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ÍNDICE

índice CAPÍTULO I

CAPITULO I

Pag.

yY progreciones.1.1. funciones FUNCIONES PROGRESIONES

1

1.1.

Introducción.

1

1.2.

Relaciones Binarias

7

1.3.

Funciones

16

1.3.1.

Dominio y Rango de una Función

19

1.3.2.

Criterio para el Calculo del Dominio y Rango de una Función

20

1.3.3.

Aplicaciones de A en B

23

1.3.4.

Funciones Definidas con varias reglas de correspondencia

24

1.3.5.

Evaluación de una Función

26

1.4.

Operaciones con Funciones

40

1.5.

Composición de Funciones

47

1.5.1.

Propiedades de la Composición de Funciones

54

1.6.

Funciones: Inyectivas, Suryectivas y Biyectivas

55

1.7.

Funciones Crecientes, Decrecientes y Monótonas

57

1.7.1.

Calculo de Rangos de Funciones Inyectivas Monótonas

59

1.8.

Función Inversa

60

1.9.

Sucesiones

62

1.9.1.

Definición

62

1.9.2.

Representación Geométrica

65

1.9.3.

Sucesiones Monótonas y Acotadas

66

1.10.

Progresiones Aritméticas y Geométricas

65

1.10.1. Progresión Aritmética (P.A.) www.edukperu.com.pe

68 MATEMÁTICA 4


1.10.2. Simbología

68

1.10.3. Representación de una Progresión Aritmética

69

1.10.4. Clases de Progresión Aritmética

69

1.10.5. Propiedades de la Progresión Aritmética

70

1.10.6. Medios Aritméticos, Medios Diferenciales

74

1.10.7. Interpolación de Medios Aritméticos o Diferenciales entre dos números dados

74

1.10.8. Progresión Geométrica (P.G.)

74

1.10.9. Clases de Progresiones Geométricas

75

1.10.10. Propiedades de las Progresiones Geométricas

76

1.10.11. Medios Geométricos o Proporcionales

81

1.10.12. Interpolación de Medios Geométricos

82

1.11.

Ejercicios Desarrollados

82

1.12.

Ejercicios Propuestos

132

1.13.

Respuestas

161

CAPITULO CAPÍTULO II YY CIRCUNFERENCIA.2. 2. POLÍGONO POLIGONO CIRCUNFERENCIA

162

2.1.

Línea Poligonal

162

2.2.

Polígono

162

2.3.

Definición General del Polígono

163

2.4.

Elementos de un Polígono

163

2.5.

Clasificación de los Polígonos

164

2.6.

Propiedades de los Polígonos

166

2.7.

Cuadriláteros

175

2.7.1.

Clasificación de los Cuadriláteros Convexos

176

2.7.2.

Propiedad General

182

2.8.

Circunferencia

183

MATEMÁTICA 4

www.edukperu.com.pe


2.8.1.

Definición

183

2.8.2.

Elementos de la Circunferencia

183

2.8.3.

Ángulos Relacionados con Arcos de Circunferencia

184

2.8.4.

Propiedades de la Circunferencia

187

2.8.5.

Posiciones Relativos de dos circunferencias coplanares

189

2.8.6.

Cuadriláteros Inscritos e Inscriptibles

194

2.8.7.

Puntos Notables asociados al triángulo

195

2.9.

Ejercicios Desarrollados

198

2.10.

Ejercicios Propuestos

215

2.11.

Respuestas

234

CAPITULOIII III CAPÍTULO DE TRIANGULOS, ÁREA DE 3. 3. SEMEJANZA PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA REGIONES POLIGONALES Y CIRCULARES.DE TRIÁNGULOS

235

3.1.

Razón de Dos Segmentos

235

3.2.

Segmentos Proporcionales

235

3.3.

Segmentos Congruentes Determinados por Rectas que Cortan a dos Rectas Paralelas

235

3.4.

Teorema de Thales

236

3.5.

Teorema de Thales para un Triángulo

237

3.6.

Generalización del Teorema de Thales

238

3.7.

Teorema de la Bisectriz

239

3.8.

Semejanza de Triángulos

242

3.8.1.

Lados Homólogos

243

3.8.2.

Casos de Semejanza

243

3.8.3.

Propiedades de la Semejanza de Triángulos

244

3.8.4.

Líneas Notables en un triángulo

246

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MATEMÁTICA 4


3.8.5.

Teorema de Menéalo

247

3.8.6.

Teorema de Cevas

248

3.9.

Relaciones Métricas (R.M.)

250

3.9.1.

Proyección ortogonal sobre una línea recta

250

3.9.2.

Relaciones métricas en los triángulos rectángulos

252

3.9.3.

Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo

259

3.9.4.

Relaciones métricas en la circunferencia

265

3.10.

Polígonos no Regulares

269

3.10.1. Elementos del polígono

269

3.10.2. Apotema

269

3.10.3. Triángulo elemental

269

3.10.4. Fórmulas para calcular los principales elementos del polígono regular

270

3.10.5. Principales polígonos regulares

272

3.10.6. Longitud de la circunferencia

275

3.11

Ejercicios Desarrollados

277

3.12

Ejercicios Propuestos

298

3.13.

Respuestas

315

3.14.

Regiones Poligonales Regulares

316

3.14.1. Región poligonal

316

3.14.2. Área

316

3.14.3. Figuras Planas Congruentes

316

3.14.4. Figuras Planas Equivalentes

317

3.14.5. Figuras Planas Semejantes

317

3.14.6. Área de una Región Triangular

317

3.14.7. Relación de Áreas

322

3.14.8. Área de las Relaciones de los Cuadriláteros

325

3.14.9. Área de la Región del Polígono Regular

329

3.14.10. Área de las Regiones Circulares

331

3.14.11. Lúnula

333

MATEMÁTICA 4

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3.14.12. Lúnulas de Hipócrates

333

3.14.13. Ejercicios Desarrollados

336

3.14.14. Ejercicios Propuestos.

351

3.14.15. Respuestas.

362

CAPITULO IV IV CAPÍTULO 4. 4. RAZONES RAZONES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICAS EN EN EL TRIÁNGULO EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.RECTÁNGULO

363

4.1.

Conceptos Básicos

363

4.2

Ángulos Trigonométricos

363

4.3. 4.4.

Sistemas de Medidas Angulares Ejercicios Desarrollados

372 386

4.5. 4.6.

Ejercicios Propuestos Respuestas

428 458

4.7. 4.8.

Sucesiones o Relaciones Trigonométricas Razones Trigonométricas de Ángulos Notables 30°, 45°, 60°

458 466

4.9.

Funciones o Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales 90º, 180°,

4.10.

270°, 360°, 0° Razones Trigonométricas de los Ángulos de 37°, 53°, 74° y 16°

469 471

4.11. 4.12.

Funciones o Razones Trigonométricas Recíprocas Tangente y Cotangente de la Mitad de un Ángulo Agudo

472 474

4.13. 4.14.

Circunferencias Trigonométricas Signos Algebraicos de las Funciones Trigonométricas

476 477

4.15.

Líneas Trigonométricas o Líneas Circulares

477

4.16. 4.17.

Líneas Auxiliares Ejercicios Desarrollados

481 482

4.18. 4.19.

Ejercicios Propuestos Respuestas

532 558

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CAPITULO CAPÍTULO V V DEL ESPACIO: PRISMA YY PIRAMIDE 5.5. GEOMETRIA GEOMETRÍA DEL ESPACIO: PRISMA PIRAMIDE

559

5.1.

Ángulos Diedros

559

5.2.

Planos Perpendiculares

559

5.3.

Plano Bisector de un Ángulo Diedro

560

5.4.

Clasificación de los Ángulos Diedros

560

5.5.

Ángulo Poliedro

562

5.6.

Elementos del ángulo Poliedro

563

5.7.

Clasificación de los Ángulos Poliedros

563

5.8.

Ángulo Triedro

563

5.9.

Elementos del Ángulo Triedro

563

5.10.

Clasificación de los Ángulos Triedros

564

5.11.

Poliedros

564

5.12.

Elementos de un Poliedro

564

5.13.

Propiedades de los Poliedros

564

5.14.

Prisma

567

5.15.

Clasificación de las Prismas

568

5.16.

Área y Volumen del Prisma

570

5.17.

Área y Volumen del Paralelepípedo

572

5.18.

Pirámide

572

5.19.

Medida: Variación de Áreas y Volúmenes

575

5.20.

Ejercicios Desarrollados

577

5.21.

Ejercicios Propuestos

587

5.22.

Respuestas

598

MATEMÁTICA 4

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CAPITULO VI VI CAPÍTULO 6. 6. INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN A A LA LA GEOMETRÍA GEOMETRÍAPLANA: PLANA:LA LARECTA.RECTA 599 6.1. 6.2.

Sistema de Coordenadas Rectangulares Distancia entre dos puntos del Plano

599 600

6.3. 6.4.

Punto Medio de un Segmento de Recta Cálculo de las Coordenadas del Baricentro de una Región Triangular

602 604

6.5. 6.6.

La Línea Recta y sus Ecuaciones Forma de la Ecuación de la Recta

604 607

6.7.

Rectas Paralelas y Perpendiculares

613

6.8. 6.9.

Distancia de un Punto a una Recta Ángulo entre dos Rectas

616 619

6.10. 6.11.

Área de un Triángulo conociendo las coordenadas de sus vértices Ejercicios Desarrollados

621 622

6.12. 6.13.

Ejercicios Propuestos Respuestas

630 643

CAPITULO VII VII CAPÍTULO 7. 7. ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA Y Y PROBABILIDADES.PROBABILIDADES

644

7.1.

Tabla de funciones con datos agrupados

644

7.2.

Datos estadísticos para datos agrupados

645

7.3.

Medidas de localización para variables continuos

646

7.4.

Probabilidades

650

7.5.

Potencia de un Binomio

663

7.6.

Ejercicios Desarrollados

667

7.7.

Ejercicios Propuestos

681

7.8.

Respuestas

694

Bibliografía. www.edukperu.com.pe

695 MATEMÁTICA 4


Relaciones y Funciones

Eduardo Espinoza Ramos

Relaciones y Funciones

1

1

CAPÍTULO I CAPITULO I

1.

1. FUNCIONES funciones yY progreciones.PROGRESIONES.-

1.1. INTRODUCCIÓN.1.1. introducción.a)

PAR ORDENADO.-

Llamaremos “par ordenado” de números reales a la expresión (a,b) donde a es llamada la primera componente y b es llamada la segunda componente.

Ejemplo.b)

Son pares ordenados, (3,5), (-2,7), etc.

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS.-

Los pares ordenados (a,b) y (c,d) diremos que son iguales si sus correspondientes componentes son iguales, esto es: (a,b) = (c,d) ⇔ a = c Λ b = d Ejemplo.-

Los pares ordenados (5,6) y (5,4) no son iguales sus segundas componentes son diferentes.

Luego diremos que dos pares ordenados son diferentes si una de sus componentes correspondientes son diferentes esto es: (a,b) ≠ (c,d) ⇔ a ≠ c y/o b ≠ d Ejemplo.- Determinar el valor de x e y de tal manera que (5x+2y, -4) = (-1, 2x– y) Desarrollo Desarrollo Para calcular el valor de x e y, aplicamos el concepto de igualdad de pares ordenados: x = −1 5 x + 2 y = −1 (5x + 2y, -4) = (-1, 2x – y) ⇔  ⇒ y=2 2 x − y = −4 www.edukperu.com

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2

2

Eduardo Espinoza Ramos Eduardo Espinoza Ramos

Relaciones y Funciones

c)

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.Consideremos dos conjuntos A y B arbitrarios; llamaremos producto cartesiano de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) de tal manera que la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b pertenece al conjunto B. La notación del producto cartesiano de A y B es: AxB. Simbólicamente el producto cartesiano se representa: A x B = {(a,b) / a ∈ A ∧ b ∈ B} Nota:

(a,b) ∈ A x B ⇔ a ∈ A ∧ b ∈ B

Ejemplo.- Sean A = {1,3,5} y B = {2,4} Entonces: A x B = {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)} OBSERVACIÓN.- El producto cartesiano de A y B se puede realizar de diferentes formas, las más importantes son: 1° POR DIAGRAMA DE VENN – EULER.Ejemplo.- Si A = {2,4,6} y B = {1,3}. Hallar AxB

Desarrollo Desarrollo

A

B

2

1

4

3

6 AxB = {(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),(6,1),(6,3)}

2° POR DIAGRAMA CARTESIANO O PLANO CARTESIANO.Ejemplo.- Si A = {1,3,5} y B = {2,4}. Hallar A x B

Desarrollo Desarrollo MATEMÁTICA 4

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RelacionesEspinoza y Funciones Eduardo Ramos

Relaciones y Funciones

B 4

(1,4)

(1,2)

2

0

(3,4)

1

3

3

(5,4)

(5,2)

(3,2)

3

A

5

A x B = {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)} 3° POR DIAGRAMA DEL ARBOL.Ejemplo.- Si A = {1,3,5} y B = {2,4}. Hallar A x B

Desarrollo Desarrollo

A 1

3

5

B

AxB

2

(1,2)

4

(1,4)

2

(3,2)

4

(3,4)

2

(5,2)

4

(5,4)

A x B = {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)} OBSERVACIÓN.-

Cuando los conjuntos A y B son finitos entonces: n(A x B) = n(A).n(B)

donde: n(A): es el número de elementos del conjunto A. n(B): es el número de elementos del conjunto B. n(A x B): es el número de elementos del conjunto A x B. www.edukperu.com

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288

288

Eduardo Espinoza Ramos

Segmejanza de Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares

Ubicando en un gráfico los datos del problema Se sabe que BD = 9, EG = ED

F θ G

B

Se pude FD – BD C

ABGE es un paralelogramo

L

A

AB = GE = ED = L α

α E

L

θ

FD = BD c

Luego FD – BD = 0, la respuesta es 15 15

∆ EDF ≅ ∆ ABD

D

En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y en B, sus diagonales son perpendiculares

(CA ∩ BD = {m }) . En CD se ubica el punto N tal que BC // mN . Si AD = 3(BC) y AB = 20, calcular MN a)

b)

5 2

c)

5 3

d) 6

5

e)

4

(5to Concurso de Matemática 2002) b

B

Desarrollo Desarrollo

C

Se observa que: ∆ MCN ∼ ∆ ACD

k M

20

x

N

entonces 4x = 3b

3x

pero ∆ ABD ∼ ∆ ABC entonces

α α

A

4 x = 3b = 3( 16 16

16

20 3

D

20 3b 20 de donde 3b 2 = 202 ⇒ b = = b b 3

) ⇒ x = 5 3 , la respuesta es

b

En el triángulo ABC se traza la bisectriz Bm (M en AC ) en BC se ubica el punto N tal que la m∠ ) ( ABC ) = 120º , calcular AB ) ( BmN ) = 90º , BN = 2(NC) = 4u y la m ∠

MATEMÁTICA 4

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Semejanza Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares Eduardode Espinoza Ramos a)

b) 3u

2u

c)

289 289

d) 5u

4u

e)

6u

(3er Concurso Nacional de Matemática) Desarrollo Desarrollo B 60º 60º

2

x

L 2 N

60º

A

30º

2 C

M

Nos piden AB = x Se traza mL // AB entonces m∠ ) BmL = m ∠ ) ABm = 60º

m  ( LmN ) = 30º En el ∆ BMN: ML = BL = LN = 2 Como ∆ MCL ∼ ∆ ACB se tiene: 17 17

x 6 = de donde x = 3u, la respuesta es 2 4

b

En un triángulo ABC se inscribe el cuadrado MNPQ, donde m ∈ AB , N ∈ BC ,

P, Q ∈ AC . Si la altura Bh del triángulo ABC mide h unidades y la base AC mide b unidades. Calcular la longitud del lado del cuadrado en función de h y b (h < b) a)

bh b−h

b)

2bh b+h

c)

bh b+h

d)

b+h bh

e)

2bh b−h

(Examen Pre – UNI 1994) Desarrollo Desarrollo Indicando los datos del problema en un gráfico www.edukperu.com

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Eduardo Espinoza Ramos

290

290

Segmejanza de Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares

Del gráfico se tiene:

B

∆ MBN ∼ ∆ ABC M

h

18 18

x h−x de donde xh = bh – bx = b h

x

x A

N

x

x

Q

b

x(h + b) = bh despejando x C

P

x=

bh , la respuesta es h+b

c

En un triángulo equilátero ABC cuyo lado mide “a”, por el punto medio Q del lado AB se traza una recta que corta al lado BC en N y a la prolongación de AC en M. Hallar MC, si además CN =

a)

a 3

a 3

b) a

c)

2a

d) 3a

e)

4a

Desarrollo Desarrollo B a 2

Aplicando el teorema de Menalao MC.NB.QA = CN.BQ.AM

2a 3

a 2

x.

N a 3

A

C

x

2a a a a . = . (a + x) 3 2 3 2

2x = a + x simplificando

M

x = a, la respuesta es 19 19

b

En un triángulo ABC se tranza las cevianas interiores AE , Bf , CD concurrentes, tal que DB = 2 + AD,

BE 2 Af 1 = y = . Calcular AB EC 3 fC 2

a)

b) 8

6

c)

10

d) 12

e)

14

Desarrollo Desarrollo MATEMÁTICA 4

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Semejanza Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares Eduardode Espinoza Ramos

291 291

Aplicando el teorema de CEVA: B

AD.BE.FC = DB.EC.AF Adecuando a las condiciones del problema

a+2

BE Af = DB. EC fC ↓ ↓ ↓ ↓ 2 1 a . = (2 + a ). operando 3 2

AD.

D E

a A

C

F

4a = 6 + 3a de donde a = 6

Luego AB = a + 2 + a = 2a + 2 = 12 + 2 = 14 e

Como AB = 14, la respuesta es 20 20

En la figura AB y BC son diámetros, T es punto de tangencia si AB = 10 cm y

TD TC

AC = 13 cm, calcular

D T

A

a)

3 5

b)

O

5 8

O’

c)

C

B

4 3

d)

5 2

e)

7 3

Desarrollo Desarrollo Ubicando en la figura con los datos dados, algunas de las propiedades estudiadas. Uniendo A con D y T con O si dos

D

propiedades, para aplicar el Teorema de Thales

T

A

5

O

O’ 13

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B

C

Como AC es diámetro ⇒ m ∠ ) ( ADC ) = 90º Como T es punto de tangencia: OT ⊥ DC además OT // AD MATEMÁTICA 4


292 292

Eduardo Espinoza Ramos Segmejanza de Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares Luego aplicando el teorema de Thales en los triángulos ∆ CTO y ∆ CDA

TD OA donde OA = 5 y OC = 8 del gráfico = TC OC Por lo tanto 21 21

TD 5 = , la respuesta es TC 8

b

En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza su altura Bh . Hallar BC, si AB = 30 y AH = 18 a)

b) 50

40

c)

60

d) 70

e)

80

Desarrollo Desarrollo B

Ubiquemos los datos del problema en un triángulo

30

Se conoce que:

AB 2 = AC. Ah , de donde

302 = AC.18 ⇒ AC = 50 A

18

C

H

Ahora aplicamos Pitágoras

AC 2 = AB 2 + BC 2 de donde 502 = 302 + BC 2 BC 2 = 502 − 302 = 2500 − 900 = 1600 BC 2 = 1600 de donde BC = 1600 = 40 , la respuesta es 22 22

a

Un cateto de un triángulo rectángulo es 6 cm su proyección sobre la hipotenusa es 4 cm. Hallar la hipotenusa. a)

3 cm

b) 6 cm

c)

9 cm

d) 12 cm

e)

15 cm

Desarrollo Desarrollo Dibujando los datos del problema MATEMÁTICA 4

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Semejanza de Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares Eduardo Espinoza Ramos B

Se conoce que:

293

293

AC AB de donde = AB AD

AB 2 = AC. AD , reemplazando

6

62 = (4 + n).4 A

n

4 cm

D

C

Como AC = 4 + n = 4 + 5 = 9

4+n

c

Luego la hipotenusa AC = 9, la respuesta es 23 23

36 = 16 + 4n ⇒ n = 5

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 41 cm y uno de los catetos 9 cm. Hallar la altura correspondiente a la hipotenusa. a)

b) 7, 68 cm

8,78 cm

d) 8,87 cm

9,87 cm

e)

7,87 cm

Desarrollo Desarrollo

B

9 cm

c)

Por Pitágoras se tiene:

BC 2 = AC 2 − AB 2 h

BC 2 = 412 − 92 BC 2 = 1681 − 81

A

C

41 cm

BC 2 = 1600 ⇒ bhc = 40

Para calcular la altura h, aplicamos la propiedad El producto de los catetos es igual a la hipotenusa por la altura trazada del ángulo recto de la hipotenusa. AB.BC = AC.h, al reemplazar 9.40 = 41.h ⇒ h = Como h = 8,78 ka respuesta es 24 24

360 = 8, 78 41

a

El radio de una circunferencia mide 20 ¿A qué distancia del centro se debe trazar una cuerda de longitud igual a 32? a)

6

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b) 8

c)

10

d) 12

e)

14

MATEMÁTICA 4


294

294

Eduardo Espinoza Ramos

Segmejanza de Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares

Desarrollo Desarrollo 16

A

20

M

En el ∆ AMO aplicamos el teorema de Pitágoras

B

16

x

202 = 162 + x 2 de donde

O

x 2 = 400 − 256 = 144 x 2 = 144 entonces x = 12 Como x = 12, la respuesta es

25 25

En la figura, encontrar BD, si AB = 4 y BC = 9, “O” es el centro de la circunferencia a)

b) 4

2

d) 8

e)

c)

6

d

D A

B

C

O

10

Desarrollo Desarrollo 4 B

A

x

D 9

Prolongamos DB de tal manera que

C

x E

DB = BE por ser OB ⊥ ED O

Aplicando el teorema de cuerdas: x.x = 4.9

x 2 = 36 de donde x = 6, la respuesta es 26 26

c

¿Cuánto mide el lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 10 cm de diámetro? a)

3 cm

b) 5 cm

c)

6 cm

d) 7 cm

e)

8 cm

Desarrollo Desarrollo Como D = diámetro = 2r = 10 cm entonces r = 5 cm además se conoce que en un hexágono regular: L = r MATEMÁTICA 4

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Semejanza de Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares

295

295

Eduardo Espinoza Ramos

El lado de un hexágono es igual al radio de la circunferencia en donde está inscrito el hexágono es decir L = r = 5 cm Como L = 5 cm, la respuesta es 27 27

b

Por un punto A exterior a una circunferencia de radio “R” se trazan las secantes ABC y

) (CAE ) ADE tal que BD = L10 y CE = L3 . Hallar m ∠ a)

b) 40º

37º

c)

d) 45º

42º

e)

50º

Desarrollo Desarrollo C B

A

L3

L10

36º D

E

 = 360º = 36º BD = L10 ⇒ bd BD 10

)

Como

120º

)

 = 360º = 120º ce CE = L3 ⇒ CE 3

)

 − bd  ce CE BD 120º −36º 84º = = = 42º 2 2 2

) ) (CAE ) = Luego m ∠

Como en m ∠ ) (CAE ) = 42º , la respuesta es 28 28

c

Sobre una circunferencia de radio “R” se toman los puntos consecutivos A, B, C tal que

AC = R 3 . Encontrar la medida del ángulo ABC. a)

60º

b) 80º

c)

110º

d) 120º

e)

150º

Desarrollo Desarrollo www.edukperu.com

MATEMÁTICA 4


296

296

Eduardo Espinoza Ramos

Segmejanza de Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares

 AC ac ángulo inscrito 2

)

B x

m∠ ) B = x =

A

C

 de donde ac AC = 2 x

)

R 3

R

O

como AC = R 3 = L3 entonces

Pero  ABC + 2 x = 360º entonces

120º + 2x = 360º de donde x = 120º

)

2x

360º  ABC = = 120º abc 3

Por lo tanto la respuesta es 29 29

d

El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 12,69 cm ¿Cuánto mide el perímetro del hexágono regular inscrito en la misma circunferencia. a)

44 cm

b) 54 cm

c)

64 cm

d) 58 cm

e)

68 cm

Desarrollo Desarrollo Calculando el radio de la circunferencia Como el cuadrado es inscrito entonces: L = r 3 ósea

12, 69 = r 2 de donde r =

12, 69 2

=

12, 69 =9 1, 41

Calculando el perímetro del hexágono regular inscrito P = 6r = 6(9) = 54, la respuesta es 30 30

b

En una circunferencia de radio R se traza la cuerda AB en la cual se ubica el punto P tal que (AP)(PB) = 6 y la distancia de P al centro de la circunferencia es a)

3

b) 5

c)

7

d) 9

3 , calcular R. e)

11

Desarrollo Desarrollo MATEMÁTICA 4

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390 390 77

Eduardo Espinoza Espinoza Ramos Ramos Eduardo

Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden (5n) grados centesimales y (18n) grados sexagesimales. Hallar la medida del menor ángulo en radianes.

π

a)

10

b)

π

c)

20

π 30

d)

π

e)

40

π 50

Desarrollo Desarrollo Sea α = (5n) g , β = (18n)° los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, por lo tanto se tiene:

(5n) g + (18n)° = 90°

... (1)

9 9n convirtiendo (5n) g a grados sexagesimal: (5n) g = 5n(1) g = 5n( )° = ( )° ... (2) 10 2 luego reemplazando (2) en (1) se tiene: (

(

9n )° + (18n)° = 90° , operando 2

45n )° = 90° de donde n = 4, por lo tanto los ángulos son: 2

α = (5n) g = (

9n )° = 18° y β = (18n)° = 72° 2

convirtiendo el menor ángulo 18° en radianes para esto

R=

88

S R = 180 π

de donde

Sπ 18π π = = . Luego la respuesta es: a 180° 180 10

5( a + 7.6 b) , sabiendo 4b que A es el número de segundos sexagesimal y B es el número en minutos centesimales del mismo ángulo. Calcular el valor numérico que toma la siguiente expresión k =

a)

100

b)

25

c)

50

d)

60

e)

40

Desarrollo Desarrollo Se conoce la relación MATEMÁTICA 4

S c = 9 10

... (1) www.edukperu.com


Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo Eduardo Espinoza Ramos Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo De donde datos del problema se tiene S =

391 391

a b , c= 3600 100

que al reemplazar en (1) se obtiene:

a b = de donde A = 32.4 B , por lo tanto 9(3600) 10(100) k= 9 9

5( a + 7.6 b) 5(32.4 b + 7.6 b) = = 50 . Luego la respuesta es: c 4b 4b

La medida de una ángulo α en el sistema sexagesimal es a°b' c' ' y en el sistema radial es 0.114π rad. Hallar a + b + c. a)

b)

62

c)

63

64

d)

65

e)

70

Desarrollo Desarrollo La relación entre el sistema sexagesimal y el sistema radial es

S=

180R

π

reemplazando S =

1°  → 60' 0.52°  → x

⇒ x = 31.2'

180(0.114π )

π y

S R = , de donde 180 π

= 180(0.114) = 20.52°

1'  → 60' ' 0.2'  → x

⇒ x = 12' '

Luego α = 20.52° = 20°31'12' ' = a°b' c' ' Por lo tanto a + b + c = 20 + 31 + 12 = 63. Luego la respuesta es: b 1010

Las medidas de tres ángulos están en progresión aritmética de razón 10 g . Hallar la medida del mayor de ellos si la suma de los tres ángulos es a)

110°

b)

108°

c)

111°

5π rad . 3

d)

109°

e)

112°

Desarrollo Desarrollo www.edukperu.com

MATEMÁTICA 4


392

392

Eduardo Espinoza Ramos

Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo

Eduardo Espinoza Ramos

Tenemos los tres ángulos en progresión aritmética en la forma: α − 10 g , α, α + 10 g , de la condición del problema, se tiene:

suma = α − 10 g + α + 10 g + α = el ángulo mayor es: α + 10 g =

5π 5π 5π , de donde; 3α = , por lo tanto: α = 3 3 9

5π 9 + 10 g = 100° + 10( )° = 109° 9 10

como α + 10 g = 109° , la respuesta es: d

11 11

Hallar la medida circular de un ángulo, si el doble de su número de grados centesimales es mayor que su número de grados sexagesimales en 11.

π

a)

20

rad

b)

π 30

rad

c)

π 15

rad

d)

π 7

rad

e)

π 13

rad

Desarrollo Desarrollo Aplicando la relación

180R 200R S R c R y y c= ... (1) = = , de donde: S = π 180 π 200 π π

de la condición del problema, se tiene: 2C – S = 11 de donde

220 R 400 R 180 R 11π π = 11 ⇒ R = − = 11 ⇒ = π 220 20 π π

por lo tanto la respuesta es: 12 12

a

Si S, C y R son las medidas de un mismo ángulo en el sistema sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, simplificar: k =

a)

0.01

b)

c)

1

(1800 + π )( S 2 + c 2 + R 2 ) (72400 + π 2 )( Sc + SR + cR) 0.05

d)

0.02

e)

20

Desarrollo Desarrollo La relación entre dichos sistemas es: MATEMÁTICA 4

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Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo Eduardo Espinoza Ramos Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo

393

393

S c R = = = k1 , de donde: S = 180 k1, C = 200 k1, R =π k1 180 200 π reemplazando en la expresión: k =

(1800 + 19π )

k=

(72400 + π 2 )( Sc + SR + cR)

32400k12 + 40000k12 + π 2 k12

(72400 + π 2 ) 36000k12 + 180π k12 + 200k12π

= 1313

(

(1800 + 19π )(81k 2 + 10)

)=

(1800 + 19π )(72400 + π 2 ) (72400 + π 2 )(36000 + 380π )

1800 + 19π 1 = = 0.05 , por lo tanto la respuesta es: c 20(1800 + 19π ) 20

Si S, C y R representan las medidas sexagesimal, centesimal y radial del ángulo α. Si

S + c + R = 152 + a)

70°

2π ¿Cuál es la medida sexagesimal del ángulo α? 5 b)

80°

c)

72°

d)

e)

71°

75°

Desarrollo Desarrollo 10 S c R = = , de donde: c = S 9 180 200 π 2π reemplazamos en la ecuación S + c + R = 152 + , de donde: 5 Aplicando la relación

S+

y

R=

πS 180

, ahora

380 + π 2π 760 + 2π 10 S π S 2π , simplificando: = S = 152 + + = 152 + 180 5 5 9 280 5

380 + π 2(380 + π ) 360 S 2 , entonces: ⇒ S= S= = 72° = 5 180 5 180 5 Luego la respuesta es: c 1414

Sean S y C los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas 1 1 1 , hallar dicho ángulo en sexagesimal y centesimal respectivamente. Si − = S c 15 radianes.

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MATEMÁTICA 4


394 394

Eduardo Espinoza Espinoza Ramos Ramos Eduardo

Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo

π

a)

150

b)

rad

π 100

rad

c)

π 110

d)

rad

π 80

rad

π

e)

120

rad

Desarrollo Desarrollo Aplicando la relación:

Como

S c R = = = k de donde S = 180k y C = 200k ... (1) 180 200 π

Sc 1 1 1 entonces c − S = − = 15 S c 15

... (2)

200k − 180k =

Al reemplazar (1) en (2) se obtiene:

20k = (12)(200k 2 ) por lo tanto k =

como R = π k =

15 15

π 120

e

, luego la respuesta es:

para que este ángulo mida 140 grados centesimales. b)

5

1

de donde

1 120

Un ángulo en el sistema sexagesimal se expresa por: S =

a)

(180)200k 2 15

c)

121 + 5 , calcular el valor de “x” x

d)

4

e)

3

2

Desarrollo Desarrollo De la condición del problema se tiene: S = 140 g =

121 +5, x

9 convirtiendo 140 g a grados sexagesimal 140 g = 140( )° = 126° 10 como

121 121 = 126 − 5 + 5 = 140 g = 126° entonces x x

de donde MATEMÁTICA 4

121 = 121 entonces x = 1. por lo tanto la respuesta es x

b www.edukperu.com


Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo Eduardo Espinoza Ramos Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo 1616

395 395

La suma de las medidas de dos ángulos es 18° y la diferencia es 18 g . Determinar la medida en radianes del menor de los ángulos. a)

π

b)

200

π

c)

20

19π 100

π

d)

80

e)

π 3

Desarrollo Desarrollo Sean α y β los ángulos, tal que:

α + β = 18° , convirtiendo a radianes  g α − β = 18

π  α + β = 18°(180° )rad  α − β = 18 g ( π )rad  200 g

π  α + β = 10 de donde  resolviendo el sistema: α − β = 9π  100 al suma se tiene 2α =

como α + β =

como β = 1717

π 10

π 200

π 9π 19π 19π de donde α = + = 10 100 100 200

entonces β =

π 10

−α =

π

19π π = 10 200 200 −

es el menor entonces la respuesta es

a

El número de grados sexagesimal que tiene un ángulo, excede a 14 veces el número de radianes en 51. Hallar en número de grados centesimales que tiene dicho ángulo (considerar π = a)

35

22 ) 7 b)

45

c)

55

d)

65

e)

75

Desarrollo Desarrollo De las condiciones del problema se tiene: www.edukperu.com

S – 14R = 51

... (1) MATEMÁTICA 4


396 396

Eduardo Espinoza Eduardo EspinozaRamos Ramos

Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo

Ahora expresamos a S y R en términos de grados centesimales donde se tiene:

S=

S=

S c c R y de = = 9 10 200 π

9 22 cπ , como π = entonces c y R= 10 7 200

9 22c c y R= 10 1400

... (2)

al reemplazar (2) en (1) se obtiene: S − 14 R =

9 22c c − 14( ) = 51 10 1400

9 22c 68c c− = 51 entonces = 51 de donde C = 75 10 100 100 Luego la respuesta es e 1818

En un triángulo ABC, el ∠ ) a mide x grados sexagesimales, el ∠ ) b mide 3x grados centesimales y el ∠ ) c mide

πx

radianes, hallar en el sistema sexagesimal la diferencia 108 entre el mayor y menor de los ángulos. a)

b)

33.54°

55.90°

d)

e)

90.558°

37°

La suma de tres ángulos internos de un triángulo es igual a 180°, por lo tanto

(3x)g

A

57.018°

Desarrollo Desarrollo

B

πx rad 108

c)

C

x° + (3 x) g +

πx rad = 180° 108

expresando en grados sexagesimales se tiene:

x° + (3 x)(1g ) +

x° +

π x 180° 9 = 180° operando (1 rad ) = 180 ° ⇒ x° + 3 x.( )° + 10 108 π 108 πx

27 180 x° + x° = 180° simplificando 161x°=30(180°) de donde x°=33.54° 10 108

por lo tanto los ángulos serán: MATEMÁTICA 4

∠ ) a :

x° = 33.54° www.edukperu.com


Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo Eduardo Espinoza Ramos Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo

27 27 x° = (33.54°) = 90.558° 10 10

∠ ) b :

∠ ) b − ∠ ) a = 90.558° - 33.54° = 57.018°. 1919

∠ ) c :

;

sistema centesimal?

50 g

b)

45 g

c)

397

5 5 x° = (33.54°) = 55.90° 3 3

Por lo tanto la respuesta es c

Un ángulo de un triángulo mide 35° y el otro

a)

397

5π rad. ¿Cuánto mide el otro ángulo en el 9

75 g

d)

83 g

e)

30 g

Desarrollo Desarrollo

B

Sean ∠ ) b = ) a = 35°, ∠

5π rad y ∠ ) c = ? 9

Se conoce que en todo triángulo se tiene:

C

A convirtiendo el ∠ ) b =

∠ ) b =

... (1)

∠ ) a + ∠ ) b + ∠ ) c = 180º

5π rad al sistema sexagesimal 9

5π 5π 180° ( ) = 100° por lo tanto rad = 9 9 π

35° + 100° + ∠ ) c = 180° de donde ∠ ) c = 45° ahora convertimos ∠ ) c = 45° al sistema centesimal

∠ ) c = 45°. 2020

200 g = 50 g por lo tanto la respuesta es 180°

a

Calcular la medida del mayor ángulo en radianes, si la suma de la cuarta parte del número de grados sexagesimales de un ángulo y los tres quintos del número de grados centesimales de otro ángulo vale 70 y además son suplementarios. a)

π 3

rad

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b)

π 6

rad

c)

2π rad 3

d)

3π rad 5

e)

5π rad 6

MATEMÁTICA 4


608

608

Eduardo Espinoza Ramos

Geometría Analítica

Eduardo Espinoza Ramos

Y

mL =

L P(x,y)

y − y0 de donde y − y 0 = mL( x − x 0 ) x − x0 L : y − y 0 = mL( x − x 0 )

P0(x0,y0) 0

X

Ejemplo.-

Hallar la ecuación de la recta L de pendiente 2, que pasa por el punto A(1,3). Desarrollo Desarrollo

L : y − y 0 = mL( x − x 0 )

La ecuación de la recta es:

Como la recta L pasa por el punto A(1,3) y tiene mL = 2 Entonces reemplazamos en la ecuación de la recta L: y – 3 = 2(x – 1) de donde b)

∴ L: 2x – y + 1 = 0

ECUACION DE LA RECTA CONOCIENDO LAS COORDENADAS DE DOS DE SUS PUNTOS.La ecuación de la recta L que pasa por los puntos P0 ( x 0 , y 0 ) , P1 ( x1 , y1 ) está dado por:

L : y − y0 =

y1 − y0 ( x − x0 ), x1 ≠ x0 x1 − x0 Y

En efecto: Consideremos la recta L que pasa por los puntos P0 ( x 0 , y 0 ) ,

P1(x1,y1)

P1 ( x1 , y1 )

entonces su pendiente es:

mL = MATEMÁTICA 4

y1 − y0 x1 − x0

L

P0(x0,y0)

… (1)

0

X www.edukperu.com


Geometría Analítica Eduardo Espinoza Ramos

Geometría Analítica

609

609

Se conoce la ecuación de la recta en su forma punto – pendiente, es decir: … (2)

L : y − y 0 = mL( x − x 0 ) Ahora reemplazamos (1) en (2) obteniéndose

L : y − y0 = Ejemplo.-

y1 − y0 ( x − x0 ) x1 − x0

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-3,5) y B(6,2). Desarrollo Desarrollo

La ecuación de la recta es:

L : y − y0 =

y1 − y0 ( x − x0 ) x1 − x0

Como la recta L pasa por los puntos A(-3;5) y B(6;2) entonces reemplazamos en la ecuación de la recta.

L: y −5 = c)

2−5 ( x − (−3)) de donde 6 − (−3)

L: x + 3y – 12 = 0

FORMA PENDIENTE – ORDENADA EN EL ORIGEN.La ecuación de la recta L de pendiente m y que corta al eje Y en el punto P0 (0, b) (siendo b la ordenada en el origen) está dado por: L: y = mx + b En efecto:

Y

La recta L no vertical de pendiente m, y que intercepta al eje Y en el punto

P0(0,b)

P0 (0, b) y como la ecuación de la recta en su forma punto – pendiente es:

L

0

X

L : y − y 0 = m( x − x 0 ) www.edukperu.com

MATEMÁTICA 4


610

610

Eduardo Espinoza Ramos

Geometría Analítica

Eduardo Espinoza Ramos

Entonces reemplazamos los datos obtenidos L: y – b = m(x – 0) de donde Ejemplo.-

∴ L: y = mx + b

Hallar la ecuación de la recta L que corta al eje Y en el punto (0,3) y cuya pendiente es 2.

Y

Desarrollo Desarrollo

L

Como L: y = mx + b donde 3

m = 2 y b = 3 entonces

0

d)

X

L: y = 2x + 3 de donde ∴ L: 2x – y + 3 = 0

FORMA SIMÉTRICA.- La ecuación de la recta L que corta a los ejes coordenados X e Y en los puntos A(a,0) y B(0,b) (“a”, abscisa en el origen y b ordenada en el origen), está dado por:

x y + =1 a b

L: En efecto

Consideremos una recta L no vertical que intercepta a los ejes en los puntos A(a,0) y B(0,b) Calculando la pendiente de L se tiene: Y L

m=

B(0,b)

b−0 b =− a 0−a

ahora utilizando la ecuación en su forma punto – pendiente se tiene: A(a,0) 0

X

b L : y − 0 = − ( x − a ) , de donde a ∴ L:

MATEMÁTICA 4

x y + =1 a b www.edukperu.com


Geometría Analítica Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.-

Geometría Analítica

611

611

Una recta L pasa por los puntos A(-3,0) y B(0,4) determinar su ecuación. Y

Desarrollo Desarrollo

L B(0,4)

Sea L :

x y + =1 a b

Como a = -3 y b = 4 entonces

A(-3,0) 0

X

L:

x y + = 1 de donde L: 4x – 3y + 12 = 0 −3 4

Ejemplo.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,1) e intercepta en el ángulo coordenado un triángulo de área igual a 2 unidades cuadradas. Desarrollo

Desarrollo

Y

Datos del problema:

b P(1,1)

A=

A 0

como P(1,1) ∈ L ⇒

a

X

a.b = 2 de donde ab = 4 2

sea L :

… (1)

x y + = 1 , la recta pedida a b

1 1 + = 1 , de donde se tiene: a + b = ab = 4 ⇒ b = 4 – a a b

ahora al reemplazar b = 4 – a en la ecuación (1), es decir: ab = a(4 – a) = 4 entonces 4a − a 2 = 4 de donde

(a − 2) 2 = 0 de donde a – 2 = 0 ⇒ a = 2 como b = 4 – a = 4 – 2 = 2 ⇒ b = 2 www.edukperu.com

MATEMÁTICA 4


612

612

Eduardo Espinoza Ramos

Geometría Analítica

Eduardo Espinoza Ramos

reemplazando en la ecuación L :

x y + = 1 se tiene: a b

L:

x y + =1 2 2

e)

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.-

de donde:

L: x + y = 2

La forma general de la ecuación de la recta L está dado por: L: Ax + By + C = 0 Donde A, B, C son constantes con la condición que A, B y C no son simultáneamente nulas. En efecto: Consideremos la ecuación de la recta en su forma cartesiana

L : y − y0 =

y1 − y0 ( x − x0 ) x1 − x0

… (1)

a la ecuación (1) expresaremos en la forma:

L : ( y1 − y 0 )( x − x 0 ) − ( x1 − x 0 )( y − y 0 ) = 0

L : ( y1 − y 0 ) x − ( x1 − x 0 ) y + x1 y 0 − x 0 y1 = 0 de donde: OBSERVACIÓN.-

L: Ax + By + C = 0 De la ecuación general de la recta se presentan los siguientes casos:

a) Si A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 ⇒ y = − b) Si A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 ⇒ x = − MATEMÁTICA 4

C , que es una recta paralela al eje X. B

C , que es una recta paralela al eje Y. A www.edukperu.com


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c)

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Si A ≠ 0, B ≠ 0 entonces y = −

A C x − , que es la ecuación de la recta en la forma B B

pendiente ordenada en el origen, de donde m = −

A , es decir: si se tiene la ecuación B

general de la recta L: Ax + By + C = 0 su pendiente es: m = −

Ejemplo.-

613

La pendiente de la ecuación 3x + 4y + 9 = 0 es m = −

A B

3 4

6.7. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.6.7. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.-

Consideremos dos rectas L1 y L2 con pendientes mL1 y mL2 respectivamente, entonces: i)

La recta L1 es paralela a la recta L2 correspondientes son iguales, es decir:

L1 // L2 ⇔

( L1 // L2 ) sí y sólo sí sus pendientes

mL1 = mL2

Y L1

θ 0

L2

θ X

ii) La recta L1 es perpendicular a la recta L2 ( L1 ⊥ L2 ) sí y sólo sí, el producto de sus pendientes es igual a menos 1, es decir:

L1 ⊥ L2 www.edukperu.com

mL1 .mL2 = −1 MATEMÁTICA 4


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Y L2

θ1

0

Del gráfico se tiene:

L1

θ2 X

mL1 = tg θ1 y mL2 = tg θ 2

… (1)

Además del gráfico se tiene: θ 2 = 90° + θ 1 (ángulo exterior a un triángulo).

tg θ 2 = tg(90° + θ1 ) = −c tg θ1 = −

1 de donde tg θ1

tg θ 1 . tg θ 2 = −1

… (2)

Luego al reemplazar (1) en (2) se tiene:

mL1.mL2 = −1 Ejemplo.-

Determinar para qué valores de “a” la recta

L : (a + 2) x + (a 2 − 9) y + 3a 2 − 8a − 5 = 0 , es: i)

ii) Paralela al eje Y.

Paralela al eje X.

iii) Pasa por el origen de coordenadas. Desarrollo Desarrollo

Sea L : (a + 2) x + (a 2 − 9) y + 3a 2 − 8a − 5 = 0 entonces mL = −

 L : eje X Sean  1  L2 : eje Y MATEMÁTICA 4

a+2 a2 − 9

mL = 0 entonces  1 mL2 = ∞ www.edukperu.com


Geometría EduardoAnalítica Espinoza Ramos i)

L // L1 −

ii)

a+2 a2 − 9

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mL = mL1 = 0 ⇒ a + 2 = 0 ⇒ a = -2

L // L 2 ⇔ mL = mL1 −

a+2 a2 − 9

=∞

a2 − 9 = 0 ⇒ a 2 = 9 ⇒ a = ± 3

iii) (0,0) ∈ L ⇒ 0 + 0 + 3a 2 − 8a − 5 = 0 (3a – 5)(a – 1) = 0 de donde a = 1, a = Ejemplo.-

5 . 3

Hallar el valor ó valores de k para que las rectas de ecuación

L1 : 2 y − kx − 3 = 0 y L2 : (k + 1) y − 4 x + 2 = 0 sean perpendiculares. Desarrollo Desarrollo

Sean:

k  mL1 = 2  L1 : − kx + 2 y − 3 = 0 ⇒    L2 : − 4 x + (k + 1) y + 2 = 0 mL = 4  2 k + 1

Como L1 ⊥L 2 entonces mL1 .mL2 = −1 , de donde se tiene:

1 k 4 . = −1 ⇒ 2k = -k – 1 ⇒ 3k = 1 de donde k = − 3 2 k +1 Ejemplo.-

Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto P(-6,4) perpendicular a la recta L1 : 4 x − 5 y + 3 = 0 Desarrollo Desarrollo

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Como P(−6, 4) ∉ L1 , además

L P(-6,4)

L1 : 4 x − 5 y + 3 = 0 ⇒ mL1 =

4 5

… (1) … (2)

L1 ⊥ L ⇒ mL1.mL = −1 L1: 4x-5y+3=0

Ahora reemplazamos (1) en (2)

5 4 mL = −1 ⇒ mL = − 4 5 como se tiene punto P(-6,4) y mL = − su forma punto – pendiente:

5 aplicamos la forma de la ecuación de la recta en 4

L1 : y − y0 = mL( x − x0 )

5 L1 : y − 4 = − ( x + 6) de donde ∴ L: 5x + 4y + 14 = 0 4 6.8. DISTANCIA DE UN A UNA A RECTA.6.8. DISTANCIA DEPUNTO UN PUNTO UNA RECTA.-

Las distancias no dirigida de un punto P0 ( x 0 , y 0 ) a una recta L: Ax + By + C = 0 está dada por la fórmula:

d ( P0 , L) =

| Ax0 + By0 + C | A2 + B 2

En efecto: Por el punto P0 ( x 0 , y 0 ) trazamos una recta L1 , perpendicular a la recta L.

Y L1

L

P0(x0,y0)

A 0

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Como L ⊥ L1 ⇒ mL.mL1 = −1 Además mL = −

X

A de donde B

B A − .mL1 = −1 ⇒ mL1 = A B www.edukperu.com


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