LEZIONE
3 Le relazioni ESERCIZI 1
Vero V o falso F ?
c
x + y = numero pari
a V F Se due insiemi A e B sono legati da una
d
x + y = numero dispari
e
x è divisore di y
[{(0, 0), (0, 2), (0, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4)}]
b V
c V
d V e V f
V
g V h V
i
l
V
V
m V n V
2
proprietà, si dice che è data una relazione binaria tra A e B. F Una relazione binaria si può rappresentare graficamente con un diagramma a freccia, con un reticolo o con una tabella a doppia entrata. F Una relazione R definita in un insieme A non vuoto è riflessiva se per ogni x e y ∈ A si ha x R y. F La scrittura xRy∧yRz⇒xRz,∀ x,y,z rappresenta la proprietà transitiva. F Una relazione che lega un elemento a se stesso è simmetrica. F Una relazione R è di equivalenza se è riflessiva, simmetrica, transitiva. F Una relazione R di equivalenza è anche una relazione d’ordine. F Si dice dominio di una relazione tra A e B l’insieme degli elementi di A che sono in relazione con almeno un elemento di B. F Si dice codominio di una relazione tra A e B l’insieme degli elementi di B che sono corrispondenti di almeno un elemento di A. F Data una relazione R tra A e B la relazione inversa o reciproca si indica con R–1 ed è una relazione tra B e A. F Una funzione è necessariamente una corrispondenza univoca. F Una corrispondenza nella quale ad ogni elemento ne corrispondono due non è una funzione.
Dati gli insiemi A = {0, 1, 2} e B = {0, 2, 4}, scrivi e rappresenta graficamente mediante un diagramma cartesiano o sagittale l’insieme delle coppie (x, y), con x ∈ A, y ∈ B, determinate dalle seguenti relazioni tra A e B: a b
x=y x+y=4
[{(1, 0), (1, 2), (1, 4)}] [{(1, 0), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4)}] ∅] x e y sono entrambi dispari [∅ ∅] x+y=7 [∅ h y = 2x [{(0, 0), (1, 2), (2, 4)}] i x = 1 y [{(0, 0), (1, 4)}] f g
4
3
Sono dati gli insiemi A = {2, 3, 6, 7, 9, 15} e B = {1, 2, 3, 4, 5}; determina le coppie (x, y) con x ∈ A ed y ∈ B per le quali risulta x = 3y. Rappresenta la relazione con un diagramma cartesiano.
4
Dati gli insiemi A = {3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 3}, rappresenta le seguenti relazioni in forma tabulare e cartesiana, determinandone il dominio D e codominio C. a
R1 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x > y}
b
R2 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x doppio di y}
c
R3 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x multiplo di y}
d
R4 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x divisore di y}
[D1 = {3, 4, 5, 6}; C1 = {1, 2, 3}] [D2 = {4, 6}; C2 = {2, 3}]
[D3 = {3, 4, 5, 6}; C3 = {1, 2, 3}] [D4 = {3}; C4 = {3}]
5
Determina per quali tra le seguenti coppie vale la relazione R così definita: (a : b) R (c : d) ⇔ a · d = b · c. a c e
(3 : 4) e (3 : 1) (3 : 4) e (6 : 8) (1 : 2) e (2 : 1)
b d f
(0 : 4) e (1 : 4) (2 : 3) e (3 : 4) (–3 : 2) e (3 : 2) [c]
[{(0, 0), (2, 2)}] [{(0, 4), (2, 2)}]
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