1. Raíces de ecuaciones algebraicas.
TEMA 14 Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces.
Por simplicidad estudiaremos en el tema ecuaciones algebraicas f = 0, donde f (X ) = X n + a 1X n – 1 + ... + a n ∈ C[X ] es un polinomio mónico de grado n > 1 con coeficientes en el cuerpo C de los números complejos. Comenzamos obteniendo sus raíces, esto es, aquellos u ∈ C tales que f (u ) = 0, para n = 2, 3, las fórmulas de Cardano -Vieta y algunos resultados sobre raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros. En la segunda sección se trata el problema de contar, con y sin multiplicidad, las raíces de un polinomio. Se obtiene una cota, en función de los coeficientes de f, del módulo de sus raíces, que se emplea, junto con el Teorema de Sturm, para calcular el número de raíces reales distintas de un polinomio f ∈ R[X ]. En la última sección se explican de entre los múltiples métodos existentes, dos procedimientos de aproximación de raíces reales: el de la bisección y el método de Newton - Fourier.
1. Raíces de ecuaciones algebraicas. 1.1 Observaciones 1. El problema de calcular las raíces de f se reduce al caso en que a 1 = 0. En efecto, mediante el cambio de variable T = X + a 1/n se obtiene el polinomio g (T ) = f (T – a 1/n) = (T – a 1/n) n + a 1(T – a 1/n) n – 1 + ... + a n = T n + b 2 T n – 2 + ... + bn , y conocidas las raíces de g se obtienen las de f restándoles a 1/n.
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