1. Sistemas de ecuaciones lineales
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a)
d) −8x1 + 4x2 −x1 + 4x2
= 1
x1 − x2 + x3 3x1 − 3x2 + 3x3
= 0
b) 4x1 + 5x2 − 7x3 3x1 − 6x2 − x3
2x1 + 9x2 − 9x3
= =
−1 3
=
1
e) 4 2 x1 − x2 − 5 3 6 x1 − x2 + 5 9 5 x1 + x2 7 7
c) x1 + x2 − x3 + 2x4 3x1 + 2x2 + x3 − x4
= 6 = 18
= 3 = 5
6 x3 7 5 x3 7
=
1
=
1
=
3
1.8. La transpuesta de una matriz .:Definición 1.24 Sea A una matriz de tamaño m × n. La matriz transpuesta, denotada con At está dada por (At )ij = Aji
A=
a11 a21 .. .
a12 a22 .. .
... ... .. .
a1n a2n .. .
am1
am2
...
amn
con 1 ≤ i ≤ n
y
1≤j≤m
y
At =
a11 a12 .. .
a21 a22 .. .
... ... .. .
an1 an2 .. .
a1m
a2m
...
anm
Es decir, es la matriz que se obtiene al intercambiar las filas por las columnas de A. La matriz At tiene tamaño n × m. Para encontrar la matriz transpuesta sólo debemos cambiar el orden de las componentes, es decir, si tenemos un 5 en la componente a32 , al realizar la transpuesta este número estaría en la posición a23 . Ejemplo 1.31 Encuentre la transpuesta de las siguientes matrices 5 −5 2 2 2 5 6 3 0 A = −4 −8 1 , B = 3 1 1 , C = −1 2 −2 3 2 7 2 7 8
2 At = 5 6
−4 2 −8 −2 1 3
2 5
6