Factorización 2

Factorización Para otros usos de este término, véase Factorización (desambiguación).

En matemáticas, la factorización (o factoreo) es la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de multiplicación. Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA. FORMA DE DISTINGUIR LOS CASOS DE FACTORIZACIÓ monomio (2 terminos) FACTOR COMÚN METODO: 1) Identificar la letra o letras comunes 2) Extraer la letra o letras comunes, con su menor exponente presente En caso de tener coeficientes numéricos se 3) Sacar el m.c.d. de todos los coeficientes.

4) Los factores extraídos se reunirán para efectuar la multiplicación que permita reproducir la expresión original.

5) Comprobar que la factorización este realizada correctamente al efectuar el producto, debiéndose de reproducir la expresión original.

EJEMPLO 1 : FACTORIZAR 12 a2b3c 8 a4b5c + 4 a3b2e 1) a , b 2) a2 , b2 3) MCD=4 4) 4 a2b2 ( _____) 5) 4 a2b2 ( 3bc 2 a2b3c + ae ) = 12 a2b3c 8 a4b5c + 4 a3b2e / DIFERENCIA DE CUADRADOS METODO: 1) Identificar que existan dos términos 2) Verificar que ambos se estén restando 3) Extraer raíz cuadrada a ambos términos 4) Formar una diferencia con las raíces obtenidas 5) Multiplicar la diferencia obtenida por las mismas raíces en una suma.

6) comprobar.

Ejemplo. Factorizar: 4x2 16 1) si existen dos términos 2) si se están restando 3) ambos tienen raíz cuadrada 4) ( 2x -4 ) 5) ( 2x -4 ) ( 2x + 4 ) 6) ( 2x -4 ) ( 2x + 4 ) = (2x-4) (2x+4) / TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.C.P) 1) Verificar que existan tres términos.

2) Si es necesario, Ordenarlos.

3) Obtener raíz cuadrada del 1º y 3º de los términos.

4) Multiplicar las dos raíces obtenidas por dos (2) 5) Comparar el producto obtenido con el termino de la mitad, si son iguales estamos ante un t.c.p.

6) Formar un binomio con las raíces obtenidas 7) Colocar al binomio, el signo del término lineal, elevándolo al cuadrado.

8) comprobar.

Ejemplo. Factorizar: 4 + 4x2 + 8x 1) si existen tres términos 2) 4x2 + 8x + 4 3) 4) 2(2x)(2) = 8x 5) es identico al termino lineal entonces es t.c.p 6, 7, 8) / TRINOMIO DE LA FORMA 1) Verificar que sea trinomio 2) Si es necesario, Ordenar el trinomio 3) Obtener la raíz cuadrada del primer término.

4) Colocar la raíz obtenida como primer término de dos factores binomios.

5) El signo de unión del primer binomio será el del término lineal (el de la mitad) 6) El signo de unión del segundo binomio será el que resulte de multiplicar el signo del lineal por el del independiente.

7) Observar si los signos de ambos binomios son iguales o diferentes 8) Si los signos son: A) iguales.: entonces se hará una suma con dos números que reproduzcan el coeficiente del término lineal y cuyo producto sea igual al termino independiente B) diferentes: entonces se hará una resta con dos números que reproduzcan el coeficiente del término lineal y cuyo producto sea igual al término Independiente.

9) El mayor de los números será el primero en colocarse y en el segundo binomio se colocara el menor de los números 10) comprobar Ejemplo 1 : factorizar 5x + 6 + x2 1) si es trinomio

2) x2 + 5x + 6 3) 4) ( x ) ( x ) 5) ( x + ) 6) (x + ) ( x + ) 7) son signos iguales 8) ( ) ( ) = 6 ; ( ) + ( ) = 5 esos números son 3 y 2 9) ( x + 3 ) ( x + 2 ) = 10) (x + 3) ( x + 2 ) = x2 + 2x + 3x + 6 = x2 + 5x + 6 / TRINOMIO DE LA FORMA ?????? ?? ???? ?? ??

Método: 1) Verificar que sea trinomio 2) Si es necesario, Ordenar el trinomio 3) Multiplicar el término cuadrático y el independiente por el coeficiente del término cuadrático 4) Obtener la raíz cuadrada del primer término 5) Colocar la raíz obtenida como primer término de dos factores binomios 6) El signo de unión del primer binomio será el del término lineal 7) El signo de unión del segundo binomio será el que resulte de multiplicar el signo del término lineal por el del término independiente 8) Observar si los signos de ambos binomios son iguales o diferentes 9) si los signos son: A) iguales: se hará una suma con dos números que reproduzcan el coeficiente del término lineal y cuyo producto sea igual al termino independiente.

B) diferentes: se hará una suma con dos números que reproduzcan el coeficiente del término lineal y cuyo producto sea igual al termino independiente 10) el mayor de los números encontrados será el primero en colocarse y en el siguiente binomio se colocara el menor 11) los factores binomios se dividirán entre la cantidad por la que se multiplico originalmente y se simplificara la expresión.

12) se procede a eliminar el divisor anotado, simplificando.

13) comprobar Ejemplo. Factorizar 7x + 6 x2 3 1) si es trinomio 2) 6x2 + 7x - 3 3) 6 ( 6x2 ) + 7x - 6(3) 4) 5) ( 6x ) (6x ) 6) (6x + ) (6x ) 7) (6x + ) (6x - ) 8) son signos diferentes 9) ( ) ( ) = 18 ; ( ) ( ) = 7 esos números son 9 y 2 10) ( 6x + 9 ) ( 6x 2 ) 11) 12) ( 2x + 3 ) (3x 1) 13) ( 2x + 3 ) (3x 1) = 6x2 -2x + 9x -3 = 6x2 + 7x -3

/ Factor común compuesto Método: 1) Forme grupos de términos si tienen un factor común en los coeficientes o una letra común. (parejas, tríos, cuartetos, etc. Pero deben ser todos parejas o todos tríos o todos cuartetos, y así sucesivamente, sin que sobren términos) 2) Aplique la estrategia de factor común cada grupo.

3) Aplique la estrategia de factor común otra vez, pero en todo el polinomio.