Texto Paralelo Álgebra Lineal

UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA INGENIERÍA EN SISTEMAS

ALGEBRA LINEAL

ING. NOÉ ABEL CASTILLO LEMUS

TEXTO PARALELO

SAMUEL ESTEBAN RAMÍREZ CORADO 7490 – 21 – 14627

INDICE

Contenido INTRODUCCION......................................................................................................................... 1 CLASE 1 .......................................................................................................................................... 2 TERIA DE CONJUNTOS ....................................................................................................... 2 CONCEPTOS BÁSICOS ........................................................................................................ 2 OPERACIONES CON CONJUNTOS ................................................................................ 3 CLASE 2 .......................................................................................................................................... 5 ESTRUCTURAS BÁSICAS DE ÁLGEBRA LINEAL MONOIDE, GRUPOS Y SUBGRUPOS ............................................................................................................................. 5 CLASE 3 .......................................................................................................................................... 6 MATRICES ................................................................................................................................. 6 OPERACIONES BÁSICAS DE MATRICES ................................................................... 6 CLASE 4 ........................................................................................................................................ 10 DETERMINANTES ................................................................................................................ 10 MATRIZ INVERSA ............................................................................................................... 10 CLASE 5 ........................................................................................................................................ 11 METODOS DE RESOLUCION DE ECUACIONES .................................................... 11 ECUACIONES CON 2 INCOGNITAS............................................................................ 11 CLASE 6 ........................................................................................................................................ 12 ECUACIONES DE DOS INCÓGNITAS UTILIZANDO GEOGEBRA ................ 12 Ejemplo..................................................................................................................................... 12 ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS............................................................................ 13 CLASE 7 ........................................................................................................................................ 14 DEFINICIÓN DE ESPACIOS VECTORIALES .......................................................... 14 DEFINICIÓN DE OPERACIONES EN UN ESPACIO VECTORIAL ................. 14 SUMA RESTA Y PRODUCTO DE VECTORES ........................................................... 15 Suma de vectores .................................................................................................................. 15 Resta de vectores .................................................................................................................. 18 CLASE 8 ........................................................................................................................................ 21 PRODUCTO DE VECTORES.............................................................................................. 21 MAGNITUD DE VECTORES.............................................................................................. 21

CLASE 9 ........................................................................................................................................ 22 ANGULO ENTRE DOS VECTORES ................................................................................ 22 Fórmula del producto escalar ....................................................................................................... 22 PRODUCTO ESCALAR Y PROYECCIONES EN R2 ................................................ 23 CÁLCULO DEL ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES Y VECTORES PARALELOS ............................................................................................................................ 23 CLASE 10...................................................................................................................................... 24 DEFINICIÓN DE ESPACIO R3 ...................................................................................... 24 PRODUCTO ESCALAR Y PROYECCIONES EN R3 ................................................ 24 CONCLUSIONES ....................................................................................................................... 34 BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................... 35

INTRODUCCION El álgebra lineal es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales. En éste libro se van a exponer los fundamentos del tratamiento de sistemas de ecuaciones lineales desde un punto de vista algebraico, así como (brevemente) el surgimiento de la geometría algebraica asociado a tal tratamiento, conocido como álgebra lineal. En aras de no extenderse más de lo necesario, y de hacer de éste libro un manual de fácil acceso y una herramienta funcional para otras ramas de la ciencia distintas de las matemáticas puras, se van a presuponer del lector una serie de conocimientos previos, en el caso de que se desee una fundamentación más exhaustiva y directa que la que aquí se muestra. Así, se supondrá un conocimiento de los fundamentos de la Teoría de Conjuntos, tales como la idea de conjunto, sus operaciones básicas (unión, intersección, etc.); de la misma forma, se supondrá que el lector conoce los números naturales, los enteros, los racionales y los reales, así como sus propiedades básicas. Otros fundamentos matemáticos, tales como función, operación y demostración matemática, son igualmente necesarios, pero las ideas de todos ellos quedan suficientemente claros en el texto.

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CLASE 1 TERIA DE CONJUNTOS La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, etc; gracias a las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no solo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas (puras) del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel.

La teoría de conjuntos se emplea habitualmente como sistema fundacional de toda la matemática, en particular en la forma de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección. Además de su papel fundacional, la teoría de conjuntos también proporciona el marco para desarrollar una teoría matemática del infinito, y tiene varias aplicaciones en informática, filosofía y semántica formal. Su atractivo fundacional, junto con sus paradojas, sus implicaciones para el concepto de infinito y sus múltiples aplicaciones han hecho de la teoría de conjuntos un área de gran interés para Logoss y Filósofos de la matemática. La investigación contemporánea sobre la teoría de conjuntos abarca una amplia gama de temas, que van desde la estructura de la línea de números reales hasta el estudio de la consistencia del cardinal grande.

CONCEPTOS BÁSICOS La teoría de conjuntos comienza con una relación binaria fundamental entre un objeto o y un conjunto A. Si o es un miembro del conjunto (o elemento) de A, se utiliza la notación o ∈ A. Un conjunto se describe enumerando elementos separados por comas, o por una propiedad caracterizadora de sus elementos,

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entre llaves { }. Como los conjuntos son objetos, la relación de pertenencia también puede relacionar conjuntos.

Una relación binaria derivada entre dos conjuntos es la relación de subconjunto, también llamada inclusión de conjuntos. Si todos los miembros del conjunto A son también miembros del conjunto B, entonces A es un subconjunto de B, denotado A ⊆ B. Por ejemplo, {1, 2} es un subconjunto de {1, 2, 3}, y también lo es {2} pero {1, 4} no lo es. Como implica esta definición, un conjunto es un subconjunto de sí mismo. Para los casos en que esta posibilidad no es adecuada o tendría sentido rechazarla, se define el término subconjunto propio. A se llama subconjunto propio de B si y sólo si A es un subconjunto de B, pero A no es igual a B. Además, 1, 2 y 3 son miembros (elementos) del conjunto {1, 2, 3}, pero no son subconjuntos del mismo; y a su vez, los subconjuntos, como {1}, no son miembros del conjunto {1, 2, 3}.

OPERACIONES CON CONJUNTOS Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos: • • •

•

•

•

Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.

Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B. Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. Complemento. El complemento de un conjunto A es el ∁ conjunto A que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A. Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

Los conjuntos y las operaciones con conjuntos se pueden representar visualmente empleando los diagramas de Venn.

EJEMPLOS Ejemplo 1. En una escuela hay 150 alumnos, 60 juegan con una pelota en el recreo, 25 juegan a la cuerda y solo 15 juegan ambas. ¿Cuántos alumnos juegan con una cuerda? ¿Cuántos alumnos no juegan con una pelota?

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¿Cuántas personas no juegan ambas? (esto no es un ejemplo de un conjunto, es un problema de conteo).

Ejemplo 2. Se les regalaron a 200 personas, discos de dos grupos de géneros distintos (rock y banda). Resulta que 30 quieren de rock, 45 de banda y 20 de ambos. ¿Cuantas personas quieren de rock o banda? ¿Cuantas personas no quieren de rock? ¿Cuantas personas no quieren ninguno? (esto no es un ejemplo de un conjunto).

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CLASE 2 ESTRUCTURAS BÁSICAS DE ÁLGEBRA LINEAL MONOIDE, GRUPOS Y SUBGRUPOS El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, espacio dual, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.

El álgebra lineal es fundamental en casi todas las áreas de las matemáticas. Por ejemplo, el álgebra lineal es fundamental en las presentaciones modernas de la geometría, incluso para definir objetos básicos como líneas, planos y rotaciones. Además, el análisis funcional, una rama del análisis matemático, puede considerarse básicamente como la aplicación del álgebra lineal al espacios de funciones.

El álgebra lineal también se utiliza en la mayoría de las ciencias y campos de la ingeniería, porque permite modelar muchos fenómenos naturales, y computar eficientemente con dichos modelos. Para los sistemas no lineales, que no pueden ser modelados con el álgebra lineal, se utiliza a menudo para tratar la aproximaciones de primer orden, utilizando el hecho de que la diferencial de una 'función multivariante' en un punto es el mapa lineal que mejor aproxima la función cerca de ese punto así como el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigación de operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería entre otras más.

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CLASE 3 MATRICES En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

OPERACIONES BÁSICAS DE MATRICES SUMA Y RESTA La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión. Cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que coincidan en posición en diferentes matrices.

En el caso de restar dos o más matrices se sigue el mismo procedimiento que usamos para sumar dos o más matrices.

En otras palabras, cuando sumamos o restamos matrices nos vamos a fijar en: 1. Las matrices compartan la misma dimensión.

2. Sumar o restar los elementos con la misma posición en matrices distintas.

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Como hemos dicho, primero comprovamos que sean matrices de igual dimensión. En este caso, son dos matrices 2×2. A continuación, sumamos los elementos que tienen las mismas coordenadas. Por ejemplo, (d) y (h) comparten la misma posición en matrices distintas. La posición, denotada como P, para (d) y (h) es P22.

EJEMPLO PRÁCTICO

Cuando restamos matrices es como en álgebra común, multiplicamos por (-1) la matriz que tiene el signo de restar delante. En este caso es la matriz B. MULTIPLICACIÓN Generalmente, la multiplicación de matrices cumple la propiedad no conmutativa, es decir, importa el orden de los elementos durante la multiplicación. Existen casos llamados matrices conmutativas que sí cumplen la propiedad.

Sean Ry X dos matrices no conmutativas, implica que: RX ≠ XR Sean R’y X’dos matrices conmutativas, implica que: RX=XR Para multiplicar dos matrices necesitamos que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.

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El orden de multiplicación sería tomar la primera fila de la matriz T, multiplicarla por la primera columna de la matriz F y sumar sus elementos.

Podemos multiplicar una matriz por un escalar z cualquiera. En este caso z=2.

Cada elemento de la matriz queda multiplicado por el escalar z=2.

EJEMPLO PRÁCTICO

DIVISIÓN La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador.

También podemos dividir una matriz por un escalar z cualquiera. En este caso z=2.

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Cada elemento de la matriz queda dividido por el escalar z=2.

EJEMPLO PRÁCTICO

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CLASE 4 DETERMINANTES El determinante de una matriz cuadrada —matriz con el mismo número de filas que de columnas— se obtiene de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal de la matriz y la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria de la misma matriz.

Para poder realizar este cálculo necesitamos una matriz cuadrada de orden m x n, donde m son las filas y n las columnas, siendo siempre m=n. Esto es lo que llamamos dimensión de la matriz. Para matrices de orden superior a 2 x 2, el cálculo se realiza mediante las reglas de Laplace o Sarrus.

El determinante de una matriz nos indica si estamos ante un sistema singular o no singular de ecuaciones lineales. Por ello, si el resultado del determinante es cero (nulo), estaremos ante una matriz singular, y si el resultado es distinto de cero, estaremos ante una matriz no singular.

MATRIZ INVERSA En el álgebra matricial, la división no está definida. La inversión de matrices es la contraparte de la división en álgebra.

La inversa de una matriz está definida como aquella matriz, que multiplicada por la original da por resultado la matriz identidad, se denota como

esto se cumple siempre y cuando La matriz inversa se obtiene en su forma clásica, de la siguiente manera:

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CLASE 5 METODOS DE RESOLUCION DE ECUACIONES Existen tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones. El método de sustitución, el de reducción y el de igualación. El objetivo de cualquiera de estos métodos es reducir el sistema a una ecuación de primer grado con una incógnita. La solución obtenida siempre será la misma, independientemente del método elegido.

Método de sustitución Este método despeja una de las dos incógnitas en función de la otra en una de las dos ecuaciones. Luego sustituye el valor obtenido en la otra ecuación.

Método de reducción Con este método se trata de eliminar una incógnita buscando sistemas equivalentes en donde los coeficientes de una misma incógnita sean opuestos.

Método de igualación En este método hay que despejar la incógnita x o y en las dos ecuaciones. Luego se igualan sus valores, obteniendo una ecuación lineal con una sola incógnita.

ECUACIONES CON 2 INCOGNITAS Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común.

En esta ocasión vamos a resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad del tipo ax+by=c, donde a, b, y c son números, y «x» e «y» son las incógnitas.

Una solución es todo par de números que cumple la ecuación.

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CLASE 6 ECUACIONES DE DOS INCÓGNITAS UTILIZANDO GEOGEBRA Como es de esperar, el método gráfico consiste en representar las gráficas asociadas a las ecuaciones del sistema para deducir su solución. La solución del sistema es el punto de intersección entre las gráficas. La razón de ello es que las coordenadas de dicho punto cumplen ambas ecuaciones y, por tanto, es la solución del sistema. Como vamos a trabajar con sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (x e y), la gráfica de cada ecuación es una recta. Como consecuencia, la intersección de las gráficas es un único punto (a, b) y la solución del sistema es x = a e y = b. No obstante, si las rectas son paralelas (no se cortan), el sistema no tiene solución, y si son iguales hay infinitas soluciones. Para poder aplicar el método gráfico debemos saber representar las gráficas de las rectas. Nosotros lo haremos uniendo puntos calculados previamente.

Ejemplo

Resolución: Lo primero que hacemos es despejar la y en ambas ecuaciones.

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Ahora vamos a calcular unos cuantos puntos de las dos funciones para representarlas. Utilizamos, por ejemplo, x = 0 y x = 2. Para la primera función tenemos la tabla

Para la segunda función tenemos la tabla (utilizando los mismos valores para

x):

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Representamos los puntos de las tablas y los unimos:

La solución del sistema es el punto donde las gráficas se cortan: ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS

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CLASE 7 DEFINICIÓN DE ESPACIOS VECTORIALES En álgebra lineal, un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares.

DEFINICIÓN DE OPERACIONES EN UN ESPACIO VECTORIAL En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos. En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

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SUMA RESTA Y PRODUCTO DE VECTORES Suma de vectores Si se suman dos magnitudes escalares, basta con sumar sus valores numéricos. Por ejemplo 10 w más 20 w son 30 w de potencia. Por el contrario, para sumar dos magnitudes vectoriales el proceso es más complejo, pues debemos de tener en cuenta dirección y sentido.

Conociendo las componentes cartesianas de los vectores a sumar, el vector resultante tendrá como componentes cartesianos la suma, eje a eje, de cada vector.

Si queremos sumar dos vectores en 3D y conocemos sus componentes, las componentes del vector suma, aplicando el mismo procedimiento, sería:

Por ejemplo: Vamos a sumar dos vectores en tres dimensiones de los que sabemos sus coordenadas cartesianas:

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(5, 1, 2) serían las coordenadas x, y, z del extremo del vector suma.

El mismo procedimiento serviría para sumar dos vectores en el plano, ejes X e Y.

Otro

procedimiento

para

la

suma

de

vectores

es

el método del

paralelogramo. El método del paralelogramo es un procedimiento gráfico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores.

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1. Primero se dibujan ambos vectores a escala, con el punto de aplicación común.

2. Seguidamente, se completa un paralelogramo, dibujando dos segmentos paralelos a ellos.

3. El vector suma resultante ( + ) será la diagonal del paralelogramo con origen común a los dos vectores originales.

El método del triángulo o método cabeza-cola es una variante del método del paralelogramo. Se desplaza el vector extremo del vector +

paralelamente hasta el

. El lado que completa el triángulo es el vector suma (

), cuyo inicio está en el extremo del primer vector

del segundo vector sumando

y su fin en el final

.

Mediante las dos fórmulas equivalentes anteriores, derivadas del teorema del coseno obtenemos el módulo del vector suma.

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Se aplica sobre el ángulo (180° – α), opuesto al lado (

+

) del triángulo.

Como en los ángulos suplementarios se cumple que:

Por ejemplo: Sean dos vectores en un plano de módulos 2 y 3, que forman un ángulo de 60° ¿Cuál es el vector suma?

El vector suma será la diagonal del paralelogramo con origen en el punto de aplicación de ambos vectores, o, lo que es lo mismo, el lado que completa el triángulo con el método cabeza-cola. El módulo del vector suma será:

Resta de vectores ANUNCIOS

Se procede igual que en la suma, bien operando con las componentes cartesianas, o bien mediante el método del paralelogramo.

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Sabiendo los componentes cartesianos de los vectores, restaremos los componentes cartesianos del segundo vector de los del primero:

Por ejemplo: Sean los vectores

=(2, -3, 4) y el vector

=(3, 4, -2):

(-1, -7, 6) serían las coordenadas x, y, z del extremo del vector resta.

El mismo procedimiento serviría para restar dos vectores en el plano, de ejes x e y.

Otro procedimiento para la resta de vectores es el método gráfico. Ahora, con el método del paralelogramo tendremos que poner en el punto de aplicación del primer vector el punto de aplicación del vector opuesto. En otras palabras, la resta de dos vectores equivale a sumarle al primero el opuesto del segundo:

Gráficamente, y tomando la resta de los mismos vectores que los del caso de la suma por el método gráfico del ejemplo anterior:

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Vemos que la fórmula para hallar el módulo del vector resta es la misma que la del vector suma, teniendo en cuenta que ahora el ángulo que forman los vectores es el suplementario (ver ángulos suplementarios) del tomado en la suma.

En este ejemplo concreto, el módulo del vector resta seria 2,65. (Ver el teorema del coseno) Al igual que en la suma de vectores, en la resta tenemos los procedimientos gráficos del paralelogramo y el del triángulo o cabeza-cola.

Vemos en las figuras cómo cambia el sentido cuando se invierte el orden de los términos de la resta.

En las figuras se han superpuesto el método del paralelogramo en la suma con el de cabeza-cola para la resta.

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CLASE 8 PRODUCTO DE VECTORES En matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene.

MAGNITUD DE VECTORES La magnitud de un vector

es la distancia entre el punto inicial P y el punto

final Q . En símbolos la magnitud de

es escrita como

.

Si las coordenadas del punto inicial y del punto final de un vector están dadas, la fórmula de la distancia puede ser usada para encontrar su magnitud.

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CLASE 9 ANGULO ENTRE DOS VECTORES

En otras palabras, el ángulo entre dos vectores es el ángulo que se forma cuando dos vectores se multiplican.

Dos vectores formarán un ángulo cuando ambos se estén multiplicando, es decir, cuando multipliquemos vectores los estaremos uniendo en un punto en común tal que formarán un ángulo.

Fórmula

Sean dos vectores de 3 dimensiones:

Dos vectores

Ambos formaran un ángulo si hacemos el producto escalar:

Fórmula del producto escalar

Producto escalar (geométrico)

El proceso de pasar de dos vectores a tener un ángulo sería el siguiente:

Dos vectores forman un ángulo a partir del producto escalar

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Para obtener el ángulo que se forma del producto escalar de dos vectores se debería aislar el coseno y luego hacer el arcoseno y encontrar alpha (el ángulo).

PRODUCTO ESCALAR Y PROYECCIONES EN R2 El cálculo del producto escalar de estos dos vectores se simplifica cuando estos son perpendiculares o paralelos entre si: • •

Si son perpediculares, el ángulo forma 90º y el producto es 0 Si son paralelos, tenemos dos posibilidades: o Si tienen el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos o Si NO tiene el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos añadiéndole el signo negativo.

CÁLCULO DEL ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES Y VECTORES PARALELOS A partir de esta igualdad, podemos conseguir la fórmula que nos servirá para encontrar directamente el ángulo que forman dos vectores: El coseno del ángulo que forman dos vectores es igual al producto escalar entre los dos vectores dividido por el producto de los módulos de los dos vectores.

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CLASE 10 DEFINICIÓN DE ESPACIO R3 La determinación de un punto en el espacio euclidiano se puede realizar por medio de un sistema de coordenadasque consta de tres rectas, usualmente perpendiculares dos a dos, que concurren en un punto (origen) de modosimilar a las líneas que confluyen en un rincón de una habitación normal. Es usual también designar a estas rectascon los nombres de: eje x , eje y , eje z . En cada uno de estos ejes se define un sistema de coordenadas abscisascuyas unidades de medida son congruentes, a menos que se advierta lo contrario.

PRODUCTO ESCALAR Y PROYECCIONES EN R3 Ejemplo

Hallar ⃗u.⃗vu→.v→ para ⃗u=(0,0,1),⃗v=(0,3,–3)u→=(0,0,1),v→=(0,3,–3) Resolución

Hagamos una gráfica para visualizar el ángulo entre los dos vectores:

Calculemos los módulos de ⃗uu→. y ⃗vv→:

∥⃗u∥=1‖u→‖=1 ∥⃗v∥=√ 32+(–3)2 =√ 18 =3√ 2 ‖v→‖=32+(–3)2=18=32 24

A partir del gráfico podemos determinar que el ángulo entre los vectores es θ=135∘θ=135∘, o en radianes: θ=34πθ=34π.

Calculemos el producto escalar:

⃗u.⃗v=1.√ 18 .cos(135∘)=3√ 2 .(–√ 2 2)=–3u→.v→=1.18.cos⁡(135∘)=32.(– 22)=–3 Pero no siempre es tan sencillo. Consideremos los vectores:

⃗u=(–3,5,8),⃗v=(1,1,1)u→=(–3,5,8),v→=(1,1,1) Si quisiéramos calcular el producto escalar entre ⃗uu→ y ⃗vv→, deberíamos conocer el ángulo comprendido entre dichos vectores.

Usando el teorema del coseno se puede deducir otra fórmula para calcular el producto escalar en función de las componentes de los vectores.

Sean ⃗u=(ux,uy,uz),⃗v=(vx,vy,vz)∈R3u→=(ux,uy,uz),v→=(vx,vy,vz)∈R3, entonces:

⃗u.⃗v=uxvx+uyvy+uzvz[2]u→.v→=uxvx+uyvy+uzvz[2] Para los vectores dados, resulta:

⃗u.⃗v=(–3).1+5.1+8.1=10

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CLASE 11 DEFINICION PRODUCTO ESCALAR Y PROYECCIONES EN R3

el producto escalar, también conocido como producto interno o producto punto, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual dimensión (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número.

Algebraicamente, el producto punto es la suma de los productos de las correspondientes entradas en dos secuencias de números. Geométricamente, es el producto de dos magnitudes euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. El nombre del producto punto se deriva del símbolo que se utiliza para denotar esta operación. El nombre alternativo de producto escalar enfatiza el hecho de que el resultado es un escalar en lugar de un vector (en el caso de espacios de tres dimensiones)

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DEFINICION APLICACIONES DEL PRODUCTO CRUZ El producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Estas propiedades se prueban mediante las propiedades de los determinantes.

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DEFINICION CÁLCULO DEL ÁREA DE UN PARALELOGRAMO EN R3 El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura.

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SEMANA 12 DEFINISION BASES En álgebra lineal, una base B de un espacio vectorial V sobre un campo K es un subconjunto de V y cumple las siguientes condiciones:

Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V. Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente.

Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base B (es decir, B es un sistema generador V)

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DEFINICION DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

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DEFINICION DIMENSIÓN DE VECTORES DE COORDENADAS. El vector en Rn cuyas componentes son los coeficientes de v, expresado como [v]S , se llama vector de coordenadas o vector coordenado de v con respecto a S: ... Teniendo disponible una gráfica a veces es posible determinar con relativa facilidad los vectores de coordendas

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CLASE 13 DEFINICION DIMENSIÓN DE VECTORES POR COMPONENTES.

Cada vector está formado por componentes y la cantidad de componentes determina la dimensión del vector. Por ejemplo (1, 2) es un vector que tiene dos dimensiones, mientras que (1, 3, 4) es un vector que contiene tres.

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DEFINICION TEOREMA DEL RANGO UN NULIDAD En matemáticas, el teorema rango–nulidad es un teorema en álgebra lineal, que dice que la dimensión del dominio de una transformación lineal es la suma de su rango (dimensión de su imagen) y su nulidad (la dimensión de su kernel).

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CONCLUSIONES Las diferentes formas de resolución nos llevo a un enfoque mucho más amplio de la resolución del determinante de una matriz, ya que cada una de ellas podía ser utilizadas en las otras ya que en el método de cofactores se usa mucho la resolución de el determinante de las matrices de 2 x 2, las permutaciones cuando queremos transformar una matriz a una triangular superior o inferior para la resolución de el determinante por medio de el producto de la diagonal.

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BIBLIOGRAFÍA • • •

Lay, David c. ALGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES Pearson. Tercera edición.

México, 2007 Boucheron Luc Bramaud. ALGEBRA LINEAL INTERACTIVA. Mc Graw Hill.

Segunda edición. Venezuela, 1995.

Grossman, Stanley I. ALGEBRA LINEAL. Mc Graw Hill. Quinta edición. México, 1996.

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