tabla es el resultado de una muestra aleatoria para conocer el salario mensual en pesos de ingenieros supervisores que trabajan en las maquiladoras de la frontera norte. Se muestran los salarios en bruto de 50 de ellos (en miles de pesos).

19.50 17.38 28.25 27.56 14.66 19.07 26.26 19.16 22.41 24.56 10.69 23.24 19.55 23.44 19.82 22.57 19.45 19.20 29.91 27.15 32.22 23.04 19.98 18.60 26.70 19.20 22.78 24.36 19.98 21.89 1er paso. Ordenar los datos de menor a mayor

20.04 14.31 12.07 21.27 25.00

33.56 20.40 18.54 15.20 22.26

20.15 22.81 14.55 16.39 12.09

10.59 23.48 25.46 26.86 26.33

10.59 14.55 18.54 19.20 10.69 14.66 18.60 19.45 12.07 15.20 19.07 19.50 12.09 16.39 19.16 19.55 14.31 17.38 19.20 19.82 2Âş paso. Obtener el rango.

22.78 22.81 23.04 23.24 23.44

23.48 24.36 24.56 25.00 25.46

26.26 26.33 26.70 26.86 27.15

27.56 28.25 29.91 32.22 33.56

19.98 19.98 20.04 20.15 20.40

21.27 21.89 22.26 22.41 22.57

Rango= valor mayor â&#x20AC;&#x201C; valor menor = 33.56 â&#x20AC;&#x201C; 10.59 = 22.97 3er. Paso. Determinar el nĂşmero de clases. En el caso de sueldos, conviene marcar primero una anchura adecuada de clase siguiendo una pauta, por ejemplo en este caso cada $ 5 mil pesos # đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D; =

đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;? đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?

= đ?&#x;&#x2019;. đ?&#x;&#x201D; â&#x2030;&#x2C6; đ?&#x;&#x201C; intervalos de clase

21

4º paso. Se elabora una tabla de distribución de frecuencias f CLASES(sueldo # F en miles de $) pers.

10 15 20 25 30

-

f.r. %

14.99 7 7 14 19.99 15 22 30 24.99 16 38 32 29.99 10 48 20 34.99 2 50 4 N= 50 100 f: frecuencia F: frecuencia acumulada LRIC: límite real inferior de clase

Lim. Lim. Marca Real f.r.a.

Real de clase Sup. (f)(x) % Inf. De (x) De Clase Clase 14 12.495 9.995 14.995 87.465 44 17.495 14.995 19.995 262.425 76 22.495 19.995 24.995 359.920 96 27.495 24.995 29.995 274.950 100 32.495 29.995 34.995 64.990 ⅀= 1049.750 X: marca de clase o punto medio f.r. : frecuencia relativa LRSC: lím. real sup. de clase

5º paso. Elaborar el Histograma de frecuencias Ilustración 1 Histograma sobre salarios de empleados

# 18

P E R

16 14 12 10

S

8

O

6

N A S

4 2 0 12.495

17.495

22.495

27.495

S A L A R I O S en miles de pesos

22

32.495

6Âş paso. Elaborar el PolĂ­gono de frecuencias #

18 16

P

14 E

12 10

R

8

S

6 4

O

2 0

N

7.495

12.495

17.495

22.495

27.495

32.495

37.495

A

S

S

A L A R I O S en miles de de pesos

7º paso. Elaborar la Ojiva ¨mayor que¨ F

60

R

50

E C

40 30 20

A 10

C 0 7.495

12.495

17.495

22.495

27.495

32.495

S A L A R I O S en miles de pesos

8Âş paso. Calcular las Medidas de Tendencia Central a) Media AritmĂŠtica. Por ser datos agrupados en categorĂ­as o clases se usa la fĂłrmula:

Ě&#x2026;= đ?&#x2018;ż

â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2018;ľ

=

đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2014;.đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D;

= 20.995

Ě&#x2026; = 20.995 đ?&#x2018;ż

Lectura: el sueldo promedio de estos supervisores es de $20 995 pesos mensuales netos.

23

b) Mediana Para datos agrupados en clases tenemos la fĂłrmula: Mediana =đ?&#x2018;żĚ&#x192;=

đ?&#x2018;ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;­đ?&#x2019;&#x2039;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x;?

đ?&#x2018;łđ?&#x2018;šđ?&#x2018;°đ?&#x2019;&#x2039; + (

Ě&#x192; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2014;. đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x201C; + ( đ?&#x2018;´đ?&#x2019;&#x2020; = đ?&#x2018;ż

đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2039;

đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?

đ?&#x;?đ?&#x;&#x201D;

)đ?&#x2019;&#x201E; Ě&#x192; = 20.932 Me = đ?&#x2018;ż

) (đ?&#x;&#x201C;)

Lectura del estadĂ­stico: en esta poblaciĂłn estudiada, la mitad de las personas tienen un sueldo por debajo de $20 932 y la otra mitad gana arriba de $20 932 pesos mensuales. c) Moda Ě&#x201A; = đ?&#x2018;łđ?&#x2018;šđ?&#x2018;°đ?&#x2018;˛ + ( đ?&#x161;Ťđ?&#x;? ) đ?&#x2018;Ş = 19.995 + ( đ?&#x;? ) (đ?&#x;&#x201C;) = 20.71 đ?&#x2018;´đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x201A; = đ?&#x2018;ż đ?&#x161;Ť +đ?&#x161;Ť đ?&#x;?+đ?&#x;&#x201D; đ?&#x;?

đ?&#x;?

Ě&#x201A; = 20709 đ?&#x161;Ťđ?&#x;? = đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x152; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x152;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? = 16 â&#x20AC;&#x201C; 15 = 1 đ?&#x161;Ťđ?&#x;? = đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x152; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x152;+đ?&#x;? = 16 â&#x20AC;&#x201C; 10 = 6 Mo = đ?&#x2018;ż Lectura: el sueldo mĂĄs frecuente en este tipo de profesionistas es de $20 709 pesos mensuales. d) RelaciĂłn entre media, mediana y moda. EstĂĄn muy cercanos los valores de estas tres medidas, por lo cual esperamos una curva normal o simĂŠtrica.

24

9Âş paso.

Calcular las Medidas de dispersiĂłn o variabilidad

a) Rango. Ya se habĂ­a obtenido anteriormente = 22.97 b) DesviaciĂłn media Para las demĂĄs medidas de dispersiĂłn hay que aĂąadir mĂĄs columnas a la tabla de distribuciĂłn de frecuencias.

10 15 20 25 30

Ě&#x2026; | đ?&#x2019;&#x2021;|đ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ż Ě&#x2026; | (đ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ż Ě&#x2026; )đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ż Ě&#x2026; )đ?&#x;? |đ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ż CLASES frec. đ?&#x2019;&#x2122; - 14.99 7 12.495 8.5 59.5 72.25 505.75 - 19.99 15 17.495 3.5 52.5 12.25 183.75 - 24.99 16 22.495 1.5 24.0 2.25 36.00 - 29.99 10 27.495 6.5 65.0 42.25 422.50 - 34.99 2 32.495 11.5 23.0 132.25 264.50 N= 50 â&#x2026;&#x20AC;= 31.5 224.0 1412.50

Ě&#x2026;â&#x2C6;&#x2022; â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2021;â &#x201E;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122;

đ?&#x2018;Ťđ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2014;. đ?&#x2018;´đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201A; =

đ?&#x2018;ľ

=

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D;

= 4.480

c) Varianza đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x201D; =

Ě&#x2026; )đ?&#x;? â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2018;ľ

=

đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?.đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D;

= 28.250

d) DesviaciĂłn estĂĄndar o tĂ­pica đ?&#x2019;&#x201D;= â&#x2C6;&#x161;

Ě&#x2026;)đ?&#x;? đ?&#x161;ş đ?&#x2019;&#x2021; (đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2018;ľ

=â&#x2C6;&#x161;

đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?.đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D;

= 5.315

e) Coeficiente de variaciĂłn đ?&#x2018;Ş. đ?&#x2018;˝. = đ?&#x2018;Ş. đ?&#x2018;˝. =

đ?&#x2019;&#x201D; (đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;) đ?&#x2018;ż đ?&#x;&#x201C;.đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;.đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x201C;

(đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;) = 25.31%

25

f) Ă?ndice de sesgo o asimetrĂ­a

đ?&#x2018;°=

đ?&#x;&#x2018; (đ?&#x2018;żâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;´đ?&#x2019;&#x2020;) đ?&#x2019;&#x201D;

đ?&#x2018;°=

đ?&#x;&#x2018;(đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;.đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x201C;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;.đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?) đ?&#x;&#x201C;.đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;

=

đ?&#x;&#x17D;.đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;đ?&#x;&#x2014; đ?&#x;&#x201C;.đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;

= 0.0355

g) Apuntamiento o curtosis ( ver anexos) la fĂłrmula es

đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2021; =

Ě&#x2026; )đ?&#x;&#x2019; â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2018;żâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ż đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;&#x2019;

s: desv. estĂĄndar X = marca de clase

đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2021; =

đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;? đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x2018;. đ?&#x;&#x17D; = đ?&#x;?. đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2014; đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x2014;

f: frec. de clase

áş&#x152; = media aritmĂŠtica

n= num. de datos

Como đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2021; < đ?&#x;&#x2018; significa que la distribuciĂłn es platicĂşrtica.

10Âş. Paso. Elaborar un CUADRO de CONCENTRADO DE ESTADĂ?STICOS Media = 20.995

Mediana= 20.932

Moda= 20.709

Rango= 22.97

D.M.= 4.480

Varianza= 28.250

Desv. Est. = 5.315

C. de variaciĂłn= 25.31

Ă?. de sesgo= 0.0355

26

11º. Paso. ALGUNAS OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES: a) Los sueldos varían desde $10 500 hasta $33 500 aproximadamente. Esto significa que los sueldos más altos llegan a ser el triple de los más bajos. b) La media, mediana y moda presentan valores muy cercanos, por lo que se puede afirmar que el sueldo promedio anda entre $20 700 y $21 000. c) Sólo el 4 % de estos profesionistas tiene sueldos de $30 000 o más. d) Alrededor de las ¾ parte de estos profesionistas ganan $25 000 o menos. e) El coeficiente de variación de 25.31% indica que la desviación estándar o típica es la cuarta parte de la media aritmética, lo cual refleja una variación notoria en los sueldos de estos empleados. f) El índice de sesgo presenta un valor positivo muy bajo. g) Por lo anterior y basándonos también en los resultados que arroja el software( las llamadas pruebas de normalidad), podemos afirmar que los sueldos se distribuyen en forma aproximadamente normal o simétrica. h) El histograma presenta una forma típica, concentrándose los datos en su parte media. i) En términos generales se observan muy similares los valores de los estadísticos calculados manualmente y los obtenidos por el programa NCSS.

27

EJERCICIO PROPUESTO 1-1 Un técnico agrícola experimenta con fertilizantes y obtiene los siguientes resultados, ordenados de menor a mayor, sobre las alturas en cm. de 50 arbolitos frutales.

76 108 108 110 117

118 122 123 124 129

135 139 142 148 155

155 157 158 158 159

159 162 162 169 173

175 177 178 178 179

Elabora a) una tabla de distribución de frecuencias

b) histograma c) polígono d) ojiva ¨ menos de ¨.

28

182 186 187 187 189

190 194 196 204 206

212 213 224 224 227

240 241 249 259 265

ObtĂŠn a) las medidas de tendencia central b) las medidas de dispersiĂłn c) conclusiones

29

30

SUGERENCIA DE PROYECTO PARA EL PRIMER PARCIAL Consultoría de Servicios Estadísticos con fines industriales y/o fabriles FECHA DE ENTREGA: Sugerida 2 de Marzo 2017 Participantes: Equipos de 5 estudiantes de cada grupo que cursen la materia de Probabilidad y Estadística del Sexto Semestre de todas las especialidades JUSTIFICACION El siguiente trabajo tiene como propósito que el (la) estudiante aplique las técnicas estadísticas que se aprenderán durante el primer parcial en la naturaleza del ámbito laboral.

La necesidad de que el aprendizaje de la Estadística sea significativo para los alumnos implica necesariamente el saber hacer, de modo que es el alumno el actor principal en la construcción de su propio aprendizaje. En este proceso, la aplicación de las tecnologías de la información y la comunicación serán fundamentales para el desarrollo de las competencias de los alumnos.

En esta unidad, organizados en equipos, presentaran los resultados estadísticos relacionados a las necesidades de alguna empresa en particular.

METODOLOGÍA 1. Definición y delimitación. Una empresa local, regional o nacional, tiene interés en saber cómo es una población, contacta a una consultoría (tu equipo) y le solicita un estudio estadístico para conocer una o más variables que serán determinantes para la fabricación o servicio que ellos prestan.

2. Haciendo uso de todos los pasos del proceso de la Estadística Descriptiva, el equipo elaborará un informe completo.

CONTENIDO DEL INFORME 1. Definición y delimitación. Descripción del objeto de estudio, en el que se incluya el nombre de la empresa, su giro, el por qué y el para qué de las razones del estudio, qué variable se medirá, en qué unidades, el método de muestreo que se utilizará (medición, encuesta, entrevista, investigación documental, observación de campo, etc.) y una descripción completa y detallada de la población mencionando sus características de modo que no haya ninguna duda si un individuo pertenece o no a la población objeto de estudio.

2. Toma, levantamiento o Muestreo de datos. Todos los datos que se recolectaron. (No menos de 80). Si provienen de una encuesta o una entrevista incluya el formato de preguntas que utilizó en blanco. Si provienen de una investigación incluya la fuente.

3. Organización. La lista de datos ordenados 4. Tabla de Distribución de frecuencias. Criterio que se utilizó para su elaboración. Columnas f, F, fr, fra y X 5. Representación Gráfica. Histograma, Polígono de frecuencias, Curva de Frecuencias y Ojiva. Todos con su título y leyendas correspondientes en los ejes.

6. Cálculo de Índices estadísticos de Tendencia Central y de Dispersión. Incluya de nuevo la tabla con todas las columnas que ocupe para realizar estos cálculos. Los indicadores solicitados son Media Aritmética, Mediana, Moda, Asimetría, Rango, Desviación Media, Desviación Estándar, Varianza, Sesgo, Coeficiente de Variación.

7. Análisis de Datos y Conclusiones. 10 enunciados que describan a la muestra apoyándose en las tablas, las gráficas y todos los indicadores que calculó. Evite superlativos o diminutivos (muchos, pocos, casi nada, casi todos, la minoría, etc.) Mencione cantidades que provengan de su muestra.

Incluya además un párrafo de conclusiones finales o recomendaciones para la empresa, basado en sus hallazgos.

REQUISITOS ADICIONALES: los indicados por su maestro

31

TEMAS ANEXOS LOS CUANTILES AsĂ­ como la mediana divide a una colecciĂłn de datos en dos partes iguales, tenemos otras medidas que dividen a los datos: - cuartiles: dividen a los datos en 4 partes iguales.

- deciles: dividen a los datos en 10 partes iguales.

- percentiles: dividen a los datos en 100 partes iguales.

La fĂłrmula para calcular los cuantiles es una variante de la fĂłrmula de la mediana, dependiendo de la proporciĂłn de datos buscada.

A) CUARTILES Se definen como los intervalos dentro de los cuales quedan proporcionalmente repartidos los datos en 4 subgrupos de partes iguales.

Primer cuartil (đ?&#x2018;¸đ?&#x;? ) es el valor por debajo del cual quedan el 25% de todos los datos.

Segundo cuartil (đ?&#x2018;¸đ?&#x;? ) es el valor de la mediana, es decir, por debajo se encuentra el 50% de los datos y por encima el otro 50%.

Tercer cuartil (đ?&#x2018;¸đ?&#x;&#x2018; ) es el valor por debajo del cual quedan el 75% de los datos.

La fĂłrmula para el cĂĄlculo de los cuartiles en una colecciĂłn de datos agrupados en clases es: đ?&#x2018;˛đ?&#x2018;ľ â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2021;)đ?&#x;? đ?&#x2018;¸đ?&#x2019;&#x152; = đ?&#x2018;łđ?&#x2018;šđ?&#x2018;°đ?&#x;? + [ đ?&#x;&#x2019; ]đ?&#x2018;Ş đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x152; donde: K = se refiere al ¨K¨ -ĂŠsimo cuartil (1Âş , 2Âş o 3Âş ) đ?&#x2018;łđ?&#x2018;šđ?&#x2018;°đ?&#x;? = lĂ­m. real inf. de la clase del ¨K¨ -ĂŠsimo cuartil, es decir, la clase hasta donde se acumulan la cuarta parte, la mitad o las tres cuartas partes de los datos, segĂşn ¨K¨ valga 1, 2 o 3, respectivamente.

N = nĂşmero total de datos.

32

(â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2021;)đ?&#x;? ) = suma de las frecuencias de todas las clases anteriores a la clase del K- ĂŠsimo cuartil. đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2018;˛ = frecuencia de la clase del K- ĂŠsimo cuartil.

C = tamaĂąo o anchura de clase Para determinar los cuartiles de un conjunto de datos no agrupados, se sigue un procedimiento similar al cĂĄlculo de la mediana. El primer cuartil (đ?&#x2018;¸đ?&#x;? ) equivale a la mediana de la primera mitad de los datos, cuando estĂĄn ordenados en forma ascendente.

En el ejemplo que nos ocupa acerca del salario de supervisores en las maquiladoras, retomamos la tabla de distribuciĂłn de frecuencias: CLASES (sueldo en miles de $) 10 15 20 25 30

F # F pers.

f.r. %

f.r.a. %

Marca de clase (x)

-

14.99 7 7 14 14 12.495 19.99 15 22 30 44 17.495 24.99 16 38 32 76 22.495 29.99 10 48 20 96 27.495 34.99 2 50 4 100 32.495 N= 50 100 Si deseamos conocer el valor del primer cuartil (đ?&#x2018;¸đ?&#x;? ) Datos: đ?&#x2018;˛đ?&#x2018;ľ đ?&#x;?(đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D;) = = đ?&#x;?đ?&#x;?. đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2018;łđ?&#x2018;šđ?&#x2018;°đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;. đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x201C; (â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2021;)đ?&#x;? = đ?&#x;&#x2022; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2018;˛ = đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C; C=5

Lim. Lim. Real Real Sup. (f)(x) Inf. De De Clase Clase 9.995 14.995 87.465 14.995 19.995 262.425 19.995 24.995 359.920 24.995 29.995 274.950 29.995 34.995 64.990 â&#x2026;&#x20AC;= 1049.750

FĂłrmula:

Resultado:

đ?&#x2018;˛đ?&#x2018;ľ â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2021;)đ?&#x;? đ?&#x2018;¸đ?&#x2019;&#x152; = đ?&#x2018;łđ?&#x2018;šđ?&#x2018;°đ?&#x;? + [ đ?&#x;&#x2019; ]đ?&#x2018;Ş đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x152;

đ?&#x2018;¸đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;. đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x201C; + đ?&#x;?. đ?&#x;&#x2013;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;

SustituciĂłn: đ?&#x;?đ?&#x;?. đ?&#x;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2022; đ?&#x2018;¸đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;. đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x201C; + [ ]đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;

đ?&#x2018;¸đ?&#x;? = 16.828

Lectura: Una cuarta parte de los empleados gana sueldos inferiores a $ 16 828, y tres cuartas partes de ellos gana por encima de esta cantidad.

De manera similar se puede calcular el 3Âş cuartil.

33

Para el cĂĄlculo de los deciles y de los percentiles se opera de manera similar con la fĂłrmula, haciendo los ajustes respectivos.

Ejemplo: Obtener el 7Âş decil Datos: FĂłrmula: đ?&#x2018;˛đ?&#x2018;ľ đ?&#x2018;˛đ?&#x2018;ľ đ?&#x;&#x2022;(đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D;) â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2021;)đ?&#x;? = = đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2018;Ťđ?&#x2019;&#x152; = đ?&#x2018;łđ?&#x2018;šđ?&#x2018;°đ?&#x;? + [ đ?&#x;&#x2019; ]đ?&#x2018;Ş đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x152; đ?&#x2018;łđ?&#x2018;šđ?&#x2018;°đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2014;. đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x201C; (â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2021;)đ?&#x;? = 22 SustituciĂłn: đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x152; = 16 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;Ťđ?&#x;&#x2022; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2014;. đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x201C; + [ ]đ?&#x;&#x201C; C=5 đ?&#x;?đ?&#x;&#x201D;

Resultado: đ?&#x2018;Ťđ?&#x;&#x2022; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2014;. đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x201C; + đ?&#x;&#x2019;. đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2018;Ťđ?&#x;&#x2022; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;. đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x2022;

Lectura: Siete dĂŠcimas partes de estos empleados ganan sueldos inferiores a 24 057 pesos mensuales.

$

B) APUNTAMIENTO O CURTOSIS El apuntamiento o curtosis mide que tan aplanada o puntiaguda es una curva de frecuencias. De esta manera la curtosis deja ver el grado de aglomeramiento de los datos en la zona central de la distribuciĂłn.

De acuerdo con este estadĂ­stico las distribuciones se clasifican en tres tipos: Tipo de curtosis LEPTOCĂ&#x161;RTICA MESOCĂ&#x161;RTICA PLATICĂ&#x161;RTICA

DescripciĂłn Hay una gran concentraciĂłn de datos en la zona central. La curva presenta forma puntiaguda.

Los datos se distribuyen de una manera normal o acampanada respecto al centro.

Los datos se reparten mucho a ambos lados de la zona central, lo que le da a la curva una forma achatada.

34

Para determinar el grado de curtosis en una curva se utiliza el coeficiente de apuntamiento de Fisher: s: desv. estĂĄndar

â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; áş&#x152;)đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2021; = đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;&#x2019;

X = marca de clase áş&#x152; = media aritmĂŠtica

f: frec. de clase n= num. de datos

Al calcular este Ă­ndice se tiene la siguiente clasificaciĂłn: 1. Si đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2021; â&#x2030;&#x2C6; đ?&#x;&#x2018; significa que la distribuciĂłn es mesocĂşrtica.

2. Si đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2021; < đ?&#x;&#x2018; significa que la distribuciĂłn es platicĂşrtica 3. Si đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2021; > đ?&#x;&#x2018; significa que la distribuciĂłn es leptocĂşrtica

LA CURVA DE DISTRIBUCIĂ&#x201C;N SIMĂ&#x2030;TRICA O NORMAL Muchas variables naturales, ya sea fĂ­sicas o sicolĂłgicas adquieren valores que forman un histograma y curva de frecuencias llamado normal o simĂŠtrico.

A la curva normal de frecuencias tambiĂŠn le llaman la campana de Gauss y presenta las siguientes caracterĂ­sticas: 1) Su Ă­ndice de sesgo es muy cercano a cero (no hay simetrĂ­a perfecta).

2) Es simĂŠtrica respecto a la media, con forma de campana.

3) El ĂĄrea bajo la curva es igual a la unidad.

4) El eje horizontal es asĂ­ntota de la curva.

5) La media, mediana y moda coinciden las tres en la parte media, dividiendo el ĂĄrea bajo la curva en dos secciones de igual forma y tamaĂąo.

6) En los puntos đ?&#x2019;&#x2122; Âą đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201D; presenta puntos de inflexiĂłn.

7) Tiene un mĂĄximo en la media, ya que los valores de las mediciones tienden a agruparse alrededor de la misma.

35

X ± 1s incluye ≈ 68.3% de los datos X ± 2s incluye ≈ 95.5% de los datos X ± 3s incluye ≈ 99.7% de los datos

Esta curva normal es teórica. En cualquier suceso de la naturaleza o de la actuación humana los datos se distribuyen sólo aproximándose en mayor o menor grado a este modelo ideal.

Las distribuciones normales son muy importantes en Estadística y son a menudo usadas en las ciencias sociales y naturales para variables aleatorias.

Los eventos que ocurren por azar (variables aleatorias), en números grandes, tienden a distribuirse formando una curva normal. Por ejemplo los errores de medición de piezas mecánicas en la industria, cuando son comunes, a menudo tienen una distribución muy cercana a la normal. La estatura, el peso, la inteligencia, el rendimiento académico, son ejemplos de variables que se distribuyen en forma simétrica o normal.

En una empresa el tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados se distribuye según una curva normal.

36

Uso de software.

Existen varios programas estadísticos computacionales que nos permiten analizar una colección de datos de una manera muy rápida y sencilla. En el caso del programa NCSS se cuenta con una hoja de ingreso de datos muy parecida a la hoja de Excel. Ingresamos los 50 datos de la variable en la 1er. Columna (C1)

Enseguida hacemos click en el ícono correspondiente a la estadística descriptiva

Aparece un recuadro y hacemos click en el ícono run procedure que nos permite correr el programa para que haga el análisis de los datos de forma casi instantánea.

37

Enseguida aparecen los valores de todos los estadísticos que hemos estudiado y otros más, además del histograma y polígono.

Page/Date/Time Database

1

Descriptive Statistics Report 27/01/2015 05:33:49 p.m.

Means Section of C1 Geometric Harmonic Parameter Mean Median Mean Mean Value 21.2788 20.835 20.61176 19.88317 Std Error 0.7328832 95% LCL 19.80602 19.5 19.12805 18.35935 95% UCL 22.75158 22.81 22.21055 21.68283 T-Value 29.03436 Prob Level 0 Count 50 50 50 The geometric mean confidence interval assumes that the ln(y) are normally distributed.

The harmonic mean confidence interval assumes that the 1/y are normally distributed.

Sum 1063.94 36.64416 990.3008 1137.579

Mode

0

Variation Section of C1 Parameter Value Std Error 95% LCL 95% UCL

Variance 26.85589 5.229687 18.73958 41.70313

Standard Deviation 5.182267 0.7135771 4.328924 6.457796

Unbiased Std Dev 5.208773

Std Error of Mean 0.7328832 0.100915 0.6122023 0.9132702

Kurtosis

Fisher's g1

Fisher's g2

Interquartile Range 5.7175

Range 22.97

Coefficient of Variation

Coef.

Disper

Skewness and Kurtosis Section of C1 Parameter

Skewness

38

Value Std Error

1.338887E-03 2.896017 0.2439209 0.3947316

1.380657E-03 1.513591E-02 0.2435413 0.1946 2.511684E-02

Normality Test Section of C1 Test Name Shapiro-Wilk W

Test Value 0.9827465

Prob Level 0.6720777

10% Critical Value

Anderson-Darling

0.3244981

0.5239308

Martinez-Iglewicz

0.9751196

1.094105

Kolmogorov-Smirnov

7.857806E-02

0.114

D'Agostino Skewness

4.309534E-03 0.9965615

1.645

D'Agostino Kurtosis

0.2432

0.807832

1.645

D'Agostino Omnibus

0.0592

0.970845

4.605

5% Critical Value

Decision (5%) Can't reject normality Can't reject normality 1.144671 Can't reject normality 0.124 Can't reject normality 1.960 Can't reject normality 1.960 Can't reject normality 5.991 Can't reject normality

Plots Section of C1 Histogram of C1 14.0

Count

10.5

7.0

3.5

0.0 10.0

16.3

22.5

28.8

35.0

C1

CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL Hasta ahora hemos realizado estudios estadísticos con una sola variable, sin embargo, en muchas situaciones deben resolverse problemas que involucran más de una variable. En los negocios, en la educación, en la medicina y en muchas otras áreas a menudo nos preguntamos si dos variables están relacionadas entre sí y en su caso, cómo se relacionan. Ejemplos: 1) A medida que una persona aumenta en estatura se espera que gane peso. ¿Existe una relación entre estatura y peso?

39

2) ¿Es cierto que cuanto mayor tiempo se invierta en el estudio, tanto mayor será la calificación obtenida?

3) Los médicos dedicados a la investigación prueban nuevas medicinas, prescribiendo dosis diferentes y observando las reacciones en los pacientes. Se preguntan, ¿al aumentar la dosis disminuye el tiempo de recuperación del paciente?

Cuando de una misma población o muestra obtenemos datos de dos diferentes variables, tenemos lo que se conoce como datos bivariados.

Expresados matemáticamente, los datos bivariados se componen de pares ordenados (x,y), donde ¨x¨ es el valor de la primera variable y ¨y¨ el valor de la segunda, aclarando que para cada valor de ¨x¨ hay un correspondiente valor de ´y¨.

En Estadística tenemos parámetros que nos determinan si existe una correlación significativa entre dos variables, a partir de sus datos bivariados. Entre ellos está el llamado coeficiente de correlación, con un modelo matemático de dicha correlación llamado ecuación de regresión.

Cuando la relación entre dos variables se puede expresar por medio de una línea recta, tenemos la llamada correlación y regresión lineal.

CORRELACIÓN LINEAL Cada par ordenado corresponde a un punto en el plano cartesiano. Si en el eje ¨X¨ colocamos a escala una variable y en el eje ¨Y¨ otra variable, y ubicamos los puntos correspondientes tenemos así lo que se conoce como gráfica de dispersión, que nos permite visualizar la relación entre las variables involucradas. Pueden ser de los siguientes tipos:

40

SIN CORRELACIĂ&#x201C;N

CORRELACIĂ&#x201C;N LINEAL POSITIVA

CORRELACIĂ&#x201C;N POSITIVA PERFECTA CORRELACIĂ&#x201C;N LINEAL NEGATIVA CORRELACIĂ&#x201C;N NEGATIVA

COEFICIENTE DE CORRELACIĂ&#x201C;N LINEAL El coeficiente de correlaciĂłn lineal ¨r¨, nos permite medir la fuerza de la relaciĂłn lineal entre 2 variables, ¨x¨ e ¨y¨. Su fĂłrmula es: đ?&#x2019;&#x201C;=

đ?&#x2019;?(â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x161;) â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2122;)(â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x161;)

CORRELACIĂ&#x201C;N NO LINEAL

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2019;?(â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? ) â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2122;)đ?&#x;? â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2019;?(â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x;? ) â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2026;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x161;)đ?&#x;?

Esta se conoce tambiĂŠn como fĂłrmula Producto â&#x20AC;&#x201C; Momento de Pearson.

Sus valores van desde -1 hasta +1 41

La fuerza de la relación entre las dos variables se mide por el grado de precisión con que se desplazan los valores de ¨y¨ conforme ¨x¨ cambia. ¨r¨ positivo: Correlación positiva, es decir, al aumentar ¨x¨ aumenta también ¨y¨; al disminuir ´x¨ disminuye también ¨y¨. ¨r ¨ negativo: Correlación negativa, es decir, al aumentar ¨x¨ disminuye ¨y¨; al disminuir ¨x¨ aumenta ¨y¨. ¨r¨ cercano a cero: correlación débil. ¨r¨ cercano a +1 o bien a -1 indican correlación fuerte. r = 1 indica correlación positiva perfecta r = -1 indica correlación negativa perfecta Ejemplo: Tomemos un ejemplo sencillo de nuestro entorno.

El profesor de Educación Física registró el número de ¨lagartijas¨ y ¨sentadillas¨ realizadas por 10 alumnos seleccionados al azar. Se registran en la siguiente tabla: Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 # lagartijas (x) 27 22 15 35 33 52 35 40 40 40 # sentadillas (y) 30 26 25 36 33 36 32 54 50 43 La siguiente gráfica constituye un diagrama de dispersión de estos datos.

42

60

S E N T A D I L L A S

50 40 30 20 10

(

Y

0

)

0

10

20

30

40

50

60

LAGARTIJAS (X)

Para el cĂĄlculo de ¨r¨ se recomienda primero elaborar una tabla que facilite el uso de la fĂłrmula: đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x161; Alumno ¨lagartijas¨(x) ¨sentadillas¨(y) đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x;?

1 27 30 729 900 810 2 22 26 484 676 572 3 15 25 225 625 375 4 35 36 1225 1296 1260 5 33 33 1089 1089 1089 6 52 36 2704 1296 1872 7 35 32 1225 1024 1120 8 40 54 1600 2916 2160 9 40 50 1600 2500 2000 10 40 43 1600 1849 1720 â&#x2026;&#x20AC;= 339 365 12481 14171 12978 Sustituyendo en la fĂłrmula, đ?&#x2019;&#x201C;=

(đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;)(đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2013;) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2014;)(đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201C;) â&#x2C6;&#x161;(đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;)(đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2013;đ?&#x;?) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2014;)đ?&#x;? ¡ â&#x2C6;&#x161;(đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;)(đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;?) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201C;)đ?&#x;?

43

= đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;

đ?&#x2019;&#x201C; = đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; ÂżCĂłmo se interpreta este resultado? ÂżIndica este nĂşmero que existe relaciĂłn entre el nĂşmero de sentadillas y el nĂşmero de lagartijas realizadas por cada joven?

Sabemos que cuando ¨r¨ tiene un valor prĂłximo a cero ¨no hay relaciĂłn¨. Por otra parte, si ¨r¨ se acerca a +1 o -1 suponemos que existe una relaciĂłn lineal muy fuerte entre ambas variables. Pero entonces, debe haber un valor entre 0 y 1 donde el criterio cambia y tambiĂŠn un valor correspondiente entre 0 y -1. Ă&#x2030;stos se llaman puntos de decisiĂłn.

no hay relaciĂłn

hay alguna relaciĂłn

hay alguna relaciĂłn

0

-1

+1

puntos de decisiĂłn El valor de estos puntos de decisiĂłn (p.d.) se determinarĂĄ por el tamaĂąo de la muestra, de acuerdo con la siguiente tabla. Se observa que el valor del punto de decisiĂłn es mĂĄs exigente (se acerca mĂĄs a la unidad) si el tamaĂąo de la muestra es pequeĂąo.

N 5 6 7 8 9 10 11

p.d.

0.878 0.811 0.754 0.707 0.666 0.632 0.602

n 12 13 14 15 16 17 18

p.d.

0.576 0.553 0.532 0.514 0.497 0.482 0.468

n 19 20 22 24 26 28 30

p.d.

0.456 0.444 0.423 0.404 0.388 0.374 0.361

N 40 50 60 80 100

p.d.

0.312 0.279 0.254 0.220 0.196

En el ejemplo que nos ocupa para una muestra de tamaĂąo n = 10 el valor del punto de decisiĂłn es 0.632, es decir, como el valor calculado de r = 0.66 estĂĄ a su derecha ( es mayor), afirmamos que hay una relaciĂłn significativa entre las dos variables. Esto nos permite llegar a la siguiente 44

CONCLUSIĂ&#x201C;N A mayor nĂşmero de sentadillas mayor nĂşmero de lagartijas o bien, A mayor nĂşmero de lagartijas mayor nĂşmero de sentadillas.

Concluir que haya una relaciĂłn entre dos variables no significa que exista una relaciĂłn de causa y efecto, es decir, con este sencillo estudio estadĂ­stico no estamos en condiciones de afirmar que una variable sea la causa de otra. Se requiere de estudios mĂĄs profundos para determinar si existe causalidad entre dos variables de una misma poblaciĂłn.

REGRESIĂ&#x201C;N LINEAL El anĂĄlisis de correlaciĂłn sĂłlo nos determina lo fuerte o lo dĂŠbil en que estĂĄn relacionadas 2 variables, pero no nos permite hacer predicciones.

Hacer predicciones confiables es importante en la ciencia y en la tĂŠcnica. Por ejemplo, predecir el ĂŠxito que tendrĂĄ un estudiante en la universidad basado en sus resultados de preparatoria, o bien predecir la distancia requerida para que un vehĂ­culo se detenga basado en su velocidad.

En el ejemplo que nos ocupa deberĂ­amos ser capaces de predecir el nĂşmero de sentadillas a partir del nĂşmero de lagartijas o visceversa. El anĂĄlisis de regresiĂłn nos permite lograr esto. Nos permite obtener una ecuaciĂłn que calcula los valores de ¨y¨ para los valores dados de ¨x¨. En la correlaciĂłn lineal esta ecuaciĂłn se llama ecuaciĂłn de regresiĂłn lineal. Su forma es đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;? + đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122; que es la conocida forma comĂşn o forma pendiente-ordenada al origen de la ecuaciĂłn de la recta. Cambiaremos su presentaciĂłn por la que nos es familiar đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x192; donde ¨m¨ es la pendiente y ¨b¨ es la ordenada al origen (intercepciĂłn con el eje vertical) El mĂŠtodo para obtener esta ecuaciĂłn se llama mĂŠtodo de cuadrados mĂ­nimos, ya que busca trazar en el diagrama de dispersiĂłn una recta en posiciĂłn tal que 45

reduzca al mínimo la distancia entre los puntos y dicha recta. En el ejemplo que nos ocupa quedaría tentativamente en la siguiente posición.

Esta recta de regresión, también llamada línea de mejor ajuste nos permite hacer predicciones acerca del comportamiento de estas dos variables.

Los valores de ¨m ¨ y ¨b¨ se obtienen resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones normales: ⅀𝒚 = 𝒃𝒏 + 𝒎⅀𝒙 ⅀𝒙𝒚 = 𝒃⅀𝒙 + 𝒎⅀𝒙𝟐 En el ejemplo que nos ocupa los datos que necesitamos los obtenemos de la tabla. Sustituyendo tenemos que 𝟑𝟔𝟓 = 𝟏𝟎𝒃 + 𝟑𝟑𝟗𝒎 𝟏𝟐 𝟗𝟕𝟖 = 𝟑𝟑𝟗𝒃 + 𝟏𝟐 𝟒𝟖𝟏𝒎 Resolviendo tenemos que m = 0.61, b = 15.82 Con estos valores construimos la ecuación de regresión: 𝒚 = 𝟎. 𝟔𝒙 + 𝟏𝟓. 𝟖 Esta recta tiene pendiente 0.61 y su intercepción con el eje vertical esta en 15.8 ̅, 𝒚 ̅) es decir, el punto cuyas Esta línea de mejor ajuste pasará siempre por (𝒙 coordenadas son las medias aritméticas de las dos variables. En el ejemplo ̅ ̅ = 𝟑𝟔. 𝟓 . 𝒙 = 𝟑𝟑. 𝟗 , 𝒚 Con esta información trazamos la ubicación definitiva de la recta en el plano cartesiano:

Ya concluido el análisis de correlación y regresión en este ejemplo, podemos predecir el valor aproximado del número de sentadillas que haría un joven, en 46

base al número de lagartijas que realiza. Por ejemplo, si ejecuta 60 lagartijas, esperaríamos que realizara, en base a la recta de regresión, 𝒚 = 𝟎. 𝟔𝒙 + 𝟏𝟓. 𝟖 = 𝟎. 𝟔(𝟔𝟎) + 𝟏𝟓. 𝟖 = 𝟓𝟐. 𝟒 Aproximadamente 52 sentadillas. Aclarando que en general no se predice el valor exacto. Los estadísticos se consideran satisfechos si las predicciones, en promedio, exhiben una aproximación razonable.

EJERCICIOS 1) Llevar a cabo un estudio estadístico para determinar si existe relación entre el peso en libras (x) y la presión sanguínea diastólica (y) de hombres adultos en edades de 19 a 30 años. Los datos bivariados se muestran en la siguiente tabla.

X 173 178 145 146 157 175 173 137 199 131 152 171 163 170 135 159 Y 76

76

74

70 80

68

90

70

96

47

80 90

72

76

80

68

72

UNIDAD 2 PROBABILIDAD PARTE 1: TEMAS ANTECEDENTES de PROBABILIDAD CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO

TEORÍA DE CONJUNTOS CONJUNTOS. Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto.

Aquí vemos por ejemplo a un conjunto de personas.

Otro ejemplo es un conjunto de frutas

NOTACIÓN: Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, etc. Sus elementos se escriben separados mediante comas.

Ejemplo: El conjunto de las letras vocales del alfabeto se puede escribir así: V={a, e, i, o, u} Al número de elementos que tiene un conjunto, por ejemplo el conjunto Q, se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se le representa por n(Q).

Ejemplos: A= {a,b,c,d,e} su cardinal n(A)=5 B= {x,y,z} su cardinal n(B)=3 RELACIÓN DE PERTENENCIA: Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo: ∈ Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo: ∉ Ejemplo: Sea M = {2,4,6,8,10} 48

2 ∈ M ... se lee 2 pertenece al conjunto M 5 ∉ M ....se lee 5 no pertenece al conjunto M FORMAS DE DESCRIBIR A UN CONJUNTO: Existen 3 maneras de describir a un conjunto: por comprensión, por extensión y por notación o proposición.

Descripción por comprensión: Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.

Ejemplo: P={los dígitos} se puede entender que el conjunto P está formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Descripción por extensión: Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.

Si el conjunto A contiene a los números pares mayores que 5 y menores que 20, el conjunto descrito por extensión quedaría: A = { 6,8,10,12,14,16,18} Descripción por Notación o Proposición: Se utiliza el símbolo de barra vertical o diagonal y una proposición, se denomina Notación de Constitución, y ésta describe a los elementos de un conjunto con base en las condiciones que deben ser cumplidas, es decir, establece las condiciones bajo las cuales un elemento cualquiera puede o no pertenecer al conjunto.

Ejemplos: P = { x / x = dígito } se lee como “P es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito” Por extensión este conjunto quedaría como P={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Si hablamos del conjunto de los días de la semana Por Notación o Proposición D = { x / x = día de la semana} Por Extensión : D = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} CONJUNTOS ESPECIALES: Conjunto Vacío. Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo.

Generalmente se le representa por los símbolos: ∅ ó { } B={Números enteros positivos mayores que 9 y menores que 5} Conjunto Unitario. Es el conjunto que tiene un solo elemento F={x / 2x+6=0} Conjunto Finito. Es el conjunto con determinado número de elementos.

Ejemplos: E = { x / x es un número impar positivo menor que 10 } Conjunto Infinito. Es el conjunto cuyo número de elementos es ilimitado o es muy difícil de determinar cuántos son.

R= { x / x>6} S= { x / x es un número par} Conjunto Universo. Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra mayúscula U

49

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS INCLUSIĂ&#x201C;N (SUBCONJUNTO). Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B, sĂ­ y sĂłlo sĂ­, todo elemento de A es tambiĂŠn elemento de B NOTACIĂ&#x201C;N : đ??´ â&#x160;&#x201A; đ??ľ Se lee : A estĂĄ incluido en B, A es subconjunto de B, A estĂĄ contenido en B , A es parte de B. PROPIEDADES: Todo conjunto estĂĄ incluido en sĂ­ mismo. đ??´ â&#x160;&#x201A; đ??´ El conjunto vacĂ­o se considera incluido en cualquier conjunto. â&#x2C6;&#x2026; â&#x160;&#x201A; đ??´ Si A es un subconjunto de B, equivale a decir que B contiene a A đ??´â&#x160;&#x201A;đ??ľ đ??ľâ&#x160;&#x192;đ??´ Si A no estĂĄ incluido en B o A no es subconjunto de B significa que por lo menos un elemento de A no pertenece a B. đ??´ â&#x160;&#x201A; đ??ľ IGUALDAD DE CONJUNTOS. Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

Ejemplo: A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x â&#x20AC;&#x201C; 3)(x + 3) =0 } Resolviendo la ecuaciĂłn de cada conjunto se obtiene en ambos casos que x es igual a 3 y -3, es decir : A = {-3,3} y B = {-3,3} por lo tanto A=B CORRESPONDENCIA UNO A UNO. Dos conjuntos M y N tienen correspondencia uno a uno si cada elemento de M puede aparearse exactamente con uno de N y cada elemento de N puede formar pareja con exactamente uno de M sin que sobren o falten elementos por formar parejas.

CONJUNTOS EQUIVALENTES. Dos conjuntos X y Y son equivalentes cuando presentan correspondencia uno a uno Ejemplo: Sean los conjuntos X={febrero, junio, diciembre} y Y={Garza, GĂłmez, MĂŠndez}, se establece que son equivalentes porque pueden aparearse uno a uno, es decir: X={febrero, junio, diciembre} â&#x2020;&#x2022; â&#x2020;&#x2022; â&#x2020;&#x2022; Y={Garza, GĂłmez, MĂŠndez} La simbologĂ­a para la relaciĂłn de conjuntos equivalentes es una flecha con dos puntas.

AsĂ­, en base al ejemplo anterior decimos: Xâ&#x2020;&#x201D;Y

CONJUNTOS DISJUNTOS o AJENOS. Dos conjuntos son Disjuntos Ăł Ajenos cuando no tienen elementos comunes.

Ejemplo: A={1,2,3,4,5} y B={7,8,9} por lo tanto A y B son conjuntos AJENOS

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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS Diagrama de Venn Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883). Sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos que muestren la relación entre los conjuntos, su inclusión y sus operaciones. Se pueden utilizar círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada.

Lo común es que usemos un rectángulo para denotar al conjunto Universo y mediante círculos u óvalos a los otros conjuntos menores que estén involucrados en la situación que estudiemos.

En el diagrama de la izquierda, el conjunto A representa un subconjunto de B.

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En el diagrama de la derecha los conjuntos A y B tienen elementos en común, pero no todos.

En el último diagrama, A y B no tienen ningún elemento en común, por lo que son Ajenos.

EJERCICIO PROPUESTO 2-1 1. ¿Qué es un conjunto?

2. Escribe los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos a) El conjunto de los países de Norteamérica b) El conjunto de las asignaturas que estás cursando éste semestre c) El conjunto de los días de la semana d) El conjunto de los meses del año que tienen exactamente 31 días e) El conjunto de las carreras del CBTis 36 que terminan en “nica”

3. De los siguientes conjuntos que te dan en modo Notación o Proposición, ponlos en el modo Descripción por extensión a) B={ x / x es el cuadrado de un número mayor que 2 y menor que 11} b) G={ x / x es un dígito}

c) O={ x / x es un triciclo de dos ruedas} d) A={ x / x es una figura de la baraja de naipes } e) M={ x / x es una entidad de la República Mexicana cuyo nombre empieza con la letra “C”}

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4. Escribe cada uno de los siguientes conjuntos por medio de Notación o Proposición a) K={octubre, noviembre, diciembre} b) P={a, b, c, d, e, f}

c) H={violeta, índigo, azul, verde, amarillo, naranja, rojo} d) Q={descriptiva, inferencial}

e) C={Brasil 2014, Sudáfrica 2010, Alemania 2006} 5. Indica si los siguientes pares de conjuntos son Iguales (=) o Equivalentes ↔ a) M={1,2,3} y N={2,4,6} b) A={a,e,i,o,u} y B={u,a,e,o,i} c) P={pares positivos menores que 15} y Q={2,4,6,8,11,14} d) A={ } y B=∅ e) P={a, e, i, o, u} y Q={1,2,3,4,5} f) K={l, b, g, e} y L={g, c, l, b} 6. Forma todos los posibles subconjuntos que puede contener el conjunto B={a,b,c,d}

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OPERACIONES CON CONJUNTOS Una operación con conjuntos es un proceso que conduce a la formación de conjuntos a partir de otros conjuntos. Las principales operaciones son Unión, Intersección, Diferencia, Complemento y Producto Cartesiano.

Unión. A partir de dos conjuntos A y B se obtiene otro conjunto cuyos elementos son todos los contenidos en A junto con todos los contenidos en B. Este proceso se denomina unión de conjuntos y se representa con el símbolo ∪ Ejemplo: Si A={a, c, e, g} y B={a, b, d, f} la unión de estos conjuntos da como resultado: A ∪ B= {a, b, c, d, e, f, g} Intersección. A partir de dos conjuntos A y B se obtiene otro conjunto cuyos elementos deben ser comunes a ambos conjuntos. A este proceso se le denomina intersección de conjuntos y se representa mediante el símbolo ∩ Ejemplo: Sean los conjuntos M={oro, plata, níquel, cobre} y N={plata, aluminio, paladio, cobre}, la intersección de éstos da como resultado: M∩N={plata, cobre} Sean los conjuntos P={a, e, i, o, u} y Q={w, x, y, z} Como no tienen elementos en común, P∩Q=∅ Diferencia. A partir de dos conjuntos A y B, se obtiene otro conjunto A-B cuyos elementos están en A pero no pertenecen a B. A este proceso se le denomina diferencia de conjuntos y se representa por el símbolo de menos “-“ A= {4,6,7,8,10,12} y B={10, 11, 12, 13, 14, 15} la diferencia entre estos dos conjuntos da como resultado: A-B={4, 6, 7, 8} observe que se incluyen todos los elementos del primer conjunto A que no estén en B. Como los elementos 10 y 12 pertenecen a ambos, no se incluyen en el conjuntos diferencia.

Complemento. A partir de un conjunto A y el conjunto Universo U, se obtiene otro cuyos elementos deben ser todos los que estén contenidos en el Universo y que no estén contenidos en A. Simbólicamente se representa con una comilla o apóstrofe, o con una letra “c” como superíndice.

Ejemplo: Sea U={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} y el conjunto K={5, 7, 9} entonces K’={1, 3, 11, 13} Sean U={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p} y D={a,e,i,o} entonces Dc={b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p}

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Producto Cartesiano. A partir de dos conjuntos A y B se obtiene otro conjunto cuyos elementos se denominan pares ordenados que se escriben entre paréntesis. El orden significativo de estos pares se indica de acuerdo con la posición de los elementos, es decir, el primer componente pertenece al conjunto A y el segundo al conjunto B. Este proceso se denomina producto cartesiano y simbólicamente se representa por el símbolo de multiplicación “x” Ejemplo: Sean los conjuntos A={a,b,c} y B={c,b,s} se puede formar otro conjunto que contenga todos los pares ordenados que resulten de la ejecución del producto cartesiano AxB, es decir: AxB={(a,c), (a,b), (a,s), (b,c), (b,b), (b,s), (c,c), (c,b), (c,s)} Los elementos de los conjuntos que participan en un producto cartesiano no tienen que ser diferentes, ni tienen que tener el mismo número de elementos.

Ejemplo: Sea D={a} y E={1,2,3} DxE={(a,1), (a,2), (a,3)}

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Ejemplo de Operaciones usando Diagrama de Venn En una escuela de idiomas hay 120 alumnos, de los cuales 65 estudian alemĂĄn, 55 estudian inglĂŠs y 30 estudian ambos idiomas. Utilizando Diagrama de Venn determina: a) b) c) d)

Los alumnos que solo estudian alemĂĄn Los alumnos que solo estudian inglĂŠs El nĂşmero de alumnos que estudian alemĂĄn o inglĂŠs El nĂşmero de alumnos que no estudian ninguno de ĂŠstos dos idiomas

EJERCICIO PROPUESTO 2-2 1. Para los siguientes pares de conjuntos, determina đ??´ â&#x2C6;Ş đ??ľ, đ??´ â&#x2C6;Š đ??ľ, đ??´ â&#x2C6;&#x2019; đ??ľ . Dibuja tambiĂŠn el diagrama de Venn correspondiente sombreando la operaciĂłn en cada caso a) A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B={1, 3, 5, 7, 9}

b) A= { Brasil, MĂŠxico, Colombia, Venezuela y CanadĂĄ} B= { PerĂş, Argentina, MĂŠxico, Ecuador, Venezuela}

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c) A={a, b, c, d, e, f} y B={1, 3, 5, 7, 9}

d) A={rojo, verde, azul, café} y B={amarillo, rojo, café, gris}

e) A={Pedro,Héctor,David, Álvaro,Manuel} y B={Héctor,Alberto, Juan, Álvaro, Rubén}

2. Dado el conjunto Universo U={Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno} y el conjunto R={Tierra, Marte, Júpiter} determina R’. Haz el diagrama de Venn correspondiente

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3. EfectĂşa el producto cartesiano de todos los pares de conjuntos de los incisos a), b) y c) del problema 1 de esta secciĂłn (pag.56)

4. Sea el conjunto Universo U={1, 2, 3, â&#x20AC;Ś13} y los conjuntos A={3, 5, 6, 10, 11, 13}, B={2, 4, 6, 9, 11, 13} y C= {1, 3, 5, 9, 11, 13} determina los elementos de los conjuntos resultado de las siguientes operaciones y represĂŠntalos mediante Diagramas de Venn a) đ??´ â&#x2C6;Ş đ??ľ

b) (đ??´ â&#x2C6;Ş đ??ľ) â&#x2C6;Š đ??śâ&#x20AC;˛

c) (đ??´ â&#x2C6;Ş đ??ľ)â&#x20AC;˛ â&#x2C6;Š đ??śâ&#x20AC;˛

d) đ??´ â&#x2C6;Ş (đ??ľ â&#x2C6;Š đ??ś â&#x20AC;˛ )

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e) (đ??´â&#x20AC;˛ â&#x2C6;Š đ??ľâ&#x20AC;˛) â&#x2C6;Š đ??śâ&#x20AC;˛

5. De 120 alumnos, 60 estudian francĂŠs, 50 espaĂąol y 20 estudian francĂŠs y espaĂąol. a) Haz un diagrama de Venn que represente la distribuciĂłn de los estudiantes

b) c) d) e)

ÂżCuĂĄntos alumnos solo estudian francĂŠs? _______ ÂżCuĂĄntos alumnos sĂłlo estudian espaĂąol?_______ El nĂşmero de alumnos que estudian francĂŠs o espaĂąol______ El nĂşmero de alumnos que no estudian ninguno de ĂŠstos idiomas_____

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TÉCNICAS DE CONTEO Para determinar el número de maneras o la cantidad de posibles resultados de un experimento en particular, recurriremos a algunas técnicas que nos faciliten el proceso. Entre ellos destacan el diagrama de árbol, el principio fundamental de conteo, las permutaciones y las combinaciones.

DIAGRAMA DE ÁRBOL Es un gráfico que ilustra cómo enumerar todos los posibles resultados de una serie de eventos, donde cada evento puede suceder de un número finito de maneras.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación.

En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente evento. Se sigue construyendo así a partir de cada nudo poniendo tantas ramas como número de maneras existen de que se realice el experimento. Se sigue construyendo salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final), eso dependerá de las condiciones dadas en el experimento.

Ejemplo 1: ¿Cuántos diferentes atuendos puedes usar?

En el ejemplo anterior podemos ver que se pueden formar 8 diferentes atuendos contando las ramas finales.

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Ejemplo 2: Patricia y Aurora participarán en un torneo de boliche, la primera que gane dos juegos seguidos o que complete tres, ganará el torneo. Utiliza un diagrama de árbol para representar los posibles resultados del torneo.

P

A

Hay 10 maneras diferentes en las que se puede desarrollar el torneo.

Ejemplo 3: Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si completa los cinco juegos, mediante un diagrama de árbol, diga cuántas maneras hay de que se efectué el juego de este hombre.

Como se puede observar, existen 11 maneras diferentes en las que se puede desarrollar este juego. Observe también que si las condiciones no son “simétricas” (tener un dólar y perder está a un intento de acabarse el juego) el árbol no saldrá simétrico.

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EJERCICIO PROPUESTO 2-3 Para cada problema propuesto, ayúdate de un diagrama de árbol para determinar todas las posibles maneras en las que el experimento puede ocurrir.

1. Si planeamos hacer un viaje de vacaciones y estamos indecisos de ir a Acapulco, Huatulco, Cancún o Ixtapa, y no sabemos si ir en autobús, avión o automóvil, ¿de cuantas maneras diferentes podríamos arreglar nuestras vacaciones?

2. Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja).

Mediante un diagrama de árbol diga ¿en cuántas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?

3. Héctor tiene tiempo de jugar a la ruleta cuando mucho 5 veces. En cada juego gana o pierde 1 dólar. Comienza con 3 dólares y se retirará si gana 2 dólares (que tenga 5) o si pierde todo su dinero. Hallar el número de maneras en las que se puede desarrollar su apuesta.

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4. En un torneo de tenis se enfrentan Antonio y Javier, el comité organizador declarará campeón a aquel jugador que gane 2 juegos seguidos o que acumule un total de 4 juegos ganados. Dibuja un diagrama de árbol para determinar las posibles maneras en las que se puede desarrollar el torneo.

5. En el siguiente diagrama A, B y C denotan islas y las líneas de unión son puentes. Javier empieza en A y camina de isla en isla. Decide detenerse a almorzar cuando no puede continuar A D B avanzando sin cruzar 2 veces un puente. Hallar el número de maneras en las que puede hacer su recorrido antes de almorzar.

C

6. Los equipos A y B juegan un torneo de baloncesto. El primer equipo que gane 2 juegos seguidos o un total de 4 gana el torneo. ¿de cuántas maneras se puede desarrollar el torneo?

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7. Una ranita está en el origen del eje de las X y realiza brincos de una unidad a la derecha o a la izquierda de la recta. Su dueño la va a detener después de 5 brincos, si llega a colocarse en el 3 o se coloca en el -2. Haz un diagrama de árbol para describir todas las trayectorias posibles.

8. En el siguiente diagrama las letras A, B, C, D, E y F representan tiendas donde hay una venta especial de grandes rebajas por el “Buen Fin”. Las líneas son pasillos que las unen. Claudia decide recorrerlas empezando en A y va cargada con sus compras pero no quiere detenerse. Decide que se detendrá a descansar si ya recorrió un pasillo antes. ¿De cuántas maneras puede hacer su recorrido? ¿Cuál es la trayectoria más corta en la que visita menos tiendas?

A

B

C

E

F

D

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PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO Si se desea realizar un experimento que consta de r eventos, en donde el primer evento del experimiento se puede realizar de n1 maneras o formas, el segundo evento de n2 maneras o formas y el r-ésimo evento de nr maneras o formas, entonces este experimento puede ser llevada a efecto de: n1 x n2 x ..........x nr maneras o formas De forma general se denota como P= m veces n donde m es el número de maneras de que sucede el primer evento y n es el número de maneras que suceda el segundo evento… Esto se extiende para r eventos en un experimento.

Ejemplo 1: Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (postes o block de hormigón), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, block o ladrillo. El techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera, con enjarre de cemento. ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

Solución: Considerando que r = 4 eventos maneras de hacer cimientos = 2 maneras de construir paredes = 3 maneras de hacer techos = 2 maneras de hacer acabados = 1 P= 2 * 3 * 2 * 1 = 12 maneras de construir la casa Ejemplo 2: ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario considerando 26 letras y los números de entre los dígitos del 0 al 9? a) b) c) d)

Si es posible repetir letras y números No es posible repetir letras y números ¿Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y terminan en cero? ¿Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G?

Solución a) b) c) d)

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175’760,000 Placas de automóvil 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78’624,000 Placas para automóvil.

1 x 25 x 24 x 9 x 8 x 7 x 1 = 302,400 Placas para automóvil.

1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 Placas para automóvil.

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Ejemplo 3: Para llegar a lo alto de una colina hay 5 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras puede una persona subir y bajar de la colina? a) Usando cualquier camino b) Por caminos diferentes Solución a) 5*5= 25 maneras de subir y bajar de la colina b) 5*4=20 maneras de subir y bajar sin repetir camino

EJERCICIO PROPUESTO 2-4 1. 5 personas viajan en un automóvil. Calcular la forma en que pueden viajar si a) No hay restricciones b) Solo 3 de ellos pueden conducir 2. ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 sin que el primer dígito sea cero si se pueden repetir dígitos? ¿y si no se permite repetición de dígitos?

3. Andrea quiere ir a un baile esta noche y tiene para elegir 3 pantalones, 2 blusas y 3 pares de zapatos todos combinables entre sí. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse?

4. ¿Cuántas placas de automóvil se pueden fabricar si cada placa debe contar con 2 letras diferentes seguido de 3 dígitos diferentes? (considere 26 letras)

5. Del ejercicio anterior, ¿cuántas placas se pueden hacer si se permite repeticiones tanto en letras como en números?

6. Carmen va a visitar a una amiga que vive en la calle Matamoros, no sabe el número exacto de la casa, pero recuerda que cuando le dio la dirección el número era de 3 dígitos y empezaba con 6. También recuerda que era un número par. ¿cuál es el número máximo de casas en las que tendría que tocar?

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7. Hay 5 personas en un cuarto con 4 puertas. ¿De cuántas maneras pueden salir del cuarto?

8. ¿Cuántas señales pueden formarse con 5 diferentes tipos de banderas colocadas en un asta de arriba hacia abajo? ¿cuántas señales se forman si solo se usan 4 banderas? ¿cuántas si solo se usan 3 banderas?

9. ¿En cuántas maneras pueden 3 personas tomar asiento en una hilera de 8 asientos?

10. ¿De cuántas maneras pueden colocarse 9 libros en un estante, seis con cubiertas verdes y 3 con cubiertas rojas si a) Los libros rojos no deben separarse b) Los libros verdes no deben separarse c) Los libros del mismo color deben mantenerse juntos

11. Las localidades A y B están conectadas por 3 caminos y las localidades B y C por 4 caminos. ¿De cuántas maneras puede una persona conducir desde A hasta B y de ahí a C y retornar a A pasando por B si a) Puede recorrerse cualquier camino b) No se ha de recorrer el mismo camino dos veces

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PERMUTACIÓN Una permutación es una disposición u orden donde se pueden colocar objetos pertenecientes a un grupo determinado. Cualquier forma de ordenar una colección de objetos recibe el nombre de permutación.

Ordenar n objetos es equivalente a tomar una caja con n compartimentos y poner cada elemento en un compartimento en algún orden específico.

1

2

3

4

2 4 3 1 Antes de que hablemos sobre los 4 diferentes casos de permutaciones que existen, vamos a entender el concepto de Notación Factorial, ya que lo vamos a utilizar en las fórmulas de Permutación Notación factorial: es el producto de n, que es un entero positivo, por todos sus antecesores (n-1, n-2…) hasta el 1. La notación factorial se identifica por el símbolo “!” enseguida del número al que se le aplica. n! = n* (n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2*1 De manera que si se nos pide calcular: 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 3! = 3 x 2 x 1 = 6 2! = 2 x 1 = 2 La mayoría de las calculadoras científicas tienen una tecla específica que calcula notación factorial.

Identifícala en tu calculadora.

Por ejemplo en una Casio fx-82MS está en amarillo x! …

Esto significa que debes presionar antes la tecla SHIFT para poderla utilizar. Identifica como se hace en tu calculadora o consulta su manual de uso

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Retomemos las Permutaciones. Existen 4 casos posibles de permutaciones: CASO 1: Cuando del total de objetos se toman todos en el arreglo. đ?&#x2018;&#x203A;

Esto puede representarse como đ?&#x2018;&#x192; (đ?&#x2018;&#x203A;) Ăł đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;&#x203A;, đ?&#x2018;&#x203A;) y se calcula con la fĂłrmula đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2019;?, đ?&#x2019;?) = đ?&#x2019;?!

Ejemplo: ÂżCuĂĄntas seĂąales se puede realizar colocando 5 banderas de diferentes colores en un asta de arriba hacia abajo? đ?&#x2018;&#x192;(5,5) = 5! = 120 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;Ăąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; CASO 2: Cuando del total de objetos se toma solamente una parte. Esto es de â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? objetos se toma solamente â&#x20AC;&#x153;râ&#x20AC;? đ?&#x2018;&#x203A;

Esto puede representarse como đ?&#x2018;&#x192; ( đ?&#x2018;&#x; ) Ăł đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;&#x203A;, đ?&#x2018;&#x;) y se calcula con la fĂłrmula đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2019;?, đ?&#x2019;&#x201C;) =

đ?&#x2019;?! (đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201C;)!

Ejemplo: ÂżCuĂĄntas permutaciones pueden hacerse con las letras de la palabra COLUMNA si se toman solamente 5 letras en el arreglo?

P(7,5) =

7! = 2520 (7 â&#x2C6;&#x2019; 5)!

Para este tipo de permutaciĂłn hay una funciĂłn especial en la calculadora que se denota como nPr. Verifica si tu calculadora la tiene e identifĂ­cala. El modo de usarla varĂ­a en cada modelo, asĂ­ que consulta el manual de tu calculadora para que la utilices.

En la Casio, para trabajar permutaciĂłn de 7 tomando 5 la secuencia serĂ­a: 7 Shift nPr 5 = Pruebalo!

CASO 3: Es cuando se desea acomodar n objetos distintos en un arreglo circular. No se consideran diferentes 2 arreglos circulares si no se tiene una referencia. Por ejemplo, si 4 personas en una mesa juegan dominĂł y se cambian de lugar moviĂŠndose todos un lugar en el sentido de las manecillas del reloj, pero cada quien sigue teniendo a los mismos compaĂąeros a su derecha y a su izquierda, se considera el mismo arreglo. Entonces lo que se hace es considerar a una persona (objeto, elemento, etc.) en una posiciĂłn fija y acomodar a los demĂĄs en referencia a ĂŠste. Entonces se calcula de la siguiente manera đ?&#x2018;ˇđ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201E;(đ?&#x2019;?) = (đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?)!

Ejemplo: ÂżDe cuĂĄntas maneras pueden 4 niĂąos y 4 niĂąas sentarse alrededor de una mesa a merendar?

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Como el total de niĂąos es 8 y el arreglo es circular entonces Pcirc(8) = (8 â&#x2C6;&#x2019; 1)! = 7! = 5040 maneras CASO 4: Objetos repetidos. Hasta este momento, en los 3 casos anteriores los objetos que participaban en el arreglo eran distintos. Para ejemplificar la importancia de los objetos repetidos veamos este caso. Si hablamos de las permutaciones que se pueden hacer con las letras a, b, c tenemos: abc, acb, bac, bca, cab, cba Ahora imagine que b y c fueran iguales a x, esto hace que el arreglo cambie como axx, axx, xax, xxa, xax, xxa, de los cuales algunos son â&#x20AC;&#x153;visualmenteâ&#x20AC;? iguales. Para permutaciones se considera que es el mismo arreglo. Entonces, para calcular los arreglos distintos cuando participan objetos repetidos se calcula mediante đ?&#x2018;ˇ=

đ?&#x2019;?! đ?&#x2019;? đ?&#x;? ! đ?&#x2019;?đ?&#x;? ! â&#x20AC;Ś đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x152; !

En donde n es el total de objetos y n1 es la cantidad de veces que se repite un objeto de una clase, n2 es la cantidad de veces que se repite un objeto de una segunda clase, â&#x20AC;Ś hasta n k es la cantidad de veces que se repite un objeto de una k-ĂŠsima clase Ejemplo: ÂżCuĂĄntos arreglos pueden hacerse con las letras de la palabra MISSISSIPPI? n=11

n1= 4 para la letra â&#x20AC;&#x153;Sâ&#x20AC;? n2= 4 para la letra â&#x20AC;&#x153;Iâ&#x20AC;? n3=2 para la letra â&#x20AC;&#x153;Pâ&#x20AC;?

11!

P = 4! 4!2! = 34650 arreglos

EJERCICIO PROPUESTO 2-5 1. ÂżCuĂĄntas permutaciones pueden hacerse con las letras de la palabra JULIO si a) Se usan todas las letras b) Solo se usan 3 letras c) Se usan todas las letras eligiendo como vocal la primer posiciĂłn

2. Un hombre distribuye una moneda de 50¢, 2 monedas de $1, 3 monedas de $2 y 4 monedas de $5 entre 10 niùos. ¿De cuåntas maneras pueden repartirse este dinero si cada uno debe recibir una moneda?

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3. Un programa artístico presentará 7 grupos musicales. ¿De cuántas maneras se puede elaborar el programa?

4. ¿De cuántas maneras pueden 8 personas sentarse: a) En una fila de sillas? b) Alrededor de una mesa?

c) Si son 4 mujeres y 4 hombres y en la hilera deben alternarse? d) Si son 4 mujeres y 4 hombres y en la mesa deben alternarse?

e) Si son 4 matrimonios y alrededor de la mesa las parejas no deben separarse?

5. Si 7 personas se van a tomar de la mano, ¿de cuántas maneras pueden acomodarse a) En hilera? b) 2 de ellos son pareja y no desean separarse?

c) De los 7, 2 están disgustados no desean tomarse de la mano por ningún motivo?

6. Evalúe las permutaciones que pueden hacerse con las letras de las palabras: a) WYOMING b) KENTUCKY

c) WASHINGTON

d) MANZANA

e) INDIANA

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f) ARKANSAS

7. ¿Cuántas señales pueden hacerse arreglando 9 banderas en un asta si 4 son rojas, 3 son blancas y 2 son azules?

8. Si tenemos 5 libros diferentes de matemáticas, 4 libros diferentes de física y 2 libros diferentes de historia que han de colocarse en un estante de modo que los de cada tema queden contiguos. Encuentre el número de maneras en que pueden colocarse.

9. Si tenemos 5 libros rojos, 4 libros azules y 4 libros amarillos que se desea colocar en un estante. ¿De cuántas maneras visualmente diferentes se pueden colocar?

10. a) ¿De cuántas maneras pueden 6 personas formarse para abordar un autobús?

b)¿Si 3 personas insisten en seguir cada una de ellas a la otra?

11. De cuántas maneras se pueden acomodar 3 focos rojos, 4 amarillos y 2 azules en una cadena de luces navideñas con 9 entradas?

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COMBINACIĂ&#x201C;N En muchos experimentos lo que interesa es el nĂşmero de formas de elegir r objetos de entre n, sin importar el orden. Estas selecciones se denominan combinaciones. Una combinaciĂłn es en realidad una particiĂłn de 2 celdas, en donde la primera celda contiene r objetos seleccionados y la otra contiene los (n-r) objetos restantes. El nĂşmero de ĂŠstas combinaciones se denota por C(n,r) o por đ??śđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x203A; y se calcula con la fĂłrmula:

đ?&#x2018;Ş(đ?&#x2019;?, đ?&#x2019;&#x201C;) =

đ?&#x2019;?! đ?&#x2019;&#x201C;! (đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201C;)!

Ejemplo: De un grupo de 18 jugadores de basquetbol van a entrevistar a 7 en un programa de radio Âżde cuĂĄntas maneras pueden el entrenador decidir quiĂŠn forma parte de la entrevista?

C(18,7) =

18! = 31824 7! (18 â&#x2C6;&#x2019; 7)!

Las calculadoras cientĂ­ficas tienen una funciĂłn para realizar combinaciones. En la mayorĂ­a representada como nCr. Identifica ĂŠsta funciĂłn en tu calculadora. Checa tu manual de instrucciones para tu modelo especĂ­fico.

EJERCICIO PROPUESTO 2-6 1. EvalĂşe las combinaciones C(31,2), C(31,1), C(31,30), C(7,4), C(7,3), C(7,5), C(7,2)

2. Si en una sociedad de alumnos hay 17 integrantes en el comitĂŠ y solo 4 serĂĄn recibidos por el director para plantear sus propuestas ÂżCuĂĄntas maneras distintas hay de formar el equipo de los representantes?

3. Si 14 personas se reĂşnen y cada persona saluda a las demĂĄs con un apretĂłn de mano ÂżCuĂĄntos saludos hubo?

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4. Si en una cartulina marcas 11 puntos teniendo cuidado de que no haya 3 colineales ¿cuántas líneas uniendo 2 puntos pueden ser trazadas? ¿Cuántos cuadriláteros pueden ser trazados?

5. Si en un examen hay 13 preguntas y te piden que contestes solo 7 de ellas ¿cuántas elecciones puedes hacer?

6. Se lanzan 5 monedas al aire simultáneamente ¿cuántas maneras hay de que caigan 3 águilas y 2 sellos?

7. ¿De cuántas maneras puede ser elegido un comité de 5 miembros en un club de 14 socios si (a) el presidente del club debe formar parte del comité (b) el presidente no ha de ser electo para el comité (c) dos miembros determinados se rehúsan servir en el comité simultáneamente?

8. El gerente de recursos humanos de una empresa desea emplear a 8 personas de entre 5 solicitantes del sexo masculino y 7 solicitantes del sexo femenino. Encuentre el número de maneras de emplear a los 8 a) Sin restricción

b) Si 4 han de ser hombres

c) Si 4 o 5 han de ser hombres

d) Si la mayoría han de ser mujeres 9. Encuentre el número de maneras de elegir 8 de 10 libros distintos de matemáticas y 7 de física si a) 5 han de ser libros de matemáticas

b) 3 o 4 han de ser libros de física

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10. ¿Cuántos grupos diferentes de 11 jugadores de soccer pueden ser elegidos de entre 3 que tan solo juegan la posición de portero, 7 que solo juegan delantero y 15 que juegan en cualquier posición diferente a portero o delantero?

11. Un comité de 9 alumnos han de ser elegidos para el comité de ayuda social de entre 10 estudiantes de tercer año, 8 de segundo año y 7 de primer año. Encuentre el número de elecciones si el comité debe comprender de 4 estudiantes de tercer año, 3 de segundo año y 2 de primer año.

12. Se tienen 7 preguntas d Falso y Verdadero en un examen que Rogelio contesta al azar. ¿Cuántas maneras distintas hay de contestar el examen de modo que tenga 3 equivocadas y 4 correctas?

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PROYECTO SUGERIDO PARA EL SEGUNDO PARCIAL Desarrollo de Pensamiento Combinatorio en niños de 4 a 8 años FECHA DE ENTREGA: Sugerida 24 de Abril de 2017 Participantes: Equipos de 5 estudiantes que cursen la materia de Probabilidad y Estadística del Sexto Semestre de todas las especialidades JUSTIFICACION El siguiente trabajo tiene como propósito que el (la) estudiante aplique las técnicas de conteo que ha aprendido durante el segundo parcial de la materia de Probabilidad y Estadística en el desarrollo de pensamiento combinatorio en niños.

Dado que hemos detectado que la mayoría de las personas carece de pensamiento lógico-combinatorio, sería una buena idea generar estas habilidades desde una corta edad en niños que ya estén familiarizados con las letras, los colores y los números.

METODOLOGÍA 3. Elaboración (o compra) de material didáctico para “jugar” a realizar conteos, permutaciones y combinaciones en niños. Pueden ser tarjetas, piezas geométricas, cubos, tetraedros o cualquier poliedro, tomatodo, tómbolas, ánforas, monedas, palitos de colores. Estas piezas podrán contener en sus caras dígitos, letras, colores, figuras geométricas, etc.

4. Reunidos con los niños se harán preguntas detonadoras del tipo ¿qué números conoces? O ¿qué palabras conoces? ¿cuáles crees que puedas formar si te doy 2 tarjetas? Invitarlo a jugar formando varios diferentes… ¿cuántas si te doy 3 tarjetas? ¿qué pasa si cambias una tarjeta por otra? ¿cuántos puedes armar si todas deben ser diferentes? ¿cuántas si se vale repetir? ¿qué palabras puedes formar si intercambias las letras? Etc… CONTENIDO DEL INFORME 8. Portada. Debe contener los datos del proyecto, el parcial que se evalúa, los datos generales de la escuela, grado, especialidad, turno, así como nos nombres completos de los integrantes del equipo.

9. Definición y delimitación. Descripción de la población alcanzada. Cuántos niños, de qué edades, si se trabajó en grupo o individual con cada niño y dónde los reclutaron.

10. Objetivo del estudio. Incluyan qué son las técnicas de conteo, para qué sirven y qué pretendían desarrollar en los niños con su material.

11. Material. Describan el material que elaboraron o compraron y que utilizaron para la actividad con los niños 12. Técnicas. Cuáles son las técnicas de conteo que utilizaron y por qué eligieron esas técnicas.

13. Evidencias. Fotografías donde se aprecie el desarrollo de la actividad con los niños, el uso del material, la interacción con los integrantes del equipo y resultados.

14. Informe y Conclusiones. Hagan una reseña del desarrollo de la actividad. Incluyan además un párrafo de conclusiones finales y detallen su experiencia de generar pensamiento combinatorio en niños de corta edad.

REQUISITOS ADICIONALES: Los indicados por su maestro

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PARTE 2: PROBABILIDAD La probabilidad es la rama de las matemĂĄticas que se encarga de estudiar cuantitativamente todos aquellos fenĂłmenos o experimentos en donde interviene el azar.

Azar es sinĂłnimo de aleatorio, fortuito, casual, accidental o por suerte. Un evento azaroso es una acciĂłn que no sigue una regla fija o definida y cuyo resultado es impredecible. Es imposible para el ser humano predecir con exactitud el resultado de un suceso o experimento aleatorio. Por ejemplo, al lanzar un dado al aire es imposible asegurar por adelantado que cara quedarĂĄ hacia arriba, cuando el dado se detenga.

Determinismo: se predice exactamente un solo resultado para cada experimento u observaciĂłn.

La teorĂ­a de la probabilidad nos ofrece un modelamiento matemĂĄtico del fenĂłmeno del azar. Del desorden de la aleatorizaciĂłn, el hombre ha encontrado regularidades que le permiten hacer predicciones con cierto nivel de confianza. La predicciĂłn es algo valioso en la ciencia.

Para hacer estas predicciones el hombre utiliza nĂşmeros, es decir, la probabilidad se expresa a travĂŠs de un valor numĂŠrico.

Por ejemplo, al lanzar 2 monedas al aire es altamente probable que se presente por lo menos 1 ĂĄguila, en nĂşmeros dirĂ­amos que hay 3 a favor y 1 en contra de que se presente por lo menos 1 ĂĄguila en las caras que dan hacia arriba. Tal probabilidad se expresa sobre la base de todos los resultados posibles: AgAg, AgSe, SeAg, SeSe. De acuerdo a estos posibles resultados vemos que en tres de ellos aparece por lo menos un ĂĄguila, por tanto đ?&#x2018;ˇđ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201C; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x;? ĂĄđ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201A; P (por lo menos un ĂĄguila) = 3 de 4 , o bien P = ž , o bien P = 0.75 , o bien P = 75% I.- CONCEPTOS BĂ SICOS Experimento aleatorio : Es un proceso o acciĂłn por medio del cual una observaciĂłn o mediciĂłn es registrada y donde su resultado es impredecible. Ejemplos: extraer al azar un nĂşmero de una tĂłmbola, elegir a un comitĂŠ de 5 personas de entre un grupo de 20, de tal forma que sea equitativa la posibilidad para todos los miembros del grupo de formar parte del comitĂŠ; rotar una flecha sobre su centro y observar en quĂŠ direcciĂłn se detiene sola, lanzar una moneda al aire y observar que cara queda hacia arriba, etc.

Espacio muestral o espacio probabilĂ­stico: es el conjunto de todos los resultados posibles cuando se lleva a cabo un experimento aleatorio. Por ejemplo, cuando se elige al azar un dĂ­a de la semana el espacio probabilĂ­stico s es đ?&#x2019;&#x201D; = {đ?&#x2018;Ťđ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x17D;. , đ?&#x2018;łđ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;?. , đ?&#x2018;´đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201C;. , đ?&#x2018;´đ?&#x2019;&#x160;ĂŠđ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201E;. , đ?&#x2018;ąđ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020;. , đ?&#x2018;˝đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;. , đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x192;. } Otro ejemplo: una urna contiene 3 esferas rojas y 5 azules y el experimento consiste en extraer 2 de ellas al azar, una seguida de la otra .El espacio muestral es: s = {roja, roja; roja, azul; azul, roja; azul, azul} 77

Evento simple o punto muestral: se refiere a cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el ejemplo anterior el espacio muestral consta de 4 eventos simples o resultados posibles: {Rojo Rojo, Rojo Azul, Azul Rojo, Azul Azul} . El que la 1ÂŞ salga roja y la 2ÂŞ salga azul es un evento simple distinto de que la 1ÂŞ sea azul y la 2ÂŞ roja.

Cuando un experimento aleatorio se lleva a cabo sĂłlo da lugar a un evento simple. La ejecuciĂłn de un experimento aleatorio no puede dar como resultado 2 o mĂĄs eventos simples.

Suceso o evento: es cualquier subconjunto del espacio muestral, del cual se quiere investigar su probabilidad de ocurrencia. Puede consistir en uno o varios de los resultados posibles del experimento. En el ejemplo de las esferas un evento puede ser que salgan las dos del mismo color (roja, roja o azul, azul).

II. TIPOS DE PROBABILIDAD Hay dos tipos de probabilidad segĂşn su origen, y en ambos estĂĄ presente el azar: 1) Probabilidad por frecuencia. Se apoya mucho en los registros estadĂ­sticos. TambiĂŠn recibe el nombre de probabilidad experimental o empĂ­rica.

Se observa un fenĂłmeno o se repite un experimento un gran nĂşmero (n) de veces y se cuenta las ocasiones (a) en que cierto suceso A ocurre. Con base en estos resultados prĂĄcticos se estima entonces la probabilidad de que el citado evento A se presente en el futuro, de la siguiente manera: đ?&#x2019;?Ăşđ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;Ăł đ?&#x2018;¨ đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2018;ˇ( đ?&#x2018;¨ ) = = đ?&#x2019;?Ăşđ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x160;Ăł đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;?

Ejemplos: a) De 50 veces que se dejĂł caer una tachuela, en 18 de ellas cayĂł con la punta hacia arriba. Por lo tanto la probabilidad de que, al lanzar la tachuela una vez mĂĄs, caiga de lado es:

đ???=

đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;? đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D;

=

đ?&#x;?đ?&#x;&#x201D; đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;

= đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x2019;

b) De 1 000 personas encuestadas al azar en los E.E.U.U., 610 cree que hay vida en otro punto de la galaxia. Por lo tanto, la probabilidad de que, al encuestar a una persona mĂĄs, crea que hay vida extraterrestre es de 61%.

En fin, cuando el cĂĄlculo de probabilidad estĂĄ basado en registros de archivos o en datos recolectados en un estudio estadĂ­stico, se le llama experimental o de frecuencia.

2) Probabilidad teĂłrica: Se obtiene sin necesidad de llevar a cabo los experimentos. Si se sabe de antemano que un procedimiento dado tiene ¨s¨ sucesos simples distintos, todos igualmente posibles, entonces la probabilidad de que se presente cierto suceso A es: đ?&#x2019;?Ăşđ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201C; đ?&#x2018;¨ đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨) = = đ?&#x2019;?Ăşđ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x201D; La anterior fĂłrmula se le conoce como La DefiniciĂłn ClĂĄsica de la Probabilidad.

78

Cuando se extrae un nĂşmero de una tĂłmbola en un sorteo, cuando se lanza una moneda al aire, cuando se elige al azar un nombre de una lista, se lanza un dado al aire, etc., se trata de experimentos que conducen a calcular probabilidad teĂłrica.

En el caso, por ejemplo, del experimento que consiste en elegir al azar un nĂşmero de entre una lista de nĂşmeros del 1 al 100, se predice la probabilidad aĂşn antes de llevar a cabo dicho experimento: đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201C; đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;? # đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;?) =

đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

= đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

= đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;?

La probabilidad como rama de las MatemĂĄticas comenzĂł a desarrollarse de manera teĂłrica pero actualmente su campo mĂĄs amplio de aplicaciĂłn es en el ĂĄmbito experimental. Generalmente se inicia su estudio con casos de probabilidad teĂłrica (dados, monedas, cartas, etc.) mĂĄs su mayor potencial se deja pronto ver en el terreno de la EstadĂ­stica Experimental.

III.- AXIOMAS BĂ SICOS DE LA PROBABILIDAD 1) La probabilidad de un evento cualquiera tiene un valor que va de 0 a 1. đ?&#x;&#x17D; â&#x2030;¤ đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨) â&#x2030;¤ đ?&#x;?

2) La suma de las probabilidades de todos los resultados posibles en un espacio muestral suman el entero. đ?&#x2018;ˇ (đ?&#x2019;&#x201D;) = đ?&#x;?

Otros conceptos complementarios: Evento imposible: aquel que no puede suceder, su valor de probabilidad es 0.

Evento seguro: siempre se presenta, su probabilidad vale 1.

Eventos mutuamente excluyentes: son impar.

No pueden suceder aquellos que no pueden suceder simultĂĄneamente. La presencia de uno de simultĂĄneamente. TambiĂŠn se les llama ellos descarta la ocurrencia del otro. incompatibles o disjuntos. No tienen O sale par o sale impar al lanzar un dado. elementos en comĂşn đ?&#x2018;¨ â&#x2C6;Š đ?&#x2018;Š = â&#x2C6;&#x2026;. Por ejemplo, al lanzar un dado, A es el evento B A de que aparezca par y B de que aparezca

Espacio muestral equiprobable: es aquel donde cada evento simple (punto muestral) tiene la misma probabilidad de presentarse. Si el espacio muestral contiene ¨ n¨ eventos simples entonces la probabilidad de que cada evento simple se presente es

đ?&#x;?

đ?&#x2018;ˇ=đ?&#x2019;?.

Cuando se escoge un elemento al azar de un conjunto, significa que se trata de un espacio equiprobable, es decir, cada elemento del conjunto tiene la misma probabilidad de ser seleccionado.

79

PROBABILIDAD SIMPLE Se trata de casos donde se investiga la probabilidad de un solo evento o suceso.

Ejemplo: Se lanzan 3 monedas al aire .ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que aparezcan 2 ĂĄguilas y 1 sello?

En este caso el espacio muestral equiprobable ¨s¨ consta de 8 elementos: s = AAA, AAS, ASA, SAA, ASS, SAS, SSA, SSS El evento ¨a¨ que interesa abarca 3 de los 8 elementos: a = AAS, ASA, SAA Por tanto la probabilidad buscada es: P = a/s , P = 3/8 La mayoría de las veces se requiere de una tÊcnica de conteo o de alguna gråfica para delimitar el espacio muestral, ya sea con el total de elementos o con el listado de todos y cada uno de ellos.

Ejemplos: 1) ÂżCuĂĄl es el espacio muestral al lanzar 2 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) dados?

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) En este caso se enlistan sus elementos en una (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) tabla, dando s = 36 resultados posibles(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) Calcular: a) P( mĂĄx. suma)=

b) P(suma mĂĄs frecuente) =

c) ÂżQuĂŠ suma tiene mĂĄs probabilidad de aparecer? d) P( caras iguales)=

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

e) P(un 3 o un 4)=

g) P( aparezca el seis) =

f) P(suma â&#x2030;¤ 5) =

h) P(suma > 7) =

2) ÂżCuĂĄl es el espacio muestral al elegir al azar 5 personas de entre 10? đ?&#x2019;&#x201D; = đ?&#x2018;Ş(đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;,đ?&#x;&#x201C;) = 252 subconjuntos distintos posibles (en este caso se da sĂłlo el total de elementos o resultados posibles).

3)ÂżCuĂĄl es el espacio muestral cuando se elige al azar un estudiante de un grupo de 120, donde 60 estudian francĂŠs, 50 espaĂąol y 20 tanto francĂŠs como espaĂąol?

Fran.

eeeeeeee 40

Esp. 20

30

30

Aunque es fĂĄcil deducir que el espacio muestral consta de 120 elementos un diagrama de Venn nos permite visualizar mejor para calcular probabilidades.

80

Ejemplo 3) Una urna contiene 2 esferas rojas y 3 azules. Se extraen simultĂĄneamente 2 de ellas, calcular la probabilidad de que salgan: a) azules, b) rojas, c) de diferente color.

SoluciĂłn: tenemos 5 objetos:

R1, R2, A1, A2, A3

Obtenemos el espacio muestral: Si se tienen 5 objetos y

R1R2

R2A1

A1A3

se trata de formar subconjuntos de 2, por tanto:

R1A1

R2A2

A2A3

R1A2

R2A3

R1A3

A1A2

đ?&#x2018;Şđ?&#x;&#x201C;đ?&#x;? = 10 subconjuntos distintos posibles.

s=

a) evento de interĂŠs: las 2 azules. En 3 de los resultados posibles se cumple con el evento de interĂŠs, por tanto, đ?&#x2018;ˇ=

đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2018;Şđ?&#x;&#x2018;đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018; = đ?&#x;&#x201C; = đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2018;Şđ?&#x;?

b) evento de interĂŠs: las 2 rojas. SĂłlo hay un punto muestral con 2 rojas, por tanto, đ?&#x2018;ˇ=

đ?&#x2018;Şđ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;Şđ?&#x;&#x201C;đ?&#x;?

=

đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

c) evento de interĂŠs: una de cada color. En la tabla vemos 6 parejas con colores distintos, por tanto, đ?&#x2018;ˇ=

(đ?&#x2018;Şđ?&#x;?đ?&#x;? )(đ?&#x2018;Şđ?&#x;&#x2018;đ?&#x;? ) đ?&#x2018;Şđ?&#x;&#x201C;đ?&#x;?

=

đ?&#x;&#x201D; đ?&#x;&#x2018; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x201C;

Vemos que si no se tiene la lista de resultados posibles a la vista, podemos usar las combinaciones para contar el nĂşmero de casos para el espacio muestral y tambiĂŠn para cada evento de interĂŠs.

81

RECOMENDACIONES AL CALCULAR LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO 1.- Con que contamos, es decir, cuantos objetos o personas involucra el problema.

2.-Enunciar y definir claramente en que consiste el experimento.

3.-Mediante una tĂŠcnica de conteo hacer una lista â&#x20AC;&#x201C; o dar el total- de los resultados posibles asociados al experimento. Esto define al espacio muestral s. Determinar si este espacio muestral es o no equiprobable.

4.- Asignar las probabilidades que tiene cada evento simple, verificando que ÎŁ P = 1 5.- Definir el evento de interĂŠs A. Un evento simple estĂĄ en A si A ocurre cuando ese evento simple ocurre. Verifique para cada evento simple de s si estĂĄ o no estĂĄ en A. Con esto tenemos el nĂşmero total de maneras(a) en que se puede presentar el evento A 6.- Encuentre la probabilidad de A simplemente dividiendo đ?&#x2018;ˇ (đ?&#x2018;¨) =

el total obtenido en el paso 5 (a) entre el total del paso 3(s).

đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x201D;

Ejemplo: Como resultado de los altos precios del combustible, muchas lĂ­neas aĂŠreas se han visto obligadas a reducir el nĂşmero de sus vuelos. Cierta compaùía tiene por el momento 4 vuelos Nueva York â&#x20AC;&#x201C; Londres, 2 de ellos en la maĂąana y los otros 2 en la tarde. Si se cancelan al azar 2 de estos 4 vuelos, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que siga habiendo 1 vuelo en la maĂąana y 1 en la tarde?

M1 M2 V1 V2 1Âş. contamos con 2 vuelos matutinos y 2 vespertinos: M1 M1 M1 M2 M2 T1

2Âş el experimento: seleccionar al azar 2 de los 4 vuelos.

3Âş el espacio muestral (cuadro): 4Âş cada uno de los 6 resultados posibles es equiprobable.

5Âş el evento de interĂŠs A se cumple en aquellos casos donde aparece 1 vuelo por la maĂąana y 1 vuelo por la tarde, es decir, el evento A se puede presentar de 4 maneras( cuadro der.): đ?&#x;? đ?&#x;&#x2019; 6Âş Por tanto, la probabilidad de A es: P(A) = đ?&#x;&#x201D; = đ?&#x;&#x2018;

82

M2 T1 T2 T1 T2 T2

M1 M1 M2 M2

T1 T2 T1 T2

Eventos Complementarios Teorema: Si A y đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x201E; son subconjuntos complementarios en un espacio muestral ¨s¨, de acuerdo con el axioma 2: đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨) + đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x201E; ) = đ?&#x;? por tanto đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨) = đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x201E; ) đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x201E; ) = đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨) P(A) es la probabilidad de que el evento A ocurra. đ??´đ?&#x2018;? đ?&#x2019;&#x201E; P(đ?&#x2018;¨ ) es la probabilidad de que el evento A no ocurra.

A s

Ejemplo: cuando nace un bebĂŠ P(niĂąo) = 0.5121; calcule la probabilidad de que nazca niĂąa.

P(niĂąa) = 1 â&#x20AC;&#x201C; P(niĂąo) ya que son eventos complementarios.

P(niĂąa) = 1 â&#x20AC;&#x201C; 0.5121 = 0.4879 Ejemplo: Se tiene un grupo de 6 hombres y 48 mujeres. Se va a formar un comitĂŠ de 5 personas tomadas al azar. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que el comitĂŠ conste de a) Âż4 mujeres y 1 hombre? đ?&#x2018;ˇ =

b) ÂżĂ&#x161;nicamente mujeres? đ?&#x2018;ˇ =

đ?&#x2018;Şđ?&#x;&#x201D;đ?&#x;? đ?&#x2018;Şđ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2013; đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2018;Şđ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2018;Şđ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2013; đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2018;Şđ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;&#x201C;

= đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;?

= đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;

c) ÂżPor lo menos 1 hombre?

Se resuelve mĂĄs rĂĄpido mediante el evento complementario.

P {por lo menos 1 hombre} = 1 â&#x20AC;&#x201C; P {sĂłlo mujeres} = 1 â&#x20AC;&#x201C; 0.5414 = 0.4586 Eventos no equiprobables Corresponden a un espacio muestral donde los resultados posibles no tienen la misma probabilidad de ocurrencia.

Ejemplo: 4 caballos corren en un hipĂłdromo(A,B,C,D). A tiene la misma probabilidad de ganar que C y el triple que la de B. B tiene el doble de probabilidad de ganar que D. Hallar la probabilidad de que: a) gane C b) gane D SoluciĂłn: asignando el nĂşmero 1 al que tiene menos probabilidad (D) tenemos que: A B C D Total 6 2 6 1 15 P = 6/15 P = 2/15 P = 6/15 P = 1/15 ÎŁP = 1 Por tanto: a) P(C)= 6/15 b) P(D) = 1/15

83

EJERCICIOS PROPUESTOS 2-7 1) En una caja hay 10 boletas marcadas cada una con un dĂ­gito distinto (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Si el experimento consiste en extraer al azar una boleta de la caja, clasifica cada uno de los siguientes eventos, de acuerdo a las categorĂ­as: evento simple, evento, evento seguro y evento imposible. a) P( # > 10) _______________ d) P( # divisor de 6) ______________ b) P( 2 < #primo < 5) ______________

e) P( # natural < 10) ______________

c) P( # 2)

f) P( esp. muestral)

________________

______________

2) Sean A y B eventos. Usar el diagrama de Venn para los siguientes eventos: a) Sucede A o no B, b) Ni A ni B suceden, c) Sucede A o B, Ăł ambos.

1) LĂĄncese un dado y obsĂŠrvese el nĂşmero que aparece en la cara superior. Sea A el evento de salir un nĂşmero par, B de salir impar, C de salir un nĂşmero primo.

Encuentre: a) P (AUC), b) P (Bâ&#x2C6;ŠC), c) P (đ?&#x2018;Şđ?&#x2019;&#x201E; ), d) P (AUBUC).

2) Se lanzan dos monedas y se definen los eventos A y B como: Evento A: obtener al menos una ĂĄguila Evento B: obtener al menos un sello Obtener P(A), P (B), P (AUB), P(Aâ&#x2C6;ŠB).

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4) En los archivos de una clínica se clasifica a un grupo de pacientes por género y por tipo de diabetes (I o II), de acuerdo con la siguiente tabla: TIPO DE DIABETES I II HOMBRES MUJERES

25 35

20 20

Si se selecciona aleatoriamente un archivo, encuentre la probabilidad de que: a) sea seleccionada una mujer b) sea seleccionado un individuo tipo II c) sea seleccionado un hombre o bien un individuo tipo I

5) Hay 8 bolas blancas y 2 bolas negras en una caja. ¿cuál es la probabilidad de que al sacar una bola, ésta sea: a) negra, b) blanca? ¿Cuál será la probabilidad de que al sacar 2 resulten: c) del mismo color, d) de diferente color?

6) Se carga una moneda de manera que la posibilidad de salir águila sea tres veces la de salir sello. Hallar P(A) y P(S).

7) Lanzamos 5 monedas simultáneamente. Encuentre la probabilidad de que: a) Todas caigan águila, b) 4 caigan águila y 1 sello, c) Obtengamos 2 águilas y 3 sellos, d) obtengamos por lo menos 1 sello.

85

8) Se selecciona una tarjeta al azar entre 50 tarjetas numeradas del 1 al 50. Hallar la probabilidad de que el número de la tarjeta sea: a) divisible por 5, b) primo, c) termine en 2

9) Tres tornillos y tres tuercas están en una caja. Si se escogen dos piezas al azar, hallar la probabilidad de sacar un tornillo y una tuerca.

10) Se sacan 5 cartas al azar de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de que salgan: a) 4 ases, b) 2 reyes y 3 sotas, c) una tercia de sotas.

11) Tres estudiantes A, B y C intervienen en una prueba de natación. A y B tienen la misma probabilidad de ganar y cada uno de ellos el doble de la de C. Hallar la probabilidad de que gane B ó C.

12) Se toman 3 bolas de una bolsa que contiene 6 rojas y 5 negras. Encuentre la probabilidad de que: a) todas sean rojas, b) todas sean negras, c) 2 sean rojas y 1 negra.

13) Tres niños y tres niñas se sientan en una fila. Hallar la probabilidad de que: a) los tres niños se sienten juntos, b) niños y niñas se sienten alternados

14) Un comité de 5 miembros es elegido de entre un grupo de 5 estudiantes de cuarto y 5 de tercero, por lotería. Encuentre la probabilidad de que el comité consista en: a) 3 de cuarto año y 2 de tercero, b) por lo menos 2 de cuarto, c) por lo menos 1 de tercero.

86

15) Un niño juega con los cubos numerados del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que al acomodarlos en una fila el número así formado sea: a) mayor que 40 000, b) menor que 20 000?

16) En una rifa de un aparato se venden 500 boletos. Si compraste 25 de ellos, ¿Cuál es la probabilidad de que obtengas el premio?

17) Una caja contiene 2 medias blancas, 2 medias azules y 2 medias rojas. Se sacan 2 medias al azar, encuentre la probabilidad de que sean pareja (del mismo color).

18) Se carga un dado de manera que los números pares tienen el doble de probabilidad de salir que los impares. Halle la probabilidad de que al lanzar un dado: a) Aparezca un número par b) Aparezca un número impar c) Aparezca un número primo d) Aparezca un número primo impar.

19) Se van a repartir por lotería 6 diferentes premios entre los 3 primeros lugares de un concurso, de modo que c/u reciba 2 premios. El nombre de cada premio se coloca en una boleta y las 6 boletas se depositan en una urna .El primero en pasar extrae simultáneamente 2 boletas, ¿Qué probabilidad tiene de elegir el refrigerador y la pantalla, los 2 mejores premios?

87

PROBABILIDAD EN EVENTOS MĂ&#x161;LTIPLES Un evento mĂşltiple o compuesto es la co-ocurrencia de 2 o mĂĄs eventos simples. Las operaciones de uniĂłn e intersecciĂłn de conjuntos se aplican a eventos compuestos.

Hay 2 leyes que se aplican al calcular la probabilidad en eventos mĂşltiples:

I.- LEY ADITIVA Si A y B son 2 eventos en un espacio muestral, la regla de la suma nos da la pauta para calcular la probabilidad de que ocurra el evento A, o de que ocurra el evento B o de que ocurran ambos eventos, como resultado de un experimento aleatorio.

El teorema de la adición nos permite calcular probabilidades teniendo opciones de ocurrencia, ya que la letra ¨ o ¨ conecta los eventos de interÊs.

Se dan 2 situaciones: A

B

a) No hay elementos en comĂşn đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨ đ?&#x2019;? đ?&#x2018;Š) = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨ â&#x2C6;Ş đ?&#x2018;Š) = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨) + đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Š) s

b) Hay elementos en comĂşn

A

B

đ?&#x2018;ˇ( đ?&#x2018;¨ đ?&#x2019;? đ?&#x2018;Š đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;) = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨ â&#x2C6;Ş đ?&#x2018;Š) = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨) + đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Š) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨ â&#x2C6;Š đ?&#x2018;Š) s

La regla de la suma se aplica intuitivamente sumando el nĂşmero de maneras en que A puede ocurrir con el nĂşmero de maneras en que B puede ocurrir, cuidando que cada resultado se cuente sĂłlo una vez. Esta suma se divide entre el nĂşmero total de resultados posibles en s , con lo cual tenemos la P(A o B).

88

Ejemplo 1 Una urna contiene 10 esferas rojas, 8 verdes y 6 blancas. Se extrae una esfera al azar, hallar la probabilidad de que sea roja o verde. đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

Evento R: que salga roja, P(R) = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;

8

10

đ?&#x;&#x2013;

evento V: que salga verde. P(V) = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019; los eventos R y V no tienen elementos en comĂşn, (no hay esferas bicolor) , por tanto đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

P(R o V) = P(R â&#x2C6;Ş V) = P(R) + P(V) =

đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;

+

đ?&#x;&#x2013; đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;

=

6

đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;&#x2019;

Ejemplo 2 Se lanza un dado. Hallar la probabilidad de que salga par o primo.

S = { 1,2,3,4,5,6 } A: que salga nĂşmero par B: que salga nĂşmero primo A â&#x2C6;Š B: que salga un nĂşmero que sea par y primo a la vez A= { 2,4,6 } B = { 2,3,5 } A â&#x2C6;Š B = { 2 } (hay un elemento en comĂşn) đ?&#x;&#x2018;

P(A) = đ?&#x;&#x201D;

đ?&#x;&#x2018;

đ?&#x;?

P(B) = đ?&#x;&#x201D;

P(A â&#x2C6;Š B) = đ?&#x;&#x201D; đ?&#x;&#x2018;

đ?&#x;&#x2018;

đ?&#x;?

đ?&#x;&#x201C;

P { par o primo} = P{A} + P{B} â&#x20AC;&#x201C; P{Aâ&#x2C6;ŠB} = đ?&#x;&#x201D; + đ?&#x;&#x201D; - đ?&#x;&#x201D; = đ?&#x;&#x201D; Ejemplo 3: La probabilidad juega un papel importante en la GenĂŠtica. En un experimento de hibridaciĂłn Mendel trabajĂł con 14 plantas de chĂ­charos y las clasificĂł de acuerdo al color de la vaina y de la flor, dando el siguiente cuadro: Flor Blanca Morada Total Vaina Verde 3 5 8 Amarilla 2 4 6 Total 5 9 14 ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que al seleccionar un chĂ­charo al azar sea de vaina verde o flor morada?

Es errĂłneo sumar los 8 con vaina verde a los 9 con flor morada, ya que el total de 17 toma en cuenta 2 veces los 5 chĂ­charos de vaina verde y flor morada.

A los de vaina verde se le agregan los de flor morada, contando una sola vez cada chĂ­charo.

P( V. verde o F. morada) =

đ?&#x;&#x2018;+đ?&#x;&#x201C;+đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;

=

đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;

=

đ?&#x;&#x201D; đ?&#x;&#x2022;

89

Ejemplo 4 Una encuesta en una preparatoria urbana mostrĂł que el 65% de los estudiantes preferĂ­an los programas deportivos, 40% preferĂ­an los programas culturales - cientĂ­ficos y 25% les gustaban ambos. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar de esta preparatoria, a) Le gusten ya sea los programas deportivos o bien los culturales-cientĂ­ficos. b) No le gusten ninguno de estos programas.

Resp.

Para resolverlo ayuda mucho un diagrama de Venn

15% 25% A

20% %%/ Âż%%

A: prefiere programas culturalescientĂ­ficos.

B: prefiere programas deportivos A â&#x2C6;Š B: prefieren ambos

B

40%

a) đ?&#x2018;ˇ (đ?&#x2018;¨ đ?&#x2019;? đ?&#x2018;Š) = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨ â&#x2C6;Ş đ?&#x2018;Š) = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨) + đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Š) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨ â&#x2C6;Š đ?&#x2018;Š) = đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;% + đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201C;% â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;% = đ?&#x;&#x2013;đ?&#x;&#x17D;% b) đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨ â&#x2C6;Ş đ?&#x2018;Š)đ?&#x2019;&#x201E; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;% â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;% + đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;% + đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;%) = đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;% Ejercicios propuestos para Eventos MĂşltiples 2-8 1) Un grupo de estudiantes consta de 35 mujeres y 8 hombres, de los cuales 4 mujeres y 3 hombres estĂĄn becados. Se elige un estudiante al azar. Hallar la probabilidad que sea hombre o estĂŠ becado.

2) En cierta facultad 25% de los estudiantes reprobaron matemĂĄticas, 15% reprobaron quĂ­mica y 10% reprobaron ambas. Si se selecciona un estudiante al azar, encuentre la probabilidad de que haya reprobado matemĂĄticas o quĂ­mica.

3) En cierta universidad el 70% de los estudiantes son forĂĄneos, y de ĂŠstos el 75% estĂĄ becado. Por otra parte, de los locales sĂłlo el 35% estĂĄ becado. Si se selecciona un alumno al azar, hallar la probabilidad, a) de que sea forĂĄneo, b) de que estĂŠ becado, c) P( que sea local o no becado).

90

4) De una baraja de 52 cartas se selecciona una al azar, hallar la probabilidad de obtener un as o un trébol.

5) La siguiente tabla resume los resultados del hundimiento del Titanic Hombres Mujeres Niños Niñas Sobrevivientes 332 318 29 27 Muertos 1 360 104 35 18 Si se selecciona al azar uno de los pasajeros del Titanic, calcule la probabilidad de que: a) Sea una mujer o una niña. b) Sea un hombre o una persona que sobrevivió. c) Sea una persona que no sobrevivió al hundimiento. d) Sea un niño sobreviviente.

La siguiente gráfica describe los grupos sanguíneos y los factores Rh de 100 personas hospitalizadas:

gpo. B

8 Rh+ 2Rh-

grupos sanguíneos

gpo. AB 4 Rh+ 1 Rh-

gpo. A 35Rh+ 5Rh-

gpo. O 39Rh+ 6Rh-

gpo. A gpo.O gpo.B gpo. AB

Supongamos que se selecciona uno de los 100 sujetos aleatoriamente, calcular la probabilidad que se indica: a) P(no gpo. A) = e) P(no factor Rh+) = b) P(factor Rh-) =

f) P(gpo. B o factor Rh+) =

c) P(gpo. A o factor Rh-) =

g) P(gpo. AB o factor Rh-) =

d) P(gpo. A o gpo. B) =

h) P(gpo.A u O o factor Rh+) = 91

II.- LEY MULTIPLICATIVA Ahora se trata de calcular la probabilidad de que se presenten 2 eventos, uno seguido del otro; es decir, la probabilidad de que se presenten ambos. TambiÊn se le llama la probabilidad de la intersección o conjunción ya que la letra ¨ y¨ conecta los eventos de interÊs Si A y B son 2 eventos en un espacio probabilístico, entonces P( A y B) = P( el suceso A ocurre en un primer ensayo y el suceso B ocurre en un segundo ensayo).

Se presentan 2 casos: a) si A y B son eventos independientes, entonces P(A y B) = P(A â&#x2C6;Š B) = P(A) â&#x20AC;˘ P(B) b) si B es dependiente de A, entonces P(A y B) = P(A â&#x2C6;Š B) = P(A) â&#x20AC;˘ P(B/A) Si la probabilidad de ocurrencia de un evento B no se ve afectada por la ocurrencia previa de un evento A, entonces se dice que B es independiente de A. Por otro lado, si la probabilidad de ocurrencia de un evento B se ve afectada por la ocurrencia previa de un evento A, entonces se dice que B es dependiente de A. Su probabilidad se expresa P(B/A) (B dado A).

Ejemplo 1: Una caja contiene 5 esferas azules y 3 rojas. Hallar la probabilidad de que al sacar 2 esferas la 1ÂŞ sea roja y la 2ÂŞ sea azul, a) con restituciĂłn, b) sin restituciĂłn a) se trata de eventos independientes (la ocurrencia previa de R no reduce el espacio muestral para A).

Evento R: sacar una 1ÂŞ esfera roja Evento A: sacar una 2ÂŞ esfera azul đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;&#x201C;

đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;

đ?&#x;&#x2013; đ?&#x;&#x2013;

đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x2019;

P(R y A) = P(R) â&#x20AC;˘ P(A) = â&#x20AC;˘ =

b) se trata de eventos dependientes; en este caso la ocurrencia previa de R reduce el espacio muestral para A (por tanto se dice que A depende de R).

P(R y A) = P(R) â&#x20AC;˘ P(A/R) =

đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;&#x2013;

â&#x20AC;˘

đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;&#x2022;

=

đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201D;

Ejemplo 2) en el experimento de hibridaciĂłn de Mendel (pg. 11) se busca la probabilidad de que al elegir una planta al azar, ĂŠsta sea de flor blanca y vaina verde.

Soln. De acuerdo con el teorema, aquĂ­ se trata de la probabilidad de la intersecciĂłn con dependencia de eventos, Evento A: que tenga flor blanca P(A) =

evento B/A: que tenga vaina verde dado

đ?&#x;&#x201C;

flor blanca.

đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;

92

đ?&#x;&#x2018;

P(B/A) = đ?&#x;&#x201C;

đ?&#x;&#x201C;

P(A y B) = P(A â&#x2C6;Š B) = P(A) â&#x20AC;˘ P(B/A) = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019; â&#x20AC;˘

đ?&#x;&#x2018;

= đ?&#x;&#x201C;

đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;

En este tipo de ejercicios, cuando los datos se organizan en una tabla de 2 entradas, es mĂĄs fĂĄcil llegar a la respuesta. La intersecciĂłn de columna con renglĂłn nos da el evento de interĂŠs, el cual se divide entre el total Flor Vaina Verde Amarilla Total

Blanca

morada Total

3 2 5

5 4 9

đ?&#x;&#x2018;

8 6 14

P= đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;

Ejemplo 3) Dos jĂłvenes, Antonio y Lester, que estĂĄn en distintas ciudades y se comunican por internet lanzarĂĄn cada uno un dado al aire. Antes de lanzar el dado calculan la probabilidad de que aparezca la misma cara, ÂżcuĂĄl es?

Se trata de eventos independientes ya que la ocurrencia de uno de ellos no afecta a la probabilidad de ocurrencia del otro. đ?&#x;?

đ?&#x;?

La probabilidad de que aparezca el 1 en ambos lanzamientos es đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x161; đ?&#x;?) = đ?&#x;&#x201D; â&#x20AC;˘ đ?&#x;&#x201D; = Como hay otros 5 casos de caras iguales entonces đ?&#x2018;ˇ =

đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x201D;

â&#x20AC;˘đ?&#x;&#x201D;=

đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x201D;

đ?&#x;? đ?&#x;&#x201D;

La ley multiplicativa se puede extender a 3 o mĂĄs eventos: đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨ â&#x2C6;Š đ?&#x2018;Š â&#x2C6;Š đ?&#x2018;Ş â&#x2C6;Š â&#x20AC;Ś ) = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨) â&#x20AC;˘ đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Š) â&#x20AC;˘ đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Ş) â&#x20AC;Ś si hay independencia đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨ â&#x2C6;Š đ?&#x2018;Š â&#x2C6;Š đ?&#x2018;Ş â&#x2C6;Š â&#x20AC;Ś ) = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨) â&#x20AC;˘ đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Šâ &#x201E;đ?&#x2018;¨) â&#x20AC;˘ đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Şâ &#x201E;đ?&#x2018;¨ â&#x2C6;Š đ?&#x2018;Š) â&#x20AC;Ś si hay dependencia Ejemplo 1: Un lote de 12 artĂ­culos contiene 4 defectuosos. Se toman al azar 3 artĂ­culos del lote, uno tras otro. a) Hallar la probabilidad de que los 3 estĂŠn buenos.

Resp. Como sĂłlo se extraen y no se regresan al lote (sin restituciĂłn), se trata de eventos dependientes. El espacio muestral se va reduciendo con cada extracciĂłn.

A: 1Âş. Bueno , B: 2Âş. Bueno, C: 3Âş. Bueno P(A y B y C) =

đ?&#x;&#x2013; đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x;&#x2022;

đ?&#x;&#x201D;

đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;

â&#x20AC;˘ đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x20AC;˘ đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; = đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;

b) que aparezcan 2 buenos y 1 defectuoso En este caso se pueden presentar 3 Ăłrdenes distintos, con probabilidades calculadas para cada uno de ellos, las que al final se suman (teorema de la adiciĂłn).

93

đ?&#x;&#x2013;

đ?&#x;&#x2022;

đ?&#x;&#x2019;

P = đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x20AC;˘ đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x20AC;˘ đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; =

P (bueno y bueno y defectuoso)

đ?&#x2018;ˇ=

P (Bueno y defectuoso y bueno)

đ?&#x;&#x2019;

đ?&#x;&#x2022;

đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ = đ?&#x;?đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x2018;ˇ=

P (defectuoso y bueno y bueno)

đ?&#x;&#x2013;

đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013; đ?&#x;?đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201C;

đ?&#x;&#x2019;

đ?&#x;&#x2013;

đ?&#x;&#x2022;

28/55

đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ = đ?&#x;?đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

P(2 buenos y 1 defect.) = (28/165)(3) = 28/55 Ejemplo 2: una caja contiene 20 CDs. de los cuales 5 estĂĄn defectuosos. Se eligen al azar 4, uno tras otro, hallar la probabilidad de que: a) los 4 resulten buenos(B) 1Âş 2Âş 3Âş 4Âş 1Âş 2Âş 3Âş 4Âş B y B y B y B đ?&#x2018;ˇ=

đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

â&#x20AC;˘

đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x2014;

â&#x20AC;˘

đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;

â&#x20AC;˘

đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;&#x2022;

=

đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;?

(eventos dependientes)

đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;

b) por lo menos aparezca 1 defectuoso aquĂ­ se trata del evento complementario al anterior, por lo que đ?&#x2018;ˇ = đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;?) = đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;?

= đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;

đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;

Procesos EstocĂĄsticos: Una sucesiĂłn de 2 o mĂĄs experimentos aleatorios, uno tras otro, en los cuales cada experimento tiene un nĂşmero concreto de resultados posibles, con probabilidades calculadas, se llama un proceso estocĂĄstico. Una manera conveniente de describir tal proceso y calcular probabilidades es mediante un diagrama de ĂĄrbol.

Se utiliza el teorema de la multiplicaciĂłn para calcular la probabilidad de que suceda una de las trayectorias (intra-trayectoria se multiplican). Se utiliza el teorema de la adiciĂłn para calcular la probabilidad de que se presenten 2 o mĂĄs trayectorias (intertrayectorias se suman).

Ejemplo 1.

Se tienen 3 cajas. La caja A contiene 50 discos de los cuales 10 estĂĄn daĂąados. B contiene 30 discos de los cuales 10 estĂĄn daĂąados y la caja C contiene 75 discos con 5 daĂąados.

Se selecciona una caja al azar y luego extraemos un disco al azar, a) ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que estĂŠ daĂąado?

94

CAJAS

DISCOS bueno

4/5

A

hay 3 trayectorias que conducen a disco daĂąado

daĂąado

1/5

1/3

bueno 2/3

â&#x20AC;˘

B

1/3

1/3

daĂąado

1/3

bueno

14/15

C

1/15

daĂąado probabilidad de que se seleccione la caja A y de que el disco salga daĂąado es

đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?

â&#x20AC;˘ đ?&#x;&#x201C; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C; â&#x20AC;˘đ?&#x;&#x2018;=đ?&#x;&#x2014;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153; B â&#x20AC;&#x153; â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153; â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153; C â&#x20AC;&#x153; â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153; â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153;

â&#x20AC;&#x153; đ?&#x;&#x2018; â&#x20AC;˘ đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C; = đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;

Sumando tenemos:

đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x201A;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;?) =

đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;&#x2014;

đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;

+ +

=

đ?&#x;? đ?&#x;&#x201C;

b) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de escoger la caja C y que el disco estĂŠ bueno? đ?&#x;?

P (C y bueno) = P( C ) ¡ P (bueno/C) = đ?&#x;&#x2018; ¡

đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;

đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;

= đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;

c) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que el disco estĂŠ bueno?

95

đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?

EJERCICIO PROPUESTO 2-9 1) De una baraja de 52 cartas extraemos 3, una tras otra , hallar la probabilidad de que aparezcan en ese orden: as de diamante, trébol, diamante. a) Sin reemplazo,

b) con reemplazo.

2) De una caja que contiene 4 bolas rojas y 5 verdes se toma una, se restituye a la caja y luego se toma una segunda bola. Encuentre la probabilidad de que: a) ambas sean rojas, b) ambas sean verdes, c) la primera sea roja y la segunda verde.

3) Se lanza una misma moneda en sucesión 4 veces, encuentre la probabilidad de que: a) se tenga una cara cada vez, b) se obtenga cara las primeras dos veces y cruz las restantes dos, c) se obtengan 2 caras y 2 cruces.

4) Se retiran 3 esferas de una caja, en sucesión y sin restitución, si la caja tenía 5 esferas blancas y 7 verdes, encuentre la probabilidad de que las tres esferas retiradas lo sean en el orden: a) blanca, verde, verde, b) blanca, blanca, verde, c) verde, verde, verde.

96

5) Diez personas, 5 chicos y 5 chicas se agrupan en parejas, si las parejas se forman al azar, encuentre la probabilidad de que cada chico tenga como pareja a una chica.

6) Se retiran 3 bolas de una caja en sucesión y sin restitución, si la caja tenía 5 bolas rojas, 6 blancas y 7 azules, encuentre la probabilidad de que las tres bolas retiradas fueron: a) del mismo color, b) de diferente color.

7) Para determinar quién ha de hacer cierto trabajo, tres hombres comparan tres monedas, habiendo acordado que la que presente distinta cara a las otras dos deberá determinar al hombre que realizará el trabajo. Encuentre la probabilidad de que la decisión pueda tomarse: a) en el primer intento, b) en el segundo.

8) Una urna contiene 5 bolas negras y 2 verdes, otra contiene 3 bolas negras y 3 verdes. Si una bola ha de sacarse ¿cuál es la probabilidad de obtener : a) una negra, b) una verde?

9) El ingreso a una organización requiere que un candidato pase al menos dos de tres pruebas. Si las probabilidades separadas de pasar las pruebas son 2/3, 1/4 y 4/5 encuentre la probabilidad de que el candidato alcance el ingreso a la organización.

97

10) Tenemos en una caja los nombres de 6 muchachas y 5 muchachos escritos cada uno en una tarjeta distinta. Encuentre la probabilidad de que a) retiremos los nombres de las muchachas primero, b) al retirar las tarjetas alternen los nombres de las muchachas y los muchachos.

11) Una caja contiene 5 tubos de radio, de los cuales 2 son defectuosos.

Se prueban los tubos uno tras otro hasta que se descubren 2 defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que se suspenda el proceso en: a) la segunda prueba, b) en la tercera prueba.

12) En el llamado muestreo de aceptación se selecciona aleatoriamente y sin reemplazo una muestra de artículos, el lote completo se acepta si cada artículo en la muestra sale bueno. La Niko Electronics Co. acaba de fabricar 5 000 CD, de los cuales el 3% están defectuosos. Si se selecciona al azar una muestra de 6 de estos CD para probarlos, ¿cuál es la probabilidad de que se acepte el lote completo?

13) Si usted adivina al azar las respuestas a 5 preguntas de opción múltiple (cada una con 4 respuestas posibles), ¿cuál es la probabilidad de obtener a) todas correctas? b) al menos 1 correcta? c) al menos 3 correctas?

98

14) El porcentaje de germinaciĂłn de cierta semilla es del 85%. La posibilidad de que una semilla germinada llegue a planta adulta es del 15%. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que al elegir una semilla al azar llegue a ser planta adulta?

PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad de que cierto evento (B) suceda una vez que otro evento (A) ha sucedido antes, es llamada la probabilidad condicional de B dado A. Ambos eventos se encuentran ordenados en el tiempo.

En este caso la ocurrencia de un 2Âş evento B se ve influida por la ocurrencia previa de un 1er. Evento A . Hablar de probabilidad condicional es hablar de eventos dependientes.

Del teorema de la multiplicaciĂłn tenemos: đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨ đ?&#x2019;&#x161; đ?&#x2018;Š) = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨ â&#x2C6;Š đ?&#x2018;Š) = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨) â&#x20AC;˘ đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Š / A)

donde B es dependiente de A

Despejando đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Š / A) =

đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨ â&#x2C6;Š đ?&#x2018;Š) đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨)

=

đ?&#x2019;?Ăşđ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2018;¨ đ?&#x2019;&#x161; đ?&#x2018;Š đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C; đ?&#x2019;?Ăşđ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2018;¨ đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;

En la probabilidad condicional el espacio muestral original se reduce, debido a que el experimento se ha llevado a cabo y tenemos informaciĂłn parcial

Aâ&#x2C6;ŠB

acerca del resultado del mismo.

A

B

S

99

Ejemplo 1 Se saca al azar una carta de una baraja de 52 cartas. Si la carta es diamante hallar la probabilidad de que sea un as.

A: que salga un diamante

P(A) = 13/52

B: que salga un as

P(B) = 4/52

A â&#x2C6;Š B: que salga as de diamante

P( Aâ&#x2C6;Š B) = 1/52

B/A : que se trate de un as dado que saliĂł diamante

đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨ â&#x2C6;Šđ?&#x2018;Š)

P(B/A) = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨) =

đ?&#x;? đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;?

=

đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;

En este caso el espacio muestral original de 52 cartas se redujo a 13 al saber que apareciĂł diamante.

Ejemplo 2 Se lanzan al aire 2 monedas, una grande y una chica. Si la moneda grande cayĂł ĂĄguila, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que la moneda chica haya resultado tambiĂŠn ĂĄguila?

A: que la moneda grande salga ĂĄguila

P(A) = 1/2

B: que la moneda chica salga ĂĄguila

P(B/A) = P(B) = 1/2

Este ejemplo aparenta pero no es de probabilidad condicional, ya que se trata de eventos independientes. El resultado de una moneda no afecta al resultado de la otra.

Cuando los eventos A y B son independientes đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Šâ &#x201E;đ?&#x2018;¨) = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Š) Ejemplo 3 En cierta preparatoria 25% de los estudiantes reprobaron EcologĂ­a, 15% reprobaron Ciencias sociales y 10% reprobaron ambas. Se selecciona un estudiante al azar de esta preparatoria, A) Si reprobĂł EcologĂ­a, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que tambiĂŠn haya reprobado Ciencias Sociales? b) Si reprobĂł C. Sociales, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que tambiĂŠn haya reprobado EcologĂ­a? c) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que haya reprobado EcologĂ­a o C. Sociales?

100

d) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que haya reprobado ambas?

SoluciĂłn. En estos casos el diagrama de Venn es la mejor manera de representar la situaciĂłn.

Evento E: que haya reprobado ECOLOGĂ?A

15%

EcologĂ­a Evento S: que haya reprobado C. Sociales Evento E â&#x2C6;Š S: que haya reprobado ambas Evento E â&#x2C6;Ş S: que haya reprobado por lo menos una de las dos

C. SOCIALES

10%

5% S

a) Es la probabilidad condicional de S dado E,

đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Ź â&#x2C6;Š đ?&#x2018;ş) đ?&#x2018;ˇ (đ?&#x2018;şâ &#x201E;đ?&#x2018;Ź) = = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Ź)

.đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

b) Es la probabilidad condicional de E dado S,

đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Ź â&#x2C6;Š đ?&#x2018;ş) đ?&#x2018;ˇ (đ?&#x2018;Źâ &#x201E;đ?&#x2018;ş) = = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;ş)

.đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

.đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;

.đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;

=

=

đ?&#x;? đ?&#x;&#x201C;

đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;

c) Se trata de la probabilidad de la uniĂłn, đ?&#x2018;ˇ (đ?&#x2018;Ź â&#x2C6;Ş đ?&#x2018;ş) = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Ź) + đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;ş) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Ź â&#x2C6;Š đ?&#x2018;ş) đ?&#x;&#x2018;

. đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;+. đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;â&#x2C6;&#x2019;. đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; =. đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;?

d) Se trata de la probabilidad de la intersecciĂłn, đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Ź â&#x2C6;Š đ?&#x2018;ş) = đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;% =. đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; En algunos problemas de probabilidad condicional es conveniente organizar los datos en una tabla llamada de tabulaciĂłn cruzada Ejemplo 4.

Un taller automotriz sabe que por tĂŠrmino medio acuden: Por la maĂąana 3 vehĂ­culos con problemas elĂŠctricos, 8 con problemas mecĂĄnicos y 3 con problemas de chapa. Por la tarde 2 con problemas elĂŠctricos, 3 con problemas mecĂĄnicos y 1 con problema de chapa, elĂŠctricos MecĂĄnicos de Total chapa MaĂąana 3 8 3 14 Tarde 2 3 1 6 total 5 11 4 20 101

a) Si un automĂłvil acude por la tarde, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que venga con problemas de chapa? Resp. El espacio muestral se reduce a 6 elementos (renglĂłn tarde).

đ?&#x2018;ˇ(

đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x201A;â &#x201E; ) = đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x;&#x201D;

b) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que un automĂłvil con problemas elĂŠctricos acuda por la maĂąana? Resp. El espacio muestral se reduce a 5 (columna elĂŠctricos) đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x201A;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201A;â &#x201E;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?ĂŠđ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?) =

đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;&#x201C;

c)ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que un automovilista concierte cita por la maĂąana y tenga problemas mecĂĄnicos? Resp. Se trata de probabilidad de la intersecciĂłn (cruce de renglĂłn maĂąana y columna mecĂĄnicos) đ?&#x;&#x2013;

đ?&#x;?

đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x201A;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x161; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201E;ĂĄđ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?) = đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; = đ?&#x;&#x201C; d) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que un automĂłvil que llega por la maĂąana tenga problemas de chapa? đ?&#x2018;ˇ(

đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x201A;â &#x201E; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x201A;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201A;) = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;

EJERCICIO PROPUESTO 2-10 PROBABILIDAD CONDICIONAL 1) Se lanzan dos dados corrientes. Si en los nĂşmeros que aparecen no estĂĄ el uno, hallar la probabilidad de que: a) la suma sea 8, b) la suma sea mayor o igual a 7.

102

2)Se lanza un dado. Si el número es impar, ¿cuál es la probabilidad de que sea primo?

3)Se escogen al azar dos dígitos diferentes entre los dígitos 1 a 9. a) si la suma es impar ¿cuál es la probabilidad de que 2 sea uno de los números escogidos?

b) si 2 es uno de los dígitos seleccionados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea impar?

4) En cierta ciudad 40% de la población tiene cabellos castaños, 25% tiene ojos castaños y 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge al azar una persona, a) si tiene cabellos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños?

b)¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

5)En cierta región el 30% de los días del año son nublados, el 15% son lluviosos y el 10% son nublados y lluviosos. Si se selecciona un día al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea lluvioso dado que es nublado?

103

6)Se nos dan dos urnas como sigue: una urna A contiene 5 bolas rojas, 3 blancas y 8 azules. la otra urna B contiene 3 bolas rojas y 5 blancas. se lanza un dado corriente, si aparece el 3 Ăł 6 se escoge una bola de B; de lo contrario la bola se escoge de A. hallar la probabilidad de que: a) se escoja una bola roja

b) se escoja una bola blanca o una azul

c) se escoja una bola azul.

d) aparezca bola blanca si el dado muestra cara 6

7)Una caja contiene 3 monedas, 2 de ellas corrientes y una de dos caras. Se selecciona al azar una moneda y se lanza dos veces. Si aparece ambas veces cara, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que la moneda sea la de dos caras?

104

8)En la construcción de una carretera se han contratado algunas compras. Las probabilidades de entrega oportuna para la arena, grava y cemento son 0.3, 0.6 y 0.8 respectivamente, a) encuentre la probabilidad de que los tres materiales sean entregados a tiempo.

b) encuentre la probabilidad de que ninguno de los materiales sea entregado a tiempo.

c) encuentre la probabilidad de que al menos uno de los materiales sea entregado a tiempo.

9)En una fábrica se tiene 2 máquinas que producen un determinado artículo. La máquina 1 produce el 45% del total y la máquina 2 el 55%. La máquina 1 produce 10% de defectuosos y en la máquina 2 el porcentaje de defectuosos es de 8%. Se selecciona un artículo al azar, a)hallar la probabilidad de que sea defectuoso?

b) si el artículo seleccionado fue producido por la máquina 2, hallar la probabilidad de que venga defectuoso.

105

10)Se sacan dos cartas con reemplazamiento de una baraja de 52 cartas. Encontrar la probabilidad de que la segunda carta sea una reina si la primera fue una sota.

11)Se lanza un par de dados corrientes. Si la suma es de 6, hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2.

12)En una casa hay 3 llaveros, A, B y C. El 1º tiene 5 llaves, el 2º tiene 7 y el 3º tiene 8. De todas sólo una llave de cada llavero abre la puerta de la vitrina. Se escoge al azar un llavero y de él una llave. ¿Cuál es la probabilidad que hay de abrir la puerta?

106

TEOREMA DE BAYES DE LA PROBABILIDAD CONDICIONAL Tomas Bayes naciĂł en Londres en TambiĂŠn se le conoce como el teorema de la probabilidad 1702. Sus trabajos sobre posterior. Intenta encontrar la probabilidad de que un deprobabilidad se descubrieron en terminado evento A haya sido la causa de un evento final B sus escritos despuĂŠs de su muerte. que se sabe que ocurriĂł.

Hay numerosas situaciones prĂĄcticas en las que la probabilidad de un evento (A) no puede calcularse directamente, sin embargo, con la informaciĂłn de que otro evento posterior (B) ha ocurrido es posible evaluar P(A/B) y determinar asĂ­ la P(A).

Teorema: SupĂłngase que los eventos đ?&#x2018;¨đ?&#x;? , đ?&#x2018;¨đ?&#x;? , . . . đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? forman una particiĂłn de ¨s¨ B es otro evento que se ha presentado, entonces đ?&#x2018;¨ đ?&#x2018;ˇ ( đ?&#x2019;&#x160;â &#x201E;đ?&#x2018;Š) =

y que

đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x160; ) â&#x20AC;˘ đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;Šâ &#x201E;đ?&#x2018;¨ ) đ?&#x2019;&#x160;

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En el numerador de esta fracciĂłn tenemos la trayectoria que conduce al evento de interĂŠs, y en el denominador las trayectorias que conducen al evento ocurrido. đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2019;&#x201D;)đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2020;(đ?&#x2019;?) đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;ĂŠđ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2018;ˇ= đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;?

PARTICIĂ&#x201C;N: es la divisiĂłn de un conjunto universal en subconjuntos incompatibles y exhaustivos.

A1

incompatibles: no se intersectan.

1

A2 1

A1 1

B A3

exhaustivos: abarcan todo el universo ( espacio muestral).

A4 A5

AA

A la derecha A1, A2, A3, A4 y A5 forman una particiĂłn. B es un evento posterior.

Ejemplo: Tres mĂĄquinas, A, B y C producen respectivamente 50%, 30% y 20% del nĂşmero total de artĂ­culos de una fĂĄbrica. Los porcentajes de desperfectos de producciĂłn de estas mĂĄquinas son 3%, 4% y 5% respectivamente. En un muestreo aleatorio por parte de control de calidad se seleccionĂł un artĂ­culo y resultĂł estar defectuoso, hallar la probabilidad de que el artĂ­culo fue producido por la mĂĄquina A. SoluciĂłn: Se busca calcular la probabilidad de A dado que se presentĂł defectuoso (Def).

La mejor manera de visualizar la situaciĂłn es elaborar un diagrama de ĂĄrbol con probabilidades calculadas.

107

.03

A

no def.

.50

â&#x20AC;˘

.30

Def.

.04

B

Def. no def.

Def.

.20

.05

C

no def.

đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨) â&#x20AC;˘ đ?&#x2018;ˇ( đ?&#x2018;ˇ (đ?&#x2018;¨â &#x201E;đ?&#x2018;Ťđ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2021;) = đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;¨) â&#x20AC;˘ đ?&#x2018;ˇ (

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Ejemplo 2 En muchas ciudades medias y grandes del paĂ­s los accidentes automovilĂ­sticos nocturnos por semana son una variable con mayor incidencia en las noches de viernes y sĂĄbados.

El motivo principal es el consumo de alcohol. En cierta ciudad se tienen las siguientes estadĂ­sticas correspondientes al Ăşltimo aĂąo.

Viernes (V) SĂĄbado (S) Otros dĂ­as (O) Total

Porcentaje de accidentes Nocturnos Por alcohol (A) 40 62 34 70 26 35 100

En esta semana ocurriĂł un percance nocturno y estuvo involucrado el alcohol, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que haya sido en sĂĄbado?

Elaboramos un diagrama de ĂĄrbol con sĂłlo los eventos que nos interesan, basĂĄndonos en los registros estadĂ­sticos.

108

.40

â&#x20AC;˘

.34

Vi ii V Sa

Al

.62

Al

.70

Buscamos la probabilidad de Sa. dado Al. con la fĂłrmula de Bayes

.26

Ot

đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2018;şâ &#x201E;đ?&#x2018;¨) =

Al

.35

(. đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2019;)(. đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x17D;) . đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2013; . đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2013; = = (. đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;)(. đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;?) + (. đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2019;)(. đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x17D;) + (. đ?&#x;?đ?&#x;&#x201D;)(. đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x201C;) . đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2013;+. đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2013;+. đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;? . đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;

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EJERCICIO PROPUESTO 2-11 PROBABILIDAD CONDICIONAL. TEOREMA DE BAYES 1) Tres mĂĄquinas A, B y C producen respectivamente 45%, 30% y 25% del nĂşmero total de artĂ­culos de una fĂĄbrica, los porcentajes de desperfectos de producciĂłn de estas mĂĄquinas son 4%, 5% y 9% respectivamente. Se selecciona un artĂ­culo al azar y resulta ser defectuoso, hallar la probabilidad de que el artĂ­culo fue producido por la mĂĄquina B.

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2) Para ir a su trabajo un individuo puede hacerlo en autobús o en tranvía y eso lo hace con probabilidades de 0.3 y 0.7 respectivamente. Cuando viaja en el autobús llega tarde un 30% y cuando viaja en tranvía llega tarde el 20% de las veces. Dado que en un día determinado el individuo llegó tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado en autobús?

3) En cierta facultad, el 4% de los hombres y el 1% de las mujeres tienen más de 6 pies de altura. Además el 60% de los estudiantes son mujeres. Ahora bien, si se selecciona al azar un estudiante y es más alto que 6 pies, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante sea mujer?

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4) Se nos dan tres urnas como sigue: una urna A contiene 3 bolas rojas y 5 blancas una urna B contiene 2 bolas rojas y 1 blanca; una urna C contiene 2 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una urna al azar y se saca una bola; si la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna A?

5) En una ciudad hay dos tiendas (1 y 2) que venden lavadoras de dos marcas (A y B). son las únicas tiendas de la ciudad que venden lavadoras. la probabilidad de que alguien compre una lavadora en la tienda 1 es 3/4 y la probabilidad de que alguien que se sabe que compra una lavadora en la tienda 1 compre la marca A es 1/3. Simultáneamente la probabilidad de que alguien que se sabe que compra una lavadora en la tienda 2 compre la marca A es 1/4. Dado que alguien compró una lavadora de marca A, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en la tienda 1?

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6) Uno de los propósitos de una auditoría es el de detectar errores de procedimiento o de juicio en el asiento de información contable. Suponga que una firma de contadores está llevando a cabo una auditoría sobre las prácticas contables de una empresa, en la cual la afectación de cuentas (de clientes) la hacen tanto por el departamento de ventas a mayoristas como por el de ventas a minoristas. Se sabe que el 70% de todas las cuentas son de mayoristas y además se sabe que el 10% de las cuentas de mayoristas y el 20% de las cuentas de minoristas, tienen algún tipo de error contable. Si los auditores detectan un error en una cuenta de clientes, encuentre la probabilidad de que proceda de la de mayoristas.

7) Tres joyeros idénticos tienen 2 compartimientos. En cada compartimiento del primer joyero hay un reloj de oro. En cada compartimiento del segundo joyero hay un reloj de plata. En el tercer joyero en un compartimiento hay un reloj de oro, en tanto que en el otro hay un reloj de plata. Si seleccionamos un joyero aleatoriamente, abrimos uno de los compartimientos y hallamos un reloj de plata, ¿cuál es la probabilidad de que el otro compartimiento tenga un reloj de oro?

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8) Para determinar si una persona tiene hepatitis se le realiza un examen de sangre de cierto tipo. La aceptación de este procedimiento se basa en las siguientes estadísticas: entre personas con hepatitis el 80% de los exámenes de sangre descubren la enfermedad, pero el 20% falla en hacerlo. Por otro lado, entre personas sin hepatitis, el 5% de los diagnósticos indica error como casos con hepatitis y el 95% de los exámenes indica el diagnóstico correcto. Si se toma una persona cualquiera de un grupo, de los cuales un 1% tiene hepatitis y que en un examen de sangre muestra que esa persona tiene hepatitis, ¿cuál es la probabilidad de que realmente tenga la enfermedad?

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BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: 1. Apuntes de Probabilidad y Estadística. R. Salinas, E. Ramos. Febrero 2017. CBTis 36.

México 2. Lipschut, Seymour. Probabilidad. Serie Schaum. Mc Graw Hill, México 3. Spiegel, Murray R. Estadística. Serie Schaum. Mc Graw Hill, México 4. Fuller, Gordon. Álgebra Elemental. 3era. Edición. CECSA, México 5. Magaña Cuella, Luis. Matemáticas III. Estadística y Probabilidad. Ed. Nueva Imagen 1ª.

Edición. 1999 México.

6. Garza Olvera, Benjamín. Estadística y Probabilidad. 1era. Edición. Pearson, México

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