SEZIONE
ALGEBRA
Elementi di logica e algebra astratta
1.1 LA LOGICA Enunciati e connettivi logici La logica studia il ragionamento; in particolare la logica matematica analizza i ragionamenti scritti in un linguaggio formale in cui non vi sono ambiguità di interpretazione. Si definisce proposizione logica o enunciato un’espressione linguistica di cui si può stabilire oggettivamente e univocamente se è vera (V) o falsa (F).
Non sono proposizioni logiche: 3 Il 24 è un numero grande. 4 Roma è una bella città.
Sono proposizioni logiche: 1 Il numero 3 è pari. 2 Roma è la capitale d’Italia.
Una proposizione logica è elementare o atomica se è formata da una sola forma verbale, cioè da un solo predicato (verbale o nominale).
Sono proposizioni logiche elementari: 1 Il 4 è un numero naturale. 2 Il gatto è un mammifero.
Non sono proposizioni logiche elementari: 3 Il 4 è un numero naturale ed è un numero pari. 4 Il gatto è un mammifero ed è anche un felino.
Si definisce proposizione composta una proposizione logica formata da due o più proposizioni elementari collegate tra loro da connettivi logici; se si compongono più di due proposizioni elementari si ottiene un enunciato più complesso detto anche formula proposizionale.
Sono proposizioni logiche composte: 1 Se piove prendo l’ombrello.
2 Il 35 è un numero dispari e non è divisibile per 3.
Tabella riassuntiva dei connettivi logici Indichiamo con p e q due proposizioni logiche. connettivo non e o, oppure (vel) o ... o ... (aut) se … allora ... se e solo se
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simbolo –p p∧q p∨q . p∨q p→q p↔q
operazione corrispondente negazione: “non p” congiunzione: “p e q” disgiunzione inclusiva: “p o q” disgiunzione esclusiva: “o p o q” implicazione materiale: “se p allora q” doppia implicazione: “p se e solo se q”