Sezione 1 Il piano nel modello di Euclide
E S E R C I Z I
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Su una retta orientata sono dati i punti A, O, D con D ≤ O ≤ A. Considera i punti B e C ester∧ ni alla retta, tali che BO C sia un angolo retto ∧ ∧ e verifica che gli angoli AO B e CO D siano complementari.
72
Dato un angolo retto PO Q, siano AO B un ∧ angolo che ha come bisettrice OP e CO D un angolo che ha come bisettrice OQ. ∧ ∧ Dimostra che gli angoli AO C e BO D sono supplementari.
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∧
∧
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Date due semirette opposte OA e OB, considera nel medesimo semipiano individuato dalla retta AB due angoli ottusi uguali ∧ ∧ AO C = BO D. Dimostra che la bisettrice del∧ l’angolo CO D forma con OA un angolo retto.
77
Dimostra che, se due angoli hanno gli angoli supplementari congruenti, sono congruenti anche i loro complementari.
78
Dimostra che se le bisettrici di due angoli consecutivi formano un angolo ampio 90°, i due angoli sono adiacenti.
79
Dimostra che angoli complementari di due angoli disuguali sono disuguali in senso opposto.
∧
Sia AB C un angolo, BD la sua bisettrice e BE una semiretta esterna all’angolo. Dimostra ∧ che l’angolo EB D è congruente alla semi∧ ∧ somma dei due angoli EB A ed EB C. ∧
Sia AO B un angolo, OC la sua bisettrice e ∧ OD una semiretta interna all’angolo BO C. ∧ ∧ ∧ AO D − BO D Dimostra che CO D = . 2
80 Tre semirette uscenti da uno stesso punto
dividono il piano in tre angoli congruenti. Dimostra che il prolungamento di ciascuna di esse è la bisettrice dell’angolo convesso formato dalle altre due.
∧
Sia AO B un angolo, OM la sua bisettrice e OM' il prolungamento di OM. Dimostra che se C è interno al semipiano individuato dalla retta MM' e contenente B, allora si ha ∧ ∧ BO C < AO C (distingui i due casi in cui C è ∧ interno ed esterno a MO B).
81
Se da un punto C appartenente al segmento AB si tracciano le semirette CD e CE da parti opposte rispetto alla retta AB e tali che ∧ ∧ AC E ≅ BC D, dimostra che le semirette CD e CE sono una il prolungamento dell’altra.