FACILE STUDIA FACILE STUDIA PAURA
matematica della ?
UNITÀ SEMPLIFICATE
Il piacere di
SINTESI
INDICE
ARITMETICA 1
unità 1 Gli insiemi 3
unità 2 Il sistema di numerazione decimale 8
unità 3 Le quattro operazioni e le loro proprietà 9
esercizi di ripasso 13
unità 4 Metodi per risolvere i problemi 17
unità 5 I grafici 18
unità 6 Le potenze 19
esercizi di ripasso 23
unità 7 Divisori e multipli di un numero naturale 27 unità 8 Le
unità 9 Operazioni e problemi con le frazioni
GEOMETRIA 1
unità 1 Misura di grandezze
unità 2 I primi elementi della geometria
Gli angoli
di
Coordinamento redazionale Marco Mauri
Responsabile editoriale Martina Mirabella
Redazione Edistudio, Paola Bollani
Art director Enrica Bologni
Progetto grafico Edistudio
Impaginazione Edistudio
Ricerca iconografica Martina Mirabella
Immagini di copertina Shutterstock
Si ringrazia la Professoressa Adele Maria Veste per aver curato la sezione Gioca con la matematica e Marinella Torri per il contributo progettuale.
Si ringrazia Federico Zanni per la collaborazione redazionale.
Referenze iconografiche
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Contenuti digitali
Realizzazione bSmart labs, ITG Torino
Prima edizione: gennaio 2026
Printed in Italy
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UNITÀ 1
1. Caratteristiche e appartenenza
M 1. Caratteristicheeappartenenza
GLI INSIEMI
CARATTERISTICHE E APPARTENENZA MAPPA 1
Teoria in sintesi
Gli insiemi si indicano con le lettere
maiuscole: A, B, C ecc.
Gli elementi si indicano con le lettere minuscole: a, b, c ecc. e si separano uno dall’altro con le virgole.
INSIEME
In matematica è un gruppo di elementi che si possono individuare con certezza
tra un elemento e un insieme c’è una relazione di:
infinito: ha un numero di elementi illimitato
appartenenza (�)
Esempio:
se A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
allora 8 � A
allora 11 � A in base al numero
finito: ha un numero limitato di elementi
vuoto: oppure non possiede elementi
non appartenenza (�)
Esempio:
se A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
3. Sottoinsiemi e inclusione
Teoria in sintesi
Tra due insiemi ci possono essere le seguenti relazioni:
I sottoinsiemi di un insieme possono essere:
SOTTOINSIEMI E INCLUSIONE
Teoria in sintesi
B è un sottoinsieme di A (oppure B è incluso in A), se ogni elemento di B è anche elemento di A: B � A AB
C non è un sottoinsieme di A (oppure C non è incluso in A), se almeno un elemento di C non appartiene ad A: C � A AC
Esempio: se A � �0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9� e B � �0, 2, 4, 6, 8� allora B � A
Esempio: se A � �0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9� e C � �8, 9, 10, 11, 12� allora C � A
impropri
L’insieme vuoto � e se stesso
Esempio: se A � �1, 2, 3� i sottoinsiemi impropri sono: � e �1, 2, 3� propri Tutti gli altri
Esempio: se A � �1, 2, 3� i sottoinsiemi propri sono: �1�, �2�, �3�, �1,2�, �1,3�, �2,3�
4. Insieme intersezione
Teoria in sintesi
INSIEME INTERSEZIONE
Teoria in sintesi
INTERSEZIONE ( ) È l’insieme costituito dagli elementi comuni a due o più insiemi.
gli insiemi si dicono disgiunti
Esempio:
se A � �a, b, c, d�
e B � �c, d, e, f�
allora A B � �c, d�
Esempio:
se A � �1, 2, 3, 4, 5� e B � �6, 7, 8, 9, 10� allora A B ��
Esempio:
se A � �1, 3, 5, 7, 9� e B � �1, 5, 9� allora A B � �1, 5, 9� � B
UNIONE (�)
L’unione di due insiemi A e B è costituita da tutti gli elementi di A e da quelli di B non appartenenti anche ad A.
INSIEME UNIONE
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Esempio: se A � �0, 2, 4, 6, 8� e B � �1,3, 5, 7, 9� allora A � B � �0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9�
Esempio: se A � �a, b, c, d� e B � �c, d, e, f� allora
� B � �a, b, c, d, e, f
Esempio: se A � �l, m, n, o, p, q, r� e B � �m, p, r� allora
� B � �l, m, n, o, p, q, r�
SISTEMA
1. I numeri naturali
M 1. Inumerinaturali
I NUMERI NATURALI MAPPA 1
I numeri naturali costituiscono l’insieme N
pari
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
cardinali quando si usano per contare.
Esempio: Il ragno ha 8 zampe
sono detti
possono essere
24, 70,16, 78, 92 se terminano con una cifra pari
In simboli: numero pari → 2n
ordinali quando si usano per mettere in ordine.
Esempio: Nell’elenco della sua classe Mara occupa l’ottavo, 8°, posto
dispari
11, 67, 83, 45, 29 se terminano con una cifra dispari
In simboli: numero dispari → 2n 1
Ogni numero naturale, n, ha un: precedente n 1 99 è il precedente di 100, infatti 100 1 99
Il sistema di numerazione decimale
successivo n 1 101 è il precedente di 100, infatti 100 1 101
Due numeri naturali a e b, messi a confronto, possono risultare:
uguali ( ) 9 8 1 a b
diversi ( ) 30 10 3 a b
maggiori ( ) 17 10 a b
minori ( ) 25 38 a b
3. I numeri decimali
I NUMERI DECIMALI
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Le parti di un numero decimale sono:
5,831 parte decimale
parte intera
In ogni numero decimale la virgola separa la parte intera dalla parte decimale Il numero si legge “5 e 831 centesimi”.
La parte decimale comprende:
8 → decimi (d) 3 → centesimi (c) 1 → millesimo (m)
1 decimo 0,1 10 decimi 1 unità semplice
1 millesimo 0,001… 10 millesimi 1 centesimo…
1 centesimo 0,01 10 centesimi 1 decimo
12 U2 Il sistema di numerazione decimale
LE QUATTRO OPERAZIONI
1
ADDIZIONE
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Esempio: 18 � 14 � 32
1° addendo 2° addendo somma ADDIZIONE valgono le seguenti operazioni inverse: 32 � 18 � 14 e 32 � 14 � 18
0
è l’elemento neutro
Esempio: 8 � 0 � 0 � 8 � 8
In generale: a � 0 � 0 � 8 � 8
possiede la:
È definita in N cioè la somma è sempre un numero naturale.
PROPRIETÀ COMMUTATIVA
Esempio: 3 � 8 � 8 � 3
In generale: a � b � b � a
PROPRIETÀ ASSOCIATIVA In generale: a � b � c � �a � b� � c Esempio: 10 � 15 � 5 � 25 � 5
PROPRIETÀ DISSOCIATIVA
Esempio: 32 � 24 � 12 � 20 � 24
In generale: a � b � m � n � b dove: m � n � a
2. Sottrazione Teoria in sintesi
SOTTRAZIONE
Teoria in sintesi
Esempio: 54 18 � 36 ↑ ↑ ↑ minuendo sottraendo differenza SOTTRAZIONE valgono le seguenti operazioni inverse: 36 � 18 � 54 e 54 � 36 � 18
Non possiede l’elemento neutro
In generale: a � 0 � 0 � a Esempio: 5 � 0 � 0 � 5
possiede la:
Non è definita in N cioè il risultato non è sempre un numero naturale.
PROPRIETÀ INVARIATIVA
Esempi: 15 � 8 �
oppure: 15 � 8 � �15 � 3
In generale: a �
è l’elemento neutro
In generale: a � 1 � 1 � a � a Esempio: 7 � 1 � 1 � 7 � 7
0 annulla il prodotto: 3 � 0 � 12 � 0
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
MOLTIPLICAZIONE
Esempio: 12 � 4 � 48
fattori prodotto
valgono le seguenti operazioni inverse: 48 : 4 � 12 e 48 : 12 � 4
Esempio: 7 � 15 � 7 � 3 � 5 1
PROPRIETÀ COMMUTATIVA
Esempio: 4 � 3 � 3 � 4
In generale: a � b � b � a
PROPRIETÀ DISSOCIATIVA
In generale: a � b � a � �m � n� dove: b � m � n
possiede la:
È definita in N il prodotto è sempre un numero naturale
PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
Esempio: 2 � 5 � 8�10 � 8
In generale: a � b � c � �a � b� � c
PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA
In generale: �a � b� � c � a � c � b � c oppure: �a b� � c � a � c b � c Esempi: �7 � 3� � 5 � 7 � 5 � 3 � 5 oppure: �9 � 4� � 3 � 9 � 3 � 4 � 3
Non possiede l’elemento neutro
Esempio: 5 : 1 1 : 5
In generale: a : 1 1 : a
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi Teoria in sintesi
DIVISIONE
Esempio: 64 : 16 � 4
dividendo divisore quoziente
valgono le seguenti operazioni inverse: 4 � 16 � 64 e 64 : 4 � 16
PROPRIETÀ INVARIANTIVA
In generale: a : b � �a � m� : �b � m� oppure: a : b � �a : m� : �b : m� con m 0 Esempi: 12 : 4 � �12 � 5� : �4 � 5� oppure: 12 : 4 � �12 : 2� : �4 : 2�
18 U3 Le quattro operazioni e le loro proprietà
possiede la:
Non è definita in N cioè il quoziente non è sempre un numero naturale.
Lo zero e la divisione
Esempi:
a) 0 : 12 � 0
b) 7 : 0 � impossibile
c) 0 : 0 � indeterminato
In generale:
a)0 : n � 0
b) n : 0 � quoziente impossibile, se n ≠ 0
c)0 : 0 � quoziente indeterminato
PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA
Esempi: �32 � 24� : 8 � 32 : 8 � 24 : 8 oppure: �45 � 15� : 3 � 45 : 3 � 15 : 3
In generale: �a � b� : c � a : c � b : c oppure: �a b� : c � a : c b : c
ESERCIZI DI RIPASSO
1 Risolvileoperazionisulquadernoescegliilrisultatoesatto.
Operazione
2 Completalatabella,applicandolaproprieta`commutativadell’addizione.
3 Completalatabella,applicandolaproprieta`associativadell’addizione.
4 Completa applicando la proprieta` invariantiva della sottrazione (pro cedi come nell’esempio).
5 Completaapplicandolaproprieta`commutativadellamoltiplicazione
6 Completa, applicando la proprieta` invariantiva della divisione
7 Completaapplicandolaproprieta`associativadellamoltiplicazione.
8 Completaapplicandolaproprieta`distributivadellamoltiplicazione.
� = � + � (3 + 5) � 8 = 3 � 8 + 5 � 8 = 24 + 40 = 64 a) (6+10) � 5 =6 � 5 +10 � 5 =30+............... (14–9) � 3
b) (15+7) � 4 =.............................. (15–7) � 6 =..............................
9 Completaapplicandolaproprieta`distributivadelladivisione. (+):=:+:
(24 + 16): 4 = 24 : 4 + 16 : 4 = 6 + 4 = 10
a) (21+35):7=21:7+35:7=3+5=........... (45–30):5=45:5–30:5=...............
b) (100+70):10=............................................. (32–24):8=.........................................
c) (15+27+18):3=................................................................................
d) (48+30–12):6=48:6+30:6–12:6=.........................................
10 Risolvileseguentimoltiplicazioniper10,100,1000.
a) 32 � 10 ¼ 320 b) 86 � 100 ¼ 8600 c) 9 � 1 000 ¼ 9 000 d) 720 � 100 ¼ 72000
11 Risolvileseguentidivisioniper10,100,1000.
a) 730 : 10 ¼ 73 b) 8900 : 100 ¼ 89 c) 2 000 : 1 000 ¼ 2 d) 5600 : 10 ¼ 560 a) 2500 : 100 ¼ ..........970 : 10 ¼ 43000 :
a) 567 : 10 ¼ 56,7 b) 903 : 100 ¼ 9,03 c) 41 : 1 000 ¼ 0,041 d) 2 : 100 ¼ 0,02 c) 125 : 10 ¼ .......... 23 : 10 ¼ .......... 871 : 100 ¼ ..........4398 : 1000 ¼ d) 47925 : 1000 ¼
12 Apartiredalnumero84eseguileseguentioperazioni: addiziona6 ! .......... ! sottrai12 ! .......... ! moltiplicaper2 ! ..........dividiper3 !
2. Metodi per risolvere un problema
1
M 2. Metodiperrisolvereunproblema
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Per risolvere un problema si possono utilizzare i seguenti metodi
Metodo grafico
Si utilizzano dei disegni, segmenti o strisce, che rappresentano le relazioni tra i dati
15 15 tappi di Claudia tappi di Alice
71 tappi in totale due parti uguali 15 tappi : 2 3 50 25 / 20 10 / 30 15 10
Tabelle a doppia entrata
Sono formate da righe e colonne, si usano per organizzare i dati quando sono di tipo diverso
Diagramma ad albero
Si utilizza per non escludere alcuna combinazione tra i dati
30 20
579; 597 Espressione risolutiva
Si mettono in successione le operazioni da svolgere per la risoluzione del problema e si utilizzano le parentesi per stabilire le precedenze
2 � 20 � (2 � 13,50 � 3 � 3,75) � 40 � (27 � 11,25) � 40 � 38,25 � 1,75
2. Rappresentazione grafica di dati
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
La rappresentazione grafica dei dati serve per una lettura immediata dei risultati di un’indagine.
I grafici più utilizzati sono:
Esempio: rappresentare graficamente i dati della seguente tabella relativi all’altezza in cm di 20 alunni di una classe di una scuola secondaria di primo grado.
LE POTENZE
2. Espressioni con le potenze
1
M 2. Espressioniconlepotenze
Teoria in sintesi
ESPRESSIONI CON LE POTENZE
Teoria in sintesi
REGOLE
E PROCEDIMENTI
per la risoluzione di espressioni con le potenze
Si eseguono prima le potenze, poi le altre operazioni seguendo la “regola di precedenza” che già conosci, cioè prima le moltiplicazioni e le divisioni, poi le addizioni e le sottrazioni.
Se c’è un esponente dopo una parentesi, si deve elevare a potenza il risultato che si ottiene eseguendo le operazioni racchiuse nelle parentesi.
Se l’espressione presenta parentesi, le operazioni racchiuse in esse si eseguono secondo la regola che già conosci, cioè prima le operazioni interne alle tonde, poi quelle nelle quadre e per ultime quelle nelle graffe
Esempio:
[(52 42) : 32 � 6 � (23 5)]3 �
[(25 16) : 9 � 6 � (8 5)]3 �
[9 : 9 � 6 � 3]3 �
[1 � 6 3]3 �
43 � 64
2
3. Proprietà di potenze con la stessa base
PROPRIETÀ DI POTENZE CON LA
Teoria in sintesi
STESSA BASE
Teoria in sintesi
Prodotto di potenze di base uguale an am an m
Esempio: 52 � 54 � 52�4 � 56
Le potenze con la stessa base possiedono le seguenti proprietà:
(a, b, m, n sono numeri naturali diversi da zero).
Esempio: 35 : 32 � 35 2 � 33
Quoziente di potenze di base uguale an : am an m con n � m
Potenza di potenza an m an m
Esempio: 23 4 � 23�4 � 212
4. Proprietà di potenze con lo stesso esponente
Teoria in sintesi
PROPRIETÀ DI POTENZE CON LO STESSO ESPONENTE
Teoria in sintesi
Prodotto di potenze con esponente uguale am bm a b m
Esempio: 42 � 32 � (4 � 3)2 � 122
Le potenze con lo stesso esponente possiedono le seguenti proprietà:
(a, b, m, n sono numeri naturali diversi da zero).
Quoziente di potenze con esponente uguale am : bm a : b m con a multiplo di b
Esempio: 103 : 53 � 10 : 5 3 � 23
5. La notazione scientifica e l’ordine di grandezza di un numero
Teoria in sintesi
LA NOTAZIONE SCIENTIFICA
E L’ORDINE DI GRANDEZZA DI UN NUMERO
Teoria in sintesi
Notazione scientifica o esponenziale (per indicare in forma sintetica numeri molto grandi)
Esempio:
384 000 000 � 3,84 � 100 000 000 � 3,84 � 108
Si esprime il numero come prodotto di un numero, maggiore di 1 e minore di 10, per una potenza di 10
Nelle scienze si usano le seguenti notazioni che fanno uso di potenze
Ordine di grandezza (quando non occorre indicare un numero con precisione)
Esempi:
a) l’ordine di grandezza di 175 000 è 105 perché la potenza di 10 più vicina al numero è 100 000.
b) 550, che è equidistante da 100 e 1000, ha come ordine di grandezza 103.
Si esprime con la potenza di 10 più vicina al numero stesso.
Se il numero è equidistante da due potenze di 10, si assume come ordine di grandezza la potenza maggiore delle due.
ESERCIZI
Metodiperrisolvereiproblemi Esercizi
DI RIPASSO ESERCIZI ‒ Metodi per risolvere i problemi Esercizi
aritmetica 1
1 Leggiiltestodeiseguentiproblemiecompletalatabella.
a) Marcoacquista7penne.Ognipennacosta1,35 E.Intuttospende 9,45 E.
b) Alessandrahaspeso8,25 E percomperare5CD.OgniCDcosta 1,65 E
c) Ungelatocosta0,90 E.Ilpapa neportaacasa8espende7,20 E
d) LamammahaacquistatoperMartina4braccialettiehaspeso 4,60 E.Unbraccialettocosta1,15 E
ProdottoCosto
Problema3
Problema4
2 Leggiiltestodeiseguentiproblemi,sottolineainrossoledomande econtrassegnaconunacrocettaidatiesatti.
a) Rosavuolesistemarelesueconchigliechesono176intantescatoline checontengonociascuna8conchiglie.Quantescatolineleservono? SeRosapossiedegia 7scatoline,quantesenedovra procurareancora?
Dati:
176 numerodelle scatoline numerodelle conchiglie numerodelle scatolinecheRosa possiede
8 numerodelle scatoline numerototale delleconchiglie numerodelle conchigliecontenute inogniscatolina
7 numerodelle scatolinepossedute daRosa numerodelle scatolineche mancanoaRosa numerodelle conchigliediRosa 31 UNITA ` 4
b) IlgiardiniereRoccopersistemareifioridiunparcohapreparato115 piantedirosa,98piantedigelsomino,137geranie3zappe.Quante piantehapreparatointotale? Senelparcovannomesse400piante,quantepianteservonoancora algiardiniereRocco?
Dati:
115 numerodelle piantedirosa
numerodigeraninumerototale dellepianteda sistemarenelparco
98 numerodigeraninumerodelle zappe numerodelle piantedigelsomino
137 numerodelle piantedigelsomino numerodigeraninumerodipiante occorrenti
3 numerodelle zappe numerodi aiutantidiRocco numerodelle piantegia ` presenti nelparco
400 numerodi giardinieri numerodelle piantedigelsomino numerodelle piantenecessarie perilparco
Risolviiseguentiproblemicompletandoletabelle.
3 Cristinaall’iniziodell’annoscolasticodevecomperareilmaterialedidatticoriportatointabella.Aiutalaafareiconti.
4 Correggiglierrori.
Errori 80 ¼ 8161 ¼ 1104 ¼ 4025 ¼ 10132 ¼ 2623 ¼ 662 ¼ 1219 ¼ 953 ¼ 15190 ¼ 19
Correzione
5 Veroofalso?
a) Nellapotenza3,54:3,5 e labase 4 e l’esponente
b) 2,70 ¼ 0
c) Lapotenza e unadivisioneparticolare
d) 321 ¼ 32
e) 26 ¼ 62
f) 105 ¼ 50
g) 105 ¼ 100000
h) Nellapotenza7,84 :7,8 e labase 4 e l’esponente
i) 9,50 ¼ 0
l) Lapotenza e unaaddizioneparticolare
m) 581 ¼ 58
n) 56 ¼ 65
o) 106 ¼ 60
p) 106 ¼ 1000000
6 Risolvileoperazionirigaperriga;puoisempreapplicareleproprieta` dellepotenze?
a) ð8 þ 5Þ2 ¼ ........................... b) 82 þ 52 ¼ ..........................
c) ð5 3Þ3 ¼ ........................... d) 53 33 ¼ .......................... e) ð2 � 3Þ4 ¼ ........................... f) 24 � 34 ¼ ..........................
g) ð35 : 7Þ2 ¼ h) 352 : 72 ¼
Risolvileseguentiespressioniconlepotenze.
5 � 23 �ð2 � 32 þ 7Þ¼ lepotenzehannolaprecedenza
5 � 8 �ð2 � 9 þ 7Þ¼
40 �ð18 þ 7Þ¼
40 25 ¼ 15 7 3 � 23 þ 2 � 3 33 þ 80
½ð3 � 22 þ 2Þ : 2 þ 52 � : 23 [4]
Abbinainmodocorrettoirisultati:dueespressionihannorisultato 1, una 5 eun’altra 0.
Risolvileespressionirelativeadognicasella(inognicaselladeviinserireunasolacifra).
1. 57 : 54 � 5
6. 35 : 33 � 2
8. 35 55 : 153
9. ð33 Þ2
10. ð5 � 32 Þ2 Verticali
1. ð25 : 24 Þ� 2 � 132
2. ð510 : 58 Þ2 : 52 4. 193
6. 142 : 22 �ð152 : 32 Þ 8. ð28 : 25 Þ2 : 22 �ð175 : 174 Þ
DIVISORI E MULTIPLI
1. Multipli e divisori Teoria in sintesi
MULTIPLI E DIVISORI
Teoria in sintesi
4 � 9 = 36 → 36 è multiplo di 4 e di 9
Il multiplo di un numero naturale è il prodotto del numero stesso per un altro numero diverso da zero.
36 : 4 = 9 → resto 0
36 : 9 = 4 → resto 0
4 e 9 sono divisori di 36
Un numero naturale è divisore di un altro se il r resto della loro divisione è 0
Dati due numeri naturali a e b, diversi da 0, se a : b c resto 0, allora: a è multiplo di b e b è divisore di a
Esempio:
si usano i simboli:
D15 � 1, 3, 5, 15 ; M15 � 15, 30, 45 ...
Da indica l’insieme di tutti i divisori di a
Ma indica l’insieme di tutti i multipli di a
•I multipli di un numero sono infiniti
• I divisori di un numero non sono infiniti
In particolare si ha che:
a) 15 : 15 = 1 resto 0; 42 : 42 = 1 resto 0 → Ogni numero è divisore di se stesso
b) 36 : 1 = 36 resto 0; 9 : 1 = 9 resto 0 → L’unità è divisore di ogni numero
M 3. Numeriprimiescomposizionedi
3. Numeri primi e scomposizione di numeri composti in fattori primi
NUMERI PRIMI E SCOMPOSIZIONE DI NUMERI COMPOSTI IN FATTORI PRIMI
Esempi:
D2 � 1, 2 ; D5 � 1, 5 ;
D11 � 1, 11 ; D23 � 1, 23 ; PRIMO
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
In base ai suoi divisori un numero naturale può essere:
Quando è divisibile solo per se stesso e per 1.
Esempi:
D4 � 1, ,2,4 ; D10 � 1, 2, 5, 10 ; D16 � 1, 2, 4, 8, 16 ; COMPOSTO
Quando oltre a se stesso e all’1 possiede altri divisori.
Ogni numero composto si può scrivere come prodotto di due o più numeri primi.
per scomporre un numero si procede così:
Esempio:
180 : 2 → 180 è pari, pertanto il suo più piccolo divisore primo è 2 90 2 → 90 è pari, pertanto il suo più piccolo divisore primo è 2
45 3 → il più piccolo divisore primo di 45 è 3 15 3 → il più piccolo divisore primo di 15 è 3 5 5 → 5 è un numero primo, quindi è divisibile per 5 1
180 � 2 � 2 � 3 � 3 � 5 � 22 � 32 � 5 →fattorizzazione di 180
Si divide il numero per il più piccolo dei suoi divisori primi; si divide, poi, il quoziente ottenuto ancora per il più piccolo dei suoi divisori primi e così via finché si trova per quoziente 1.
se un numero termina con più zeri lo si può scomporre rapidamente ricordando le fattorizzazioni delle potenze di 10:
10 � 2 � 5; 100 � 22 � 55; 1 000 � 23 � 53; 10 000 � 24 � 54; 100 000 � 25 � 55
Esempio:
75 000 � 23 � 3 � 55 :
75 000 1 000 � 23 � 53
75 3
25 5 5 5 1
5. Calcolo del Massimo Comun Divisore
CALCOLO DEL MASSIMO COMUN DIVISORE
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
così:
Il Massimo Comun Divisore di due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni. Si indica con il simbolo: M. C. D. per calcolare il M.C.D. si procede
1)Si fattorizzano i numeri dati.
2)Si calcola il prodotto dei fattori primi comuni, presi ciascuno una sola volta con il minore esponente.
Esempio: M.C.D. �8; 16; 24� � 8
Se tra due o più numeri uno di essi è divisore di tutti gli altri, questo rappresenta il M.C.D.
casi
particolari:
Esempio: M.C.D. �7; 12� � 1
Se due o più numeri hanno l’unità come unico divisore comune, il M.C.D. è 1 e i numeri si dicono primi fra loro
per calcolare il m.c.m. si procede
così:
CALCOLO DEL MINIMO COMUNE MULTIPLO DI PIÙ NUMERI
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Calcolare il m.c.m. di 12; 30; 45
1)Si fattorizzano i numeri dati.
2)Si calcola il prodotto dei fattori primi comuni e non comuni, presi ciascuno una sola volta con il maggiore esponente.
Il minimo comune multiplo di due o più numeri è il minore dei loro multipli comuni. Si indica con il simbolo: m.c.m.
casi
particolari:
Esempio: m.c.m. �3; 7; 21� � 21
Se in un gruppo di numeri uno di essi è multiplo di tutti gli altri, esso è il loro m.c.m.
Esempio: m.c.m. �4; 9� � 36
Se due numeri sono primi tra loro, il m.c.m. è uguale al loro prodotto.
LE FRAZIONI
1. Dai numeri naturali alle frazioni
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
DAI NUMERI NATURALI ALLE FRAZIONI
Il risultato della divisione 3 : 7 non è un numero naturale. La divisione si scrive così:
3 numeratore
linea di frazione o fratto, corrisponde al segno : 7 denominatore
La scrittura è una frazione. 3 7 ; hanno 1 al numeratore → sono unità frazionarie 1 4 1 12 � 1; � 1 con numeratore e denominatore uguali → valgono 1 8 8 11 11 ; hanno 0 al numeratore → valgono 0
Frazioni particolari:
al denominatore → corrispondono a un numero naturale
3. Frazioni proprie, improprie, apparenti Teoria in sintesi
Esempio:
Teoria in sintesi
FRAZIONI PROPRIE, IMPROPRIE, APPARENTI
FRAZIONE
IMPROPRIA
Esempio:
Esempio: 10 3 7 5 4 3 ;; ecc. 10 3 3 1 3 2 3 5 8 1 4 ;; ecc.
numeratore > denominatore
numeratore < denominatore
può essere: si trasforma in:
NUMERO MISTO
Esempio: 6 3 8 2 ;; ecc. 4 4
numeratore multiplo del denominatore
4. Frazioni equivalenti e semplificazione di frazioni
3
FRAZIONI
EQUIVALENTI E SEMPLIFICAZIONE DI FRAZIONI
4. Frazioniequivalenti esemplificazionedifrazioni
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
FRAZIONI EQUIVALENTI
Due o più frazioni sono equivalenti quando, applicate alla medesima grandezza, ne rappresentano la stessa parte.
si ottengono applicando la
Proprietà invariantiva delle frazioni
Moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero, diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente a quella data.
sono frazioni equivalenti
Frazioni irriducibili → e
→numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro (non hanno divisori comuni)
Frazioni riducibili → e
→numeratore e denominatore hanno divisori comuni.
Le frazioni riducibili possono essere ridotte ai minimi termini o semplificate
Per semplificare una frazione bisogna trasformarla in un’altra equivalente, ma con i termini più piccoli.
I metodi più usati
sono:
Divisioni successive
Esempio: 28 60 282 602 14 30 142 302 7 15 : : : :
Si dividono il numeratore e il denominatore per i loro divisori comuni
M.C.D. del numeratore e del denominatore
Esempio: 18 30 6 186 306 3 5 : : M.C.D. 18; 30 ()
Si dividono il numeratore e il denominatore per il loro M.C.D.
1. Addizione e sottrazione di frazioni
1
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE DI FRAZIONI
Per calcolare la somma o la differenza di frazioni con lo stesso denominatore
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Per calcolare la somma o la differenza di frazioni con denominatore diverso
si procede nel seguente modo: si procede nel seguente modo:
Esempi:
1)si scrive per denominatore lo stesso denominatore; 2) per numeratore si scrive la somma o la differenza dei numeratori.
Esempi:
1)si riducono le frazioni ai minimi termini e si calcola il minimo comun denominatore (m.c.d.); 2) si trasformano tutte le frazioni al m.c.d.; 3) si calcola la frazione risultante che ha per denominatore il m.c.d. e per numeratore la somma o la differenza dei numeratori
Due frazioni si dicono complementari quando la loro somma è uguale a 1.
Esempi: 3 5 2 5 3 5 2 5 5 5 1 eperché
2. Moltiplicazione di frazioni
MOLTIPLICAZIONE DI FRAZIONI
Esempi: frazioni assegnate
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Per calcolare il prodotto di due opiù frazioni
si procede nel seguente modo:
(a)semplificazione delle frazioni (b)calcolo del risultato
1) si semplificano le frazioni dividendo il numeratore e il denominatore, anche non della stessa frazione, per uno stesso numero, cioè si semplificano in croce; 2) si calcola il risultato effettuando il prodotto dei numeratori e il prodotto dei denominatori
3. Divisione di frazioni
3. Divisionedifrazioni Teoria in sintesi
DIVISIONE DI FRAZIONI
Teoria
in sintesi
Due frazioni si dicono inverse o reciproche quando il loro prodotto è 1
Esempio:
Per calcolare il quoziente di due frazioni si moltiplica la prima frazione per l’inversa della seconda.
Esempio: 3
:
Le espressioni con le frazioni si risolvono applicando le regole di “precedenza” già studiate per le espressioni con i numeri naturali. Prima di eseguire le operazioni, è conveniente ridurre le frazioni ai minimi termini
Esempio:
Il numeratore e il denominatore di una frazione possono anche essere delle frazioni.
Questo tipo di espressione si dice a termini frazionari.
Esempio: 4 5 12 25
1)si risolvono la divisione e la moltiplicazione:
2)si risolve la sottrazione
si divide il numeratore per il denominatore.
Esempio: 4
: 3 si risolve nel seguente modo:
5
Operazioni e problemi con le frazioni
ELEVAMENTO A POTENZA DI FRAZIONI
M 4. Elevamentoapotenzadifrazioni Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Per elevare a potenza una frazione, si eleva a quella potenza sia il numeratore che il denominatore.
Prodotto di potenze di base uguale
Esempio:
Quoziente di potenze di base uguale
Esempio:
per le potenze di frazioni valgono le proprietà già studiate:
Prodotto di potenze di esponente uguale
Quoziente di potenze di esponente uguale
Nota Bene.
Nelle espressioni le potenze si risolvono prima di tutte le altre operazioni applicando, quando è possibile e conveniente, le proprietà delle potenze.
5. Problemi diretti e inversi con le frazioni
PROBLEMI DIRETTI E INVERSI CON LE FRAZIONI
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Il procedimento risolutivo del problema è il seguente:
Un problema con le frazioni si dice diretto quando si deve trovare il valore di una parte conoscendo l’intero.
Esempio: Anna possiede una collezione di 240 tessere telefoniche e ne scambia i i con Maria. Quante sono le tessere scambiate? 3 8 240830 1 8 : tessere corrispondenti a del t totale tessere corrispondenti a 30390 3 8 del totale
Si ottiene lo stesso risultato moltiplicando 240 per la frazione; infattii 240 3 8 2408390 : 240 3 8
Un problema con le frazioni è inverso quando si deve trovare il valore dell’intero conoscendo il valore di una sua parte.
Esempio: i di una strada misurano 64 km; quanto è lunga l’intera strada? 4 7
Il procedimento risolutivo del problema è il seguente:
64 km 4 7 Si ottiene lo stesso risultato dividendo 64 km per la frazione, cioè moltiplicando 64 km per la frazione inversa:
Operazioni e problemi con le frazioni U9
6. Problemi con somma e differenza Teoria in sintesi
M 6. Problemiconsommaedifferenza
PROBLEMI CON SOMMA E DIFFERENZA
Due amiche escono insieme per fare acquisti e spendono in totale 96 €. La prima, Gloria, spende i degli euro spesi dalla seconda, Mirella. Quanto spende ognuna di loro?
Indichiamo le somme spese con dei segmenti:
• AB → i soldi spesi da Gloria
• CD → i soldi spesi da Mirella
Rappresentazione grafica
AB → 3 5
CD → 5 5
ABCD →
Dati
ABCD 96 € AB 3 5 di CD
AB ? CD ?
Il segmento somma AD contiene 8 parti. Troviamo la misura di una parte: 96 : 8 12 € (misura di una parte → unità frazionaria)
AB comprende 3 parti e CD comprende 5 parti; quindi:
• AB 12 3 36 € → Gloria
• CD 12 5 60 € → Mirella 3 5 3 7
La differenza tra le altezze di due cespugli misura 52 cm e il più basso è i di quello più alto. Calcola l’altezza di ognuno dei due cespugli.
Indichiamo le altezze con dei segmenti:
• AB → l’altezza del primo cespuglio
• CD → l’altezza del secondo cespuglio
Rappresentazione grafica
AB → 3 7 CD → 7 7 CDAB →
Dati
52 cm
3 7 di CD AB ? CD ?
La differenza tra il segmento CD e il segmento AB comprende 4 parti. Troviamo la misura di una parte: 52 : 4 13 cm (misura di una parte → unità frazionaria)
AB comprende 3 parti e CD comprende 7 parti; quindi:
• AB 13 3 39 cm → altezza primo cespuglio
• CD 13 7 91 cm → altezza secondo cespuglio
DI FRAZIONI
MINIMO COMUN DENOMINATORE
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Per trasformare una frazione in un’altra equivalente di denominatore assegnato, si divide il denominatore assegnato per quello della frazione data (se è possibile) e si moltiplica il risultato per il numeratore dato.
Esempi:
Si calcola il minimo comune multiplo dei denominatori (m.c.d.) delle frazioni date.
Esempio: m.c.m. �5; 2; 20� � 20
Si riducono le frazioni date ai minimi termini, se non lo sono già.
Esempio: 24 30 5 10 6 40 4 5 1 2 3 20 , ,
Per trasformare due o più frazioni allo stesso denominatore si procede così: Esempio: 4 5 20 54 20 16
Si divide il m.c.d. per il denominatore di ciascuna frazione.
Si moltiplicano i numeratori delle frazioni per i corrispondenti quozienti ottenuti. 5
1 Completalescomposizioniinfattorideiseguentinumeriinserendo neipallini rossi solo numeriprimi.
2 Scomponiiseguentinumeripreparandosultuoquadernodegli schemicomequellidell’esercizioprecedente. 75,63,150,120,85,96.
3 Completaleseguentifattorizzazioni.
Osservaidisegniecompletalefrazioniscrivendoildenominatoreo ilnumeratore.
Osservaletabelle,confrontalefrazionierispondi.
6
Completalaseguentetabella.
Calcola Procedimentoerisultato
Esempio: 3 7 di63 E
5 9 di81 E 3 4 di240 E 7 12 di48 E 3 5 di80kg 2 9 di72kg 3 17 di85kg
7 9 di54anni 5 8 di16anni 1 4 diunsecolo
38 50 diunmillennio
Risolvi le seguenti espressioni con addizioni e sottrazioni di frazioni. Rispondi poi alla domanda.
Frairisultaticisonofrazioniimproprie?Ses
UNITÀ 1
2. Misura della lunghezza
MISURA DI GRANDEZZE
Teoria in sintesi
MAPPA 1
MISURA DELLA LUNGHEZZA
Teoria in sintesi
Lo schema riporta le unità di misura della lunghezza e le operazioni da eseguire per passare da una all’altra.
: 10 10 : 10 10 : 10
: 10
: 10
Esempi: a) 3 dam 10 30 m b) 4 700 m : 1 000 4,7 km
3. Misura della superficie e misura del volume
M 3. Misuradellasuperficie emisuradelvolume
MISURA DELLA SUPERFICIE E MISURA DEL VOLUME
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Lo schema riporta le unità di misura della superficie e le operazioni da eseguire per passare da una all’altra.
Lo schema riporta le unità di misura del volume e le operazioni da eseguire per passare da una all’altra.
4. Misura della massa e misura della capacità
MISURA DELLA CAPACITÀ E MISURA DELLA MASSA
M 4. Misuradellamassa emisuradellacapacita `
Teoria in sintesi
50,1
50 kg = massa
4 000 m
Montagna
49,78 kg = peso
50 kg = massa
Equatore
49,88 kg = peso
50 kg = massa
Livello del mare
50 kg = peso
50 kg = massa
50
Massa e peso sono grandezze differenti: in punti diversi della Terra il peso cambia, la massa no. Nel linguaggio comune, però, massa e peso vengono usati spesso come sinonimi
Inquestotestouseremosemprela parola“peso”
Il peso della ragazza è diverso all’equatore, ai poli, in montagna, al mare. La massa della ragazza non cambia ovunque si trovi.
Lo schema riporta le unità di misura della massa e le operazioni da eseguire per passare da una all’altra.
Esempi: a) 53 hg �100 � 5 300 g b) 620 dg : 100 � 6,2 dag
Lo schema riporta le unità di misura della capacità e le operazioni da eseguire per passare da una all’altra. Un litro di liquido equivale a un volume di 1 dm3, quindi: 1 � 1 dm3
Esempi: a) 18 hl �10 � 180 dal b) 4 300 cl : 100 � 43
Polo Nord
kg = peso
Polo Sud
50,1 kg = peso
kg = massa
5. Misura del tempo
M 5. Misuradeltempo
MISURA DEL TEMPO
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Le misure del tempo hanno un sistema misto, infatti:
–una parte non è decimale (anno, mese, giorno); –una parte è sessagesimale (ora, minuto, secondo); –una parte è decimale (i sottomultipli del secondo).
Lo schema seguente riporta le unità di misura del tempo e le operazioni da eseguire per passare da una all’altra.
Esempi: a) 2 ms � 30 � 60 g (giorni) b) 420 s : 60 � 7 m
di grandezze
I PRIMI ELEMENTI
1. La geometria: dalla realtà al modello
1
1. Lageometria: dallarealta ` almodello
LA GEOMETRIA: DALLA REALTÀ AL MODELLO
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Gli enti geometrici fondamentali
Il punto è privo di dimensioni.
E D F
Il punto si indica con una lettera in stampatello maiuscolo (A, B, C, D…)
Il piano si estende in due dimensioni: la lunghezza e la larghezza.
Il piano si indica con una lettera minuscola dell’alfabeto greco ( , , , ) chiusa semplice aperta semplice intrecciata chiusa intrecciata aperta
La linea ha una dimensione: la lunghezza.
Esempio: la retta r t s
La retta si indica con una lettera in stampatello minuscolo (a, b, c,... , r, s, t...)
Le linee possono essere:
2. Proprietà degli enti geometrici fondamentali
PROPRIETÀ DEGLI ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
Teoria in sintesi
Per due punti distinti passa una e una sola retta.
Le proprietà degli enti geometrici fondamentali sono:
U2 I primi elementi della geometria
Per un punto passano infinite rette.
Per tre punti distinti, non allineati, passa uno e un solo piano.
Per una retta e un punto non appartenente a essa passa uno e un solo piano.
Per tre punti allineati, oper una retta, passano infiniti piani.
GLI ANGOLI
1. Semipiani e angoli
M 1. Semipianieangoli
SEMIPIANI E ANGOLI MAPPA 1
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Ogni retta disegnata su un piano lo divide in due semipiani retta r semipiano α semipiano β α β r
Angolo: ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi l’origine in comune.
angolo CONVESSO angolo CONCAVO α O
O è il vertice, OA e OB sono i lati dell’angolo.
Un angolo può essere: A B
concavo → AOB: contiene i prolungamenti dei lati.
convesso → AOB: non contiene i prolungamenti dei lati.
2. Relazioni tra angoli
M 2. Relazionitraangoli
RELAZIONI TRA ANGOLI
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Due angoli possono essere
consecutivi: hanno il vertice e un lato in comune e gli altri due lati sono da parti opposte rispetto a quello in comune.
AO � B e BO � C angoli consecutivi
sovrapposti: hanno il vertice e un lato in comune e gli altri due lati sono situati dalla stessa parte rispetto al lato comune.
AO � C e AO � B angoli sovrapposti
90 U3 Gli angoli
adiacenti: sono consecutivi, ma i lati non coincidenti appartengono alla stessa retta.
BO � C e CO � A angoli adiacenti BOA
opposti al vertice: sono congruenti e i lati sono semirette opposte aventi l’origine in comune.
AO � CDO � B AO � DCO � B angoli opposti al vertice
4.
Operazioni con le misure angolari
M 4. Operazioni conlemisureangolari
Teoria in sintesi OPERAZIONI CON LE MISURE ANGOLARI MAPPA 3
Le operazioni possibili con gli angoli sono:
riduzione in forma normale: i primi e i secondi non superano 59.
Esempio: 74° 141� 92� → 74° 142� 32� → 76° 22� 32� (forma normale)
addizione: si dispongono in colonna le unità dei vari ordini (gradi, primi e secondi) e si addizionano separatamente.
Esempio: 35° 18� 27�� 16° 29� 47�� 91° 33� 18�� 143° 21� 32�
35°1 ʹ 82 ʹʹ7 + 16°2 ʹ 94 ʹʹ7 +
91°3 ʹ 31 ʹʹ8 = 142°8 ʹ 09 ʹʹ2 = 143° 21� 32� (forma normale)
sottrazione: si dispongono in colonna le unità dei vari ordini. Se necessario, si trasforma una unità dell’ordine immediatamente superiore nelle unità di ordine inferiore.
Esempio: 53° 21� 28� 34° 16� 45� non può essere eseguita perchè 28� è minore di 45�, pertanto trasformando nel minuendo 1� in 60� si ottiene:
53° 20� 88�
34° 16� 45�
19° 04� 43�
moltiplicazione: si moltiplicano i numeri delle unità di ogni ordine per il numero dato.
Esempio: (83° 25� 39�) � 3
83° 25� 39�� 34° 16� 4 3� �
249° 75� 117� �
16� 57� (forma normale)
divisione: si dividono i numeri delle unità di ogni ordine per il numero dato. Se esiste resto, va trasformato nelle unità di ordine inferiore.
Esempio: (122° 35 15 ) : 3
6. Operazioni con gli angoli
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
complementari: la somma delle loro ampiezze è 90°
94 U3 Gli angoli
supplementari: la somma delle loro ampiezze è 180°
esplementari: la somma delle loro ampiezze è 360°
La semiretta che ha origine nel vertice di un angolo e lo divide in due parti congruenti è la bisettrice dell’angolo.
ESERCIZI DI RIPASSO Esercizi
Esercizi Misuradigrandezze
geometria 1
1 Completaleseguentisequenzediunita ` dimisuraelefrasi.
a) mdm
Questeunita ` dimisurasonoleunita ` dimisuradi.................................
b) Mg dag
Questeunita ` dimisurasonoleunita ` dimisuradi.................................
c) ml
Questeunita ` dimisurasonoleunita ` dimisuradi.................................
2 Utilizzandoilseguenteschemarisolvileequivalenzetramisuredi lunghezza. MOLTIPLICA
chilo...etto...deca... metro deci...centi...milli... kmhmdam
a) 23hm ¼ m perpassaredahmamsimoltiplicaduevolteper 10,quindi �100 ! 23�100 ¼ m2300
b) 8014m ¼ km perpassaredamakmsidividetrevolteper10, quindi :1000 ! 8014 : 1000 ¼ km8,014
a) 26km ¼ dam.......................4dam ¼ dm..............................
b) 543m ¼ dm.........................18dm=mm.............................
c) 92m ¼ cm...........................7hm ¼ cm................................
d) 605dam ¼ m.......................86dm ¼ cm..............................
e) 4,1km ¼ m..........................9,5dam ¼ cm...........................
f) 864m ¼ dam.......................357cm ¼ dam..........................
g) 2300dm ¼ km....................608dam ¼ km..........................
h) 3168cm ¼ m......................4608m ¼ km...........................
i) 7049mm ¼ m.....................71600cm ¼ hm.......................
l) 653dm ¼ dam.....................109m ¼ hm..............................
3 Utilizzandoilseguenteschemarisolvileequivalenzetramisuredi peso-massa.
MOLTIPLICA
chilo...etto...deca...grammodeci...centi...milli... kghgdaggdgcgmg � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 : F
RICORDA:il multiplo del chilogrammo e il Megagrammo (Mg)chenel linguaggiocomune e la tonnellata (t) 1Mg ¼ 1000kg ¼ 1000000g
a) 71hg ¼ dg ............... perpassaredahgadgsimoltiplicatrevolteper 10,quindi �1000 ! 71�1000 ¼ dg71000
b) 4570kg ¼ Mg perpassaredaMgakgsidividepermille, quindi : 1000 ! 4570 : 1000 ¼ Mg4,57
a) 73hg ¼ g.............................43g ¼ mg.................................
b) 8g ¼ mg..............................52hg ¼ dg................................
c) 920kg ¼ hg.........................8kg ¼ g....................................
d) 12dag ¼ dg.........................35dag ¼ cg..............................
e) 5,3kg ¼ dag........................7,9g ¼ mg................................
f) 8100hg ¼ kg......................2400g ¼ hg.............................
g) 500mg ¼ dg........................17800kg ¼ Mg........................
h) 2611dg ¼ hg......................9546dag ¼ kg.........................
i) 72186cg ¼ dag..................837cg ¼ g................................
l) 12,3mg ¼ g.........................613,4cg ¼ dag.........................
4 Utilizzandoilseguenteschemarisolvileequivalenzetramisuredi capacita.
MOLTIPLICA
a) 5hl ¼ cl ............... perpassaredahlaclsimoltiplicaquattrovolteper 10,quindi �10000 ! 5�10000 ¼ cl50000
b) 41cl ¼ ‘ perpassaredacla ‘ sidivideduevolteper10,quindi : 100 ! 41 : 100 ¼ ‘ 0,41
a) 674 ‘ ¼ cl.............................93dal ¼ ml...............................
b) 150 ‘ ¼ dl.............................8hl ¼ dl....................................
c) 514dal ¼ dl.........................70dl ¼ ml.................................
d) 2,8hl ¼ ‘ ..............................9,6dal ¼ cl...............................
e) 864 ‘ ¼ dal..........................507cl ¼ dal..............................
f) 3250dl ¼ hl........................867dl ¼ ‘
g) 698cl ¼ dal.........................942 ‘ ¼ hl.................................
h) 4529ml ¼ ‘ .........................63000cl ¼ hl...........................
5 Cerchiainognirigalemisureequivalenti.
a) 5km 5000m500mm50hm
b) 0,3m 30dam 3hm 0,3hm
c) 70dal 0,7hl 700 ‘ 70dl
d) 0,02dal 2 ‘ 200 ‘ 0,2 ‘
e) 0,120hg120dg 12kg 1,2dag
f) 25dag250hg 250g2500cg
Osservaquestostranodisegnoeaccantoaognicoppiadisegmenti indicasesonoconsecutivi,adiacenti,incidenti,sovrapposti.
a) AB e BC
b) LM e MN
c) PD e MD
d) BF e MD
e) HG e GF ..............................
f) CE e CD ..............................
g) CD e MD ..............................
Completalaseguentetabella.
3 � CD ¼ 3 � 7 ¼
5 � CD ¼ 12dm
6 � CD ¼ 2,5m 8dam AB : 2 ¼ 8 : 2 ¼ 27km AB : 3 ¼ 49,5hm AB : 9 ¼
h) HD e LF
i) GF e FE
l) LO e OF
m) LF e LM ...............................
n) AE e MD ..............................
o) HO e HD ..............................
M 3. Proiezionisuunaretta
RETTE NEL PIANO
3. Proiezioni su una retta
Teoria in sintesi
PROIEZIONI SU UNA RETTA MAPPA 1
Teoria
in sintesi
di un punto A su una retta: A'. A A' r
Proiezione
il segmento è parallelo alla retta: la proiezione è congruente al segmento.
A' A B' B
di un segmento su una retta: segmento che ha per estremi le proiezioni degli estremi del segmento dato.
Si possono verificare tre casi:
il segmento non è parallelo alla retta: la proiezione è minore del segmento. A' A B' B
il segmento è perpendicolare alla retta: la proiezione è un punto. A H B r la proiezione è un punto
4. Rette tagliate da una trasversale
RETTE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Angoli formati da una trasversale che taglia due rette a e b
a e b sono incidenti a b t 4 1 2 5 6 7 8 3
4 e 6 ; 1 e 7
1 e 5 ; 2 e 6
3 e 7 ; 4 e 8
2 e 5 ; 3 e 8
1 e 6 ; 4 e 7
3 e 5 ; 2 e 8alterni interni alterni esterni corrispondenti corrispondenti coniugati interni coniugati esterni
e b sono parallele (a / / b)
•gli angoli alterni interni sono congruenti
( 3 5 e 2 8 )
•gli angoli alterni esterni sono congruenti
( 4 6 e 1 7 )
•gli angoli coniugati interni ed esterni sono supplementari
( 2 5 180°; 3 8 180°; 1 6 180°; 4 7 180°)
•gli angoli corrispondenti sono congruenti
( 1 5 ; 2 6 ; 3 7 ; 4 8 )
2. Classificazione dei poligoni
CLASSIFICAZIONE DEI POLIGONI MAPPA 1
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Rispetto ai lati triangolo quadrilatero pentagono esagono ettagono ottagono ennagono decagono endecagono dodecagono
Poligoni convessi: hanno tutti gli angoli convessi
Rispetto agli angoli
Equilateri: hanno i lati congruenti ABBCCDDA
Poligoni concavi: hanno almeno un angolo concavo
Rispetto ai lati e agli angoli
Equiangoli: hanno gli angoli congruenti
Regolari: sono equilateri ed equiangoli
3. Relazioni tra i lati e tra gli angoli di un poligono
Teoria in sintesi
RELAZIONI TRA I LATI E TRA GLI
ANGOLI DI UN POLIGONO
Teoria in sintesi
la lunghezza del lato maggiore deve essere minore della somma degli altri.
Esempio:
In ogni poligono
la somma degli angoli esterni è 360°.
la somma degli angoli interni (Si) è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i lati meno due e si calcola con la formula Si � (n � 2) � 180° n è il numero dei vertici del poligono.
Esempio: Calcola la somma degli angoli interni di un ettagono. Si � (n � 2) � 180° � (7 � 2) � 180° � 5 � 180° � 900°
4. Diagonali di un poligono
DIAGONALI
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
la diagonale è il segmento che congiunge due vertici non consecutivi.
In ogni poligono n � 5 d ��� 5 5 � (5 3) 2 5 � 2 2
Il numero di diagonali uscenti da ogni vertice (dv) si calcola con la formula:
dv n 3
n numero dei vertici del poligono
Esempio:
n � 6 dv � 3
Il numero totale di diagonali (d), si calcola con la formula: n numero dei vertici del poligono d � nn 3 () 2
Esempio: A
1. Le caratteristiche dei triangoli
Teoria in sintesi
LE CARATTERISTICHE DEI TRIANGOLI
Teoria in sintesi
La lunghezza del lato maggiore deve essere minore della somma degli altri due lati.
Esempio:
Lato a � 12 cm, lato b � 25 cm, lato c � 19 cm; 25 � 12 � 19, quindi il triangolo esiste. b a c
relazione tra i lati
I triangoli sono poligoni con tre lati e tre angoli
relazione tra gli angoli
Il perimetro di un triangolo è la somma delle misure dei suoi lati.
Esempio:
2p � a � b � c � 12 � 25 � 19 � 56 cm
La somma degli angoli interni è 180°, cioè corrisponde a un angolo piatto.
Esempio:
2. Classificazione dei triangoli
M 2. Classificazionedeitriangoli
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
scaleno tre lati di misura diversa
isoscele solo due lati congruenti
equilatero tre lati congruenti
acutangolo tre angoli acuti
rispetto ai lati
rispetto agli angoli
rettangolo un angolo retto (90°)
Rispetto ai lati e agli angoli esistono quindi:
triangolo scaleno acutangolo
triangoli scaleni rettangoli
triangolo scaleno ottusangolo
ottusangolo un angolo ottuso
triangolo isoscele acutangolo
triangolo isoscele rettangolo
triangolo isoscele ottusangolo
TRIANGOLO
3. Punti notevoli di un triangolo
3
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
ORTOCENTRO
INCENTRO
BARICENTRO
CIRCOCENTRO
Punto di incontro delle tre altezze, segmenti perpendicolari condotti da un vertice al lato opposto.
Punto di incontro delle tre bisettrici, semirette che dividono gli angoli in due parti congruenti.
Punto di incontro delle tre mediane, segmenti che congiungono un vertice con il punto medio del lato opposto.
TABELLA RIASSUNTIVA
TIPO DI TRIANGOLO ALTEZZE
acutangolo
ottusangolo
rettangolo
nome del punto di intersezione
Punto di incontro dei tre assi, segmenti perpendicolari passanti per il punto medio di ogni lato.
4. Triangolo isoscele e sue proprietà
Teoria in sintesi
TRIANGOLO ISOSCELE
E SUE PROPRIETÀ
Teoria in sintesi
• AB � BC sono i lati obliqui
• AB è la base
• A CB è l’angolo al vertice
• A � B sono gli angoli alla base
• CH è l’altezza → CH AB
• CH è la mediana → AH � HB
• CH è la bisettrice → A CH � B CH
• I punti notevoli del triangolo isoscele appartengono all’altezza relativa alla base
•2pb 2
5. Triangolo equilatero e sue proprietà
TRIANGOLO EQUILATERO E SUE PROPRIETÀ
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
• E � F � G = 60° → poligono equiangolo
• EF � FG � GE → poligono equilatero quindi questo triangolo è un poligono regolare
• GH � EI � FL sono altezze, mediane, bisettrici e assi. Questi si incontrano in un unico punto che è il centro del triangolo equilatero
•2p 3
6. Triangolo rettangolo e sue proprietà
TRIANGOLO RETTANGOLO E SUE PROPRIETÀ
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
• AC → cateto minore
• AB → cateto maggiore
• BC → ipotenusa
• AH → altezza relativa all’ipotenusa
• B e C → angoli acuti
• A → angolo retto � 90°
• LN → cateto minore
• NM → cateto maggiore
• LM → ipotenusa
• NH → altezza relativa all’ipotenusa
• L e M → angoli acuti
• N → angolo retto � 90°
Triangoli rettangoli particolari
Triangoli rettangolo isoscele → è la metà di un quadrato
Triangoli rettangolo scaleno con angoli di 30° e 60° → è la metà di un triangolo equilatero
4. Criteri di congruenza dei triangoli
CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
Due triangoli sono congruenti quando hanno i tre lati e i tre angoli congruenti, cioè perfettamente sovrapponibili.
Primo criterio: due triangoli congruenti hanno due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti.
Terzo criterio: due triangoli congruenti hanno tre lati ordinatamente congruenti.
Secondo criterio: due triangoli congruenti hanno un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti.
I QUADRILATERI
1. I quadrilateri: definizioni e proprietà
Teoria in sintesi I QUADRILATERI: DEFINIZIONI E PROPRIETÀ
M 1. Iquadrilateri: definizionieproprieta ` Teoria in sintesi
relazione tra i lati:
I quadrilateri sono poligoni con quattro lati e quattro angoli
possono essere:
convessi: hanno tutti gli angoli convessi
A; B; C; D sono convessi
ogni lato è minore della somma degli altri tre
La somma degli angoli interni è 360°; infatti:
quadrilateri
QUADRILATERO CONVESSO
concavi: hanno un angolo concavo H G F E E; F; H sono convessi G è concavo
QUADRILATERO CONCAVO
I TRAPEZI MAPPA 2
scaleni
i lati non paralleli sono di diversa misura
TRAPEZIO SCALENO
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
TRAPEZI
quadrilateri con almeno una coppia di lati paralleli (basi): AB//DC
AB → base maggiore
DC → base minore
Gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono supplementari perché coniugati interni:
possono essere:
rettangoli
uno dei lati non paralleli è perpendicolare alla coppia di lati paralleli
TRAPEZIO
isosceli i lati non paralleli sono congruenti
Teoria in sintesi
• 2 coppie di lati //, congruenti a due a due
•2p � ( 1 � 2) � 2 → 1 � 2p : 2 � 2 e 2 � 2p : 2 � 1
•2 altezze �
•2 diagonali �
• A � D � B � C � 180° D � B e A � C
Ogni diagonale divide il parallelogramma in due triangoli congruenti. Le diagonali si tagliano scambievolmente a metà.
rettangoli
Teoria in sintesi
Teoria
Teoria in sintesi
I RETTANGOLI
Teoria in sintesi
teoria �eoria Geometria 1
• 2 coppie di lati //, congruenti a due a due. I lati consecutivi sono perpendicolari e detti altezza e base del rettangolo.
M 5. Irombi
5. I rombi
• 4 angoli interni di 90° (parallelogramma equiangolo)
•2 diagonali
• 2 coppie di lati //, congruenti a due a due. I lati consecutivi sono perpendicolari e detti altezza e base del rettangolo.
Teoria Iquadrilateri
teoria �eoria Geometria 1
• 4 angoli interni di 90° (parallelogramma equiangolo)
•2p � (b � h) � 2 → b � 2p : 2 � h e h � 2p : 2 � b
Teoria in sintesi
•2 diagonali
M 5. Irombi
oppure 2p � b � 2 � h � 2
Teoria in sintesi
•2p � (b � h) � 2 → b � 2p : 2 � h e h � 2p : 2 � b oppure
2p � b � 2 � h � 2
5
Teoria in sintesi
I ROMBI
Teoria in sintesi
• 4 lati congruenti (parallelogramma equilatero)
•2 diagonali e tra di loro. Ogni diagonale è bisettrice degli angoli interni. Le diagonali dividono il rombo in quattro triangoli rettangoli congruenti.
•2p 4 → 2p : 4
• 4 lati congruenti (parallelogramma equilatero)
•2 diagonali e tra di loro. Ogni diagonale è bisettrice
degli angoli interni. Le diagonali dividono il rombo in quattro triangoli
I QUADRATI
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
• 4 lati congruenti (parallelogramma equilatero)
• 4 angoli congruenti (parallelogramma equiangolo)
• Il quadrato è un poligono regolare
•2 diagonali e tra di loro
•2p 4 → 2p : 4
Teoria in sintesi
Teoria in sintesi
• I deltoidi hanno due coppie di lati consecutivi
• I deltoidi possono essere concavi o convessi
concavo convesso 1 2
• Due angoli sono e due non lo sono
•Le diagonali sono e dividono il deltoide in 4 triangoli rettangoli a due a due
•Una diagonale è bisettrice dei due angoli non congruenti
•2p ( 1 2) 2 oppure 2p 1 2 2 2
120 U7 I quadrilateri
geometria 1
1 Completaletabellefacendoriferimentoaltriangoloinfigura. , , sonogliangoliinternideltriangolo
2 Utilizzandoidatiforniticalcolailperimetrodeiseguentitriangoli.
Considerailtrapeziodellafigura:completaleaffermazionie latabella.
Completaletabellerelativealparallelogrammadellafigura.
Completaleaffermazionieletabellerelativealrettangolodellafigura.
b e h sonole dimensioni del rettangolo
Formule
Ilrettangoloha4 angoli ..........chemisurano..........� ciascuno.
Ledue basi ! b sonoparalleleedellastessalunghezza.
Ledue.................... ! h sonoperpendicolarialle........................................
Osservailrombo ABCD:completaleaffermazionieletabellerelative.
Ilrombo e unpoligono equilatero perche ha4lati, ‘,dellastessa lunghezza 2p ! perimetro
Formule