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ÍNDICE índice CAPÍTULO CAPITULO II 1. 1. ECUACIONES ECUACIONESEEINECUACIONES INECUACIONES

1

1.1.

Igualdad Matemática

1

1.2.

Clasificación de las Igualdades

1

1.3.

Ecuación

2

1.4.

Solución o Raíz de una Ecuación

2

1.5.

Conjunto Solución de una Ecuación (C.S.)

2

1.6.

Clasificación de las Ecuaciones

3

1.7.

Ecuaciones Reducibles a Cuadráticas

6

1.8.

Ecuaciones Irracionales

8

1.9.

Ecuaciones Fraccionarias

10

1.10.

Ecuaciones Trinómicas Bicuadradas

12

1.11.

Ecuaciones Recíprocas

14

1.12.

La Recta Real

15

1.13.

Desigualdades

16

1.14.

Axioma de la Relación de Orden

17

1.15.

Definición

17

1.16.

Propiedades de la Desigualdad de Números Reales

17

1.17.

Inecuaciones

18

1.18.

Inecuaciones de Segundo Grado o Cuadráticas en R

21

1.19.

Inecuaciones Polinómicas

29

1.20.

Inecuaciones Fraccionarias

33

1.21.

Inecuaciones Irracionales

35

1.22.

Valor Absoluto

38

1.23.

Ejercicios Desarrollados.

43

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MATEMÁTICA 3


1.24.

Ejercicios Propuestos.

102

1.25.

Respuestas.

123

CAPITULO II CAPÍTULO 2. 2. SISTEMAS SISTEMASDE DEECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES

124

2.1.

Definición

124

2.2.

Solución de Una Ecuación Lineal

124

2.3.

Definición

125

2.4.

Solución de un Sistema de Ecuaciones

126

2.5.

Clasificación de Sistemas de Ecuaciones

126

2.6.

Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales con Dos Incógnitas

128

2.7.

Interpretación Geométrica de un Sistema de Dos Ecuaciones con Dos Incógnita

133

2.8.

Sistemas de Tres Ecuaciones Lineales con Tres Incógnitas

135

2.9.

Sistemas Especiales de Ecuaciones

136

2.10.

Matrices

139

2.11.

Determinante de una Matriz

153

2.12.

Aplicaciones de las Matrices y Determinantes en la Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

161

2.13.

Ejercicios Desarrollados.

167

2.14.

Ejercicios Propuestos.

215

2.15.

Respuestas.

238

CAPITULO III III CAPÍTULO 3. 3. NOCIONES NOCIONESBÁSICAS BÁSICAS DE DE GEOMETRÍA GEOMETRÍAPLANA PLANA

239

3.1.

Punto

239

3.2.

La Recta

239

3.3.

Plano

240

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3.4.

Postulados de la Recta

240

3.5.

Líneas

241

3.6.

Partes de la Línea Recta

241

3.7.

Longitud de un Segmento

242

3.8.

Punto Medio de un Segmento

242

3.9.

Puntos Sobre una Recta

243

3.10.

Operaciones con las Longitudes de Segmentos

243

3.11.

Conjuntos Convexos y No Convexos

247

3.12.

Particiones en el Plano

247

3.13.

Ángulos

250

3.14.

Triángulos

259

3.15.

Ejercicios Desarrollados.

273

3.16.

Ejercicios Propuestos.

301

3.17.

Respuestas.

319

CAPITULO IV IV CAPÍTULO 4. 4. CONGRUENCIA, CONGRUENCIA, PERPENDICULAR PERPENDICULAR Y Y PARALELISMO PARALELISMO

320

4.1.

Segmentos Congruentes

320

4.2.

Ángulos Congruentes

321

4.3.

Congruencia de Triángulos

321

4.4.

Triángulos Rectángulos Notables

327

4.5.

Posición Relativa de Dos Rectas en el Plano

328

4.6.

Ángulos Formados por Dos Rectas al Ser Cortados Por Una Recta Secante

330

4.7.

Ángulos Formados por las Bisectrices de un Triángulo

335

4.8.

Propiedades Adicionales

338

4.9.

Ejercicios Desarrollados.

339

4.10.

Ejercicios Propuestos.

364

4.11.

Respuestas.

388

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MATEMÁTICA 3


CAPÍTULO CAPÍTULO V 5. 5. GEOMETRIA GEOMETRIADEL DELESPACIO: ESPACIO:NOCIONES NOCIONESBASICAS BASICAS

389

5.1.

Definición

389

5.2.

Punto

389

5.3.

La Recta

390

5.4.

El Plano

390

5.5.

Determinación de un plano

390

5.6.

Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio

391

5.7.

Proyección ortogonal de un punto y una recta sobre un plano

393

5.8.

Angulo entre una recta y un plano

394

5.9.

Teorema de las tres rectas perpendiculares

395

5.10.

Ángulo Diedro

395

5.11.

Planos Perpendiculares

396

5.12.

Plano Bisector de un Ángulo Diedro

396

5.13.

Clasificación de los Ángulos Diedros

397

5.14.

Ángulo Poliedro

398

5.15.

Elementos del ángulo Poliedro

399

5.16.

Clasificación de los Ángulos Poliedros

399

5.17.

Ángulo Triedro

399

5.18.

Elementos del Ángulo Triedro

400

5.19.

Clasificación de los Ángulos Triedros

400

5.20.

Poliedros

400

5.21.

Elementos de un Poliedro

401

5.22.

Propiedades de los Poliedros

401

5.23.

Medida

403

5.24.

Cono de Revolución

406

5.25.

Superficie Esférica y esfera

410

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5.26.

Ejercicios Desarrollados

414

5.27.

Ejercicios Propuestos

425

5.28.

Respuestas

435

CAPITULO VI CAPÍTULO 6. 6. ESTADÍSTICA ESTADÍSTICAYY PROBABILIDADES PROBABILIDADES

436

6.1.

Estadística

436

6.2.

Variable Estadística

436

6.3.

Clasificación de la Variable Estadística

436

6.4.

Frecuencia

437

6.5.

Rango de la Muestra (R)

440

6.6.

Representación Gráfica de Distribuciones de Frecuencias

441

6.7.

Medidas de Tendencia Central

443

6.8.

Probabilidad

447

6.9.

Ejercicios Propuestos.

452

6.10.

Respuestas.

462

Bibliografía.

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463

MATEMÁTICA 3


Ecuaciones e Inecuaciones Eduardo Espinoza Ramos

Ecuaciones e Inecuaciones

1 1

CAPÍTULO I CAPITULO I

1.

1. ECUACIONES E INECUACIONES.ECUACIONES E INECUACIONES.-

IGUALDAD MATEMÁTICA.MATEMÁTICA.1.1. 1.1.IGUALDAD Una igualdad matemática es una relación que existe entre dos expresiones matemáticas, mediante el signo “=” (igual) y que nos indica que estos tienen el mismo valor numérico. Si A y B son dos expresiones matemáticas, entonces se tiene: A=B que se denomina igualdad matemática, donde: A = es el primer miembro B = es el segundo miembro = es el signo que representa a la igualdad

CLASIFICACIÓNDE DE LAS IGUALDADES.1.2. 1.2.CLASIFICACIÓN LAS IGUALDADES.Se clasifican en dos: a)

IGUALDADES NUMÉRICAS.-

Es la igualdad formada por números, por ejemplo: 5 2 + 6 = 31

b)

IGUALDADES LITERALES.-

Es la igualdad formada por letras y números, pudiendo a su vez ser:

i)

IGUALDADES ABSOLUTAS O IDENTIDADES.Son aquellos que se verifican para cualquier sistema de valores atribuidos a sus variables. Ejemplo.- Sea ( x + y )( x − y ) = x 2 − y 2 Como podemos observar en esta igualdad se puede dar valores voluntarios a las variables y podrá comprobarse que siempre se va a verificar.

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46 46

EduardoEspinoza Espinoza Ramos Ramos Eduardo

Ecuaciones e Inecuaciones

Para y = 1; x 2 = y = 1 de donde x = ± 1 entonces x1 = −1 , x2 = 1 Calculando E = x12 + x22 = (−1) 2 + 12 = 1 + 1 = 2 , la respuesta es 55

Calcular la suma de las raíces de la ecuación: a)

b) 2

1

c)

3 1+ x + x

2

b

= 3 − x − x2 d) -1

-2

e)

4

Desarrollo Desarrollo Transformamos la ecuación dada en una ecuación cuadrática para esto buscamos una expresión común en x

3 1+ x + x

2

= 3 − x − x 2 agrupando

3 2

1+ (x + x )

= 3 − ( x + x2 )

... (1)

haciendo el cambio x 2 + x = y y reemplazando en (1)

3 = 3 − y de donde 3 = (3 – y)(1 + y), efectuando 1+ y

3 = 3 + 2 y − y 2 entonces y 2 − 2 y = 0 de donde y = 0; y = 2 Si y = 0: x 2 + x = 0 ⇒ x(x + 1) = 0 de donde x1 = 0 , x2 = −1 Si y = 2: x 2 + x = 2 ⇒ x 2 + x − 2 = 0 , factorizando se tiene: (x + 2)(x – 1) = 0 de donde x3 = −2 , x4 = 1 calculando la suma: x1 + x2 + x3 + x4 = 0 − 1 + 1 − 2 = −2 c

como x1 + x2 + x3 + x4 = −2 , la respuesta es 66

Resolver la ecuación suma de las raíces. a)

1

MATEMÁTICA 3

1 2

2x − x + 2

b) 2

+

2 2

2x − x + 3 c)

3

=

6 2

2x − x + 4

y dar como respuesta la

d) 4

e)

5

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Ecuaciones e Inecuaciones Eduardo Espinoza Ramos

Ecuaciones e Inecuaciones

47 47

Desarrollo Desarrollo Transformando la ecuación dada a una ecuación de segundo grado mediante la sustitución 1 2 6 , dando común denominador 2x 2 − x = z , obteniéndose la ecuación + = z +2 z +3 z +4

z + 3 + 2z + 4 6 3z + 7 6 = = de donde entonces ( z + 2)( z + 3) z + 4 ( z + 2)( z + 3) z + 4 (3z + 7)(z + 4) = 6(z + 2)(z + 3), efectuando la multiplicación

3 z 2 + 19 z + 28 = 6 z 2 + 30 z + 36 , simplificando se tiene: 3 z 2 + 11z + 8 = 0 , factorizando mediante el aspa 3z

8

8z

z

1

3z 11z

(3z + 8)(z + 1) = 0 de donde z = -1; z = −

8 3

para z = -1; 2 x 2 − x = −1 entonces 2 x 2 − x + 1 = 0

x=

1 7 1 7 −b ± b 2 − 4ac 1 ± 1 − 8 1 ± 7i de donde x1 = + i ; x2 = − i = = 4 4 4 4 2a 4 4

para z = −

x=

8 8 en 2 x 2 − x = − entonces 6 x 2 − 3 x + 8 = 0 3 3

−b ± b 2 − 4ac 3 ± 9 − 4(6)(8) 3 ± 183i , de donde = = 2a 12 12

x3 =

3 183 3 183 i + i ; x4 = − 12 12 12 12

calculando la suma de las raíces: www.edukperu.com

MATEMÁTICA 3


48 48

EduardoEspinoza Espinoza Ramos Ramos Eduardo

Ecuaciones e Inecuaciones

x1 + x2 + x3 + x4 =

1 7 1 7 3 183 3 183 + i+ − i+ + i+ − i 4 4 4 4 12 12 12 12

=

1 1 1 1 1 1 + + + = + =1 4 4 4 4 2 2

como x1 + x2 + x3 + x4 = 1 , la respuesta es 77

x+5 x−5 +6 =5 x−5 x+5

Indicar la menor solución de la ecuación:

a)

25 3

b)

25 4

a

c)

25 6

25 7

d)

e)

25 8

Desarrollo Desarrollo A la ecuación dada expresamos en la forma:

x+5 + x−5

6 x+5 x−5

=5

... (1)

A la ecuación (1) lo transformamos en una ecuación de segundo grado mediante la sustitución

x+5 =y x−5

... (2)

ahora reemplazamos (2) en (1) obteniéndose

y+

6 = 5 de donde y 2 − 5 y + 6 = 0 , factorizando y

(y – 2)(y – 3) = 0 de donde y = 2; y = 3 para y = 2:

x+5 x+5 25 =2 ⇒ = 4 de donde x = x−5 x−5 3

para y = 3:

25 x+5 x+5 =3 ⇒ = 9 de donde x = 4 x−5 x−5

se observa que la menor solución es x = MATEMÁTICA 3

25 , la respuesta es 4

b www.edukperu.com


Ecuaciones e Inecuaciones Eduardo Espinoza Ramos 88

Hallar la suma de las raíces de la ecuación: (

x 2 − 2 x + 14

(Admisión 1983 – UNI) a)

b) 3

2

49 49

Ecuaciones e Inecuaciones

c)

x2 + 4 x + 2

1

)2 + (

x2 + 4 x + 2 x 2 − 2 x + 14

d) 5

4

1

)2 = 2

e)

6

Desarrollo Desarrollo Como (

x 2 − 2 x + 14 2

x + 4x + 2

1

)2 =

1 1

x 2 − 2 x + 14

1 )2

x − 2 x + 14 2 ( 2 ) x + 4x + 2 (

forma siguiente

2

2

x + 4x + 2

, entonces a la ecuación dada expresamos en la

+

1 1

2

x − 2 x + 14 2 ( 2 ) x + 4x + 2

=2

... (1)

ahora transformamos a la ecuación (1) en una ecuación de segundo grado mediante la sustitución.

(

x 2 − 2 x + 14 x2 + 4 x + 2

1

... (2)

)2 = y

ahora reemplazamos (2) en (1) obteniéndose

y+

1 = 2 de donde y 2 − 2 y + 1 = 0 como ( y − 1) 2 = 0 y

Luego ( y − 1) 2 = 0 ⇒ (y – 1) = 0 de donde y = 1 Para y = 1: (

x 2 − 2 x + 14 x2 + 4 x + 2

1

)2 = 1 ⇒

x 2 − 2 x + 14 x2 + 4 x + 2

= 1 , efectuando

x 2 − 2 x + 14 = x 2 + 4 x + 2 , simplificando 6x = 12, de donde x= 99

12 = 2 , que es la solución única, luego la respuesta es 6

a

Hallar la solución mayor de la ecuación 9 x 4 − 10 x 2 + 1 = 0 a)

1

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b) 2

c)

3

d) -1

e)

1 3

MATEMÁTICA 3


290 290

EduardoEspinoza Espinoza Ramos Ramos Eduardo

Nociones Básicas de Geometría Analítica

Luego en el ∆ ADE, la suma de ángulos internos es: θ + θ + 90º + 60º = 180º, simplificando a

2θ = 30º de donde θ = 15º, la respuesta es 3232

Hallar el ángulo formado por la intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. a)

b) 45º

60º

c)

d) 65º

30º

e)

70º

(Admisión UNMSM – 1994) Desarrollo Desarrollo Ilustremos el problema en un gráfico x

C

Por calcular:

θ

B α

… (1)

x = 180º - (θ - φ)

θ

del gráfico observamos en A y en B 2θ + α = 180º β

C

φ

2φ + β = 180º sumando φ

En el ACD recto en C se tiene:

… (2)

2(θ + φ) + (α + β) = 360º

A

… (3)

α + β = 90º

Ahora reemplazamos (3) en (2) obteniéndose … (4)

2(θ + φ) + 90º = 360º entonces 2(θ + φ) = 270º de donde: θ + φ = 135º Al reemplazar (4) en (1) se obtiene: x = 180º - 135º = 45º, la respuesta es 3333

b

Un cateto de un triángulo rectángulo mide 15 cm y la hipotenusa es 5 cm mayor que el otro cateto. Halle el perímetro de dicho triángulo. a)

55 cm

b) 50 cm

c)

60 cm

d) 65 cm

e)

70 cm

Desarrollo Desarrollo MATEMÁTICA 3

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Nociones Básicas de Ramos Geometría Eduardo Espinoza

Analítica

291 291

Nociones Básicas de Geometría Analítica

Sea el triángulo ABC P = perímetro = 15 + a + (a + 5)

C

… (1)

P = 2a + 20

El valor de “a” calculamos por el teorema de

a+5

15

2

B

A

a

2

AB + BC = AC

Pitágoras:

2

a 2 + 152 = (a + 5) 2 , desarrollando

a 2 + 225 = a 2 + 10a + 25 ⇒ 10a = 200 de donde

a = 20

Reemplazando en (1) se tiene: P = 2(20) + 20 = 60 cm Por lo tanto la respuesta es 34 34

c

En un triángulo ABC, AB = BC, se traza la bisectriz interior CF. Calcular m B , si m ( BFC ) = 102º a)

b) 44º

34º

c)

38º

d) 48º

e)

52º

Desarrollo Desarrollo Mediante un gráfico ilustraremos los datos del problema B

Por calcular: m B = x

x

Como AB = BC, entonces el ∆ ABC es

F

A

isósceles de donde α α

C

m (CAB) = m ( ACB) = 2α

Ahora en el ∆ AFC se tiene el ángulo exterior es: 2α + α = 102º ⇒ 3α = 102º de donde α = 34º En el ∆ FBC, la suma de ángulos internos x + α + 102º = 180º ⇒ x + 34º + 102º = 180º de donde x = 44º Luego m  B = x = 44º , la respuesta es www.edukperu.com

b MATEMÁTICA 3


292 292 3535

Eduardo Espinoza Espinoza Ramos Eduardo Ramos

Nociones Básicas de Geometría Analítica

En un triángulo ABC, se traza la ceviana BE tal que: AB = BE = EC y m ( ECB) = 38º , hallar m  A a)

b) 68º

64º

c)

d) 76º

72º

e)

80º

Desarrollo Desarrollo Ubicando los datos del problema en un gráfico B De los datos del problema se deduce que 38º

∆ BEC es isósceles y ∆ ABE es isósceles Por el concepto de ángulo exterior se tiene:

A

x

x

38º

E

C

x = 38º + 38º = 76º

Como m  A = x = 76º , la respuesta es 3636

d

Los 3 ángulos de un triángulo están en la relación de 2 es a 3, es a 4 ¿Cuánto mide el ángulo externo correspondiente al ángulo mayor? a)

110º

b) 100º

c)

d) 80º

90º

Desarrollo Desarrollo

e)

70º

B

De los datos del problema se tiene:

3x

2x = 1er ángulo 3x = 2do ángulo 4x = 3er ángulo

A

2x

4x

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º entonces

C

2x + 3x + 4x = 180º ⇒ 9x = 180º de donde x = 20º Luego los ángulos del triángulo son: 2x = 2(20º) = 40º, 3x = 3(20º) = 60º, 4x = 4(20º) = 80º Luego el ángulo externo correspondiente al ángulo mayor 80º es: 180º - 80º = 100º, la respuesta es MATEMÁTICA 3

b www.edukperu.com


Eduardo Espinoza Nociones Básicas de Ramos Geometría

37 37

Analítica

293

Nociones Básicas de Geometría Analítica

El ángulo formado por las bisectrices de los ángulos iguales de un triángulo isósceles es triple del ángulo desigual ¿Cuánto vale dicho ángulo? a)

b) 106º

108º

c)

d) 102º

104º

e)

100º

Desarrollo Desarrollo

B

Representando los datos mediante un gráfico

x

Sea x = el ángulo desigual en B 0 A

a a

3x

a a

3x = el ángulo formado por las bisectrices AO y CO de los ángulos A y C del ∆ ABC

C

En el ∆ ABC, la suma de los ángulos internos es igual a 180º 2a + x + 2a = 180º, de donde

… (1)

x + 4a = 180º

En el ∆ AOC, la suma de los ángulos internos es igual a 180º a + 3x + a = 180º, de donde

… (2)

3x + 2a = 180º

Ahora comparamos (1) y (2) obteniéndose x + 4a = 3x + 2a de donde x = a … (3) al reemplazar (3) en (1) se tiene: x + 4x = 180º entonces 5x = 180º de donde x = 36º como m ( AOC ) = 3 x = 3(36º ) = 108º , la respuesta es 38 38

a

Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es el doble del otro. Hallar el valor del ángulo que se forma al encontrarse las bisectrices de dichos ángulos. a)

125º

b) 135º

c)

115º

d) 130º

e)

120º

Desarrollo Desarrollo Sea x = el ángulo agudo 2x = el otro ángulo agudo www.edukperu.com

MATEMÁTICA 3


294 294

EduardoEspinoza Espinoza Ramos Eduardo Ramos

Nociones Básicas de Geometría Analítica

En ∆ ABC recto en A se tiene:

B x

x

2x + x = 90º

0

3x = 90º de donde x = 30º

α x

A

x/2 x/2

Luego

C

x = 15º 2

En el ∆ COB, la suma de los ángulos internos es igual a 180º x 3x 3 + α = 180º ⇒ + α = 180º ⇒ (30º ) + α = 180º 2 2 2

x+

45º + α = 180º de donde α = 35º el ángulo formado por las bisectrices, Por lo tanto la respuesta es 3939

b

En la figura, calcular “x” si AE es bisectriz interior. B 80º

x E 40º

A

a)

20º

b) 30º

d)

40º

e)

c)

35º

70º

C

Desarrollo Desarrollo Como AE es bisectriz, entonces

B 80º

θ A

θ

m ( EAB ) = m (CAE ) = θ En el

x E

∆ ABC: la suma de los ángulos

internos es igual a 180º

40º

C

80º + 2θ + 40º = 180º 2θ = 60º de donde θ = 30º

En el ∆ ACE el ángulo externo en E se tiene: x = θ + 40º = 30º + 40º = 70º, la respuesta es MATEMÁTICA 3

d www.edukperu.com


Nociones de Ramos Geometría Analítica EduardoBásicas Espinoza 40 40

295 295

Nociones Básicas de Geometría Analítica

En el triángulo rectángulo ABC, hallar θ

B D θ θ A

60º

α

E

α

a)

20º

b) 30º

d)

50º

e)

c)

40º

60º

C Desarrollo Desarrollo

Aplicando el teorema de un ángulo exterior a un triángulo de la figura dada se observa que: En el ∆ DBC recto en B el ángulo exterior en D es 2θ, es decir: 2θ = 90º + α … (1) En el ∆ EDC el ángulo exterior en E es 60º, es decir:

… (2)

θ + α = 60º

Ahora sumamos las ecuaciones (1) y (2) 3θ + α = 150º entonces 3θ = 150º, de donde θ = 41 41

150º = 50º , la respuesta 3

d

En la figura EFGH es un cuadrado. Hallar el valor de x

F

75º

x H

x 75º F Q 75º α

d)

30º

e)

c)

50º

20º

La diagonal EH es bisectriz del ángulo en H 45º

H

T

En el ∆ HPQ, la suma de los ángulos internos es iguala 180º, es decir:

P

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b) 45º

Desarrollo Desarrollo

R

E

60º

(Admisión (UNMSM – 1996)

G

E

a)

45º + 75º + α = 180º, de donde

G

α = 180º - 120º = 60º ⇒ α = 60º MATEMÁTICA 3


436 436

Estadística y Probabilidades

Eduardo Espinoza Espinoza Ramos Ramos Eduardo

CAPITULO VI CAPÍTULO VI

6.

6. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES.ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES.-

ESTADÍSTICA.6.1. 6.1. ESTADÍSTICA.Es la ciencia de recoger, clasificar, describir y analizar datos numéricos que sirven para deducir conclusiones y tomar decisiones de acuerdo a esos análisis. La estadística se divide en dos grandes áreas. 1ro.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA O DEDUCTIVA.-

Dedicada a la recolección, clasificación y ordenamiento de datos. 2do. ESTADÍSTICA INDUCTIVA O INFERENCIAL.Que interpreta los datos recogidos en la primera etapa y obtiene conclusiones a partir de ellos.

VARIABLEESTADÍSTICA.ESTADÍSTICA.6.2. 6.2. VARIABLE Es un símbolo que representa indistintamente a uno cualquiera de los elementos de un conjunto de datos. Ejemplo.-

Con respecto a los alumnos del 3er año de secundaria del colegio A, son variables estadística: la altura, el peso, el sexo, sus notas, etc.

CLASIFICACIÓN DE LA VARIABLEESTADÍSTICA.ESTADÍSTICA.6.3. 6.3. CLASIFICACIÓN DE LA VARIABLE 1ro.

LA VARIABLE ESTADÍSTICA CUALITATIVA O ATRIBUTO.-

Es aquella variable estadística que no es medible. MATEMÁTICA 3

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Eduardo Espinoza Ramos

Estadística y Probabilidades

437

437

Ejemplos.- 1) La raza de un grupo de personas 2) El sexo de un grupo de alumnos. 3) El estado civil de un grupo de personas. 2do. VARIABLE ESTADÍSTICA CUANTITATIVA.Es aquella variable estadística que es medible. La variable estadística cuantitativa pueden ser discretas o continuas. DISCRETA.-

Son aquellas que se pueden contar o enumerar, toman valores enteros.

Ejemplos.- 1) El número de alumnos por colegio. 2) El número de pacientes por hospital. CONTINUA.-

Son aquellos que se puede medir, toman valores enteros o decimales.

Ejemplos.- 1) La estatura. 2) La edad 3) El peso

FRECUENCIA.6.4. 6.4.FRECUENCIA.Cantidad de veces que se repite un suceso. 6.4.1. FRECUENCIA ABSOLUTA.6.4.1. FRECUENCIA ABSOLUTA ( fi ) .-

Es el número de elementos de una muestra que representa el mismo valor y

se denota por ( fi ) sus valores son enteros que oscilan de “0” a un (n ∈ N). La suma de estas frecuencias es igual al total de datos de la muestra (n). Ejemplo.-

En la sección A del 3er año de secundaria estudian 48 alumnos, de los cuales 14 tienen 12 años, 22 tienen 13 años y el resto tiene 14 años, entonces:

f(alumnos que tienen 12 años) = 14 f(alumnos que tienen 13 años) = 22 www.edukperu.com

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438 438

Eduardo Espinoza Ramos Eduardo Espinoza Ramos

Estadística y Probabilidades

f(alumnos que tienen 14 años) = 48 – (14 + 22) = 12, de donde f(12 años) + f(13 años) + f(14 años) = 14 + 22 + 12 = 48 → número de elementos de la muestra. 6.4.2. FRECUENCIA RELATIVA (hi ) .6.4.2. FRECUENCIA RELATIVA .-

Es el cociente entre la frecuencia absoluta ( fi ) y el número de elementos de la muestra (n), es decir: fi n

hi =

La frecuencia relativa se puede expresar también en porcentaje, donde el valor del cociente se multiplica por 100%, es decir: fi x 100% n

En %, hi = NOTA.-

La suma de las frecuencias relativas de una muestra determina la unidad, es decir: n

∑h =1 i

i =1

Ejemplo.-

En la sección A del 3er año de secundaria, estudian 48 alumnos de los cuales 17 son mujeres y el resto son hombres, entonces

18  h(mujer) = 48 18 30 ⇒ h(mujer) + h(hombre) = + =1  48 48 h(hombre) = 48 − 18 = 30  48 48 6.4.3. FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA.6.4.3. FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA ( Fi ) .-

Es la suma en forma sucesiva y gradual de las frecuencias absolutas, es decir: Si f1 , f 2 ,..., f n son las frecuencias absolutas en una muestra, entonces MATEMÁTICA 3

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Estadística y Probabilidades

439 439

F1 = f1 F2 = f1 + f 2 F3 = f1 + f 2 + f3 . . . Fn = f1 + f 2 + f 3 + ... + f n Ejemplo.-

En la sección A del 3er año de secundaria, donde estudiaban 487 alumnos, se obtuvieron las notas siguientes, 8 alumnos obtuvieron nota 11; 16 alumnos obtuvieron nota de 13, 14 alumnos obtuvieron nota 15, 6 alumnos obtuvieron nota de 16 y 4 alumnos obtuvieron nota de 18, entonces. Sea:

Nota 11, f1 = 8

F1 = f1 = 8

Nota 13, f 2 = 16

F2 = f1 + f 2 = 8 + 16 = 24

Nota 15, f3 = 14 ⇒ F3 = f1 + f 2 + f3 = 8 + 16 + 14 = 38 Nota 16, f 4 = 6

F4 = f1 + f 2 + f3 + f 4 = 8 + 16 + 14 + 6 = 44

Nota 18, f5 = 4

F5 = f1 + f 2 + f3 + f 4 + f5 = 8 + 16 + 14 + 6 + 4 = 48

6.4.4. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA.6.4.4. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ( H i ) .-

Es la suma en forma sucesiva y gradual de las frecuencias relativas de una muestra, es decir: Si, h1 , h2 , h3 ,..., hn son las frecuencias relativas de una muestra, es decir: H1 = h1 H 2 = h1 + h2 H 3 = h1 + h2 + h3 . . . H n = h1 + h2 + h3 + ... + hn www.edukperu.com

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Eduardo Espinoza Espinoza Ramos Ramos Eduardo

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Ejemplo.-

H1 = H1 =

Si de un total de 48 estudiantes de matemática, se sabe que 14 estudian solamente algebra, 26 estudian solamente aritmética y 8 estudian solamente geometría, entonces 14 48

H 2 = h1 + h2 =

14 26 40 + = 48 48 48

H 3 = h1 + h2 + h3 =

14 26 8 + + =1 48 48 48

RANGO DE LA MUESTRA (R).6.5. 6.5.RANGO DE LA MUESTRA (R).Es la diferencia entre el mayor y menor de los datos de una muestra. R = xmax − xmin OBSERVACIÓN.-

Para una mejor aprovechamiento en el estudio de datos de una muestra, se recomienda ordenar los datos por lo general de menor a mayor.

El estudio del conjunto de datos que se obtienen de una muestra requiere de su elaboración y para esto se disponen los datos en una tabla de distribución de frecuencias como se indica y que a continuación se explicara. Valores de la Variable

Frecuencia Absoluta

Es la columna encabezada por valores de variable, se ponen los distintos valores ya sean cuantitativas o cualitativas, que toma la variable cuando recorre el conjunto de datos que se obtienen de la muestra. En la columna encabezada por frecuencia absoluta, el número de veces que se da a la variable por cada dato en la muestra. MATEMÁTICA 3

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Estadística y Probabilidades Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.-

Estadística y Probabilidades

441 441

Se selecciono una muestra de 100 paquetes de café bajo investigación de su peso, al utilizar una balanza de precisión, se obtuvieron los siguientes datos.

20 paquetes parecieron con 478 gr, 4 con 428 gr, 10 con 502 gr, 34 con 503 gr, 6 con 510 gr y 26 con 499 gr. Esta información la organizaremos de acuerdo con la característica de la variable que es peso, de menor o mayor, como mostraremos en la tabla. Peso de 100 paquetes de café Valores de la variable

Frecuencia Absoluta

Peso en gr

Nº de paquetes

428

4

478

20

499

26

502

10

503

34

510

6

En la columna de frecuencias aparece el número de paquetes que corresponde a cada peso de la izquierda.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA GRÁFICA DE 6.6. 6.6. REPRESENTACIÓN DE DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS.FRECUENCIAS.-

DE

Los gráficos o diagramas son muy importantes, en donde se pude analizar en una forma más concreta y exacta los datos que se han ordenado en una distribución de frecuencia, entre los más importantes tenemos. HISTOGRAMAS.6.6.1. 6.6.1. HISTOGRAMAS.-

Son diagramas de barra, donde sus bases representan intervalos de clase continua y las alturas las frecuencias.

Ejemplo.- De la siguiente tabla de distribución de frecuencias, referente a la estatura de un grupo de alumnos, elaborar un histograma. www.edukperu.com

MATEMÁTICA 3


442

442

Eduardo Espinoza Ramos Eduardo Espinoza Ramos

Estadística y Probabilidades

Estatura I i

xi

fi

[1,20; 1,30>

125 135 145 155

10 20 35 15

[1,30; 1,40> [1,40; 1,50> [1,50; 1,60>

Solución solución Construimos un plano cartesiano (estatura vs nº de alumnos) Nº de alumnos 35

20 15 10

0

1,20 1,30 1,40 1,50 1,60

estatura

6.6.2. POLÍGONO DE FRECUENCIA.6.6.2. POLÍGONO DE FRECUENCIA.-

Es el gráfico elaborado tomando como base un plano cartesiano en el cual el eje de abscisas representa los valores de la variable estadística y la ordenada señala las frecuencias, luego se une los puntos de intersección mediante segmentos y la poligonal formada recibe el nombre de polígono de frecuencia. Ejemplo.-

MATEMÁTICA 3

DE la siguiente tabla de distribución de frecuencias, elaborar un polígono de frecuencia. Peso xi

fi

40 41 42 43 44 45

5 9 10 9 7 4 www.edukperu.com

MATEMATICA 3  

Texto de previsualización de matemática 3 de secundaria.

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