Ecuaciones lineales y funciones

ECUACIONES LINEALES Y FUNCIONES

MATEMÁTICAS PROFESOR: ING. ARNALDO ANTONIO ANDRADE URQUIZA

INTEGRANTES: ERICK VELASTEGUI, ANTHONY MONTEROS, JOSE BAZARAN

Índice

Ecuaciones lineales con m incógnitas…………………………………………………2 Sistemas de Ecuaciones Lineales……………………………………………………...4 Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneas………………………………………..4 Regla de Cramer………………………………………………………………………5 Funciones……………………………………………………………………………...7 Dominio y Rango……………………………………………………………………..8 Tipos de Funciones……………………………………………………………………9 Función Inyectiva…………………………………………………………………….9 Función Sobreyectiva………………………..……………………………………….10 Función Par…………………………………………………………………………..10 Función Impar……………………………………………………………………......10 Función Periódica…………………………………………………………………….11 Función Acotada……………………………………………………………………..11 Asíntota de una Función……………………………………………………………..12 Función definida por tramos…………………………………………………………12

Ecuaciones Lineales con M incógnitas Es un conjunto de ecuaciones lineales que son verificadas simultáneamente.

Uno de los métodos que más se usan para resolver este tipo de sistemas es el llamado método de reducción por renglones o método de Gauss-Jordán. Consiste en la eliminación sucesiva de incógnitas de acuerdo con el esquema siguiente: Para resolver el sistema:

Se escribe la matriz ampliada del sistema:

La raya vertical separa los coeficientes del sistema, a la izquierda, y los términos independientes a la derecha.

Sobre esta matriz se realizan las operaciones elementales por renglones con el objetivo de llegar a una matriz en la forma escalonada reducida por renglones. ¿Qué nos permite hacer?

1. Intercambiar renglones. Que equivale a intercambiar ecuaciones.

2. Multiplicar un renglón por una constante. Equivalente a multiplicar una ecuación por una constante.

3. Agregar a un renglón otro renglón multiplicado por una constante. Equivalente a sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Cada vez que se aplica a la matriz aumentada una operación elemental sobre renglones, se obtiene una matriz ampliada de un sistema equivalente al inicial.

Ejemplo

Su matriz ampliada es:

Al segundo renglón le restamos el triple del primero

Y al tercer renglón le restamos cuatro veces el primero:

Estos resultados se sustituyen en la matriz ampliada

El segundo renglón lo dividimos entre - 5 para obtener

Al primer renglón le restamos el doble del segundo, y al tercer renglón le sumamos el triple del segundo, verifique el lector las operaciones:

Si multiplicamos el tercer renglón por

Finalmente sumando al primer renglón

tendremos

del tercero, y restando al segundo

del tercero, se tiene:

Solución:

Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL) Es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

Ejemplo: Resuelve el sistema de ecuaciones:

Solución: Multiplicando la segunda ecuación por 2, obtenemos:

Sumando ambas ecuaciones, para eliminar una de las variables, se obtiene: Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales, por ejemplo en la segunda, tenemos: Por lo tanto la solución del sistema es el punto de coordenadas (3, 2).

Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneas Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas es un sistema de la forma Ax = 0, esto es, con columna de constantes nula Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneas:

Solución: La columna de constantes es nula y sigue siendo nula al aplicar operaciones elementales. Por eso no es necesario escribir la matriz aumentada, es suficiente trabajar con la matriz de coeficientes.

Por ser un sistema de ecuaciones lineales homogéneas, el sistema es compatible. Como r = 2 y n = 4, es compatible indeterminado. Tenemos n − r = 2 variables libres. Los pivotes están en las columnas 1 y 2, por eso expresamos x1 y x2 a través de las variables x3 y x4:

Solución general:

Notemos que la solución general se puede expandir en una combinación lineal de dos vectores constantes:

Se dice que los vectores Son soluciones que hacer la hacemos en forma

básicas de este sistema de ecuaciones. Hay comprobación para los vectores V1 y V2. La matricial:

Regla de Cramer Es un teorema que se aplica en álgebra lineal. Es de utilidad cuando se buscan resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Esta regla es aplicada en sistemas que tengan como condición que el número de ecuaciones equivalga al número de incógnitas y que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero. Si dichas condiciones se cumplen en un sistema, llamaremos a este, sistema de Cramer.

Para calcular este tipo de sistemas en necesario seguir determinados pasos: 1. Debemos hallar la matriz ampliada, la cual está asociada al sistema de ecuaciones.

Esto quiere decir que la primera columna estará formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones.

2.

Por otro lado la segunda columna estará formada por los coeficientes de la segunda incógnita De esta forma llegaremos a la última de las columnas que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

3.

Luego de realizado esto podemos proceder a calcular el determinante de A.

Aplicamos luego la regla de Cramer que consiste en primer lugar en ir sustituyendo la primera columna del det(A) por los términos independientes

4. Luego se dividirán los resultados de dicho determinante entre el det (A) para hallar así el valor de la incógnita primera Si continuamos sustituyendo los términos independientes en las diferentes columnas terminaremos hallando las incógnitas restantes.

Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones lineales que se compone de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Hallaremos los valores de x e y, utilizando la regla de Cramer. Comenzaremos este proceso con el primer paso dicho previamente, en el cual debemos hallar la matriz ampliada.

El siguiente paso es el de calcular el determinante de A. Entonces tendremos lo siguiente:

Finalmente el tercer pasó consiste en calcular las incógnitas

Funciones Una función de una variable real de x en y es una regla de correspondencia que asocia cada elemento de x con un único elemento de y

Funciones

Están divididas en

Se pueden

Clases

Clasificar

Como

Que pueden ser

Creciente y Decreciente

También en

Pares e Impares

Y

Simétricas

Lineales

Igualmente

De valor Absoluto

Y

Parte Entera

Como también

Cuadráticas

Donde tenemos

Polinómicas

Y

Exponencial y Logarítmica

Dominio y Rango de una Función Una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que a cada número del conjunto de partida le corresponde una sola imagen del conjunto de llegada.

El dominio y el rango de una función están normalmente limitados por la naturaleza de la relación. Por ejemplo, considera la función de tiempo y altura que ocurre cuando lanzas una pelota al aire y luego la atrapas. El tiempo es la entrada, la altura es la salida. El dominio es cada valor de tiempo durante el lanzamiento, e inicia desde el instante en que la pelota abandona tu mano hasta el instante que la pelota regresa a ella. El tiempo antes de que la lances y el tiempo después de que la atrapas es irrelevante, ya que la función sólo aplica para la duración del lanzamiento. Digamos que la pelota estuvo en el aire durante 10 segundos — en ese caso, el dominio es 0-10 segundos. Ya que el tiempo transcurre continuamente durante éste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.

Rango El rango es cada altura de la pelota mientras está en el aire, e incluye todas las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el punto más alto alcanzado antes que ésta empezara a caer. Si tu mando estaba a 3 pies del suelo cuando aventaste y atrapaste la pelota, y la distancia más alta que alcanzó fue de 12 pies también con respecto al suelo, entonces el rango es de 3-12 pies. Ya que la altura cambia constantemente durante éste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.

Ejemplo de Dominio de la Función Por tanto, para calcular el dominio de una función racional, debemos encontrar los valores que hacen 0 el denominador y quitárselo a R

Esta función existirá siempre, menos cuando el denominador sea igual a 0. Por tanto, debemos encontrar esa restricción que anula al denominador.

Para que exista la función, el denominador debe ser distinto de 0:

Y esta restricción, es una ecuación de primer grado, de donde debemos despejar la x:

Cuando x=1, el denominador será 0. Por tanto, para que exista f(x), x tiene que ser distinto de 1 y ese es el valor que hay que quitarle a R:

El dominio es todo R menos el conjunto formado por el número 1.

Tipos de Funciones Función Inyectiva Si y solo si cualquier recta horizontal intersecta su grafica como máximo en un punto

Función Sobreyectiva Una función fes sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

Función Par Una función par es cualquier función que satisface la relación F(x)=F(-x) y si x es del dominio de f entonces x también.

Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.

I, IV cuadrante se refleja en II y III cuadrante

Función Impar Una función f es impar si para todo x de su dominio de definición se cumple que:

Función Periódica Una función periódica f es una función tal que las imágenes de los valores de x se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo se le llama período y se determina con la letra P.

Función acotada

Se dice F es acotada cuando el rango de la función está contenido en un intervalo limitado

Asíntotas de una Función Se le llama asíntota de la gráfica de una función, a una recta a la que se aproxima continuamente la gráfica de tal función;1 es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente.

O que ambas presentan un comportamiento asintótico

Función definida por tramo Se llaman de esta manera porque tienen una definición diferente en cada tramo en el que están definidas.