00 Triennale 2010 v.2
27-11-2009
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Le relazioni
LEZIONE 3
riflessiva, perché a R a; simmetrica, perché se a R b allora b R a; transitiva, perché se a R b e b R c allora a R c. La relazione R è di equivalenza e le classi di equivalenza sono gli insiemi: ⎪⎧ 3 9 7 8 1 ⎪⎫ C1 = ⎪⎨ , , , , ⎪⎬ ⎪⎪⎩ 4 4 4 4 4 ⎪⎭⎪
⎪⎧ 5 12 11 C2 = ⎪⎨ , , , ⎪⎪⎩ 7 7 7
1 ⎪⎫⎪ ⎬ 7 ⎪⎪⎭
C3 = {7, 8}.
L’insieme quoziente è A/R = {C1 , C2 , C3 }
7 Relazione d’ordine Una relazione R definita su un insieme A non vuoto è una relazione di ordine largo se gode delle proprietà: • riflessiva • antisimmetrica • transitiva Una relazione R definita su un insieme A non vuoto è una relazione di ordine stretto se gode delle proprietà: • antiriflessiva • antisimmetrica • transitiva ESEMPI
• È dato l’insieme A = {x ∈ N | x ≥ 1} e la relazione R così definita: aRb⇔a>b Studiamo le proprietà della relazione e verifichiamo se è relazione d’ordine. La relazione R è: antiriflessiva, infatti nessun numero naturale è maggiore di se stesso; antisimmetrica, infatti se a > b non può essere b > a; transitiva, infatti se a > b e b > c sicuramente a > c. La relazione è di ordine stretto.
• È dato l’insieme A = {x ∈ N | x ≥ 1} e la relazione R così definita: a R b ⇔ a è multiplo di b. La relazione R è: riflessiva, infatti ogni numero naturale è multiplo di se stesso secondo 1; antisimmetrica, se a è multiplo di b non può essere b multiplo di a se a è diverso da b; transitiva, infatti se a è multiplo di b e b è multiplo di c, sicuramente a è multiplo di c. La relazione è di ordine largo. 51