coordenadas polares

Enmanuel Becerra Matematica II - saia A UNIVERSIDAD FERMIN TORO NUCLEO DE INGENIERIA CABUDARE - VENEZUELA

Hasta este punto, en este estudio de propiedades geométricas por métodos analíticos, se ha utilizado un solo sistema de coordenadas. Ahora bien, se introducira y empleara otro sistema conocido como sistema de coordenadas polares. En vista de la utilidad demostrada del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, se puede pensar que no hay necesidad de considerar otro sistema. Pero se verá, sin embargo, que para ciertas curvas y tipos de lugares geométricos el uso de coordenadas polares presenta algunas ventajas sobre las coordenadas rectangulares.

Si bien es cierto, el ángulo y el radio no se

Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura

conocen ni se manejan sino hasta el siglo

Cavalieri

XVII, posterior a la invención de la geometría

independiente el concepto en la solución de

analítica, en la que se puede hablar del

problemas

concepto formal de sistema coordenadas

escribió sobre este tema en 1625 y publicó

polares.

sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri

Los

primeros

usos

empíricos

introdujeron geométricos.

de

forma

Saint-Vincent

de

publicó sus escritos en 1635 Cavalieri utilizó

relaciones entre ángulos y distancias se

en primer problema relacionado con el área

relacionan con aplicaciones a la navegación

dentro de una espiral de Arquímedes. Blaise

y el estudio de la bóveda celeste. El

Pascal

astrónomo Hiparco (190 a. C.-120 a. C.)

coordenadas

creó una tabla trigonométrica que daba la

utilizó

posteriormente

polares

para

calcular

las la

longitud de arcos parabólicos.

longitud de una cuerda en función del ángulo

Sin embargo, el concepto abstracto de

y existen referencias del uso de coordenadas

sistema de coordenada polar se debe Isaac

polares para establecer la posición de las

Newton, quien en su Método de las fluxiones

estrellas.

escrito en 1671, introduce ocho nuevos

En

Sobre

Arquímedes

describe

Arquímedes,

una

las la

espirales, de

sistemas de coordenadas para resolver

radio

problemas relativos a tangentes y curvas,

depende del ángulo. Sin embargo, estas

uno de los cuales, el séptimo, es el de

aplicaciones no hacían uso de un sistema de

coordenadas polares.

función

espiral cuyo

coordenadas como medio de localizar puntos en el plano.

LA COORDENADA

La palabra coordenada se utiliza para hacer referencia a un punto en el cual se unen dos rectas que puede marcar la ubicación exacta de ese punto. Como se considera en la geometría que por cada punto pasan infinitas rectas, la unión de dos de ellas en un punto específico nos permite acercarnos más a una definición más clara.

La

coordenada

es

un

elemento

muy

importante de las ciencias matemáticas como también de otras ciencias que pueden recurrir a ella como auxiliar como lo es el caso de la geografía, ya que utiliza las coordenadas para ubicar lugares específicos en el mapa.

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir la posición exacta de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen.

El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto, constituyen lo que se denomina sistema de referencia.

Para establecer la existencia de una o de varias coordenadas, es necesario realizar una tabla que una dos tipos diferentes de rectas, las cuales son la recta horizontal y la recta vertical.

Mientra que aquel punto en el cual dos de estas rectas se unan será el punto donde se ubica la coordenada. Usualmente, se habla de coordenadas en planos como puede ser un mapa, pero también pueden aparecer las mismas en imágenes tridimensionales ya que la unión de las rectas sigue existiendo. Aunque en el caso de planos de dos dimensiones, las rectas horizontales se ubicarán en el espacio x mientras que las verticales lo harán en el espacio y.

En tres dimensiones, se suma la dimensión z que cruza a las dos anteriores.

Por medio de un sistema de coordenadas en un plano, es posible localizar cualquier punto del plano. En el sistema rectangular, llamado así a que las coordenadas de un punto

geométricamente describen un rectángulo, esto se efectúa refiriendo el punto a dos rectas fijas perpendicularmente llamadas ejes de coordenadas (XY). En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posición relativa con respecto a una recta fija y a un punto fijo de esa recta.

El término actual de coordenadas

SISTEMA DE COORDENADAS

polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los

Sistema de Coordenadas Polares es un

escritores italianos del siglo XVIII.

sistema de referencia constituido por un eje que pasa

El término aparece por primera vez

por el origen. La primera coordenada es la distancia

en inglés en la traducción de 1816

existente entre el origen y el punto, mientras que la

efectuada por George Peacock del

segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que

Tratado del cálculo diferencial y

pasa por ambos puntos. En muchos casos es útil

del cálculo integral de Sylvestre

utilizar las coordenadas cartesianas para definir una

François Lacroix, mientras que

función en el plano o en el espacio. Aunque en

Alexis Clairaut fue el primero que

muchos otros, definir ciertas funciones en dichas

pensó en ampliar las coordenadas

coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado.

polares a tres dimensiones.

En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos la vida.

GRAFICA DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES

En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posicion relativa con respecto a una recta fija y a un punto de esa recta. La recta fija se llama “eje polar” y al punto fijo se le llama “polo”. La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos (x,y) para los cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). En otros términos, la gráfica de una ecuación polar es una gráfica en el plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación dada.

:

INTERSECCION DE GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES Consiste en las tecnicas del calculo al caso de interseccion de ecuaciones en dichas coordenadas polares con el proposito de buscar todos los puntos de dicha interseccion.

Puesto que un punto puede representarse de formas diferente en coordenadas polares, debe tenerse especial cuidado al determinar los puntos de interseccion de dos graficas polares, por lo que se sugiere realizar el dibujo de las ecuaciones, inclusive cuando mas adelante calculemos el area de una region polar.

De igual forma el problema de hallar los punto de interseccion de dos graficas polares con el de encontrar los puntos de colision de dos satelites en orbita alrededor de la tierra, dichos satelites no entrarian en colision en tanto llegue a los puntos de interseccion en tiempos diferentes La colision de produciria solamente en aquellos puntos de interseccion que sean “puntos simultaneos”, aquellos a los que se llega en el mismo tiempo instante

AREA DE UNA REGION EN EL PLANO DE COORDENADAS POLARES

Ahora, bien cuando se quiere hallar el área comprendida entre dos gráficas polares, se emplea el procedimiento conocido de sustraer un área de otra. Aunque en el siguiente ejemplo los cálculos no fueron sencillos, con frecuencia, determinar los límites de integración es la parte más desafiante para hallar el área de una región polar.

El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha área. En la figura se observa que la superficie de un sector circular de radio r viene dada por:

Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es continua y no negativa en el intervalo [ a , b ] . La región limitada por la gráfica para hallar el área de esta región, partimos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos iguales a = q < q < q <........< q < q = b

ROSA DE CUATRO PETALOS Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:

ROSA DE TRES PETALOS Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos.

Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:

ROSA DE OCHO PTALOS El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada:

CARDIOIDES Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide.

Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la siguiente función:

LIMACONES

El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:

r = 1 + b cos 0 Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:

Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:

Continuando con la gráfica de limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda.

Veamos a continuación el gráfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:

Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora está dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaçon o caracol con hendidura o concavidad que está dirigido hacia la derecha:

Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual está apuntando hacia arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente:

LEMNISCATA

La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar al simbolo del infinito. La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemáticas.

El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta función con su respectivo gráfico lo apreciamos a continuación:

Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido horizontal:

Finalmente se muestra un gráfico como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con la única diferencia que ahora se muestra en sentido vertical. Veamos:

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