Operações com polinómios

Sumário: Resolução de equações de 2º grau.

Fórmula resolvente.

5.

a) ( x + 2 ) ( 3 − x ) = 3x

−x 2 +6 −2 x = − x 2 + x + 6

−2 a 1 a 8a 1   b)  + a ÷( −2 − a ) = − − 2a − a 2 = − a 2 − − − = 4 4 2 4 4 4  9a 1 2 = −a − − 4 2 2 3 + 3 y 2 − y = 6 − 3 y + 6 y − 3 y = 3 1 + y 2 − y = )( ) )( ) ( c) (

= −3 y 2 + 3 y + 6

1 1   2 2x + x − ÷= d) 2 − ( 2 x + 1)  x − ÷ = 2 −  2 x − 2 2 2  

1  2 1  2 = 2 −  2x − x + x − ÷= 2 −  2x − ÷= 2  2  4 1 5 1 2 2 = 2 − 2 x + = − 2 x + + = −2 x + 2 2 2 2 2

Casos Notáveis da Multiplicação:

( A + B) 6.

2

= A + 2 AB + B 2

2

2 2 2 = a + 10a + 25 a + 5 = ) a + 2× a ×5 + 5 a) ( 2

b) ( 3 y − 2 )

2

= ( 3y ) + 2 × 3 y × ( −2 ) + ( −2 ) 2 = 9 y 2 − 12 y + 4 2

Casos Notáveis da Multiplicação: 2 2 A + B A − B = A − B ( )( )

2 c) ( x − 4 ) ( x + 4 ) = x − ( 4 ) = x − 16 2

2

2

1 2 1  1  1 d)  − 10 x ÷ + 10 x ÷ =  ÷ − ( 10 x ) = − 100 x 2 4 2  2  2

7.

a) 3 x + 15 = 3 × x + 3 × 5 = 3 ( x + 5 ) 2 6 b + 5b = 6b × b + 5 × b = b ( 6b + 5 ) b)

2 c) 10x + x = x × 10 x + x × 1 = x ( 10 x + 1)

2 x − 1 = ( x + 1) ( x − 1) d)

e) 36 − y 2 = 62 − y 2 = ( 6 + y ) ( 6 − y ) 2 2 x − 10 = ( 2 x + 10 ) ( 2 x − 10 ) = 4 x − 100 = ( ) f) 2

2

=  2 ( x + 5 )   2 ( x − 5 )  = 2 × 2 × ( x + 5 ) ( x − 5 ) = = 4 ( x + 5) ( x − 5)

2 2 g) x 2 − 6 x + 9 = x − 2 × x × 3 + 3 = ( x − 3) ( x − 3)

2 x + 2 x + 1 = ( x + 1) ( x + 1) h)

Lei do Anulamento do Produto:

A× B = 0 8.

⇔ A=0

∨

B=0

a) ( x + 4 ) ( 2 − x ) = 0 ⇔ x + 4 = 0 ∨ 2 − x = 0 ⇔

⇔ x = −4 ∨ x = 2

S = { −4, 2}

b) ( − a − 1) ( a + 5 ) = 0 ⇔ − a − 1 = 0 ∨ a + 5 = 0 ⇔

⇔ a = −1 ∨ x = −5

S = { −5, −1}

c) x ( x + 3) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x + 3 = 0 ⇔

⇔ x = 0 ∨ x = −3

S = { −3, 0}

d) b − 7b 2 = 0 ⇔ b ( 1 − 7b ) = 0 ⇔ b = 0 ∨ 1 − 7b = 0 ⇔

1 ⇔ b = 0 ∨ 7b = 1 ⇔ b = 0 ∨ b = 7

 1 S = 0,   7

2 e) 3 y = 2 y ⇔ 3 y 2 − 2 y = 0 ⇔ y ( 3 y − 2 ) = 0 ⇔

2 ⇔ y = 0 ∨ 3y − 2 = 0 ⇔ y = 0 ∨ 3y = 2 ⇔ y = 0 ∨ y = 3  2 S = 0,   3 f)

x 2 − 9 = 0 ⇔ ( x + 3) ( x − 3) = 0 ⇔ x + 3 = 0 ∨ x − 3 = 0 ⇔

⇔ x = −3 ∨ x = 3

S = { −3,3}

Resolução de Equações do 2º Grau INCOMPLETAS

Equações do tipo

ax = 0 2

a ≠ 0 sempre!

0 Exemplo: 3 x = 0 ⇔ x = 3 2

2

⇔ x =0 2

⇔ x=0

S = { 0}

As equações deste tipo têm sempre uma única solução

x = 0.

Equações do tipo

ax + c = 0 2

8 Exemplo: 2 x − 8 = 0 ⇔ 2 x = 8 ⇔ x = ⇔ 2 2

2

2

⇔ x2 = 4 ⇔ x = ± 4 ⇔ ⇔ x = −2 ∨ x = 2 S = { −2, 2} Sempre que a e c têm sinais opostos, as equações deste tipo têm duas soluções simétricas.

Equações do tipo

ax + c = 0 2

8 Exemplo: 2 x + 8 = 0 ⇔ 2 x = −8 ⇔ x = − ⇔ 2 2

2

2

⇔ x 2 = −4 Equação Impossível (em R)

S = ∅ ou S = { Sempre que a e c têm o mesmo sinal, as equações deste tipo são impossíveis, isto é, não têm soluções.

}

Equações do tipo ax

2

+ bx = 0

2 x + 2x = 0 ⇔ x ( x + 2) = 0 ⇔ Exemplo:

⇔ x = 0∨ x + 2 = 0 ⇔ ⇔ x = 0 ∨ x = −2 S = { −2, 0} As equações deste tipo podem sempre ser resolvidas utilizando a Lei do Anulamento do Produto, colocando o x em evidência. Obtêmse duas soluções, sendo uma delas a solução nula.

Resolução de Equações do 2º Grau COMPLETAS Certas equações do 2º grau podem ser resolvidas através da aplicação do desenvolvimento do quadrado do binómio Exemplo: x + 8 x + 16 = 0 2

⇔ ( x + 4) = 0 ⇔ 2

⇔ ( x + 4) ( x + 4) = 0 ⇔ ⇔ x + 4 = 0∨ x + 4 = 0 ⇔ ⇔ x = −4 ∨ x = − 4

x

2

16 = 4

2

8x = 2 × x × 4

S = { −4}

Neste caso, diz-se que -4 é uma solução (ou raíz) dupla!

Fórmula Resolvente das equações do 2º grau com uma incógnita

bx c ax + bx + c = 0 ⇔ x + + = 0 a a 2

2

2

2

bx  b   b  c ⇔ x + + ÷ − ÷ + = 0 a  2a   2a  a 2

2

2

b   b  c  ⇔  x+ ÷ − ÷ + = 0 2 a   2a  a  2

b  b2 c  ⇔x+ ÷ = 2− 2a  4a  |a

×2 a

2

2 b b 4ac   ⇔x+ ÷ = 2− 2 2a  4a 4a 

b b 2 − 4ac ⇔ x+ =± 2a 4a 2

b b 2 − 4ac ⇔ x=− ± 2a 4a 2

−b ± b 2 − 4ac ⇔x= 2a

FÓRMULA RESOLVENTE DAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Exemplo: x + 8 x + 12 = 0 2

⇔

−8 ± 82 − 4 ×1×12 ⇔x= ⇔ 2 ×1

a=1 b=8 c = 12

−8 ± 16 − 8 ± 64 − 48 ⇔ = ⇔ x= −b ± b 2⇔− x4ac 2 2 x= 2a −8 + 4 −8 − 4 −8 ± 4 ∨x= ⇔ ⇔x= ⇔ x= 2 2 2 −4 −12 ⇔x= ∨x= ⇔ 2 2

⇔ x = −2 ∨ x = −6

S = { −6, −2}