§ 03 – Exemplos de campos.
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§ 03 – EXEMPLOS DE CAMPOS. Alguns exemplos reais de campos ajudarão a compreender melhor e mais rapidamente os conceitos até aqui introduzidos, talvez ainda um pouco subjetivos.
Exemplo 1: um campo de distâncias Imaginemos um ponto O, fixo no espaço, que tomamos para origem de um sistema triortogonal de coordenadas O-XYZ. A cada ponto P do espaço, de coordenadas (X,Y,Z), é possível associar sua distância r ao ponto O, dada através da lei
r X 2 Y 2 Z2 . Essa função é contínua e unívoca para qualquer terno (X,Y,Z) de números reais. Logo, o espaço que envolve o ponto O (no qual se inclua o próprio ponto O) constitui um campo da propriedade: "distância ao ponto O". Tal campo é estacionário, escalar e tridimensional (r é função de três parâmetros: as próprias coordenadas do ponto). Mas a fronteira do domínio desse campo de distâncias ainda não está especificada. Se X, Y e Z forem funções de um parâmetro que variem entre os limites conhecidos A e B, o campo distância será estacionário, escalar e unidimensional. O domínio desse campo será, um arco de curva espacial, curva plana, eventualmente um segmento de reta, cuja fronteira estará definida pelos valores A e B. Se X, Y e Z forem funções de dois parâmetros, o campo distância será estacionário, escalar e bidimensional; e o domínio será um fragmento de superfície, eventualmente um fragmento de plano cujas fronteiras serão definidas pelos limites de variação dos parâmetros. Qual seria o domínio do campo (estacionário, escalar e bidimensional) de distância em que X=Rcoscos, Y=Rcossen e Z=R? Fixe alguma fronteira para o mesmo. Qual seria o domínio do campo de distâncias, definido como o anterior, porém com ZR?
Exemplo 2: o campo gravitacional terrestre Em Física, o chamado campo gravitacional terrestre é a região do espaço que envolve a Terra, a cada ponto P do qual está associada a seguinte propriedade: qualquer corpo de massa M, ali abandonado, é atraído para o centro O da Terra com uma força que é proporcional a M e inversamente proporcional ao quadrado da distância r que separa o ponto do centro da Terra. Em outras palavras, ao ponto em questão está associado um vetor força, f, mediante a lei:
f k
M uˆ , r2
(r0),
onde k é um escalar constante e uˆ é o vetor unitário de direção OP e sentido de O para P. Pelo exemplo 1, r depende de três parâmetros. Como vetor unitário uˆ , variável, por ter a direção OP, pode ser expresso em função das coordenadas do ponto (que definem r), resulta que esse campo de força é estacionário, vetorial e tridimensional (porque o campo r assim o é, conforme exemplo 1).
Exemplo 3: o campo das velocidades de um líquido em escoamento Consideremos um reservatório cilíndrico cheio com um líquido (água, por exemplo), munido de um registro fechado, instalado em sua parte inferior, e dentro do campo gravitacional terrestre. Em todos os pontos da massa líquida, grandezas escalares (como temperatura e pressão) e grandezas vetoriais (como a força de atração gravitacional sobre cada partícula de água, velocidades de partículas etc.) podem ser associadas a cada ponto do espaço ocupado pelo líquido (o domínio do fenômeno que nos interessa).
III, §03