CAPÍTULO
II
CÁLCULO VECTORIAL *.
SISTEMAS DE REFERENCIA A) ALGEBRA VECTORIAL FORMULARIO Diversas formas de expresar
un vector en función de sus componentes v (x, y, z)
v=X+Y+Z Módulo y cosenos
coordenadas:
v = xi + yj + zk
z
directores:
x cosa=v
z
cosy=- v
cosfJ=l!.. v
COS2 a + COS2 fJ +
1\
COS2
y= 1
y
n
Suma de vectores: VI
= Xl
oo.
+ vn= 1=1 I. V, x = Xl
s=X+Y+Z
.....................
de un escalar
escalar
v3 +
+ Yl + Zl
=X2 + Y2+ Z2 .....................
Vectores unitarios: Producto
+ V2 +
V2
siendo:
Producto
S = VI
+ X2 + oo. + xn
Y=Yl+Y2+"'+Yn
=
I.
XI
=I.YI
z = zl + z2 + oo.+ zn = I. Zl ab=a
por un vector: es un vector:
de dos vectores: v(x,y,z)
=>
v' (x', y', Z/)
a=ab
V u=-= v
Son los que tienen de módulo uno:
-+ V
3v
xi+yj+zk
.
~X2+y2+z2
Multiplicacióndel vector escales3 y-3.
v
de dos vectores:
V
. v' = xx' + yy' + zz'
Es un vector:
En función de las componentes de los vectores:
A
= V X V'
A = VV' sen
I{J
V X v' =
Ix
j y
x'
y'
k z Z'
Producto escalar de dos vectores.
= vh
A
Propiedades: a) Goza de las propiedades anticonmutativa y distributiva. b) Si dos vectores son paralelos su producto vectorial es nulo.
.
Producto vectoría!.
mixto: Es un escalar cuyo valor es el volumen del paralelepípedo que tiene los tres vectores como lados.
V=a'~x~ Propiedad:
V=a.~x~=c.~x~=b.~x~
Los problemas referentes a operadores
los
V' v' = vv' cos I{J= v proyv V'
lo que nos indica que el módulo es el área del paralelogramo que tiene V y V' como lados.
Producto
por
I
Propiedades: a) Goza de las propiedades conmutativa y distributiva. b) Si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero. c) Si dos vectores tienen la misma dirección y sentido su producto escalar es igual al producto de sus módulos. vectorial
..
-3v
Es un escalar:
en función de las componentes de los vectores:
Producto
Componentes coordenadas de un vector. Vectoresunitarios en los ejes coordenadas.
(grad, rot, div, etc.) se verán en Teoríade Campos (~pítulo VII).