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LIBRO VIRTUAL DE MATEMÁTICAS

GRADO 10


CRITERIOS DE EVALUACIÓN Durante el año lectivo 2017,el estudiante deberá llevar un portafolio con la información de todos sus procesos y en los porcentajes que se comentarán a continuación, con el fin de confrontar los avances evaluativos y así tenga derecho a reclamos posibles. Las notas no se montan en la página, debido a la gran cantidad que se tiene de ellas y a las pocas casillas para involucrarlas.

Cualquier inquietud ,remitirse al sistema de evaluación institucional y decreto 1290 de 2009 -50% Aspecto Académico: se harán evaluaciones individuales tanto teóricas como prácticas, evaluaciones virtuales, sustentaciones de actividades como tareas, talleres entre otros. Competencias básicas en manejo de programas y aplicaciones. -20% Evaluación de Período. -10% Aspecto Social: Comportamiento en el aula y actividades como tareas, talleres, trabajos en grupo, participación, entre otros.


-10% Aspecto personal: Responsabilidad como puntualidad, respeto por la norma y presentación personal. -10% Autoevaluación. El incumplimiento de alguna de estas rebaja, por cada falta o.5, se empieza el período con 5.0 en estos aspectos y se va rebajando por lo antes mencionado.

No olvidar que una excusa a tiempo y con los criterios exigidos por la institución, evita sanciones y nos hace mas amables y comunicativos. Si hay dificultades háganla saber por éste medio o la excusa pertinente. Las tareas se entregan a las 6:15 del día y no cinco minutos después, ya que ustedes deben de estar al menos 10 minutos antes de comenzar la jornada.


PRIMER PERÍODO Funciones Trigonométricas


NÚCLEO TEMÁTICO -Funciones y aplicaciones -Conceptos analíticos de geometría plana -Ángulos y sistemas de medición -Circunferencia y circulo -Circulo geométrico y razones trigonométricas -Razones trigonométricas en círculos no unitarios -Triángulos rectángulos y sus razones trigonométrica

LOGROS: -Identifica tipos de funcione y sus parámetros fundamentales -Conceptualiza los elementos propios de la geometría -Representa ángulos positivos y negativos en posición normal -Identifica la circunferencia desde el ámbito analítico -Determina las razones trigonométricas a partir del circulo geométrico -Resuelva triángulos rectángulos utilizándolas razones trigonométricas y la aplico en la solución de problemas en diferentes contextos


CONJUNTOS NUMÉRICOS


PROPIEDADES DE LOS GRUPOS NUMÉRICOS -Cerradura: Si opero dos números el resultado dará en el mismo conjunto numérico. -Asociativa: cuando existen tres o más cifras en estas operaciones, el resultado no depende de la manera en la que se agrupan los términos. -Neutro: Al operar cualquier elemento del conjunto con el elemento neutro el resultado es el elemento original. -Invertiva: lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0.

-Conmutativa:

El orden de los sumandos (suma) o factores (multiplicación) no altera el resultado.

Notas • Infinito: tendencia a crecer o decrecer en valores positivos o negativos. • Guarismo: adquisición de copiar los números. • Un decimal es finito cuando al hacer la división el residuo es cero.


RELACIONES Y FUNCIONES Parejas ordenadas Una pareja ordenada se compone de dos elementos “x” y “y” escribiéndose (x,y) donde “x” es el primer elemento y “y” el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas ordenadas ( x,y) y (z,w) serán iguales si x= z y y=w

Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B ( se simboliza A x B) es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x ,y) tales que “x” pertenece al primer conjunto A y ” y” pertenece al segundo conjunto B, es decir: AXB={x,y}l €A, y €B}

Relaciones Una relación en los reales es una regla de correspondencia que asocia a cada número real “x” de un conjunto de partida A C R uno o más números reales “y” de un conjunto de llegada B c R


Intervalos: son subconjuntos de los reales, denotan infinitos valores , entre dos de ellos, a la suma.

X: abscisa o variable independiente.

Y: Coordenada o variable dependiente.


Abierto: no incluye los extremos-hueco ( , ) Cerrado: incluye los extremo [ , ] [

,

]

Menor mayor -7 ≥ x ≤ -2 X es menor o igual a -7 Y mayor o igual a -2

Función Una función real de la variable real, es una regla de correspondencia que se asocia a cada número real “x” de un conjunto de partida A C R un único número real “f(x)” de u conjunto de llegada B C R. Son una regla tal que, todos los elementos del conjunto de partida se relacionen una y sólo una vez con el conjunto de llegada.


TIPO DE FUNCIONES

Es un relación, porque los elementos del conjunto de partida se están relacionando en dos veces con el de llegada.

En el plano cartesiano: - Si al trazar una paralela al eje “y” corta la gráfica en un solo punto es función, de otro modo es relación.


• Do:x • Ran:y

Dominio [-4,-1 ) U (3,+ ∞ ) Re -(-∞,-4) - [ -1,3 ] Rango [ -5,-2) U (4, ∞) Re -(-∞,-5)- [ -2,4]


• •

Ran: elemento constante. Do:Re siempre en la función constante.


FUNCIÓN LINEAL Su grafica es una recta Función lineal Su grafica es una recta. -Ecuación general de la recta: Ax+By+C=0 -Ecuación punto- pendiente : y=f(x)=mx+b -Todas las funciones polinómicas tienen de Dominio los Re. -El rango de la función lineal son los Re. -Si el valor de la pendiente es positivo la recta va así

• m. pendiente de la recta: es la

inclinación de la recta respecto al eje “x” positivo. Es la dirección (un ángulo).

-Si la pendiente es menor que cero la recta va así -Si la recta tiende a infinito no es función x=0 -Si la pendiente aumenta la recta se inclina mas -Cuando la pendiente es positiva el ángulo es agudo -Cuando la pendiente es negativa el ángulo es obtuso


Intercepto con el eje “x” (-2,0)

Intercepto con el eje “y”

• • •

Línea: secesión de puntos infinitos. En las funciones polinómicas el Do siempre será Re. El valor de la pendiente es constante.


-Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. L1llL2 SI m1=m2 -Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes da -1 L1 L2 m1m2= -1 •muestre que los puntos A(9,2) B(11,6) C(3,5) D(1,1) forman un paralelogramo. •

https://www.youtube.com/watch?v=FivdryOMLZ8

un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene cada par de sus lados paralelos


APLICACIONES • Mostrar que la recta que pasa por (-2,5) y

(4,1) es perpendicular a la recta que pasa por (-1,1) y (3,7). Graficar • Demostrar que los puntos (2,2), (5,6) , (9,9) , (6,5) son los vértices de un rombo que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio. Graficar • Tres de los vértices de un paralelogramo son (-1,4), (1,-1) y (6,1). Si el cuarto vértice tiene de ordenada 6, determine su abscisa. Graficar. Demuestre analíticamente que si es paralelogramo.


• Graficar (-5x+3y))7-(3x+y))=x)

21+2. hallar interceptos • Los vértices de un triángulo son los puntos A (-5,6) B(-1,-4) C (3,2). Hallar y graficar las ecuaciones generales de sus medidas

¿Qué hacen los parámetros de la función cuadrática? • El coeficiente principal:

Da la abertura Sí a crece en valores : se cierra o viceversa a >0+ ∪ a <0- ∩ • b: mueve el vértice de la parábola hacia los cuadrantes • c: da corte con el eje “y” ( 0,C) si c vale 0, la parábola se mueve en el III y IV cuadrante


Eje de simetría. Vértice o punto de inflexión


Una ecuación cuadrática fórmula: ax2+bx+c=0

tiene de

Fórmula del bachiller o general.

Radicando b2-4ac =∆ discriminante. El discriminante indica si la parábola tiene o no corte con el eje ∆>0(+)tiene dos soluciones, intercepto con el eje “x” en dos puntos ∆=0 tiene una solución, corta el eje “x” en un solo punto ( es el vértice) ∆<0(-) es un imaginario no corta el eje “x”


https://www.youtube.com/watch?v=Ql8L09-HsI0


4. un tanque de agua tarda dos horas más que otro tanque en llenarse y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos, ¿cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?. 5. las medidas en centímetros de un triángulo rectángulo son tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

CIRCUNFERENCIA


CÍRCULO


EJEMPLO: Determinar la ecuaciรณn de la circunferencia que pasa por el punto 6,3 y cuyo centro se encuentra en C(0,0)


NOTA: -La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria. -Circunferencia: conjunto de puntos infinitos que equidistan con un punto fijo llamado centro. Analíticamente, no es función , es relación: tiene ecuación -Circulo: región limitada por la circunferencia, es función.


-Todo diámetro es cuerda pero no toda cuerda es diámetro -Matemáticamente D=2R , geométricamente no siempre el D son 2R Área = πR2 -Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra en la figura

Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendo podemos usar dos métodos: Método por desarrollo y Método con las fórmulas conocidas.


Método por desarrollo Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la circunferencia será (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso corresponde a C (2, ─3) entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como (x ─ 2) 2 + (y ─ ─ 3) 2 = 5 2 (x ─ 2) 2 + (y + 3) 2 = 5 2 (x ─ 2) 2 + (y + 3) 2 = 25 • Nota: algunos usan otras letras, como (x ─ h) 2 + (y ─ k) 2

Sigamos. Tenemos nuestra ecuación ordinaria (x ─ 2) 2 + (y + 3) 2 = 25 y desarrollamos sus dos binomios: (x ─ 2) (x ─ 2) + (y + 3) (y + 3) = 25 (x 2 ─ 2x ─ 2x + 4) + (y 2 + 3y + 3y + 9) = 25 (x 2 ─ 4x + 4) + (y 2 + 6y + 9) = 25 Recordemos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0


Entonces, ordenamos nuestra ecuación anterior y la acomodamos de acuerdo con la fórmula general: x 2 + y 2 ─ 4x + 6y + 4 + 9 ─ 25 = 0 x 2 + y 2 ─ 4x + 6y ─ 12 = 0 que es la ecuación general de la circunferencia con centro en las coordenadas 2, ─3 y cuyo radio es 5. Método con las fórmulas conocidas Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces aplicamos las fórmulas

Si entonces D = ─ 2a Si entonces E = ─ 2b Si entonces F = a 2 + b 2 ─ r 2 Recordemos que C (2, ─3) corresponde a C (a, b) Entonces, hacemos: F = 4 + 9 ─ 25 = ─12 Si recordamos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 y en ella sustituimos los valores ahora conocidos de D, E y F, tendremos x 2 + y 2 + ─4x + 6y + ─12 = 0 x 2 + y 2 + ─4x + 6y ─12 = 0


EJEMPLO: โ€ขHallar la ecuaciรณn general de la circunferencia con centro en C (1, 3) y radio r = 4 .


Resolución Sabemos que debemos obtener un ecuación de la forma x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 por lo que necesitamos saber cuánto valen D, E y F Para ello, recordamos que D = ─2a E = ─2b F=a2+b2─ r2 Sustituyendo en D y E los valores que nos entregan las coordenadas del centro C (1, 3) , donde

a = 1 b = 3 tendremos que D = ─2(1) = ─2 E = ─2(3) = ─6 Y ahora sustituimos en F=a2+b2─ r2 F = (1) 2 + (3) 2 ─ (4) 2 F = 1 + 9 ─ 16 F = ─6

Como ya tenemos los valores de D = ─2 E = ─6 F = ─6


• Hallar la ecuación general de la

circunferencia que pasa por el punto P (─3, 2) y cuyo centro es el punto C (1, 5)


Resolución Debemos calcular el radio (ya que no lo conocemos), pero como tenemos las coordenadas de un punto y del centro podemos calcularlo así: El radio es la distancia de C a P , y como su fórmula para conocer dicha distancia es} Hacemos

Ahora tenemos ubicado el centro C (1, 5) y el radio r = 5 y acudimos a la fórmula ordinaria de la circunferencia (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2

Desarrollamos los cuadrados de los binomios (x 2 + ─x + ─x + 1) + (y 2 + ─5y + ─5y + 25 )= 25 x 2 ─ 2x + 1 + y 2 ─ 10y + 25 = 25 x 2 + y 2 ─ 2x ─ 10y + 1 + 25 ─ 25 = 0 x 2 + y 2 ─ 2x ─ 10y + 1 = 0 https://www.youtube.com/watch?v=rkEm5jKj8pY


APLICACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

-Halle la ecuación canónica y grafique. Recuerde trabajar con fracciones, sin decimales. Vea bien la gráfica. En Y es -1.5 -Hallar el centro, el radio, por fórmula enseñada, graficar con los extremos, decir Do y Ra. a. 3x^2+3y^2+12x-18y-21=0 b. -2x^2+10x-14y-2y^2-37=0 c. -5x^2+10x-5y^2+15y-20=0 -Sugerencia: Divida cada término por el coeficiente de x al cuadrado


FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. ¿Qué es un ángulo? La región limitada por dos semirrectas que parten de un mismo punto. Tienen un lado inicial y otro final.

ÁNGULOS.


ÁNGULOS COTERMINALES. Les llamamos así, a los ángulos que tienen que el mismo lado final. Pueden ser en rotación contraria al ángulo dado o con una rotación mayor de 360°. ÁNGULOS CONVEXO Y CÓNCAVO En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud).

ANGULOS SEGÚN SUS LADOS. -Los ángulos consecutivos son los que comparten un lado y el vértice. -Los ángulos adyacentes son los que tienen un vértice y un lado común, y los otros lados son semirrectas opuestas, pero no tienen ningún punto interior común, y suman 180°.

-Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos cuyos lados son las semirrectas opuestas de los lados del otro.


OTROS ÁNGULOS -Los ángulos congruentes son aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo. -Los ángulos complementarios son aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°. -Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°. -Los ángulos conjugados son aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.


-Los ángulos correspondientes: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas. Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 se llaman ángulos correspondientes. -Ángulos alternos: Son los que se sitúan a distinto lado de la transversal. -Alternos externos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas. Las parejas de ángulos: <1 y <7; <2 y <8 se llaman ángulos alternos externos. Los ángulos alternos externos son congruentes.


-Ángulos alternos internos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas. Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos. Los ángulos alternos internos son congruentes -Ángulos alternos internos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas.

Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos. Los ángulos alternos internos son congruentes. -Ángulos colaterales externos: Los ángulos colaterales externos​ o conjugados externos2​son los que se encuentran en uno y otro lado de la secante. Son ángulos colaterales externos los siguientes pares de ángulos: <1,<8; <2,<7. Los ángulos colaterales externos son suplementarios.(suman 180°)


FUNCIÓN CIRCULAR Sea el círculo con centro en el origen y el radio con una unidad (R-1) también llamado círculo goniométrico o unitario.

Llamamos ángulo en posición normal cuyo lado final es un radio en los cuadrantes o los semiejes, asociando a un punto coordenado de la circunferencia (x, y), punto trigonométrico. PUNTO TRIGONOMÉTRICO: Punto asociado de la circunferencia asociado.


CรRCULOS NO UNITARIOS Los puntos coordenados y los radios entran en razรณn.

https://www.youtube.com/watch?v=t5m2 HBVF_uw


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Son relaciones entre ángulos y lados de triángulos rectángulos

• •

El radio jamás es negativo. Los puntos trigonométricos son solo para círculos unitarios, para los demás se les llama puntos coordenados.


CARACTERÍSTICAS DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS -La suma de todos sin ángulos internos es de 180° -Los ángulos no rectos son complementarios. -Se verifica el teorema de Pitágoras. -La hipotenusa es mayor que los catetos. -En el triángulo isósceles sus otros dos ángulos miden 45° y sus lados son iguales. https://www.youtube.com/watch?v=C99jZV5 p734


Ejm: Sea el triĂĄngulo MLS recto en S. Hallar las razones trigonomĂŠtricas L


APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.Realice las conversiones faltantes estudiadas , y grafique la original: a. 19/12 de giro horario b. 53/8 de giro retrógrado c. 17π/3 d. -9π /5 d. 1215 grados e. -2020 grados.

y

2.Realice proceso gráfico y a partir del círculo goniométrico(sin calculadora),hallar las funciones trigonométricas para : a. 8π /3 b. -135 grados c. -5π/3 d.60 grados 3. A partir de la definición de funciones trigonométricas para radios distintos de 1, halle las funciones trigonométricas, grafique el ángulo en posición normal, el punto. Sin calculadora a. Si los puntos trigonométricos son (3,-4),(3,5),(-1,3)


b. tan∅=-√3/2 II cuadrante , sin⁡ θ= -2/3 III cuadrante , cos⁡ β⁡ = 3/5 IV cuadrante 4. Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B. Hallar las razones trigonométricas para el ángulo A; si a= 6 y c=3. Lo mismo pero si b=5 y c=2.Si b=3 y a=8 Dibuje para cada caso el triángulo con los datos dados y pedidos. NOTA: RECUERDE,SIN CALCULADORA,RACIONALIZAR SI ES DEL CASO,SIMPLIFICAR SI ES DEL CASO.

APLICACIONES QUE ORIGINAN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

-Ángulo de elevación: Es aquel cuya medición se realiza entre la línea visual y la línea horizontal; cuando el objeto se encuentra por encima de la horizontal.


SEGUNDO PERÍODO Aplicaciones de funciones trigonométricas


NÚCLEO TEMÁTICO

LOGROS

-Problemas que originan triángulos rectángulos. -Teorema del seno y del coseno. -Aplicaciones en problemas de originan triángulos oblicuángulos. -Identidades trigonométricas.

-Soluciona problemas que originan razones trigonométricas en triángulos rectángulos. -Resuelvo triángulos oblicuángulos, utilizando la ley del seno y coseno; y los aplico en la solución de problemas. -Resuelvo identidades fundamentales y demuestro otras a partir de esta.


APLICACIONES QUE ORIGINAN TRIÁNGULOS


Se ha generado un triángulo rectángulo, recto en la base del faro. La visual del piloto es la hipotenusa, el ángulo de elevación está formado con la hipotenusa y la horizontal, Luego podemos construir un triángulo auxiliar donde ubicaremos a información suministrada, o si lo prefiere en el mismo dibujo.

Hallamos d con la función tangente, ya que conocemos el cateto opuesto al ángulo de 32º y vamos a buscar el cateto adyacente.


Ahora calculamos la visual v (hipotenusa) con la funciรณn Seno de 32ยบ

TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO. TEOREMA DEL SENO:

Es una relaciรณn de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triรกngulo y los senos de sus respectivos รกngulos opuestos


Interpretación geométrica: Todo triángulo inscrito en una circunferencia tiene de diámetro la razón del teorema del seno. Casos: 1. Si se conocen dos ángulos y un lado tiene una única solución. 2. Si se conocen dos ángulos y un lado contiguo no contenido entre ellos tiene dos soluciones o ninguna solución. Ejemplo: 1. Sea un triángulo con un lado conocido (b=8 cm) y dos ángulos conocidos (B=85º y C=60º).

Calcularemos los lados (a y c) y ángulos (A) desconocidos gracias al teorema del seno.

1. Los ángulos suman 180º, por lo que A+B+C=180º. Sabiendo B y C obtenemos A.


Se obtiene que A=35ยบ 2.Por la fรณrmula del teorema del seno tenemos que:

Por lo que el lado a=4,6 cm y c=7 cm. https://www.youtube.com/watch?v=r2DZSxFLRK0

TEOREMA DEL COSENO: Simplificando podemos obtener los dos lados restantes (a y c).


El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que: El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman. Ejemplos: 1.Sea un triángulo con dos lados conocidos (a=4 cm y c=6 cm) y sabiendo el ángulo que forman (B=85º).

¿Cuánto mide el lado b? Utilizaremos el teorema del coseno para calcularlo.

https://www.youtube.com/watch?v=CYHWl_7 dIdw


APLICACIONES EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS EN LA TTRIGONOMÉTRIA. Resolver aplicando triángulos rectángulos y razones trigonométricas. 1. Las ramas de un compás están separadas 7 cm y cada rama mide 12 cm. Hallar los ángulos internos que se forman. 2. Calcular el área de pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10 m.

3. Un observador se encuentra en la parte superior de un edificio A y se encuentra a una distancia de 430 m de otro edificio B de altura mayor. Si observa el edificio B en su parte superior con un ángulo de elevación de 18° y la parte de la base con un ángulo de depresión de 25°, calcule la altura del edificio B.


Resolver aplicando el teorema del seno o coseno según el caso. 1. La base de una torre tiene un ángulo de elevación de 30° respecto a un observador situado a 200m cuesta abajo de la base. Dicho observador se da cuenta que una sección de la torre necesita reparación. Si los ángulos de elevación a los extremos dañados son de 48° y 60°, determine la longitud del tramo a reparar. 2. Dos radios de una circunferencia unitaria están separados entre sí 30°.Sin calculadora y simplificado si es posible, halle el valor de la longitud que separa los extremos de los radios.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Una identidad es una equivalencia donde se verifican infinitos valores para el ángulo. -IDENTIDAD: sirven o verifican infinitos valores. IGUALDAD: Sólo tienen una solución, dos o ninguna. NOTA: -Una identidad es demostrar una respuesta. -Las identidades con suma o con resto no se varían en exponente. -Todos los productos notables son identidades.


ALGUNAS IDENTIDADES


EJEMPLO:


1. (cos^4 α-sen^4 α)/(1-tan^4 α )≡cos^4 α 2. sec^6 x-tan^6 x≡1+3sec^2 x.tan^2 x 3. 1/(1+seny)≡(1-seny)/(cos^2 y) https://www.youtube.com/watch?v=6mqBASJ2d3k

APLICACIONES DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Demostrar por la manera enseñada las siguientes identidades. Colocar los pasos que justifican lo que hizo


TERCER PERÍODO Geometría analítica, Probabilidad y estadística


NÚCLEO TEMÁTICO

LOGROS

-Ecuaciones trigonométricas. -Graficas de las funciones trigonométricas. -La parábola., la elipse y la hipérbole. -Conceptos fundamentales de estadística. -Teoría de la probabilidad.

-Soluciono diferentes ecuaciones trigonométricas aplicando algoritmos algebraicos e identidades trigonométricas. -Grafico funciones trigonométricas interpretando sus variaciones. -Construyo la ecuación de la parábola, la elipse y hipérbola y las aplico en solución de problemas. -Reconozco las medidas estadísticas y las utilizo para realizar análisis de variables.


ECUACIONES TRIGOMÉTRICAS. Las ecuaciones trigonométricas tiene como variable las funciones trigonométricas donde la variable es el ángulo y su función, en otras palabras, es hallar los valores del ángulo que satisfacen la función trigonométrica.


M.C.D

https://www.youtube.com/watch?v=2Poj4GNWJ7k


APLICACIONES DE ECUACIONES TRIGONOMÃ&#x2030;TRICAS


GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Período: donde la gráfica se vuelve a encontrar, se repite. Do, Ran, Interceptos, Crecimiento o decrecimiento. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO Se llama función seno a la aplicación f definida por, f(x) = senx es decir, la función que asocia a cada número real x el seno del ángulo cuya medida en radianes es x.

P=2π Do=Re Ran= [-1,1] Crece= 0 aπ, 3π/2 a 2π Decrece= π a π/2, π/ 2 a 3π/2 https://www.youtube.com/watch?v=n-Pivhz2kJk


GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO Se llama función coseno a la aplicación f definida como f(x) = cosx es decir, la función que asocia a cada número real x el coseno del ángulo cuya medida en radianes es x.

P=2π Do=Re Ran= [-1,1] Crece= πa 2π Decrece=0 a π https://www.youtube.com/watch?v=YhJ2z1mELy4


NOTA: -las asĂ­ntotas son rectas verticales u oblicuas, es decir, la funciĂłn se acerca tanto como se quiera pero no la toca, exceptuando las horizontales.


GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE El dominio de la función será el formado por todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador.


GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE El dominio de la función será el formado por todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador.


GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE El dominio de la función será el formado por todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador.


EJE4MPLO: y= 2senx A= 2 a=1 δ=0 C=0


Se corre hacia la derecha.


APLICACIONES DE VARIACIONES DEL SENO Y COSENO

Cร“NICAS Una cรณnica es una figura plana que se forma al cortar un plano en un cono circular recto.


LA PARÁBOLA Conjuntos de puntos que equidistan de una recta fija llamada directriz y un punto fijo llamado foco. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA -EJE FOCAL: Es el eje que contiene el vértice y el foco. -VÉRTICE: punto de inflexión de la parábola sobre el eje focal.

-FOCO: punto interior de la parábola sobre el eje focal, tal que su distancia al vértice es la misma distancia del vértice a la directriz. -DIRECTRIZ: Recta perpendicular al eje focal y de distancia al vértice igual que la del vértice al foco. -LADO RECTO: Segmento de recta que un dos puntos de la parábola pasando por el foco y perpendicular a éste.


EJEMPLO: Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen y que contiene al punto B(3, 4), además su eje de simetría (o eje focal) es paralelo al eje X. El punto B (3, 4) nos indica que X=3 Y=4 Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación

Entonces la ecuación será

Y el Foco estará en el punto 4/3, 0


Vemos que 4/3 corresponde al valor de p, y como la directriz estĂĄ a la misma distancia de p respecto al vĂŠrtice, pero hacia el lado contrario, entonces, la directriz serĂĄ:


Ecuaciรณn


https://www.youtube.com/watch?v=N8WhvRJbGC8


LA HIPÉRBOLA

ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

-FOCOS: Son los puntos fijos F y F'. -EJE PRINCIPAL O REAL: Es la recta que pasa por los focos. -EJE SECUNDARIO O IMAGINARIO: Es la mediatriz del segmento FF'. -CENTRO: Es el punto de intersección de los ejes. -VÉRTICES: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.


-RADIOS VECTORES: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'. -DISTANCIA FOCAL: Es el segmento de longitud 2c. -EJE MAYOR: Es el segmento de longitud 2a. -EJE MENOR: Es el segmento de longitud 2b. -EJES DE SIMETRÍA: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.


EJEMPLO: Determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas.

https://www.youtube.com/watch?v=yBTdSYYUHow


LA ELIPSE Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

ELEMENTOS DE LA ELIPSE -FOCOS: Son los puntos fijos F y F'. -EJE FOCAL: Es la recta que pasa por los focos. -EJE SECUNDARIO: Es la mediatriz del segmento FF'. -CENTRO: Es el punto de intersección de los ejes. -RADIOS VECTORES: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'. -DISTANCIA FOCAL: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semi distancia focal.


-VÉRTICES: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. -EJE MAYOR: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor. -EJE MENOR: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor. -EJES DE SIMETRÍA: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.


https://www.youtube.com/watch?v=jVTZITljKUE


CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ESTADÍSTICA DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA POBLACIÓN: Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico. INDIVIDUO: Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población. MUESTRA: Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.


MUESTREO: El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población. VALOR: Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz. DATO: Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

VARIABLES ESTADÍSTICAS VARIABLE CUALITATIVA: Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos: VARIABLE CUALITATIVA NOMINAL: Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden.


VARIABLE CUALITATIVA ORDINAL O VARIABLE CASI CUANTITATIVA: Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no numéricas, en las que existe un orden. VARIABLE CUANTITATIVA: Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos: VARIABLE DISCRETA: Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos.

TEORÍA DE LA PROBABILIDAD El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte.


Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos.

EL ENFOQUE CLÁSICO Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es:


El enfoque clásico de la probabilidad se basa en la suposición de que cada resultado sea igualmente posible. Este enfoque es llamado enfoque a priori porque permite, (en caso de que pueda aplicarse) calcular el valor de probabilidad antes de observar cualquier evento de muestra. EJEMPLO: Si tenemos en una caja 15 piedras verdes y 9 piedras rojas. La probabilidad de sacar una piedra roja en un intento es:

EL ENFOQUE DE FRECUENCIA RELATIVA También llamado Enfoque Empírico, determina la probabilidad sobre la base de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un numero de observaciones. En este enfoque no ese utiliza la suposición previa de aleatoriedad. Porque la determinación de los valores de probabilidad se basa en la observación y recopilación de datos.


EJEMPLO: Se ha observado que 9 de cada 50 vehículos que pasan por una esquina no tienen cinturón de seguridad. Si un vigilante de transito se para en esa misma esquina un ida cualquiera ¿Cuál será la probabilidad de que detenga un vehículo sin cinturón de seguridad?

Tanto el enfoque clásico como el enfoque empírico conducen a valores objetivos de probabilidad, en el sentido de que los valores de probabilidad indican al largo plazo la tasa relativa de ocurrencia del evento. EL ENFOQUE SUBJETIVO Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición.


CONCEPTO DE PROBABILIDAD Se define como cálculo de probabilidad al conjunto de reglas que permiten determinar si un fenómeno ha de producirse, fundando la suposición en el cálculo, las estadísticas o la teoría. El objetivo de esta práctica es realizar varios experimentos de probabilidad, anotar los resultados y posteriormente compararlos con los resultados teóricos.

OBJETIVOS DE LAS PROBABILIDADES El objetivo fundamental de la probabilidad, es la de mostrar al alumno la importancia y utilidad del Método Estadístico en el ámbito económicoempresarial. Con tal fin, el alumno deberá aprender a manejar los métodos y técnicas más adecuadas para el correcto tratamiento y análisis de la información proporcionada por los datos que genera la actividad económica.


EL VALOR DE LA PROBABILIDAD El valor más pequeño que puede tener la probabilidad de ocurrencia de un evento es igual a 0, el cual indica que el evento es imposible, y el valor mayor es 1, que indica que el evento ciertamente ocurrirá. Entonces si decimos que P(A) es la probabilidad de ocurrencia de un evento A y P(A) la probabilidad de no-ocurrencia de A, tenemos que:

BIBLIOGRAFÍA http://www.Edumediavirtual.simplesite.com http://www.Matematicasvirtuales.weebly.com https://www.fisicalab.com/ejercicio/1897#conten idos https://www.vitutor.com/geo/coni/hActividades. html


AGRADECIMENTOS Mis más sinceros agradecimientos a todas aquellas personas que de una u otra manera hicieron posible la creación de éste libro. A Thomás Zapata, Deiby Rodríguez por el aporte respecto al primero y segundo período.

Finalmente, agradecemos por la experticia y pedagogía de nuestro profesor el Licenciado Carlos Mario Osorio y a nuestra I.E Inmaculada Concepción por ser forjadores de hombres y mujeres en el bien y la paz.


Libro de matematicas 10  

EL AULA EN TODAS PARTES

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