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1. Raíces de ecuaciones algebraicas.

TEMA 14 Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces.

Por simplicidad estudiaremos en el tema ecuaciones algebraicas f = 0, donde f (X ) = X n + a 1X n – 1 + ... + a n ∈ C[X ] es un polinomio mónico de grado n > 1 con coeficientes en el cuerpo C de los números complejos. Comenzamos obteniendo sus raíces, esto es, aquellos u ∈ C tales que f (u ) = 0, para n = 2, 3, las fórmulas de Cardano -Vieta y algunos resultados sobre raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros. En la segunda sección se trata el problema de contar, con y sin multiplicidad, las raíces de un polinomio. Se obtiene una cota, en función de los coeficientes de f, del módulo de sus raíces, que se emplea, junto con el Teorema de Sturm, para calcular el número de raíces reales distintas de un polinomio f ∈ R[X ]. En la última sección se explican de entre los múltiples métodos existentes, dos procedimientos de aproximación de raíces reales: el de la bisección y el método de Newton - Fourier.

1. Raíces de ecuaciones algebraicas. 1.1 Observaciones 1. El problema de calcular las raíces de f se reduce al caso en que a 1 = 0. En efecto, mediante el cambio de variable T = X + a 1/n se obtiene el polinomio g (T ) = f (T – a 1/n) = (T – a 1/n) n + a 1(T – a 1/n) n – 1 + ... + a n = T n + b 2 T n – 2 + ... + bn , y conocidas las raíces de g se obtienen las de f restándoles a 1/n.

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1. Raíces de ecuaciones algebraicas.

2. De hecho esto ya resuelve las ecuaciones de grado 2. En efecto, si f (X ) = X 2 + a 1X + a 2 , obtenemos por el procedimiento anterior 2

g (T ) = f (T – a 1/2) = (T – a 1/2)2 + a 1(T – a 1/2) + a 2 = T 2 – ( a 1 ⁄ 4 – a 2 ) 2

2

a 1 – 4a 2 – a 1 – 4a 2 cuyas raíces en C son t 1 = --------------------- y t 2 = ------------------------ , por lo que las de f son 2 2 2

2

– a 1 + a 1 – 4a 2 – a 1 – a 1 – 4a 2 x 1 = ---------------------------------- y x 2 = ---------------------------------2 2 3. Se llama ecuación bicuadrada a la de la forma f (X ) = X 4 + a 2X 2 + a 4 . Poniendo X 2 = Y se obtiene h (Y ) = Y 2 + a 2Y + a 4 cuyas raíces y 1 e y 2 se calculan mediante el procedimiento descrito en el apartado anterior. En consecuencia, las raíces de f son x1 =

y1 ; x2 = – y1 ; x3 =

y2 ; x4 = – y2

4. Entre los procedimientos conocidos para obtener las raíces de la ecuación de grado tres presentamos el siguiente. Podemos suponer, en virtud de 1, que el polinomio dado es f (X ) = X 3 + 3a 2X + a 3 Supondremos también que a 2 ≠ 0, pues si no el problema es trivial : las raíces de f serían las tres raíces cúbicas de – a 3 en C. Escribimos X = Z – a 2/Z, y definimos el polinomio 3

F (Z ) = Z 3 f (Z – a 2/Z ) = Z 6 + a 3Z 3 – a 2 , que no tiene a 0 por raíz por ser a 2 ≠ 0. Si ponemos U = Z 3 , las raíces u 1 y u 2 del polinomio 3

G (U ) = U 2 + a 3U – a 2 , se calculan como en 2, y sus raíces cúbicas son las de F. Denotando

ξ =e

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2 πi -------3

1 + 3i= –-------------------, las raíces cúbicas de la unidad son 1, ξ y ξ 2, por lo que si elegimos 2


1. Raíces de ecuaciones algebraicas.

dos raíces cúbicas z 1 =

3

u1 y z2 =

3

u 2 de u 1 y u 2 , respectivamente, resulta que las

raíces de F son {z 1 , z 1ξ , z 1ξ , z2 , z2ξ , z2ξ }. 2

2

No es difícil, aunque sí pesado, comprobar que las imágenes de estos seis valores por la aplicación ϕ : C – {0} → C : z → z – a 2/z es un conjunto con a lo sumo tres elementos distintos, x 1, x 2 y x 3 , que evidentemente son las raíces de f . 5. También existen fórmulas que sólo involucran radicales para expresar las raíces de la ecuación de grado 4, aunque no las presentaremos. Debe señalarse, sin embargo, que un resultado debido a Abel y Galois afirma que para n ≥ 5 las raíces de la ecuación general de grado n no son expresables mediante radicales. En tal caso es esencial conocer la estructura del conjunto de raíces, lo que viene dado por las llamadas 1.2 Fórmulas de Cardano-Vieta Se llaman funciones simétricas elementales a los polinomios S k ( X 1, …, X n ) =

X i1 …X ik

1 ≤ i1 < i2 < … < ik ≤ n

Sean x 1, ..., xn las raíces en C de f (X ) = X n + a 1X n – 1 + ... + a n ∈ C[X ]. Entonces, ak = (–1) k Sk (x 1 , ..., xn ), para cada 1 ≤ k ≤ n Demostración Basta igualar coeficientes en ambos miembros de la igualdad X n + a 1X n – 1 + ... + a n = (X – x 1) ... (X – xn ) ♦ Si f tiene coeficientes enteros tiene interés reconocer sus posibles raíces enteras o racionales. Recogemos en la siguiente proposición algunos resultados al respecto, cuyas demostraciones aparecen en 15.2.2. 1.3 Proposición

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2. Número de raíces de ecuaciones algebraicas.

Sean x, y ∈ Z tales que m.c.d (x, y ) = 1 y u = x/y ∈ Q una raíz del polinomio f (X ) = a 0 + a 1X + ... + a n X n ∈ Z[ X ] 1. x divide a a 0 e y divide a a n . En particular, si a n = 1 resulta que 2. Las raíces racionales de un polinomio mónico con coeficientes en Z son números enteros. 3. y – x divide a s(f ) = a 0 + a 1 + ... + an y x + y divide a t (f ) = a 0 – a 1 + ... + (–1)nan . Por ello, como cada número entero x se escribe como x = x/1, se tiene 4. El conjunto de raíces enteras de f es un subconjunto del conjunto finito F = {x ∈ Z : x divide a a 0, x – 1 divide a s (f ) y x + 1 divide a t (f )}

2. Número de raíces de ecuaciones algebraicas. 2.1 Definición y observaciones 1. Si u ∈ C, se llama multiplicidad de u como raíz de f ∈ C[X ] al número entero mult (u ; f ) = max {k ∈ N : (X – u )k divide a f } 2. De la regla de Ruffini, 13.3.2.3 se sigue que u es raíz de f si y sólo si mult (u ; f ) ≥ 1. La raíz se dice simple si mult (u ; f ) = 1, y múltiple en caso contrario. 3. Al ser C[X ] dominio euclídeo, 13.2.1, si u 1, ..., us son raíces de f en C de multiplicidades k

k

k 1, ..., ks , existe g ∈ C[X ] tal que f = (X – u 1 ) 1 … (X – u s ) sg . Contando grados se obtiene s ≤ k 1 + ... + ks ≤ k 1 + ... + ks + gr (g ) = gr (f ), de donde se deduce que el número de raíces de un polinomio no nulo es finito y la suma de sus multiplicidades es menor o igual que su grado.

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2. Número de raíces de ecuaciones algebraicas.

4. Gauss fue el primero en probar que C es algebraicamente cerrado, esto es, que existen números complejos u 1, ..., us , distintos entre sí, a ∈ C y k 1, ..., ks ∈ N, tales que k1

f = a (X – u 1 ) … (X – u s )

ks

(2.1.1)

Se dice que el número de raíces de f en C, contadas con multiplicidad, coincide con su grado. 5. Este resultado resuelve el problema de contar, con multiplicidad, el número de raíces complejas de un polinomio. Para contar el número de raíces distintas conviene observar que si f´ es la derivada de f y mult (u ; f ) = k > 1, entonces mult (u ; f´ ) = k – 1. En efecto, como u es raíz de multiplicidad k, se escribirá f (X ) = (x – u) k g (X ) para cierto polinomio g ∈ C[X ] tal que g (u ) ≠ 0. Derivando, y si h (X ) = kg (X ) + (x – u) g´(X ), f´(X ) = (x – u) k – 1 h (X ) , con h (u ) = kg (u ) ≠ 0 Por ello, si f se escribe como en (2.1.1), existe ϕ ∈ C[X ] tal que ϕ (u i ) ≠ 0 y f ′ = (X – u 1 )

k1 – 1

… (X – u s )

ks – 1

ϕ (X )

Así, el máximo común divisor de f y f ´, que se puede calcular mediante el algoritmo de Euclides, 13.2.3, sin necesidad de conocer las raíces de f, es ( X – u 1 )

k1 – 1

… ( X – us )

ks – 1

,

por lo que el número de raíces distintas de f es el grado del polinomio f F = --------------------------------- = ( X – u1 ) … ( X – us ) a m ⋅ c ⋅ d ( f, f ′ ) 6. El cálculo del número de raíces reales distintas de un polinomio f ∈ R[X ] es más laborioso. Introducimos para ello las siguientes notaciones : dados números reales no nulos b 1, ..., bk , se denota V (b 1, ..., bk ) = card {1 ≤ i ≤ k – 1 : bi bi + 1 < 0}

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2. Número de raíces de ecuaciones algebraicas.

Si c 1, ..., cr son números reales, alguno tal vez nulo, y de entre ellos escogemos, sin alterar el orden, los no nulos b 1, ..., bk , se define V (c 1, ..., cr ) = V (b 1, ..., bk ). Mediante el algoritmo de Euclides con los restos cambiados de signo, calculamos el máximo común divisor de f 1 = f y f 2 = f ´, obteniendo f 1 = q 1 f 2 – f 3 ; f 2 = q 2 f 3 – f 4 ; ... ; fr – 1 = qr f r

(2.1.2)

La colección de polinomios (f 1, ..., f r ) se llama sucesión de Sturm de f, y la función Vf : R → R : t → V (f 1 (t ), ..., f r (t )) se denomina función de Sturm de f. Se tiene el siguiente resultado, cuya prueba omitimos: 2.2 Teorema de Sturm Sean a < b números reales en los que no se anula el polinomio f ∈ R[X ], yVf su función de Sturm. El número de raíces reales distintas de f en el intervalo (a, b) es Vf (a) – Vf (b ). Debemos señalar la existencia de un teorema, atribuido a Fourier, que permite calcular la paridad del número de raíces reales contadas con multiplicidad, en el que la función de Sturm se sustituye por una semejante, contando la sucesión de cambios de signo de la familia de derivadas sucesivas del polinomio cuyo número de raíces deseamos contar. El Teorema de Sturm permite contar el número de raíces reales distintas de f si se conoce a priori un intervalo que contenga a todas. Para ello basta emplear la siguiente proposición. 2.3 Acotación del módulo de las raíces de un polinomio n

Sean f (X ) = X n + a 1X n – 1 + ... + a n ∈ C[X ] y Mf = 1 +

∑a

i

. Cada raíz u ∈ C del

i=1

polinomio f cumple que u < M f . En particular, todas las raíces reales de f pertenecen al intervalo (– Mf , Mf ).

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3. Aproximación de raíces reales de ecuaciones.

Demostración El resultado es obvio si | u | < 1, luego supondremos lo contrario. En particular u ≠ 0, y n

dividiendo por u

n–1

la igualdad f (u ) = 0 se tiene – u =

ai

. Tomando módulos, ∑ --------u i–1

i=1 n

u =

∑ i=1

n

ai --------i–1 u

∑ i=1

n

ai -------------- ≤ i–1 u

∑a

i

< Mf ♦

i=1

3. Aproximación de raíces reales de ecuaciones. En esta sección expondremos dos métodos para hallar valores aproximados de raíces reales de un polinomio f (X ) = X n + a 1X n – 1 + ... + a n ∈ R[X ]. Fijamos un intervalo I = (a, b) de modo que f (a )f (b ) < 0, lo que por el Teorema de Bolzano, 25.2.2, garantiza la existencia de alguna raíz ξ de f en I, que supondremos única. Por supuesto, calcular dicha raíz es lo mismo que calcular la abscisa del punto en que la curva Γ = {y = f (x )} corta al eje OX. 3.1 Método de la bisección + b- de I. Si f ( m ) = 0 , entonces ξ = m, y hemos Consideremos el punto medio m = a ----------2 concluido. Si no, puesto que f (a )f (b ) < 0, el signo de f (m ) coincide, bien con el de f (a ) bien con el de f (b ). Suponemos lo primero, y así f toma valores de signo contrario en los u1 + v1 extremos del intervalo I 1 = (u 1 = m, v 1 = b). Salvo si f se anula en m 1 = ---------------, en cuyo 2 caso ξ = m 1 , el signo de f (m 1 ) será el opuesto del que toma en uno de los extremos del intervalo I 1, y denotamos I 2 = (u 2 , v 2 ), donde u 2 = u 1 y v 2 = m 1 si f (u 1) f (m 1 ) < 0, mientras que u 2 = m 1 y v 2 = b si f (m 1)f (b) < 0. Reiterando el proceso, se construye una familia numerable de intervalos abiertos In = (u n , v n ) tales que, bien obtenemos la raíz ξ de f

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3. Aproximación de raíces reales de ecuaciones.

b–a como punto medio de uno de ellos, bien cada I n + 1 ⊂ I n , f (un )f (vn ) < 0 y v n – u n = ----------- . n 2 En particular, la sucesión de sus longitudes converge a cero, luego, según vimos en 6.4.1, la intersección

∩I

n

consta de un sólo punto, que denotamos η. Vamos a comprobar que η es

n ∈N

raíz de f, y así η = ξ. Puesto que η ∈

∩I

n

, se cumple que lim u n = η = lim v n , y como n→∞

n ∈N

n→∞

f es una función continua y cada f (un ) f (vn ) < 0, se cumple que 2

f ( η ) = f ( lim u n ) f ( lim v n ) = lim f ( u n ) f ( v n ) ≤ 0 , n→∞

n→∞

n→∞

es decir, f (η ) = 0. 3.2 Método de Newton-Fourier Supondremos ahora, además, que las derivadas f ′ y f ′′ tienen signo constante no nulo en el intervalo I. Como en el método anterior, se trata de encontrar un punto x 1 ∈ I tal que, bien f (x 1) = 0, y hemos concluido, bien sustituimos I por uno de los dos intervalos I 1 = (x 1, b) o I 2 = (a, x 1), según que el signo de f (x 1) coincida con el de f (a ) o f (b ), y repetir el proceso. Denotamos u 1 ∈ {a, b} al extremo de I que cumple que f ′′ (u 1 ) f (u 1 ) > 0 , y observamos que la abscisa del punto de corte de OX con la recta

x1 a

ξ

u1 = b

f ( u1 ) - , y éste tangente a Γ en el punto M = (u 1, f (u 1)) vale x 1 = u 1 – -----------f ′ ( u1 ) es el punto buscado. En efecto, la fórmula de Taylor, que se prueba en 27.2.3, asegura que existe η ∈ I tal que 2 f ′′ ( η ) 0 = f ( ξ ) = f ( u 1 ) + f ′ ( u 1 ) ( ξ – u 1 ) + -------------- ( ξ – u 1 ) 2

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3. Aproximación de raíces reales de ecuaciones.

2

2 f ′′ ( η ) ( ξ – u 1 ) f ( u 1 ) f ′′ (η ) ( ξ – u 1 ) - – ------------------------------------ = x 1 – -----------------------------------Despejando, ξ = u 1 – ------------, 2f ′ ( u 1 ) 2f ′ ( u 1 ) f ′ ( u1 )

y en consecuencia,

ξ < x 1 < u 1 si los signos de f ′ y f ′′ coinciden, y u 1 < x 1 < ξ si los signos de f ′ y f ′′ difieren. En ambos casos se observa que x 1 aproxima mejor a ξ que el extremo escogido u 1. No es difícil probar que la iteración del procedimiento proporciona, por paso al límite, la raíz ξ del polinomio f .

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Ecuaciones  

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