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19/11/2009

Cours de Statistique descriptive (les moyennes) Prof. M. EL MEROUANI

Prof. M. EL MEROUANI

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Méthode graphique de détermination de la médiane : • On trace la courbe des fréquences (ou des effectifs) cumulées croissantes et on trace aussi la droite horizontale d’équation nicc=N/2 sur le même repère.

• La projection du point d’intersection de la courbe et la droite sur l’axe des abscisses donne la position (la valeur) de la médiane.

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Exemple : • Soit la distribution de l’exemple précédent : [ei-1, ei[

ni

nicc

[40, 50[

12

12

[50, 60[

14

26

[60, 70[

20

46

[70, 80[

30

76

[80, 90[

14

90

[90,100[

10

100

N=100 Prof. M. EL MEROUANI

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• Traçons la courbe des nicc et la droite horizontale d’équation nicc=N/2 sur le même repère.

on voit que la médiane est presque égale à la valeur trouvée algébriquement 71,33 Prof. M. EL MEROUANI

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Les moyennes : • Généralement, il y a quatre types de moyennes : • arithmétique, • géométrique, • harmonique • et quadratique.

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Moyenne arithmétique ( )X : • La moyenne arithmétique d’une variable statistique est égale à la somme des valeurs de la variable pondérées par les fréquences relatives. k

x = • donc

∑

fi x

i

i= 1

k

ni 1 k x = ∑ xi = ∑ n i xi N i =1 i =1 N Prof. M. EL MEROUANI

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• d’où

1 x = N

k

∑

n ix i

i=1

Exemple : Soient les notes d’un groupe de 30 étudiants:

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7

xi

ni

ni xi

fi

fi x i

7 8 9 13 14 15

4 5 6 7 6 2

28 40 54 91 84 30

0,133 0,167 0,2 0,233 0,2 0,067

0,931 1,336 1,8 3,029 2,8 1,005

N=30

327

∑f

10,901

Total

i

=1

i

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• La note moyenne de ce groupe est :

1 x = N

k

∑

n ix i =

i=1

1 ⋅ 327 = 10,9 sur 20 30

k

x =

∑

fi x

i

=10,901 ≈ 10,9

i= 1

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Variable statistique continue : • Pour le calcul de la moyenne arithmétique dans le cas de la variable statistique continue, il faut procéder par la formule suivante :

1 x = N

k

∑

n ic i

i=1 des classes.

• où ci représente les centre

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Exemple : • L’âge des salariés d’une entreprise est distribué comme suit : [ei-1, ei[

ni

ci

ni ci

[10, 20[

2

15

30

[20, 30[

15

25

375

[30,40[

33

35

1155

[40, 50[

13

45

585

plus de 50

7

55 ?

385

Total

N=70 Prof. M. EL MEROUANI

2530

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• Lorsque la borne n’est pas définie, il faut la définir soit par le "bon sens" soit par extrapolation des données. Ici, on peut dire que : • L’âge de la retraite est de 60 ans, donc la classe "plus de 50 ans" est : [50, 60[, • On a des classes d’amplitude 10, donc la dernière sera de [50, 60[.

• Ainsi • 36,14 est l’âge moyen des 70 salariés de l’entreprise.

1 k 1 x = n ici = ⋅ 2530 ≅ 36,14 ∑ 70 N i = 1 • Prof. M. EL MEROUANI

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Calcul de par changement d’origine : • Lorsque les valeurs xi et ni sont trop grandes et que le calcul devient volumineux, il est préférable de procéder à un changement d’origine par la transformation suivante : • Si ci0 est une origine quelconque, soit le changement x’i=xi- ci0,

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alors la moyenne sera

x' = x − ci0 d’où la moyenne arithmétique recherchée sera

x = x' + ci0 Prof. M. EL MEROUANI

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Exemple : • Soit la série statistique suivante : [ei-1, ei[

ni

ci

ci – c3=c’i

ni c’i

[400, 500[

8

450

-200

-1600

[500, 600[

10

550

-100

-1000

[600,700[

12

650

0

0

[700, 800[

50

750

100

5000

[800, 900[

20

850

200

4000

N=100

6400 Prof. M. EL MEROUANI

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cio = c3 = 650 ; le choix de cette valeur s’est fait par le choix de la valeur centrale des observations.

x' = x − c3 or donc

x' =

x = x' + c3

1 × 6400 = 64 100

x = 64 + 650 = 714 Prof. M. EL MEROUANI

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Propriétés de la moyenne arithmétique : 1. La somme des écarts à la moyenne arithmétique est nulle : k

∑

n i (x i − x ) = 0

i =1

2. La somme des carrées des écarts à minimale, c'est-à-dire : k

∑

n i (x i − x )

2

est x

est minimale.

i =1 Prof. M. EL MEROUANI

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1. En effet : k

k

k

∑ n (x − x ) = ∑ n x − x ∑ n i

i =1

i

i i

i =1

2. En effet : Soit la fonction

=N x−xN =0

i

i =1

k

g ( x) = ∑ ni (xi − x )

2

i =1

on va démontrer que la dérivée g’ s’annule en et de dérivée x seconde g’’ positive (concavité vers le haut).

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y

x

x

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• On a:

k

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(

g ( x) = ∑ ni xi2 − 2 xi x + x 2

)

i =1 k

k

= ∑ n x − 2 x ∑ ni xi + x 2 i i

i =1

i =1

k

2

∑n

i

i =1

k

k

k

i=1

i=1

i=1

k

g' (x) = −2∑ni xi + 2x∑ni = 0 ⇔ x ∑ni = ∑ni xi ⇔x= Prof. M. EL MEROUANI

1 N

i=1 k

∑n x

i i

=x

i =1 20

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• Donc g admet un extremum (optimum) en

x

• De plus la dérivée seconde de g est positive: k

g ′′( x) = 2∑ ni = 2 N > 0 i =1

• D’où g admet un minimum en le haut).

x(concavité vers

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Moyenne géométrique G : • Elle est égale à la racine Nième du produit des k valeurs d’une série statistique.

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Cas d’une série simple : • Tous ses N valeurs sont d’effectifs égaux à 1, alors : N

G=N

∏x

i

i =1

G = N x1 ⋅ x2 ⋅ L ⋅ x N Prof. M. EL MEROUANI

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 N  1 log G = log ∏ xi  N  i =1  Donc

1 log G = N

N

∑ log x

i

i =1

où on a supposé que

xi > 0 ; ∀ i = 1,L , N Prof. M. EL MEROUANI

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Cas d’une série pondérée : • Ses valeurs x1,……, xk ont des effectifs différents n1,……., nk respectivement. k

G=N

ni x ∏ i i =1

G = N x1n1 ⋅ x2n2 ⋅ L ⋅ xknk

• Avec

N = n1 + n2 + L + nk Prof. M. EL MEROUANI

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On a

G=

N

n1 1

n2 2

x .x .......... x

 =  ∏ x in i  i=1 k

nk k

k

Alors:

G =

∏

x

  

1 N

k

=∏x

ni N

i=1

fi i

i=1

 K fi log G = log  ∏ x i  i=1

k k  fi  = ∑ logx i = ∑ fi logx i i=1  i=1

ici, aussi, on a supposé que xi > 0 ∀ i=1, ………, k Prof. M. EL MEROUANI

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Remarque : • La moyenne géométrique est utilisée pour le calcul des taux d’accroissements moyens, des moyennes de coefficients multiplicateurs…c'est-à-dire, dans les cas où la variable représente des variations cumulatives.

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Exemple 1 : • Calculer la moyenne géométrique de la distribution de fréquence suivante : xi 1 2 3

ni 2 5 3 N = 10

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