Verso l’algebra moderna e astratta
SEZIONE A
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Di quali proprietà godono le seguenti relazioni? a a R
1
b ⇔ a è il doppio di b, definita in N.
a Nell’insieme delle rette: essere perpendicolari. b Nell’insieme dei numeri naturali: essere mag-
[antisimmetrica] b a R
2
b ⇔ a divide b, definita in N.
giore. Nell’insieme dei numeri interi: non avere divisori comuni. d Nell’insieme dei numeri naturali: essere maggiore o uguale. c
[riflessiva, antisimmetrica, transitiva]
a R3 b ⇔ a è padre di b, definita nell’insieme delle persone. [antiriflessiva, antisimmetrica] d a R b ⇔ a è fratello di b, definita nell’insieme 4 delle persone. [simmetrica, transitiva, antiriflessiva] e x R y ⇔ x è diverso da y, definita in N. 5 c
[simmetrica, antiriflessiva] f
Quali delle seguenti relazioni sono simmetriche?
[a, c]
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x R6 y ⇔ x e y hanno prodotto positivo o nullo, definita nell’insieme A = {–2, –1, 0, 1, 2}.
Quali delle seguenti relazioni sono transitive? a Nell’insieme delle figure solide: avere uguale
volume.
[riflessiva, simmetrica] g x R
y ⇔ x è minore di y, definita in N. 7
b Nell’insieme delle rette del piano: essere per-
pendicolari. Nell’insieme delle persone: essere nati nello stesso comune. d Nell’insieme dei medicinali: essere efficaci per almeno una stessa malattia. e Nell’insieme dei numeri razionali: avere almeno una cifra uguale. f Nell’insieme delle frazioni ridotte ai minimi termini: avere lo stesso denominatore. g Nell’insieme delle figure geometriche piane: avere la stessa area. h Nell’insieme delle matite colorate: essere dello stesso colore. i Nell’insieme dei numeri interi: non avere divisori comuni.
[antiriflessiva, antisimmetrica, transitiva]
c
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Quali delle seguenti relazioni, definite in N, sono transitive? a x è minore di y b x non è minore di y c x è il doppio di y d x è uguale a y [a, b, d]
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Quali delle seguenti relazioni sono riflessive? a Nell’insieme delle figure solide: avere uguale
volume. b Nell’insieme delle persone: essere nati nello
stesso anno. Nell’insieme delle frazioni ridotte ai minimi termini: avere lo stesso denominatore. d Nell’insieme dei numeri interi: non avere divisori comuni. e Nell’insieme dei numeri naturali: essere maggiore o uguale. f Nell’insieme dei numeri interi: essere di segno diverso.
[a, c, f, g, h]
c
[a, b, c, e]
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a a R b ⇔ a è perpendicolare a b. [simmetrica] b a R b ⇔ a interseca b. [riflessiva, simmetrica]
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Quali delle seguenti relazioni sono riflessive? a a R b ⇔ a è il marito di b, definita in un
insieme di persone. b a R b ⇔ a è più vecchio di b, definita in un insieme di persone. c a R b ⇔ a non è più vecchio di b, definita in un insieme di persone. d a R b ⇔ a è minore di b, definita nell’insieme N. e a R b ⇔ a non è minore di b, definita nell’insieme N. [c, e]
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Quali delle seguenti relazioni, definite nell’insieme delle rette del piano, sono simmetriche? Quali riflessive?
Indica se la relazione R = {(a, a), (a, b), (b, a), (c, b), (b, c)} definita in A = {a, b, c} è simmetrica. Quali coppie le mancano per essere riflessiva? [sì; (b, b), (c, c)]
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La relazione di inclusione stretta A ⊂ B è riflessiva? È simmetrica? E la relazione A ⊆ B è transitiva? [no, no, sì]
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La relazione di parallelismo fra rette di un piano è riflessiva? È simmetrica? È transitiva? [sì, sì, sì]