LaTuaMatematica_Algebra

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A. Calvi G. Panzera S. Morone

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CORSO DI MATEMATICA PER LA SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO

di Anna Calvi, Gabriella Panzera, Simona Morone

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© 2010 ELi - La Spiga Via Soperga, 2 Milano Tel. 022157240 info@laspigamodern.com ELi Via Brecce − Loreto Tel. 071750701 info@elionline.com

Coordinamento editoriale Beatrice Loreti Redazione Niccolò Terzi Art director Marco Mercatali Responsabile di produzione Francesco Capitano Progetto grafico e impaginazione Alberto Sangiorgi Copertina Adami Design

La casa editrice ringrazia Sara Gentili, Stefania Senigagliesi e Francesco Tramannoni per il contributo fornito nella revisione degli esercizi del corso La tua matematica.

Stampato in Italia presso Grafiche Flaminia - Foligno 10.83.067.0 Algebra + Geometria 3 ISBN 978-88-468-2818-7 Guida per l'insegnante ISBN 978-88-468-2796-8 Disponibili anche separatamente Algebra ISBN 978-88-468-2792-0 Geometria 3 ISBN 978-88-468-2814-9

Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzione totale o parziale così come la sua trasmissione sotto qualsiasi forma o con qualsiasi mezzo senza l’autorizzazione scritta della casa editrice.

La casa editrice La Spiga e l’ambiente La casa editrice La Spiga usa carta certificata FSC per tutte le sue pubblicazioni. È un’importante scelta etica, poiché vogliamo investire nel futuro di chi sceglie ed utilizza i nostri libri sia con la qualità dei nostri prodotti sia con l’attenzione all’ambiente che ci circonda.

Un piccolo gesto che per noi ha un forte significato simbolico.

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PRESENTAZIONE ■ Struttura del corso In ottemperanza alle “Indicazioni per il Curricolo” emanate dal Ministero della Pubblica Istruzione nel 2007, il corso è stato strutturato in: due tomi di aritmetica e due di geometria per il biennio; un tomo di algebra e uno di geometria per la classe terza; un volume valido per tutto il triennio con quei contenuti a valenza trasversale quali: gli insiemi; le operazioni binarie e le strutture algebriche; le relazioni; gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, la notazione esponenziale e standard, l’ordine di grandezza; i grafici; elementi di statistica; cenni di logica; elementi di calcolo delle probabilità.

Ciascun tomo del corso LA TUA MATEMATICA si compone di SEZIONI, che comprendono, a loro volta, le LEZIONI necessarie alla trattazione completa di ciascuna tematica.

Ogni lezione si apre con l’indicazione di: PREREQUISITI necessari ad affrontare i contenuti proposti; OBIETTIVI da conseguire; CONTENUTI in essa trattati.

La trattazione della teoria adotta un linguaggio rigorosamente scientifico, ma viene sempre proposta in modo semplice e comprensibile da parte di tutti gli alunni; le definizioni e le regole sono graficamente evidenziate non solo per ragioni estetiche, ma soprattutto per favorire quegli alunni che prediligono lo stile cognitivo di tipo visivo.

Al termine dell’esposizione di un contenuto vengono svolti per intero e commentati uno o più esercizi esemplificativi e significativi del concetto da apprendere (ESEMPIO).

Al fine di permettere agli alunni una verifica immediata dell’avvenuta comprensione, agli esempi seguono gli STOPANDGO, batterie di esercizi di rapida esecuzione, da svolgere in classe autonomamente o dietro la guida dell’insegnante; proprio per questo motivo, data anche la loro semplicità, si è deciso di riportare solamente i risultati di quelli più elaborati.

Le grandi tematiche si concludono spesso con schede storiche, denominate STORIA&MATEMATICA. Molti degli argomenti trattati sono arricchiti da GIOCHI, CURIOSITÀ, APPROFONDIMENTI ed “escursioni” in altri ambiti disciplinari (ILSALTADISCIPLINA), non solo per evidenziare l’aspetto ludico della materia ma, soprattutto, per far comprendere ai ragazzi che, nel quotidiano, si usano di frequente concetti matematici; la matematica, infatti, non è una disciplina astratta e avulsa da tutte le altre, ma concorre alla formazione globale di ciascun alunno. Inoltre, essa ben si presta all’inter- e transdisciplinarità delle sezioni.

Ogni lezione si conclude con la sezione dedicata agli ESERCIZI, sempre presentati secondo una gradualità crescente di difficoltà. Il numero di esercizi è particolarmente elevato, per consentire all’insegnante la più ampia scelta possibile.

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Al termine di ciascuna batteria di esercizi sono presenti: ■ una VERIFICA formativa sull’argomento trattato, che ha lo scopo di avere un CONOSCENZE riscontro immediato sull’avvenuto apprendimento delle ABILITÀ e delle da parte degli alunni; ■ una verifica di RECUPERO, qualora si sia riscontrata la necessità di rivedere con la classe (o parte di essa) alcuni argomenti considerati nel corso della lezione; ■ due schede di VERIFICA SOMMATIVA su tutti gli argomenti affrontati nella sezione (fatta eccezione per il volume I linguaggi della matematica): la prima più facile e la seconda relativamente più complessa, per consentire di adeguare la prova ai diversi livelli di apprendimento degli alunni.

Al termine di ogni tomo del corso (fatta eccezione per il volume I linguaggi della matematica) sono state inoltre inserite alcune schede di POTENZIAMENTO, suddivise secondo le sezioni, per evidenziare, nonché gratificare, i casi di eccellenza.

I risultati delle verifiche formative, di recupero, sommative e delle schede di potenziamento si trovano tra le pagine 369 e 381 del presente volume.

Al termine dei voluni di Aritmetica e di Algebra si trovano le tavole numeriche (numeri primi minori di 10 000; quadrati, cubi, radici quadrate e cubiche e scomposizione in fattori).

Al termine del volume di Algebra è presente una sezione dedicata ai TEMI D’ESAME, esercizi destinati alla verifica dell’acquisizione dei contenuti affrontati nel corso della classe terza e, quindi, preparatori per l’Esame di Stato.

Al termine del volume Geometria 1 è presente un’appendice, con relativi esercizi, dedicata all’applicativo Cabri-géomètre II, software che facilita l’apprendimento dei concetti fondamentali legati alla geometria piana.

Il corso LA TUA MATEMATICA è inoltre corredato di: ■ un CD-ROM interattivo, così articolato: • esercizi da svolgere, svolti e guidati, suddivisi per sezione • una sezione di giochi e curiosità matematiche • una selezione di simulazioni della Prova Nazionale ■ una esaustiva presentazione del corso, unitamente a tutte le necessarie

indicazioni metodologiche e al materiale appositamente predisposto per essere fotocopiato e sottoposto agli alunni si trova nella guida per l’insegnante.

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INDICE SEZIONE A I numeri e le operazioni in R 1 L’insieme dei numeri relativi 1 I numeri relativi

LEZIONE

■ Rappresentazione grafica dei numeri relativi ■ Proprietà dei numeri relativi ■ Confronto di numeri relativi ESERCIZI VERIFICA RECUPERO 2 Le operazioni con i numeri relativi 1 Addizione e sottrazione

LEZIONE

■ Addizione ■ Sottrazione ■ Moltiplicazione ■ Divisione ■ Proprietà delle operazioni algebriche ■ Elevamento a potenza ■ Estrazione di radice 2 Espressioni con i numeri relativi ESERCIZI VERIFICA RECUPERO VERIFICA SOMMATIVA 1 VERIFICA SOMMATIVA 2

3 Prodotti notevoli

8 8 10 10 13 14 19 21 22 23 23 25 27 29 31 32 34 35 37 71 73 74 75

SEZIONE B Il calcolo letterale 3 I monomi 1 Il calcolo letterale 2 I monomi

LEZIONE

■ Il grado di un monomio 3 Operazioni con i monomi ■ Addizione e sottrazione ■ Moltiplicazione ■ Divisione ■ Elevamento a potenza ■ Espressioni con i monomi ESERCIZI VERIFICA RECUPERO 4 I polinomi 1 I polinomi

LEZIONE

■ Grado di un polinomio ■ Polinomio ordinato, completo, omogeneo 2 Operazioni con i polinomi ■ Somma algebrica ■ Moltiplicazione ■ Divisione ■ Scomposizione di un polinomio

■ Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza (a + b) · (a − b) ■ Quadrato di un binomio (a + b)2 ■ Cubo di un binomio (a + b)3 ■ Quadrato di un polinomio ■ Potenza ennesima di un binomio

78 79 81 84 85 85 86 87 87 88 89 116 118 120 120 121 122 124 124 125 127 129

ESERCIZI VERIFICA RECUPERO VERIFICA SOMMATIVA 1 VERIFICA SOMMATIVA 2

130 130 131 132 133 134 135 159 161 162 164

SEZIONE C Equazioni, disequazioni e problemi 5 Le equazioni 1 Identità ed equazioni 2 Equazioni equivalenti 3 Principi di equivalenza

LEZIONE

4 5 6 7

■ 1° principio di equivalenza ■ La legge del trasporto ■ Soppressione dei termini uguali ■ 2° principio di equivalenza ■ Cambiamento dei segni o moltiplicazione per (−1) ■ Eliminazione dei denominatori Risoluzione di un’equazione di 1° grado Verifica di un’equazione Discussione di un’equazione di 1° grado Particolari equazioni di 2° grado ■ Polinomio di 2° grado privo del termine noto ■ Polinomio di 2° grado privo del termine di 1° grado ■ Polinomio di 2° grado completo ESERCIZI VERIFICA RECUPERO

6 La risoluzione di problemi mediante equazioni 1 Risoluzione algebrica dei problemi

LEZIONE

■ Impostazione dell’equazione ■ Risoluzione e discussione ESERCIZI VERIFICA RECUPERO 7 Le disequazioni 1 Disuguaglianze e disequazioni 2 Disequazioni equivalenti

LEZIONE

■ 1° principio di equivalenza ■ La legge del trasporto ■ Soppressione dei termini uguali ■ 2° principio di equivalenza ■ Cambio di segno di tutti i termini

168 168 170 170 170 171 171 172 172 173 173 175 176 177 177 178 179 180 193 195 196 196 197 197 202 212 213 214 214 215 215 216 216 216 216

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INDICE 3 Risoluzione di una disequazione di 1° grado ESERCIZI VERIFICA RECUPERO VERIFICA SOMMATIVA 1 VERIFICA SOMMATIVA 2

217 221 230 231 232 234

■ Metodo grafico ■ Metodo algebrico

SEZIONE D Il piano cartesiano, le funzioni, le coniche LEZIONE

8 Il piano cartesiano

1 Il piano cartesiano ortogonale 2 Le trasformazioni geometriche sul piano cartesiano

3

4 5 6

■ Simmetria assiale o ribaltamento ■ Simmetria centrale ■ Traslazione Distanza tra due punti ■ I due punti sono estremi di un segmento parallelo all’asse x ■ I due punti sono estremi di un segmento parallelo all’asse y ■ I due punti sono estremi di un segmento inclinato rispetto agli assi Coordinate del punto medio di un segmento Rappresentazione e studio di figure piane Omotetie e trasformazioni affini sul piano cartesiano ■ Omotetia ■ Trasformazione affine ESERCIZI VERIFICA RECUPERO

LEZIONE

6 L’ellisse 7 La circonferenza 8 L’iperbole 9 La parabola 10 Appartenenza di P(x; y) a una conica 11 Intersezione tra due curve

APPROFONDIMENTO: APPLICAZIONI PRATICHE DELLE FUNZIONI

238 238 242 242 244 246 248 248 249 250 251 252 255 255 256 258 273 275

■ Rappresentazione della proporzionalità diretta ■ Il moto uniforme ■ L’interesse semplice ■ La prima legge di Ohm ■ Dipendenza lineare ■ Rappresentazione della proporzionalità inversa ■ La prima legge di Ohm - seconda applicazione ■ La proporzionalità quadratica 12 Schema riassuntivo sulle funzioni e la loro rappresentazione grafica ESERCIZI VERIFICA RECUPERO VERIFICA SOMMATIVA 1 VERIFICA SOMMATIVA 2

294 295 297 299 301 302 302 302 304 304 304 305 307 308 309 310 310 312 313 328 329 330 332

TEMI D’ESAME

A B C D E

Algebra Geometria solida Geometria analitica Probabilità e statistica Concetti fondamentali delle osservazioni scientifiche

336 342 346 351 354

9 Le equazioni e le funzioni sul piano cartesiano 276

1 Le funzioni 2 La retta

■ Retta passante per l’origine: y = mx ■ Retta generica: y = mx + q ■ Rette parallele e rette perpendicolari 3 Rette particolari ■ Retta coincidente con l’asse x ■ Retta coincidente con l’asse y ■ Rette parallele all’asse x ■ Rette parallele all’asse y ■ Bisettrice del 1° e del 3° quadrante ■ Bisettrice del 2° e del 4° quadrante 4 Punto di intersezione tra due rette ■ Metodo grafico ■ Metodo algebrico ■ Equazione della retta passante per due punti 5 Le coniche ■ Il piano α è inclinato rispetto all’asse di rotazione ■ Il piano α è perpendicolare all’asse di rotazione ■ Il piano α è parallelo all’asse di rotazione ■ Il piano α è parallelo a una generatrice r del cono

276 276 276 279 281 284 284 285 285 286 286 287 288 288 289 290 291 292 292 293 293

POTENZIAMENTO SEZIONE

A

LEZIONI

1-2

B LEZIONI 3-4 SEZIONE C LEZIONI 5-6-7 SEZIONE D LEZIONI 8-9 RISULTATI VERIFICA-RECUPERO-VER. SOMMATIVE SEZIONE A LEZIONI 1-2 SEZIONE B LEZIONI 3-4 SEZIONE C LEZIONI 5-6-7 SEZIONE D LEZIONI 8-9 RISULTATI POTENZIAMENTO SEZIONE A LEZIONI 1-2 SEZIONE B LEZIONI 3-4 SEZIONE C LEZIONI 5-6-7 SEZIONE D LEZIONI 8-9 SEZIONE

Tavole numeriche Numeri primi minori di 10 000 Quadrati, cubi, radici quadrate e cubiche Tavole numeriche e scomposizione in fattori

358 361 364 366 369 370 373 376 379 379 380 380 383 385

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SEZIONE

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A

ALGEBRA

I numeri e le operazioni in R In questa sezione approfondirai i numeri relativi e imparerai a eseguire tutte le operazioni (che giĂ conosci) anche con i numeri dotati di segno positivo o negativo.

i numeri relativi operazioni con i numeri relativi espressioni con i numeri relativi

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LEZIONE

1 L’insieme dei numeri relativi PREREQUISITI • Conoscere il significato di termini e simboli N e Q • Saper operare in N e Q

CONTENUTI • L’insieme dei numeri relativi • Operazioni con i numeri relativi • Espressioni con i numeri relativi

OBIETTIVI • Conoscere l’insieme dei numeri relativi • Saper operare nell’insieme dei numeri relativi

La parola algebra deriva dall’arabo al-giabr, che significa ristabilimento, ricostruzione.

Il calcolo algebrico era già in uso nel 2000 a.C. presso i Babilonesi, i quali erano capaci di risolvere alcuni problemi di primo e di secondo grado, a una o più incognite. I Greci, invece, tentarono di geometrizzare i problemi e quindi trascurarono l’algebra, che fu ripresa e sviluppata da Indiani e Arabi. In Europa giunse grazie al matematico Leonardo Fibonacci.

Originariamente, l’algebra classica nacque con lo scopo di facilitare la risoluzione di problemi e si sviluppò trasformandosi in una teoria che studia le uguaglianze contenenti una incognita. Gli elementi fondamentali per affrontare lo studio di questa disciplina sono i numeri relativi, i monomi, i polinomi, con le relative operazioni, di cui ci occuperemo nel corso di questo anno scolastico.

1 I numeri relativi Nel testo di aritmetica hai già incontrato i numeri negativi, intesi come simmetrici dei positivi rispetto allo zero.

Dalla rappresentazione dei numeri sulla retta orientata si può notare che −1 è simmetrico di +1 rispetto allo zero, −3 è simmetrico di +3 e così via; 0 è simmetrico di se stesso.

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L’insieme dei numeri relativi

LEZIONE 1

−) ci possono apparire concettualAnche se i numeri preceduti dal segno meno (− mente più astratti dei numeri usati solitamente, in realtà essi hanno larga applicazione nella vita pratica.

La temperatura è definita solo se si specifica a che livello si trova rispetto a zero gradi centigradi: il pane cuoce a +200 gradi (200 gradi sopra lo zero), i surgelati si conservano ad una temperatura di −20 gradi (20 gradi sotto lo zero).

L’altitudine del Monte Bianco è di +4810 metri (il riferimento, cioè lo zero, è il livello del mare). +); un bilancio passivo indica un Un bilancio attivo indica la presenza di denaro (+ −), e molti altri potrebbero essere gli esempi tratti dalla quotidianità. debito (− DEFINIZIONE

Si definiscono numeri relativi quei numeri preceduti da segno positivo (+) o negativo (−).

I numeri relativi preceduti dal segno + si chiamano numeri relativi positivi.

I numeri relativi preceduti dal segno − si chiamano numeri relativi negativi.

Vediamo ora di riassumere gli insiemi numerici visti finora e le loro relazioni. insieme Z

⎧ Z+ = N insieme dei numeri interi positivi (numeri naturali) ⎪ ⎨ ⎪ Z− insieme dei numeri interi negativi ⎩

insieme dei numeri razionali positivi (assoluti)

insieme Q

⎧ Q+ ⎪ ⎨ ⎪ Q− ⎩ ⎧ I+ ⎪ ⎨ ⎪ I− ⎩

insieme dei numeri irrazionali positivi (assoluti)

⎧ R+ ⎪ ⎨ ⎪ R− ⎩

insieme dei numeri reali positivi (assoluti)

insieme I

insieme R

insieme dei numeri razionali negativi

insieme dei numeri irrazionali negativi

insieme dei numeri reali negativi

Rappresentiamo questi insiemi con un diagramma di Eulero−Venn.

R

Q

R+

Z

Q+ Z+ = N

I

R− Q−

Z−

I+ I−

9

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I numeri e le operazioni in R

SEZIONE A

NOTA

Il numero +9 si legge più nove.

Il numero −6 si legge meno sei.

Per indicare un numero negativo, bisogna sempre scrivere il segno − davanti al numero, mentre per scrivere un numero positivo il segno + può essere scritto od omesso: la scrittura +13 equivale alla scrittura 13.

■ Rappresentazione grafica dei numeri relativi

Come abbiamo già visto per i numeri razionali, anche per i numeri relativi è possibile effettuare una rappresentazione grafica mediante una retta r sulla quale fissiamo un punto di riferimento 0. Tale retta può essere “percorsa” in due direzioni, verso destra e verso sinistra. Assumeremo come positivo il verso di destra e come negativo quello di sinistra.

B r

A

negativi

positivi

0

Consideriamo ora un’unità di misura, per esempio il centimetro, e facciamo corrispondere a ogni punto della retta un numero reale. Avremo così, per esempio, che il punto A sarà il corrispondente del numero +2, poiché per arrivare ad A, partendo dall’origine O, dobbiamo spostarci di due unità di misura verso destra; analogamente, B sarà il corrispondente di −4: possiamo allora dire che i punti A, B… sono le immagini dei numeri reali relativi.

Naturalmente è possibile rappresentare sulla retta orientata qualunque numero reale positivo, negativo, razionale, irrazionale. −9 2

−2 − 2

0

+1

+2

+3 + 7 2

■ Proprietà dei numeri relativi

L’aggettivo “relativo” sta proprio ad indicare che il valore quantitativo del numero dipende dalla presenza del segno: una cosa è dire che abbiamo un credito di 1000 euro (+1000 euro), ben altra cosa è dire che abbiamo un debito di 1000 euro (−1000 euro). Se non consideriamo chi deve dare e chi deve avere, possiamo dire che ci sono in movimento 1000 euro.

DEFINIZIONE

La parte numerica di un numero relativo privata del segno si chiama modulo o valore assoluto.

Possiamo perciò dire che un numero relativo è costituito da due componenti: il segno e il modulo, o valore assoluto.

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L’insieme dei numeri relativi

LEZIONE 1

ESEMPI

• +5 è formato dal segno + e dal valore assoluto 5 • −7 è formato dal segno − e dal valore assoluto 7 Per indicare che il modulo di −3 è 3 si scrive: ⏐−3⏐ = 3 dove le due “sbarrette” che isolano il numero relativo rappresentano il simbolo del modulo.

Abbiamo già visto che un numero relativo può essere positivo o negativo, a seconda che sia preceduto dal segno + o dal segno −, mentre il modulo è il numero privo di segno.

Se consideriamo ora due numeri relativi con lo stesso segno e con modulo diverso, possiamo dire che sulla retta orientata “vanno dalla stessa parte, hanno lo stesso verso”. −3

−1

+2

0

+5

Numeri relativi con queste caratteristiche si dicono concordi.

Analogamente, se prendiamo due numeri relativi di segno opposto, uno positivo e uno negativo, e con modulo diverso, avremo sulla retta orientata “due valori che hanno verso differente”. −3

0

+1

Numeri relativi con queste caratteristiche si dicono discordi.

Se consideriamo ora due numeri relativi con i segni opposti e con lo stesso modulo avremo, sulla retta orientata, due punti equidistanti dal punto O, ovvero simmetrici rispetto allo zero. −2

0

+2

Numeri relativi con queste caratteristiche si dicono opposti o simmetrici.

Riassumiamo quanto detto: DEFINIZIONI

Due numeri relativi sono concordi se sono preceduti dallo stesso segno.

Due numeri relativi sono discordi se sono preceduti da segni diversi.

Due numeri relativi sono opposti se sono discordi e hanno lo stesso valore assoluto, cioè lo stesso modulo.

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I numeri e le operazioni in R

SEZIONE A

Possiamo anche aggiungere la seguente definizione.

DEFINIZIONE

Due numeri relativi sono uguali se sono concordi e hanno lo stesso valore assoluto, cioè lo stesso modulo.

STOPANDGO

1

Esprimi con un numero relativo le seguenti quantità.

h

Il monte Everest è alto circa 8840 metri .............................................................

a

Il termometro segna 24 gradi sopra lo 0 .............................................................

i

Mancano 15 secondi al lancio del missile .... .............................................................

b

Ho guadagnato 30 euro ...........................

l

Ho vinto 50 euro .....................................

c

Il relitto della nave si trova ad una profondità di 800 metri ...........................................

d

Paolo è dimagrito di 3 chili .......................

e

Ho perso 2 euro ......................................

f

Sono salito di 12 scalini ...........................

g

Roma fu fondata nel 753 a.C. ...................

2

Utilizzando il quadretto come unità di misura, scrivi il numero relativo corrispondente a ciascun punto blu.

0

3

Utilizzando il quadretto come unità di misura, rappresenta sulla retta orientata i seguenti numeri. −2 −1 5 −3 +7 +2 +10 −8 −7 +12

0 4

Vero V o falso F ? a V F

−7 ∈ Z

b V F

+3 ∈ Z

c V F

−3 ∈ N

f

5

7

Date le seguenti coppie di numeri, indica se sono concordi C , discordi D , opposti O , uguali U .

C D O U −4 e +9 C D O U −4 e −5 C D O U +3 e +2 C D O U −6 e +6 C D O U −8 e −2 C D O U +4 e +4

4∈Q

V F 6 ∈ R−

Completa. ⏐−3⏐ =

⏐+7⏐ =

⏐+4⏐ =

⏐− 4 ⏐ =

3

⏐+ 5 ⏐ =

2

⏐−2⏐ =

⏐−0,5⏐ =

⏐+ 7 ⏐ =

Date le seguenti coppie di numeri, indica se sono concordi C , discordi D , opposti O , uguali U . −7 e −3 C D O U +4 e −1 C D O U −11 e +11 C D O U +4 e −4 C D O U +3 e −3 C D O U −3 e +3 C D O U +5 e −8 C D O U −6 e −6 C D O U −13 e −13 C D O U +2 e −10 C D O U

2 ∈ R−

d V F e V F

6

⏐−1⏐ =

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L’insieme dei numeri relativi

LEZIONE 1

■ Confronto di numeri relativi

L’insieme dei numeri relativi è un insieme ordinato, ossia è sempre possibile stabilire, tra due numeri qualsiasi, qual è il maggiore e qual è il minore; in altri termini, è sempre possibile confrontarli.

A tale scopo basta rappresentare i numeri su una retta orientata, sulla quale un numero è maggiore di un altro se si trova alla sua destra, è minore se si trova alla sua sinistra. −5

−3

−1

+3

0

+5

Osservando la retta precedente, possiamo stabilire le seguenti disuguaglianze. −5 < −3

+3 < +5

0 > −1

−5 < +3

+5 > −1

0 < +5

REGOLA

Ogni numero relativo negativo è minore di ogni positivo.

Ogni numero relativo positivo è maggiore di ogni negativo.

Dati due numeri positivi, è minore quello con modulo minore ed è maggiore quello con modulo maggiore.

Dati due numeri negativi, è minore quello con modulo maggiore ed è maggiore quello con modulo minore.

Il numero 0 è maggiore di ogni numero negativo ed è minore di ogni numero positivo.

STOPANDGO

1

Inserisci il giusto simbolo (<, =, >) fra i numeri delle seguenti coppie. −5 0 c 8

a

b

2

3

+3 +12 −8

4 5 f −27

d e

1 −5 −27

1 6 0

g h i

+5 −3 n −4 l

m

−9 +3 +5

Inserisci il giusto simbolo (<, =, >) fra i numeri delle seguenti coppie. a

−

1 4

3 5

c

−

1 2

−

6 7

e

+

3 8

−

3 4

g

−

1 2

−

b

−

1 7

2 3

d

−

1 4

−

5 5

f

+

5 4

−

7 2

h

−

5 3

1 4

Disponi in ordine crescente i seguenti numeri relativi. −10 +7 −5 −3 0 +5 −1 −4 +8 +13 11

4

0 +6 +3

Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri relativi. −14 +8 −3 +11 0 +5 −7 −9 +2 +1

13

5 4

−7 0 q 7 o

p

+4 −5 −2

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LEZIONE

1 L’insieme dei numeri relativi ESERCIZI 1

3

Completa le seguenti definizioni. a b c d

e f g h

Un numero relativo è ................................ ..............................................................

Un numero positivo è ................................ ..............................................................

Un numero negativo è .............................. ..............................................................

Il modulo, o valore assoluto, di un numero relativo è................................................. ..............................................................

Due numeri relativi sono concordi se ........... ..............................................................

Due numeri relativi sono discordi se ............ ..............................................................

Due numeri relativi sono opposti se............. ..............................................................

Due numeri relativi sono uguali se............... ..............................................................

Le seguenti grandezze sono espresse da numeri relativi positivi P o negativi N ? a P N b P N c P N d P N e P N f

i l

4

b

Vero V o falso F ?

c a V F b V F c V F d V F e V F f

V F

g V F h V F i

V F

l

V F

d

Due numeri discordi hanno lo stesso segno.

Due numeri uguali sono concordi.

Due numeri concordi sono uguali.

Due numeri concordi possono essere uguali.

Due numeri opposti hanno lo stesso modulo.

Due numeri uguali hanno lo stesso valore assoluto.

Ogni numero intero negativo è minore di ogni numero intero positivo.

Ogni numero intero relativo è maggiore di zero.

Ogni numero intero relativo diverso da zero o è positivo o è negativo.

Due numeri relativi sono opposti se hanno segno contrario.

e f g h i

Pitagora 580 Cartesio 1596 Gauss 1777 Euclide 300 Talete 627 Lagrange 1736 Fibonacci 1180 Archimede 287 Galileo 1564

a.C. d.C. d.C. a.C. a.C. d.C. d.C. a.C. d.C.

5

Scrivi quattro numeri positivi interi e quattro negativi interi, quindi rappresentali su una retta orientata.

6

Disegna una retta orientata e disponi i seguenti numeri relativi in ordine crescente. +9

7

−12

−3

+4

−5

Utilizzando il quadretto come unità di misura, rappresenta sulla retta orientata i seguenti numeri. −2

14

P N P N

Disegna sul tuo quaderno una retta orientata e rappresenta le seguenti date di nascita di alcuni illustri matematici. a

2

P N

g P N h P N

La profondità del mare Mediterraneo.

La temperatura registrata il 1° aprile a Milano.

La profondità di un pozzo.

L’anno della scoperta dell’America.

Un debito di € 50.

La temperatura di ebollizione dell’acqua.

Un credito di € 35.

Una spesa di € 10.

Una perdita di peso di 10 kg.

L’altezza del monte Cervino.

−1 +5 −3 +7 +2 +10 −8 −7 +12

01 Algebra 2010 001-070 v2 ok

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16:15

Pagina 15

L’insieme dei numeri relativi

LEZIONE 1 ESERCIZI

8

Date le seguenti rette orientate, abbina a ogni punto il corrispondente numero relativo (unità = 1 quadretto).

•

9

10

•

•

•

•

•

•

•

•

O

•

•

O

•

•

•

•

Rappresenta i seguenti numeri relativi su una retta orientata (unità = 1 quadretto). a

−3 +1 +4 −5 −1 +3 +7 −8 −10 +2

b

−5 +

3 2

−

1 2

3 6

4

0 −7 +2 3

5 2

a

Scrivi due numeri positivi minori di +4 e due numeri relativi maggiori di +4.

16

Scrivi tre numeri relativi maggiori di +1 e tre minori di +1.

17

Scrivi due numeri relativi compresi tra −5 e +2.

18

Scrivi tre numeri relativi compresi tra −

19

Dato l’insieme M = {−4, −1, +2, 0, +6, +9, −3}, determina il suo sottoinsieme A formato dai numeri minori di −1.

20

La seguente tabella riporta le temperature registrate a Novara alla stessa ora nei primi dieci giorni del mese di febbraio.

Temperatura in °C −3 −2 0 +1 +2 −6 −4 +2 +6 +5

Scrivi il numero relativo corrispondente alle lettere (unità = 1 quadretto).

•

•

•

•

•

G

E

C O A B

D

•

•

•

•

•

•

B O A

•

•

•

D E

•

21

|+12| = ..............

|+15| =

..............

|−2| =

..............

| 47 | =

..............

|−7| =

..............

|−3| =

..............

| |

1 − = ..............

2

..............

|1,7| =

..............

| 2 | = ..............

|1,1| =

..............

|8| =

22

Scrivi tutti i numeri interi relativi compresi tra −7 e +10.

Numero relativo −3

| |

..............

..............

Giorno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Completa le seguenti tabelle.

9 + = ..............

5

| 53 | =

|6| =

1 5 e− .

2 4

In quale giorno si è registrata la temperatura minima? In quale giorno la massima?

G

Completa le seguenti uguaglianze.

13

15

+2 −4 +8 −6 +7 −3 −13 −10 +4 +5,6 −0,5 −0,8 +0,3 +3,8 −1,2

F C

12

Scrivi tre numeri relativi minori di −8 e tre numeri negativi maggiori di −8.

Rappresenta i seguenti numeri relativi su una retta orientata (unità = 1 quadretto).

b

11

•

14

+5 −

1 2

−

3 5 5 7

1,2

15

Segno

Valore assoluto

01 Algebra 2010 001-070 v2 ok

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16:15

Pagina 16

I numeri e le operazioni in R

SEZIONE A

23

Numero relativo

Segno

27

Valore assoluto

+7 +6

a

−3

+4

g

5

+8

4

b

1

−4

h

−6

−8

− 4

c

7

+7

i

−1

−6

+5

d

0

−8

l

8

0

1 2

e

−13

−14

m

−9

−7

f

−5

−5

n

2

−2

− 24

Completa. a b c

d

e

25

26

Inserisci il giusto simbolo (<, =, >) fra i numeri delle seguenti coppie.

Scrivi l’opportuno segno di disuguaglianza >, <) tra i numeri delle seguenti coppie. (>

Ogni numero negativo è sempre minore ..............................................................

Ogni numero positivo è sempre maggiore ..... ..............................................................

Dati due numeri positivi, è minore ............. .............................................................. ed è maggiore ..........................................

Dati due numeri negativi, è minore.............. .............................................................. ed è maggiore ..........................................

Il numero 0 è ...........................................

28

29

Inserisci un opportuno valore che renda false le seguenti disuguaglianze.

a

7

3

d

−100

−50

b

−2

−4

e

−101

−102

c

−5

+2

f

+8,5

+8,51

a

1 3

−

1 8

d

−5

−

1 10

b

−

1 3

−

1 8

e

−

3 7

−

4 5

c

−

1 3

+

1 8

f

−

5 7

−

5 8

a

0 < ............

g

+ 100 > .........

a

+2

0,1

d

−1

b

4 > .............

h

−7 > ..............

b

0,7

−0,2

e

+0,6

0,8

c

+22 > ..........

i

0 > ................

c

−0,3

−0,04

f

−0,6

−0,8

d

−17 < .........

e

−1 > ..........

0 < ................

2 m + < ............

3

f

−

7 > .........

4

30

l

n

+

31

1 < ............

5

a V F b V F c V F

Vero V o falso F ? a V F b V F c V F d V F e V F f

V F

g V F h V F

Vero V o falso F ?

d V F e V F

−2 < 10 13 ≥ −4 −2 > −1 −5 < 3 < 4 −7 < −8 < −12 −3 > −2 −18 ≥ −21 +18 ≥ +21

f

V F

g V F h V F i

V V m V n V o V l

16

F F F F F

13 < 4 −2 > 10 53 < −5 −16 < −10 −4 < 61 16 > −31 −7 < −15 10 > 7,5 4 < −3,2 0,6 > −2 7,8 < −7 −7 < −8,2 −13 > 0

0,008

01 Algebra 2010 001-070 v2 ok

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16:15

Pagina 17

L’insieme dei numeri relativi

LEZIONE 1 ESERCIZI

p V F q V F r

V F

s V F t V F u V F v V F z V F

32

34

<, =, >) fra i numeri Inserisci il giusto simbolo (< delle seguenti coppie. a

−

1 2

+

2 3

h

+

1 4

−

1 5

2 b + 3

1 − 6

5 i 6

3 c + 2

2 + 7

5 l + 4

5 − 3 −5

d

33

110 < −12 −22 < 44 −13 > −6 −14 < −7 −3 > −10 4 > −4 12 < 0 −0,3 > −0,41

2 5

+

7 6

m

−

4 3

−

1 4

e

−

1 5

−

5 3

n

f

+

3 8

−

2 3

o

g

−

3 5

−

4 6

p

4 2 −

4 3

a

0 < ............ −4 > .......... c +22 > ......... d −17 < .........

g

b

h

+100 > ........... −7 > .............. i 0 > ................ l 0 < ................

e

−1 > ..........

m

f

−

2 < ............

3 1 n + < ............

5

7 > .........

4

−2

−10

−7

3 4

39

−4 +6 −1 0 +4 −

−

3 4

40

−2 −5 +3 −8 −

1 3

41

3 4

1 2

−

42

−6

+3

43

−3,5

−1

+2,4

44

_ 1,3

15 2

+3

i

+4 < ..............

c

−2 > ..........

l

0 > ...............

3 m − > ............

5

e

0 < ............

n

+ 3 < ..........

f

+14 < .........

o

−7 > ..............

g

−1 < ..........

p

+1 > ..............

1 2

3 4

1 3 1 −2 +3,8 − − +7 −6 +0,4 +5 −1 3 4 2

+

+5 > ..........

−

4 1 +3,5 +0,5 − −17 +0,3 −4 +1 +2 5 2

+

b

−

+11 −

38

8 < ...............

1 2

37

0

−1

7 4

−

3 4

−

+

5 4

3 7

h

−4

36

1 4

+

3 2

+5

+

+8 > ..........

5 2

35

0

a

+

Disponi in ordine crescente i seguenti numeri.

Inserisci un opportuno numero relativo che renda vere le seguenti disuguaglianze.

1 d + > .........

2

Inserisci un opportuno numero relativo che renda false le seguenti disuguaglianze:

5 4

0 −1

+1

0

2 3

+1 − 1 2

−

5 4

−

1 2

−1

−

1 2

+2,1 −2

2 4

1 2

0 1

3 4

−7

2 3

−1

3 1 1 − 0 10 10 10 1 2

−

−1,19 +1

+

+

7 2

−1,11

0

+

0

5 4

1 6

+

3 2

Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri.

17

45

+3 −2 +8 −3 +10 −4 +5 −7 +1 −6

46

+

3 4

−

1 2

+

5 7

+

1 15

−

1 3

+

1 5

−3

+10

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Pagina 18

I numeri e le operazioni in R

SEZIONE A

7 5

5 7

+

+

1 15

3 4

+21

−

48

−5 −

1 4 2 18 3 +8 −12 −16 − + −8 − + 4 3 5 15 20

49

−6 −7 +10 +2 −

50

0 −2,4 +16,1 −

51

−3,2

−

−20,5

+

−1

2 −1 +21 −57 +6 5

6 7 +3,7

+

3 5 −18

53

−41 0 −3,8 +15 +30 −5 +7 −2 −1

54

1 3 − 15 5

55

Scrivi un numero concorde con quello dato. a

−

12 5 − 7 8

+7 .............

1 .............

5 7 c − .............

4

b

56

+

+7 ............. b +0,5 ............

1 c − .............

3 57

−2 ..................

e

−3 .................

f

+3,5 ...............

+1 .................. e – 3 ..............

d

−7 ............. b +10 .............

5 c + .............

2

+1

c C D O

−7; −8

d C D O

+

e C D O

+5; −5

f

g C D O

−10; + 100

h C D O

C D O −10; +100

+0,7................ e − 7 ..............

d

f

−1,1 ...............

−5

−2

+1,5

C D O +5; +6

+9; +8

C D O +1; −1

n C D O

−9; +12

61

Scrivi una coppia di numeri relativi discordi e con i moduli uno multiplo dell’altro.

62

Scrivi tre coppie di numeri relativi discordi tali che i minori di ogni coppia abbiano come modulo 15 e i maggiori abbiano un valore assoluto maggiore di 3 e minore di 10.

63

Vero V o falso F ? Cerca e correggi gli eventuali errori. a V F

−2 > −1

b V F

|−5| = −5

c V F

+3 > +2

d V F

− 2 >+ 2

i

V F

l

V F

+15

18

+100; −102

1 1 ;+ 2 3

Scrivi una coppia di numeri relativi concordi tali che il modulo del primo sia doppio di quello del secondo.

m V F

10 + 2

l

1 5

60

h V F

Tra i seguenti numeri relativi cerca le coppie formate da numeri opposti. +2

+3; −

e V F

−2 ..................

Scrivi gli opposti dei seguenti numeri relativi.

3 − 2

b C D O

g V F

a

58

3 4

+5 0 2 3 10,1

d

f

+7; +3

m C D O

Scrivi un numero discorde con quello dato. a

a C D O

i

+14

2 −2 +13 −16,8 +10,6 −12 5

−9 +7 −14 +

1 4

Contrassegna le coppie di numeri concordi C , le coppie di numeri discordi D e le coppie di numeri opposti O .

+10,5

52

+

59

+9

2 3 + +0,9 +2,14 −16 −1 7 7

24 1 − 30 14

+15

+21,4

−

1 4

47

1 1 |+3| = 3 f V F + = − 5 5 L’opposto di +5 è −5.

Due numeri reali positivi sono sempre maggiori di 0.

Due numeri opposti sono anche discordi.

Due numeri relativi discordi sono sempre opposti.

La seguente successione è ordinata secondo i numeri crescenti.

0

−2

+6

+8

−9

+

15 2

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Pagina 19

LEZIONE

1

VERIFICA risultati a pag. 369

CONOSCENZE 1

2

Completa le seguenti definizioni. a

Un numero relativo è ................................. .............................................................. ..............................................................

e

Due numeri relativi sono concordi se ........... .............................................................. ..............................................................

b

Un numero positivo è ................................ .............................................................. ..............................................................

f

Due numeri relativi sono discordi se ............ .............................................................. ..............................................................

c

Un numero negativo è ............................... .............................................................. ..............................................................

g

Due numeri relativi sono opposti se............. .............................................................. ..............................................................

d

Il modulo, o valore assoluto, di un numero relativo è................................................. .............................................................. ..............................................................

h

Due numeri relativi sono uguali se............... .............................................................. ..............................................................

Completa la seguente tabella assegnando ciascun numero all’insieme appropriato.

Z

Q

I

R

Numero Z+ = N

Z−

Q+

Q−

−1 +5 1 −— 2 + 3 3 +— 4 −7 + 5 1 −— 3 6 1 — 4

19

I+

I−

R+

R−

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Pagina 20

VERIFICA risultati a pag. 369 Completa le seguenti tabelle.

3

Numero relativo

Valore assoluto

7

Completa la seguente tabella.

Segno

+7

Numeri relativi

+6

−7

+3

+5

+1

8

−8

1/ 2

−2

−6

−10

−4 − 5 +5 −1/2 4

5

Numero relativo

Valore assoluto

Segno

−2

2

5

−

10

+10

9/ 4

+

11 −4/5

3

−

10 14

+

250

−

Completa le seguenti uguaglianze.

+ 8

Completa. a b c

d

e

Ogni numero negativo è sempre minore........ ..............................................................

Ogni numero positivo è sempre maggiore ..... ..............................................................

Dati due numeri positivi è minore ............... .............................................................. ed è maggiore .......................................... ..............................................................

Dati due numeri negativi è minore............... .............................................................. ed è maggiore ......................................... ..............................................................

Il numero 0 è ........................................... ..............................................................

ABILITÀ 6

Rappresenta con un numero relativo le seguenti situazioni. a b c d e f

Concordi Uguali Discordi Opposti

120 anni dopo la nascita di Cristo 50 metri sotto il livello del mare Una vincita di 500 euro Una collina alta 800 metri Un pozzo profondo 1200 metri Un debito di 2000 euro

.............. .............. .............. .............. .............. ..............

20

9

a

|−7| = ...........

d

|+3| = ..............

b

|−4| =............

e

|+5| = ..............

c

|−18| = ..........

f

|+1| = ..............

d

|− 25 | = ............

e

| − 5 | =...........

|− 12 | = .........

4 b |+ | = ..........

7 a

c

10

| + 7 | = ........

f

| | −

Vero V o falso F ? a V F

+3 è maggiore di +2

b V F

−3 è maggiore di −5

c V F

−4 è maggiore di −2

d V F

+7 è minore di +8

e V F

+4 è minore di 0

f

V F 0 è minore di 4

g V F

−1/3 è minore di −3

h V F

−4 è maggiore di 4

5 = ..........

8

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Pagina 21

LEZIONE

1

RECUPERO risultati a pag. 369

1

a

b

c d

e

f

g

h

2

4

Rappresenta con un numero relativo le seguenti situazioni.

L’utile di una società è di 90 000 euro .............................................................

Il debito di Luigi verso Mario è di 5000 euro .............................................................

Un credito di 350 euro..............................

L’altezza di un monte è 2530 metri .............................................................

La temperatura minima registrata oggi è 7 gradi sotto zero .......................................

Il saldo passivo tra importazioni ed esportazioni per una ditta è 5678 euro .................

3000 metri è la profondità registrata in un punto dell’oceano Pacifico .........................

L’imperatore Augusto nacque nel 63 a.C. .............................................................

E

5

Due numeri relativi sono discordi se ........... ............................................................. b Due numeri relativi sono concordi se .......... ............................................................. c Due numeri relativi sono opposti se............ ............................................................. d Due numeri relativi sono uguali se.............. .............................................................

6

B

0

C

A

D

a

A è immagine del numero relativo ..............

b

B è immagine del numero relativo ..............

c

C è immagine del numero relativo...............

d

D è immagine del numero relativo ..............

e

E è immagine del numero relativo...............

Aiutandoti con la retta orientata disponi in ordine crescente i seguenti numeri. −3

Completa le seguenti definizioni. a

3

Osserva la seguente retta e completa.

+1

0

−4

+7

+2

+3

Aiutandoti con la retta orientata disponi in ordine decrescente i seguenti numeri. −5

+4

−11

+1

−1

+11

+8

−7

7

Conta di due in due da −8 a +8 e scrivi i numeri in ordine crescente.

8

Accanto a ciascun numero relativo scrivine:

Scrivi due numeri relativi discordi .................... a

uno discorde +7

Scrivi due numeri relativi opposti ....................

b

uno concorde −

Scrivi due numeri relativi uguali ......................

c

uno opposto

Scrivi due numeri relativi concordi ...................

21

−1

......................

3 ......................

7

−5

......................

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Pagina 22

LEZIONE

2 Le operazioni con i numeri relativi PREREQUISITI

CONTENUTI

• Saper operare negli insiemi N e Q • Conoscere le priorità degli operatori e delle parentesi in un’espressione

• Operazioni con i numeri relativi • Espressioni con i numeri relativi

OBIETTIVI • Saper operare con i numeri relativi • Saper applicare i procedimenti risolutivi di un’espressione con i numeri relativi

In questa lezione ci occuperemo delle operazioni, e delle relative proprietà, nell’insieme dei numeri relativi. Tale insieme si è ottenuto mediante una simmetria dei numeri naturali, dei numeri razionali e dei numeri irrazionali assoluti, quindi i numeri relativi costituiscono un ampliamento dei numeri assoluti e, di conseguenza, avranno le stesse proprietà; occorrerà tuttavia stabilire le regole per operare con i numeri relativi.

Le operazioni effettuate nell’insieme dei numeri relativi sono dette operazioni algebriche; in esse sono presenti due tipi di segni: il segno dei numeri relativi ( + e − ) e il segno che indica l’operazione (segno operativo + − × : ). segno operativo

(+ 4) (+ 9)

+ ×

(− 3) (− 2)

segno del numero relativo

(− 5) − (+ 8) (− 1 5) : (+ 3)

È bene tenere presente che il segno operativo non può essere seguito immediatamente dal segno del numero relativo; sarà quindi necessario “isolare” il numero relativo e il suo segno con una parentesi rotonda, che potremmo definire “di servizio”.

Più avanti impareremo ad abolire, quando possibile, questo tipo di parentesi.

22

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Pagina 23

Le operazioni con i numeri relativi

LEZIONE 2

1 Addizione e sottrazione ■ Addizione

Il segno operativo + sta ad indicare, sulla retta orientata, uno spostamento a partire dal primo addendo di tante unità quante ne indica il secondo addendo: lo spostamento è verso destra se l’addendo è positivo e verso sinistra se è negativo.

Illustriamo le possibili situazioni.

(+2) + (+5): significa partire da 0, spostarsi verso destra di 2 unità di misura e poi ancora di 5:

0

+2

+7

+2

+5

Come puoi notare, siamo giunti a +7: abbiamo eseguito 2 + 5 = 7, che è la somma dei moduli.

(+2) + (−5): in questo caso partiamo da 0 e ci spostiamo prima di 2 unità di misura verso destra, poi di 5 unità di misura verso sinistra. +2 –3

–5

0

+2

Siamo giunti a −3, abbiamo cioè sottratto i valori assoluti e tenuto il segno del modulo maggiore; quindi (+2) + (−5) = −3.

(+5) + (−2): analogamente al caso precedente, rappresentiamo i due numeri su una retta orientata e otteniamo: +5 0

+3

–2

+5

In questo caso otteniamo (+5) + (−2) = +3.

(−2) + (−5): partiamo da 0 e spostiamoci verso sinistra prima di 2 unità e poi di 5: –7

–5

–2

–2

0

Quindi la somma di due numeri relativi negativi è data dalla somma dei moduli con segno negativo, cioè −2 + (−5) = −7.

23

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I numeri e le operazioni in R

SEZIONE A

REGOLA

La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo concorde ai due numeri che ha per modulo la somma dei moduli.

La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo che ha per modulo la differenza dei due moduli e per segno quello del numero relativo con il modulo maggiore.

La somma di due numeri relativi opposti è uguale a 0.

Per addizionare più numeri relativi si segue la regola già imparata per il calcolo aritmetico: si addizionano i primi due addendi, alla somma ottenuta si aggiunge il terzo addendo e così via, fino ad esaurire tutti i termini.

ESEMPIO

(+8) + (−5) + (−9) + (+2) = = (+3) + (−9) + (+2) = = (−6) + (+2) = −4

STOPANDGO

Esegui le seguenti addizioni.

1

a b c d e f g h

(+7) + (+9) = (−4) + (−7) = (−11) + (−13) = (+13) + (+14) = (−14) + (+3) = (+25) + (−7) = (+20) + (−31) = (−40) + (+55) =

4

2

(+7) + (+4) + (−13) + (−7) + (+1) =

3

(−3) + (+77) + (+11) + (+13) + (−20) + (−4) =

5

[–8]

[74]

24

a

⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎝ + 3 ⎟⎠ + ⎜⎝ + 4 ⎟⎠ =

d

⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎜⎝ − 5 ⎟⎠ + ⎜⎝ − 7 ⎟⎠ =

b

⎛ 2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎝ − 7 ⎟⎠ + ⎜⎝ − 4 ⎟⎠ =

e

⎛ 1⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ + ⎜⎝ + 4 ⎟⎠ =

c

⎛ 5⎞ ⎛ 1⎞ ⎜⎝ − 6 ⎟⎠ + ⎜⎝ + 2 ⎟⎠ =

f

⎛ 3⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎝ + 8 ⎟⎠ + ⎜⎝ − 4 ⎟⎠ =

⎡ 1⎤ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎜⎝ − 7 ⎟⎠ + ⎜⎝ − 4 ⎟⎠ + ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ + ⎜⎝ + 4 ⎟⎠ + ⎜⎝ 144 ⎟⎠ = ⎢⎣ − 2 ⎥⎦

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Le operazioni con i numeri relativi

LEZIONE 2

■ Sottrazione

Come in aritmetica, anche in algebra vale la seguente definizione generale.

DEFINIZIONE

La differenza tra due numeri relativi è quel numero che, addizionato al secondo, dà come somma il primo.

Perciò: (+5) − (−7) = +12, perché (+12) + (−7) = +5.

La differenza tra +5 e −7 è quindi +12, ma allo stesso risultato saremmo giunti anche con l’operazione (+5) + (+7) = +12, per cui possiamo scrivere: (+5) − (−7) = (+5) + (+7) = +12.

Osserviamo che +7 è l’opposto del sottraendo −7.

REGOLA

La sottrazione tra due numeri relativi equivale ad una addizione tra il primo termine e l’opposto del secondo.

ESEMPI

• (+3) − (+7) = (+3) + (−7) = −4 • (−8 ) − (−10) = (−8) + (+10) = +2

• (+5) − (−9) = (+5) + (+9) = +14 • (−13) − (+4) = (−13) + (−4) = −17

Osservando gli esempi precedenti per l’addizione e la sottrazione algebrica, si può notare che una sottrazione tra numeri relativi può essere risolta con un’addizione.

Per questo motivo le due operazioni vengono riunite in un’unica operazione detta addizione algebrica.

DEFINIZIONE

L’addizione algebrica è un’espressione che contiene addizioni e sottrazioni e il cui risultato prende il nome di somma algebrica.

Vediamo ora come procedere per risolvere un’addizione algebrica:

(−7) + (+3) − (−5) − (+6) + (+9) + (−4) − (−2) = Trasformiamo le sottrazioni in addizioni e ciascun sottraendo nel suo opposto:

(−7) + (+3) + (+5) + (−6) + (+9) + (−4) + (+2) = Ricordando che il segno operativo + indica uno spostamento il cui verso è definito dal segno del numero relativo, possiamo sottintenderlo non scrivendolo più e tralasciando anche le parentesi di servizio; la nostra sequenza di calcoli diventa: −7 + 3 + 5 − 6 + 9 − 4 + 2 = A questo punto possiamo eseguire l’addizione algebrica seguendo l’ordine: −7 + 3 + 5 − 6 + 9 − 4 + 2 = = −4 + 5 − 6 + 9 − 4 + 2 = = +1 − 6 + 9 − 4 + 2 = = −5 + 9 − 4 + 2 = = +4 − 4 + 2 = 0 + 2 = +2 25

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I numeri e le operazioni in R

SEZIONE A

Oppure, applicando le proprietà commutativa e associativa, possiamo sommare tra loro tutti i valori concordi: = −7 − 6 − 4 + 3 + 5 + 9 + 2 = e poi eseguire l’addizione algebrica = −17 + 19 = +2 In conclusione, possiamo enunciare la seguente regola.

REGOLA

In un’addizione algebrica si devono prima eliminare le parentesi e i segni operativi, riscrivendo ciascun termine come si presenta se la parentesi è preceduta dal segno + o riscrivendo ciascun termine cambiato di segno se la parentesi è preceduta dal segno − , quindi si sommano algebricamente i termini ottenuti. Se sono presenti termini opposti, si possono eliminare, in quanto la loro somma è uguale a 0.

ESEMPI

• ( +3) − ( −7) − ⎡⎣ +5 − ( +2 − 3 − 7) − ( +4 )⎤⎦ + ( −9) = = +3 + 7 − ⎡⎣ +5 − 2 + 3 + 7 − 4 ⎤⎦ − 9 = = +3 + 7 − 5 + 2 − 3 − 7 + 4 − 9 = −8

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 11 ⎞ • ⎜+ ⎟ − ⎜+ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎜ − ⎟ − ⎜ + ⎟ = ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 122 ⎠ 4 1 1 1 1 1 11 6 − 4 + 3 + 2 − 11 =− =− =+ − + + − = 12 12 3 2 3 4 6 12

⎪⎧ 1 ⎡ 2 ⎛ 3 1 5 ⎞ ⎤ • −2 + ⎨ − ⎢5 + − ⎜ + − ⎟ − 3⎥ − ⎩⎪ 4 ⎣ 7 ⎝ 14 2 7 ⎠ ⎦

1 ⎫⎪ ⎬= 4 ⎭⎪

⎤ ⎪⎧ 1 ⎡ 2 3 1 5 = −2 + ⎨ − ⎢5 + − − + − 3⎥ − ⎦ ⎩⎪ 4 ⎣ 7 14 2 7

1 ⎪⎫ ⎬= 4 ⎭⎪

⎧1 2 3 1 5 = −2 + ⎨ − 5 − + + − +3− 7 14 2 7 ⎩4 = −2 + =

1⎫ ⎬= 4⎭

1 2 3 1 5 1 −5− + + − +3− = 4 7 14 2 7 4

−56 + 7 − 140 − 8 + 6 + 14 − 20 + 84 − 7 120 30 =− =− 28 28 7

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Le operazioni con i numeri relativi

LEZIONE 2

STOPANDGO

Esegui le seguenti sottrazioni.

1

a b c d e f

(−5) − (−8) = (+3) − (+7) = (−4) − (+11) = (+6 ) − (−9) = (−13) − (+3) = (+15) − (+21) =

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ a ⎜+ ⎟ − ⎜− ⎟ = ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠

2

⎛ 1 ⎞ ⎛ 2⎞ b ⎜− ⎟ − ⎜+ ⎟ = ⎝ 4 ⎠ ⎝ 3⎠

Esegui le seguenti addizioni algebriche.

3

(−5) + (−3) − (−4) − (+2) + (−6) − (−9) =

[–3]

4

(+6) + (−10) − (+4) − (+5) + (+14) + (−7) =

[–6]

5

13 − [3 + (7 − 11) + (−4 + 9 − 2)] =

[11]

6

3 ⎡⎛ 5 3⎞ ⎛ 2 5⎞ ⎤ + − ⎢⎜ − 2 + ⎟ − ⎜ 3 − − ⎟ ⎥ = 8 ⎣⎝ 3 4⎠ ⎝ 3 8⎠ ⎦

[—53 ]

■ Moltiplicazione

Come già sai, moltiplicare due numeri naturali significa sommare tanti numeri uguali al primo numero quanti ne indica il secondo (ricorda che l’operatore · equivale a × ): 3⋅2=3+3=6 Applichiamo questa proprietà a due numeri relativi.

Per calcolare (+3) ⋅ (−2) applichiamo la proprietà commutativa:

(+3) ⋅ (+2) = (+3) + (+3) = +3 + 3 = +6 (−3) ⋅ (+2) = (−3) + (−3) = −3 − 3 = −6 (+3) ⋅ (−2) = (−2) ⋅ (+3) = (−2) + (−2) + (−2) = −2 − 2 − 2 = −6 Per calcolare (−3) ⋅ (−2), poiché non è possibile applicare subito il metodo precedente, riscriviamo il testo ricordando la proprietà della parentesi e cioè che il segno meno davanti alla parentesi fa cambiare il segno al numero in essa contenuto; pertanto possiamo scrivere:

(−3) · (−2) = −(+3) ⋅ (−2) = −(−6) = +6 Dagli esempi precedenti si possono dedurre le seguenti regole.

REGOLE

Il prodotto di due numeri relativi concordi è un numero relativo sempre positivo, che ha per modulo il prodotto dei moduli.

Il prodotto di due numeri relativi discordi è un numero relativo sempre negativo, che ha per modulo il prodotto dei moduli.

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I numeri e le operazioni in R

SEZIONE A

Possiamo quindi ricapitolare con il seguente specchietto.

·

+

–

+

+

–

–

–

+

cioè

+ · + + · – – · + – · –

= + = – = – = +

Osserviamo ora le seguenti moltiplicazioni: (+3) ⋅ (−1) = −3 e (−5) ⋅ (−1) = +5; da queste possiamo dedurre le seguenti regole.

REGOLE

Il prodotto di un numero relativo per −1 è uguale all’opposto del numero dato.

Moltiplicare un numero relativo per −1 equivale a cambiargli il segno.

In aritmetica abbiamo imparato che due numeri si dicono inversi o reciproci se il loro prodotto è uguale a 1; il concetto è valido anche in algebra, con la seguente precisazione: DEFINIZIONE

Due numeri relativi si dicono inversi o reciproci se il loro prodotto è uguale a +1.

ESEMPI

( )( ) ( )( )

•+

3 5 3 5 e + sono reciproci, perché + · + = +1 5 3 5 3

•−

2 9 2 9 e − sono reciproci, perché − · − = +1 9 2 9 2

Per moltiplicare più numeri relativi si calcola il prodotto dei primi due fattori, poi il prodotto del risultato ottenuto per il terzo fattore e così via, fino ad esaurire tutti i termini:

(−3) ⋅ (−2) ⋅ (+4) ⋅ (−5) = (+6) ⋅ (+4) ⋅ (−5) = (+24) ⋅ (−5) = −120 Tenendo presente che ogni coppia di fattori negativi genera un prodotto positivo, è possibile snellire i calcoli seguendo la seguente regola pratica.

REGOLA

Data la moltiplicazione di più numeri relativi, si calcola il prodotto dei moduli e si contano i valori negativi: se sono dispari il segno del risultato è negativo, se sono pari il segno del risultato è positivo.

ESEMPI

• (+3) · (−2) · (+4) · (−1) · (+3) = +72

ci sono due fattori negativi, il prodotto è positivo.

• (+3) · (−2) · (+4) · (−1) · (−3) = −72

ci sono tre fattori negativi, il prodotto è negativo.

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Le operazioni con i numeri relativi

LEZIONE 2

STOPANDGO

Esegui le seguenti moltiplicazioni.

1

a b

2

a b

3

a b

4

5

(+3) ⋅ (+5) = (+4) ⋅ (−6) = (+3) ⋅ (−9) = (−4) ⋅ (−4) = (+9) ⋅ (−4) = (−1) ⋅ (+6) =

c d

c d

c d

(−8) ⋅ (+5) = (+7) ⋅ (−6) =

6

(+5) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−1) ⋅ (−3) =

+90] [+

(+13) ⋅ (−2) = (−12) ⋅ (+11) =

7

(−2) ⋅ (−2) ⋅ (+4) ⋅ (+1) ⋅ (−5) =

[–80]

(+32) ⋅ (−3) = (+3) ⋅ (−14) =

8

(+4) ⋅ (+5) ⋅ (−1) ⋅ (−1) ⋅ (+2) ⋅ (+1) ⋅ (−2) ⋅ (−1) ⋅ (−3) =

⎛ 3 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜⎝ + 4 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ + 2 ⎟⎠ =

⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ + 5 ⎟⎠ =

c

b

⎛ 4 ⎞ ⎛ 14 ⎞ ⎜⎝ − 7 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ =

d

⎛ 6 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎜⎝ − 11 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ + 4 ⎟⎠ =

a

⎛ 2⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎜⎝ + 3 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ + 4 ⎟⎠ =

c

⎛ 6 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎜⎝ − 5 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ =

⎛ 4 ⎞ ⎛ 15 ⎞ ⎜⎝ − 25 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ + 8 ⎟⎠ =

d

a

b

[–240]

⎡ 9⎤ ⎢+ ⎥ ⎣ 4⎦

9

⎛ 2 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 15 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎜⎝ + 3 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ − 4 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ + 8 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ − 6 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ + 5 ⎟⎠ =

10

⎛ 2 ⎞ ⎛ 15 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 21 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜⎝ + 3 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ − 7 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ + 5 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ + 10 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ − 8 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ + 9 ⎟⎠ =

⎛ 7⎞ ⎛ 8⎞ ⎜⎝ + 12 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ + 21 ⎟⎠ =

⎡ 3⎤ ⎢+ ⎥ ⎣ 10 ⎦

■ Divisione

La divisione tra due numeri è l’inverso della moltiplicazione: pertanto le regole per i segni sono analoghe a quelle della moltiplicazione; infatti se dovessimo eseguire la divisione:

(+8) : (−4) sarebbe necessario trovare un numero che, moltiplicato per (−4) dia come risultato +8.

Per la regola dei segni, − · − dà + e quindi il risultato cercato è −2.

Ricordando inoltre che il quoziente tra due numeri equivale alla moltiplicazione in cui il primo fattore è il dividendo e il secondo fattore è l’inverso del divisore, possiamo scrivere:

( +8) : ( −4 ) = ( +8) ⋅ ⎛⎜⎝ − 14 ⎞⎟⎠ = −2 ed è evidente che le regole dei segni sono le stesse già viste per la moltiplicazione.

Possiamo stabilire quindi le seguenti regole.

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I numeri e le operazioni in R

SEZIONE A

REGOLE

Il quoziente tra due numeri relativi concordi è un numero relativo sempre positivo, che ha per modulo il quoziente dei moduli.

Il quoziente tra due numeri relativi discordi è un numero relativo sempre negativo, che ha per modulo il quoziente dei moduli.

Riassumiamo quanto detto con il seguente specchietto.

:

+

–

+

+

–

–

–

+

+ + – –

cioè

: : : :

+ – + –

= = = =

+ – – +

ESEMPI

• (+15) : (+3) = +5 • ( +7) : ( +2) = +

7 2

• (−28) : (−14) = +2

( ) ( )

• −5 : −3 = +

• (+6) : (−2) = −3

( ) ( )

9 • +9 : −4 = − 4

5 3

• (−18) : (+9) = −2

( ) ( )

• −8 : +5 = −

7 ⎛ 1⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 7 ⎞ • ⎜+ ⎟ : ⎜+ ⎟ = ⎜+ ⎟ ⋅⎜+ ⎟ = + ⎝ 3⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4 ⎠ 12

6 ⎛ 4 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 3⎞ • ⎜− ⎟ : ⎜− ⎟ = ⎜− ⎟ ⋅⎜− ⎟ = + ⎝ 5 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 2⎠ 5

1 ⎛ 3⎞ ⎛ 9⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 4⎞ • ⎜+ ⎟ : ⎜− ⎟ = ⎜+ ⎟ ⋅⎜− ⎟ = − ⎝ 8⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 8⎠ ⎝ 9⎠ 6

5 ⎛ 5⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 2⎞ • ⎜− ⎟ : ⎜+ ⎟ = ⎜− ⎟ ⋅⎜+ ⎟ = − ⎝ 6⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 3⎠ 9

8 5

STOPANDGO

Esegui le seguenti divisioni.

1

2

a

(+27) : (+3) =

c

(−45) : (−9) =

b

(−21) : (+7) =

d

(−44) : (+4) =

a

(+35) : (−5) =

c

(−96) : (−24) =

b

(−125) : (+5) =

d

(+84) : (+6) =

4

5 3

a

(+28) : (−2) =

c

(−75) : (+5) =

b

(−65) : (13) =

d

(+38) : (+2) =

30

a

⎛ 4 ⎞ ⎛ 6⎞ ⎜⎝ + 7 ⎟⎠ : ⎜⎝ + 7 ⎟⎠ =

c

⎛ 6⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜⎝ − 5 ⎟⎠ : ⎜⎝ + 10 ⎟⎠ =

b

⎛ 21 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎜⎝ + 8 ⎟⎠ : ⎜⎝ − 4 ⎟⎠ =

d

⎛ 16 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎜⎝ − 21 ⎟⎠ : ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ =

a

⎛ 6 ⎞ ⎛ 16 ⎞ ⎜⎝ − 5 ⎟⎠ : ⎜⎝ + 35 ⎟⎠ =

c

⎛ 4⎞ ⎛ 6⎞ ⎜⎝ − 15 ⎟⎠ : ⎜⎝ − 25 ⎟⎠ =

b

⎛ 12 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎜⎝ + 7 ⎟⎠ : ⎜⎝ + 21 ⎟⎠ =

d

⎛ 26 ⎞ ⎛ 39 ⎞ ⎜⎝ + 49 ⎟⎠ : ⎜⎝ − 14 ⎟⎠ =