Новые идеи в математике 1913 год

Н

О

В

В

Ъ

Ы

Я

М

П

И

Т

Д

Е И

Е М

Я

Т

И

К

Ъ

.

Н е П Е Р Ю Д И Ч Е С К О Е ИЗДАН1Е, В ЫХ О ДЯ ЩЕ Е ПОДЪ РЕ ДАК Ц1 ЕЙ

ЗАСЛУЖЕННОГО ПРОФЕССОРА Я. В. ВАСИЛЬЕВА.

С Б ОР П ИК Ъ ПЕРВЫЙ.

MRTEMRTMKR. МЕТОДЪ. ПРОБЛЕМЫ И ЗНАЧЕН1Е ЕЯ.

Книгоиздательство „ОБРАЗОВАН1Е“. СПБ.

1913.

тип.- лит. « ЭНЕРГШ », СПБ., ЗАГОРОДИ. П Р ., 17.

ОГЛАВЛЕШЕ. ......

Предислов1е . . . . . . . .

Стр.

...................................................

I

В. ВУНДТЪ. Общее учеше о математическомъ методЪ. Перевелъ П. С. Юшкевичъ...................................

1

Г. ГРАССМАНЪ. Чистая математика и учеше о протя­ женности. Перевелъ П. С. Юшкевичъ.............................. 65 БЕРТРАНЪ РЕССЕЛЬ. Нов%йиля работы о началахъ математики. Перевелъ А. В ..................................... .

84

АЛЬФРЕДЪ ПРИНСГЕЙМЪ. Ценность и мнимая нецЬнность математики. Перевелъ Г. А. Котляръ . . . 106

Предислов1е. Въ отчет1! о работах* Гильберта, представленномъ Казанскому Физико-Математическому Обществу въ 1904 г., покойный гешальный Пуанкаре со свойственною ему ясностью сжато охарактеризовалъ тотъ переворота, кото­ рый былъ произведенъ работами Лобачевскаго въ геометрш з геометрическим* представлешемъ комплексныхъ чи­ селъ и введешемъ чиселъ гиперъ-комплексныхъ въ ариеметике, идеями Георга Кантора въ ученш о безконечноболыпомъ и безконечно-маломъ. Благодаря этимъ открытаямъ, въ общш комплексъ математическихъ доктрин* не только вошли новыя области—неевклидова геометр!я, учеше о протяженностяхъ, учете о множествахъ; изме­ няется и взглядъ на сущность и предметъ математики. Во вступительной ргЬчи къ знаменитой Энциклопедш ХУ1П века д’Аламбера и въ первомъ томе Положи­ тельной философш Огюста Конта математика опреде­ ляется какъ у ч ете об* измеренш величин*; для Канта (Критика Чистаго Разума и Пролегомены) чистая мате­ матика есть у ч ете о пространстве и времени. Но когда полученная Лобачевским* система геометрических* поло­ жешй оказалась столь же строго логически обоснованною, столь же свободною отъ противоречий, какъ и система Евклида, геометр1я Евклида явилась лишь частным* слу­ чаем* общаго у ч е л i я о м н о г о о б р а з 1 я х ъ (изучешем* спещальных* групп* непрерывных* преобразо-

II

вашй). Точно также введете гиперъ-комплексныхъ чиселъ съ ихъ причудливыми законами операщй принуждаетъ насъ разсматривать обыкновенную алгебру (алгебру чи­ селъ вещественныхъ и комплексныхъ), какъ частный случай в с е о б щ е й - а л г е б р ы Или у ч е ш я о ф о р ­ м а х ъ (Грассманъ *) и изм!няетъ такимъ образомъ наши взгляды на чистую математику.. Не меньшее влш тб на это изм!неше оказала и созданная Булемъ символиче­ ская логика. Въ 185 4 г. появилось сочинете „Investi­ gation of the laws of thought". Къ обычнымъ законамъ ариеметики присоединяются еще спещалыше законы (iа - \ - а = а, а . а = а, а-\-аЪ — а), и ц!пь формулъ, которая при этомъ получается, является точиымъ отражешемъ всЬхъ возможныхъ комбинащй въ области уче­ ш я о н о ш тях ъ и предложетяхъ. Новая алгебра логики является также частнымъ случаемъ общаго учешя о формахъ. Обобщая дал!е, мы можемъ мечтать и о возможности для каждой области мысли создать такойащ'ориемъ вычислешй, который можетъ облегчать разсуждетя и позво­ ляете заменить ихъ вычислешями. Еще Лейбницъ вид!лъ сущность математики не въ ея предмет!, но въ ея метод!, въ дедуктивномъ (логически необходимомъ) харак­ тер! ея выводовъ и въ употребляемомъ ею символизм!. Все, что доступно точному опред!ленш, можетъ слу­ жить предметомъ такихъ же строго вытекающихъ изъ основныхъ опред!лешй выводовъ, каше въ обыкновенной математик! прилагаются къ числу и величин!. Должна существовать общая наука объ абстрактныхъ отношет я х ъ — всеобщая математика (Mathematica ■universalis). И Лейбницъ мечталъ о возможности свести всякое разсуждеше къ вычиСленш (ratiocinationes in omni argumento ad calculi formam exhibere) и о томъ времени, 4) См. статью Грассмана въ сборник'Ь.

га когда споряшде вместо безполезнаго шума будутъ заме­ нять споръ вычислетемъ (ut alter alteri dicere possit: calculem us'). И современный математикъ видитъ точно также въ математике развит! е всЬхъ типовъ, формальнонеобходимаго, дедуктивнаго разсуждешя, и съ его точки зрйшя „идеал* математики— построить исчислеше, кото­ рое облегчало бы разсуждеше во всехъ тгЬхъ областях* мысли или внешняго опыта, въ которыхъ последователь­ ность мысли или событщ можетъ быть определенно удо­ стоверена или точно установлена“ 2). Но изменешемъ взглядовъ на сущность математики не ограничивается новое движете въ области математи­ ческой мысли. Естественное р а з в и т математическихъ понятш и методовъ— съ одной стороны, поразительные успехи въ области точнаго знашя и развийе философ­ ской мысли— съ другой стороны вызвали какъ постановку новых* математическихъ проблем*, такъ и новые взгляды на проблемы, давно уже интересуюпця математиков*. Хотя один* из* энергичных* толчков* къ движенш и былъ данъ гетальнымъ русскимъ геометромъ, мнойя изъ сторонъ этого движешя остаются еще сравнительно мало известными не только образованному русскому обществу, но и часто и лицамъ, получившимъ спещальное мате­ матическое образоваше. Цель предпринимаемаго издашя и состоитъ въ томъ, чтобы познакомить съ новыми идеями въ области математики и уяснить ихъ связь съ основными доктринами математики въ ряде по возможности доступ­ ных* и представляющихъ общШ интерес* переводных* и оригинальных* статей. Последующее сборники предлог лагается посвятить вопросу объ отношенш чистой мате­ !) См. статью В. Ресселя, помещенную въ настоящемъ сборник-Ь.

2) W hitehead въ предисЛовш къ „Universal Algebra 1898“. См. также его статью „Mathematics" въ новМ шемъ изданш „Ency­ clopaedia Britannica“.

IV

I

матики къ математическому естествознанда— съ одной стороны и къ логик!— съ другой, теорш вероятностей, учеваю о пространств! и времени, аксюмамъ и методамъ геометрш и ариеметики, анализу безконечно-малыхъ, ученда о множествахъ и т. п. Проф. А . В . Васильевъ.

В . Вундтъ ).

Общее учен1е о математическомъ метода. ГЛАВА ПЕРВАЯ. Обиде логичесше методы математики.

1. Задачи математическаго йзсл<Ъдован1я. Какъ и большинство другихъ наукъ, математика возникла изъ практическихъ потребностей. Счетъ предме­ товъ, им'Ьклцихъ ценность, и изм^реше площадей и объемовъ тЬлъ составляли ея первыя— а въ течете долгаго времени и единственная— задачи. Но счетъ и изм'Ьреше переходить въ в'Ьдйше математики собственно лишь тогда, когда ихъ нельзя произвести п р я м ы м ъ о б р а з о м ъ , когда между задачей и ея pinnemeMb при­ ходится ввести вспомогательная логичесшя д'Мств!я. А это, въ свою очередь, происходить только тогда, когда начинаютъ считать и измерять не сами тЬ ц!нныя вещи и величины, о которыхъ идетъ дЬло, а друпя вёличины, находящаяся въ извгЬстныхъ отношеншхъ къ первымъ. Къ такому к о с в е н н о м у изм!решю величинъ, совер­ шаемому лишь съ помощью правилъ математическаго исчислешя, мы обращаемся либо потому, что прямое изм'Ьреше слишкомъ сложно и громоздко, либо потому, что оно вообще невозможно. При прямомъ и зм !рети величинъ мы ограничиваемся прииЗшетемь самаго первопачальнаго ариеметическаго дМсттая— сложешя. Развиие *) Переводъ, еь незначительными сокращетями, первыхъ двухъ главъ второго отдела второго тома\ „Логика” Вундта. (3 изд.; 1907 г.). НОВЫЯ ИДЕИ ВЪ МАТЕМАТИК*, СВ. I.

1

2

В.

ВУ Н Д ТЪ .

же прочих/ь ироетыхъ ариеметическихъ д'Ьйствзй целикомъ связано съ задачами косвеннаго измерешя величинъ. Такъ, наприм^ръ, производя вычиташе, мы получаемъ м^ру какой-нибудь величины темъ, что оиред'Ьляемъ ее, какъ разницу двухъ другихъ, прямо измеренных*, вели­ чинъ. Въ этомъ смысле можно сказал,;, что математика началась въ тотъ моментъ, когда человеческий духъ под­ нялся надъ ступенью сложешя. Три простыхъ дейотая, непосредственно примыкающихъ къ нему, являются— въ качестве простейшихъ случаев* косвеннаго измерешя величинъ— въ то же время теми источниками, изъ Ко­ торых'], произошли все npo4ie математичесше методы. Безъ проблемы косвеннаго измерешя величинъ ни­ когда бы не' развилось математическое мышлеше. Но это не значить вовсе, что научная задача математики исчерпывающимъ образомъ определяется этой проблемой. Уже Платонъ поставилъ ариеметикЬ и геометрш иныя цели, помимо практическаго искусства счета и измерешя. А задолго до него въ культе чиселъ, такъ отличавшемъ пиеагорейскую школу, обнаруживается уже смутное сознаше той истины, что объекты математики представляют* сами по себе научный интерес*. IfcwpiH оправдала это предвидеше: въ настоящее время существуют* целыя отрасли, математическихъ изследованш, не имеющихъ никакого отношешя къ измерешю величинъ. Въ пробле­ мах* теорди чиселъ,, теорш функцш, проективной гео­ метрш и т. д. дело идетъ всегда лишь объ устано­ влен ^ свойствъ понятш и ихъ отношенш; действительное же измереше величинъ является, въ лучшем* случае, чемъ-то побочнымъ и второстепеннымъ. Такимъ образомъ не это измереше является настоящей целью математики. Математика ставить себе гораздо более общую задачу, а именно, она желаетъ и с ч е р п ы в а ю щ и м * о б р а з ом ъ н аследовать все свойства й взаи м н ы я отно­ шения к а к ъ м ы с л и м ы х * - о б р а з о в а н ^ ч и с т а г о

ОВГЦЕЕ УЧЕНГЕ О -МАТЕМАТИЧЕСКОМ?-) .М ЕТОД*.

3

нагляднаго представлеш я, такъ и формаль­ ныхъ п о с т р о е ш й изъ понят1й (Begriffskons t r u k t i o n e n ) , п р о и з в о д й м ы х ъ на о с н о в а ш н ч и с т а г о н а г л я д н а г о п р е д с т а в л е н ! я. Бол'Ье сознательное понимаше этой задачи про­ изошло постепенно, при чемъ оно оказало известное вл1яше на расчленеше математики. Пока продолжали действовать практичесше мотивы искусства счета и изме~ решя, главными отраслями ея оставались а р и е м е т и к а и г е о м е т р i ff. Многочисленныя отношешя между этими науками, выражавпйяся то в ъ . геометрпческомъ представленш ариометическихъ теоремь, то въ ариеметическомъ прим'Ьнеши геометрическихъ результатовъ, привели подъ конецъ къ мысли объ у ч е н i и о в е л и ч и н а х ъ у к а к ъ некоторой общей дисциплине, предпосылки которой должны охватить и численныя и пространственныя вели­ чины. Въ алгебраическомъ изслЬдованш уравнены эта наука отлилась въ форму, въ которой преобладающая роль принадлежала на первыхъ порахъ ариеметической точке зр^шя. Открытае Декартомъ аналитической гео­ метрш придало ей более общее значеше. Но открытае это повело въ то же время— в с л е д е т е все усиливавшейся потребности въ численномъ измереши непрерывныхъ пространственныхъ величинъ— къ расширенно понятая числа. Благодаря этому понятае числа постепенно сов­ пало целикомъ съ самимъ понятаемъ величины, такъ что Пьютонъ могъ уже обозначить область тогдашней ал­ гебры назвашемъ „Arithmetica universalis". Современное выражеше а н а л и s ъ (не имеющее— надо это помнить— отношешя къ аналитическому методу логики) охватываетъ во всемъ ея объеме эту наиболее общую дисциплину математики, выросшую постепенно изъ алгебры арабскихъ математиковъ. Благодаря указанному выше расширенно понятая числа, ариеметика образуетъ лишь ветвь анализа. Но по мере того, какъ старая ариеметика теряла свою

4

В.

ВУ Н Д ТЪ .

самостоятельность, стала ощущаться потребность въ изученщ превращешй самого понятая числа, равно какъ и общихъ свойствъ его. Такъ возникла современная т е о р д я ч и с е л ъ # та область чистой математики, кото­ рая особенно далека отъ практическим) щшлгТ;1шп1 й и реалъныхъ измеренш величинъ, хотя опа-то именно и занимается теми элементами, , къ которым® сводится въ конце концов'1. всякое измереше. По еравненш съ этимъ преобразовашемъ старой ариометнки геомётрш въ целомъ бол!;е удалось сохранить свой первоначальный облйкъ, поскольку она не подчинила Тйебе анализа или не подчи­ нилась ему. Но и здесь: появились попытки аналогичлаго расширешя объекта теометрш, хотя все-таки суп|ествецныя черты ея сохранились^ отвлекаясь отъ вИ;хъ прочихъ свойствъ пространства, помимо; непрерывной протяжен­ ности, возвели надъ конкректнымъ учетемъ о простран­ стве более универсальное у чен i о о п р о т я ж е н ­ н о с т и х). Отсюда оставался уже только одинъ шагъ къ тому, чтобы устранить изъ верховнаго понятая эле­ мент!. непрерывности и начать разсматривать учещё о протяженности и о числахъ, какъ области, входяяця, наряду съ другими мыслимыми построен in ми изъ понятай, въ • абстрактное у ч е н i е о м н о г б о б р а s i я х щ или у ч е н i е о ф о р м а х ъ 2). Это последнее раёширеше понятая ведетъ къ установлен!к» самой всеобщей матема­ тической дисциплины;: отдельны® математичесюя науки можно принять все за частныя отрасли ея; поэтому и ’) Н. G v i r t s m а и п. Die AasdehnuBgdeHri von 1844 oder die linealeA usdehnungslehre ein neuer Zwejg dor Mathematik". 1878.

2) Bbipawiciiio „учеше о многообра;ш1х ъ “ ввелъ впервые Римашп>, вы ражете „уч ет е о формахъ" Граесманиъ. В. H i e m a i i n , Gesammelte math emati sell е AVei-ke. 1876,' стр .. 225. G т a s s in a 11 n, Ausdelmungslelire,cTp. 1 и ел. Впроч<‘>гь—Грасемашгь ввелъ нг. свое у ч е т е о лротюксшюсти также ш)с.тТ;д<>тшшо чиселъ, |>а:п-матриш1я числа, какъ „протяженный величины нулевой ступени<•. какъ точки) (цит. ст. стр. 107). Gp. мою System der. PMpswpble?, I, стр. 13 в ся. и. статью о классы фик а 1Щ1 наук-ь, I‘hi iо^<«| >livt5C-.luv Siudien. V. <-.тр. 34 и сл.

ОБЩЕЕ УЧЕНШ О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

5

надач у математики въ ея наиболее общей форме сле~ дуетъ искать въ содержанш этой универсальнейшей дисциплины. Оба употребленный выше выражешя раскрываютъ передъ нами это содержаше въ различной форме, указывая на д в а требовашя^которыя должны быть удо­ влетворены объектами математическаго изслЬдовашя. Первое изъ указываемыхъ требованш-адто наличность некотораго м н о г о о б р а з 1 я свя'занныхъ между собой объектовъ мышлешя, второе— чисто формальный снособъ разсмотрешя, т. е. такой способъ разсмотрешя, при которомъ изучаются исключительно взаимныя отношешя объектовъ мышлетя, а не ихъ собственныя конкретныя свойства. Въ этомъ наиболее широкомъ смысле матема­ тика обнимаетъ и формальную часть логики, которая поэтому можетъ быть цЬликомъ подчинена математиче­ скому алгориему. Такъ какъ далее все данное намъ въ опыте можетъ быть сведено къ отношешямъ многообразныхъ объектовъ мышлешя, то всякая опытная наука доступна сама по себе формальному или математическому методу разсмотрешя. При этомъ, разумеется, отъ внешнихъ условш зависитъ то, применимо ли, и въ какомъ объеме применимо, это математическое разсмотреше. Но сама математика за то нисколько не ограничена изследовашемъ техъ формальныхъ отношенШ, которыя она находитъ въ действительности въ объектахъ опыта: она мо­ жетъ свободно и по произволу расширять или суживать данныя въ,опы те отношешя. Такъ какъ она предста­ вляется чисто логической наукой, то границы ея зависятъ лишь отъ формальной исполнимости техъ операцш мышлешя, которыхъ требуютъ определенный предпосылки. Но, разумеется, эти предпосылки должны опираться на эмпирически данныя отношешя действительных^' объек­ товъ; оне не могутъ быть чистыми новообразовашями, а лишь произвольными изменешями данныхъ отношенШ. Поэтому-то толчекъ развитш математическихъ методовъ

6

В.

ВУН ДТЪ .

дали почти исключительно тгЬ проблемы, которыя встали иередъ мышлен!емъ, какъ продукты многообразныхъ от­ ношение объектовъ опыта. Въ частности можно показать, что ве£ основные математичесгае методы возникли изъ опред'Ьленныхъ задачъ "'счета или изм/Ьретл, на которыя наталкивали или потребности практической жизни или проблемы естествознашя. Такъ дв! главныя отрасли прежней математики;— ариеметика и геометр1я— обязаны своимъ обособлешемъ другъ отъ друга и самостоятельнымъ развипемъ т4мъ различнымъ требовашямъ, которыя были предъявлены искусству -ечислешя, съ одной стороны, торговлей, съ другой— задачами землем'Ьрнаго дгЬла. ЗдгЬсь, благодаря счастливой случайности, вн'Ьшшя потребности, давппя первый толчекъ математик!, совпали съ г&мъ естественнымъ раздклешемъ проблемъ, которое им/Ьетъ своимъ источиикомъ разлише самихъ основныхъ математнческихъ ионятш. Прерывное число и непрерывная протяженность остались и до сихъ поръ полярнМшими п о н я т и и ма­ тематики, несмотря на бол!е чймъ двухтысяче-тЬття попытки сближешя ихъ. Каждое практически пригодное измйрете должно дать численный результата; но непре­ рывная величина только въ исключительныхъ случаяхъ выражается въ ц’Ьлыхъ числахъ. Эта трудность была бы остро почувствована уже и раньше, еели бы то самое различ1е понятШ, которое повело за собой первое раз­ д а е т е областей математики, не повело и къ различж математнческихъ дарованш, мешавшему бол^е глубокому понимашю положешя вещей. Греки любили изображать числовыя отношешя пространственнымъ образомъ и по­ этому прибегали безъ всякихъ колебанш повсюду, гд! число отказывалось служить, къ геометрическому созерцанйо. Наоборотъ, индуссще математики въ т!хъ слу­ чаяхъ, когда нельзя было прямо применить обычныхъ ариеметическихъ д,Ьйств1й къ геометрическймъ объектамъ,

ОЁЩЕЕ УЧЕШ Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

7

доволь ство вались недостаточно точными методами прибли­ жения Только у арабскихъ алгебраистовъ выросшее изъ мотивовъ индусской ариеметики и греческой геометрш стремлеще изображать: ариеметичесшя отношешя геометрическимъ образомъ, а геометричесюя положешя фор­ мулировать аривметическимъ способомъ, повело къ бол^е общей форий математическихъ изслйдовашй, , какъ мы ее видимъ въ современномъ анализ!;: анализу одинаково подчинены и геометр1я и ариеметика, а черезъ посредство геометрш онъ облекаетъ въ то же одЬяше изъ абстрактныхъ математическихъ формулъ даже физичесйе про­ цессы. Этотъ методъ, охватывающш всЬ отрасли мате­ матики и ея приложешя, принесъ огромную пользу. П о н я т н о поэтому, что онъ въ течете долгаго времени оставался почти безъ соперниковъ, такъ что, въ частности, конструктивные методы геометрш целыми стол'Ь'пями продолжали оставаться на той же самой ступени развитая, на которую ихъ подняли уже древше греки. Такъ какъ съ помощью анализа удавалось разрешать труднМппя геодгстричесшя и механичесря проблемы, то изсайдователи довольствовались результатами, независимо отъ того, въ состоянш ли было наглядное представлеше следовать за ходомъ аналитическаго изслйдовашя, или нЬтъ. Только синтетичееще методы новейшей геометрш повели за робой значительный переворота въ этомъ отношенш. Они по­ казали, что путемъ конструктивныхъ пр1емовъ можно часто гораздо легче и нагляднее добиться тйхъ же результатовъ, что и путемъ утомительныхъ алгебраическихъ выкладокъ, а также, что можно перевести одну за другой аналитичесшя дедукцш на языкъ пространственныхъ представленщ. Благодаря этому они довершили начатое Декартомъ д'Ьло соединешя абстрактнаго изсл§довашя и конкретнаго прим'Ьнешя и поставили наряду съ господ*) Ср. М. Cantor, Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, I, стр. 546 и ел.

8

в.

ВУНДТА.

ствовавшимъ до того аналитическимъ методомъ геометри­ ческую индукцно, какъ равноправное съ анализомъ и приносящее ему, съ своей стороны, новыя идеи, вспомо­ гательное средство. При господств! абстрактныхъ алгебраическихъ формулъ геометрическая конструкцш были облечены въ тяжелое, мешавшее свобод! движенш, од'Ьяше. Теперь же стали повсюду искать конструкций, наиболее подходЯщихъ къ природ! изучаемыхъ объектовъ; а благодаря этому были, въ свою очередь, найдены бол!е целесообразные ариеметичесме методы. Новооткрытые геометричесше методы дозволили оживить съ помощью интуицш лежавнпя до того мертвыми аналитичесшя формы, а такимъ понятаямъ, какъ комплексныя числа, ц!нноеть которыхъ основывалась почти исключительно на случайныхъ открытаяхъ, они придали реальное наглядное, значеше. Такимъ образомъ ариеметика снова про­ никлась во вс!хъ своихъ частяхъ геометрическими представлешями, какъ это было н!когда въ эпоху расцв!та греческой математики,— но, разум!ется, въ иномъ-вид!, благодаря сд!ланнымъ съ т!х ъ поръ огромнымъ уайхам ъ. j Изъ набросаннаго зд!сь въ краткихъ чертахъ раз­ витая математической мысли становится яснымъ, что логическ!е методы ея сл!довали при своемъ возникновенш н!которой опред!ленной законом!рности. При этомъ, конечно, нер!дко какой-нибудь бол!е старый методъ отт!снялся новооткрытыми методами. Но вообще новыя открытая присоединяются къ сокровищниц! уже добытаго знашя, увеличивая еще его ц!нность и приложимость. По в!рности и неизм!нности своего развитая, равно какъ и по всей своей Конструкции, математика есть логически наибол!е совершенная наука. Она и потому еще .осо­ бенно близка къ логик!, что она представляетъ собой не что иное, какъ логическое изсл!доваше общихъ формъ нагляднаго представлешя И совершаемыхъ съ ихъ по­ мощью построенш изъ понятай. Т!мъ бол!е поэтому не­

ОБЩ ЁЕ УЧКНГЕ О МАТЁМАТЙЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

9

обходимо наметить здесь строго границу, отделяющую л о г и к у м а т е м а т и к и отъ самой математики. Поскольку математичесгая основныя понятая и методы развиваются и применяются въ цЬш хъ разрешенья отмеченныхъ выше проблемъ, они целикомъ являются иредметомъ математическаго изеледовашя. Но поскольку возникаетъ вопроеъ о логическомъ происхожденш этихъ понятш и методовъ и объ ихъ отношенш къ общимъ законамъ мышлешя, они становятся объектами логики. Это означаетъ въ то же время, что логика должна ограничиться изеледовашемъ общихъ принциповъ математической методики. Это раздблеше труда проводится фактически и математикой: здесь обыкновенно устраняются отъ разрешешя принцишальныхъ логическихъ вопросовъ или же, если и затрагиваютъ ихъ, то лишь мимоходомъ, когда, напримеръ, случайно какой-ни­ будь математикъ оказывается въ то же время и логикомъ. Но логика математики можетъ, въ свою очередь, исходить изъ д в у х ъ точекъ зрешя. Во-первыхъ, можно спросить себя, к а т я формы принимаютъ въ примененш. къ объектамъ математическаго изеледовашя обнце методы научной работы. Возникающая отсюда изеледовашя мате­ матическаго анализа и синтеза, абстракцш, индукцш и дедукцш мы относимъ къ о б щ е м у у ч е н i ю о м а т е ­ м а т и ч е с к о м ъ м е т о д е , которыми и займемся въ на­ стоящей главе. Во-вторыхъ, можно заняться изеледова­ шемъ логическаго характера методовъ отдельныхъ от­ раслей математики. Это является задачей ч а с-т н а г о у ч е н 1 я о м а т е м а т и ч е с к о м ъ м е т о д е , которому будутъ посвящены слбдуюнця главы.

2. МатематическШ анализъ и синтезъ. Различеше аналитическая и синтетическаго - методовъ было введено въ математику Эвклидомъ, отчасти по об­ разцу Платона. Анализъ и синтезъ у него— двЬ разно­

10

В.

В.УНДТЪ.

видности Силлогистическаго метода доказательства. При анализ! исходятъ изъ положешя, которое требуется до­ казать, и показываютъ, что выведенный изъ него сл!дств1я согласуются съ принятыми за истинныя положешями. При синтез! исходятъ изъ принятыхъ за истинныя по­ ложешя и показываютъ, Что слфдствгя изъ нихъ содер' жатъ въоеб! то ноложеше, которое требуется доказать 1). Оба метода входятъ у Эвклида въ одну и ту же четы­ рехчленную схему изъ опред!ленш, аксюмъ, теоремъ и проблемъ, и ясно, что ноложеше, которое требуется до­ казать, должно существовать въ обоихъ случаяхъ до того, какъ приступаюсь къ доказательству, т. е. ясно, что анализъ и синтезЪ’—методы доказательства, а не изсл!довашя. У синтетическаго метода при этомъ то безспорное преимущество, что онъ постоянно приводить къ принудительно связывающему доказательству, между т!мъ какъ изъ аналитическаго способа можно получить бе­ зусловно правильные сл!дств 1я лишь тогда, когда дока­ зательство непрямое или аналогическое. Прямой же ана­ литически ходъ доказательства пршбр!таетъ принуди­ тельную силу лишь въ томъ случа!, когда отношеше между основашемъ и сл!дств 1 емъ носитъ взаимный ха­ рактера такъ что, если принять сл!дств 1е за осповаше, то изъ него получится въ -качеств! сл!дств!я прежнее основаше. Но именно поэтому прямое аналитическое дока­ зательство можетъ быть постоянно зам!нено у Эвклида синтетическимъ доказательствомь. Существенно иное значеше нрюбр!таетъ различеше аналитическаго и синтетическаго методовъ лишь у Де­ карта. Анализомъ онъ называетъ тотъ npieMb изсл!довашя, при которомъ непосредственно изучается сама сущность какого-нибудь предмета’, при преподаванш ма­ тематики сл!дуетъ поэтому отдавать предпочтете анализу, J) E u k l i d s .Elemente XIII, 1.

ОБЩЕЕ УЧЕШ Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТОДЬ.

ибо онъ ведетъ учащ аяся самого- на путь открытш. Въ своей Г еО м етрш Декартъ далъ классическщ образецъ этого метода. ЗдЬсь анализъ заключается всегда въ цйлесообразномъ разложенш нзучаемаго цгЬлаго на элемен­ ты, а иногда и въ конструктивномъ присоединенш дру­ гихъ элементовъ, которые вместе съ данными дЬл&ютъ возможнымъ полное опредЬлеше свойствъ изсл^дуемаго геометрическая объекта. Но Декартъ считаетъ въ то Же время существеннымъ, чтобы это аналитическое изслЬдоBaHie происходило въ самой общей форме, для того чтобы ясно выступили и сущность операщй разсудка и общее значеше результатовъ. Въ этомъ смысле онъ упрекаетъ анализъ древнихъ въ томъ, что онъ нрикрЬнилъ духъ къ разсмотр^шю фигуръ, утомивъ благодаря этому силу воображения и не давъ работы разсудку. Свой же соб­ ственный методъ онъ называетъ способомъ изеледовашя, который, соединяя анализъ древнихъ съ алгеброй новаго времени и съ силлогистическимъ искусствомъ, гогЬетъ преимущества всЪхъ ихъ, но безъ ихъ недостатковъ *). Это опред^леше можетъ показаться чисто втАшнимъ, однако оно превосходно указываете на характеръ со­ временная анализа, начало которому положила геометр!я Декарта. Принципъ аналитическая метода Пла­ тона и Эвклида, согласно которому искомое предпола­ гается уже даннымъ, является однимъ изъ могущественнМ шихъ орудш и этого анализа. Но настоящШ источникъ его приложешй заключается здйсь—-какъ и въ дру­ гихъ случаяхъ— уже въ введенш алгебраической симво­ лики. Буквенный символъ можетъ обозначать любую из­ вестную, неизвйстную или переменную; величину. Бла­ годаря этому его свойству можно повсюду въ выкладкахъ разсматривать искомое такъ, какъ если бы оно было найдено. Поэтому-то еще до Декарта аналитически ме‘) Biscours de la metiiode, Oeuvres.publ. par,;C;OU.s in,I, стр. 140.

12

В.

ВУНДТЪ.

тодъ обнаружить свою практическую пригодность въ алгебраичогкихъ npiwiax'b plniiciiiji уравненш. По зд!сь приложеше его ограничивается областью ариеметики. За Декартомъ остается заслуга того, что онъ первый показалъ съ блестящимъ успАхомъ бол!е общую 'прило­ жимость алгебраической символики. Лишь благодаря вве­ дение этой символики, анализъ стал ь npie&oMb йзсл4до ■ вашя, логически равноц!ннымъ съ ш нтезомъ. Анализъ древнихъ, какъ заключете отъ сл'Ьдетвдя къ основание, былъ, благодаря многозначности эрой; формы заключения, вообще мен!е надеженъ, а потому и мен’Ье нригоденъ для упОтребдешя, ч!мъ синтезъ. Въ современномъ ана­ лиз! ул!е н !тъ этого разлтпя: зд!оь добытое аналитическимъ Щутемъ иоложёше обладаем. такой же прину­ дительной достоверностью, что и результат'!, синтетическаго доказательства. Анализъ древнихъ двигался въ рамкахъ геометрическихъ иостроешй, результаты которыхъ дава­ лись въ вид! ряда условныхъ сужденШ. Для того, чтобы прямое доказательство им!ло при немъ принудительную силу, надо было пров!рить, содержитъ ли въ себ! каж­ дое условное суждение отношеше взаимнаго определен)у . т. е. обратимо ли оно. Эта пров!рка стала излишней, какъ только начали применять для вс!хъ математическихъ изсл!доватй абстрактное ариеметическое выражеnie. В!дт> теперь на м!сто условлаго суждешя стало алгебраическое уравнеше, установлеше котораго заключаетъ въ се б ! указанную пров!рку, ‘такъ какъ это уравнение должно всегда быть обратимымъ. Такимъ обра­ зомъ, съ точки зр !ш я Строгости доказательства анализъ сравнялся съ синтетическим!» методомъ. Но, им!я наряду съ этимъ рядъ. другихъ преимуществ:!., онъ должен®: былъ неизб!жно занять доминирующее ноложеше. ( ’интетическШ метОдъ Эвклида сохранил?» однако еще въ течете долгаго времени господство въ 'качеств! способа доказательства. Й нер!дко И8сл!девашя, производивпйяся аналитическим'!.

ОБЩЕЕ УЧЕШ Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ МЕТОДЪ.

13

методомъ, были перелагаемы— какъ показываетъ нримЬръ Ньютона — путемъ огромныхъ усилш въ доказательства эвклидовскаго типа. Вместе съ постепеннымъ ростомъ приложешй метода расширялось и само ловите его. Предполагавшееся при употребленш алгебраической символики правило, согласно которому въ вычислете вводились какъ искомыя, такъ и данныя величины, стало; -какъ само собою разумеющееся, признаваться чймъ-то второстепеннымъ. Такъ какъ методъ доказательства превратился въ методъ изеледовашя, то решающее значеше прюбрело не положен ie объекта доказательства, а взаимное логическое отношеше сле~ дующихъ другъ за другомъ теоремъ. Но здесь повсюду характерной чертой анализа оказался цереходъ отъ сложнаго къ простому, отъ частнаго къ общему. Син­ тезъ же совершался въ противоположномъ направлеши. Благодаря именно этому Ньютонъ и Лейбницъ усматри­ вали различ1я обоихъ методовъ въ этой более общей, но вполне соответствующей логическому смыслу выраженш, форме 1). Готовыя понятая носятъ на себе обыкновенно мно­ гочисленные следы своего прош лая. Врядъ ли найдете много понятш, къ которымъ это замечаше применимо въ той же мере, что и къ понятш анализа въ математике. Вся ncTopia его какъ бы сконцентрировалась въ его современномъ значенш. Къ этому присоединилось еще новое усложняющее обстоятельство, именно что то самое выражеше, которое служило первоначально только для обозначешя одного определенная метода, теперь упо­ требляется для обозначения всей дисциплины, въ которой преимущественно пользуются этимъ методомъ, хотя нъ ней и имеется, разумеется, не мало и|пемовъ изеледо­ вашя, являющихся по своему логическому характеру ')'Х I1 w t о п. Opriec. Lili. Ill, Quaestic XXXI. Ed. Lausanne. 1740. етр, 329. L e ib n it z , Math. Wei-ke. Ausgstbe von G e r h a i d t, III, етр. 200.

В.

ВУ Н Д ТЪ .

синтетическими. Если остаться при методологическомъ значенш этого понятая, то, согласно предыдущему, можно различить, главнымъ образомъ, т р и критергя аналити­ ч еская метода. П е р в ы й заключается въ общемъ логическомъ свойстве, согласно которому здесь идутъ отъ сложнаго къ простому; в т о р о й состоитъ въ выбора единообразной, пригодной для формальнаго проведешя ариеметическихъ операцШ, символике, превращающей в с! условныя суждешя въ уравнения и придающей .бла­ годаря этому вс'Ьмъ заключешямъ однозначную форму; т р е т i й, наконецъ, въ эвклидовскомъ принципе, согласно которому искомое шходятъ темъ, что предполагай>тъ его даннымъ. Три эти признака аналитическаго метода тесно связаны между собой. Разъ данъ одинъ изъ нихъ, то по­ степенно и сами по себЬ должны быть найдены друле. Но замечательно, что исторически они развились не въ указанномъ сейчасъ порядке ихъ логической важности, а въ обратномъ порядке: сперва наиболее частный изъ нихъ, а лишь подъ конецъ— наиболее обпцй. По сравненiio съ развитаемъ анализа с и н т е з ъ , разсматриваемый, какъ математическш методъ, сравнительно долгое время оставался на одномъ месте. Очевидно, бо­ лее широкому понимашю его мешало здесь влгяше Эвклида. Въ анализе уже довольно скоро распознали методъ изслЬдовашя, который въ то же время можно при случае превратить и въ методъ изложешя. Въ слу­ чае же синтеза обращали все время внимаше на гео­ метрическое доказательство. Только этимъ можно объ­ яснить то, что еще. Ньютонъ, говоря объ анализе, настаиваетъ на его в р е м е н н о м ъ преимуществе передъ синтезомъ. Темъ не менее эта точка зреш я. опро­ вергается по существу уже самыми простыми ариометическими дейсттаями. Сложеше, умножеше, возведете въ степень, это— синтетичесшя операцш, и оне, несомненно, более ранняго происхождетя, чемъ обратныя имъ дЬй-

ОБЩЕЕ УЧЕНЕЕ 0 :;Ш Т Е Й А Т Й Ч Е Ш $ * |в МЕТОДА.

Ш

спил вычиташя, де.1ёнш и и зю ечетя корня, которым Moryf% быть назвапы аналитическими. Но эти простая дейстшя разсматривали, какъ данныя, вЪ^нихъ видели нспойо гателышя средства, котор ыми доля;<-иъ пользоваться каждый методъ, но которыя сами не могутъ йрй%3'ать па « в а ш методовъ. Поатому-То— хоти въ ариометике и ит. теорш чиселъ синтетичесме методы играютъ, въ дей­ ствительности, немаловажную роль— лить въ геометрш еоар&Ю ношшаше того, что синтезт. ' мбрксъ обла­ дать ц'1;нностыо метода -изсдЬдона niи. Если у Эвклида обратить внимаше lie на внешнюю форму доканататьc i па. а на методы изеледовашя, то не можетъ быть никакого «чшг&тя,- что доминирующее значеше|имеет?» у него аналитический методъ. 1й> н]>отивололожность этому то натгравлеше'новейшей геометрш,* которое само назыпаетъ себя синтётическимъ, стремилось сск-дишт. свои о г гЬльиыя построенхя въ некоторую систематическую связь, въ которой более сложи ыя пространственный образовашя развиваются постепенно ивъ иростеГиинхт. клемеитовъ. Но здеёъ еинтетйческШметодъеталъ' нъ то же время методомъ изеледовашя. Въ качестве метода изложеHia онъ имеетъ ценность только съ тон самой - точки врешя, съ которой Декартъ рекомендовала, аналитичеCKifl методъ и Съ-которой весьма сомнителенъ способъ доказательства Эвклида щ именно, что наиболее вообще целесообразный способъ доказательства какой-нибудь истины состоитъ въ военроизведеши пути открытая ея. Несомненно; синтетически! методъ въ этомъ новомъ смысле не ограничивается обдастью одной геометрш, а простирается иа все отрасли математики. Но, повиди| мому, для нравомернаго нрйлбжешя его требуётся, чтобы объекты изеледовашя обладали н а г л я д н ы м ъ характоромъ. Въ пользу , этого говорить- то обстоятельство, что въ случае более слоитыхъ нроблемт. высшей геометрш отгь наталкивается на всё рае|ущ 1 Я трудности, Ч'акъ что

16

В.

ВУ Н Д ТЪ .

зд'Ьсь онъ долженъ уступить первое место анализу. Это усжше наглядности вытекаетъ изъ свойственнаго синте­ тическому методу npieM a построешя, предполагающего всегда, что некоторое сложное целое получается легко обозримымъ путемъ изъ синтеза его элементовъ. Поэтому наряду съ геометр1ей и механика допускаетъ синтетиче­ ское трактоваше своихъ элементарныхъ проблемъ; кроме того, построешя синтетическаго характера входятъ въ аналитическую механику (называемую такъ по своему преобладающему характеру), а также и въ аналитиче­ скую геометрш. Что касается отраслей математики, вышедшихъ изъ ариеметики, то синтетичесшя изслгЬдовашя возможны, иди даже при случай неизбежны, главнымъ образомъ въ теорш чиселъ, при изучеши отд’Ьльныхъ числовыхъ понятШ и числовыхъ законовъ. Поэтому, если мы сравнимъ оба метода при одинаковыхъ услов1яхъ ихъ приложешя, то нельзя будетъ больше уже говорить- о временномъ первенстве анализа въ смысле Ньютона. Наоборотъ, многочисленным про­ блемы допускаютъ, какъ синтетическое, такъ и аналити­ ческое трактоваше. Только въ случае самыхъ основныхъ задачъ синтетическш методъ получаетъ преимущество, будучи употребляемъ почти исключительно при выведены самыхъ иростыхъ ариеметическихъ и геометрическихъ положешй; наоборотъ, при изследованш очень сложныхъ объектовъ анализъ оказывается гораздо более пригоднымъ-—а иногда даже и единственно возможнымъ — методомъ. Эта точка зреш я почти д1аметрально-противоположна прежнему воззрешю. Съ ней связано и другое отлтше современныхъ понятШ отъ прежнихъ. Согласно послед­ н им ^ анализъ и синтезъ являются оба орудыши д е д у кцхи. Каждый изъ этихъ методовъ предполагает^ какъ данные, принципы, изъ которыхъ должны быть выведены заключешя или доказательства. За первоначальный ин-

17

ОБЩ ЕЕ УЧЕНШ О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

шягпфь, которымъ можетъ по произволу распоряжаться додувщя, призиаютъ здесь не только определешя и ак«•ioMJ.i ариометики и геометрш, но также всевозможныя отд'Ьльныя числовыя формулы и производимый -съ по­ мощью линейки и циркуля въ пространстве построешя (н'Ькоторыя изъ нихъ Эвклидъ называетъ постулатами). (Зовс'Ьмъ иначе обстоитъ д£ло въ современной матема­ тике, становящейся въ- обеихъ областяхъ на генетиче­ скую точку зрешя. Въ этомъ случай неизбежно встаетъ иопросъ, какъ возникъ этотъ первоначальный инвентарь н какъ связаны другъ съ другомъ или вытекаютъ другъ и8гь друга его отдельная составныя части. На этотъ вопросъ пытаются ответить въ своихъ основныхъ ча­ стя хъ, съ одной стороны, теоргя чиселъ, съ другой, синтетическая геометрш. Благодаря этому въ обеихъ этихъ дисциплинахъ пршбретаетъ широкое значеше логическШ пр1емъ п н д у к ц ! и . Но и индуктивныя операцш математики частью синтетическаго, частью аналитическаго характера, какъ это видно уже на примере четырехъ основныхъ ариеметическихъ дёйствш, отдельныя положе­ шя которыхъ не только найдены съ помощью индукцш, но п могутъ 0ыть доказаны только индуктивнымъ путемъ.

3. Математическая индукщя и абстракция. а. М а т е м - а т и ч е с к 1 й р е а л и з м ъ п о м и н а л и з м ъ.

и

До последняго времени математики и философы единодушно готовы были видеть въ математике образецъ дедуктивной науки, которая лишь въ исключительныхъ случаяхъ обращается за содейсинемъ къ такъ называе­ мой полной индукцш. Но за то темъ значительнее разноглаая по вопросу о природе техъ предпосылокъ, изъ, которыхъ Должна исходить математическая; дедукщя. ИОВЫЯ ИДЕИ ВЪ МАТЕМАТИК®, СБ. I.

2

18

в, вундтъ.

Одни считаютъ математику идеаломъ науки, такъ какъ ея осиовныя положешя своей очевидностью и общезпа-* чимостью указываютъ, невидимому, что источникъ познашя здесь не нодверженъ различнымъ случайностямъ опыта и кроется въ самомъ челов'Ьческомъ дух!. Друпе видятъ въ принципахъ математической дедукцш эмпири- ■ чески возникпйя, но уклоняющаяся, благодаря произвольнымъ допущешямъ, отъ объектовъ опыта, представлешя. Это даетъ возможность устранить попытки использовашя математики въ метафизическихъ цЬляхъ, при чемъ въ то же время она сохраняете исключительное положеше по отношешю къ опытнымъ наукамъ, какъ этого, повидимому, требуете аподиктическое значеше ея положенш. О б! эти концепцш сходны за то въ допущеши, что достоверность матема­ тики основывается на неизменности ея предпосылокъ. Но эти предпосылки принимаются въ первомъ случае за врожденные законы духа, которые последнШ приносить съ собой, можетъ быть, изъ сверхэмпиричеекаго Mipa, и въ которыхъ поэтому охотно видятъ въ то же время изначальные м1ровые законы. Для сторонниковъ же вто­ рой теорш ихъ всеобщая значимость зависите отъ соглашешя между людьми и, въ лучшемъ случае, отъ ихъ практической приложимости къ эмпирическимъ объектамъ; благодаря этому математическое знаще обладаете еубъективнымъ и гипотетическимъ, но именно потому также и т о ч н ы м ъ , характеромъ: ведь только нашъ субъектив­ ный произволъ можетъ дать поняйямъ то постоянство, которое требуется для точнаго хода доказательства. Луч­ шими назвашями для обеихъ этихъ концепцш въ ихъ нрименеши къ сфере математнческихъ представленш являются, кажется, и ныне старыя назвашя р е а л и з м а и н о м и н а л и з м а ')• Ведь, согласно первой концепцш, *) Въ своей „Общей теорш функщй" (Allgemeine Funktioiientheorie, 1882, т. I, стр. 58 и сл.). П. Д ю-В у а Р е й м а н ъ употребляетъ для указываемыхъ зд'Ьсь противоположностей, поскольку он*

ОБЩЕЕ УЧЕН1Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

19

нначешс математическихъ идей основывается по существу на ихъ реальномъ нребыванш ръ дух!; противная же riiopiw отрицаетъ подобное реальное существовате: въ математических® идеяхъ она видитъ лишь произвольный повданш духа, получаюшдя требуемое ими постоянство, благодаря приданнымъ имъ именамъ или какимъ-нибудь ииммъ симноламъ. Но ни математическШ реализмъ, ни номипализмъ не остались неизменными; съ течешемъ прсмсии оба они подверглись изменешямъ, приблизиИШИМ'Ь ихъ другъ къ другу.

1‘еализмъ Декарта во многихъ отношешяхъ носитъ ни, себе еще печать платоновскаго учешя объ идеяхъ. Чуистненные объекты могутъ вызывать въ насъ математичесюя идеи лишь потому, что эти последшя до того были заложены въ нашемъ духе. Тотъ способъ, какимъ пти идеи вызываются внешними впечатлЬшими, является m i . его изображеши некотораго рода припоминашемъ 1). Что касается вопроса объ отношенш врожденныхъ идей къ чуиствеинымъ образамъ, соответствующим], имъ, то пш’де у него не найдется определеннаго, недвусмысленнаго ответа на это. Въ общемъ онъ, повидимому, предстаиляетъ себе эти идеи тоже въ форме наглядныхъ прсдставлешй. Но иногда онъ выражается скорее въ смысле чисто логическаго существоватя. Такъ, напримеръ, мы имеемъ, согласно ему, вполне ясную идею тысячеуголь... труживаюнея въ основныхъ поняйяхъ метода безконечно-малыхъ,

111,1 |)1гл;®н1я и д е а л и з . м ъ и э.м н и р и з^м ъ. Я предночелъ оставить

iiiniiiiuibi мятематическаго реализма и номинализма, унотребленныя Мишо уже иг. одной работ'Ь, появившейся до выхода вышеиазванiiiiiii оочиион1я (Philosoph. Studien, I, с, 105): д^ло въ томъ, что фи.пш'.офсхш! паправлешя идеализма и эмпиризма не всегда совпа­ ди,тп. cl, той противоположностью, о которой здКсь идетъ рг1.чь, in и сими но себЬ они не образуютъ вовсе .противоположности. Тшсъ, паирим'Ьръ, Беркли, Какъ философъ,*одновременнодадёалйстъ и ймпириотъ, нъ математическомъ же отношенш онъ решительный I И IM И 1111JI Ш 'Т 'Ь .

') Кёр. них cinq. ob.j. (Desc. a G a s s e n d i ) . стр. 290.

(! о н и I n, II,

Oeuvres publ. рат

>*

20

В.

ВУ В Д ТЪ .

ника, хотя мы не можемъ представить его себ! съ по­ мощью силы воображешя. Такъ же неясно въ общемъ и то, что онъ называете „ясной идеей". Онъ усиленно подчеркиваете, что ясность математнческихъ предСтавлешй составляете ихъ отличительную черту, указывающую въ то же время на ихъ сверхъэмпирическое нроисхождеше. Несмотря на это, онъ не позаботился о томъ, чтобы точно определить это понятае ясности. Одно только можно отметить зд!сь, а именно, что ясная идея обладаетъ для насъ всегда одной и той же убедительной силой, какъ бы часто мы ни имели съ нею дело. Такимъ образомъ н е и з м е н н о с т ь является, очевидно, ея отличительнымъ признакомъ. Лейбницъ подчеркиваетъ решительнее, чемъ Декартъ, что математичесшя идеи нуждаются въ действш объектовъ опыта, чтобы стать живыми въ нашемъ духе. Но онъ въ то же время отчетливее различаете первоначальную природу этихъ идей отъ чувственныхъ образовъ, въ которыхъ оне осуществляются въ опыте. Первоначальное существоваше идеи, согласно ему, чисто логическаго характера. Неопровержимое доказательство этого онъ видитъ въ томъ, что образъ и понятае совершенно от­ личны другъ отъ друга *). Понятае треугольника такъ же мало совпадаете съ отдельнымъ .треугольникомъ, какъ число-—съ сосчитываемыми объектами. Сообразно съ этимъ Лейбницъ не представляете себе уже развитае математическихъ идей въ форме припоминашя, при которомъ при­ ходится предполагать равенство между внечатлешемъ и вызванной идеей; чувственные образы являются, согласно ему, скорее случайными причинами, благодаря которымъ пробуждается сознаше о лежащихъ въ натзъ изначально понятаяхъ. Поэтому, съ его точки зрешя, математическое *) Ntfuv. ess. I, 1, IV, 17. Ср., кромгЬ того, особенно сочиненш, ноеяшдя назвашя „Initia mathematica" и „Mathesis universalis". Math.

Werke, Ausg. yon G e r h a r d t , VII, стр. 17 и сл.

ОБЩЕЕ УЧЕШ Е О МЛТКМАТИЧЕСКОМ'Ь МКТОД-Ь.

21

изсл'Ьдоваше темъ совершеннее* чемъ оно /абстрактнее-: ч Ь п. больше его абстрактность, т!м ъ , ближе о » кь адмшатному представлению заключенных^ вь наоъ по­ ил тШ. Въ этомъ смыслЬ Лейбпицъ въ одномъ месте противопоставляетъ научной геометр!! эмпирическую, которая старается убеждать не путемъ логичеекаго доказательства, а непосредствённаго созерцашя Щ По той же причине онъ ценитъ методъ доказательства Эвклида; ему только кажется, что некоторый изъ эвклидовыхъ аксшмъ можно вывести изъ бол1>е абстрактныхъ аксгомъ и определенifi, и онъ делаетъ въ этомъ отно ш ёнщ различный попытки улучшить эвклидову систему 2). Онъ не нрнзнаетъ того факта, что, въ конце концовък и эвклидовы доказатель­ ства приводятъ лсъ убеждению посредствомъ неиосредственнаго созерцашя. Точно также -Онъ не 'согласенъ съ ипдуктивнымъ проиехождещемъ Простейщихъ ариеметическихъ и геометрическихъ положешй; подобныя поло­ жен iH, согласно ему, интуитивно достоверны; ихъ должно признать, какъ только внимаше обращено на нихъ, Такимъ образомъ «Дейбницъ отличается отъ Декарта решительным']» иодчеркивашемъ Логической природы математическихъ идей. Разумеется, и Декартъ уже ввелъ алгебраическш методъ трактовашя геометрш для того, чтобы свести такимъ образомъ геометричеше законы къ абстрактной и чисто логической форме. Но онъ точао Такъ же порицать нрежнихъ алгебраистовъ за н.\т> неум'Ьше придать своимъ формулам!, приложение въ наглядпомъ представленш. Поэтому его геометрш преследуете двоякую цель: аналитическаго наследован ia геометриче­ скихъ объектовъ, съ одной стороны, И геометричёскаго изображена алгебраическихъ/ уравнений, съ другой. У

l) Opera pluioe., eil. 13 г d m a n 11, стр. 382.

s) Opera philos.,ed. K t d m a a n, стр. 81 Nota. M atL Werk6; A usg. vfni G e r h a r d t , VII. стр. 260 и сл.: Specimen Geometriae lucifetae.

22

в.

вун дагь.

Лейбница же аналитическш методъ признается за болЬе предпочтительный во всбхъ отношещяхъ. Поэтому-то онъ предпочитаетъ. аритштику. какъ бол§е абстрактную дисци­ плину, геометрш, а изъ ашиидовыхъ акеюмъ о н ъ ; отдаетъ преимущество т&мъ, которыя носятъ:характеръ абстрактныхъ акеюмъ о величин!. Такимъ образомъ Лейбницъ начинает® въ развитш новейшей математики тотъ цершдъ безусловнаго господства анализа,, который гдостигъ выешаго расцвета, позже в®. трудахъ Эйлера и Лагранжа и въ которомъ лредметомъ особенной с тордости считалось то, чтобы обходиться въ механик-!»— а, если возможно, то и въ геометрш— совершенно безъ фигуръ. . Но благодаря именно гой резкости, съ которой Лейбнщъ ■отдМяетъ основныя понятая (совсЬмъ не ну­ ждающаяся, согласно ему, въ наглядности) отъ ихъ примЗшенш въ наглядномъ представленш, математическШ реализмъ запутывается .въ новыхъ затруднетях®. Если первоначальный идеи по своей природ! сами носятъ ин­ дуктивный характеръ, то психодогическш механизмъ репродукцш доставляет!.. всегда понятную схему :длй сведешя непосредственно созерцаемаго къ некоторой идеальной форм1!. Но, если приписывать, абстрактному понятно реальное существовате, то оно нредставляетъ нЬчто совершенно несоизмеримое съ чувственнымъ объектомъ. Эта концешця мистична, .ибо за м1ромъ нредставлешй она помТпцаеп. еще новый м1ръ, совершенно Непредставимыхъ идей; и поэтому остается нецотгпшмъ, какимъ образомъ представленный объект® можетъ выз­ вать въ сознаши непредставимую идею. Поэтому должно было представиться настоятельно необходимыми, снова устранить несоизмеримость между идеей и- образомъ и •вернуть идсЪ ея интуитивную природу для того, чтобы сд'Ьлать нонятнымъ ея отнощеше къ чувственнымъ о б ъ | ектамъ. Этотъ пос.гЬдпШ ш ап. въ развитш математическаго реализма сдЬлалъ Кантъ со своимъ учешемъ о

О БЩ ЕЕ УЧЕН1Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТОД®.

23

чйстомъ наглядномъ ирсдетавленш и о формахъ нагляднаго представ л етя . Одной ш% счастливейшихъ мыслей Канта было, безъ сошгЬйн, то, что отъ пестрой массы отд1;.шшх'ь мате­ матических!» идей онъ вернулся къ тЬмъ основамъ, къ которымъ он-!» вгЬ должны быть отнесеныj - именно къ наглядному иредставленщ пространства и времени. Уже число, которое математикъ выставляетъ обыкновенно на первомъ плане,: придаете^ согласно Канту, понятно ко­ личества интуитивную форму благодаря соединешю сле­ дую щихъ другъ за другомъ моментов» времени. Оно поэтому является вторичным» продуктом» того схема­ тизма понятйг, благодаря которому— черезъ изображёшб; общихъ поикай въ формахъ временного протекашя— становится возможнымъ применять ^йхъ къ чувственному опыту. Движете предполагаетъ не только время и про­ странство, но и BOcnpiflTie некоторагО движущагося^ объ­ екта, и поэтому Кантъ утверждаетъ, что оно, въ отлич!е отъ времени и пространства, предшёствующихъ всякому опыту, представляете собой эмпирическое поняпе х). Наконецъ, отдельный ариеметичесшя действия, отдельны я геометричесюя фштры суть, но Канту, всЬ только ш>строешя внутри чистаго нагляднаго представленш вре­ мени и пространства; : поводомъ для нихъ являются впечатлешя отъ- эмпкрическихъ объектовъ, поэтому при исполнеши ихъ мы должны пользоваться такими же точно‘ Объектами 2). Такимъ образомъ вся та безконечная масса математических1* идей, которая разсматривалась реализмомъ прошлаго времени, какъ прирождённое достоян^ духа, у Канта сводится къ однимъ лишь чи­ стым» нагййднымъ представлешямъ пространства и вре­ мени. Только они даны a priori; наглядное же предS Iiritik der rein. Vei uuiift. 2 A lit, стр. 58.

2) Prolegomena zu Jeder kiinftigen» Metaplir?ik. l i o s e i i k r a n /. етр. 19.

Auag.

топ

24

8.

ВУ Н Д ТЪ .

ставлеше времени даетъ £верхъ того, благодаря своему соединенно съ EaTeropieft количества, чистое попяяе числа. Все же остальное состоитъ, наоборотъ, въ представлешяхъ, возникающих!, благодаря „•огравичетямъ “ этихъ общихъ предетавлетй, при чемъ поводь къ этимъ ограничешямъ подаютъ намъ отдельный чувствоиныл воспрЬгпя. Воспринимая въ чувственномъ объекте то, что: является въ’ немъ чиетымъ наглядпымъ представлеигёмъ, мы получаем!, преДметъ математическаго понятая, для котораго вп’Кишпй объектъ представляетъ лищь слу­ чайный поводъ, но который въ остальныхъ отношешяхъ принадлежите цЬ-школп, чистому наглядному прёдетавлешю. Этимъ путшъ, напримеръ, чувственный треугольникъ становится поводомъ къ образовашю : идеи геометрическаго треугольника. Математичесшя опредкк^ ш я и аксшмы это— положешя, который относятся къ соединенш составныхъ частей чистаго нагляднаго представлетя, и поэтому они являются, по .четкому выра­ жению Канта, „синтетическими суждешями a priori". Эта кардинальная реформа реалистическаго учешя отличается отъ прежней формы его у Лейбница, главнымъ образомъ,: темъ, что здЬсь первоначальное математи­ ческое достоянш духа разсматривается уже, не какъ нечто абстрактночгогическое, но какъ н'Ьчто и н т у и ­ т и в н о е . Поэтому Кантъ старается повсюду раскрыть интуитивную природу математических’!, дейгпйй и дока­ зательств!, и, въ умышленномъ противоречит съ Лейбницемъ, онъ указываете на то, что именно у Эвклида доказа­ тельство, въ конце концовь, обращается къ непосред­ ственному наглядному представлешю 1). Все дальнейшая различи коренятся здесь. Если первоначальное достои­ мте духа, изъ котораго черпаете математика, состоять въ наглядныхъ нредставдешнхъ. а не въ иопяпяхъ, то Kritik der rein. Ver-n.. 2 Anf.. етр. 39.

ОБЩЕЕ УЧЕН1Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТОД*.

25

достаточно разсматривать о б щ i я формы нагляднаго представлешя, какъ первоначальныя, изъ которыхъ мо­ гутъ развиваться отдельный математическая представлешя, Благодаря этому и роль объектовъ оныта становится иною; они уже дМствуютъ не по аналогш съ пси­ хологической репродукщей, а пробуждаютъ деятель­ ность чистой силы воображетя, которая, воспроизводяизъ внгЬпшихъ объектовъ то, что въ нихъ относится къ формамъ времени и пространства, какъ бы переносить ихъ въ чистое наглядное представлоше. Если такимъ образомъ каждая деятельность, творящая математичесше объекты, к о н с т р у к т и в н о й природы, то и основныя математичесюя положешя обладаютъ то же неизбежно характеромъ синтетическихъ сужденш. Ограничивающая деятельность, которую проявляетъ сила воображешя на формахъ нагляднаго пpeдcтaвлeнiя при дорожденш отдельныхъ объектовъ математическаго разсмотрешя, должна въ то же время быть соединешемъ отдельныхъ элементовъ, изъ которыхъ состоятъ объекты. Такъ, напримеръ, всякое число возникаетъ путемъ соединешя его единицъ, каждая геометрическая фигура— путемъ соединешя более простыхъ пространственныхъ образовъ, олужащихъ для построения ея. Въ этомъ резкомъ подчеркивали синте­ тическихъ основъ математики даетъ себя уже знать въ ученш Канта конецъ того единовластия анализа, которое началось съ Лейбницемъ. Какъ ни безспорна истинность утверждешя синтети­ ческой природы основныхъ математическихъ положенш, всё же та основа, на которой покоится все здаше кантовой философш математики, именно апрюрность формъ нагляднаго представлешя, не доказана имъ. Оба его аргумента— именно, что представлешя пространственныхъ и временныхъ объектовъ предполагают. въ виде условщ обиця представлешя о пространстве и времени и что все математичесшя положешя обладаютъ аподиктическимъ ха-

26

В.

ВУНДТ-Ь.

рактеромъ, т. е. возвышаются надъ случайностью о п ы та-оба эти аргумента совсе.чъ не7состоятельны. Разумеется, отдельный объекта Щ можетъ быть иредетавлепъ въ пространстве и во времени, если irlvn. налицо наглядныхъ нредетавленЩ пространства и времени. Но ведь это не йсключаетъ возможности того, что и<к:.т1»дшя развиваются одновременно съ частными представлениями; и, поскольку нетъ формъ цагяйднаго представленй' безъ какйхъ-ййбудь ощущешй/ эта гипотеза должна явиться иреЖдег всего - на лыс ль. Лиодиктичио же то, что aim-?-’ чимо безъ исключешй; поэтому аподиктичеекш хар&ктеръ .математических!» положенш вполне достаточно объ­ ясняется темъ фактомъ, что они относятся къ п о с т о я н ­ н ы мъ;8яементамъ веякаго опыта. Поэтому, если учеше Канта объ нитуитшшомъ, а следовательно и си т ети1 ческомъ характере основныхъ математическихъ положенш вполне правильно, то онъ не доказать вовсе, что они синтетичесшя суждения a priori.- А между темъ это именно и образуетъ отличительную черту кантова уче­ ши. Если лишить математические принципы ихъ anpiopности, то трансцендентальная эстетика Канта впадаетъ въ ноток’!» техъ эмпиристическихъ воззрешй, ,кОторыя развились Из® противоположной точки зреш я номина­ лизма. у : По сравцешю съ превращениями реализма мзм’Ьпеиш, испытанныя м а т е м а т и ч е с к и м ъ н о м и н а л и з м 0 м ъ, были гораздо более поверхиостнаго характера. Уже Лейб­ нице и Декартъ очень далеко разошлись другъ отъ друга въ своихъ воззрешяхъ, а учеше Канта развилось во всехъ своих!» частяхъ въ'прямой противоположности къ теор1ямъ Лейбница. Наоборотъ, все различ1е между Томасомъ Гоббсомъ и Дж. - Стюартойъ Миллемъ (‘.водится почти только къ неодинаковому- пбдчеркиванш различныхъ элемеитовт» единой по • существу доктрины. Гоббсъ такъ ве­ рит!» въ ценность математическаго метода, что въ этомъ

ОБЩЕЕ УЧЕНХЕ О МЛТЕМАТИЧЕСТСОМЪ М ЕТО Д *.

27

отношенш его можно сравнивать*лишь съ Лейбницемъ '). Эта высокая оц'Ьнка математики темъ более поражаетъ у него, чгЬмъ резче ея контраста съ его нонимашемъ основныхъ понятай математики. Опред^летя математики обязаны своей неизменностью только постоянству именъ, кото­ рыми мы обозначаемъ произвольно образованныя поня­ ты!: аксюмы же выведены изъ определенш и поэтому не обладаютъ ни ценностью законовъ мышлешя, ни ценностью объективныхъ законовъ природы: оне— условныя соглашешя, какъ и соответствующая имъ определешя. Цель же этихъ условныхъ соглашенщ заключается обыкновенно въ изолированномъ разсмотр Ьши известныхъ элементовъ чувственныхъ объектовъ. Поэтому Гоббсъ улучшаетъ геометричесшя оиределешя Эвклида: точка— это не то, что не имеетъ никакихъ частей, но то, части чего не принимаются въ разсмотреше при доказательстве; неверно, будто лшпя сама по себе не имеетъ ширины: она лишь принимается такой при доказательстве. Съ этой точки зреш я математическш понятая являются ц е *1 ликомъ продуктами а б с т р а к ц i и; но эта «абстракщя не естъ необходимая деятельность духа, а основывается на произвольномъ соглашенш. Только благодаря этому ста­ новится понятнымъ то, что для Гоббса отличительный характеръ математики заключается не въ ея логическомъ содержанш, но въ ея м е т о д е . Поэтому, напримеръ, онъ приписываете, съ одной стороны, политике спо­ собность подняться до степени математической дисциплины, съ другой же, видитъ во всякомъ строго - логическомъ мышленш следств!е математическихъ операцш. Если въ воззрешяхъ Гоббса преобладаетъ такимъ образомъ номиналистическая точка / зрешя, признаше произвольнаго уетановлешя понятай, и сравнительно слабо выступаетъ учете объ эмпирическихъ мотивахъ этихъ г) Ср. I. I. B a u m a n n , Die Lehren von Raum, Zeit u. Mathematik in der neueren Philosophic, 1838, В, I, стр. 237 и сл.

28

В.

ВУН Д ТЪ .

посл'Ьднихъ. то у Локка, наоборотъ, на первомъ плане стоите эмпирическая точка зр'Ьшя. Моментъ произвола выраженъ у него слабее и заключается въ томъ допу­ щение, что математичесшя идеи не непосредственно равны объектамъ восщйят!я, но образуются путемъ свободнаго варьировашя возникшихъ черезъ вн'Ьпипя впечатлила общихъ идей пространства, числа и т. д* Локкъ ттриписываетъ такимъ образомъ математическимъ идеямъ иде­ альный характеръ; тгЬмъ не менее онъ придаетъ имъ въ то же время и реальное значеше, такъ какъ онъ обра­ щаете внимаше на то, что математичесюя положешя обладаюте объективной истиной постольку, поскольку вещи всегда согласуются до известной степени съ ихъ матема­ тическими прообразами въ нашем1]» духе 1), Къ этому признанно его привела, наверное, эмпиристическая складка его ума, благодаря которой онъ противился допущение принциповъ, въ приложимости которыхъ къ опыту можно было бы какъ нибудь сомневаться. Но именно поэтому въ его концепцш математики даетъ себя знать сильно звучащая реалистическая нота. В^дь допущеше прообразовъ въ духе— если отвлечься отъ утверждешя ихъ эмпирическаго происхождения— напоминаете непосредствённымъ образомъ картез1ансшя представлешя. Но еще ближе подходить Локкъ къ Канту благодаря подчеркиванто интуитивнаго характера математическцхъ идей и сведешь} всехъ математическихъ доказательства къ на­ глядному представление. Ведь что такое общая идея пространства, какъ не чистое наглядное представлеше! съ темъ только различ1емъ, что Локкъ его мыслите возникшимъ a posteriori? А ограничешя и варьировашя этой идеи представляютъ собой конструировате въ рамкахъ чистаго нагляднаго представлешя, которое можете быть даже приведено въ логическую форму синтетиче*) Essay, т. II, г д. 13; т. IV, гл. 4.

ОБЩЕЕ УЧЕН1Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ МЕТОД-6.

29

скихъ сужденШ a priori. Такимъ образомъ учете Локка страдаетъ отъ неустранимаго противореча между основной эмпиристической концепщей и отдельными— вполне ращоналистическими— идеями. Если опыта единственный источникъ знашя, то непонятно, какъ могутъ возникнуть идеи,, которымъ не соответствуете въ опыте ни одинъ адэкватный объекта. Этого противореч1я можно было избегнуть, утверждая тождество математическихъ идей и отдельныхъ чувственныхъ представленш. На эту точку зреш я сталъ Беркли. Отрицая абстрактныя понятая, онъ, разумеется, отрицаетъ и существовате чистыхъ наглядныхъ представлещй про­ странства и времени. Утверждая съ полнымъ правомъ, что психологически невозможно представить себе общее, какъ таковое, онъ на основанш этого отнималъ у общаго также логическое и теоретико-познавательное право на существовате, благодаря чему онъ впалъ въ резкое противореч1е прежде всего съ постулатами математической науки. Для него треугольникъ въ духе и чувственный треугольникъ одно и то ж е / Все случайный свойства последняго имеются и въ первомъ. Поэтому и геометричесшя доказательства относятся лишь къ этому чувствен­ ному треугольнику, и доказанныя для‘него теоремы имеютъ силу для другихъ треугольниковъ лишь постольку, по­ скольку они сходны съ нимъ. Поэтому причины прину­ дительной силы математическихъ выводовъ заключаются, согласно Беркли, въ конце концовъ, въ постоянстве геометрическихъ фигуръ и другихъ объектовъ, къ которымъ относится доказательство '). Слабость этой аргумен­ там и очевидна. Математичесше объекты, разсматриваемые, какъ отдельный чувственныя представления, не имеютъ вовсе той неизменности, которую имъ приписываетъ Беркли, Они получаютъ ее лишь черезъ посредство техъ х) Treatise on the principles of Imin.Knowledge. Introd. и СХ1исл.

30

в . ВУН Д ТЪ .

актовь .мысли’,'' благодаря которымъ подъ ними начинаютъ понимать— отрщремыя Беркли - абстрактныя понятая. На почве философш опыта возможен* лишь о д и и т. выход* изъ этихъ трудностей: возврата къ номиналисти­ ческой конценцш Гоббса. Онъ начинается съ Юма. Правда, и Юмъ не считаетъ возможным!, принимать математическая идей за простые продукты абстракцш; какъ и Беркли, онъ приписывает'!, имъ чувственный суб­ страта. Но Онъ не считаетъ вовсе необходимым'], выво­ дить происхождеше каждаго ртделънаго числа, каждой геометрической фигуры, изъ щагляднаго предетавяешя некотораго чувственнаго объекта; онъ думаетъ, что въ качестве реалышхъ объектовъ опыта должны быть' даны элементы, ст. помощью которыхъ мы производим*! свои построешя № Такъ, напримерършы получаемъ некоторое данное намъ число черезъ, повторное нодагаше точки, а геометрическую фигуру, располагая рядъ -точекъ другъ подле друга, и т. д. Такимъ образомъ все ариометичесшя и геометричесия построешя сводятся, какъ къ своему последнему данному элементу, къ неделимой въ воспр!ятш точке. Изъ этого элемента мы создаем!, по произволу все математическая представлешя, и именно на этомъ произвольном* создаванш основывается, въ конце концовъ. очевидность математических* выводов*. Такимъ образомъ видимая и осязаемая точка играетъ у Юма роль какого то йсихическаго атома. Последшй есть для него непосредственный факта чувственнаго опыта; Повторяя и комбинируя « о Съ самимъ собою мы должны получить путемъ свободнаго построешя всевозможные математические образы, при чемъ, разумеется, мы руко­ водимся примерами, данными намъ во внешнемъ опыте. Но затруднеща; на которыя наткнулась концешця Беркли, не устраняются; этимъ еведешемъ чувственныхъ объектов* m Treatise on, human nature,, ж. I,

Ъ.

ОНЩЕЕ УЧЕН1Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

31

математики къ одному последнему элементу. Ведь свойnun нашихъ ощущенш непрерывно изменяются; какъ же можемъ мм допустить, что этотъ элементъ остается во itciix'ji математическихъ представлешяхъ одинаковаго рода постоянным'ь, какъ это предполагается въ математическомъ ммшлеши? Какъ далее] согласовать утверждеше, будто ма­ гматическая точка обладаетъ реальнымъ иротяжешемъ и другими качественными свойствами, въ родЬ цвета и плотп о с т , съ математической предпосылкой о томъ, что она лишена всего этого? Если чувственное воспр1ят!е есть идииственный источникъ нашихъ идей, то мы должны раисчитывать встретить все свойства въ носледнихъ, Кдипственное спасеше здесь вернуться окончательно КЪ точке з р е т я Гоббса и признать, что предпосылки математики отклоняются отъ вызывающихъ ихъ чувственII 1.1 представленш и что именно поэтому основы этой пауки имеютъ лишь гипотетическую ценность. Дж. ( ’тюарту Миллю принадлежитъ, главнымъ образомъ, иаслуга того, что онъ понялъ необходимость этого следси iin. Его воззрешя во всехъ существепныхъ пунктахъ соппадаютъ съ воззрешями Гоббса; но для него не даромъ прошла и теоретико-познавательная работа такихъ мыслителей, какъ Локкъ, Беркли и Юмъ. Чувственный треугольникъ и треугольникъ въ нашемъ духе, разсуждаетъ также и Милль, суть одно и то же; въ нашемъ иаглядномъ представленш не существуетъ точки безъ протяжешя и линш абсолютно прямого шшравлетя 1). Но именно поэтому определешя и акшомы геометрш не от­ носятся ни къ чувственнымъ объектамъ, ни къ нашимъ представлешямъ о нихъ, но къ чисто гипотетическимъ образовашямъ, къ которымъ могутъ лишь более или менее приближаться объекты. Поэтому математичесшя определешя и аксюмы обладаютъ реальнымъ значешемъ ') M i l l , System der deduktiven und induktiven Logik, ubers. yon S с. h i e 1, I, стр. 270 и сл.

32

В. ВУ Н Д ТЪ .

лишь постольку, поскольку къ нимъ д е й с т в и т е л ь н о при­ ближаются объекты. Только въ о д н о м ъ пуикт^ Милль рас­ ходится съ Гоббсомъ: предпосылки математики для него не проивволъныя фикцш, а гипотезы, къ образовашю которыхъ вынуждаетъ насъ опытъ. Но и это различ1е только кажу­ щееся, ибо ни Гоббсъ не отрицаетъ вл}яше опыта, ни Милль не можетъ не признавать, что создаше математическихъ гииотезъ есть, въ конце концовъ, дЬйств1е нашей воли. Замечательно, что мнопе новгЬшше математики приходятъ нередко но собственной инищативе къ той же самой концепцш, хотя въ большинстве случаевъ руководянде ими при этомъ мотивы далеки отъ эмпиризма Милля. Такъ какъ многочисленные объекты математи­ ческой спекуляцш совершенно мнимаго характера, т. е. основываются на предпосылкахъ, которыя не могутъ воз­ никнуть непосредственно изъ опыта, то все эти пред­ посылки разсматриваютъ, какъ произвольный гипотезы. Впрочемъ, представители спекулятивной математики признаютъ, что любыя мнимыя понятая имеютъ всегда своимъ источникомъ математичесюя операцш, кореняпцяся въ ариеметическихъ или геометрическихъ понят1яхъ, доступныхъ реальной конкретизации Поэтому и здесь по отношешю къ самымъ кореннымъ принципамъ остается въ силе точка зреш я Милля, что принципы эти гипотетическаго характера, но образованы но поводу определенныхъ объектовъ опыта. Тотъ логическш пр1емъ, съ помощью котораго изъ отдельныхъ опытовъ выводятъ обшдя математичесюя фор­ мулы, определешя или акаомы, Милль называетъ и н ­ д у к ц и е й , и онъ считаетъ его вполне тождественнымъ съ индуктивнымъ способомъ по луче т я физическихъ или другихъ законовъ природы. Р>ъ области' физики эмпиричесгая явлешя всегда лишь более или менее прибли­ жаются къ формулированнымъ нами законамъ. Такимъ же точно образомъ законы ариеметики и геометрш

33

ОБЩ ЕЕ У ЧЕШ Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМ!» М ЕТО Д *.

им4ютъ только схематичесвое вначете, но именно по­ этому прим§нимы ко . всевозможныМъ объектамШ 11 въ этихъ разсуждешяхъ ясйб обнаруживаются слабые пункты номиналистической концепцш. Никто не станётъ теперь более отрицать тощ, что математичесщя истины ймеютъ какимъ-нибудь образомъ своимъ источникомъ опытъ.. Въ этомъ смысле можно также заранее согласиться съ темъ, что математическое познаше при­ водить,- въ кодце-концовъ,: къ йндукцгямъ. По утвержде­ н о , будто эти ицдукцш но существу своему вполне тождественны съ тЬми, помощью которыхъ мы нолуч а ем ъ 0 бщ1 е законы природы, опровергаются фактиче­ ским’!) различить физических!» и математическихъ истинъ. Конечно, и фйзикъ; формулируете абстрактные законы, осуществляюииес!! въ опыте всегда лишь приближен-; нымъ образомъ. Но онъ наблюдаетъ самымъ точнымъ Образомъ все отклонен™, пытаясь свести ихъ къ ихъ причинамъ. Геометра, наоборотъ, неправильности- его фигуръ смущаютъ так!» же мало, какъ и ;| о з н а т е того, что вовсе п'Ь'п» объектов*! соверденно адэкв^тныхъ его Нонят1 ямъ. Въ этомъ и заключается доказательство того, что его индукцш относятся не къ тгЬишимт, объектам!., а къ его же собСтвёцнымъ представлешямъ, и что объ­ екты -играют» здесь просто роль вспомогательных!» средства», имеющих!, целью пробудить представленья. Но въ о д н о м ъ отношенш существует!» все: .таки замеча­ тельная апалопя между обобщетемъ закон онъ природы и установлетемъ математическихъ положенш. Въ случае ОСНОВНЫХ!» закононъ природы М Ы ИСХОДИМ!» вообще изъ той предпосылки, что', они п р о с т о и природы и что, следовательно, они могутъ быть выражены съ помощью простыхъ математическихъ формул!». Но и въ Матрма|! тцке точно; также господстзвуетъ этогъ Lex simplicitatis. Такъ, например!», точка, прямая, плоскость разсматриваются въ геометрш. какъ элементы bc'Tixt» nocTpoeiiiii, НОВЫЯ ИДЕЙ ВЪ МАТЕМАТИК®, СБ. X.

3

34

В. Б У Н Д Т Ъ .

очевидно, йотшу, что oirl; представляют* наиболЬе про­ стая создашя нашей ГеометрйчесКой абстракщи. Но й зд’Ьеь имеется существенно© райличй; Въ майёматйк® простота иршщишжъ— это само собою разумеющаяся пред­ посылка. Если где-нибудь обнаруживается, что известный пршщипъ не удовлетворяетъ этой предпосылхг'К;, его при­ ходите* а разлагать до гЬхъ порч>, пока эта; предпосылка не будетъ удовлетворена. Въ естестврзнанш же простота— это ностудатъ; съ которммъ считаются всегда лишь до т!;.х ь поръ, пока это дозволяетъ опытъ. Н а'и зъ; этого слЬдтетъ уже, что этотъ постулата не возникъ вовсе въ Йамомъ естеетвозпанш, а быль цнесенъ въ н ега извне. И, действительно, легко открыть, что: корень его нахо­ дится какъ разъ иъ математик!; или въ формальных!, зйконахъ нашихъ наглядныхъ представлений йростраяетва и времени, составляющихъ ближайний объекта матема­ тики. Па это указывает* уже тотъ фактъ, что мы пытаемся найти для каждаго закона природы возможно бо­ лее простое м а т е м а т и ч е с к о е выражеше. Взгляд!, на математичеейя ноложешя, какъ на обобщешя, соответствующая обобщешямъ законовъ природы, соединяется, кроме того, съ весьма неправильным* упо|реблешемъ понятая а б с т р а к ц i и. Такъ какъ не суще­ ствуетъ ни объектов*, ни "представленш, которыя: вполне адэкватны пошпчямъ едилицы, точки, прямой и т. д., то легхш зарождается мысль вывести все осповныя матема­ тически понятая; изъ нЬкотораго процесса абетракщй. И, действительно, какъ нельзя отрицать того, что математика основывается на индукщяхъ, такъ нельзя сомневаться и въ значенш абстракцш при установлепш ея- поняйй. Но и здесь опять- таки поминализмъ делает* ошибку, разематривая эту абстракцш, какъ единообразный про­ цесса/ ничемъ пе отличающихся въ математической области отъ процесса абстракщи въ опытных* науках*. Согласно воззрешямъ номиналистов*, мы образуем* по-

ОБЩЕЕ УЧЕНЕЕ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ* М ЕТО Д *.

35

lui'rie прямой такимъ же точно образомъ, какиМъ, ска­ жем*, мы создаемъ понятае четвероногаго животнаго. Въ этомъ последнем* случай мы удерживаем* изъ всЬхъ признаковъ какого-нибудь животнаго только признак* четырехъ ногъ. Такимъ же точно образомъ абстрагируемъ мы будто, бы въ случай понятая прямой не только отъ различной толщины и длины отдельных* данных* въ оиыгЬ прямыхъ лишй, но и отъ большей или меньшей степени уклонешя ихъ отъ прямого направлешя: этимъ иутемъ и получается прямая in abstracto. Разсуждая такъ, не замечаютъ, что это свойство быть прямыми недостаетъ именно всгЬмъ т^мъ частнымъ лишямъ, которыя откло­ ни готся отъ прямого направлешя, такъ что его невоз­ можно абстрагировать изъ нихъ; наоборотъ, оно, очевид­ но, должно быть дано уже заранее на лицо, для того, чтобы можно было определить эти направлешя; какъ приблизительно прямыя. Въ одномъ месте Милль ста­ вить даже свойство вещей быть объектами счета на о д н у доску еъ ихъ свойствомъ быть голубыми, твер­ дыми, или сладкими, съ темъ только разлшпемъ, что первое свойство присуще всемъ вещамъ безъ исключешя 1). Если номинализмъ въ своей первоначальной форме совсемъ не даетъ ответа на вопросъ о возникновенш техъ предпосылокъ, изъ которыхъ исходить математи­ ческое доказательство, то ответь, даваемый новейшими представителями его, неудовлетворителенъ. Здесь центръ тяжести переносится, главным*' образомъ, на внешше поводы образования математическихъ понятай, благодаря чему остаются не разсмотренными существенный логическая особенности, играюпця роль при возникновенш этихъ понятай. Если такимъ образомъ номинализмъ смешиваетъ математичесюя понятая съ обыкновенными опытными 4) M i l l , L ogik1 2, стр. 266.

Й6

В. В У Н Д ТЪ .

понятаями, несмотря да существуюпця здйсь серъёзныя различья,: то реализмъ, Съ своей стороны, до того ..обособляем. ихъ другь отъ друга, что математичесюе принципы' опять - таки остаются лишен ныли логическаго фундамента. Они оказываются или — какъ у боiS e V старыхъ мыслителей — искотшшгь достояшемъ духа или-— какъ у Й а н т а |щ продуктами силы воображенья, свободно проявляющейся въ первоначальныхъ формахъ; нагляднаго представлешя. Какъ ни ценно здесь ;ука.'шше на участае мышления и общихъ формъ нашего нагляднаго4 представлешя. при ;этомъ все же слишкомъ недооцени­ вается в.пяше вн'Ьшняго и внутренняго опыта. Кроме того, здЪсь не сделана вовсе попытка проследить деталь­ нее ту консфуктивную деятельность, которая порождаетъ математическхе объект^!, и установить логические методы, съ помощью которыхъ получаются математйчееюя поня­ тая. Но при попытке подобнаго рода невозможно огра­ ничиваться разсмотрешемъ однихъ только принциповъ, не считаясь съ теми многочисленными частными воззрешями и представлешями, на которыхъ они основываются и которыя они предполагаюсь- Ведь исторхя математики показываетъ, что и въ ней почти всегда частныя истины предшествовали, и с га намъ обща го характера. Ь.

Историческое значение ^математической и и д у к ц i и.

Повсюду, где мы въ состояши проследить оспошшя положешя математики до ихъ нсточннковъ, мы находнлъ въ осцове ихъ индукщи и:)’ь опыта. Никто не станетъ сомневаться, что четыре; основныхъ ариеметическихъ дейстаня возникли но .поводу BOcnpiflTift ,р|делщыхъ объ­ ектовъ и ихъ разнообразныхъ грушшровокъ, такъ какъ, не говоря уже о нашей собственной цифровой системе^ все методы счета дикихъ народе въ указываютъ па по­

ОБЩЕЕ УЧЕШ Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

37

добное происхождеше *). Но замечательно, что при на­ чалах* возникновешя математической науки мы встречаемъ ясные следы индукцш и въ случае сложныхъ ариеметическихъ проблемъ. Одна изъ первоначадьнейшихъ задачъ этого рода, примыкающая къ действш делешя, заключается въ превращенш дробей, полученпыхъ черезъ делешя некотораго цЬлаго, въ сумму более простыхъ дробей, эквивалентныхъ имъ. Этой задачей съ болъшимъ усиЬхомъ занимались уже древне-епшсгале калькуляторы 2). Простейшая дробь это та, числитель которой равенъ единице, ибо въ такой дроби непосред­ ственно дано отношеше части къ целому. Приведете къ такимъ дробямъ давало возможность легко сравнивать между собою различные случаи дроблешя, и поэтому оно играло, повидимому, въ раннюю эпоху математики такую же роль, какую играетъ въ настоящее время противо­ положный пр1емъ превращения въ дроби съ равнымъ знаменателемъ. Но мы для этой последней цели поль­ зуемся простымъ, основывающимся на ариеметическихъ акаомахъ, правиломъ. Египетскш же калькуляторъ находилъ, очевидно, чисто эмпирическимъ путемъ, при помощп иробъ, что, скажемъ, I = ^ + е или I = з + т1, и т. д. Что полученная такимъ образомъ таблица возникла пу­ темъ индукцш, это видно лучше всего изъ того, что мы не находимъ никакого общаго правила для всехъ этихъ различныхъ дЬленш, такъ что, повидимому, каждое отдель­ ное разложеше потребовало для себя особой индукцш. Обстоятельства, при которыхъ появились самыя первыя геометричесшя положешя, не оставляютъ никакого сомнешя въ томъ, что они возникли аналогичнымъ образомъ. Одной изъ первыхъ задачъ практической гео}) А. у. H u m b o l d t . Crelle’s Journal f. Mathematik, m. 4, с. 205.

P o t t , Die quinare und vigesim ale Zahlmethode 1847. Ср. также мою Volkerpsychologie 2, I, 2, стр. 25 и сл. *) A. В i s e n 1 о h r, Ein mathematischer Handbuch der alten Aegypter (Papyrus Rhind Британ. Музея,), 1877.

38

В. ПУПДТЪ.

летрпт било определенie площади какого г нибудь квад­ рата по его форм^. Разлагая! любой Квадрата на, не'большш квадраты го стороной, равной §диниц,Ь, нашли путемъ простого с.южешн теорему, что площадь квадра­ та —: а. а,' если длина стороны его = а. Отсюда, же нетрудно ; било перенести зтотъ результата на случай прямоугольника и установить, что еслиу стороны его равны а и Ь, то площадь — «• Щ Благодаря тому, что эти результаты получались путемъ индукцш, могли производить аналогичное перенесете и тамъ, гдЬ oiro приводило въ ложшэдъс вмводамъ, какъ, например®, въ случай определешя площади равнобедреннаго треуголь­ ника со. йторонами а и h черезъ выражеше а. Ъ '). Точно та®®е изЙ реш е площади круга могло происходить въ первое время лишь эмнирнчеешшъ снособомъ, паирим'Ьръ, путемъ разд®лешя .площади круга на неболыше квадраты и сравниванщ йхъ съ площадью квадрата, построеннаго на диаметре: только такимъ образомъ можно понять., что эта проблема появилась съ самаго начала въ форл! проблемы квадратуры круга, i Еще интереснее у казатя на то, что теоремы, uiianie Воторыхъ въ общмп. ихъ вид'Ь не могло быть получено съ помощью ипдукфи всл’Ьдсччпе ихъ сложнаго характера, все-таки были найдены этимъ путемъ въ изв’Ьетныхъ более простыхъ случаяхъ. Последующей индукщи оста­ валась здесь лишь задача найти доказательство, которое придало бы харавдеръ общей истины тому, что было узнано на отдельныхъ конкретныхъ прим^рахъ. Возможна,: что и здесь обобщающему доказательству предшествовали нер'Ьдко эмпирическая пробы того, не подходить ли най­ денная въ какомъ-нибудь определенном-!, случай истина и къ другому, отклоняющемуся отъ нерваго, случаю. Но •после того, какъ било найдено это обобщающее доказа­ V l М. C a n t о г, Vorlosungeu ilbor Ge^oliielite 1, стр. 49.

Mathematik,

ОБЩЕЕ УЧЕШ Е О М л ТЕМАТ и ЧКПКОМ * М ЕТО Д *.

щ

тельство, предшествовавшая ему индуктивная попытки покрывались мракомъ забвешя. Известно, что древше доказывали теорему о сумме угловъ треугольника для каждой особой формы треугольника: сперва для равно­ стороння го. потом*— для равнобедреннаго и, наконец*,— для разносторонняго треугольника. Въ этомъ нельзя не Видеть слгЬдовъ индукцш, темъ более, что въ случай равносторонняго и равнобедреннаго треугольников* не­ посредственное созерцаше могло повести къ опред'Ьленлю величины суммы угловъ. Представимъ себе равностороннш треугольникъ A B C , (фиг. 1), вписанный въ прямоугольник*,

Наблюдете легко показывает* въ этомъ случай, что три угла у В , равные вместе двумъ прямымъ, соответствуют* трем* равнымъ между собою угламъ треугольника A B C . Но разъ теорема была найдена для этого нросгЬйшаго случая, то отсюда уже нетрудно было установить ее для равнобедреннаго, а затМ ъ и любого треугольника путемъ аналогичпаго вписывашя въ прямоугольник*. Если углы у В были различны (фиг. 2), то въ глаза кйдалось въ то же время соответствующее различге- угловъ тре­ угольника. Отсюда могла, сверхъ того, получиться общая теорема о равенстве накрестъ лежащихъ угЛовъ, при чемъ впоследствш Шъ этой теоремы, обратно, стали вы­ водить теорему о сумме угловъ треугольника ')• Таким1* • *)• А налой^йую рекозсструюдш, отличающуюся . однако, порядкомъ сл ^ дов атя сж, у Й, НапкёГя, Zur Geschichte der Mathe­ m atik im Altei-tum u. M ittelalter, 1874, стр. 66.

40

в. вундтъ.

же образомъ й пиеагорова теорема; пёрвонально была, наверное, выведена изъ отдельныхъ, легко доступныхъ, наблюдешю, случаевъ. Возможно, что свойство прямоугольныхъ треугольниковъ, вх силу котораго квадрата гипотенузы равенъ сумме квадратовъ катетовъ, было н а й ­ дено сперва на случае треугольника со сторонами 3, 4 ё 5, которымъ.съ древнихъ времеаъ пользовались д л я1 построешя прямого угла % Но возможно также— и это вероятнее— что теорему эту открыли съ помощью пострдешя, подобнаго тому' которое изображено на фиг. 3. Н а подобной правильной фигуре, которая могла быть построена не со спещальною геометрической целью, легко заметить следующее отношеше площадей: efgh = 2 abed — 2 aemh 2). Этотъ простейшш случай пиеагбровой теоремы, относящейся къ равнобедренному прямоуголь­ ному треугольнику, долженъ быль подать поводъ къ наблюдешю, которое имело огромное значеше для даль­ нейшая) развитая математики. Отношеше линш имеетъ здесь геометрически наглядное представлеше, и въ то же время оно не поддается точному ариометичеокому оцределешю. Нельзя выразить д1ап)наль eh какого-нибудь ; квадрата aenih ц'кшмъ числомъ, если ае— длина стороны квадрата-2—измеряется какимъ-нибудь целнмъ числомъ. Мы имеемъ поэтому все основашя допустить, что от­ крыло . и р ])а ц i о н а л ь н ы х ъ ч и с е л ъ , приписываемое . предащемъ Ниоагору, произошло на томъ же пути индуктивныхъ Гдогадокъ. Только въ о д н о м ъ отношенш эти геометричеевдя попытки выходятъ уже изъ рамокъ чистой Индукщи. Тамъ, гдЬ теоремы, пайдениьгя въ частныхъ случаяхъ, испытываются въ отношен in ихъ общезначимости, при изедедоваши нрибЬгаютъ к'ь ( проведенщ вспомогательныхъ • прнмыхъ. Но геометриче’) О a n t o г, Vorle*. iiber Goschiclito der M athematit, I, стр. 153. ‘*). Лналф&ичнЫя гшютетинесшя построешя см. H a n k e l, пит. сог., стр. 98.

ОБЩЕЕ УЧЕН1Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

41

ск!я вспомогательный построешя означаютъ уже переходъ къ дедукцш, хотя бы опгЬ и применялись здЬсь на ощупь въ качеств'!; индуктивныхъ вспомогательныхъ средствъ: вйдь легко можетъ явиться мысль использовать те самыя вспомогательныя средства, которыя послужили для индуктивнаго открытая какой-нибудь теоремы, и для дока­ зательства ея. Понятно поэтому, что въ отдЬльныхъ ед у чаяхъ невозможно уже решить, въ какихъ ц^ляхъ было употреблено определенное вспомогательное построеше, въ деляхъ ли дедуктивныхъ или'первоначально индуктивныхъ. Но если обратить внимаше на то, какъ еще и въ на­ стоящее время всякш приступаете къ решешю какойнибудь геометрической задачи, то невозможно сомневаться въ томъ, что построеше всегда заключалось прежде всего въ эмпирическихъ пробахъ, нриводившихъ иногда къ цели лишь после многократныхъ тщетныхъ нопытокъ. После того, какъ была индуктивно найдена правиль­ ность известныхъ положенш, можно было перейти къ розысканш наиболее целесообразныхъ построенш, использовавъ такимъ образомъ тотъ же самый методъ и въ целяхъ дедукцш. Случайный характеръ многихъ построенШ у Эвклида носитъ на себе еще ясные следы того эмпирическаго, подвигающагося ощупью, метода, которому следовали при первыхъ геометрическихъ нндукщяхъ. Мы находимъ следы вл1янш индуктивнаго першда у него еще и въ томъ, что онъ нередко разлагаете какую-нибудь общую теорему на рядъ частныхъ случаевъ, для которыхъ онъ даетъ по отдельному доказательству *). с. П е р м а н е н т н ы я ф о р м ы м а т е м а т и ч е с к о й индукцш. Если сопоставить все сведешя, сохранившаяся отъ самой ранней эпохи математическаго мышлешя, то изъ *) Ср., напр., Элементы Э в к л и д а , кн. I, теор. 26, кн. III, теор.

33, 35, 36, кн. IV,'теор. 5, теор. 6, 8, 20, 21 и т. д.

42

В. ВУНДТЪ.

нихъ можно заключить съ величайшей вероятностью, что математика была первоначально индуктивной наукой. Какъ ни важно это для р а з в и т познашя вообще, но для научнаго характера математики гораздо важнее тотъ факта, что въ ней существуютъ известныя п о с т о я н н ы й формы индукцш и что самыя основныя положешя мате­ матики основываются именно на нихъ. Сюда относятся, во-первыхъ, в с е а к с 1 о м а т и ч е с к i я п о л о ж е н ! я ; они не только возникли путемъ индукцш, но для нихъ и въ дальнейшемъ не можетъ быть дано никакого иного основашя. То обстоятельство, что математичесюя аксюмы являются вообще лишь видоизменешями определешй, касающихся числа, величины, пространства и прй; ничего не изменяетъ въ этомъ. Ведь и определешя не имеютъ другого происхождешя, помимо а б с т р а к ц i n изъ опыта. Это применимо и къ определешямъ чисто мнимыхъ образованы, ибо последшя получаются путемъ абстракцш изъ полученныхъ основныхъ понятш, которыя представляютъ себе затемъ про­ извольно измененными въ отношенш какихъ - нибудь свойствъ. Математичесгая определешя основываются исключительно на абстракцш, акаомы же, сверхъ того, и на индукцш. Обыкновенно первыми устанавливаются аксшмы. Такъ, наука въ течеше долгаго времени поль­ зуется известными аксюмами насчетъ пространства, числа и времени, ; между темъ какъ удовлетворительныя опре­ делешя этихъ понятш удается получить лишь позже. Въ процессе абстракцш, поведшемъ къ установленш определенШ, аксюмы играютъ важную роль. Безъ знашя того, напримеръ, что положеше какой-нибудь точки но отношенш къ другой точке можетъ быть всегда определено съ помощью трехъ прямыхъ, и что всякая простран­ ственная фигура остается конгруэтной сама съ собой при любомъ изменеши положешя, было бы вовсе невозможно общее определеше пространства. Но если и можно—

ОБЩЕЕ УЧЕН1Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

43

после т о т , какъ установлено это определеше— получить изъ него путемъ чисто формальнаго преобразовашя аксюмы, то каждая попытка доказать правильность этихъ пос.гЬдиихъ опять - таки приводить къ первоначальнымъ индукщямъ. Индуктивнаго происхождешя, далее, тгЬ положешя, которыя можно разсматривать, какъ н е п о с р е д с т в е н н ы я с п е ц 1 а л и з и р о в а н 1 я а к с 1 о м ъ . Сюда отно­ сятся все числовыя формулы, какъ 7 -(- 5 = 12, 5 . 6 = ВО и т. д., вс'Ь положешя синтетической гео­ метрш, касаюнцяся_ простгЬйшихъ прострапственныхъ построенш, какъ, напримгЬръ, то, что две непараллельный прямыя пересекаются въ одной точке, две непараллельныя плоскости пересекаются по одной прямой, или что все лучи, проходяпце черезъ одну точку и одну прямую, лежатъ въ одной плоскости, и т. д. Отъ теоремъ въ собственномъ смысле слова эти основныя положешя отли­ чаются темъ, что— подобно аксюмамъ— они не допускаютъ никакого доказательства и имеютъ своимъ обосновашемъ лишь указаше на непосредственное созерцаше. Отъ аксшмъ Же они отличаются темъ, что эти последшя являются наиболее общими абстракщями изъ всехъ подобныхъ, данныхъ въ непосредственномъ наглядномъ представленш, положешй. Эти последшя можно потому свести къ аксюмамъ, но ихъ нельзя доказать настоящимъ обра­ зомъ, исходя изъ аксюмЪ; ибо въ нихъ имеются всегда особые- элементы нагляднаго представлешя, не содержа­ щееся въ общихъ аксюмахъ. Поэтому чисто отрицательное определеше аксюмъ, какъ техъ положешй, которыя не допускаютъ доказательства изъ другихъ положенш, недоста­ точно: правильнее сказать, что благодаря имъ устанавли­ ваются с а м ы е о б щ i е з а к о н ы , которые управляютъ различными областями математическихъ понятШ и съ которыми поэтому должны согласоваться все отдельный положешя. Оне являются поэтому обобщеньями изъ

44

li. 1!УИДТЪ.

отдельных® фактов® математическаго нагляднаго п р ед -; ставлешя, найденных® путемъ индукцш и доказуемых® только жутемъ индукции. Такъ какъ .сами аксюмы предстайляютъ собою Совершенно абстрактный положешя, то их® можно Доказать лишь путемъ отдельных® их® при­ ложен i и въ наглядном® представлении Так®, наприм'Ьръ, законъ сложешя обладаетъ для нас® интуитивной действи­ тельностью лишь постольку, поскольку мы уясняёмъ его себе на отдельных® формулах® сложешя. Положеше о конгруэнтности пространства съ самим® собою мы должны применять къ отдельным!, пространс^еннымъ фигурам®, ко'горыя мы представадемъ себе движущимися или совме­ щенными въ пространстве, и всЛ> частиыя теоремы о кон­ груэнтности являются такого рода применешями. Т р е т ь ю область индукцш образуют®., накрпецъ, те о б щ i я п о л о ж е и i я, к о т о р ы я ' в о з н и к л и п у т е м ъ о б о б щ е и i я и з ъ о т д е л ьп ы х т. и п д у т и й о п нс а н н а г о в ы ш е р о д а . При установленш ’закона, но которому можно определить первоначальные множителе какого-нибудь числа, или при установленш числа сочетангй изъ определенного количества элементов®, иди того закона, по ; которому образуются члены какого - нибудь эмпирически найденнаго ряда-, индуктивный методт, изейдоващ я до того очевидёцъ, что онъ давно-гуже признанъ здесь. Но ясно, что дкю идетъ здесь только о продолжен® й х ъ ' простых!, индукций, о которыхъ речь была выше. Путемъ Простой индукцш получаютъ, напри­ мер®, числовую формулу , что 1 + 3 путемъ многократных® поиторепш подобных® индукцш— члены ариометнческой прогрессш 1, 4, 7, 10, 1Н..., а изъ разсмотрешн этого и аналогичных® рядов® получаютъ Съ помощью обобще1Йя теорему, что и-тый член® арио.метлческой ирогресош =

а

-f-

(п

..... J )

cl.

если а обозначает®

первый член®, a d ....ра.'шость прогрессш. Таким® обра­ зом® спещализировашя математических® aKciou® , -.пре'д-

ОБЩИЕ УЧ1ГО1К О МАТЕМАТЙЧЕСКОМЪ МЕТОД'Ь.

т

ставляемыя числовыми формулами и геометрическими иоложетями, сводимыми къ нростМнпшъ ноетроешямъ/ образуш ъ начало всей математической аддукцш. Съ одной стороны. путеМъ а б с т р а к ц и и нолучаютъ и;п> нихъ аксиомы, Съ другой яге, путемъ о б о б щ е н ! я, опирающагрся на изв^стиов количество аналогичных'], ин­ дукцш,;—бол'Ъе сложный индукцш. Математики уже издавна стремятся уничтожить всё; следы индукцш, особенно въ Случае гЬхъ простыхъ положешй, которыя ила сами относятся къ аксюмамъ или .могутъ быть равематриваеми, какъ ближайийя сиещализировашя последаихъ. Это 'происходив или такъ, что на Mifefо индукцш ставятъ п н т у и ц п о , при чемъ указываютъ на то, что для установления ея достаточно о д н о к р а т л а г о наблюдешя, или такъ, что пытаются заменить индукцш мнима д е д у к т и в н ы м ъ до к а з ат е л ь с т в р м ъ . Въ первомъ случай аабываютъ то об­ стоятельство, что опыты, изъ которыхч. мы черпаемъ уверенность въ правильности. простейших* ариеметиче­ скихъ и геомётрическихъ положенш^ произведены были по большей 'части въ эпоху, задано предшествовавшую научной индукцш. Нельзя, разумй©|ся, отрицать характера всеобщности у такихъ положешй, Какъ формула сложешя 7 + Г) — 12, или какъ геометрическое положите, что две црямыя не могутъ имЬть бол'Ье одной общей точки, ибо первое лоложеше нлгЬетъ силу для всевозможных® грушшровок ь изъ 7 и $ элементовъ, а второе— для безчисленныхъ прямыхъ въ пространстве. Но именно по­ этому и немыслиМо| 4 т б ы къ установлёнш этихъ положешй пришли ипымт. способомт., чем® путемъ много' кратцаго экспериментировашл. Только неоднократный опытъ могь доказать, что, какъ бы ни комбинировать отдельный единицы чиселъ 7 и 5, въ результате по­ стоянно получается одна и та-же сумма единицъ, или, что^какъ .бы ни изменять_ нанравлетя прямыхъ, никогда

46

В. ВУПДТЬ.

не можетъ получиться образъ двухъ точекъ пересЬчешя. Не лучше обстоитъ дело и методами доказа­ т е л ь с т в а , которыми йтараютея затушевать- экспери­ ментальное происхождййё Ii3ii'!;c n 1ыхъ ит ж ъ - Эти дока-" зательства или предполагаютъуже-^еели они анагогиче­ ска го рода— въ действительности то, что требуется доказать, или же заключаютъ въ себе, просто олисате прхема йндукцт. ЭвклидоВы доказательства о конгруэнт­ ности относятся къ обоимъ родамъ. Доказательство кон­ груэнтности двухъ треугольнпковъ заключается, здесь въ томъ* что нриводлтъ къ- наложенiю оба .еравниваемыхъ объекта, при чемъ— если три стороны равны-^-непосред­ ственное созерцаше должно показать, что и треугольники совпадают!» дедикомъ (I, теор: 8); или же показываюсь •въ случае равенств# двухъ' Сторонъ и угла' между ними, или же одной стороны и двухъ угловъ —что предполо­ жение о неконгруэнтности треугольниковъ будетъ проти­ воречить аксюме, согласно которой две прямыя не мо­ гутъ заключать пространства (теор. 4 и 26). Ясно, что и въ этомъ апагогическомъ доказательстве обращеше къ непосредственному опыту приняло лишь иную форму; ведь я только изъ созерцашя знаю, что треугольникъ есть замкнутая фигура; значить, доказательство утверждаетъ лишь, что предпоЛожеше о неконгруэнтности етанетъ противоречить свидетельству моего созерцашя. То же самое можно сказать и о попыткахъ доказательства» для известныхъ основныхъ математйческихъ положений. Такъ называемый, сочетательный законъ сложешя и умно®enia, согласно которому (« -|- Ъ) + с = а -(- (Ъ -{- с) и (ft. Ъ) . 6 .== а . (Ъ . с); доказываюсь для любыхъ чиселъ, ' показывая,, что если онъ веренъ для некотораго даннаго количества элементов,•!., то онъ веренъ и для бли­ ж айш ая следующаго количества ’). Этотъ npieMi», навы!) L e j е 11 и и D i г i с Ы е t, Yoilesung-en uber Zahlentheori©2, стр. 3.

ОБЩ ЕЕ УЧЕН1Е О М АТЕМАТИЧЕСКОМ'Ь М ЕТО Д *.

47

наемый въ математике полной индукщей, представляетъ иъ действительности иидукдпо постольку, поскольку пред­ посылка, что законъ и м еем , силу для яйкотораго да ила го количества, могъ быть получоиъ л ишь ;ш 11 ирич ееки мъ путем'],. Но неправильно разсматривать ату предпосылку, какъ провизорную гипотезу, которая подтверждается лишь благодаря дальнейшему' распространению ея па любое количество Членовъ,— распространенно, не являющемуся новее индукщей. Эго подтверждение не Доказало бы ровно ничего, если бы положеше не было установлено путемъ опытов:!,. относящихся йъ ограниченному количеству чле­ нов!,. Но у математики имеете® любопытная особенность: она любить Отрицать опЫтъ и, чтобы сохранить аа собой дедуктивный Характеръ, разсматрпваеть въ качестве гипотезъ полож етя, вошикнця въ действительности путемъ индукцш. Это очень ясно видно въ следующем* анагогическомъ доказательстве, которое касается тесно свя­ занной Ев. сочетателвнымъ закояомъ теоремы, гласящей, что если два числа А и В состоять изъ одного л того же количества единицъ, то невозможно такое однозначное сопряж ете между ними, при которомъ остается некото­ рый остатокъ. Доказывается это такъ: донустимъ,* что верно противоположное; пусть наряду съ еопряжетемъ, не дающимъ остатка, имеется еще другое, при котором']., скажемъ, отъ числа В остается единица Ь. Уберемъ этотъ элемента Ъ изъ числа В и уберемъ также соответствующш ему элемента а изъ числа Д , еъ которьшъ оп ь бы.ть соединена, при не дававитемъ остатка сопряжеши. Затенъ опять предполагаютъ,' что между - оставшимися числами А ' и Л ! возможны двоякаго рода сонряжешя: одно— безъ остатка, другое— съ остаткомъ; здесь убираюта соответ­ ственные элементы Ъ' и а , и поступают'], такимъ обра­ зомъ до тЫъ порт,, пока отъ каждаго изъ обоих1!/чиселъ остается лишь по оДному элементу. Но непосредствен] но очевидно, что между двумя единицами ^возможно лишь

48

В. ВУНДТЪ.

сопряжете о д н о г о рода; отсюда поэтому и заключаютъ, что и между числами, состоящими изъ любого количества единицъ, возможно сопряжете только одного рода J). Конецъ ©того доказательства есть, очевидно, dem onstrate ad oculos, которое особенно очевидно въ случай двухъ единицъ, но вообще . достаточно ясно уже въ случай группъ изъ 2, 3 и л и вообще неболынаго числа единицъ. Дйло идетъ здйсь, какъ и въ случай эвклидовыхъ доказателъствъ о конгруэнтности, объ обращенш къ созерцанш . облаченному въ форму апагогическаго доказательства. При этомъ извращается реально имйюпцй мйсто npie-мъ индукцш. Индукщя исходить отъ простййшихъ случаевъ; здйсь же отъ сложнаго случая ндутъ къ самому простому. Можно поэтому обойтись безъ дальнййшихъ доказательств!,, что и проч1е обпце законы сочеташя чиселъ— перемйстительцый и распредйлительный законы, а -f- Ъ — Ъ + а, ah — Ьа, (с Ь) с —- ас-\-Ъс и т. д., имйютъ чисто ин­ дуктивное обосноваше. Мы укажемъ здйсь лишь на одинъ снещальный слу­ чай умножешя, потому что игнорировате индуктивна!?©: характера положешя повело здйсь къ очень любопытнымъ попыткамъ доказательства. Мы имйемъ въ виду то пра­ вило умножешя, согласно которому знакъ произведен in двухъ сомножителей положителенъ, если оба сомножителя имйютъ одинаковые знаки, и отрицателенъ, если они имйютъ разные знаки. Что -(- а. Ъ щ - |- аЪ и также -{- а. — Ъ— ■— аЪ это считалось чймъ то само собою разумйющимся; но долгое время равенство — а. — Ъ = + аЪ считалось какимъ то парадоксомъ, и еще у современныхъ авторовъ можно найти разсуждешя, сводящаяся къ замйчашю, что 'Tf а. — Ъ должно непремйнно имйть обратный знакъ, чймъ произведете + а. — Ь. Нельзя также раз: сматривать— какъ это нерйдко дйлаютъ— указанныя равен*) Ernst' Schroder, стр. 19_и с л.

Lehrbuch

d er

A n th m e tik

и .-. A lgebra, 1

ОБЩЕЕ УЧЕН1Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

49

*

ства, какъ чисто произвольная гипотезы, правомерность которыхъ доказывается только успехом*: ведь успешное применеше ихъ указывает* на присущую имъ внутрен­ нюю правомерность. Произвольно лишь употреблеше знаковъ плюсъ и минус® для-известных* реальныхъ противоположностей выражаемых* числами объектов*, как*, например*, величины ценностей, направлешя въ пространстве и т. д. Но и это употреблеше возникло изъ: наблюдешя эмпирических* объектов* счета. Связь между величинами а и 6 въ трехъ этихъ случаях* одна и та же, поэтому же и получается одно и то же произ­ ведете а. Ъ. Но равенство + а. ig* &= — аЪ означает*, что направлеше величины Ъ, которая должна быть взята а раз*, противоположно другому направленда того же самаго непрерывнаго комплекса величин*, обозначенному через* Ъ; поэтому полученная путемъ умножешя вели­ чина должна иметь отрицательное значеше. Тотъ же* самый результатъ нолучаютъ, когда- наоборот*, пред­ ставляют* себе (согласно равенству — a. - f - Ъ ^ Щ аЪ), что отнимают* а раз* положительную величину Ъ\ совокуп­ ная сумма отнятых* единиц* здесь опять-таки = — аЪ, потому что уже заранее отнимаше данных* перво­ начально величин* было обозначено с* помощью отрицательнаго знака. Равенство — а. — Ь = -(- аЪ озна­ чает*, наконец*, что представляют* себе а раз* отнятой отрицательную величину Ъ, такъ что, напримеръ, а раз* возмещается потеря въ Ъ единиц* ценности -или же а раз* откладывают* въ положительном* направленш путь Ъ, пройденный въ обратномъ направленш. Здесь непременно долженъ получиться положительный резуль­ тат*: ведь по общему логическому правилу, частным* случаемъ котораго является разбираемый нами математическш вопросъ, двойное отрицаше исчезает*. Эта связь съ закономъ противореч1я не доказываетъ ровно ничего против*-индуктивнаго происхождешя законовъ умножешя, н о в ы я и д е и в ъ м а т е м а т и к ® , с б . I.

4

50

в. ВУНДТЪ.

ибо сами логнчеопя аксюмы не. только являются въ одно и то же время законами мышлешя и объектовъ мышлешя, по и возникли лод'ь вляшемъ этихъ объектовъ. Кромё того, индуктивное цроисХожкдеше правил !, умножешя не исключаете, того, . что * отд&еьныя изъ этихъ правилъ могутъ быть выведены дёдуктивнымъ путемъ, когда даны друпе. Наоборот*, разъ дашшя п райм а содержать въ себ'Ь полное опредйлете ноложителышхъ и отрицательныхъ единицъ, то подобная дедукщя становится возможной. Действительно, йзъ обоихъ равенс#йъ'- f-а?-\- Ь — -f-аЪ и а*— а = 0 можно вывести второе и третье правила умножешяЩ Но возможность этой дедукцш доказываетъ. разумеется, только, что посл'Ь того, какъ путемъ: ипдукцш й абстракцш найдены первое правиле и ногате противоцоложныхъ чиселъ, можно уже обойтись безъ осЪбепнаго ипдуктпвпаго разыскаши остальныхъ правиль. Большимъ признашемъ пользуется наличность индукщи въ тйхъ случаяхъ сложной индукцш, при которыхъ въ то же время имйетъ мйсто и о б о б щ е н i е изъ бол'Ь?; про­ стых'!. индукщи. Сюда относятся прежде всего выводы отъ степени п къ степени (п -|- 1), при которыхъ только непра­ вильно употреблять выражеше б полной индукцш “ . То же самое можно сказать и о другихъ разложешяхъ въ ряда. Такъ, наприм'Ьръ, мы получаемъ начальные члены ряда:

путемъ дМствйтельнаго дЬлешя 1 па 1 —-х . Только тотъ фактъ, что иодоблымъ эксперименгальнымт, путемъ фактически образованы т а т е ряды, оправдываете доцущеше, что вообще всякая фунКщя величины можетъ быть разложена въ рядъ. Ш пъ нужды особенно доказы­ вать этого предиоложешя для каждаго отдельного случая; достаточно, что усп'Ьхъ подтверждаете правильность его ^ П одобны й выиодъ, данный Б с й е р ш т р а с с о я ъ . К о s ь a k, Die Elomente (ler Arithmetik, 1872, <-тр. 22 и сл.

см. у

ОБЩЕЕ УЧЕН1Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

51

безъ исключенья. Но и въ этихъ более сложныхъ случнях* индукщя можетъ быт* затушевана, впрочем*, вполне закономерным* образомъ. Это происходитъ или путемъ соединены!' съ дедуктивными онерацпши, или же такимъ способомъ, что индукщя находитъ примкнете к о с в е н и ы м ъ образомъ. Такъ, наприм’Ьръ, пользуются индуктиТвнымъ нахождешем* первоначальных* множителей какогонибудь числа т, чтобы найти затем* дедуктивным* путемъ тгЬ числа, которыя нервы съ т 1). Эти послйдшя числа можно было бы точно также найти путемъ прямой, но очень запутанной, индукцш съ помощью дЬлешя. d. М а т е м а т и ч е с к а я а б с т р а к ц 1 я . Математическую индукцш -# особенно въ ея простей­ ших* случаяхъ— обыкновенно проглядываютъ. Причина этого заключается въ томъ, что она с* самаго начала соединяется съ одним*, весьма законченным* и отличаю­ щимся своеобразными признаками, п р i е м о м ъ а б с т р а к ц ш . Никто бы не сомневался въ томъ, что формула сложешя 7 + 5 = 12 возникла путемъ индукцш, если бы чи­ словые символы обладали конкретнымъ значешемъ, если бы, скажемъ, формула эта гласила: семь яблоковъ и пять яблоковъ—-это двенадцать яблоковъ. Но такъ какъ эти сикволы могутъ обозначать всевозможные. объекты, то начинают* разсматривать числовыя представлешя и их* соединешя, а также и основныя геометричесюя построешя, какъ создавая чистой мыслительной деятельности, къ которымъ неприменимо вовсе поняйе индукщи, допусти­ мое лишь въ эмпирической области. Въ этомъ смысле нрежнш реализмъ нолагалъ, что все математичесйя ноложешя можно развить аналитически, безъ всякой посто­ ронней помощи, изъ абстрактныхъ понятШ числа, вели­ *) L e j e u n e - D i r i c h l o t , цит. соч. стр. 19 и сл.

л*

52

В. ВУ Н Д ТЪ .

чины, пространства. Когда же была признана интуитивная основа математическихъ положешй, то или старались— въ виду абстрактнаго характера ихъ,— вм'Ьст'Ь с/ь Кантомъ свести ихъ къ синтетическимъ построешямъ внутри чистаго нагляднаго представлешя или же пытались зату­ шевать различая между математической и естественно­ научной индукщей, при чемъ считались больше съ психо­ логической природой процессовъ, чгЬмъ съ ихъ логическимъ значешемъ. Недостатокъ обоихъ этихъ воззр^шй заклю­ чается въ томъ, что въ нихъ не удалено должнаго внимашя тому процессу абстракцш, который, главнымъ обра­ зомъ, и прндаетъ математическимъ индукщямъ ихъ все­ общность. У Канта чистое наглядное представлеше является первоначальной областью внутренняго опыта, въ которой каждое познаше единичнаго начинается съ построешя, между т'Ьмъ какъ, въ действительности, чистое наглядное представлеше есть высшая изъ т4хъ абстракцш, къ которымъ приводятъ частныя абстракцш математическихъ объектовъ. Милль, наоборотъ, см^шиваетъ математичесмя понятая съ объектами действительная опыта; геометрш въ частности онъ определяете вместе съ Кантомъ, какъ ту естественно-научную дисциплину, которая занимается пространственными свойствами т е л ъ 1). Такимъ образомъ принципы математики превращаются у него въ индукцш, обладающая къ тому же лишь приблизительнымъ значе­ шемъ, такъ какъ въ действительности вовсе не суще­ ствуетъ линш, плоскостей, правильныхъ фигуръ, предполагаемыхъ геометр1ей. Поэтому онъ принимаетъ математичесгая положешя за непосредственныя индукцш изъ опыта, между темъ какъ они являются индукщями изъ абстракцШ изъ опыта. Абстракцш вообще можно определить, какъ тотъ нр1емъ, съ помощью котораго изъ нёкотораго числа § Цит. соч. П, стр. 164.

ОБЩЕЕ УЧЕН1Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

53

частныхъ представлешй элиминируются известные эле­ менты, а остающееся сохраняются, какъ объектъ н'Ькотораго понятая. Благодаря отрицательной части этого определения можно, очевидно, подвести возникновете математнческихъ понятШ сразу же подъ пр1емъ абстрак­ ции. Но положительная часть его наталкивается зд^сь на своеобразныя трудности. Если провести указанное элиминироваше цЬликомъ, то, повидимому, не остается ровно ничего, соответствующего математическому по­ нятая). Число такъ же мало есть некоторое, мыслимое само по себ^, свойство исчислимыхъ объектовъ, какъ прямое направлеше является признакомъ изв’Ьстныхъ линш. Но этотъ фактъ не доказываетъ, что здгЬсь во­ обще нЬтъ никакой абстракцш; онъ показываетъ только, что было бы неправильно толковать математическую аб­ стракцш: совершенно по аналопи съ т£ми абстракщями, къ которымъ подаетъ поводъ физическое наблюдете. Но изъ сравнетя математнческихъ понятай съ физическими становится сейчасъ же яснымъ, что пр1емъ элиминиров а т я , въ которомъ заключается сущность абстракцш, въ случай первыхъ долженъ быть бол^е п о л н ы м ъ . По­ этому первый вопросъ долженъ гласить: каковы добавочныя уоиш я, присоединяюпцяся при возникновенш математнческихъ понятай къ обычной абстракцш, кото­ рую можно назвать, физической? Легко дать ответь на этотъ вопросъ, если предста­ вить себЬ гЬ затрудненья, въ которыхъ запутывается обычное у ч ете объ эмпирическомъ происхождеши математическихъ понятай. Это учете остается незыблемымъ, пока оно ограничивается изображетемъ отрицатель­ ной стороны абстракцш; но оно терпитъ неудачу въ тотъ самый моментъ, когда оно обращается къ положи^ тельнымъ элементамъ понятая, остающимся въ абстрак­ цш. Обыкновенно зд’Ъсь ссылаются на представления, зам,Ьщающ1я въ нашемъ сознаши понятая; но эта ссылка

54

В. ВУ Н Д ТЪ .

плохо маскирует* крущ ете; эмпирической ацнцепцш, ибо здесь смешивают* знаки понятай с* самими поняпями. Причина же неудачи заключается in, томъ, что съ са­ маго начала признают* за единственно существующее гЬ моменты иредставлеиш, которые относятся къ- объектам’!,, подвергающимся процессу абстракции и игнорируют* совершенно субъективные моменты, относящееся къ на­ шей собственной умственной деятельности. Б ъ отЛичщ| отъ эмпирической копцепцш, приводящей къ тому вы­ воду, что процесс* элиминирован in при абстракцш не даетъ никакого ос+атка, мы должны . заключить, что остающшся въ действительно сти остаток® к есть не что*; иное, какъ сама наша умственная деятельность,; прини­ мающая у ч а т ё при образованш математических* представленш. Иначе говоря: м а т « м а т и ч е с it i я и- о н я та я п о л у ч а ю т с я т о г д а , к о г д а мы: а б с т р а г и р у е м ъ отъ в с е х ъ т е х ъ э л е м е н т о в * п редставлены !, к о т о р ы е и м е ю т ъ свой и с т о чн и к ъ въ объ ек те. Особенно ясно обнаруживается это въ случае обра-зовашя понятая ч и с л а , такъ какъ абстрактная природа этого понятая позволяет* легко заметите слабость физи­ ческой теорш абстракцш.^ Если мы зададим* вопрос*, что именно остается, когда, мы абстрагируем* отъ всех* изменчивых* элементов* тех® представленш, в* примЬненш. к* которым* обнаруживается фуцкщя счета, то окажется, что этот* остаток!» сводится къ с а м о й ф у п к ц i и с ч е т а , ; %.е. к* связному ряду последовательных* актов* апперцепцш, каждый изъ которыхъ представляет® абстрактное понятае единицы. Мы, разумеется, не можем ь считать безъ объектов*, которые должны намъ быте даны во внутреннем* , или внещнемъ опыте»; поэтому-# каждое изображеше чиселъ вынуждено,.обратиться к® объектив^ нымъ конкретизациям*, воспроизводящим* те простейшее повода, изъ которых* возникли числа. Но понята© числа это то, | что остается после элшшнировашя всех* этихъ

ОБЩЕЕ УЧЕН1Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

55

изм'Ьнчивыхъ элемецтовъ: это— связь отд’Ьльныхъ актовъ мысли, какъ таковыхъ, независимо отъ всякаго содержашя. Съ этой точки зр^ш я намъ не трудно будеть разо­ браться и въ геометрическихъ понятаяхъ. Геометрическая точка отличается отъ физической темъ, что въ случай последней дйло идетъ всегда о чемъ то, что должно быть дано объективно, съ определенными физическими свойствами. Геометрическая же точка означаетъ просто некоторое отдельное место въ пространстве, поскольку оно дано лишь нашей, определяющей место, умственной деятельностью. Въ этомъ случай мы абстрагируемъ отъ. свойствъ физическихъ предметовъ, которые служатъ намъ какъ для внутренняго представлешя, такъ и внйшняго обозначешя какого-нибудь Mi ста. Остается только уста­ навливающая мЬсто деятельность, безъ которой невоз­ можно никакое определете места. Отсутеше протяжеш я у точки является само собою разумеющимся следств1емъ этой абстракцш, такъ какъ протяжеше свой­ ственно только объективнымъ нредметамъ, съ помощью которыхъ определяютъ место въ пространстве. Несколько сложнее—-процессъ абстракцш, ведущш къ образованно понятая прямой линш. Здесь— въ отлич1е отъ случая съ ариеметической единицей и геометрической точкой— не просто абстрагируютъ отъ предметовъ, являющихся объектомъ счета или наподняющихъ пространство. Вследъ за чувственнымъ представлешемъ приблизительно прямолинейнаго стержня следуетъ сперва воицнятае, что подоб­ ный стержень— какъ бы его ни поворачивать вокругъ себя— всегда соединяетъ неизменнымъ образомъ два от-; деленныхъ другъ отъ друга въ пространстве места, черезъ которыя его представляютъ себе проведеннымъ. Это опытное наблюдете перерабатывается затемъ мате­ матической абстрактней: но устраненш Съ ея. помощью изъ представлешя о стержне всехъ объективныхъ эле-

5(1

В. ВУНДТЪ.

ментовъ, остается еще актъ мысли, определяющей отно­ сительное положеше двухъ точекъ другъ' относительно друга. Такъ какъ прямая, которую слйдуетъ провести въ ц'Ьляхъ onpejlueniii пдяожешя, разсматривабтся здесь только съ точки зрйшя ея направлешя и длины, то въ качестве единетвепныхъ элементовъ понятая о некоторой данной прямой остаются лишь направлеше и длина. То обстоятельство, что въ природ1! нгЬтъ вовсе абсолютно прямолинейныхъ границъ, нисколько не мгЬшаетъ образо­ ванно этого понятая, такъ какъ мысль о соединенш двухъ точекъ въ цйляхъ определешя положешя этоЦ-постулатъ нашего мышлешя, а не действительное представлеше. Аналогичнымъ образомъ сл!дуетъ понимать и про­ цессъ переработки прочихъ геометрическихъ представленШ. Более простыл изъ нихъ имЬютъ тоже своимъ источникомъ непосредственный опытъ. Друпя же возникаютъ съ Помощью объективныхъ или субъективныхъ, совершающихся подъ руководствомъ нашей силы воображешя, экспериментовъ, т. е. путемъ п ос т р о е н i я. Но возни­ кающей такимъ путемъ образъ становится Ге#метрическимъ объектомъ въ собственномъ смысл! лишь тоща, когда мы элиминируемъ вс'Ь т ! элементы представлена!," кото­ рые являются лишь побочными обстоятельствами при койечномъ результат!, на который направлено наше мышлеше. Если мы желаемъ разсматривать некоторую данную фигуру, какъ окружность, или построить окруж­ ность, то требоваше нашего мышлешя состоитъ въ постулированш непрерывной череды геометрическихъ то­ чекъ, лежащихъ въ одной плоскости и связанныхъ съ одной неподвижной точкой прямыми лишями постоянной величины. При геометрическомъ изследованш окружности насъ интересуетъ только это требоваш е,, а не то частное представлете, которое должно замещать понятае въ наптемъ сознанш. Мнопе авторы напирали особенно на То обстоятельство, что представлешя, соотв'Ьтствуюпця поня-

ОБЩЕЕ УЧЕН1Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

57

таямъ, должны быть построены нами. Благодаря этому будто бы исчезаетъ затруднеше, заключающееся въ томъ, что геометричесюя понятая не соотв’Ьтствуютъ никакимъ реальнымъ объектамъ, такъ что возможно разсматривать сами построенныя представлешя, какъ геометричесше образы, не прибегая къ особенному процессу абстрак­ цш. Но этимъ построеннымъ представлешямъ при­ суща та же тамая неточность, что и внЬшнимъ объек­ тамъ. Поэтому существеннымъ моментомъ при обра­ зовали понятай является всегда элиминироваше веЬхъ эмпирическихъ элементовъ представлешя и сведете къ т4мъ элементамъ, которые носятъ Характеръ постулатовъ мышлешя. Обпця услов1я математическаго образовашя понятай, именно формы нагляднаго представлешя про­ странства и времени, опираются цЬликомъ на абстракцш того же самаго рода: при нихъ мы элиминируемъ мысленно всякое данное пространственное и временное содержаше и сохраняемъ таким# образомъ лишь субъективныя формы апперцепцш, которыя сопровождаютъ процессъ представлешя во времени и въ пространстве. Въ силу им'Ьющагося й здесь на лицо процесса аб­ стракцш „чистое наглядное представлеше“ есть понятае, а не представлеше. Развиваемая здесь точка зр4шя отличается отъ кан­ товской концепцш, главнымъ образомъ, въ томъ отношенш, что у Канта субъективные элементы математиче­ скаго образовашя понятай предшествуютъ объективнымъ элементамъ и что они обозначаются имъ въ этомъ смыслй, какъ трансцендентальныя услов1я самого эмпирическаго представлешя. Такъ какъ Кантъ отрицаета логическую природу чистаго нагляднаго представлешя, то онъ вынужденъ. принять особую конструктивную деятельность чистой силы воображешя. Но ничто не уполномочиваете насъ поступать такимъ образомъ и ста­ вить конечный результата математическаго познапЫ въ

58

В. ВУ Н Д ТЪ .

начал'Ь его, вместо того, чтобы следовать шагъ за шагомъ за действительными познашемъ. Сущность математическаго a priori состоитъ въ сведенш къ формальнымъ условгямъ нашего понимашя. Поэтому мы не можемъ видеть основъ этого a priori въ построенш, д'Ьланщемъ излишней всякую индукцш и абстракщю, а еще менгЬе въ какомъ то внанш, предшествующемъ всякому опыту, ибо, скорее, наоборотъ, математичесмя п о н я т должны проделать самый длинный путь, исходя изъ опыта. Весь продессъ абстракцш, служащш для установлешя математическихъ понятш, относится, такимъ обра­ зомъ, къ типу и з о л и р у ю щ е й абстракцш. Но абетракщя, въ постоянной связи съ индукщей, вторгается и въ дальнМшщ процессъ математнческаго мышлешя. Въ качеств^ о б о б щ а ю щ е й абстракцш, она даетъ возмож­ ность переносить положешя, полученный при разсмотрйнш частныхъ образовъ нагляднаго представлешя, на цЪлые классы подобныхъ образовъ, благодаря чему они получаютъ подобающую имъ всеобщность. ЗатЗзмъ ту же самую абстракцш начинаютъ применять къ положешямъ, полученнымъ при помощи частныхъ индукцш, чтобы съ ихъ помощью установить основныя п о н я т , которыя формулируются загЬмъ въ опредйл’ешяхъ и могутъ быть разсматриваемы какъ общ!я ycлoвiя этихъ частныхъ положенШ. Когда такимъ образомъ найдено самое общее опред’Ьлеше, господствующее надъ определенной областью математическихъ понятШ, то это является поводомъ сызнова испытать тгЬ положешя, которымъ можетъ быть приписанъ аксюматическШ характера. Изъ нихъ возводятъ въ рангъ окончательныхъ аксшмъ г Ь, которыя являются исчерпывающими по отношенш къ опредгЬ ленш и которыя поэтому содержатъ въ себе всЬ друпя, не­ посредственно индуктивныя, не нуждающаяся ни въ ка­ комъ доказательств^, положешя, какъ частные случаи. Списокъ аксюмъ Эвклида производитъ впечатлите чего.

ОБЩЕЕ УЧЕН1Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

59

то случайно собраннаго потому лишь, что при уста­ новлены ихъ Эвклидъ не руководился никакими опреде­ ленными дефинициями основныхъ понятай числа, вели­ чины и пространства; поэтому у него отчасти переме­ шаны между собой аксюмы изъ различныхъ областей, отчасти же съ аксшмами смешаны ноложешя подчиненнаго характера. Этотъ недостатокъ эвклидовской системы по существу является результатомъ недостаточнаго обобщешя.

4. Математическая дедукц!я. При томъ огромномъ значенш, которымъ обладаетъ математика для выработки дедуктивныхъ методовъ, общее учеше о методе должно было уже не разъ обращаться, какъ къ образчику, къ математическимъ наукамъ. Основныя формы математической дедукцш были разсмотрены нами въ ученш о дедукцш и дедуктивномъ доказатель­ стве. Въ следующихъ главахъ мы займемся разсмотрешемъ частныхъ логическихъ методовъ, опирающихся на опредЬленныя основныя понятая. Здесь мы разсм'отримъ подробнее только одну общую форму дедукцш, которая имеетъ чисто математическую природу и имеетъ огромное значеше для всехъ областей математики— именно, де­ дукцию на основанш точной аналргш. Въ систематической связи математическаго мышлешя точная аналопя является чаще всего дедуктивнымъ завершешемъ обычной неполной индукцш, результату которой она сообщаетъ общезна­ чимость. Особенно наглядно это въ случае упомянутаго уже выше заключешя отъ и-таго члена къ (п -)- 1)-ому члену, такъ называемой, ошибочно „полной индукцш“ математиковъ. Такъ, напримеръ, находятъ путемъ ин­ дукцш, ч^о переместительный законъ имеетъ силу для двухъ и трехъ чиселъ, а затемъ показываютъ, что онъ можетъ быть распространенъ съ п на (п 1) чиселъ; но

00

в . ВУ Н Д ТЪ .

такъ какъ за п можно взять любое число, то законъ этотъ доказанъ такимъ образомъ въ общемъ вид1! ). Общее основаше для этого безусловнаго обобщешя математическихъ индукцШ— это единообраз1е числовыхъ законовъ. А это единообраз1е основывается не на фактическомъ подтверждены во всякомъ опыт!, а прежде всего на постоянстве понятай, являющемся услов!емъ нашего собственнаго логическаго мышлёшя. Если бы я иредположилъ, что при переход! отъ п къ (п -)- 1) им!етъ силу другой законъ приращешя, ч!мъ при переход! отъ 1 къ (l -Ь 1), то я долженъ былъ бы принять, что понятае единицы или процессъ аддитйвнато связывашя испыталъ перем!ну, ' т« е. что тождественныя операцш мышлешя не тождественны между собой. Конечно, такое допущеше противоречить всякому опыту. Но если, вм !ст! съ Миллемъ, прирав­ нивать на этомъ основанш математическая обобщешя указаннаго рода обобщешямъ эмпирическихъ законовъ и сводить ихъ къ простой inductio per enumerationem simplicem 2), то это значить см!шивать между собой разнородныя вещи. В!дь существуетъ огромное различ1 е между положешемъ, которое обязано своимъ всеобщимъ значешемъ лишь тому обстоятельству, что до того никакой онытъ не противор!чилъ ему, въ то время какъ вполн! можно представить себ! противор!чапря ему наблюдения.— и такимъ положешемъ, отсутствие ко­ тораго мы не можемъ себ! представить, не мысля въ то же время изм!ненными законы нашего нагляднаго пред­ ставлешя и нормы нашего мышлешя. Совершенно инымъ образомъ завершаетъ аналопя т ! разрозненным индукщи, которыя лежать въ основ! сложныхъ процессовъ индукщи и образовашя аксюмъ. *) L е j е u п е —D i г i с h l'e t, Voriesungen iiber Zahlentheorie, стр. 1 и сл.

2) M i l l , Logik, II2, стр. 154.

ОБЩЕЕ УЧЕН1Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М ЕТО Д *.

61

ЗдЬсь частныя положешя, полученныя путемъ индукцш, им’Ьютъ значеше абстрактныхъ правилъ для единичныхъ фактовъ, которые сами по себе недоступны обобщенно; аналоия дозволяетъ установить друпя единичныя положешя того же рода, которыя благодаря этому не нуждаются уже въ особой индукцш. Найдя путемъ прибавлешя единицъ сумму 7 — 1—5 — 12, мы тотчасъ же образуемъ суммы 70 -)- 50 = 120, 700 + -(- 500 — 1200 и т. д. и при этомъ не считаемъ вовсе необходимымъ производить сложеше и въ этихъ случаяхъ. Разсматривая 10, 100, 1000 и т. д., какъ новыя слож­ ный единицы, мы предполагаемъ т£мъ самымъ, что возможныя между ними операцш подчиняются тгЬмъ же самымъ законамъ, ‘что и операцш, производимыя надъ простыми единицами. Поэтому частныя индукцш, изъ которыхъ абстрагируютъ аксшматичесше законы сложешя, умножешя, вычиташя и дЬлешя, ограничиваются установлешемъ числовыхъ формулъ, прим4нимыхъ къ числамъ отъ 1 до 10: въ случай прямыхъ дМствш они соотвйтствуютъ при всЬхъ обстоятельствахъ легко ироизводимымъ соединешямъ единицъ, межъ т'Ьмъ какъ въ случай обратныхъ дййствш— именно тамъ, гдй получаются отрицательныя, иррацшнальныя или мнимыя количества— установленныя отнош етя не параллельны непосредственно действительным!. индукщямъ. Действительно, нельзя себе представить, чтобы можно было придти путемъ непосредственнаго счета "къ отрицательнымъ или ирраць ональнымъ числамъ, пока числа сохраняли свое перво­ начальное значеше. Скорее дело обстоитъ такъ, что соответственная числовыя формулы сперва образуются по аналогш съ другими, получившимися изъ действие тельныхъ индукцш, и лишь позднМнпя индукщи дру­ гого характера повели къ открытш, что имъ можетъ соответствовать реальное «начете. Здесь, такимъ обра­ зомъ, вещи происходили въ порядке, противоположном!.

62

В . ВУНДТЪ.

обычному порядку; аналопя повела /сперва к® опред'Ьленнымъ законам*, получившим* потом* благодаря ипдукцш объективную основу. Само собою разумеется, что в* подобных* случаях* последующая индукщя может* и не иметь места. Но: там*, где индукщя имеет* место, це следует* понимать процесса так*, будто понятая сперва были найдены путем®;:анадопй,: а затем* еще раЗ* самостоятельно путем* индукцш- Индукщя скорее приводила всегда лишь к* реальнымъ отношешямъ, для внраж ейя которых® оказывались пригодными имеклщлся уже налицо понятая. Поэтому нрименеше ихъ имело своим® источником* произвольное перенесете, к* кото­ рому индукщй’ давала лишь внешшй . поводъ. Ничто не заставляет* нас*-—въ смысле объективнаго прйнуждёшя— обозначать выигрыш* и потерю, имущество и долги, съ помощью положительных* и отрицательных* чисел*; но для того, чтобы отрицательны я числа получили вообще какое-нибудь реальное значеше, эти противоположный понятая должны были возникнуть путем* иНдукцш из* опыта. Въ области геометрш мы пользуемся аналоией, чтобы перенести прямо то, что дано индуктивно въ каком],нибудь Частном* построеши, на все прострапствешшя фигуры того Же рода, и чтобы придать таким* образомъ факту, найденному въ какомт.-ннбудь частном* случае, ценность всеобща го закона. Эта ана лопя— точная, ибо она основывается на невозможности представить себе другая пространства помимо того, которое дано в* дей­ ствительном* наглядном* шредетавленш.,■ Ватруднетя/пре^ставляемыя уже, с* давних* пор*, такт, называемой, акcioMoii о параллельных* лишяхъ, Основываются по су?: ществу на Наличности аналогш, обнаруживающей своё действие в* случае этого полож етя. Что две нрядшя, пересеченныя Tji(ii*(;il п])ямой под’1> равными углами, никогда н е ‘пересекутся,: сколько бы мы их* ни продол­

ОБЩЕЕ УЧЕН1Е О МАТЕМАТИЧЕСКОМЪ М Е Т О Д *.

63

жали, это мы заключаешь изъ того, что можно переме­ щать секущую прямую параллельно самой себ!, не из­ меняя при этомъ угловъ пересечешя. Поскольку это заключеше основывается на непосредственномъ еозерцанщ, оно— индукщя; поскольку же мы обобщаемъ его и распространяемъ на всякое возможное созерцаше, оно— точная аналоия, основывающаяся на совершенной кон­ груэнтности пространства съ самимъ собой. Совсемъ иной характеръ носитъ аналопя въ тйхъ геометрическихъ изследовашяхъ, где она выводить геометричесшя понятая изъ области реальнаго нагляднаго представлешя. Таковъ, напримеръ, переходъ отъ нашего пространства къ пространствамъ со многими измерешями, производимый по аналогш съ переходомъ отъ плоскости къ пространству. Здесь, какъ и въ Случаяхъ расширешя понятая о числе, процёссъ начинается съ аналогш, за которой затемъ при известныхъ обстоятельствахъ могутъ последовать .индукщи, имеюпця реальное применете. Нужно только иметь въ виду, что эти применешя уже не относятся къ области собственно геометрш, которой поло­ жены неизменныя границы благодаря наглядному представлешю пространства; здесь дело идетъ лишь о трактовке въ геометрической форме проблемъ изъ другихъ областей,— изъ области теорш функцш или учешя о многообраз1яхъ. Такимъ образомъ въ совокупной связи математическихъ методовъ существуютъ вообще д в е формы иепользовашя точной аналогш: п е р в а я примыкаетъ къ индукщи и ведетъ къ установлешю общезначимости известныхъ положенШ, полученныхъ первоначально путемъ индукщи; в т о р а я же расширяетъ известныя операцш или установленныя инымъ путемъ понятая за ихъ первоначальную область, продолжая определенный логическш процессъ по аналогш съ нормами, имеющими для него силу въ границахъ опыта, за эти нормы. Первая применяется преимущественно при более основныхъ положешяхъ,

64

В. ВУ Н Д ТЪ .

вторая служить основой для самыхъ абстрактны хъ, иногда совершенно отрывающихся отъ почвы нагляднаго пред­ ставлешя, снекулнцШ. 0 6 i формы можно свести'къ различпымъ принципамъ; первую— къ принципу и о с т ол й с т в а м а т е м а т и ч е с к и х ъ з а к о н о в ъ, вторую— къ принцийу перманентности математиче­ с к и х ъ д е й с т в i t . Первый изъ нихъ-—п р и н ц и и ъ п о с т о я н с т в а — весьма пригоденъ для распространения найденных!. въ отдЬльныхъ частныхъ случаяхъ законовъ па любое; количество другихъ случаевъ; но онъ не мо-‘ жетъ повести къ н о в ы м ъ ношгпямъ и законам!.. Зато и р и н ц и и г, п е р м а д е н т н о е т и обладает'!, въ высокой степени этимъ поелйдшгаъ качествомъ. Благодаря прим'Ьнспш его происходить обыкновенно зпачителт.пыя илмЬпешя въ пош тяхъ, которыя могутъ сопровождаться въ то же время измйнешями въ законахъ, уиравляющихъ дйислтаями надъ этими поняпями ’)• Огромное значеше принципа перманентности въ развитш математичёскаГо мышдешя обнаруживается особенно въ прим§ненш его къ самому основному понятию математики, къ ч и с л у . Перевелъ П . Ющкевичъ.

х) Выражеше „аринципъ перманентности" въ прим1шенш къ этому второму основоначалу, опирающемуся на точной аналогш, уиотробил'ь"'"<ке Г а II к в л t>. (Theorie aer котр1ехепч2&Ыеадуйетпе, 1860, стр. 10).

Г. Грассманъ. Ч и с та я м атем атика и учеш е о протя­ ж енности х).

А. Дедунщя поняля чистой математики.

1. Верховное д!леше веЬхъ наукъ состоять въ раз­ д а в ш и ихъ на реальныя и формальныя науки, изъ ко­ торыхъ первыя отображаютъ въ мышленш бьше, какъ самостоятельно противостоящее мышленш. Ихъ истина заключается въ согласш мышлешя , съ этимъ бьтемъ. Наоборотъ, формальныя науки им^йотъ своимъ предметомъ то, что полагается самимъ мышлешемъ. Ихъ истина за­ ключается въ согласш процессовъ мышлешя съ самими собою. Мышлеше существуете лишь въ отношенш къ неко­ торому бытш, которое противостоитъ ему и отображается мышлешемъ. Но въ реальныхъ наукахъ это б ь т е — само­ стоятельное, существующее само По себ! вн ! мышлешя. Въ формальныхъ же наукахъ оно полагается самимъ мышлешемъ, противостоя въ качеств! бытая некоторому второму акту мышлешя. Если истина вообще заключается въ согласш мышлешя съ бьтемъ, то въ частности въ формальныхъ наукахъ она заключается въ согласш вто­ *) В в ед ет е въ книгу автора „Die lineale Ausdelmungslehre etc. 1844 2-0© изд. Leipzig 1878. ИОВЫЯ ИДЕИ ВЪ МАТЕМАТИКА, ОБ. I.

5

66

Г. ГРАССМАНЪ.

рого акта мышлешя съ бьтем ъ, полагаемымъ первымъ актомъ, т. е. заключается въ согласш между собой обоихъ актовъ мышлешя. Поэтому въ формальныхъ наукахъ доказательство не выходитъ изъ сферы самого мышлешя въ другую сферу, но сводится исключительно къ сочета­ т ь ) различныхъ актовъ мышлешя. Поэтому же формаль­ ный науки не могутъ исходить изъ основоначалъ, какъ реальныя; ихъ основу образуютъ опред!лешя 1).

2. Формальныя науки разсматриваютъ или о б щ i е законы мышлешя, или то ч а с т н о е, что полагается мы­ шлешемъ. Первымъ занимается даалектика (логика)2), вторымъ— чистая математика. Такимъ образомъ противоположность между общимъ и частнымъ обусловливаете собою д!леше формальныхъ наукъ на д1алектику и математику. Первая— философская наука, разыскивающая единство во всякомъ мышленш; математика же направлена въ противоположную сторону, ибо она разсматриваетъ все то, что является объектомъ мышлешя, какъ частное.

3. Поэтому чистая математика есть наука о ч а с т н о м ъ бытш, какъ такомъ бытш, которое образовалось, с т а л о благодаря мышленш. Частное бьше, понимаемое въ этомъ смысл!, мы называемъ формой мысли или просто ф о р м о й . Поэтому чистая математика есть у 4 e n i e о формахъ. Назваше „учете о величинахъ“ не подходите ко !) "Если все-таки ввели въ формальныя науки—напримеръ, въ ариеметику—основоначала, то это является злоупотреблетемъ, кото­ рое можно объяснить лишь соотв’Ьтственнымъ трактоватемъ гео­ метрш. Въ дальн'Ьйшемъ я еще вернусь подробнее къ этому. ЗдЬсь же достаточно указать на неизбежное отсутств1е основоначалъ въ формальныхъ наукахъ.

2) Логика представляетъ чисто математическую сторону, кото­ рую можно назвать формальной логикой. Содержаше ея было обра­ ботано совместно моимъ братомъ Робертомъ и мной. Она изложена имъ въ своеобразной формЬ, во второй книгЬ еро Formenlehre, Stettin, 1872 (1877) [Новое издаше въ 2-хъ томахъ: Logik. u. Formenlehre, Stettin, 1890 и 1891].

ЧИСТАЯ МАТЕМАТИКА И УЧЕН1Е О ПРОТЯЖ ЕННОСТИ.

67

всей математик! въ ц!ломъ, ибо оно совс!мъ не приложимо къ сущесственной отрасли ея, къ ученш о сочеташяхъ, а къ аривметик! приложимо лишь въ непрямомъ смысл! *). Съ другой стороны, выражеше „форма" кажется, въ свою очередь, лишкомъ широкимъ. Гораздо лучше, казалось бы, назваше: „форма мысли“ . Но форма, взятая въ своемъ чистомъ значеши, т. е. отвлеченная отъ всякаго реальнаго содержашя, есть не что иное, какъ форма мысли. Следова­ тельно, употребленное нами выражеше вполн! подходящее. Прежде, ч!мъ перейти къ разд!лешю учешя о формахъ, мы выд!лимъ изъ него особую область, которую до сихъ поръ ошибочно относили къ нему— именно гео•метрш. Уже изъ вышесказаннаго ясно, что геометр1я, какъ и механика, относится къ н!которому реальному бытш, каковымъ для геометрш является пространство. Ясно также, что понятае пространства ни въ коемъ слу­ чай не можетъ быть порождено мышлешемъ, но всегда противостоите посл!днему, какъ н!что данное. Тота, кто сталъ бы утверждать противное, тотъ долженъ былъ бы вывести изъ чистыхъ законовъ мысли необходимость трехъ изм!ренш пространствъ, а это, очевидно,- невозможно. Если бы кто-нибудь, согласившись въ этомъ съ нами, желалъ все таки и геометр!ю называть математикой, то мы бы охотно пошли ему навстр!чу, при условш однако, чтобы онъ, со своей стороны, принялъ нашъ терминъ „учеше о формахъ“ или какой-нибудь другой, равнозначущш ему. Но мы заранйе все-таки должны были бы указать на то, что въ этомъ случа! назваше „матема­ тика", какъ заключающее въ себ! самыя разнородныя вещи, съ течешемъ времени неизб!жно будетъ отброшено за ненадобностью его. *) Поняпе величины представлено въ ариеметик'Ь поняйемъ числа. Языкъ поэтому ясно отличаетъ выражетя: „умножать" и „убавлять" (прим’Ьнимыя къ числу) отъ выражешй: „увеличивать'1 и „уменьшать" (прим'Ьнимыхъ къ величин!.).

68

Г . ГРАССМАНЪ.

Положеше, занимаемое геометр!ей по отношенпо къ ученш о формахъ, зависите отъ отношешя между нагляднымъ представлешемъ пространства и чистымъ мышлешемъ. Говоря выше, что это наглядное представлеше противостоитъ мышленш, какъ самостоятельно данное, мы не думали этимъ утверждать, будто мы получаемъ на­ глядное представлеше пространства лишь изъ разсмотрйш я нространственныхъ вещей. Оно является основнымъ нагляднымъ представлешемъ, которое дано намъ вместе съ открытостью нашихъ чувствъ для чувственнаго Mipa и которое присуще намъ такъ же изначально, какъ тЬло душ!. То же самое можно сказать относительно времени и относительно движешя, основывающагося на наглядныхъ представлешяхъ пространства и времени. Поэтому то можно было причислять чистое учете о движенш (форометрш) съ такимъ же правомъ какъ и геометрш, къ математическимъ наукамъ. Изъ нагляднаго представле­ ш я движешя черезъ посредство противоположности при­ чины и дЬйств1я вытекаетъ поняпе о движущей сил!. Такимъ образомъ, геометрия, форометрхя и механика являются нримфнешемъ учешя о формахъ къ основнымъ нагляднымъ представлешямъ чувственнаго Mipa. В. Дедукщ я поняли учешя о протяженности.

4. Все, становящееся благодаря мышленш (ср. § 3) можетъ становиться двоякимъ образомъ, или путемъ про­ стого акта п о р о ж д е н ! я , или путемъ двойного акта п о л а г а н i я и с в я з ьт в а н i я. Становящееся первымъ образомъ есть н е п р е р ы в н а я ф о р м а или в е л и ­ ч и н а въ узкомъ смысл! слова; становящееся вторымъ образомъ есть д и с к р е т н а я ф о р м а или ф о р м а с в я ;! ыв а ni я. Простое понятае становлешя даете непрерывную форму. Въ случай дискретной формы то, что полагается

ЧИСТАЯ МАТЕМАТИКА. И УЧЕШ Е О ПРОТЯЖ ЕННОСТИ.

69

до связывашя, тоже, правда, полагается мышлешемъ; но для акта связывашя оно является даннымъ, а способъ, какимъ изъ даннаго становится дискретная форма, есть простое соединеше въ мышлеши (Zusammendenken). Легче всего постичь поняие непрерывнаго становлешя, ес.ш разсматривать его сперва по аналогш съ болйе привычнымъ дискретнымъ способомъ возникповешя. Въ случай непрерывнаго порождешя, то, чтб каждый разъ стано­ вится, удерживается, а нововозникающее тотчасъ же, въ моментъ своего возникновешя, соединяется съ нимъ въ мышлеши. Такимъ же точно образомъ можно по анало­ гш и въ случай непрерывной формы отличать, по н о н я т i ю, двойной актъ полагашя и связывашя, но оба-—со­ единенные здйсь въ одинъ актъ, въ одно нераздйльное единство. Именно изъ обоихъ членовъ связи (пользуясь на время по аналогш этимъ выражешемъ) одинъ есть то, что уже стало, другой же то, что лишь возникаетъ въ моментъ связывашя и, слйдовательно, не нйчто такое, что уже готово до связывашя. Такимъ образомъ. Оба акта— именно акты полагашя и связывашя— нереходятъ цйликомъ другъ въ друга, такъ что невозможно связы­ вать до полагашя и невозможно полагать до связывашя. Или же, пользуясь способомъ выражешя, подобающимъ непрерывному: то, что вновь возникаетъ, возникаетъ лишь въ томъ, чтб уже стало; слйдовательно, оно— моментъ са­ мого становлешя, представляющагося здйсь въ своемъ дальнййшемъ протеканш, какъ ростъ. Противоположность между дискретнымъ и непрерывнымъ (какъ и вей и с т и н н ы я противоположности)— текучая, ибо дискретное можетъ быть разематриваемо, какъ не­ прерывное, и, наоборотъ, непрерывное, какъ дискретное. Дискретное разсматривается, какъ непрерывное тогда, когда связанное само, въ свою очередь, постйгается, какъ ставшее, а актъ связывашя"—какъ моментъ становлешя. А непрерывное разсматривается, какъ дискретное, когда

70

Г . ГРАССМАНЪ.

отдельные моменты становленш постигаются, какъ про­ стые акты связывашя, и когда то, что такимъ образомъ связано, разсматривается по отношению къ связывашю, какъ данное.

5. Каждое чавтное (§ 3) становится таковымъ черезъ понятае р а з л и ч н а г о , благодаря которому оно коорди­ нируется съ другимъ частнымъ, и черезъ понятае р а в н а г о, благодаря которому оно вместе съ другими частными под­ чиняется одному и тому же общему. Становящееся изъ равнаго мы можемъ назвать алгебраической ф о р м о й, становящееся изъ различнаго— с о ч е т а т е л ъной формой. Противоположность между равнымъ и различнымъ тоже текучая. Равное различно, поскольку уже то или иное, равное .ему, какимъ-нибудь образомъ обособлепо (ведь безъ этого обособлешя оно было бы только однимъ, значить, не было бы равнаго); различное— равно, хотя бы постольку, поскольку различные объекты связываются между собою относящеюся къ нимъ деятельностью, т. е. поскольку они являются ч4мъ-то связаннымъ. Но это не значить, что оба момента теряются другъ въ друге, такъ что нуженъ масштабъ для определешя того, сколько сле­ дуете признать равнаго и сколько различнаго между обоими представлешями. Хотя съ равнымъ и связано всегда какимъ-нибудь образомъ различное, и наобороть, но все-таки въ каждомъ случае лишь одно изъ нихъ является моментомъ разсмотр^шя, между тЬмь какъ другое пред­ ставляете лишь предпосылку и основу перваго. Подъ алгебраической формой понимается'зд^сь не просто число, но и то, что соответствуете числу въ сфер! непрерывнаго. А подъ сочетательной формой по­ нимается не одно только сочеташе, но и то, что соот­ ветствуете ему въ сфере непрерывнаго.

6. Изъ скрещенгя обеихъ этихъ противоположностей, изъ которыхъ первая относится къ способу порождешя,

ЧИСТАЯ МАТЕМАТИКА И УЧЕШ Е О ПРОТЯЖ ЕННОСТИ.

71

а вторая— къ элементамъ порождешя, возникаютъ четыре разновидности формъ и соответствующая имъ отрасли учешя о формахъ. Въ нервыхъ дискретная форма, рас­ падается на число и сОчеташе (связку). Ч и с л о —-это алгебраически-дискретная форма, т. е. оно— соединеше того, что ;положено, какъ равное. С о ч е т а н и е — это сочетательно-дискретная форма, т. е. оно соединеше того, что положено, какъ различное. Такимъ образомъ, науки о дискретномъ, — это у ч е н i е о ч и с л а х ъ и у ч е н i e о с о ч е т а н i я х ъ (учеше о соединешяхъ). Врядъ ли нужно подробнее доказывать, что такимъ образомъ вполнй исчерпано и точно отграничено понятае числа, а также пошше сочеташя. А такъ какъ проти­ воположности, благодаря которымъ возникли эти опредйлешя,— самыя простыя, имеющаяся непосредственно въ понятш математической формы, то этимъ достаточно оправдывается данная выше дедукцш *). Я замЬчу лишь, какъ отчетливо выражается противоположность между обеими этими формами въ различномъ обозначенш ихъ эЛементовъ: то, что присоединяется къ числу, обозна­ чается однимъ и тЗщъ же знакомъ (I), а то, что при­ соединяется къ сочетанго,— различными, вообще совер­ шенно произвольными, знаками (буквами), Врядъ ли приходится упоминать о томъ, что согласно съ этимъ каждое множество вещей (особенно­ стей) можетъ быть съ равнымъ правомъ— въ зависимости отъ точки зрйшя— разсматриваемо или какъ число, или какъ сочеташе.

7. Такимъ ,же точно образомъ непрерывная форма или величина разделяется на алгебраически-непрерывную форму, или и н т е н с и в н у ю в е л и ч и н у , и на сочета1) Понято числа и еочетатя было развито совершенно сходнымъ образомъ еще 17 л-Ьтъ тому назадъ моимъ отцомъ въ стать* „Ueber den Begriff der reinen Zahlenlehre", помещенной въ про­ грамм^ .Штеттинской гимназш отъ 1827 г. Но она осталась мало известной, широкой публик'Ь.

72

Г . ГРА ССМ АН *.

тельно-непрерывную форму, или э к с т е н с и в н у ю в е ­ л и ч и н у . Следовательно, интенсивная величина это---то, что стало черезъ порождеше равнаго., экстенсивная вели­ чина, или п р о т я ж е н н о е т ь,—-то, что стало черезъ норождеше различнаго. Первая, въ качестве переменной вели­ чины, образуетъ основу учешя о функщяхъ, дифференщальнаго и интегральнаго исчислешя, вторая— основу учешя о протяженности. Такъ какъ изъ обеих* этихъ отраслей первая обык­ новенно разсматривается, какъ особая ветвь учешя о числах*, а вторая до сихъ поръ еще неизвестна, то необходимо подробнее разъяснить эту концепцш, пред­ ставляющую и безъ того трудности благодаря понятно непрерывнаго течешя. Въ числе выступаетъ соединеше, а въ сочетанш— обособлеше того, что связывается въ мышленш. Такимъ же точно образомъ въ интенсивной величине высту­ паетъ соединеше элементовъ, которые по своему понятно обособлены, но образуют* въ своем* существенномъ равенстве другъ другу интенсивную величину. Наоборотъ, въ экстенсивной величине выступаетъ обособлеше эле­ ментовъ, которые— поскольку они образуютъ одну вели­ чину— соединены между собой, но которые составляют* величину именно лишь в* их* отделенш другъ отъ друга. Такимъ образом* интенсивная, величина является какъ бы ставшим* текучим* числом*, а экстенсивная вели­ чина— ставшим* текучим* сочеташем*. Последней свой­ ственна по существу обособленность (Auseinandertreten) элементовъ и иХъ существоваше другъ вне друга. Поро­ ждавшей элемент* является здесь., ч ет,-то изменяющимся, т. е. проходящим* чрезъ различныя состояшя, и сово­ купность этихъ различныхъ состоянш и образуетъ именно область протяженной величины. Въ случае же интен­ сивной величины, наоборот*, порождеше ея дает* не­ прерывный ряд* равных* самим* себе состояшй, коли-

ЧИСТАЯ МАТЕМАТИКА И УЧЕН1Е О ПРОТЯЖЕННОСТИ.

73

чейтво которыхъ и есть именно интенсивная величина. Въ качеств! примера для экстенсивной величины можно лучше всего взять ограниченную линш (отр'Ьзокъ), элементы которой по существу обособлены другъ отъ друга и благодаря именно этому составляютъ .шиш, какъ протяженность. Прим!ромъ же интенсивной величины можетъ служить хотя бы точка, и с т о ч н и к е определенной силы: зд^сь элементы не находятся другъ вне друга; они представляются здесь въ виде потенцированнаго ряда (Steigerung), образуя такимъ образомъ определенныя сту­ пени этого ряда. И здесь указываемое различ1е превосходно обнару­ живается въ употребительномъ обозначение Именно, въ случае интенсивной величины, образующей предметъ учешя о функщяхъ, не различаютъ элементовъ съ по­ мощью особенныхъ знаковъ; тамъ, где употребляются особенные знаки, тамъ ими обозначаютъ всю переменную величину. Наоборотъ, въ случае протяженной величины — или ея конкретнаго изображешя, линш— различные эле­ менты обозначаются различными знаками (буквами), точно такъ, какъ въ ученш о сочеташяхъ. Ясно также, что можно разсматривать всякую реальную величину двояко, и какъ интенсивную, и какъ экстенсивную величины. Такъ, напримеръ, лишя разсматривается, какъ интен­ сивная величина, когда абстрагируютъ отъ того способа, какимъ элементы ея находятся другъ вне друга, и принимаютъ во внимаше только количество элементовъ. Та­ кимъ же точно образомъ точка, источникъ силы, можетъ быть разсматриваема, какъ экстенсивная величина, когда лредставлЯютъ себе силу въ форме линш.

•Исторически изъ четырехъ ветвей математики дискрет­ ное развилось раньше, чемъ непрерывное (ведь, первое доступнее анализирующему разсудку, чемъ второе), алге­ браическое раньше; чемъ сочетательное (такъ какъ равное ■Легче синтезируется, чемъ различное). Поэтому учеше о

74

Г. rPACCMAIi'b.

числахъ возникло раньше всего; учеше о оочеташяхъ и дкфференщальное исчислеше возникли одновременно. Позже всЬхъ ихъ должно было возникнуть учеше о про­ тяженности въ его абстрактной формй, хотя, съ другой стороны,*его конкретное (но и ограниченное) отображеHie, учеше о пространств'];, относится уже къ самому раннему времени.

8. Разделенно4 учешя о формахъ на четыре отрасли можетъ быть предпослана общая часть, излагающая общДе (т. е. применимые одинаково ко вс'Ьмъ отраслямъ) законы свявывашя. Ж ы можемъ назвать ее общимъ учещемъ о формахъ. Предпослать эту общую часть всему целому очень важно, И пи только потому, что Мы избавляемся такимъ образомъ отъ повторен ia однихъ^ и тйхъ же умозаключешй во вс'Ьхъ четырехъ отрасляхъ,' и даже въ различныхъ отдйлахъ одной и той же отрасли— что значительно сокращаетъ изложеше,— но и потому, что такимъ обра#| зомъ выступаютъ вмйстй связанныя между собою вещи, являюпцяся основой цйлаго. С. Изложеже понятая учешя о протяженности.

9. Непрерывное становлеше, разложенное на свои моменты, представляется какъ непрерывное возникновеше еъ сохранетемъ уже ставшаго. Въ случай протя­ женной формы каждое нововозникшее полагается, какъ различное; если при этомъ мы не сохраняемъ того, что каждый разъ становится, то мы приходимъ къ понятда н е п р е р ы в н а г о . и з м й н е ui я. То, что иеиытываетъ это измйнеше, мы называемъ порождающимъ _элементомъ, а порождаюпцй элемента въ какомъ-нибудь изъ состоншй, принимаемыхъ р ъ при его измйненш, мы называемъ элементомъ непрерывной формы. Согласно этому, протя.женцая форма— это совокупность вс'Ьхъ элементовъ, въ

ЧИСТАЯ МАТЕМАТИКА И УЧЕН1Е О ПРОТЯЖ ЕННОСТИ.

75

которые переходить при непрерывном* измененш поро­ ждающей элемент*. Понятае о непрерывном* измененш элемента можетъ возникнуть лишь въ случай протяженной величины. Въ случае интенсивной величины при уничтоженш того, что каждый разъ становится, осталось бы въ качестве чегото совершенно пустого лишь непрерывное приготовлеше къ становлешю. Въ ученш о пространстве элементомъ является точка, непрерывнымъ изменешемъ его— изменеше места или движеше, его различными состояшями— различныя по­ ложешя точки въ пространстве.

10. Чтобы результата был* определенным*, различ­ ное должно развиваться по некоторому закону. Въ слу­ чае простой формы этотъ закон* должен* быть одним* и тем* же для всех* моментов* становлешя. Таким* образом* п р о с т а я протяженная форма— это форма, которая возникает* благодаря происходящему по одному и тому же закону измененш порождающая элемента. Совокупность всех* порождаемых* по одному и тому же закону элементов* мы называем* ^системой или о блаетью. Так* как* то, что различается отъ некотораго даннаго, можетъ быть безконечно разнообразным*, то различ1е приняло бы совершенно неопределенный характер*, если бы оно не было подчинено какому-нибудь опреде­ ленному закону. Но въ чистомъ ученш о формахъ этотъ закон* не определенъ какимъ-нибудь содержашемъ. Благодаря, однако, чисто абстрактной идее о закономер­ ности, определяется понятае протяженности, а благодаря идее одного и того же закона для всехъ моментов* изменешя определяется понятае п р о с т о й протяжен­ ности. Согласно этому, простая протяженность имеет* то свойство:, что, если изъ некотораго ея элемента а вытекаетъ путемъ некотораго акта изменешя другой

76

Г . ГРАССМАНЪ.

элементъ Ъ той же протяженности, то изъ Ъ путемъ того же акта изм!нешя получается третШ элементъ ея— с. Въ ученш о пространств! равенство направлешй есть охватывающш отд'Ьльныя изм!нешя законъ; такимъ образомъ, въ учеши о пространств! отр!зокъ соотв!тствуетъ простой протяженности, безконечная прямая лишя— всей систем!.

11. Если прим!нить два различныхъ закона изм!нешя, то совокупность порожденныхъ съ помощью обоихъ законовъ элементовъ образуетъ систему второй ступени. Законы изм!нешя, съ помощью которыхъ эле­ менты этой системы могутъ возникать другъ изъ друга, зависятъ отъ первыхъ двухъ законовъ. Если допустить еще третш независимый законъ, то получается система третьей ступени. Въ качеств! прим!ра зд!сь опять можетъ служить учеше о пространств!. Въ учеши о пространств! можно получить в с! элементы какой-нибудь плоскости изъ одного элемента, пользуясь двумя различными направлешями; для этого заставляютъ порождающей элементъ передвигаться неопределенно- далеко по обоимъ направлешямъ, соединяя зат!мъ въ одно ц!лое совокупность порожденныхъ такимъ образомъ точекъ (элементовъ). Такимъ образомъ, плоскость есть система второй ступени, въ ней им!ется безчисленное множество направлешй, зависящихъ отъ первыхъ двухъ. Если взять зат!мъ еще третье независимое направлеше, то съ помощью его получается все безконечное пространство (какъ система третьей ступени). Зд!сь нельзя пойти дальни; трехъ яезависимыхъ направлешй (законовъ изм!невая); между т!мъ въ чистомъ учеши о Протяженности число ихъ можетъ расти до безконечности.

12. Въ виду разлшйя законовъ для бол!е точпаго опред!лешя, необходимъ способъ порождешя, при посредств! котораго одна система переходить въ другую.

ЧИСТАЯ МАТЕМАТИКА И УЧЕНШ О ПРОТЯЖ ЕННОСТИ.

77

Этотъ переходъ различныхъ системъ другъ въ друга образуетъ поэтому вторую натуральную ступень въ об­ ласти учешя о протяженности, которой и замыкается область элементарнаго изложешя этой науки. Этотъ переходъ системъ другъ въ друга соответ­ ствует* поворотному движенш (Schwenkungsbewegung) въ ученш о пространстве, а съ этимъ связана величина угловъ, абсолютная длина, перпендикулярность и т. п.; все это будетъ разъяснено во второй части ^учешя о протяженности.

D. Форма изложешя.

1В. Для философскаго метода характерно то, что поступательное движеше здесь происходит* въ форме противоречШ, при чемъ идутъ отъ общаго къ частному. Въ случае же математическая метода переходят* отъ простейшихъ попятш къ более .сложным*, при чемъ благодаря еоединешю частнаго нолучаютъ новыя и более обпця понятая. Такимъ образомъ, въ философш главное это— общгй взглядъ на целое; развитае состоитъ здесь въ постепен­ ном* расчленении и разветвленш целаго. В* математике же господствует* сцЬплеше частн ая V каждый замкнутый в* себе ряд* развитая образует*,, в* свою очередь, лишь звено для дальнейш ая сцеплешя. Это различье методов* имеет* своим* источником* различье въ существе обе~ ихъ этихъ дисциплинъ: ведь, въ философш единство идеи— это первоначальный моментъ, частности-^нроизводный моментъ; въ математике же частность— это первоначальный моментъ, а идея— это последняя цель устремлешя. Это I и обусловливает* поступательное движеше въ противоположныхъ направлешях*.

14. Такъ какъ и математика и философ1я суть науки въ строжайшем* смысле, то должно быть нечто общее

78

Г . ГРАССМАНЪ.

въ методахъ обйихъ, именно то, что придаетъ имъ на­ учный характеръ. Но мы пршшсываемъ какому-нибудь способу разсуждешя научность тогда, когда читатель, благодаря ему, съ одной стороны, вынужденъ признать каждую отдельную истину, а съ другой,— оказывается въ состоянш обозреть въ каждомъ пункт! развитая на­ пр авл е т е дальнфйшаго движешя. ВсякШ согласится съ обязательностью перваго тре­ бовашя, именно требовашя о научной строгости. Что касается второго требовашя, то большинство математиковъ не уделило ему еще должнаго внимашя. Нередко встречаются ташя доказательства, при которыхъ— не знай мы заранее назвашя теоремы— мы бы не знали вовсе, къ чему они клонятъ: читатель сл!дуетъ зд!сь сл!по, на авось, за извилинами аргументами, пока вдругъ не­ ожиданно онъ не наткнется на доказываемую истину. Можетъ быть, подобное доказательство и не оставляетъ желать ничего лучшаго въ смысл! строгости, но оно все-таки ненаучно: оно не удовлетворяетъ второму требование, требовашю легкой обозримости хода аргу­ ментации. Поэтому тотъ, кто сл!дуетъ за такимъ доказательствомъ, не достигаетъ свободнаго познашя истины:, если онъ самъ не создастъ себ! требуемаго общаго взгляда на ходъ доказательства, то онъ оказывается въ полной зависимости отъ того чаетнаго способа, какимъ была найдена истина. Это чувство несвободы— непре­ менно возникающее въ подобномъ случа! хотя бы въ процесс! усвоешя— крайне тягостно для того, кто привыкъ мыслить свободно и самостоятельно и любитъ усваивать живо и самодеятельно все то, что онъ воспринимаетъ. Если же читатель им!етъ возможность въ каж­ домъ пункт! аргументами вид!ть, куда онъ идетъ, то онъ является хозяиномъ лежащаго передъ нимъ матер1ала. Онъ не евязанъ бол!е съ частной формой изложешя, и усвоеше является здесь подлиннымъ воспроизведешемъ.

ЧИСТАЯ МАТЕМАТИКА И УЧЕН1Е О ПРОТЯЖЕННОСТИ.

79

15. Въ любомъ пункт! развитая хода мыслей епособъ дальнМшаго развитая его определяется какой-ни­ будь руководящей идеей. Она есть или предполагаемая аналопя съ родственными и уже известными отраслями знашя или же— и это наиболее благощнятный случай— прямая догадка о ближайшей искомой истине. Такъ какъ аналопя забирается въ родственныя об­ ласти, то она является лишь способомъ, къ которому прибегаютъ по нужде (если только дело идетъ не о томъ именно, чтобы указать на отношеше къ какой-нибудь родственной отрасли и установить такимъ образомъ постоянную аналогш съ ней) *). Догадка же, повидимому, чужда области чистой науки и въ особенности матема­ тической н ау ке Но безъ нея невозможно найти ника­ кой новой истины. Комбинируя наудачу полученные результаты, мы не получимъ ровно ничего. Только руко­ водящая идея, указываете, что мы должны комбинировать и какъ мы должны это сделать. А эта идея— прежде чемъ она осуществлена наукой-*-можетъ проявиться лишь въ форме догадки. Поэтому догадка является чемъто неизбежнымъ въ науке. Если догадка правильна, то она представляете собой синтетическое созерцаше (Zusammenschauen) всего ряда развитая, ведущаго къ но­ вой истине, при чемъ моменты этого развитая еще не обособлены другъ отъ друга. Поэтому она въ начале есть лишь смутное предчувстайе. Обособлеше этихъ моментовъ содержите въ себе одновременно и нахождеше истины и критику этого предчувствия.

16. Поэтому научное изложеше представляетъ по своему существу взаимное переплетете двухъ рядовъ развитая, 'изъ которыхъ одинъ ведете последовательно отъ одной истины къ другой и образуете собственное 1) Въ разематриваемой зд ’Ьсь наук'Ь это им'Ьетъ м-Ьсто по отно­ шение къ геометрш, почему я въ большинства случаевъ и выбиралъ путь анаяогш.

80

Г . ГРАССМАНЪ.

содержаше науки, а другой господствуетъ надъ мето­ дом* работы и определяет* собой форму ея. В* мате­ матике оба эти ряда развитая особенно резво отделены друг* отъ друга. Въ математике давно уже установился обычай-щги примеръ этому подалъ еще Эвклидъ— выдвигать лишь первый рядъ развитая, образующш собственное содер­ ж и те . Что же касается второго ряда, то вполне предоставляютъ читателю читать его между строк*. Но какъ бы ни закончены были расположеше и изложеше этого перваго ряда, одного его недостаточно, чтобы сделать для начинающаго обозримым* весь ход* аргументами въ любом* пункте его и дать ему возможность подви­ гаться вперед* свободно и самостоятельно. Для этого скорее нужно, чтобы читатель был* по возможности поставлен* въ то же самое положеше, въ которомъ долженъ былъ бы находиться въ благощлятнейшемъ случае человекъ, открывшш истину. Но тотъ, кто находитъ истину, тотъ не перестает* все время обдумы­ вать ходъ развитая. Въ немъ образуется своеобразный рядъ мыслей насчетъ того пути; который онъ долженъ избрать, и насчетъ лежащей въ основе целаго идеи. Й этотъ рядъ мыслей образуетъ собственное ядро и дух* его деятельности, между тем* какъ последователь­ ное изложеше истин* является лишь воплощешемъ этой идеи. Желать уверить читателя, будто онъ, не будучи побуждаем* къ подобным* рядамъ мыслей, можетъ всетаки идти самостоятельно вперед* по пути открытШ, это значит*— желать поставить его выше самого того, кто 'открывает* истину, и извратить такимъ образомъ отношеше между нймъ и авторомъ, при чемъ является вообще излишним* составлешё книги. Поэтому-то новые математики— и в* особенности французы— стали соеди­ нять оба ряда развитая. -Притягательная сторона ихъ

81

ЧИСТАЯ МАТЕМАТИКА И УЧЕН1Е О ПРОТЯЖ ЕННОСТИ.

произведешь заключается въ томъ, что читатель чувстнуетъ себя: свободнымъ и не-вынуждейъ рабски сле­ довать за ходомъ мыслей, котораго онъ не можетъ под­ чинить себе. Благодаря особенности, метода математики, эти ряды развитая въ ней очень резко обособлены другъ отъ друга (§ 13). Такъ какъ въ математике идутъ впередъ отъ частнаго путемъ сцеплешя, то единство идеи является въ ней нос.тЬдиимъ Д'Ьломъ. Поэтому второй рядъ раз­ витая носитъ совершенно противоположный характеръ, чЬмъ первый, и взаимшигротшкновеше обоихъ ихъ здесь более затруднительно, чемъ .въ какой-нибудь другой науке. Но изъ-за этой трудности пе следуетъ вовсе— какъ это часто делаютъ немецгае математики— отказы­ ваться окончательно отъ этого предщпятая. Въ настолщемъ сочиненш я выбралъ поэтому ука­ занный выше путь; это казалось ,мне особенно необходимымъ въ виду новизны этой науки, идея которой должна быть здесь впервые освещена. Перевелъ II. Юшкевичъ.

НОВЫЯ ИДЕИ В Ь МАТЕМАТИК®, СБ. 1.

3

Бертранъ Рессель

%

Н о в ’Ь йппя работы о началахъ математики.

•

]_

У <

Девятнадцатое столЗМе, справедливо гордящееся открытаемъ принципа эволйцш ц изобрйтешеагь паровой машины, имйетъ еще большее право гордиться откры■лемь чистой математики. Эта наука, какъ и мнойя друй я, получила имя до своего рождешя;: такимъ образомъ, MHorie писатели ещё до XIX с т о л б я упоминали о чи­ стой математик^. Но если-бы ихъ спросили о предмете этой науки, то они могли-бы ответить тол,ко, что она состоитъ изъ ариеметики, алгебры, геометрш и т. д. Но наши предки не понимали, въ чемъ, заключается общая идея нс'Ьх'ь отихъ доктринъ и въ чемъ отличаются онЪ отъ математики прикладной./ Чистая математика была открыта Булемъ въ сочинеши, которое называется „Законы мысли “ (1854). Эта книга изобилуетъ указатями на то, что ея содержаще не относится къ математике. Буль быль ш ш ш ком ъ скроменъ и не предполагай, что его книга, напротивъ, нервая, написанная по математике. Онъ ошибался также , предполагая, что онъ занимается законами мыслИ: вопроеъ о томъ, какъ люди действительно думатотъ, совершенно но затронуть въ этой книгЬ; если его книга, действи­ тельно, содержала въ себе законы мысли, то было-бы l ) International Monthly. luly 1901.

НОВ-ЬЙШШ РА БО ТЫ О Н АЧАЛАХ* МАТЕМАТИКИ.

83

странно, что никто никогда не думал* такимъ способом*. Его книга занимается формальною логикою т. е. мате- / матикою. ~*1истая математика состоитъ исключительно изъ утвержденШ слгЬдующаго типа: если такое-то предложеше верно по отношенш к ъ ч е м у - б ы т о н и было,* то такое-то другое предложеше верно также по отношенш къ этому чему-то. Ни вопросъ о томъ, верно ли первое предложеше, нивопросъо томъ, ч т о т а к о е то, по отношенш къ кото­ рому это предложеше верно, не касаются чистой матема­ тики; оба вопроса принадлежатъ къ области математики прикладной. Въ чистой математике мы исходимъ изъ из­ вестных* правил* вывода, благодаря которым* мы можемъ вывести, что если одно предложеше верно, то верно и некоторое другое. Эти правила вывода составляют* на­ чала формальной логаки. Займъ^мы избираем* гипотезу, которая кажется правдоподобною, и выводимъ ея сл^дств!я. Если наша гипотеза относится не къ одной илй~! нескольким* частнымъ вещам*, -но к ъ ч е м у б ы т о н и б ы л о , то наши выводы составляют* математику. J Такимъ образомъ' математика можетъ быть определена, какъ доктрина, въ которой мы никогда не знаем* ни о чемъ мы говоримъ, ни то, верно-ли то, чтб мы говоримъ. Те, которые изнывали надъ началами математики, на­ деюсь, будутъ удовлетворены этимъ опредЬлешемъ и со­ гласятся съ нимъ. Такъ какъ одинъ изъ главныхъ тр1умфовъ новейшей математики заключается в* открытщ, въ чемъ, действи­ тельно, состоитъ математика, то не излишне остановиться подольше на этомъ вопросе. Обыкновенно ветвь матема­ тики— напр., гёометр1я— исходитъ изъ некотораго числа первичныхъ идей, не подлежащихъ определенно, и известнаго числа первичныхъ предложешй или аксюмъ, не подлежащихъ доказательству. Ташя неопределимыя идеи и неподлежапця доказательству предложешя заключаются

84

ВЕРТРА Н Ъ РЕССЕЛЬ.

и \въ каждой ветви прикладной математики, но въ чистой / математике эти идеи и предложешя совпадаютъ съ идеями / }и предложешями чистой логики. Логика, въ широкомъ 4 сзшслЗГ’этог^ темъ фактом*, "что ея предложешя могутъ быть представлены въ форме, кото­ рая дЬлаетъ ихъ применимыми къ чему угодно. Вся чистая математика— Ариометика, Анализъ и I’оометр^я-**- построена изъ сопряжешя примитивныхъ идей логики, и ея предло­ жешя выводятся изъ общихъ акйомъ логики, т. е. изъ \У силлогизма и другихъ нравилъ вывода. Въ настоящее время это— не мечта и не надежда. Напротивъ, по отношенш къ большей и более трудной части области математики это осуществлено;* по отношенш къ другимъ будетъ скоро осуществлено. Философы веками спорили о томъ, воз- : можны-ли таше выводы;. математики сделали выводъ, и философамъ остается только ихъ благодарить, jI Предмета формальной логики, которая, такимъ обра- ' {{ зомъ, оказывается тожественною съ математикою, какъ известно, изобретенъ Аристотелемъ и составлядъ наравне съ теолоиею главный предмета изучешя въ средше века. Но Аристотель никогда не шелъ далее силлогизма* ко­ торый составляетъ только весьма небольшую часть, пред­ мета, а схоластики никогда не шли да'лыне Аристотеля.

Z ' Если нужно какое-либо доказательство нашего превос( ходства надъ средневековыми учеными, то оно заклю\ чается въ успехахъ логики. Въ течете всего Средневековья почти все лучпйе умы посвящали себя изученш формальной логики, между тёмъ, какъ въ ~девятнадцатом* столейи только безконечно-малая часть мысли человечества была направлена къ этому предмету. Темъ не менее въ каждое десятилейе съ 1850 г. было сделано более въ этой обла­ сти, чемъ во весь длинный перюдъ рта Аристотеля до Лейб­ ница. Был* открытъ npieM* изображенья, разсуждеше символами,^подобными символамъ алгебры, такъ что выводъ подчиняется математическимъ правиламъ. Были открыты.-

HOUI'.UIUIS! РАБО ТЫ D НАЧАЛАХЪ МАТЕМАТИКИ.

85

мноия правш а вывода, кроме силлогизма, и новая ветвь Ло­ гики, называемая „Логикою отношешй“ Щ была изобретена для того, чтобы решать^ вопросы, вполне недоступные пртемамъ старой логики, хотя и составляющее главное содержаще математики. Не легко выяснить важность символизма въ раземожреши вопроса объ основашяхъ математики, Щ объяснен ie можетъ показаться нарадоксальнымъ. .Фактъ заключается въ томъ, что-символизмъ полезенъ потому, что онъ за- ) ] труднйетъ (это неверно но отношение къ высшимъ ч и -' стямь математики, но не нрдлежитъ сомреМю по отлошенда к ъ началу). Памъ Важно знатьЙ ч то можетъ быть "«С выведено ш ъ ч е го. Но въ начале науки каждое предй о^еш е представляется- еамоочевиднымъ, и поэтому трудно видеть, следуотъ ли одно самоочевидное предложеше изъ другого или нетъ. Очевидность находится во вражде съ точностью. Поэтому-то мы и и.юбрЬтаемъ новый и труд- ~ ный символизмъ, въ которомъ нетъ ничего очевидйаго.'■'< Мы стави.м’1. :тгкчъ щягЬстныя правила для oiiepupojiaiiiя вадъ этими еи.чволамн, и вопроеъ после этого решается механически. Э тимъ; Путемъ мы можемъ открыть, что можетъ быть рассматриваемо, какъ предпосылка, и что л о - .. жетъ быть доказано паи vопределено. Такъ, напр., вся система ариеметики и алгебры нуждается лишь въ трехъ неопределимыхъ л о ш т я х ъ и пяти неДоказуемыхъ пред?ложешяхъ. Но, беаъ Символизма это било бы трудно от­ крыть. Настолько очевидно, что .два и "два— четыре, что мы едва ли. можемъ; привести себя въ то с к еи ти ч ес к о е\ настроение, при которомъ мы могли бы сомневаться въ / возможности доказать это тголожюш. То же самое отно- / СИТСЯ И КО ВСЬМЪ ДрУГИМТ» СЛУЧаЯМЪ, ВЪ; КОТОрЫХЪ ПДСТ'Ь

речь о доказательстве самоочевидныхъ вещей. Но доказательство самоочевидныхъ предложешй мо-? :''t) Ваолуга ея разработки принадлежит!. преимущественно про­ фессору Гарвардскаго университета Ч. С. Пирсу.

86

ВЕРТРА Н Ъ РЕССЕЛ Ь.

жетъ показаться непосвященным* несколько праздным* [зашшемъ. На это мы можемъ ответить, что часто ни­ сколько не_является самоочевидным*, что одно очевидное предложеше вытекает* изъ другого очевиднаго предложе!шя; мы открываем*, такимъ образом** ,действительно но' выя истины, когда мы доказываем* очевидноеГ ПсГеще баЖГ1штёреснымъ возр^етем ъ^являетсГ то обстоятель­ ство, что с* тех* пор*, как* стали пытаться доказывать очевидныя предложешя, мнопя изъ нихъ оказались ложными. Самоочевидность есть часто блуждающш огонекъ, кото­ рый можетъ сбить насъ съ дороги; если мы будемъ руковод­ ствоваться только имъ. Напримеръ, ничто не можетъ ка­ заться яснее положешя, что целое имеетъ всегда больше членовъ, чемъ чаеть, или что число увеличивается, когда мы къ нему прибавляемъ единицу. Но эти положешя разсматриваются теперь какъ ложныя. Если число безконечно, то вы можете прибавлять къ нему сколько угодно еди[ницъ, не изменяя его. Одна из* заслуг* доказательства Iзаключается въ томъ, что оно внушает* известное соI мнеше по отношешю къ доказанному результату; если , очевидное можетъ быть доказано въ однихъ случаяхъ и не доказано въ другихъ, то является возможнымъ пред­ положить, что въ этихъ другихъ случаях* оно не­ верно. Великим* учителем* въ искусстве формальнаго разсуждешя является въ наше время, безспорно, итальянецъ Пеано, профессоръ Туринскаго университета. Онъ при­ вел* большую часть математики (современем* это удастся ему или его последователям* относительно всей матема­ тики) къ точной символической форме, въ которой со­ вершенно отсутствуют* слова. Въ обыкновенных* мате­ матических® книгахъ, безъ сомнешя, и теперь меньше словъ, чемъ желательно многим* читателям*. Однако, время отъ времени встречаются маленьшя фразы, какъ-то:

Н О В 'ЬЙ Ш Я РАБО ТЫ О НАЧАЛАХЪ МАТЕМАТИКИ.

87

п о э т о м у , п р е д п о л о ж и м ъ, р а з с м о т р и м ъ или о т с ю д а с д 4 д у е т ъ . Но и эти слова исключены профессоромъ Пеано. Напр., если мы хотимъ изучить всю совокупность ариеметики, алгебры и анализа и вообще все, что обыкновенно называется чистою математикою (за исключетемъ геометрш), мы должны исходить изъ трехъ словъ. Одинъ еимволъ обозначаете н у л ь , другой— ч и с л о итретШ— с л е д у ю щ е й за. Что обозначаюсь эти идеи,-—необходимо знать, если вы хотите стать ариеме1 тикомъ. Но послЬ того, какъ эти символы введены для трехъ идей, въ дальнМшемъ развитш не требуется уже ни одного слова. Brf; будунце символы символически выра­ жаются посредствомъ этихъ трехъ. Но даже и эти три могутъ быть выражены посредствомъ понятш о т н о ш е н i я и к л а с с а ; но для этого мы нуждаемся уже въ логикЬ отношенш, которой профессоръ Пеано не касался. Итакъ, то, что нужно знать математику для начала, не велико. ВсЬ^юняпя чистой математики (включая геометрш) составлены не бол'Ье, какъ изъ двенадцати ионяйй. Про­ фессоръ Пеано, которому помогаетъ весьма искусная школа молодыхъ итальянскихъ учениковъ, показалъ, какъ это можетъ быть сделано, и хотя изобретенный имъ методъ можетъ быть проведенъ еще дальше, честь то н ер а принадлежите ему. Двести л'Ьтъ тому назадъ Лейбницъ предвидгЬлъ науку, которую усовершенствовалъ Пеано,, и старался создать ее. Его удержало уважеше къ авторитету Аристотеля, котораго онъ не решался обвинить въ опредгЬленныхъ формальныхъ ошибкахъ; но предмете, который онъ хот^лъ создать, существуете, несмотря на покровительственное п резри те, съ которымъ его схемы были встречены мно­ гими высокими умами. Отъ этой „Общей Характеристики", какъ онъ ее пазывалъ, онъ ждалъ р е ш е т я всйхъ задачъ и конца веЬхъ споровъ. „Въ случай возникноветя спо-

88

БЕ РТ РА Н Ъ

рессёль.

ровъ“, говоритъ онъ, „двумъ философамъ не придется больше прибегать къ спору, какъ не прибегают! къ нему счетчики. Вместо спора, они возьмутъ перья въ руки, сядутъ за доски и скажутъ другъ другу: „Будемъ вы­ числять Этотъ оптимизмъ кажется намъ теперь чрез­ мерными; существуютъ задачи, которыхъ р'Ьшеше сомни­ тельно, и споры, которые не могутъ быть решены вычислешемъ. Но для обшврнаго поля разсужденш, бывшихъ до сихъ поръ спорными, мечта Лейбница стала фактомъ. Во всей философш математики, которая прежде счита­ лась столь же сомнительною, какъ и всякая другая часть философш, порядокъ и достоверность заменили путаницу и неопределенность, которыя прежде тамъ господство­ вали. Философы, по обыкновенно, не открыли этого факта и продолжаютъ писать объ этихъ вопросахъ на старый манеръ. Но математики,. по крайней мере, въ Италш, им'Ьютъ теперь средство изучать начала математики точнымъ путемъ, благодаря которому достоверность математики рас­ пространяется и на математическую философш. Благодаря этому, MHorie вопросы, которые считались великими тай­ нами,— напр., природа безконечности, непрерывности, про­ странства, времени и движешя— не подлежать въ на­ стоящее время ни сомненш, ни спору. Желаюшде изучить природу этихъ вещей должны обратиться къ трудамъ людей, подобныхъ Пеано или Георгу Кантору; они найдутъ тамъ точное и несомненное изложете всехъ этихъ тайнъ. Въ нашемъ Mipe, полномъ капризами, ничто не подлежитъ большему капризу судьбы, какъ слава. Однимъ изъ наиболее замечательныхъ примеровъ въ этомъ отношенш является Элеатъ Зенонъ. Этотъ человекъ, ко­ торый можетъ считаться основателемъ философш безко­ нечности, является въ /цалоге Платона „Парменидъ“ въ почетиомъ званш учителя Сократа. Онъ изобрелъ четыре аргумента, все чрезвычайно тонше и глубоше, которыми

НОВ'ЬЙШШ РА БО ТЫ О НАЧАЛАХЪ МАТЕМАТИКИ.

89

онъ доказывалъ, что движете невозможно, что Ахиллесъ не можетъ догнать черепахи и что летящая стрела нахо­ дится въ покой. Опровергнутые Аристотелемъ и за нимъ всЪми другими философами, эти аргументы были возоб­ новлены и положены въ основате математическаго возрождешя н'Ьмецкимъ профессоромъ, который, вероятно, никогда и не воображалъ о связи между нимъ и Зенономъ. Вейерштрассъ, изгоняя изъ математики употреблеше безконечно-малыхъ, показалъ, наконецъ, что мы живемъ въ неизмйняющемся Mipi, и что стрела при полутЬ находится въ покой. Единственная ошибка въ выводй Зенона заключалась въ томъ, что онъ изъ отсутств1я измЗшешя заключалъ, что м1ръ продолжаетъ оста­ ваться въ одномъ и томъ же состоянш. Это сл4дств!е не вытекаетъ изъ посылки, и въ этомъ отношенш нймецшй математикъ является болйе изобр'Ьтателвнымъ, ч'Ьмъ гешальный грекъ. Зенонъ на самомъ д'Ьл’Ь былъ занята тремя задачами, вызываемыми движетемъ, но на дЫ б гораздо бол^е абстрактными, ч’Ьмъ движеше, и поэтому допускающими чисто ариеметическое разсмотр^ше. Эти проблемы суть проблемы безконечно-малаго, безконечнаго и непрерыв­ ности. Ясно формулировать заключающаяся въ этихъ~) проблемахъ трудности составляетъ уже, можетъ быть, I труднейшую часть задачи философа. Это и было сделано J Зенономъ. Отъ него до нашихъ дней наиболее тоние умы каждаго локолйшя занимались рйшешемъ этихъ проблемъ, но, въ общемъ говоря, ничего не достигали. Въ наше время три человека— Вейерштрассъ, Дедекиндъ и Канторъ, не только подвинули, ихъ реш ете, но и вполне ихъ решили. Р е ш е т я для лицъ, знакомыхъ съ математикою, такъ ясны, что не оставляютъ ни малМшаго сомн'Ьшя и ’ трудности. Этотъ результатъ есть, ве­ роятно, величайппй, которымъ можетъ гордиться нашъ ’ в'Ькъ; и я не знаю другого вЬка (за исключешемъ, мо-

90

ВЕРТРА Н Ъ PEC C EJIb.

жетъ быть, золотого вгЬка Грецш), который могъ бы пред­ ставить большее доказательство трансцендентальнаго гешя своихъ великихъ людей, Изъ трехъ задачъ задача о безконечно-маломъ была решена Вейерштрассомъ; ргЬшеше двухъ другихъ задачъ было начато Дедекиндомъ и окончательно завершено Канторомъ. Безконечно-малое играло прежде большую роль въ математик^. Оно было введено греками, которые разсматривали кругъ, какъ отличающшся безконечно-мало отъ полигона съ весьма болынимъ числомъ весьма малыхъ равныхъ сторонъ. Его значеше постепенно возростало, пока, съ изобрететемъ Лейбнидемъ исчислешя безконечно-малыхъ, оно не стало, повидимому, основнымъ поняиемъ всей высшей математики. Еарлэйль разсказываетъ въ своей „Исторш Фридриха Великаго “, какъ Лейбницъ старался объяснить королев^ С о ф т -Ш а р ютт^ безконечно-малое и какъ она ответила, что от­ лично нонимаетъ это по безконечно-малой независимости придворныхъ сановниковъ. Но философы и математики, мало знакомые большею частью съ придворнымъ MipoMi, продолжали разсуждать о вопрос^, хотя и безъ особеннаго успеха. Анализъ требовалъ непрерывности, а не­ прерывность, какъ предполагалось, нуждалась въ безко­ нечно-маломъ; но никто не могъ открыть, въ чемъ за­ ключается безконечно-малое. Очевидно, оно не есть нуль, потому что достаточно большое число безконечно-малыхъ, сложенныхъ вм^стЬ, въ конц^- кондобъ, составляетъ ко­ нечную величину. Но никто не можетъ указать дробь, которая не была бы ни нулемъ, ни конечною дробью. ; Математика попала въ тупикъ. Но, наконецъ, Вейерштрассъ открылъ, что можно въ математик^ обходиться и безъ безконечно-малыхъ величинъ, что вс4 результаты анализа могутъ быть достигнуты и безъ нихъ. И гЬтъ необходимости предполагать существоваше безконечномалаго. Математики въ наше время могутъ чувствовать

НОВ'ЬЙШШ РА БО ТЫ О НАЧАЙАХЪ МАТЕМАТИКИ.

91

себя выше Лейбница: вместо того/ ? чтобы говорить о безконечно-маломъ, они предпочитаютъ говорить о безконечно-болыномъ. Изгнаше безконечно-малыхъ влечетъ за собою мноия следствгя, и съ этими следствиями необходимо прими­ риться. Такъ, »апт).. H'liri. того, что называется ближайтпттмъ моментомъ. Промежутокъ между однимъ моментомъ и ближайшими былъ бы безконечно-малымъ, потому что, какъ только мы возьмемъ два момента съ конечнымъ промежуткомъ времени между ними, въ этомъ проме­ жутке будутъ непременно друие моменты. Такимъ образомъ, если нЬтъ безконечно-малыхъ, то нетъ двухъ мо­ ментовъ, изъ которыхъ одинъ следовалъ бы непосред­ ственно за другимъ, но всегда между каждыми двумя мо­ ментами существуютъ друпе. Поэтому между каждыми двумя моментами будетъ безконечное множество моментовъ; действительно, если бы ихъ было конечное множество, то одинъ изъ нихъ былъ бы ближайший къ первому изъ двухъ моментовъ и, следовательно,' следуюнцй за нимъ. Здесь является новая трудность, которая можетъ быть исправлена только философ1ею безконечнаго. Все сказанное о времени применяется и къ про­ странству. Если кусокъ вещества делится на две части и каждая изъ нихъ снова делится на две и такъ далее, то кусочки становятся все мельче и теоретически могутъ быть сделаны столь малы, какъ угодно. Однако, какъ-бы малы они ни были, они все-таки могутъ быть раздроблены и сделаны еще меньше. Но какъ-бы малы они ни были, они всегда будутъ иметь конечную вели­ чину. Мы никогда не достигнемъ этимъ путемъ безконечно-малаго и никогда конечное число деленШ не приведете наеъ къ точкамъ. Темъ не менее существуютъ точки, хотя оне и не могутъ быть достигнуты последовательными делешями. И здесь снова философ1я безконечнаго объясняете намъ возможность ироти-

92

В ЕРТРА Н Ъ РЕССЕЛЬ.

вор'Ь’пя и почему точки не суть безконсчно - малыя длины. Что касается движешя и измйнешя, то' и здйсь мы доходимъ подобнымъ-же образомъ до любопытныхъ результатовъ. Обыкновенно принято думать, что когда вещь изменяется, то она должна находиться въ со­ стояли измйнешя, и когда вещь ;движется, то она на­ ходится въ состоянш движешя. Съ нашей точки зрйшя это утверждеше ошибочно. Когда тгЬло двигается, то мы можемъ о' немъ сказать только то, что оно находится въ одномъ м'Ьст'Ь въ одно время и въ другомъ м'Ъстй въ другое время. Мы не имйемъ права сказать, что оно будетъ въ сосЬднемъ м^сте въ ближайшее мгновеше, ибо такого ближайшего мгновешя нйтъ. Философы часто говорятъ намъ, что когда тйло находится въ движенш, то оно изм'Ьняетъ мгновенно свое положеше. Но этому взгляду Зенонъ уже давно противопоставилъ роковое возражете, что каждое гЬло всегда находится тамъ, гдй оно находится; цо этому простому и краткому возра­ жение философы не придавали достаточно в4са и про­ должали до нашихъ дней повторять тй-же самыя фразы, которыя вызвали пылкШ скептидизмъ элеатовъ. Только недавно стало возможно объяснить движете въ соотв'Ьтствш съ Зенономъ и въ противоречит съ парадоксомъ философовъ. Мы можемъ теперь стоять на томъ, что тйло въ движенш точно также находится тамъ, гдгЬ оно есть, какъ и тйло въ покой. Движете есть явлете, состоящее въ томъ, что тйла находятся иногда въ од­ номъ мйсгб, иногда въ другомъ и что въ промежуточной времена они находятся въ промежуточныхъ м’Ьстахъ. Только тй, которые плутали въ туманй философской спекуляцш, могутъ достаточно оцйнить, какое освобождеше отъ старыхъ предразсудковъ заключается въ этомъ простомъ и, повидимому, общемъ мйстй. Философ1я безконечно-малаго, какъ мы только что

НОВ-ЬЙШШ РА БО ТЫ О НАЧАЛАХЪ МАТЕМАТИКИ.

98

вид'Ьли, носитъ преимущественно отрицательный харак­ т е р а Философ1я безконечыаго, напротивъ, носитъ вполне положительный характеръ.. Предполагалось, что безконечны я. числа и математическая безконечность вообще суть понятая само-противоречивыя. Но такъ какъ было очевидно, что существуютъ бесконечности - -напр., число чисел ь— то противоречия безкоиечности казались неудаjihmi.imk и философ1я, казалось, попала въ тупикъ. Эта трудность привела къ антипомгямъ Канта, а затемъ,1 косвенно,— и къ ,далектическо.чу методу Гегеля. Почта вся современная философ1я сдвинута съ своего основашя темъ фактомъ (который известенъ еще очень немногимъ философамъ), что все старыя, пользующаяся уважешемъ противореч1я въ понятш о безкоиечности могутъ счи­ таться устраненными. Мётодъ, которымъ это достигнуто, въ высшей степени интересенъ и поучителенъ. Прежде всего, хотя много и подробно говорилось о безкоиечности съ начала греческой мысли, никто не задумывался надъ вопросомъ, что такое безконечность. Если-бы мы обра­ тились съ этимъ вопросомъ къ философу, то получилибы въ ответъ какую-нибудь непонятную безсмыслицу, но ни одинъ не былъ-бы въ состоянш дать намъ определеше, имеющее смыслъ. Двадцать летъ тому назадъ, примерно, Дедекиндъ и Канторъ задали себе этотъ вопросъ и ответили на него. Они нашли совершенно точное определеше безконечнаго числа или безконечнаго собрашя вещей. После этого перваго и важнейшаго шага оставалось разсмотрЬть нредполагавипяся противоРеч!я. Канторъ пошелъ здесь по единственно вер­ ному пути. Онъ взялъ пару противоречивыхъ предложешй, въ которыхъ обыкновенно обе стороны противоpe4ifl считались доказуемыми, и строго разсмотрелъ предполагаемыя доказательства. Онъ нашелъ, что все до­ казательства, противныя идее безкоиечности, заключали въ себе некоторый принцииь, съ перваго взгляда оче­

94

Б Е Р Т Р А Н Ъ РЕССЕЛ Ь.

видный, но разрушающей при строгомъ проведенш почти всю математику. Напротивъ, доказательства, благопрьятныя идей безконечности, не заключали въ ce6ii никакого Начала, ведущаго къ абсурднымъ сЛйдств1ямъ. Оказалось, такимъ образомъ, что. здравый смыслъ былъ вовлеченъ въ 1ошибку однимъ положетемъ, и что необходимо от­ казаться отъ этого положешя для того, чтобы достигнуть правильныхъ результатовъ. Полбжеше, о которомъ идетъ ргЬчь, заключается въ томъ, что если некоторое соб рате А есть часть другого В , то со б р ате А > которое составляетъ часть, имгЬетъ меньше членовъ, ч’Ьмъ В . Положеше вполне вгЬрно, когда идетъ рйчь о конечныхъ числахъ. Напр., англичане составляютъ часть европейцевъ и число англичанъ меньше _числа европейцевъ. Но когда мы переходимъ къ безконечнымъ числамъ, то положеше перестаетъ быть в’Ьрнымъ. Этотъ провалъ положешя и даетъ намъ точное опредЬлеше безконечности. Коллекщя чле­ новъ безконечна, когда она содержитъ, какъ части, друпя коллекцш, шг&юпця столько-же членовъ, какъ и она сама. Если вы можете удалить некоторые члены собрашя, не уменьшая числа ея членовъ, то собрате заключаете въ себЗз безконечное число членовъ. Напр., столько-же. четныхъ чиселъ, сколько всйхъ чиселъ, потому что каждое число можетъ быть удвоено. Это можетъ быть показано, если мы пом'Ьстимъ въ одной строкЪ и четныя и нечетныя числа, а въ другой— только четныя: 1, 2, 3, 4, 2, 4, 6, 8,

5, . . .

10 . . .

ad infinitum. ad infinitum.

Очевидно, что вънижнемъ ряду столько-же чиселъ, сколько въ верхнемъ, ибо каждому верхнемусоотв'Ьтствуетъ одно нижнее. Это свойство, которое прежде считалось антином1ею (противор’ЗЫемъ), превращается въ

НОВФЙШШ РА БО ТЫ О НАЧАЛАХЪ МАТЕМАТИКИ.

95

полезное определете и показываета, въ данномъ-случае, что число конечныхъ членовъ безконечно. Но непосвященные могутъ удивляться тому, какъ возможно говорить о числе, которое не можетъ быть сочтено. Невозможно сосчитать все числа, одно за однимъ, потому что, какъ много бы ни сосчитали, остается еще больше несосчитанныхъ. Д£ло въ томъ, что счета есть очень обычный и элементарный путь для нахождешя того, сколько членовъ мы т й е м ъ въ собраши. И во всякомъ случай счетъ даетъ намъ то, что мате­ матики называютъ о р д и н а л ь н ы м ъ числомъ нашихъ членовъ, т. е. счетъ располагаете наши члены въ порядокъ или рядъ, и его результата говоритъ намъ, какой' типъ ряда получается отъ этого расположен ш. Другими словами, невозможно считать вещи, не пересчитывая одну раньше, а другую позже, такъ что счета всегда имеетъ дело съ порядкомъ. Въ томъ случае, когда имеется только конечное число членовъ, мы можемъ считать ихъ въ какомъ-угодно порядке; но когда ихъ число безко­ нечно велико, операщя, соответствующая пересчитыванш, дастъ намъ совершенно различные результаты, смотря по способу, которымъ мы ее совершаемъ. Такимъ образомъ, ординальное число, происходящее отъ операцш, которая можетъ быть названа счетомъ въ общемъ смысле этого слова, зависитъ не только отъ того, сколько чле­ новъ мы имеемъ, но (въ томъ случае, когда число чле­ новъ безконечно велико) и отъ порядка, въ которомъ члены расположены. Истинныя безконечныя числа не Суть числа о р д и ­ н а л ь н ы я, но должны быть названы к а р д и н а л ь ­ н ы м и . Они получаются не расположешемъ членовъ въ порядке и пересчитывашемъ ихъ, но другимъ методомъ, который указываетъ намъ прежде веегб, имеютъ-ли два собрашя одно и то же число или, въ противномъ случае, которое изъ нихъ имеетъ больше. Этотъ методъ не

96

В ЕРТРА Н Ъ РЕССЕЛЬ.

указывает!, намъ, к а к о е число членовъ им4етъ извест­ ное собраше, но онъ позволяешь намъ узнать, им'Ьетъли некоторое другое еобраше больше или меньше членовъ. Следуюнцй примеръ разъяснить сказанное. ЕсЛибы существовала страна, въ которой/ но какой-бы то ни было причине,, было невозможно сделать перепись, но въ которой каждый мужчина имелъ-бы одну жену и каждая женщина одного мужа, мы могли-бы знать, не пересчитывая, что въ этой стране ровно столько-же мужчинъ, сколько женщинъ. Этотъ методъ можетъ быть примененъ въ общемъ случае. Если есть какое-нибудь отношеше, которое, подобно брачному союзу, связываетъ каждую вещь одного собранш съ одною и одною только вещью другого собрашя и vice versa, тогда оба собрашя имеютъ- одно и то-же число вещей. Этимъ путемъ мы нашли, что четныхъ чиселъ столько-же, сколько всехъ. Каждое число можетъ быть удвоено и каждое четное число можетъ быть разделено нополамъ, и тотъ и дру­ гой процессы даютъ одно число, соответствующее удвоиваемому или разделяемому. Этимъ путемъ мы можемъ найти какое-угодно число собранш, каждое изъ которыхъ имеетъ ровно столько-же членовъ, сколько имеется конечныхъ чиселъ. Если каждый членъ собрашя мо­ жетъ быть связанъ съ однимъ числомъ и все конечный числа употребляются при этомъ по разу и только по разу, v тогда наше соб рате будетъ иметь столько-же членовъ, сколько имеется конечныхъ чиселъ. Таковъ тотъ общш методъ, которымъ определяюсь числа безконечныхъ собрашй. Не нужно предполагать, что все безконечньтя числа равны. Наиротивъ, число безконечныхъ чиселъ превышаетъ въ безконечное число разъ число конечныхъ. Существуетъ больше способовъ распределять конечныя числа въ ряды различныхъ типовъ, чемъ имеется конеч­ ныхъ чиселъ. Вероятно, больше точекъ въ пространстве

97

ПОВ-ВЙШШ РА БО ТЫ О ИАЧАДАХЪ МАТЕМАТИКИ.

и больше моментовъ во времени, ч&мъ конечныхъ чиселъ. Щ суще<явуетъ ровно столько ®е, дробей, сколько л,!»лыхъ чиселъ, хотя и существует!, бесконечное множество дробей между каждыми двумя целыми числами. Но что касается до йрращоналъныхъ чиселъ, то ихъ больше, ч'Ьмъ ц%лыхъ чиселъ или дробей. Вероятно, существуете точно столько же точекъ въ пространств^. сколько югЬется иррацтналкныхъ чиселъ, и на каждомъ отрйзкйвъ одну мил. ионную дюйма имеется столько яге точекъ, сколько во всемъ безконечномъ пространств^. Существуете наи­ большее изъ вейхъ безконечцыхъ чиселъ., которое есть число вс’Ьхъ вещей.: Очевидно, что не можетъ быть 6o.ii.шаго числа, чЬмт. »то, ибо, если в:»т> все, хо больше не остается’ ничего, что могло бы быть прибавлено. Канторъ имеете доказательство, что н'Ьтъ наибольшаго числа, и если бы это доказательство было безупреч­ но, противор'Мя безконечности возродились бы въ бо.тк: утонченной форм!;. Но въ этомъ иункгЬ, но .моему мн^нго, разеуждешя; Кантора страдаютъ ошибочностью. Мы можемъ тетерь; пенять, .нечему Зенонъ считалъ, что Ахиллееъ не можетъ догнать черепахи и почему на самомъ Д'Ы; онъ ее догоните. Мм увидимъ, что тЬ, кто были несогласны съ Зенономъ, не имйли на это нрава, такъ какъ они допускали вей тй посылки, изъ которых-!, вытекалъ его выводъ. Аргументаащ Зенона, какъ известно, соетоитъ въ слйдующемъ: Пусть Ахйллесъ и - черепаха въ одао Время : отправляются въ путь по одной и той же дорог!., при чемъ черепаха,, однако, им&етъ нисколько шаговъ впереди Пусть Ахйллесъ идете въ два, въ десять, въ -ето разъ скор-!;** черепахи. Онъ никогда не догоните чере­ пахи, ибо въ каждый моменте времени черепаха нахо­ дится въ картп.-нибудь jrlwrb и Ахйллесъ съ своей стороны также въ какомъ-нибудь мЬсгЬ.- Такимъ обра­ зомъ черепаха проходите ровно столько же мЬсгь. сколько НОВЫЯ ИДЕИ ВЪ МАТЕМАТИК®, ОБ. I.

7

98

ВЕРТРА Н Ъ РЕССЕЛ Ь.

Ахиллесъ, потому что каждый изъ' нихъ находится въ одномъ м е с т е *въ одинъ моментъ и въ другомъ месте въ другой моментъ. Но если бы Ахиллесъ догналъ чере­ паху, io места, пройденныя черепахою, были бы только частью мгЬстъ, пройденныхъ Ахиллесомъ. Такимъ обра-, зомъ, аргументащя Зенона основывается на положеши, что целое им’Ьетъ больше членовъ, ч4мъ часть. Если бы Ахиллесъ моп» догнать черепаху, то онъ былъ бы въ болыпемъ числе м^стъ, ч^мъ черепаха; но въ каждый перюдъ времени онъ могъ бы быть только въ томъ же числе местъ, какъ и черепаха. Вотъ почему онъ не мо­ жетъ никогда догнать черепаху. Эта аргументащя вполне точна, если мы допустймъ акиому, что целое имеетъ больше членовъ, чемъ часть. Но такъ какъ следсттае нелепо, то и акиома Должна быть отброшена, и тогда все придетъ въ порядокъ. Но трудно одобрить философовъ двухъ прошедшихъ тысячелетш, которые допускали акс1ому и отрицали вытекающее изъ нея с л е д с т е .

CoxpaHenie аксюмы ведетъ къ несомненнымъ противореч1ямъ, между темъ какъ ея отбрасываше ведетъ только къ странностямъ. Одна странность, которую я называю парадоксомъ Тристрама Шенди, въ известномъ отношеши противоположна парадоксу Ахиллеса и показываетъ, что черепаха, если дать ей достаточно вре­ мени? уйдетъ такъ же далеко, какъ Ахиллесъ. Тристрамъ Шенди, какъ известно, употребилъ два года на то, чтобы написать хронику двухъ дней своей жизни, и плакался на то, что при этомъ соотношеши, матер1алъ будетъ накопляться скорее, чемъ онъ можетъ описы­ вать его, такъ что съ течешемъ времени онъ будетъ все дальше и дальше отъ конца Чсвоей исторш. Я же утверждаю, что если бы онъ жилъ вечно и не усталъ отъ предпринятой имъ задачи, то даже въ томъ случае, если бы жизнь его продолжалась столь же содержа­ тельно, какъ и началась, ни одна изъ частей его 6io-

НОВ-ЬЙПИЯ РА БО ТЫ О НАЧАЛАХЪ МАТЕМАТИКИ.

99

графш не осталась бы недонисанною. Въ самомъ деле, сотый день будетъ описанъ въ сотомъ году, тысячный день— въ тысячномъ году и т. д. Какъ далеко бы ни взятъ былъ день, онъ будетъ описанъ въ соотвегствующемъ году. Такимъ образомъ воякШ день будетъ описанъ рано или" поздно, и ни одна часть бхографш не останется ненаписанною. Это парадоксальное, но вполне верное предлоЖеше есть следсттае положешя, что число дней не больше числа годовъ. Такимъ образомъ, по вопросу о безконечности Не­ возможно избегнуть заключешй, который съ перваго взгляда кажутся парадоксальными, и въ этомъ заклю­ чается притона того, что столь мнопе философы пред­ полагали, что въ ПоНятш о безконечности заключаются внутрешпя противоречия. Но понимаше истинныхъ началъ доктрины Кантора доставляетъ намъ новые критерш д л я" различешя истиннаго и ложпаго. Парадоксы оказываются не более парадоксальными, чемъ существоваше антиподовъ, которые считались невозможными, такъ какъ имъ пришлось бы стоять на голове. Р е ш е т е задачъ, касающихся безконечности, доставило Кантору возможность приступить и къ решенда вопроса о непрерывности. Онъ далъ вполне точное определете непрерывности и показалъ отсутств1е противоречШ въ такимъ образомъ определенномъ поняли. Но мы не ре­ шаемся затрагивать этотъ вопросъ въ настоящей статье. Потише о непрерывности зависитъ отъ понятая о п о р я д к е , такъ какъ непрерывность есть только частный случай порядка. Современная Математика вообще придаетъ все большее и большее значеше порядку. Прежде предполагали (а философы до сихъ поръ предполагаютъ), что основнымъ понятаемъ математики является понятае о количестве. Но въ настоящее время количество оста­ лось въ геометрш только въ одной небольшой главе, между темъ какъ понятае о порядке захватываете все

100

ВЕРТРА Н Ъ РЕССЕЛЬ.

болышя и болышя области. Ийсл^доваше различныхъ типовъ рядовъ и ихъ отношешй составляетъ теперь весьма широкую область математики, и это изслйдовате можетъ быть проведено безъ всякаго отношешя къ по­ нятая) о количестве и въ значительной части безъ всякаго отношешя къ понятно о числе. Все типы рядовъ могутъ быть формально определены, и ихъ свойства могутъ быть выведены изъ принциповъ символической логики по правиламъ алгебры отношенш. Попятае о пределе, которое является основнымъ въ большей части высшей матема­ тики, обыкновенно определялось посредствомъ понятая о количестве, какъ членъ, къ которому, какъ угодно близко, приближаются по своей величине члены ряда. Въ на­ стоящее время дается иное определеше понятая» о пре­ деле, и рядъ, имеющш известный пределъ, можетъ совсемъ не приближаться къ нему. Это новое определеше, которымъ мы обязаны Кантору, имеетъ громадное значеше. Только понятае о порядке является вполне приложимымъ къ пределу. Такъ, напр., наименьшее изъ безконечно-болыпихъ целыхъ чиселъ есть пределъ ко­ нечныхъ целыхъ чиселъ, хотя все конечныя целыя числа находятся на безконечно-болыпомъ разстояши отъ него. Изучеше различныхъ типовъ рядовъ есть общее учете; вышеупомянутое уч ете о порядковыхъ числахъ составляетъ только частную, въ высшей степени интерес­ ную ветвь общаго у ч ета. Но техничестя трудности мешаютъ дать понятае объ общемъ учеши о порядке въ популярной статье. Геометрия, подобно ариометике, была въ последнее время подведена подъ общую доктрину о порядке. Прежде предполагалось, что геометрия есть наука о природе про­ странства, въ которомъ мы живемъ, и соответственно съ этиМъ доказывалось теми, кто считаетъ, что существую­ щее можетъ быть познаваемо только эмпирически, что геометр1я должна быть действительно разсматриваема,

НОВЪЙШ Ш РА БО ТЫ О НАЧАЛАХЪ МАТЕМАТИКИ.

101

какъ часть прикладной математики. Но развийе неев­ клидовой геометрш постепенно выяснило, что геометргя бросаетъ не более свету на природу пространства, ч4мъ ариометика на населеше Соединенныхъ Штатовъ. Гео­ метрия есть полная система дедуктйвныхъ наукъ, основанныхъ на соответствующей группе aKcioMrb. Одна изъ такихъ групнъ аксюмъ дана Евклидомъ; другая равно­ значащая группа аксюмъ приводить къ другой геометрш. Справедливы ли аксюмы Евклида— вопросъ объ этомъ не имЬетъ значешя для чистаго математика; и болйе того,— этотъ вопросъ принадлежите къ числу вопросовъ, которые теоретически не могутъ быть съ достоверностью разре­ шены въ утвердительномъ смысле. Можетъ быть, явится! возможнымъ показать вееьма тщательными измерешями, что Евклидовы аксюмы не верны; но, благодаря неизбежнымъ ошибкамъ наблюдешя, никаюя измерешя не могутъ убедить насъ, что они верны вполне точно. Т а-] кимъ образомъ геометръ предоставляете другому ученому решить съ возможною точностью, каыя аксйшы наибо­ лее применимы къ действительному Mipy. Геометръ же беретъ за основаше группу аксюмъ, представляющую для него наибольшей интересъ, и выводите изъ нея след­ ствия. Геометр1я характеризируется при этомъ темъ, что аксюмы должны приводить къ рядамъ съ числомъ измерешй, большимъ одного. Такимъ образомъ, геометр!» является подразделешемъ въ общей доктрине о по­ рядке. Въ геометрш, какъ и въ другихъ частяхъ матема­ тики, Пеано и его ученики, по отношение къ началамъ, сделали дело великой важности. До сихъ поръ и фило­ софы и математики одинаково считали, что доказатель­ ства въ геометрш зависятъ отъ фигуръ. Теперь известно, что это не такъ. Въ лучшихъ книгахъ мы не находимъ вовсе фигуръ. Разсуждеше исходите изъ начальной группы аксшмъ и развивается по точнымъ правиламъ

102

ВЕРТРА Н Ъ РЕССЕЛ Ь.

формальной логики. При употребленш фигуръ является опасность принять за очевидныя ташя утверждения, которыя не выводятся формальнымъ разсуждёшемъ изъ данныхъ аксзомъ и которыя принимаются за нстинныя,’ только по­ тому, что они наглядны. Напротивъ, если мы откажемся отъ употребления фигуръ, то для насъ становится возможнымъ открыть в с Ь необходимыя аксшмы и благодаря этому выясняются тагая стороны вопроса, которыя иначе остались бы скрытыми. Большой успйхъ, съ точки зреш я .точности, былъ достигнута обосновашемъ геометрш на понятаи о точке вместо понятая о пространстве. Этимъ методомъ мы обя­ заны отчасти Пеано, отчасти другому итальянскому гео­ метру Фано. Для непривычныхъ этотъ методъ можетъ показаться капризнымъ педантизмомъ. Следуя ему, мы начинаемъ съ сл'Ьдующихъ аксшмъ: 1) Существуетъ классъ вещей, называемыхъ точками.

2) Существуетъ, по, крайней мере, одна точка. 3) Если а есть точка, то есть, по крайней мере, еще одна точка/ кроме а. Зат^мъ мы вводимъ прямую линш, соединяю­ щую две точки, и утверждаемъ, что 4) на прямой линш, соединяющей а и Ъ, есть, по крайней мере, еще одна Точка сверхъ а и Ъ. 5) Существует^ по крайней мере, одна точка не на линш ab. Продолжая такимъ образомъ, мы можемъ получить столько точекъ, сколько угодно. Но въ слове пространство, какъ шутливо замечаетъ Пеано, геометрия не нуждается. Точные; методы, употребляемые •современными геоме­ трами, лишили Евклида ореола абсолютной точности. До последняго времени считалось, какъ это указалъ Генри Лавиль еще въ 1621 .г., что у Евклида есть только два темныхъ пятна, — Teopia параллельныхъ лиши и теор!я пропорцш. Теперь считаюта, что это— почти единствен­ ные пункты, въ которыхъ Евклидъ, напротивъ, не заслуживаетъ порицашя.' Напротивъ, въ первыхъ же восьми

НОВ'ЬЙШГЯ РА БО ТЫ О НАЧАЛАХЪ МАТЕМАТИКИ.

Ю З

цредложешяхъ можно насчитать весьма большое число Ошибокъ. Не только сомнительно, верны ли его акс1омы, но вместе съ тгЬмъ очевидно, что его предложешя не вытекаютъ изъ выставленныхъ имъ аксюмъ. Для доказа­ тельства его предложены необходимо гораздо большее число аксюмъ, которыя и употребляются безсознательно Евклидомъ. Даже въ первомъ предложенш, въ которомъ строится - на данйомъ основанш равностороннш треугольникъ, онъ употребляете два пересекающихся круга.- Но ни одна явно высказанная аксюма не убеждаете насъ, что они пересекаются, и во маогихъ типахъ простран­ ства они не всегда пересекаются; сомнительно, принад­ лежите ли наше пространство къ таковымъ, или нега. Такимъ образомъ, даже первое предложеше Евклида является недоказанными По моему мненш , Евклидъ по своей трудности и запутанности имеетъ теперь только иеторическш интересъ и странно,-что англшсше мальчики должны до сихъ иоръ учиться по нему. Книга должна быть или легко понятна или вполне точна; соединить оба качества трудно, но книга, не имеющая ни того, ни,дру­ гого,: не заслуживаете того места, которое занимаете Евклидъ въ нашей образовательной системе. Наиболее замечательнымъ результатомъ новейшихъ математическихъ методовъ является признате важности символической логики и точнаго формализма. Математики, благодаря вл1яшю Вейерштрасса, отличаются въ настоя* щее время такою заботливостью о точности и такое отвращеше къ поверхностности, какого мы не встречаемъ въ науке со времени грековъ. Велщйя изобретен!» семнадцатаго столейя— анали­ тическая геометр!я и исчисдеше безконечно - малыхъ—* были такъ богаты плодотворными результатами, что ма­ тематики не имели ни времени, ни желаш я, для точнаго обосновашя этихъ доктринъ. Философы, на которыхъ должна была бы лечь эта задача, не могли изобрести те

104

В ЕРТРА Н Ъ РЕССЕЛ Ь.

иовыя ветви математики, изобретен» которыхъ было не­ обходимо для работы обосновашя. Такимъ образомъ, ма­ тематики пробудились отъ своего догматическаго сна только тогда, когда Вейерштрассъ и его школа показали, что мнойя изъ наиболее цЗзнныхъ математическихъ пред­ ложены являются подлежащими сомненш. Маколей, про­ тивополагая достоверность математики сомнительности философскихъ ученШ; спрашивалъ, слышалъ ли кто-ни­ будь о, реакцш противъ теоремы Тайлера. Если бы онъ дожилъ до настоящаго времени, то онъ узвалъ бы о т'Ьхъ ограничешяхъ, которыя ввели въ изложете этой теоремы современныя изеледовашя. Эти тяжелые удары, нанесенные многимъ математическимъ веровашямъ, и вы­ звали ту любовь Къ формализму, которая кажется лииамъ, иезнакомымъ съ ея мотивами, безцельнымъ и вреднымъ педантизмомъ. Доказательство, что вся чистая математика, включая геометрш, совпадаете съ формальною логикою, явилось роковымъ ударомъ для философш Канта. Кантъ, пра­ вильно заключивъ, что предложешя Евклида не. могутъ быть выведены изъ его-аксгомъ безъ помощи фигуръ, изобр'Ьлъ теорш познашя, объясняющую этотъ фактъ; теперь, когда мы видимъ, что фактъ, изъ котораго исходилъ Кантъ, является лишь недостаткомъ изложен!я Евклида, теор1я, созданная для его объяснешя, должна быть оставлена. Вся доктрина апршрныхъ сужденш, ко­ торою Кантъ объяснялъ возможность чистой математики, совершенно неприменима къ математике въ ея настоя­ щей форме. Аристотелевская доктрина схоластике въ ближе по своему духу къ доктринамъ, одухотворяющимъ совре­ менную математику; но схоластикамъ мешало несовер­ шенство ихъ формальной логики, узость философской ло­ гики, основанной исключительно на силлогизме. Мы нуждаемся теперь въ возможно широкомъ р а з | витш математической логики, въ выяснен in важности от-

НОВЪЙШ Ш РАБО ТЫ О НАЧАЛАХЪ МАТЕМАТИКИ.

105

ношешй и въ обоснованш на этомъ твердомъ базис! но­ вой философской логики, заимствующей отъ своего математическаго основашя и точность, и достоверность. Когда это будетъ успешно выполнено, явится полное основан]е надеяться, что ближайшее будущее составитъ для чистой философт такую же эпоху, какою для учешя о началахъ математики являются послйдшя десятшгЬия. Велише тр1умфы пробуждаютъ велишя надежды; наше поколйше можетъ достигнуть въ области чистой мысли результатовъ, которые поставятъ двадцатое стод&йе наравий съ величайшею эпохою греческаго мышлешя.

Переввлъ А . В .

Альфредъ Принсгеймъ. Ц е н н о сть и мнимая н е -ц е н н о сть мате­ м атики ]). Незавидно положеше математика, на долю котораго вы­ пала высокая честь говорить съ этого места о своей науке, какъ ни высоко онъ ценить эту честь. Онъ напоминаетъ тогда иностранца, который на своемъ родномъ языкй могъ бы сказать кое-что Сносное, но только Съ трудомъ и крайне несовершенно можетъ высказать Чтонибудь на своемъ ломанномъ нЬмецкомъ языке, подвер­ гаясь къ тому же опасности показаться довольно трив1альнымъ передъ своими соотечественниками. Правда, математика была названа наукой о томъ, что с а м о с о б о ю р а з у м е е т с я , потому что все здаnie ея строится чисто логической дедукщей на фунда­ менте изъ небольшого числа общепонятныхъ основныхъ положенШ. Это не неудачное назваше ничего не меняетъ въ томъ факте, что для огромнаго числа образованныхъ людей и даже ученыхъ она до настоящаго времени осталась наукой о н е п о н я т н о м ъ . Еще Эвклидъ сказалъ, Что въ математике нетъ ц а р е к а г о п у т и ; къ сожаленш, это совершенно верно, хотя Болонскш математикъ Шетро Меиголи 2) совершенно 1) Р'Ьчь, произнесенная въ открытомъ засЬданш Баварской Академш Наукъ въ Мюнхен^ 14 марта 1904 г.

2) Via regia ad mathematicas per arithmeticam, algebram speciosam ed planimetrlam. A Petro Mengolo. Bononia,e 1655.

Ц-ЬННОСТЬ И М1ГИМЛН И Е-Ц М Ш О О ТЬ МАТЕМАТИКИ.

ш

серьезно утверждала противное й даже пытался дока­ зать это на д'К'ьгК;. Его книга, цоевященная шведской королей Х р и с т и н ! , при ближайшемъ раЗсмотр’Ь ши оказывается лишь собраш емъ очень неуклюжихъ латинскихъ стиховъ, при посредстве которыхъ' наиболее нростымъ — по мн4нш автора— и' нспммъ образош. могутъ быть изучены элементы ариеметики,: алгебры и планиметрщ. • Более серьезно следуете отнестись, къ утвержденж умершаго въ 1873 году математика Г е р ­ м а н а Г а и к е л я ’), что ц а р с к Ы п у т ь къ матема­ тике открываете, такъ называемая, п р о е к т и в н а я г е о м е т p i я, но и кт. этому утвержденда следуете отнестись весьма скептически,, Какъ бы тамъ, однако, ни .было, не­ сомненно "одно, что въ очень широкихъ кругахъ мате­ матика пользуется блестящей непопулярностью. Если бы для этого требовалось еще какое-нибудь внешнее дока­ зательство, то можно было бы, пожалуй, указать на то обстоятельство, что м а т е м а т и ч е с к о е знаш е есть единственная область, въ которой чувствуете себя еще совершенно чужимъ нангь всезнающи! журнализмъ. Но оставаясь на .сдишкомт. почтитеяьцомъ разстеяии, боль­ шинство образовали ыхъ людей воздаетъ математик! из­ вестную дань уваженья —большей частью, правда, за ту; общепризнанную п о л ь з у , которую она оказала е с т е - е т в е н н ы м ъ н а у к а м ъ й прежде всего мощно развив­ шейся и .охватывающей вс!» стороны человеческой жизни т е х н я к е . Это не мешаете, впрочемъ, очень многимъ смотреть на „чистаго" математика, если не какъ на ,,чистаго -глупца*, то, но меньшей м'Ьрй, какъ на изЛишняго представителя- какой-то мнимой и темной муд­ рости браминовъ. Друг1е, руководясь въ своей оценке математики не столько разумными соображеньями* сколько Ц Hermann llankcl, Die E ntvicklung der Mathematik in den let-zt-en lahi-li uudwten. Antitltsrudo. Tubingen 18СШ (2. Aufl. 1§84).

108

ЛЛЬФРЕД'Ь П РИ Н СГЕЙ М Ъ .

чувствомъ, видятъ въ ней непонятное, правда, для нихъ, но все же удивлешя достойное проявлеше челов'Ьческаго духа и вообще склюнны скорее переоценить значеше математики, чемъ оценивать его слишкомъ низко. Ин­ тересный литературный прим^ръ этого типа въ наивысшемъ его проявленш представляетъ романтикъ Н о в ал и съ , изречешя котораго о математике носятъ не менее релииозно-мечтательный характеръ, чемъ его стихи: „жизнь боговъ есть математика “. Все посланцы боговъ должны быть математиками. Чистая математика есть релипя. Толь­ ко одни математики счастливы. Математикъ все знаетъ. Онъ сумелъ бы это, если бы онъ этого не зналъ“ и т. д. ') — Вы будете несколько изумлены, найдя здесь столь „ су­ хую “— какъ это принято считать— математику въ трогательномъ союзе съ „голубымъ цветкомъ романтики Но разгадать эту загадку не такъ уже трудно, какъ это можетъ показаться съ перваго взгляда. Общее звено, ихъ соединяющее, образуетъ удивительный м^ръ чиселъ, мистичесгая тайны котораго не менее привлекаютъ къ себе релипознаго мечтателя, чемъ ученаго математика. И т а и н с т в е н н о е з н а н i е, которое т о л ь к о э т о т ъ п о с л е д н 1 Й усваиваетъ при помощи чудодейственной силы своихъ методовъ, и есть именно то, что преисиолняетъ сердце перваго чрезмернымъ восхищешемъ. Впрочемъ, позаботились и о томъ, чтобы эти „един­ ственные счастливцы “ не очень уже благодушествовали. Не было до настоящаго времени у математики недо­ статка и во врагахъ и даже въ людяхъ, относившихся къ ней съ полнымъ презрешемъ, отрицавишхъ даже всякое значеше за ней, посколько она не служитъ однемъ полезнымъ целямъ. Желая внести свою скром­ ную лепту въ двло правильной оценки значения мате­ *) Novalis Schriften, herausg. von E. Heilborn, (Berlin 1901).

Teil II, erste Halfte, S. 223.

Ц ЕН Н О СТЬ И МНИМАЯ НЕ-Ц-ЬННОСТЬ МАТЕМАТИКИ.

109

матики, я над'Ьюсь лучше всего достигнуть этого, если попытаюсь сначала опровергнуть самые Существенные изъ выдвинутыхъ противъ нея упрековъ и загЬмъ сде­ лаю несколько общихъ замечанШ о цели школьнаго преподавашя математики и математической науки вообще. Особенно резко выступилъ, какъ известно, противъ математики въ различныхъ м^стахъ своихъ сочиненш философъ Ш о п е н г а у э р ъ. Съ т4хъ поръ прошло ужъ, правда, не мало времени и т4мъ не менее его разсуж детя, насколько я знаю, никогда не были опроверг­ нуты — можетъ быть, только потому, что опровержеше ихъ, какъ дело слишкомъ простое, казалось математикамъ не стоющимъ труда. Но за последнее время въ статьяхъ и сочинешяхъ, направлешшхъ къ ограничент преподавашя математики въ среднихъ школахъ, посто­ янно стараются опереться на авторитетъ Шопенгауэра— автора въ данномъ вопросе будто бы особенно автори­ тета аго. Вотъ почему мне представляется чрезвычайно желательнымъ подвергнуть публичной критике аргументы Шопенгауэра, научный авторитетъ ихъ автора, какъ и его, какъ я докажу, не совсемъ чистоплотные npieMbi. То, что Ш опенгауэръ'говорить объ э л е м е н т а р ­ н о й г е о м е т р i и 1), для нашей цели интересно лишь постолько, посколько уже здесь съ очевидностью выступаетъ отсутств1е всякаго сколько-нибудь глубокаго математическаго понимашя. Онъ указываетъ, между прочимъ, на то, что методы доказательстваЭвклида д и д а к ­ т и ч е с к и не целесообразны. Если съ этими можно согласиться безъ спора, то гораздо более существенные недостатки у ч ета Эвклида лежатъ гораздо глубже, а именно, въ основныхъ его онределешяхъ и аксюмахъ. >) Uber die vierfache W urzel des Satzes vom zureichenden Grande, § 39 = Werke, herausg. von I. Frauenstadt, I, S. 135—139 Die W elt als W ille und Vorstellung, I, § 14 = Werke, П, S. 82—87.

но

А Л ЬФ РЕ Д Ъ ПРИ Н СГЕЙ М Ъ.

Но именно этого Шопенгауэръ совершенно не пони­ маете, а наоборотъ, довольно неудачно шутите насчетъ сомн'Ьшй, высказанныхъ относительно этого многими математиками 1). Но если этотъ фундамента •сохранить, какъ этого хочетъ Шопенгауэръ, то элементы Эвклида остаются и по настоящее время восхищешя достойнымъ творешемъ весьма высокаго совершенства. Да и въ большинстве доказательствъ Эвклида затрудняете нонимаше новичка ничуть н е с о д е р ж а н i е, а только ч и с т о с и н т е т и ч е с к а я ф о р м а изложешя, которая всякимъ ум'Ьлымъ иреиодавателемъ легко можетъ быть заменена аналитически-генетической и вместе съ темъ геометрически более наглядной формой. Яркое доказа­ тельство этому представляетъ доказательство пифагоровой теоремы у Эвклида, которую Шопенгауэръ назвалъ ’„натянутымъ и даже коварнымъ“: при незначительных^ изменешяхъ въ форме изложешя именно это доказа­ тельство представляетъ блестящш образецъ безупречнаго доказательства въ элементарной геометрш, между темъ, какъ то, что Шопенгауэръ осмеливается предложить взаменъ его, должно быть признано— мягко выражаясь— чрезвычайно наивнымъ. То, что онъ хочетъ доказать, ему не удается даже на томъ несчастномъ сиейдальномъ случае 2), которымъ ограничивается все его доказатель­ ') W e lt.a le W ffle etc. II. Кар. 13 = W erke III, S. 142,—У математиковъ въ действительности имеются весьма важныя соображешя цротивъ Кантовской трансцендентальное™ воззрения простран­ ства, которую Ш опенгауэръ чтитъ, какъ евангел!е. См. Gauss, W erke (1876), И, S. 177.—Riemann, W erke (1876), S. 254.—Helmholtz, W issensch. Abhandlungen, II (1883), S. 610, 618. P. Stackel und Fr. Engel, Die Theorie der Paralleliinien von Euklid bis auf Gauss. Leipzig 1895.—D . HUbert, Grundlagen der Geometrie 2. Aufl.

2) Р^чь идетъ о спещальномъ случай прямоугольно-р,а в н ос т о р о н н я г о треугольника, который е д в а позволяетъ п р е д ч у в с т в о в а т ь правильность теоремы для ’л ю б о г о прямоугольнаго треугольника, но никоимъ образомъ не даетъ того, что утверждаегь Ш о п е н г а у э р ъ , а именно, будто онъ „безъ всякихъ разговоровъ въ двадцать разъ больш е, убЪждаетъ въ истинности теоремы Пиеагора, ч4мъ доказательства Эвклида, на-

Ц ЕН Н О СТЬ И МНИМАЯ НЕ-Ц'ЬННОСТЬ МАТЕМАТИКИ.

Ш

ство, а именно, вместо только кажущагося теоретикоп о з н а в а т е л ь н а г о о с н о в а н ! я въ доказательств^ поминаюнця мышеловку". Само это доказательство можно найти въ существенныхъ его чертахъ уже у П л а т о н а (см. М. Cantor, Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik, Bd. I, S. 186, S. 623, Bd. II, S. 277). Если попытаться перенести это доказательство (см. фиг. 1 ) на случай любого прямоугольнаго треугольника, како­

Фиг. I.

Фиг. II.

вую , попытку,мы впервые находимъ у А н о н и м а (Lond. Philos Transactions Vol. 13 [1683] стр. 673), то оно получаетъ значительно keffiEie удовлетворительный характеръ: этимъ путемъ не удается доказать, что соотв'Ьтственныя фигуры составлены изъ одинаковыхъ частей, а только то, что они по дополненш могутъ сделаться равными (ом. фиг. II), Впрочемъ, индусы и арабы ранняго средне-

в'Ьковья (см. Cantor, ibid стр. 557, 639) знали уже прямое доказа­ тельство разложешемъ, основанное на двойномъ уравненш: с 2 = : = (а — Ь)а -(- 2аЬ = а 2 -+■ Ь2.' Если для геометрическаго доказатель­ ства этого уравнения разрезать и наложить фигуру такъ, какъ это указано на фигур-Ь III, то, отбросивъ оказавш1йся излишнимъ разР 'Ь з ъ (см. фиг. IV’), получаютъ чрезвычайно простое и элегантное доказательство An—Nairizi (=: Anaritus. около 900 г. п. P. X. См.

Tropfke, Geschichte der Elemental'—Mathematik IL [Leipzig] S.73).

112

-А Л Ь Ф РБ Д Ъ ПРИНСЛЗЙМ Ъ.

Э в к л и д а. ..шшомииающсмъ мышеловку “ (Mausefallent b e w e is), вскрыть существующее будто бы истинное о с н ов а и i е б ьт т i л (S e in sg ru n d ) 1). ВсякШ сведушш телов§кв сейчасъ же заметитъ, что III о л е н г а у а р ъ въ действительности не даетъ больню, ч^мъ Э в е л и д ъ , а именно/ только т е о р от и к о - п о з н а в а т е л ь н о е ос н о B a i l i e 2) . Относительно главы ,, А р и о м с т и к а к Шопенгауеръ говорить следующее: 3) „Что ариеметичесгая операцш со^ ставляютъ низшщ изъ всЬхъ видовъ духовной деятель­ ности, доказывает'!, топ. фактъ/ что он'Ъ— единстлошшя, даторыя могутъ быть выполнены и машиной; счетныя ма­ шины этого рода йъ большомъ употреблении въ настоящее время въ Англш. Но, ведь, всякш analysis finitorum et inimitorum, въ крнце-кондовъ, сводится къ е ч н с л е н п о . Отсюда, можно судить о „м а т е м а т и ч е с ко м ъ г л у б ок о м ы с л i и “, надъ которымъ смеялся еще Лихтенбергъ/ когда онъ писалъ: „Съ математикой дело обстоитъ почти такъ, какъ и съ теолопей. Подобно тому, какъ предста­ вители второй, въ особенности, когда они занимаютъ известныя должности, претендуютъ на особую святость и большую близость къ Богу, несмотря на то, что мнопе изъ пихт.- - истинный ничтожества, ^ такъ и, такъ назы­ ваемый, математикъ слишкомъ часто претендуем. на «на­ ч е т е глубокаго. мыслителя, несмотря на то, что среди иихъ не малЬ величайшихъ тупицъ, совершенно неспособныхъ ни на какую работу, требующую размышлешя. *) Несмотря на всЬ уловки и ухищ рейя (Vierf. W urzel dcs Satzeie etc. S. 36—39), Ш опенгауэру вообще не .удается дать точное и подходящ ее о я р е д Ъ Л е н сущ ем ую щ аго, по его muI.ihk);. (Шедифически-матемитичоскаго о с и о в a u i я б ы т i я.

1) Дри помощи ; <•■о в и а д е п i я .. изкЬетныхъ треугольииконц оенованнаго, въ коицЬ-коицовъ, па акйомахъ, (доказывается, что соответственный фигуры удовлетворяютъ о п р о д f. л е н i ю равен­ ства, (См. также 1Г. Wundt, Гмдгк, 2, Auflage (Stutgart J8&B) I,

'

3)

I’ a t 'O i g a

II § 35—W eike VI, S. 52.

Ц ЕН Н О СТЬ II МНИМАЯ ПЕ-ЦПППОСП» МЛТКМАТПКП.

И З

если она не можетъ быть сделана непосредственно, щ ш щ ъ легкимъ соединешемь знаковъ, что являетс-я скорее дТ>ломъ рутины, ч'Ьп. мышлений. (См. Licblenbergs Yermiscli•te Schriften, Gottingen 1,801. Ш. II. S. 287 ff)“. Итакъ, no iui'Tiuiio Шопенгауэра, т о л ь к о а р и о м е r и ч e с к i л онерацга могутъ быть выполнены машиной, и потому он'Ь составляютъ luiniiiiii видь духовной деятель­ ности. ВсякЩ а н а л и з ъ сводится; къ с ч и с л е н i ю, и потому Лйхтенбергъ совершенно правь. когда шшываетъ м а т ем а т и к о в ъ тупицами. Чудесное уМозаключеше отъ частНаго къ общему, открывающее самый великолЬпныя перспективы!; Напримеръ: Стеили Джевонсъ конструиро­ вать машину 2), ,:Съ помощью которой можно чисто ме­ ханически мъ путемъ получать некоторые л о г и ч е с к i е в ы в о д ы . Этимъ было бы прежде всего доказано, что л о г и ч е с к i я операцш представляютъ собой не менее низкШ видъ духовной деятельности, чемъ операцш а р и е м е т и ч е с к i л. Но всякое разумное м ы ш л е н i е въ коице-концовъ сводится къ л о т и ч е с к и м ъ у м о з а к л ю~ ч е и i ям ъ. Отсюда легко судить о ф и л о с о ф с к о м ъ г л у б о к о м ы с л е н , такъ цазываемыхъ, м ы с л и т е л е й , ; Весь ходъ разсужменЫ Шопенгауэра покоится на злоупотреблеши словами „ариеметическая деятельностьк: Въ действительности дело идетъ З^СЬ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО объ обыкновенпомъ ч и с л е н и о м ъ с ч и с л с u i и. т. е., о про­ изводстве ч е т ы р е х ъ ,i,i;й ст в i й иадъ данными числ а, м и. Если кто хочетъ эту умственную деятельность,, довольно низкагог, правда, качества, почтить, вйушитедьнцмъ назвацемъ а р и о м е т и ч е е к о й , то съ чисто эти­ мологической точки з р е т я ничего нротивъ этого возра­ зить нельзя. И действительно, въ' учебныхф вданахъ бапарскихъ гимназШ вы найдете, соответственный учебный “) См. ,,On the mechanical perforttlaiKle.of lagical infer©rree“. Lond.

I’ll Пон. Transactions, Vol. 100 (1870), S. 497—518. НОВЫЯ ИДЕИ ВЪ МАТЕМАТИК®, СБ. I.

8

114

А Л Ь Ф РЕ Д Ъ ПРИНСГЕЙМ Ъ.

предметъ, названный тамъ— по старому схоластическому обычаю— просто „ а р и е м е т и к о й “ . Но это нисколько пышное н азвате все же кажется мнЬ малоум'Ьстнымъ: вопервыхъ, потому, что трудно тогда понять, почему то же самое nQ4TH блюдо х) въ народныхъ школахъ носитъ го­ раздо более скромное и более целесообразное н азвате „счислешя*1, а въ более аристократическихъ гимназ1яхъ ему придаютъ столь важное н азвате, гораздо более обе­ щающее; во-втбрыхъ, потому, что этимъ еще более за­ темняются и те безъ того уже темныя представлешя, которыя существуютъ въ широкихъ кругахъ общества на счетъ сущности и содерж атя математики. А р и е м е т и к а, не исключая и элементарной, есть н а у к а ; она учитъ устанавливать въ систематической форме и логически обосновывать определенные обшде законы. С ч и с л е н 1 е есть въ сущности н е з н а н 1 е , а у м е н 1 е , рядъ ч и с т о т е х н и ч е с к и х ъ н а в ы к о в ъ , цель которыхъ — чи­ с л е н н о е п р и м е н е н i е сравнительно весьма неболь­ шого количества ариеметическихъ правилъ, въ большин­ стве весьма скудно объясненныхъ и недостаточно доказанныхъ. Тотъ, кто присваиваетъ этому слишкомъ много­ обещающее н азвате ариеметики (въ более старыхъ учебникахъ къ этому назвашю присоединяется, по крайней мере, еще слово „ э л е м е н т а р н а я * ) , противопоставляетъ ее темъ самымъ— и совершенно неосновательно— 1) Мне не безызвестно, разумеется, что иреподаваше счислетя преследуетъ въ среднихъ школахъ бо.п'Ье высокую цель, чемъ въ низшихъ школахъ: оно должно служить вм есте съ т-Ьмъ подго­ товкой для изученья действительной („общей") а р и е м е т и к и . Но, не говоря уже о томъ, что въ п е р в ы х ъ д в у х ъ и д а ж е т р е х ъ классахъ эта тенденщя не оказываетъ никакого вшяшя на преподаваш е,ведь „ а р и е м е т и ч е с к а я п р о п е д е в т и к а " в ъ к о н ц е концовъ не есть же еще „ а р и е м е т и к а " . Вообще, ытЬдуетъ уже и въ среднихъ школахъ ввести терминологию, принятую въ настоящее время всеми научно-образованными математиками, и действия надъ буквенными величинами, т. е. сч и сл ет е'съ о б щ и м и числами, на­ зывать не „а л г е б р о й", а „а р и е м е т и к о й“, и „ а л г е б р о й " называть только у ч е т е объ у р а в н е н 1 я х ъ .

Ц ЕН Н О СТЬ И МНИМАЯ Н Е-Д М И Ю С ТЬ МАТЕМАТИКИ.

116;

^ м а т е м а т и к е в ъ т е е н о м ъ с м ы с л е . " н и вызы­ ваете ложное Иредставлеше^ будто м а т е м а т и к а , исклю­ чал чистую геометрш, тесло связана еъ числешщмъ с ч и с л е з а е м а» или даже по существу с/ь нимъ тождественна. Приблизительно такимъ образомъ ирёдставлялъ-себе дело, повидймрму, и Шоненгауйръ. И г1;мъ пе менЬе, если онъ говорить, что весь а н а л и з ъ сводится къ с ч и ! с л е й i к», которое можно сравнить съ работой числи­ тельной машины, то это— полнейшее petitio prmcipii (ухверждеше, требующее Доказательствъ), неопровержимо доказывающее, Что онъ не им^лъ ни малМшаго ;'предйтавлдоя ии о методах*,- ни о .'содержанхи, этой науки. Ниже мы еще 6o.ri(;e убедимся въ этомъ. Но раньше м ы : хотимъ еще доказать, что та цитата изъ Лихтеибёрга, которой Шойенгауэръ пытается привлечь на свою сторону рублику и основать свою, сшитую белыми нит­ ками, аргументащю, при б.ппканшемъ раземотренш ока­ зывается вполне сознательной, весьма неуклюжей и злост­ ной ф а л ь с и ф и к а ц i е й. И зречете Лихтенберга въ действительности пачииается следующими словами: „ М а ­ т е м а т и к а - - о ч е н ь х о р о ш а я н а у к а , но м а т е м а ­ т и к и часто никуда не годятся*. Но Шопенгауэру хо­ чется доказать д у х о в н о е у б о ж е с т в о м а т е м а ­ т и к и , - и онъ не постыдился совершенно з а м о л ч а т ь *) то место, въ кОторомъ сказано совершенно обратное тому; что утверждаете iонъ, и такимъ образомъ внушить чита­ телю ложную мысль, будто Лихтенбергъ нападками сво­ ими па и з в 1 ; с т н ьгхъ м а т е м а т и к о в ъ inrkrb въ виду самое науку м а т е м а т и к у . Вирочемъ, всякому, маломальски знакомому съ; историей математики, должно быть г) Это изречёте Лихтенберга помещено среди ряда афоризмов ь, изъ которыхъ каждый отд'ЬдеН’ь отъ со<гЬден широйимъ промежут­ ком!. и тремя Hitf,удочками. Такимъ образомъ совершенно невоз­ можно, чтобы ТИопенгауэръ йтого ■изречетя не я а я t. т и л ъ; не подложить поэтому ни малейшему сомнЬнш, что зд1н:ь перед'!, нами вполне сознательная фажьеификащя.

ж

116

А Л Ь Ф РЕ Д Ъ П РИ Н СРЕЙМ Ъ .

ясно, к а к и х ъ именно математиковъ имЗзлъ въ виду Лихтенбергь. Очевидно, что зд^сь имеются въ виду сторонники, такъ называемой, к о м б и н а т о р н о й ш к о л ы , въ настоящее время почти совсЬмъ забытой! но въ коиц’Ь 18 и нача.тК; 19 столЫ я захватившей почти вей каоедры математики въ германскйхъ университетахъ. Конечно, ихъ прострапныя сочинешя, часто внадаюпця въ самый пустой формализмъ, могли внушить лишь ве­ личайшее отвращеню такому остроумному ученому, какъ Лихтенберг4?‘i который къ тому же, какъ профес­ сору. физики in. Геттинген!*., самъ обладал’], болыиимъ матем атическимъ /образовашемъ. Но вернемся къ Шопенгауэру. Чтобы показать пол­ нейшее его незнакомство съ сущностью анализа, я при­ веду сначала следующее м ^ с т о 1): *Чтобы достичь абстрактпаго познашя пространствен ныхч. отношешй, необходимо ихъ сначала перевести въ отношешя времени, т. е. въ числа... Эта необходимость переводить пространство съ его тремя измЗфешями въ время, имеющее только одно измйреще, если хотятъ получить абстрактное познай ie его отношенш, эта необходимость и дгЬлаетъ математику "Столь трудной 2). Это становится . -совершенно яеиылъ, если сопоставить еозерцаше кривыхъ съ аналнтическимъ ихъ вычислешемъ, или таблицы логариомовъ; тригонометрическихъ функцш— съ созерцашемъ меняющихся от* ношенш частей треугольника, выраженныхъ въ этихъ логариомахъ: то, что при созерцанш схватывается вполне и съ величайшей точностью одннмъ взглядом'!., а именно, вполб 'Ь

W elt als W ille etc; l.;§ 12-—'W erke II, К. 64. 65.

s) Эта глубокомысленная нел Ьиость звучитъ такъ, что и самъ Гегель н е‘ могъ бы стазать ничего более совершеннаго. Главная приндишальная трудность, анализа заключается, какъ штК’.етно, именно ]гь, с-.очдаши неирерьшшио ряда чиседъ одного измЬрешя, не въ -применении его, для ияучешя отношенш въ трохм'Т.рнолгь пространств'!*, ш'ю для этого аузкдо. не постоянное, ■отраясеюе трех--, мерной',непрерывности въ одномерной, какъ ато, очевидно, иолагаеть. Шдаенгауэръ, а только усйлете понятая координатъ.

Ц ЕН НО СТЬ И МНИМАЯ НЕ-ЦЪННОСТЬ МАТЕМАТИКИ.

117

какъ уменьшается косинусъ по м£ргЬ возрасташя синуса, какъ косинусъ одного угла есть синусъ другого, какъ воз­ растаете одинъ уголъ по м ер е уменыиешя другого и наоборотъ и т. д. и т. д. К а к о е о г р о м н о е м н о ж е ­ ство чиселъ, сколько кр оп отл и вы х ъ вычи­ с л е н i й потребовалось бы, чтобы выразить то же самое абстрактно! “ Я не стану подробно останавливаться на этомъ грубомъ вздора, которымъ изобилуете каждая изъ приведенныхъ зд^сь фразъ и который достаточно очевиденъ для всякаго читателя, обладающаго мало-мальскимъ математическимъ образовашемъ. Остановлюсь только на к о н е ч н о м ъ в ы в о д е : чтобы выразить абстрактно какое-ни­ будь простое геометрическое отношете, математику нужно „огромное количество чиселъ“ и „кропотливое вычислеш е “ . Такъ ли это? Напротивъ, онъ этого достигаете при помощи одной единственной ф о р м у л ы . Более того: эта формула не только з а м е н я е т ъ ему воззрете, а она выражаетъ съ абсолютной точностью то, что это по­ следнее показываетъ лишь въ грубыхъ чертахъ. Далее, одна единственная формула содержите н е и з м е р и м о б о л ь ш е , чемъ все логариемичесюя таблицы, вместе взятыя: ведь, онаобобщаетъ н е и з м е р и м о е многообраз!е в с е х ъ м ы с л и м ы х ъ в о о б щ е с л у ч а е в ъ , между темъ какъ логариемичесшя таблицы, какъ бы ни было велико число ихъ, могутъ быть распространены только на о г р а ­ н и ч е н н о е число о п р е д е л е н н ы х ъ случаевъ. Шопен­ гауэръ не имеете ни малейшаго представлешя объ истинномъ значенш и удивительной силе а н а л и т и ч е ­ с к о й ф о р м у л ы . Къ тому же а н а л и з ъ, по его м н етю , нуждающшся, чтобы быть понятымъ, въ „огромномъ ко­ личестве чиселъ“ , т. е. т а б л и ц а х ъ , въ действитель­ ности обладаетъ безконечно более выразительнымъ и еще более краткимъ всиомогательнымъ средствомъ: это— ф у н кц 1 я, т. е. въ некоторомъ роде таблица, сведенная къ

118

ЛЛЬФРКДТ) П РИНСГЕЙМ Ъ.

минимальному; числу зпаковъ. Анализъ ае довольствуется, подобно а л г е б р е , вопросомъ: „Какъ изъ уравнешя, со­ держащая рядомъ съ известными д а и н ы м и числами н е и з в ^ с т н о е число у, в ы ч и с л и т ь это неизвестное число?1* Не-гь, оиъ Йачинаетъ следующимъ, гораздо болЬе общимъ вопросомъ (въ которомъ приведенный вопросъ содержится уже, очевидно, какъ частный случай): „Какой р я д ъ ч и с л е н н ы х ъ з н а ч е н ш принимаете это число у, если указанное уравнеше, кроме он р е д е л е н н о д а пн ы х ъ чиселъ, содержите еще'"такъ называемое, п е р е ­ м е н н о е число, т. е. букву ж, на место которой можно представить себе п о с л е д о в а т е л ь н о целый рядъ р а з л и ч й ы х ъ чиселъ, йапримеръ, в с я к о е в о о б щ е в о з ­ м о ж н о е число? “ Вотъ такое отношеше между двумя совместно и з м е н я ю щ и м н е Я числами- х и у, гдё- какъ въ т а б л и ц е съ двумя столбцами, отмеченными черезъ х и у — каждому численному ‘выраженш х соот­ ветствуете вполне определенное численное выражеше у (а иногда и несколько такихъ выраженШ), математикъ характеризуете выражешемъ: у есть ф у и к ц i я отъ х . Польза и важность этого понятая ф у н к ц i и, кото­ рому мы дали ч и с т о а р и е м е т и ч е с к о е определете, етануте более ясны, если мы въ краткихъ чертахъ оста­ новимся на его г е о м е т р и ч е с к о м ъ происхожденш и вместе съ темъ и на одномъ изъ его наиболее плодотворныхъ нримененш. Я имею въ виду основную идею, такъ называемой, а н а л и т и ч е с к о й г е о м е т р ш , изо­ б р етете которой Д е к а р т о мъ (1637) и Ф е р м а (почти въ то ;jte время) знаменуете собой полный разрывъ съ господствовавшей до этого времени геометрической традищёЙ греКовъ и начало совершенно новой эры въ ма­ тематике. Представимъ себе листъ бумаги, разлинованной на квадратики; вертиКальныя, Гкакъ и горизонтальный линш обозначимъ номерами 0, 1, 2 . . . и т. д. Если мы скажемъ, что точка лежите на определенной верти-

ценность и

м н и м а я н е -ц ъ н н о с т ь

м атем атики.

119

калькой лиши (напр., Л» 3) и йа определенной горизонталг.ной лини (напр., № 5), то этимъ, очевидно, вполне определена о д н а е д и н с т в е н н а я т о ч к а . Такимъ образомъ п а р а ч и с е л ъ (В, 5) можетъ однозначно охарактеризовать Определенную т о ч к у.-." Проведемъ те­ перь новыя вертикальным. и .горизонтальны» лиши такъ, чтобы Оне еущеетвовавщй до\ техъ поръ промежутки делили какъ разъ лопОламъ, и пронумеруемъ ихъ числа.ми './2 ,: \ 1Ы, 2 1 /2 и т. д. Ясио, что и. теперь и а р а ч иС е л ъ, какъ 3 lfa, . 5 или 8, Г»1/2 или З '/г, и т .. д. вполне характеризует#.определенную т а ч к у . Продолжая то же разсуждеше дальше и воспользовавщйеь некоторыми обобщеньями понятая числа (на чемъ я здесь останавли­ ваться не стану), мы ириходимъ къ следующему выводу: каждую т о ч к у на плоскости можно связать съ вполне определенной п а р о й ч и с е л ъ (ж, у), которыя назы­ ваются ея к о о р д и н а т а м и , и н а о б о.р о т ъ, —каждой п а р е ч и с е л ъ {х, у) соответствуете тогда о д н а — и т о л ь к о о д н а — определенная ( т о ч к а. Если на этой плоскости начерчена какая-нибудь к р и в а я д и тя, то .ойвокупносй; ея т о. ч е к ъ можетъ быть на основанш сказаннаго заменена комидексомъ безконечно многихъ п а р ъ ч и с е л ъ ( х , у). Каждому; входящему въ этотъ комплексъ, числу х соответствуете (по меньшей м е р е) одно определенное число у. Но это то же самое, что мы выше выразилщ когда сказали, что у есть : ф у н кщ i я отъ ж'. Другими словами, между обоими и е ]> е м е и н ы м и х и у существует!» функциональное от% Ношеше, т. е. у р а в н е н и е , которое можно разсматривать, ка1;ъ а р и о м е т и ч е й к о е /и з о б р а ж е н i е ;этой к р*и в о й,- и -называется просто у<р а в н е и i е м ъ.,<к р и в о й . И наоборотъ, всякое' у р а в н е й i е между Ж и у имеетъ рвое г е о м е т р и ч е с к о е изрбражете въ определенной к р и в о й . Это взаимоотношеше между к р и вы м и и у р а в н е п i я м и позволяете математику изучать свойства

120

А Л Ь Ф РЕ Д Ъ П РИ Н СГЕЙ М Ъ .

кривыхъ линШ- по ихъ уравнетямъ и познании •полу­ ченная а р и о м е т и ч е с к и м ъ путемъ, превращать въ г е о м е т р и ч е с к о е воззрите. Подобно тому, какъ въ музыке мы при взгляд^ на партитуру создаемъ себе акустическое представление о впечатлеши пьесы, которой мы никогда не слыхали, такъ уравнеше какой-нибудь кривой, которой онъ никогда не видеть, даетъ матема­ тику полную картину того, какъ она протекаетъ. Более того: какъ партитура часто раскрываетъ музыканту таше тошйе оттйнки, которыхъ ему не удалось уловить ухомъ въ виду сложности и быстрой смени слуховыхъ впечатл$шй,.- такъ и математикъ изъ уравнешя кривой узнаетъ гораздо больше, ч4мъ изъ одного ея зрительнаго созерцашя. Ибо, не говоря уже о томъ, что а р и в м е т и ч ес к о е в ы р а ж е п i е само по себе обладаетъ гораздо большей точностью, чЬмъ простое с о з е р ц а н i е, о чемъ мы говорили уже выше, и о ч и с л е н i е б е з к о н е ч н о Ма л Ых ъ, изобретенное Ньютономъ и Лейбницемъ, даетъ математику въ руки орудае вычи слеши, работающее почти съ микроскопической точностью. Приведенныя здесь разсуждешя легко могутъ быть перенесены съ плоскости на п р о с т р а н с т в о . И ту же службу, что въ г е о м е т р ш , служитъ введете п о ш т я ф у н к ц 1 и и въ м е х а н и к е . П о л о ж е н 1 я , т . е., следо­ вательно, к о о р д и н а т ы д в и ж у щ е й с я точки являются здЗзсь ф у н к ц i я м и новаго переменнаго, в р е м е н и (ко­ торое мы измеряемъ какой-нибудь е д и н и ц е й в р е ­ м е н и , начиная еъ какого-нибудь момента, и такимъ образомъ выражаемъ черезъ простое ч и с л о ) , И дифференщальное исчислеше даетъ намъ въ руки необходимое средство для того, чтобы аналитически формулировать и тагая поняпя, какъ с к о р о с т ь , у с к о р е и i е, т. е. пре­ вращать ихъ въ поняия функцш. Такимъ образомъ и зд'1;сь нахождеше законовъ движешя сводится къ иау? ченш извгЬстныхъ функщональныхъ отношенш (интегри-

ЦЕН НО СТЬ И МНИМАЯ Н Е -Ц 'Ь Н Ш С Т В

м а тем а ти ки;

121

роваше дифференщалышх'ь уравиешй), т. е. къ „ а н а л изу“. Для Шопенгауэра, но мн^шю котораго „математика по сей день осталась такой, какой ее создалъ, какъ науку, Эвклидъ“ ’). все это не существует!.. „Вычислешя, говорить онъ 2), шгТ.кп'Ь ценность только для Практики, но не! для теорш. Можно даже такъ сказать, что тамъ, где начинаются вычислешя, понимание прекращается, ибо тому, кто оперируетъ числами, причинная связь фи■зическихъ явленШ остается во время его вычиСлешй; со­ вершенно чуждой: о т . весь погружет. въ чисто абстрактныя числа. Получаемый имъ результата никогда ле от­ вечаете на вопроеъ ч т о , а всегда только на вопроеъ с к о д ь к. о | . Приведемъ еще одно место 3): „Они не переставая превезносята надежность и достоверность математики. Но на что мне знать это с к о л ь к о , какъ бы досто­ верно и надежно я это ни зналъ, когда меня это вовсе не интересуетъ “ .

II приведенныхъ, конечно, весьма несовершенныхъ указашй будете Достаточно, я надеюсь, чтобы показать, что построенный на понятш функцш а н а й и з ъ даетъ ответь не только на вопроеъ С к о л ь к о , но— и въ весьма солидной мере — на вопроеъ ч т о 4). Онъ показываете (въ интересах'!, более легкаго понимашя мы оставим!.

1) W elt als W ille | р | | I, § - 15—W erke II, S. 82.

Beber die vierfacho Wurzel etc.s.-Worke I, S. 77. Вар 1антъ ем.

PftSerga II § 35, примбчаriic= Worke VI. S. 52, 53.

9) Naclilass, herausg, von FnuieiiHtaedt, S . 320.

- 4) Еъ атому слЬдусть еще вообще заметить, члх> многое, ощу­ щаемое нами, какъ „ч т о“, въ действительности основано исключительно на „с к о л г. к о “? другими словами различ!я, который памъ с у б ъ е к т и в и о кажутся к а ч е с т в е н н ы м и ; о б ъ е к т и в н о носятъ лишь к о л и ч е с т в е н н ы й характеръ; такъ, напр., в ые о т а тона = числу колебатй воздушиыхь волнъ; т е м б р ъ 10 числу и интенсивности прим’Ьшанныхъ къ. основному: тону обертоновъ; и в f. т ъ числу колебатй св’Ьтовыхъ волнъ или Отнощенш, въ которомъ смешаны световые лучи различна,го числа колебашй.

122

ЛЛЬФРКЛЪ ПРИНСТКЙМ'Ь.

въ сторон^ чистое у ч е н е е о ф у н к н Д и , ограничившись одними его п р и н е н i я м и), нанршгЬръ, не только то, какъ вычаслить д л и н у отрезка кривой лиши, о б ъ е м ъ какой-нибудь поверхности, а опт. даетъ намъ также отчету, о б ъ об щ и х ъ с в о й с т в а х ъ и о т и о с ит е л ь н ы х ъ п о л о ж е н 1 я х ъ геометрических’!.' гЬлъ. Пользуясь имъ, аетрояомъ и физикъ Не только находить формулы для вычисления всяческихъ разстоящй, временъ, скоростей, физичеекихъ постоянных-}., но и гораздо глубже изучаютъ, законы - д в и ж е т^ ; могутъ -па оСНоващи полученяыхъ знанш предвидеть буду ну я открытая; тотъ же анализъ служиТъ для нихъ вспоМогательнЫмъ средствомъ для естествонаучнаго познашя, т. е. для сведетя целыхъ группъ различныхъ, часто чрезвычайно разнорёдныхъ явлетй къ- минимальному числу простыхъ основныхъ законовъ. Что математикъу п о к у д а о н ъ з а н я т ъ р в ы чи<• л е iii ям и, остается бол'1;е или менЬе чуждымъ причин­ ной связи процесса, нельзя не признать; ведь, именно въ томъ и заключается поразительная Сила 'анализа, что присущШ ей йзыкъ знаковъ цозволяетъ заменить слож­ ный рядъ идей простыми численными операщями, нричемъ тотъ, который пользуется этими последними, не выу нуждеиъ каждый разъч'входить во; все подробности логическаго содержашя этихъ операцщ. Не придетъ же ни­ кому въ голову всякШ разь. когда получаетъ въ уплату кредитный билетъ, ездить въ Берлинъ, чтобы убедиться, уйлатитъ ли ему Государственный банкт, по этому би­ лету, какъ это па немъ написано. Существенно здесь именно только то, что всякая аналитическая операщя въ ея примененш къ различнымъ величинамъ и ихъ отно­ шен 1ямъ выражаетъ определенный рядъ идей и что если не само „вычислений, т. е. механическое оперйрбваше известными символами, то именно сведете этихЪ операцШ къ этому. ряду идей " действительно по-

Ц-ЬННОСТЬ И МНИМАЯ НЕ-Ц'ЬННОСТЬ' МАТЕМАТИКИ.

123

зволяетъ понять получеше конечнаго результата. Было бы не трудно вполне показать это на более простыхъ случаяхъ- Съ другой стороны нельзя отрицать и того, что по M ipi усложнешя проблемъ трудность и запутан­ ность логическаго анализа безпредельно возрастаютъ. Область, въ которой силенъ языкъ анализа, правда, сравнительно ограничена, но въ пределахъ этой области онъ настолько неизмеримо превосходить обыкновенный языкъ, что после несколькихъ шаговъ последнШ отка­ зывается следовать за первымъ. Но между математикомъ, который умеетъ м ы с л и т ь на этомъ удивительно сгущенномъ языке, и человекомъ, занимающимся одними механическими вычислешями, разстояше какъ отъ неба до земли. После сказаннаго неудивительно, что Шопенгауэръ былъ очень низкаго мнещя объ общемъ образовательномъ значенш математики. Опираясь на статью шотландскаго философа Гамильтона *), къ которой мы еще вер­ немся, онъ нриходитъ къ следующему не лестному для математики выводу 2): „Единственная, непосредственная польза, которую следуетъ признать за математикой, за­ ключается въ томъ, что она можетъ щиучить умы безпокойные и не твердые сосредоточивать свое внимаше. Даже Декартъ, который самъ былъ знаменитымъ матема­ тикомъ, того же мнешя о математике. Въ книге Baillet „La vie de Descartes “ (Жизнь Декарта) говорится (Liv. II, ch. 6, p. 54): „Онъ на собственномъ опыте убедился въ ничтожной пользе математики, въ особен­ ности если ею занимаются только ради ея самой...

1) Уильямъ Гамилътонъ (1788—1856) былъ съ 1836 г. профессоромъ логики и. метафизики при университет^, города Эдинбурга. Упомянутая статья появилась сначала анонимно въ журнал^ Edin­ burgh Review, vol. 62 (1836), p. 409—455, подъ заглатемъ: „Thoughts on th e study of. m athematics as a part of a liberal education” въ вид-Ь рецензш на солинеше Уэнелла и потомъ въ собранш статей того же автора.

• 2) W elt als W ille etc., II, § 13==Werke III, S. 144.

126

А Л ЬФ РЕ Д Ъ ПРИНСГЕЙМ Ъ.

1637 году Декартъ опубликовалъ свою знаменитую г е ом е т р г ю ,— сочинеше, содержащее въ себе упомянутая раньше основы аналитической геометрш и образующее, и въ настоящее время одну изъ важнейшихъ основъ совре­ менной математики. Въ какой сильной степени Декартъ сознавалъ новизну и важное значеше своего изобрететя, доказываетъ следующее место изъ- одного его письма (Къ патеру Мерсенну) ’); „Мне очень непр!ятно хвалить са­ мого себя. Но очень немноие люди способны понять мою геометрш и такъ какъ вы спрашиваете меня, что я о ней думаю, то мне представляется уместнымъ ответить вамъ: о н а т а к о в а , ч т о м н е н и ч е г о н е о с т а е т с я б о л е е ж е л а т ь . Въ моей Д и о п т р и к е и сочиненш о метеорахъ, я попытался убедить читателя, что мой методъ лучше техъ, которые были приняты до сихъ поръ; теперь же я утверждаю, что моей Г е о м е т р i е й я, дей­ ствительно, это д о к а з а л ъ “. Указавъ далее на то, что методъ его по своему зна­ чению превосходить все прежше, и перечисливъ главнейппя работы современниковъ, онъ прибавляетъ: „Ни одинъ изъ этихъ современниковъ не даЛъ ничего такого, что не было бы известно уже древнимъ“ 2). Вообще все упреки, которые Декартъ направляет® к а к ъ б у д т о противъ математики, направлены не противъ нея, а противъ ошибочнаго ея изложешя. А р и е м е т и к у и г е о м е т р I ю онъ категорически объявляетъ е д и н с т в е н ­ н ы м и'науками, “ свободными отъ всего ложнаго и недо*) Descartes, Lettres (Paris .1667), Т. Ill, p. 427.

2) Впрочемъ, этотъ упрекъ не вполн’Ь . основатеЛенъ въ примфненш къ упоминаемому Декартомъ въ друтомъ аг&етЪ сочиненш Фермата: „De maximis et Minimis" (перепечатано въ его сборник^ Yaria opera mathematica, Tolosae 1679, S. 63—73, хотя оно f и было написано въ 1629 году, какъ это доказываетъ письмо къ Робервалю отъ 22 сентября 1636, тоже перепечатанное въ Op. math, на стр. 130). - Основы аналитической геометрш Фермата-содержатся въ его статъ-fe: „Ad locos pianos et solidos isagoge“ (Op. math. стр. 1— 1 1 ); время, когда написана эта ста'тья, въ точности не устано­ влено.

ценность

и

мнимая

н е-ц -ь н н о с ть м а т е м а т и к и .

127

слов'Ьрпаго '):,Лолы;о а в т о р о къ, которые ими занима­ лись,: можно кое въ чемъ упрекнуть и т о л ь к о о н и виноваты въ томъ, что iinorie весьма Одаренные умы Презрели йти науки, йакъ пустыя и дйтсшя игрушки, или поел* ш ш ю гпхъ йопытокъ познакомиться съ ними со­ вершенно отъ нихъ отказывались 2). И если Шопенгауэръ тбмъ-не менее позеодилъ себе сослаться на этого велика! о математика въ доказатель­ ство свбегй M > rl;iiiii о пе-дешюсти математики, то после всего сказанпаго .мы не можемъ не усмотреть въ этомъ не­ слыханную и недостойную фальсификацда исторш науки, Характерно для невероятно • низкаго уровни, до котораго опускается Шопенгауэръ въ своемъ походе на математику, то обстоятельство, что, онъ настоятельно рекомендуетъ вышеупомянутую статью Гамильтона, какъ кочень основательную и основанную на знанш дела “ . Выводъ ея, а именно, что математика не только не по.тсзиа для общаго развитая ума, но даже крайне вредна,; подтверждается, по M iilnm o Ш онешауера .н е т о л ь к о о с н о в а т Щл ь и ы м ъ ;д i а и о i о л о г и ч е СК и м ъ и з с л % д о и а н ieji ъ м а т е м а т и че.с к о й Щ т ё т ел ь н о с т и уМа, н о и в е с ь м а у ч е н ы л ъ в а и а с о м ъ п р и м е р р о в ъ и с с ы л о к ъ н а а в т о р и т е т ы " . Чтобы охарак­ теризовать духъ столь настоятельно рекомендуемаго сочинешя, я не могу, не перечислить, по крайней мере, значительную часть этихъ _а в т о р и т е т о в ъ “: Аристонъ Xiocifiit,&Филофонъ: Fracastorius; Kluiiipp; Eenelm Digby; Sorbiere; Poiret; Buddeus; Barbeyrac; Salat; Kirwan; M011boddo; Gmulling и т. д. Къ моему стыду я долженъ с о | J) 11 одоб 1и.1.чъ яге обра'-ю.м ь высказывается. .правда, и Шбиентауэръ объ ‘а р и о м (! т и i; f. (Vierf, W urzel des Satzes etc.. § 40 W erke, 1, S. 151) и усматриваете въ . м а т е м а т и к ! в ч в с Т. х ъ о т н о ш е н i я х ъ н а у к у 1- (W elt a Is WiJle etc:, 1 . § 11—Wevke, II, -75). Къ сожазйбнш, только полное нсзнакомстпо его съ этой наукой мЪшаетъ вау правильно, ее ценить.

2) La Vie de lH^carti', J1 стр. 481.

128

А Л Ь Ф РЕ Д Ъ ПРИ Н СГЕЙ М Ъ.

знаться, что до чтешя статьи Гамильтона я и по имени даже не зналъ ни одного изъ этихъ блестящихъ авторитетовъ. Въ свое оправдаше я сошлюсь на то обстоя­ тельство, что н'Ькоторыхъ изъ ню?ъ МНГЬ И после того не удалось найти среди представителей науки. Впрочецъ, приведенъ целый рядъ и известныхъ именъ: сначала, конечно, какъ это приличествуетъ основательному фило­ софу, предшественники Эвклида, какъ Сократъ, Платонъ, Аристотель, затЬмъ Цицеронъ, Сенека, Плшпй, Альбертусъ Магну съ, мистикъ и каббалистъ Пико фонъ-Мирандила, поэтъ Еольриджъ, историкъ Гиббовъ, г-жа фонъСталь, писатель Вальполь, филологи Вольфъ и Бернгарди и т. д.— все имена дицъ, не настолько отягощенныхъ математическими познашями, чтобы они могли со­ ставить себе правильное суждеше о ценности и неценноети математики. Особенно важны здесь еще Св. Августинъ, считающШ, что математика „отвращаетъ отъ Бога Св. Герошщъ, полагающШ, что онй „не учитъ набож­ ности и Св. Амбросш, заявляющш, что „заниматься астроном1ей и геометр1ей значитъ оставить путь спасешя и избрать путь заблуждешя“. Еще хуже, конечно, то, что, по словамъ Гамильтона, утверждаетъ мистикъ Пуарэ, „одинъ изъ глубочайшихъ мыслителей своего времени1': „МатематическШ гешй обыкновенно одаряетъ души слишкомъ ревностныхъ своихъ сторошшковъ самыми скверными склонностями. Ибо онъ заражаетъ ихъ фатализмомъ, релипознымъ равнодуппемъ, невер1емъ, гру­ бостью и почти неисцЬшмымъ Bnc0 K0MepieMb“ .— Sapienti sat! И я далекъ отъ того, чтобъ завидовать франкфурт­ скому философу за такихъ единомышленников Гамильтонъ утверждаетъ *), что интенсивное изучеше математики делаеть нашъ умъ неспособнымъ для другой деятельности, для изучетя философш, напримеръ, какъ у Ibid., стр. 424.

Ц ЕН НО СТЬ И МНИМАЯ Н к-Ц -Т зй н б сть МАТЕМАТИКИ.

129

и для деятельности, требуемой практической жизнью. Я же думаю, что въ первую часть этого упрека должна быть внесена та поправка, что математики действительно обна­ руж иваю т мало склонности къ туманнымъ и безплоднымъ метафизическимъ умозр'Ьшямъ. Большей частью они считаютъ более полезнымъ дЬломъ творить математичесия ценности, чемъ содействовать накоплешю той горы безсмыслицъ, которую создали въ течете вековъ многочисленные метафизики, но я въ этомъ вижу только заслугу, а никоимъ образомъ не проявлете какихънибудь умственныхъ дефектовъ. Съ другой стороны, до­ статочно назвать имена Декарта и Лейбница, чтобы до­ казать, что видные математики могутъ быть и видными философами. Что же касается обвинешя математики въ томъ, что она отчуждаетъ своихъ адептовъ отъ требованш практической жизни, то этотъ упрекъ, посколько онъ основателенъ, касается м а т е м а т и к о в ъ не более; чемъ у ч е н ы х ъ вообще. Чтобы убедиться въ томъ, что м а т е м а т и к а с а м а п о с е б е въ этомъ совершенно неповинна, достаточно обратиться взоромъ къ западнымъ нашимъ соседямъ, у которыхъ, начиная съ 18 столеп я, именно м а т е м а т и к и играли выдающуюся роль въ общественной жизни. Я имею въ виду не людей, за­ нимавшихся, между прочимъ, и математикой, а спещалистовъ-математиковъ высшаго ранга, много и съ поль­ зой потрудившихся въ этой ^бласти. Достаточно пере­ числить наиболее выдающаяся имена. Гаспаръ Монжъ (1 7 4 6 — 1818), творецъ сочинешя G^ometrie descrip­ tive (1 7 9 9 ) и авторъ книги „Applications de Г ana­ lyse й la geometrie (1801), двухъ классическихъ Сочин етй , вл1яше которыхъ не исчезло и до настоящаго вре­ мени, былъ въ 1792 году морскимъ министромъ; въ следующемъ году онъ обнаруживаете сказочную энергш въ собиранш военнаго матер1ала для защиты страны, НОВЫЯ ИДЕИ ВЪ МАТЕМАТИКА, СБ. I.

О

130

А Л ЬФ РЕ Д Ъ П РИ Н СГЕЙ М Ъ .

основываетъ въ 1794 году Политехническую Школу, со* провождаетъ въ 1798 году своего друга, Наполеона Бо­ напарта, въ Египетъ, ведетъ тамъ военную жизнь, полную опасностей и лишенШ, оставаясь вмЬстё съ 'гЬмъ душой всгЬхъ научныхъ изслЬдовашй для изучешя египетскихъ древностей. Лазарь Карно (1 7 5 3 —-1828), гешальный военный министре» сначала конвента и иотомъ Бона­ парта, пишетъ въ самый разгаръ своей блестящей поли­ тической деятельности знаменитое свое сочинеше Refle­ xions sur la metaphysique du calcul infinitesimal и Оёоmetrie de position — сочинеше, подготовившее развйие новейшей геометрш. Жозефъ Фурье (1768 — 1830), безсмертный творецъ аналитической теорш теплоты (Tbeorie analytique de lachaleur), тоже принадлежалъ къ участникамъ экспедицш Наполеона въ Египетъ; въ званш коммисара при египетскомъ хедиве онъ развиваетъ бле­ стящую дипломатическую деятельность, подавляетъ съ ве­ личайшей осмотрительностью и безстраппемъ возсташе жителей Каира и рядомъ съ этимъ публикуетъ целый рядъ математических® , сочиненш, оставаясь вместе съ темъ ревностнымъ сотрудникомъ археологической коммиссш для изучешя" Египта. Позже (1802) онъ становится префектолгь Департамента Изеры и производить давно же­ ланную осушку болотъ Бургундш 1). Франсуа Араго (1 7 8 6 — 1853), наследовавшей отъ Монжа его каеедру гео­ метрш, более известный своими выдающимися физическими и астрономическими изследовашями, съ 1830 года безсменный секретарь Академш и, какъ таковой, „не знающей себе равнаго и непревзойденный", былъ вместе съ темъ въ эпоху Вольской монархш депутатомъ и самымъ опаснымъ ораторомъ оппозицш. Во временномъ правитель­ стве 1848 года мы находимъ ^его министромъ военнымъ и морскимъ, а впоследствш— энергичнымъ членомъ ‘) Очень подробныя и интересныя бюграфш Монжа, Карно и Фурье см. Arago, Oeuvres completes (Paris 1864—1862) Т. I, II.

ЦЕН Н О СТЬ Й МНИМАЯ НЕ-Ц ЕН НО СТЬ МАТЕМАТИКИ;

151

Исполнительной Коммиссш, обнаружившимъ величайшую личную храбрость. Жанъ-Викторъ Иопселэ щ участвуетъ въ званш лейтенанта въ походе въ I'occiio 1812 года; раненый въ битв1! при Красномъ 18 Ноября 1812 года и взятый въ илЬнъ и отправленный въ Саратовъ, онъ ■•тамъ, въ плену, лишенный всякихъ средств# для научныхъ изследовашй, набрасываетъ основы своего сделавшаго эпоху сочинешя: T raite des proprietes projectives des figures, обезиечившаго за нимъ, какъ за основателемъ проективной геометрш, выдающееся место •среди г£ометровъ всехъ временъ. Вернувшись во Францш (1814), онъ снова вступает# въ ряды армш, впоследствщ развиваетъ обширную деятельность,-'какъ офидеръ инженерпгахъ войскъ, продолжая вместе съ темъ свои чисто гео­ метр ическ!я работы; въ 1848 году иолучаетъ чинъ гене­ рала, въ каковомъ званш онъ еще въ 1852 году ко.чандуетъ -соединенной пацйтальной гвардий. Лаконнцъ, еще о д н о имя, правда, не равное прежнймъ по научному своему зпачшйю, ио зато имя современника нашего: это— Фрейсипэ; онъ былъ министромъ и министромъ-президентомъ, прюбревшимъ хорошее имя своей разумной и мир­ ной политикой, и вместе съ темъ и математикомъ, и далеко не маловажнымъ: кроме своего двухтомнаго сочинешя— Traite de mecanique rationelle— онъ опубликовалъ две замечательный книги о философскихъ основахъ анализа безконечно-малыхъ и механики 2). При ведении х ь Иримеровъ—-ихъ не трудно было бы и увеличить— для нашей цеди достаточно. Если бы въ Германш не уста­ новилась-привычка отдавать портфели министровъ въ !) См. и р е д и е д о в т к ъ I т. „Traite des proprietes projoetivos des figures" (1 8 2 2 , п е р е п е ч а т а н о ш в о 2 - м ъ и ч д а н ш 1 8 0 5 г.) и д а л lie п р е д 'и с л о м я к ъ о б о и м ъ т о м а м ь : „Applications d’analyse et de geometrie Stfe (Paris 1862- —1864).

2) Charles de Freyeinet, De 1’analyse infinitesiinale. Etude eur la metaphysique du haut caleul, Paris 1860 (2-e ed. 1881)—Essais Siir la Philosophie des Sciences: Analyse, Mecanique. Paris 1896 (2-e 1900).

132

А Л Ь Ф РЕ Д Ъ ПРИНСГЕЙМ Ъ.

руки юристовъ, кто знаетъ, не вышелъ ли бы изъ рядовъ н'Ьмецкихъ математиковъ не одинъ превосходный министръ. Не желая останавливаться на другихъ еще частяхъ статьи Гамильтона, я остановлюсь еще только на одномъ особенно зам'Ьчательномъ месте, которое съ перваго взгляда можетъ вызвать даже некоторое изумлеше. Вместе съ т’Ьмъ я попытаюсь установить, какое образовательное значеше можно приписать математике, какъ учебному предмету высшихъ школъ и въ частности классическихъ гимназш. Даже среди людей, весьма низко оц'Ьнивающихъ значеше математики, большинство все же признаетъ, что, какъ известная практическая школа логики, математика более всЬхъ другихъ наукъ способна значительно содей­ ствовать развитш формальнаго разума; въ действитель­ ности она именно этому обстоятельству главнымъ обра­ зомъ обязана внесешемъ въ учебные планы: учебныхъ заведенш. Гамильтонъ же по этому вопросу замЬчаетъ сле­ дующее: „Искусству делать правильныя умозаключешя нельзя научиться, конечно, способом®, при которомъ н еп р а в и л ь н ы х ъ умозаключеншне бываетъ. Если вы бу­ дете учиться плавать въ бассейне, наполненномъ р т у т ь ю , то вы не научитесь плавать въ в о д е . Поэтому, если рекомендуютъ изучеше м а т е м а т и к и для противодейств1я нашей естественной склонности къ заблуждешямъ, то почему не рекомендуютъ р т у т ь въ качестве противодейств1я нашей естественной склонности опу­ скаться въ жидкости внизъ?“ 1). Н а это можно было бы ответить следующее: это на самомъ деле не только предлагается, но даже последо­ вательно применяется, но— это айдуетъ заметить!— основательно очистивъ отъ приставшихъ метафизическихъ шлаковъ. Дело въ томъ, что метафизикъ Гамильтонъ заl) Ibid., стр. 427.

Ц ЕН НО СТЬ И МНИМАЯ НЕ-Д'ЬННОСТЬ МАТЕМАТИКИ.

133

бываетъ, что удельный весъ ртути въ 18 разъ больше уд^льваго веса человека, такъ что последит вообще не былъ бы въ состоянш погрузиться въ ртуть, ч'гобы по­ пробовать въ ней плавать. А, в£дь, именно это и требо­ валось бы— если приведенный прим^ръ вообще им^етъ какой-нибудь смысл*.,— ибо л о г и ч е с к 1 я плавательныя движешя, т. е. умозаключешя, действительно выполняются въ математике. Гамильтонъ на самомъ деле хочетъ ска­ зать только то, что человекъ не можетъ научиться пла­ вать въ в о д е , упражняясь въ жидкости, имеющей столь большой удельный весъ, что онъ п о г р у з и т ь с я в ъ н е й н е м о ж е т ъ . И вотъ я на это отвечаю: куль­ турный человекъ на самомъ деле учится плавать въ такой лже - ртути после того, какъ Архимедъ, ко­ торый, къ счастью, былъ математикомъ, а не метафизикомъ, научилъ его наипростейшимъ и дешевымъ способомъ изготовлять себе такую жидкость изъ обыкно­ венной воды. Способъ этотъ заключается, какъ известно, въ томъ, что вместо того, чтобы сделать удельный весъ жидкости б о л ь ш е , человекъ самого себя превращаешь въ существо съ б о л е е л е г к и м ъ удельнымъ весомъ: онъ просто привязываетъ себе плавательный поясъ и на­ учается т е х н и к е плавашя не в о п р е к и т о му , а именно п о т о м у , что онъ тогда застрахованъ отъ погружешя. Когда же онъ вполне овладелъ этой техникой, то онъ сумеетъ держаться на воде и безъ плавательнаго пузыря, въ особенности, когда онъ постепенно отъ него отвыкаетъ,, мало-по-малу ослабляя его дМеттае. Подобнымъ же образомъ вл1яетъ и хорошо организованное преподаваше математики въ школе. Только начатки гео­ метрш т а к о в ы , что при достаточно точной формули­ ровке основныхъ аксюмъ возможность логическихъ ошибокъ почти исключена. Но этого нельзя сказать уже съ такой же уверенностью объ элементахъ ариеметики и алгебры. Когда же ученикъ начинаетъ пользоваться .за­

134

А Л Ь Ф РЕ Д Ъ П РИ Н СГЕЙ М Ъ .

ученными теоремами для р е ш е т я , геометрическихъ и алгебраически-геометрическихъ задачу, применять свои геометри*гесшя и алгебраичесшя познашя для р е ш е т я физическихъ нроблемъ, переводить конкретные вопросы всякагорода въ абстрактную форму математическаго языка, наприм^ръ, въ алгебраичесшя уравпетя, то онъ неодно­ кратно впадаетъ въ ошибки, д^лаетъ неправильный умо­ заключешя я только постепенно научается плавать безъ плавательнаго пузыря Эвклида. Впрочемъ, уже съ самаго начала слигакомъ низко оцениваете влгяше матема­ тики на развитее формальнаго разума тотъ, кто усматриваетъ пользу ея только въ упражнеши въ искусстве л о г ич е с к и у м о з а к л ю ч а т ь , т. е. изъ д а н н ы х ъ п р е д п о с ы л о к ъ делать правильные выводы. Ибо даже при ц’Ьлесообразномъ подведенш какихъ-нибудь положенШ подъ основныя положешя элементарной геометрш го­ раздо бол^е трудную часть деятельности разума составляете н е с а м о о б р а з о в а н 1 е у м о з а к л ю ч е н и й , а от ыс к а н 1 е п р е д п о с ы л о к ъ , пригодныхъ для приложения метода умозаключенш и получаемыхъ только точнымъ наблюдешемъ фактовъ и умйлымъ пОльзовашемъ npio6prbтенными уже знашями. Да и въ дальн’Ьйшемъ хорошо по­ ставленное преподаваше математики даетъ богатый матер1алъ для пр1учешя ученика не только къ правильному наблюдешю и умозаключенш, но, прежде всего, къ л о г и ­ ч е с к о м у и с а м о с т о я т е л ь н о м у м ы ш л е н 1 ю . Вме­ сте съ т’Ьмъ ему представляется несравненная возмож­ ность привыкать къ точнымъ опредЬлешямъ понятш, какъ и къ ясности и точности у с т н а г о и х ъ в ы р а ­ ж е н ! я — возможность, которая, конечно, бываетъ исполь­ зована далеко не въ достаточной м&рф, по крайней мере, если судить по т4мъ студентамъ, которыхъ я знаю. При­ бавьте сюда еще упражнеше въ развитш с п о с о б н о с т и в о з з р е н i я, которое представляетъ изучеше геометрш и въ особенности стереометрш, и вы не сможете- не со-

Ц-ЬННОСТЬ И МНИМАЯ Н Е-Ц ’ЬННОСТЬ МАТЕМАТИКИ.'

135

гласиться съ т4мъ. что школьное преподавание матема­ тики предоставляетъ ученикамъ чрезвычайно богатый и важный матер1алъ для развитая ф о р м а л ь н а г о суждешя. Разсмотримъ теперь с о д е р ж а н 1 е математики, какъ она преподается или, по крайней мере, должна препода­ ваться въ гимназ1яхъ. Польза ея для общаго духовнаго развитая учениковъ заключается прежде всего въ томъ, что среди вс'Ьхъ учебныхъ предметовъ она именно есть единственный предметъ, являющш для нихъ прим^ръ действительной н а у к и , какъ комплекса хорошо усвоенныхъ и систематически развитыхъ знашй. В о-в т о р ы х ъ, она безусловно необходима для изучешя физики и элементовъ астрономш (такъ называемой, математической географш); иначе, т. е. безъ математики, эта часть географш вместо того, чтобы дать действительное нонимаше хотя бы и наиболее простыхъ физическихъ и астрономическихъ явленш, сводится къ простому сообщенш эмпирическихъ фактовъ. И, в ъ т р е т ь и х ъ , она даетъ множество полезныхъ применешй для реш ешя разнообразныхъ вопросовъ практической жизни (уравнешя, исчислеше процентовъ, теор1я вероятностей, измереше площадей и т. д.). Наконедъ, знакомясь съ ф о р м о й и с о д е р ж а н 1 е м ъ математики въ ихъ в з а и м о д е й с т в 1 и , ученикъ знакомится съ методами, которые даютъ ему воз­ можность въ пределахъ известныхъ, хотя и скромныхъ, границъ самостоятельно работать и самостоятельным^ ' размышлешемъ развивать свои знашя. Связанный съ этимъ ростъ духовныхъ силъ, какъ и чувство этого роста и постепенное пробуждеше духовной самостоятельности— вотъ каковы наиболее прекрасные и высокге результаты преподавашя математики. Хотя я и глубоко убежденъ въ правильности всего того, что мне остается еще вамъ сказать, я темъ не менее не могу скрыть отъ себя, что въ математическомъ

136

А Л Ь Ф РЕ Д Ъ ПРИ Н СГЕЙ М Ъ.

пренодаванш есть кое-что, что д о л ж н о и м о г л о бы б ы т ь , но въ общемъ е щ е не существуешь. Въ самомъ д^лй, было бы нелепо отрицать, что для значительной и даже большей части учениковъ преподаваше матема­ тики даетъ довольно жалюе результаты. Для объяснены этого факта выдумали сказку— будто для того, чтобы вла­ деть математикой въ томъ размере, въ которомъ она преподается въ школЬ, требуется совершенно особое м а т е ­ м а т и ч е с к о е дароваше 1). И некоторые, къ счастью все более й более исчезаюнце въ настоящее время, филологи, но въ особенности слишкомъ любвеобильные родители мало или ненормально одаренныхъ, а часто и просто л4нивыхъ учениковъ добросовестно поработали надъ тЬм'ь, чтобъ придать этой сказке правдоподобный характеръ среди самыхъ широкихъ круговъ общества. Въ доказательство часто ссылаются на то, что м а т е м а т и ­ ч е с к о е д а р о в а ш е сравнительно столь же редкое явлеше, какъ и м у з ы к а л ь н о е д а р о в а ш е . Съ этой аналопей можно согласиться, но только для того, чтобъ сделать изъ нея какъ разъ противоположные выводы. Конечно, та степень музыкальнаго даровашя, которая необходима для того, что посвятить себя всецело музыке и даже создать въ ней что-нибудь свое, есть явлеше, сравнительно редкое- Но известная степень музыкальнаго даровашя, делающая человека способнымъ наслаждаться музыкой или даже более или менее понимать ее, есть явлеше довольно обычное, не исключеше, а даже п р а ­ в и л о . Да и какъ же иначе вы объясните ту важную роль, которую играетъ въ настоящее время музыка не только въ среде спещалистовъ музыкантовъ, но и во *) „Говорятъ, что способность къ математик^ pfeae встречается, способность къ другимъ наукамъ, но это такъ только кажется, и это ошибочное M fffeHie .обязано своимъ происхождешемъ тому об­ стоятельству, что M H o rie слишкомъ поздно н а ч и Н а ю т ъ изучать этотъ предметъ и небрежно имъ занимаются", сказалъ еще Гербартъ, 'см.

Werke, Bd. 10 , S, 103. чЪ м ъ

Ц-ЬННОСТЬ И МНИМАЯ Н Е-Ц ЕН НО СТЬ МАТЕМАТИКИ.

187

всей культурной жизни страны?— Такъ, по мнЬшю всЬхъ вдумчйвыхъ людей, и всякШ н о р м а л ь н о одаренный ученйкъ обладаетъ достаточной мерой духовныхъ спо­ собностей для того, чтобы усваивать математику. „Точно выразить ходъ идей какого-нибудь д1алога Платона или стихотворения Горащя, развить идею какой-нибудь драмы Шекспира или нарисовать характёръ какого-нибудь изъ дМствующихЪ ея лицъ, проследить со вс4хъ сторонъ какое-нибудь стихотвореше Гёте— все это работы, для совершешя которыхъ нужна сила и подвижность интел­ лекта, достаточная и для того, чтобы преодолеть и труд­ ности математическихъ и физическихъ понятш и методовъ“ , говорить Фридрихъ Паульсенъ1). Конечно, онъ этимъ хочетъ сказать совсЬмъ другое, чемъ мы, а именно, Онъ хочетъ этимъ доказать, что въ деле развитая логическаго мышлешя предметы гуманитарныхъ наукъ могутъ принести, по меньшей мере, не меньше пользы, чемъ математика. Не желая съ моей стороны делать те жё выводы изъ сказаннаго выше, я все же согласенъ съ его с о д е р ж а щ е м ъ въ существенныхъ его чертахъ, т. е. я согласенъ съ темъ, что ученики, д е й ­ с т в и т е л ь н о п р е у с п е в а ю щ i е При изученш гумани­ тарныхъ наукъ ^обнаруживают достаточная даровашя и въ области математики. Вместе съ темъ, однако, нельзя не признать того, Что весьма значительная часть гимназистовъ весьма мало понимаетъ въ прекрасныхъ вещахъ, которыя перечисляетъ Паульсенъ: ведь, это все люди, которые, обладая известнымъ запасомъ заученныхъ на память историческихъ данныхъ и некоторымъ знакомствомъ,— тоже достигнутымъ заучивашемъ наизусть— съ языками, способны изготовить по выработаннымъ заранее рецептамъ, при помощи ряда классйческихъ цитатъ, морализирующихъ общихъ местъ и патрютическихъ фразъ, *) Das Realgymnasiutn und die humanistische Bildung, S. 24.

138

А Л Ь Ф РЕ Д Ъ П РИНСГЕЙМ Ъ.

такъ называемое, сочинеше на своемъ родномъ языке. Защищать и х ъ математичесшя даровашя я не чувствую ни малМшаго призвашя. Но если даже не принимать во внимаше' этой по­ следней категорш учениковъ, остается все еще тотъ факте, что даже некоторые изъ лучпшхъ учениковъ npiобретаютъ лишь весьма скуднътя познашя въ математике, и только сравнительно небольшое число учениковъ извле­ каете заметныя и прочныя анаша изъ йзучешя матема­ тики. Не сйрою отъ васъ, что одинъ весьма видный математикъ (профессоръ М. Пашъ *) въ Гиссене) для объяснешя этого л клеши выставилъ гипотезу, что мате­ матическое мышлеше въ основе своей должно быть противно человеческой природе. Я. не могу согласиться съ этимъ пессимистическимъ взглядомъ и, наоборотъ. ско­ рее склоненъ усматривать главную причину малой пло­ дотворности математическаго преподавашя въ школе въ несовершенствахъ этого преподавашя. Не мало людей берется въ настоящее время за преподаваше математики исключительно ради заработка, безъ всякаго призвашя, но это между прочимъ. Главнымъ же образомъ я хочу указать на то, что обучеше учителей именно въ этомъ пункте, который мне представляется наиболее важнымъ, заставляете желать, по моему мнеяйо, не только м н о ­ г а г о, но прямо таки в с е г о . О б у ч е н i е— трудное и с к у с с т в о , и одно изъ наиболее трудныхъ— обучеше начаткамъ математики. Но вы никогда не можете разсчитывать, что получите а р т и с т о в ъ своего дела при помощи однихъ инструкций и наставленШ. У м е н 1 е же, соста­ вляющее основу всякаго искусства, всего лучше npio6pe~ тается наставлешями, да и вообще никакимъ другимъ путемъ не можете быть достигнуто человекомъ, если онъ не гешй или, по меньшей мере, не выдающейся таланта. г)

Uber den Bildungswert der Mathematik. Akad. Festrede, S. 7.

ЦЪННОСТЬ И МНИМАЯ НЕ-Ц-ЬННОСТЬ МАТЕМАТИКИ.

139

Въ этомъ направлении преподаваше математики въ нашихъ университетахъ не даетъ: будущему учителю математики решительно ничего— фактъ, т4мъ более печальный, что ни въ какомъ другомъ учебномъ предмете разница между содержашемъ большинства университетскихъ лекцШ и учебнымъ шредметомъ средней школы не столь велика, какъ именно въ математике-. Я вовсе этимъ не хочу сказать, что в ы с ш е е научное развипе учителя, которое является целью техъ университетскихъ лекцШ,— вещь совершенно для него излишняя. Напротивъ того! Но столь же необходимо и даже еще более необходимо систе­ матическое обучеще искусству преподавашя элементарной математики. Въ Нруссш ввели, да и въ Баварш собира­ ются ввести правило, по которому кандидаты въ учителя должны. иметь годъ практики въ пренодаванш, но оче­ видно, да и практика подтверждаетъ, что этимъ эта цель не достигается. Кроме того, эти регулярные и созна­ тельные эксперименты надъ учениками низшихъ классовъ будто бы in corpore vili представляются мне съ этичеческой точки зреш я дЬломъ весьма сомнительной ценности. Чувствуется же настоятельная потребность въ уни­ верситетскихъ лекщяхъ . и практическихъ семинар1яхъ по вопросамъ м а т е м а т и ч е с к о й п е д а г о г и к и , охва­ тывающей все математичесюя дисциплины, преподаваемыя въ среднихъ школахъ. Въ какой мере современные профессора математики обладаютъ временемъ, склонностью и— что здесь наиболее важ но-практической подготовкой для этой новой для нихъ деятельности, мне трудно сказать. Но вовсе не желая судить о другихъ по себе, я все же полагаю, что для осуществлешя этого плана, по всей вероятности, придется учредить спещальныя каоедры м а т е м а т и ч е с к о й п е д а г о г и к и . Но тутъ, конечно, мы вступаемъ въ область, въ которой прекра­ щается всякое прекраснодуппе: въ нагЬе время, столь бедное денежными средствами везде, где дело идетъ о

140

А Л Ь Ф РЕ Д Ъ НРПНСГИЙМ Ъ.

выспшхъ культурпыхъ цеиностяхъ, мало надежды на то, что папгъ ллап'ь, сбросим* свою идеалистическую обо-", .точку, приметь' определенную реальную форму. Щеколько легче осуществимы, хотя и не весьма сангвйниСтйЧйы, надежды, связанны л съ темъ фактомъ, что и въ иределахъ учебпаго плана баварсьчЛъ гумапитарнЫхъ ' гимназ1й математика далеко еще не занимаетъ того места, которое она должна была бы занимать, чтобы получить описанное выше образова$ельйое значеше. Правда. не|Ы я не приветствовать, какъ шагъ впередъ, недавнюю замену сферической тригонометрш элементами а н а л - и т и ч е с к о й г е о м е т р i n, если, конечно, при этомъ будутъ обращать вниманШ не столько на усвоеше учениками ^возможно большаго числа отдельныхъ фор-, малъныхъцзнаяш, сколько на ра^шше понятая функцш и графйчеСкое его изображеМе, какъ и на выводъ столь необходимыхъ для естественных'!* наукъ осшшныхъ свойствъ коническаго сечешя, а также и на изученю проблемы касательной въ примененш, напримеръ, къ параболе, ; чтобы дать некоторое представлеше о дифференщаЛьномь исчислещи. Зато нуждается, мне кажется, въ некоторыхъ дополнешяхъ программа по ариометике и а л г е б р е , чтобы получить хотя бы до некоторой степени характеръ научной законченности и чрезвычайно желательный контакта съ начатками высмей математики ,) (Не желая входить здесь въ частности ), я во избежаще Именно потому-, т е : гуманистическая гимназия не должна стать епещальной школой, она Должна, в1 ;ль, и тЬмъ, которые будутъ виосзгЬдетвш изучать Атйматйку и физику, дать такую подготовку, 'чтобы они- первый же еемоотръ своего пребынашя въ университет'Ь могли сл-Ьдить съ' доетаточнымъ понимаюемъ за дакхцями по дифференщадыюыу иочнслешю. При современномъ женоложенш - д4ла это, насколько Я' знаю, далеко не всегда бываеть. .

-) Къ желательным'!. я отнес/ь бы слЪдуюпци дополнетя: элемевтыг теорш еведйнейй и теор™ лТфоятности, биномъ для отридатеды ш хъ и дробим.хъ шжнзате.пмЧ сь переходомъ къ ученш о рядахъ; учеше о показательной функцш и догариемЬ, какъ пред'Ьльныхъ величинахъ,.и бесконечные рады; нЬкоторыя основныя ноло-

ЦЕН НО СТЬ И МНИМАЯ НЕ-Ц'Ы-ШОСТЬ МАТЕМАТИКИ.

141

всякихъ недоразумешй, замечу только, что сказанным^ я вовсе не хочу выступить въ защиту введешя элементовъ дифферешцальнаго исчислешя въ программу преподавашя математики ръ среднихъ школахъ). Наконецъ, слгЬдуетъ еще отвести больше места тг р и м Щн е н i я м ъ матема­ тики, полезнымъ и самимъ но себе и врзбуждающимъ у учениковъ интереръ къ математике. Эти требовашя, можетъ .быть, кое-кому пркажутея чразвычайно высокими и неподлежащими удовлетворенно. Такимъ лицамъ ие мешало бы вспомнить, что математик^ и оффшцадьно -отведено въ тш ди тарп ы хъ пшна;ш 1хъ мЬего рядомъ съ роднымъ и латинскимъ языкомъ, какъ одному изъ т р е х ъ . г д а в н ы х ъ п р е д м е т о в ъ предодавашя. Какъ же съ этимъ согласовать тотъ фактъ, что въ старпшхъ класеахъ, т. е. тамъ, где умъ учениковъ достигь или, по крайней M'bp'Ii, додженъ былъ достичь иаиболыией зр е­ лости, изъ 27 обязательны хъ часовъ въ неделю' всего четыре— ne oo.rbe 4-хъ, т. е. 1/ 7 Brfix'b часовъ въ неделю! отведено н е о д н о й м а т е м а т и к е , а м а т е м а т и к е , ф и з и к е и м а т е м а т и ч е с к о й г е о г р а ф i и, а латин­ скому и греческому языкамъ отведено 12 часовъ? Въ седьмом-!, и восьмомъ классахъ математике и физике отве­ дено 5 часовъ, а въ шестомъ— четыре часа (физика не преподается); въ прусскихъ же гимназ!яхъ при 28, правда, часахъ. въ неделю, во всехъ четырехъ старпшхъ ..классахъ отведено но четыре часа математике и по два часа физике. М не кажется, что, н е увеличивая числа обязательннхъ шкодышхъ часовъ и не внося существенныхъ иамевёнш въ характер* шмназщ, можно увеличить число часовъ математики и физики, но меньшей мере, въ т р е х ъ ешаршихъклаесахъ до ш е с т и . Конечно, этого ж е т я Изъ высшей алгебры: понятае производной дЪлой функцш; максимумъ и минимумъ цЪлыхъ функщй; теоремы Роля и Штурма; разли’но между алгебраичесвимъ и числешшмъ р4ш етям и алгебраическяхь уравненШ; н'Ькоторыя зам’Ьчашя о численномъ р4шенш ихъ.

142

А Л Ь Ф РЕ Д Ъ ПРИ Н СГЕЙ М Ъ.

можно достичь только на счетъ классических® языковъ, но неужели же ,, гуманистическая “ сторона образовашя потерпитъ столь заметный ущерб®, если нисколько со­ кратить чтен1е классиковъ? О поддельном® пафосе и напыщенной, до отвращешя самодовольной реторике речей Цицерона ученики получат®, л думаю, достаточное понятае и от® более скромных® доз® их® и мы совер­ шили бы- только акт® мудрой и справедливой экономш, если бы восторги, которые вызывает® у латинистов® ч тете перюдов® Цицерона, более богатых® словами, чем® содержащем®, мы сохранили за будущими фило­ логами в® университете. И разве ч тете безнадежно пустых® философских® сочиненш Цицерона действительно представляет® собою столь необходимое средство общаго духовнаго развитая? Я не могу даже - отделаться отъ той еретической мысли, что значительно переоценивается даже то д у х о в н о е богатство, которое черпают® умы юношей изъ чтешя утомительно пространных® д1алогов® Платона, несмотря на всю скрытую въ нихъ мудрость. А кро­ потливое и похищающее столь много времени скандироваше трагедш Софокла можетъ только вызвать у'учениковъ, отвращеше i къ этому чтешю, вместо того, чтобы про­ будить въ нихъ истинную любовь къ великому трагику и более глубокое понимаше его сочинешй. Боюсь, что эти замечашя вызовутъ известное недовольство въ классическйхъ филологах®. Но именно будучи большим® почитателем® классической древности и— cum grano salis— гуманистическаго образовашя, я полагаю, что гуманистичесюя гимназш должны сделать еще некоторыя уступки въ указанномъ мною направленш, чтобы не превратиться съ течешемъ времени въ спещальныя школы для ф и л ол о г о в ъ , т е о л о г о в ъ и (кто знаетъ еще до какихъ поръ?) ю р и с т о в ® . Я несколько дольше остановился на вопросе о по­ становке преподаватя математики въ средней школе

Ц ЕН Н О СТЬ И МНИМАЯ НЁ-Ц'ЬННОСТЬ МАТЕМАТИКИ.

14В

потому, что правильная оценка ея и по настоящее время еще даетъ новодъ ко многимъ спорамъ, вместе съ т4мъ живо интересуя и ш ироте круги общества. НЬтъ надоб­ ности долго останавливаться на вопросе о пользе математики, какъ в с п о м о г а т е л ь н о й н а у к и для естественнонаучнаго познатя, какъ и практическихъ целей всякаго рода, т^мъ бол^е, что въ настоящее время врядъ кто-нибудь въ такой пользе серьезно сомневается. Далее, пришлось бы далеко выйти за пределы настоящаго доклада, если бы я попытался хотя бы въ самыхъ краткихъ чертахъ изложить, чемъ обязаны математике ф и з и к а , а с т р о н о м1 я , - г е о д е з 1 я , г е о ф и з и к а и и н ж е н е р н а я н а у к и , какъ главныя области применена математики. Даже математик® самъ, подобный мне, далекш отъ применешй ея, приходить въ изумлеше, пересматривая, напримеръ, энциклопедш математическихъ науКъ (которая стала недавно выходить); его поражаетъ это огромное число и многообраз1е спещальныхъ научныхъ областей, пользующихся математикой въ качестве вспомогательной науки. Но этимъ далеко еще не исчерпывается приме­ нимость математики: ведь, во всехъ научныхъ дисцинлинахъ, въ которыхъ играютъ какую-нибудь роль количества, замет­ но стремлеше— достигаемое, правда, съ различнымъ успе­ хом®— воспользоваться методами математики. Въ настоящее время у нас® вызывает® только улыбку извесие объ обнародованномъ въ 1532 г. сочиненш „Novamedicinae methodusex mathematica ratione morbos curandi“ („Новый способълечешя болезней при помощи математики14) Н е л ь з я на­ звать также более удачной попытку применен!я матема­ тики для определешя величины греховъ 2).- Но вот® *) Nova medicinae methodus nuD C primum et condita et aedita ex m atematica ratione morbos curandi. Joanne Hasfurto Virdungo, medico et astrologo doctissimo autore. Ettelingae 1532. — Разумеется, весь этотъ математичестй методъ лечен1я сводится къ прим1шенпо астрологш.

2) Herrn George Sarganecks Versuch einer Anwendung der Ma-

144

А Л Ь Ф РЕ Д Ъ Н РИ И СГЕЙ М Ъ.

такой горячш энтуз1астъ и почитатель математики, какъ Огюстъ Контъ '), считалъ ардо вероятной возможность применения математики къ химш, физюлогш и сощальнымъ наукамъ и ошибся 2): хим1я все съ болыиимъ и большимъ успехомъ строитъ здав!е своей науки на математически-физическомъ фундаменте 3); математичесше методы нашли успешное примгЬнен1е и въ физюлогш ); что касается попытокъ построить и политическую экоH O M iro на математической основе 5), то онгЬ, по меньшей мере, не лишены теоретическаго интереса, какъ бы ни казалось сомнительнымъ практическое ихъ значеше. Не­ оспорима же польза математики въ соседнихъ областяхъ статистики ®) и страхового дЬла ). Кстати о Конте. Будетъ, пожалуй, не безынтересно тутъ же припомнить и другое его предсказаше, еще бо­ лее резко опровергнутое силой фактовъ и представляющее чрезвычайно поучительный нримеръ того, какъ надо быть осторожнымъ съ отрицательными предсказашями въ обла­ сти точныхъ наукъ. „Мы понимаемъ возможность опре­ делить форму, разстояше, величину и движешя небесныхъ телъ, но мы никогда не будемъ въ состояши изу­ them atik in dem Articul von der Grosse der Sunden-Schulden (1749), прилож ете къ Yohann Yakob Schmidt, Biblischer Mathematikus. 2 Auflage, Zullichau 1749. *) Cours de philosophic positive (Paris 1830—1842) Т. I, стр. 114: „математическая наука должна етать истиннымъ исходнымъ пунктомъ всего радюнальнаго и научнаго обучешя, какъ общаго, такъ и частнаго“.

2) Ibid. Т. III, стр. 414—416.

3) См. W . Nernst, Theoretische Chemie. ' *) Сюда относятся работы по физюлогической механике (меха­ нике движен 1я членовъ тела, кровообращения, дыхашя и т. д.), физ 1ологической оптике и акустике / 5) Критичестй обзоръ относящейся сюда литературы даетъ Y. Pareto въ Enzyklopadie der mathematischen W issenschaften, Bd. I, стр. 1094—1120. e) См. статью Л. Борткевича въ Enzykl. d. mathem. W issensch., Bd. I, стр. 821—851. й Щ Ibid, стр. 852—917: G. Bohlmann, Lebensversicherungs-Mathematik. — Популярное изложеше этой области см.: М. Cantor, P olitische Arithmetik. Leipzig. 1903.

Ц-ЬННОСТЬ И МНИМЛЯ НЕ-Ц'ЬННОСТЬ ■МАТЕМАТИКИ.

I 145

чить химичеекШ составь ях ъ “, пйсалъ Контъ ‘) въ 1836 году- Нроигло 'съ ткхъ норъ всего 24 года, какъ Кирхгофъ и Бунвенъ отры ли сиектраДьный &йалтаъ 2), и то, что казалось невозмогкнъшъ, стало дей­ ствительностью. И въ связи съ г1>мъ, что составляет'!) предметъ нашего доклада,1особенно важно, указать на следующее: рЬшаюицигь доказательством!) Jправильности нрим'Ьиелпя результатовъ спектральнаго анализа къ хи­ мическому анализу атмосферы солнца и другихъ нёбесныхъ сн'Ьтилъ мы обязаны именно м а т е м а т и ч е с к и е физическимъ изсл’Ьдовашямъ Кирхгофа 3). Попытка Гербарта подвергнуть математической обра­ ботке и психолопю *) должна быть признана неудаишейся, посколько он* пытался заменить гипотез&мЦ не­ достающая ;>кснериме-нтальныл основы. При иеемъ тбмъ она доказала в о-я м о ж н о с т ь прюгЬнешл математики къ псйхологш 5). Нетуплете Фехнера на путь психофизи-» чеекаго эксперимента и . дальнейшая разработка оксиериметаль.ныхъ онытовъ, вь особенности Вильгрйьмомь Вундтомъ, на самомъ деле подготовили те предваритель­ ный условен, которыя были необходимы, чтобы опреде­ ленный категорш психологическихъ проблемъ стали дос­ тупны точной математической разработке 6). Этимъ математика уже вторгается въ область философш. Но не следуеть слишкомъ переоценивать достйгjS Ibirl. Т. II, стр. 8.

2) G. Kirebhoif, Ueber die FEauonhofersehen Linien. Berl. Monatsber. 1859, S. 662—K ircfiioff,’ Gesammelte Abbandluijgcn (Leipzig 1882) S. 564. s) Kirchhoff, Gee. Abb.) S. <566—508. S. 638/634, 641; Rosenberger, Gosichte dm- Physik, III (Bratinschweig 1887—1890), S. -601 ff.

4) Herbart, Psychologic a ls WisfienselMtt non gegriindet auf Erfabrung, Metaphysik und Mathematik. Cos. Woi-ke, herausg. von HartenStein. Bd. V, VI. • 5) М., W . Drobiseli, Erste Gmndlinien der mathematischen P sy­ chologie (Leipzig 1850). Vorrede, W ilhelm W undt, Grundzuge der physiologischen Psychologie, I (5 Auflage; Leipzig 1902) S. 7.

■ 6) Wundt. Jbid., Кар. IX, S.‘ 46o Й ' Н.ОВЫЯ ИДЕИ ВЪ МАТЕМАТИК®, СБ. I.

10

146

А Л Ь Ф РБ Д Ъ П РИНСГЕЙМ Ъ.

нутые здесь успехи: прямая применимость математики по существу дела не можетъ не быть здесь тесно огра­ ниченной, если даже относить къ „философскимъ“ применетямъ математики созданную George’мъ Воо1е’мъ *) математическую логику. Более существенно то, что математики, и именно с о в р е м е н н ы е математики, стараются углубить о с н о в ы своей науки, и наследовать и установить понятая числа, пространства, времени и безконечнаго, чемъ они обогащаютъ ценными данными и ф и л о с о ф с к о е знаше. Не следуетъ также забывать, что современное ьцровоззреше выросло всецело на ^почве точнаго математически-научнаго изследоватя и что философш никакъ не удастся уклониться отъ этого вл!яшя. Еще 400 лете тому назадъ Леонардо-да-Винчи, одинъ изъ поразительнейшихъ универсальныхъ гешевъ эпохи Возрождешя, сказалъ ): „Тоте, кто отрицаетъ высшую мудрость математики, жи­ вете заблуждешями и ему никогда не удастся заставить замолкнуть противореч1я софистическихъ наукъ, которыя могутъ научить только вечнымъ крикамъ“, и никогда еще эти слова не были столь справедливы, какъ въ на­ стоящее время.. Приведеннаго краткаго обзора достаточно, я надеюсь, чтобы ясно показать, сколь многочисленны и разнооб­ разны области, на которыя успехи математики оказываюте свое благотворное дейсппе. И — „гораздо позже, после того, какъ разделъ давно совершился, прибли­ жается поэте “—-приходите „ ч и с т ы й " математикъ, ко­ торый не только занимается математикой ради нея самой, но утверждаете е'ще, что она и существуете, прежде всего, для себя самой. Она обязана своимъ существовашемъ, на самомъ деле, чисто идеалистической лотребх) Подробный литературный указанш ем.: Ernst Schroder, Al­ gebra der Logik, I (Leipzig 1890), 700—715.

2) M. Herzfeld, Leonardo da Vinci (Leipzig 1904), S. 8, XXIII.

Ц ЕН НО СТЬ И МНИМАЯ Н Е-ЦЪННОСТЬ МАТЕМАТИКИ.

147

ности, которая, правда, родственна потребности въ познанш природы и въ высокой степени с о д £ й с т в у е т ъ ея удовлетворенно, но н и к о р е н и т с я в е н е й одной, ни к ъ н е й о д н о й н и к о г д а н е м о ж е т ъ б ы т ь с в е д е н а , какъ мы не можемъ видеть конечной цгЬли всякаго п о з н а н i a силъ природы въ о в л а д i н i и ими въ ц'Ьляхъ практической пользы. Это неоспоримый фактъ, что обширныя области математики, прежде всего, такъ называемая, теор1я чиселъ, очень значительная часть высшей алгебры, теорш функцш и даже геометрш до сихъ поръ не нашли н и к а к о г о внЬматематическаго прим'Ьнешя или, какъ гласить одно весьма смягченное выражеше, „ждутъ еще своего прим’Ьнешя “ . Въ действи­ тельности же, он'Ь вообще не „ ждутъ или, по крайней мере, большей частью ждутъ напрасно! И было бы оши­ бочно, можно даже сказать, нечестно выводить право на существоваше этихъ чисто математИческихъ изследовашй хотя бы изъ отдаленной возможности применешя ихъ въ другихъ областяхъ, какъ было бы ошибочно мотивировать требования необходимыхъ денежныхъ средствъ на полярную экспедицш темъ соображешемъ, что не исключена возможность современемъ развить съ поляр­ ными странами весьма выгодныя торговыя сношешя. Но нужно признать, что никогда нельзя заранее предвидеть всей пользы, которую можетъ принести ма­ тематическое изследоваше. Накопляющейся запасъ чистоматематическихъ знанШ оказывается, можетъ быть, полёзнымъ для другихъ более полезныхъ изследоватй. Далее, не­ редко случается, что между двумя областями изследовашя, какъ будто весьма между собой далекими, вдругъ оказывается тесная связь. Уже по однимъ этимъ соображетямъ не сле­ дуете отказываться отъ чисто теоретическихъ изследовашй. И если бы математикамъ XX столЗтя, находящимся на государственной службе, вдругъ было бы приказано спещальнымъ приказомъ, чтобы они изучали только те

148

А Л Ь Ф РЕ Д Ъ ПРП Н СГЕЙ М Ъ.

вещи и занимались бы только т а к и м и проблемами, которыя внушаютъ большую надежду на то, что oirl; окажутся полезными для естественныхъ наукъ, а пожалуй даже и для техники, то математическая наука вместе со свободой была бы лишена и значительной части своей полезной, силы 1). Все это, конечно верно, но все же не затрагиваете истинной сути дела, Действительно, при такомъ, взгляд^ на дело, значительная часть математики представляла бы собой что-то въ роде необходимаго зла. Въ глубокомъ влгянш, которое оказываютъ прюбретен!я математики на успехи естественныхъ? наукъ и усовершенствовате условш жизнн, мы видимъ исключительно характерный симптймъ б о л е е в ы с о к о й , присущей человеческому духу, обязанности изучить в ъ с а м ы х ъ . ш и р о к и х ъ р а з м е р а х ъ законы и взаимныя отноше­ ш я чиселъ и пространственныхъ формъ. Поэтому, мы считаемъ математичесшя познашя ценными не только, какъ средство для другихъ ц6лей, но и с а м и п о себе и въ систематической разработке ихъ мы видимъ самую совершенную и чистую форму логической деятельности нашего духа, воплощеше высшей разумной эстетики. Въ пстолъ математике живетъ всегда художникъ: архитекторъ, и даже поэтъ. За пределами р е а л ь н а г о Mipa, но все же въ-познаваемой связи съ нимъ, матема­ тики своей творческой духовной деятельностью постро­ или другой и д е а л ь н ы й М1ръ, который они пытаются сделать наиболее совершеннымъ изъ всехъ м1ровъ и изучить во всехъ направлешяхъ. О богатстве этого Mipa имеетъ, ■ разумеется, некоторое представлеще только . *) Обнця р азсуж детя по вопросу о вваимодМствш м екду чис­ той математикой и ея прим'Ьнетями см.: W illiam Spottiawoode, Die Mathematik in ihren Beziehungen zu. den anderen W issenschaften.

Leipzig 1879.—H. Poincare, Sur les rapports de l ’analyse pure et de la physique mathematique. A cta mathematica, 21 (1897)|f-'W alther Dyck, Uber die w echselseitigen Beziehungen zwischen der reinen und angewandten Mathematik. Akad. Festrede. Miinchen 1897.

ЦЕННОСТЬ И МНИМАЯ НЕ-Ц-ЬННОСТЬ МАТЕМАТИКИ,

149

т о т ъ , который ее знаетъ; только чванное невежество можетъ утверждать, что математикъ вращается въ т1;схгомъ круге. И с т и н а , которая представляетъ собой цель его стремлешй, при более вниматедьномъ разСмотренш ока­ зывается, конечно, всего только с в о б о д о й о т ъ п р о ­ т и в о р е ч и й . Но, можетъ быть, именно въ зтомъ огра­ ничении и проявляется здесь мастеръ? Решать последше вопросы математикъ безъ всякой зависти представляетъ другимъ. Многое, что создано было и создается въ матема­ тике, конечно, не вечно. Но изъ всего обюпя того, что создано, выделяется чистое, какъ кристаллъ, ядро абстрактнаго знамя, которое на все времена останется блестящи м ъ , намятникомъ силы человеческаго духа. Неужели же те, которые принимаютъ посильное учасйе въ построенш этого памятника, на самомъ деле являются лишь односторонними й сухими, разсудочными людьми, какими ихъ рисуетъ установившееся о нихъ мнЬше? На мой взглядъ, более правъ здесь уже цитированный выше Новалисъ, когда онъ говоритъ У# „Н а с т о я н и й м а т е м а т и к ъ есть энту з1 астъ p e r se. Б е з ъ э н т у з 1 а з м а н Ь т ъ н м а т е м а т и к и ^ . Перев. Г . А . Котляръ.

х) См. прим'Ьчате на стр. 108.

Принимается подпиека ha большую ежедневную газету д

е

н

.

ь

Въ газегЬ лринимаютъ учасле слЪдующ1я лица: К. В. АгЬевъ, Е. А. Адамовъ, Влад. Азовъ, А. В. Амфитеатровъ, Арнад!й Аверченко, С. Я. Арефинъ, Н. П. Ашешовъ, I. М. Бикерманъ, Б.

П. Брюлловъ,

Арк.

Буховъ,

Н. Я. Б ы хо вс ш , А. Л.

Волынскш, В. 6. Боцяновсш , Б. Н. Воробьевъ, Л. Н. Войтоловск'|й, Зин. Венгерова, Е. А. Вулихъ, Б. ф. Гейеръ, А. Глигбиргь, (А. Черный), Д.

Гликманъ, (Д ухъ

Банко), 0.

Дымовъ.

С. О.

Загорсюй, Д. Заславсшй, (Homunculus), Homo Nowus, О. Я. Кобецкш, М. М. Кояловичъ, В. П. Коломжцовъ, Э. Кузьминъ-Караваевъ, I

Ю. Коппъ, В. Д.

P. Кугель, Н. Р. Кугель, И. О. Левинъ,

Б. П. Лопатинъ, (Шуйск1й), Я. Б. Лившицъ,

А. В. Луначарстй,

B. А. Мукос%евъ, М. В. Новоруссшй, О. Л. Д ’Оръ, Г. Я. Полонск1й, П. Потемкинъ,

А. А. Радаковъ, Г. О. Розенцвейгъ, В. Рудинъ,

C. Т- Патрашкинъ, Пьеръ Пьерро, Н. П. Хессинъ, А. М. Хирьяковъ, П. Е. Щеголевъ и др.

Адресъ Редакцш и Главной Конторы: СПБ- НевскШ прось, д. № 69. Т е л е ф о н ы : Редакцш: 205—68, Конторы: 464—45.

Открыта подписка на 1913 годъ. Щ | Самый дешевый, ешем1>сячный доступный ши-

изданщШся ШЕСТОЙ' годъ I» «„ ГлрЗТКЖ

т ч * •

г»

п •» ■ т л *-* ш

Ж УРН АЛ Ъ ЛЛЛ Е С ЬХ Ъ “ "

n P D P U F M k I lL r L n L M D

20 R-

въ годъ.

со тр удн и к овъ б е л л е т р. о т д .: Л е о н и д ъ А н д р е е в ъ ,’ М . А р ц ы б а ш в в ъ и . Б унинъ , В. В е р е са е в ъ , О. Ды м овъ, Б . З а й цевъ , А . Купринъ, С . К онду

р уш к и н ъ , О . М и р то в ъ , В. М у й ж ел ь, И. П о та п е н к о , С . Ю ш к е в и ч ъ , и д р .;

2

руб,

н л у ч н о - п о п у л.

и

А. Сераф им овичъ,

кр и тй ч.

о т д .:

гр . А . Т о л с т о й 1 Т а н ъ .

проф . Е .

Е . Ч ириковъ

А н и ч к о в ъ , П . Б е р л и н ъ , п р и в .- д о ц

А . Г е н к ё л ь , п р о ф . С . В е н г е р о в ъ , |Л. К л е й н б о р т ъ , Е . К о л т о н о в с к а я . Н . Л е р н е р ъ , А . Л у н а ч а р с ш й , Н . Р у б а н и н ъ , а к а д е м . Д . О в с я н и к о -И у л и к о в с к 1 й , п р о ф . И . О з е р о в ъ , п р о ф . В . С п е р а н с ж й , п р о ф .

Е . Т а рл е, проф

М . Т у г а н ъ - Б а р а н о в с ш й . М . Э н г е л ь г а р д т ъ , К . Ч уков ски й и д р у г .

НА 1913 ГОДЪ ПОДПИСЧИКИ ПОЛУЧАТЬ:

12

6 12

к н и г ъ ж у р н а л а ^ с о д е р ж а щ и х ъ п о в е с т и , р а з с к а э ы , ст и х ., с т а т ь и п о в оп росам и» н а у к и , и с к у с с т в а , с а м о о б р а з о в а Ы я , п е д а г о г и к и . и с т о р !и ,

ре ц е н з1 и

о новы хъ

к н и гахъ и проч. к н и гъ б е з п л а т н . п р и л о ж и л о 128 с т р . к а ж д а я , в ъ к о т о р ы х ъ б у д у т ъ д а н ы п р о и зв е д е ж я со вр е м е н н ы х ъ извЪ стн ы хъ и н о с тр а н н ы х ъ п исателей:

У птона С и н ­

клера, Б л а с к о И б а н ь е са , К ари н ъ М и хаэл исъ , Як. В а с с е р м а н н а и др. кар ти н ъ ' б е зп л . прил ож еж я въ три к р а с к и , на веленевой б у м а гЬ : сн и м ки с ъ к а р т и н ъ и э в 'Ь с т н ы х ъ 'х у д о ж н и к о в ъ и п о р т р е т ы

писател е й .

Разм ерь

каж дой

к а р ти н ы — ф о р м а т ъ стр а н и ц ы ж ур н ал а.

ПОДПИСНАЯ ЦШ : 2 р. 20 к. въ годъ н 1 р. 20 к. въ полгода.

Д о 1 Д ек а б р я 1 9 1 2 г.

П о д р о б н ы е п р о с п е к т ы ,оо с п и с к . с о т р у д н и к о в ъ б е з п л . П р о б н ы е № N q з а д вЪ 7-к оп . м а р к и . П о д п и с к а в о в с Ъ х ъ к н и ж н ы х ъ м а г а з и н а х ъ и п о ч т о в . отд-Ьл. И м ne piH . B e t о б я з а т е л ь с т в а з а 1912 г о д ъ в ы п о л н е н ы . АДРЕСЪ

ДЛЯ

П Е Р Е В О Д О В Ъ : С .- П е т е р б у р г ъ ,

Владим 1рстй

пр.. 19,

Льготная подпнсиа: новые годо­ вые подпиочики, подписавш1еся до 1-го декабря, волучатъ, кромЪ журнала и безпл. прилож. въ 1913. г.. еще ноябрьскую и де­ кабрьскую книжки аа 1912 г. -

.Н о в ы й

Ж у р н а л ъ д ля B c t x v . Р е д .-и з д . И . М . Р о з е н ф е л ь д ъ .

4 р. 90 к.

Открыта подлиска на 1913 годъ. на сам ы ! дешевый ш ъ толстыхъ ежемЪо. жури., до 3 0 0 отр. убориот. шрифта, при учаот1и лучш. литера* тури. рилъ. 4»ый годъ аад.

БЕЗЪ ПРИЛОЖ.

н о в А Я Ж И З Н Ь 7 р. 20 к. = СЪ

12

КН.

прилож.

•ш

n P D P U P U L

с о т р у д н и к о в ъ б е л л е т р. о т д . : Л е о н и д ъ А н д р е е в ъ , М . А р ц ы б а ш е в ъ , Д . А й з *

К р аТ К Ш

l l t r t H

м анъ , И. Б у н и н ъ , В . В е р е о а е в ъ Т 3 . Г и п т у с ъ , С . Г о р о д ецкЮ .

t n b

Д . М ереж ков*

ск1й. О . Д ы м о в ъ , Б о р . З а й ц е в ъ . А . К у п р и н ъ , О . М и р т о в ъ , В ' М у й ж е л ь , С . С е р г Ь е в ъ - Ц е н с к ж , б е д о р ъ С о ло гу б ъ , гр. А . Н . Т ол сто й , Т а н ъ . Е . Ч и ри ко въ , С . Ю ш кеви чъ, научн.

о т д . : проф . Е. Аничковъ . Ю . А йхенвал ьдъ ,

б о р т ъ , А н т о н ъ К р а й ш й , А . Л у н а ч а р ск 1 й ,

Л. М а р т о в ъ ,

и др.

О б щ е с т в . - п о л и т.,

к р и т и ч . и

В . А г а ф о н о в ъ , П . Б е р л и н ъ , С . В е н г е р о в ъ , Л. К л е и н Н . Рубакинъ.

ковск1й. М . Э н г е л ь г а р д т ъ ,

проф .

М.

Т у г а н ъ -Б а р а н о в Ь ш й ,

К

Ч у-

П. Ю ш к е ви ч ъ и др.

НА 1913 ГОДЪ ПОДПИСЧИКИ ПОЛУЧАТЬ: кн игъ ж урн ала, въ к о то ры хъ

будутъ

12 12 ДЖЕКА ЛОНДОНА И

нап ечатан ы

романы :

А . К ран д 1евской ,

П о т а п е н к о , ф а н т а с т , р о м . Н . Б е р е з и н а , н о в Ъ й и Л в р о м а н ы .в ы д а ю щ . и н о с т р а н .

п и с а т .,

noetcTH,

р а зск аэы ,

статьи

по

вопрос,

л и т е р а т .,

науки,

и с к у с с т в а .,

о б щ .-п о л и т . и п роч .

с т о ю щ . в ъ отд .

к н и г ъ б е з п л , прил. п олн. с о б р . с о ч . п оп ул. а м е р и к . б е л л е тр ., в ъ е д и н с т в , а в т о р и з о в . п е р . I. А . М а е в с к а г о , с ъ 6 io r p . и п о р т р е т .,

п род р о дааж ж 'Ь ^ — 16 p р . Т2 12 к н и г ъ с о с т . с в ы ш е 3 8 4 0 Ь т р а н . т е к с т а .

ЦШ : на 1 годъ— 7 р. 20 к., на полгода— 4 р. (Р а з с р .: 3 р .— п ри подл.. 2 р . 2 0 к .— 1 м а р т а и 2 р. 2 0 к ,— 1 !юля). Б е з ъ прилож .: н а 1 г о д ъ — 4 р. 9 0 к., н а пол г о д а — 2 р. 7 0 к. ( Р а з с р .: 3 р. при подп. и 2 р .— 1 1ю ля).

СОВМЕСТНАЯ н а .Н о в ы Й Ж у р н . д ля B c t x V 1 м а р т а и 2 р. 2 0 к. 1 1юля).

и .Н о в у ю Ж и з н ь * На

.Н о в ы й

Ж урн.

ПОДПИСКА

( с ъ п рил ож .) н а 1 г о д ъ — 9 р . ( Р а з с р . 4 р .— п р и п од п ., З р .~ для

В с 4 х ъ " и .Н о в у ю

Ж изнь"

(б е з ъ

прил.):

на

1 год ъ .

6 р . 6 0 к. (Р а з с р .: 2 р . п ри под п ., 2 р . 2 0 к .— 1 м а р т а и 2 р. 2 0 к .— 1 (юля). П о д р о б н . л р о с п .— б е з п л а т н о . П р о б н ы е N eN e з а дв~Ь 7-ми ко п. м а р к и . B e t о б я ­ з а т е л ь с т в а з а 1912 г о д ъ в ы п о л н ен ы . П о д п и с к а п р и н и м а е т с я в о в с Ь х ъ к н и ж н . м а г а з и н а х ъ и п о ч т о в . о т д Ь л . Импер1и. АДРЕСЪ

ДЛЯ

ПЕРЕВО Д О ВЪ :

С .- П е т е р б у р г ъ ,

„ Н о в а я Ж и з н ь “ . Р е д .-И з д . И . М.. Р о з е н ф е л ь д ъ .

Владим1рск1й. ^

19. К - р а

ж урн.

Д о 1 Д ек а б р я 1 9 1 2 г. ЛьРотиая подписка: новые годовые подписчики. подписавш1еся до 1 декабри, подучатъ. иромЪ жури, и безпя. прил. въ 1913 г еще ноябрьскую и декабрьскую книжка аа 1912 г.

Ш

Р

U r n

rh i l l '

З к

<^ КРЫТА ПОДПИСКА НА

/З а п р о с ы

с Н

б ш

ш

Е ж е н е д б л Ь н Ь ш В^СТНЙКЪ

КулЬтурЫ и псылтшси (Ill-й годъ издаш я) издаваемый въ С.-ПетербургЬ при ближайше.чъ уайстш п р оф . М. М. К О В А Л Е В С К А Г О

и Р. М. Б Л А Н К А

и сотруднич ества: С. В. А ники на, п р о ф . Е . В. А ничкова, С. Ан—скаго* ак ад . К . К . А р сен ьева, © . Д . Батю ш кова, ак ад . А . Н . Б ен уа; п р о ф . М . В. Б е гн а д к а г о , Э ду ар да Бернг ш тей н а (Б гр л и и ъ , чл. Рейхстага), п р о ф . В. М . Б ехтерева, I. М. Б икерм ана, li. Д . Б ооог ,, ры кина, В. Я . Б огучарскаго, п р о ф . Р о д о л ьф а Б рода Д П ариж ъ, директора. « Д оьум ентовъ П рогресса»), А. Н . Б рянч анин ова, п р о ф . А. В. В асильева (чд. Гос. С овета), С А. В енгерова, ак ад . В. И . В ернадскаго, п р о ф . А . Б . В еселоьскаго. В. В. В одовозова, В. П . В оронцова, п р о ф . С . Ю . Гамбарова, а к а д . И . Я .Г и н ц б у р га , А. Г. Г орн ф ельда, М аксим а Горькагб, н р о ф . Н . А. Гре дескул а, Л. Я . Гуревичъ* Э дуарда Д ав и да (Берлинъ, чл. Рейхстага), В. И. Д зю бинскаго (чл. Гос. Д умы), Я . "И. Д уш ечкина, И . В. Ж и л к и н а , п р о ф . Б . И . К ар ц ева, К . Р. К очаровскаго, А. А . К орнилова, Н. И . К оробки , акад. Н . А. К отляревскаТ о, Л . К р ж й в и ц к аго. прОф. В. Д . К узьм ина-К араваева, М . И . К улиш ера, Е . Д . К у ск о во й , Д . А . Л еви на, А. В. Л ун ачарскаго (П агиж ъ), п р о ф . А . А. М ануйлова, Л. МартОва, п р о ф . И . И . М ечн икова (П ариж ъ), Н . А. М орозова, С. М стиславскаго, М. Е . Нев'Ьдомска^о, Вас. Й . Н ем ировича-Д анчен ко, п р о ф . Д . Н . О всян яко-К ул и ковскаго, п р о ф . И . X . О зер о в а (чл. Гос.. С овъта), п р о ф . Л . И . П етраж и п каго, п р о ф . А. С. П осникова, С. Н . П р о к о п о ­ вича, Е . В. де-Рсберти, Н . А. Р убаки на, Н . С. Русанова, М .А . С лавин скаго, Л. 3 . С лонимск аго , Н . Д . С околова, В. I. Т а н а (Б огоразъ), п р о ф . Е . В. Т арле, п р о ф . К . А /Т и м и р я зе в а , кн. Е . Н . Т рубепкого, п р о ф . М . И . г1уганъ-Бараиовскаго, Г. А . Ф альборка, Д В. Ф илософ о в а , п р о ф . М.« И . Ф ридмана, Н . Ч ереван ина, Г. И . Ч ул кова, Л . И . Ш ей н и са (П$ртт™$>% М. И . Ш ^ ф т е л я . 'Л. Я . Ш те р н б ер га, П . О . Э ф р у сси , П . С . Ю ш кев и ч а и j аников "-с иностр. ж'урн;.: «Les D o cu m e n ts du Progres» (П ариж ъ), «Progress» (Лондонъ) и «Dokiim ente d es F ortschritts» (Б ерл и н ъ ).

ВЪ ПРОГРАММУ „ЗЬПРОСрВЪ ЖИЗНИ“ ВХОДЯТЪ: 1)' РукснюлящЫ статьи по - П'^щд ~||ПИМ^iHjijtfT;, им |Г политической, экономической, литературной и науЧной жизни Powitf itfЗарадй,: Щ Обзоръ еобытш посл4дк«;й недели, 3) Корресцойдендш/ 4) Сощально-^кономическое обозрите, 5) Литературное обезр$то, 6) Научное и 'тезфинегвкбе обозрите,- 7) Руоская и иностранная биб.1 Шраф1я, 8) Журпалъ л^ршиовъ (is&iopv русских'!. и шюстратшхъ журналовъ и газетъ), 9) Театръ, 10) Искусство, 11) Федьетоцъ.

ШдпйГаг принимается съ 1-го числа каждзго мЪща на любой срокъ. ПОДПИСНАЯ ЦЪНА съ пересылкой и доставкой: на 1 г.—5 руб., на V* г.—2 р. 75 к., на V« '.ЙяИ S' 50 к.* на^.мйсйцъ—50 коп., отд. нумеръ 15 йоп. За границу:

■на

р. 50 к., на

Ш 75 к'., на

1 м^сяцз,. 60 кон.

ЛЬГОТНАЯ ПОДПИСКА для свящснниковъ, учителей, учащихся, крестьяне, и рабо­

чих! при падписк! на тодъ: 4 руб; и разсрочка платща. иа 8; срока: I р. 50 к. при ноднискй, 1 j). 50 к,- черезъ 1;4 гида и 1 р. черезъ 3/4 года.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ: въ главной Koii topi „Запросов!. Жизни" — С.-Петер­

бургу, Николаевская ул., д. 37, въ отд1,леш'яхь книготорговаго товарищества „Культура", въ почтовыхъ отдблешяхъ и Bi книЖцыхъ магазинахъ.