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Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´aticas A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T. O. M. Garc´ıa A. Facultad de Ciencias B´asicas y Tecnolog´ıas Facultad de Educaci´on Grupo de Modelaci´on Matem´atica en Epidemiolog´ıa (GMME) Universidad del Quind´ıo Armenia - Colombia Escuela de Biolog´ıa Benem´erita Universidad Aut´onoma de Puebla Puebla - M´exico 10 de febrero de 2011


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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

Dr. Anibal Mu˜ noz Loaiza Candidato a Msc. Juan Carlos Jamboos Toledo Msc. Oscar Marino Garc´ıa Arias

Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas No est´a permitida la reproducci´on total o parcial de esta obra por cualquier medio o m´etodo sin autorizaci´on escrita de los autores.

Derechos Reservados ©Armenia Quind´ıo 2007

ISBN: 978-958-44-1251-5

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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

Dedicado a la memoria de mis padres: Nohemy y Anibal A mis hijos: Alejandro, Andr´ es y Dalia A mi esposa Irma A los jovenes Monserrat Cruz Limon Carolina Castellanos Sosa Juan Carlos Cruz Limon Anibal Mu˜ noz Loaiza

Dedico este libro a mis padres: Ruth Toledo B. y Carlos B. Jamboos O. y al profesor Anibal, quienes con su amor, sacrificio y dedicaci´ on han contribuido en mi formaci´ on humana, en el logro de mis objetivos y en mi formaci´ on acad´ emica - investigativa. Juan Carlos Jamboos Toledo

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Agradecimientos Agradecemos al Dr. Andr´ es Fraguela C. y Dr. Vladimir V. Alexandrov de la Facultad de Ciencias F´ısico Matem´ aticas y al Dr. Jose lino Zumaquero de la Escuela de Biolog´ıa, docentes investigadores de la Benem´ erita Universidad Aut´ onoma de Puebla, M´ exico. Al CONACyT M´ exico, a la Facultad de Ciencias F´ısico Matem´ aticas de la Benem´ erita Universidad Aut´ onoma de Puebla y a la Facultad de Ciencias B´ asicas y Tecnolog´ıas y la Facultad de Educaci´ on de la Universidad del Quind´ıo - Colombia. A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa T. Puebla, Puebla - M´ exico Septiembre del 2007

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´Indice de figuras 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

Distribuci´on aleatoria y agregada x ¯ =4, s2x =4.58, 2 sx =25, k =27.59, k =0.16 [28]. . . . . . . . 6 Distribuciones agregadas x ¯ =4, s2x =66.67, s2x =400, k =0.05, k =0.006 [28]. . . . . . . . 6 Vector de la malaria [43]. . . . . . . . . . . . 9 Mosquito A. aegypti [38]. . . . . . . . . . . 9 Andrei A. Markov (1856 - 1922) [32]. . . . . 12 Criaderos del mosquito A. aegypti [38]. . . . 13 Naturaleza de la estabilidad [10]. . . . . . . . 16 Ciclo del mosquito A. aegypti [41]. . . . . . 17 Vibrio cholerae [43]. . . . . . . . . . . . . . . 20 Control biol´ogico de insectos [41]. . . . . . . 24 Control biol´ogico [42]. . . . . . . . . . . . . . 25 Thomas Robert Malthus (1766 - 1834) [34]. . 29 Crecimiento exponencial con x0 = 20, α =0.15, α =0.20, α = 0, α = -0.1, α =-0.15, t = 0, ..., 10. 30 Pierre Francois Verhulst (1804 - 1849) [35]. . 31 Din´amica de Crecimiento Log´ıstico. . . . . . . 32 Trypanosoma cruzi del mal de Chagas . . . . 34 Estad´ıo fase acu´atica del mosquito A. aegypti [40]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 vii


viii 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33.

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Ecuaci´on de balance unidimensional. . . . . . 44 A. Mikhailovich Lyapunov (1857 - 1918) [40]. 58 Equilibrio Lyapunov Estable. . . . . . . . . . 58 Equilibrio Inestable. . . . . . . . . . . . . . . 59 Equilibrio Asint´oticamente Estable. . . . . . . 59 Conjunto de Mandelbrot [44]. . . . . . . . . . 63 Fleb´otomo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Cato M. Guldberg y Peter Waage (1864) [39]. 82 Sir Ronald Ross (1857 - 1932) [31]. . . . . . . 86 William Ogilvy Kermack (1898 - 1970) [37]. . 94 Din´amica de los umbrales RM y R0 . . . . . . 109 Plano de fase din´amica Lotka - Volterra y FitzHugh - Nagumo. . . . . . . . . . . . . . . 114 Lev S. Pontryagin (1908 - 1988) [36]. . . . . 117 Simon Denis Poisson (1781 - 1840) [33]. . . . 119 Simulaciones del modelo de Lotka - Volterra - Depredador y Presa. . . . . . . . . . . . . . 130 Virus de Inmunodeficiencia Humana (VIH). . 143

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Introducci´ on Este libro Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas esta dirigido a estudiantes e investigadores de Biolog´ıa, Ecolog´ıa, Epidemiolog´ıa, Matem´atica y en particular la Biomatem´atica. En el se encuentran el significado cient´ıfico de t´erminos y expresiones Biomatem´aticas de inter´es en el modelado matem´atico en Epidemiolog´ıa y Ecolog´ıa de Poblaciones. Se enfatiza en algunos t´erminos dando una amplia explicaci´on de su deducci´on, significado y aplicaci´on. En su desarrollo se incluyen diagramas compartimentales, fotos de cient´ıficos, planos de fase, gr´aficas de simulaci´on e imagenes, haciendo una obra amena de consultar. Esperamos asi contribuir con el desarrollo de la Biomatem´atica. Los Autores

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A Abundancia relativa: Representaci´on proporcional de una especie en una muestra o en una comunidad. ´ Acido: Cualquier de los compuestos que libera iones hidr´ogeno cuando se disuelve en agua. Soluci´on de agua que contiene un excedente de iones hidr´ogeno. Adaptaci´ on: Una caracter´stica determinada gen´eticamente que realza o pontencia al individuo para tener suficiente capacidad para desenvolverse y desarrollarse en un determinado ambiente. Proceso evolutivo por el cual los organismos adquieren mejor acomodaci´on en sus ambientes. ´ ADN: Acido Desoxirribonucleico, frecuentemente abreviado ADN (y tambin DNA, del ingl´es Deoxyribonucleic Acid), constituye el principal componente del material gen´etico de la inmensa mayor´ıa de los organismos, junto con el ARN, siendo el componente qu´ımico primario de los cromosomas y el material en el que los genes est´an codificados. La funci´on principal del ADN es mantener a trav´es del c´odigo gen´etico, la informaci´on gen´etica necesaria para crear un ser vivo id´entico a aquel del que proviene (o casi similar, en el caso de mezclarse con otra cadena como es el caso de la reproducci´on sexual o de sufrir mutaciones). Las cadenas polipept´ıdicas codificadas por el ADN pueden ser estructurales como las prote´ınas de los m´ usculos, cart´ılagos, pelo, etc., bien funcionales como las de la hemoglobina o las innumerables enzimas del organismo. La funci´on principal de la Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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herencia es la especificaci´on de las prote´ınas, siendo el ADN una especie de plano o receta para nuestras prote´ınas. Para hacerse una idea, una diminuta cantidad de ADN en un huevo fertilizado, determina casi todas las caracter´ısticas f´ısicas del animal en su desarrollo completo; por ejemplo: la diferencia entre un ser humano y una rana est´a codificada en una parte relativamente peque˜ na de este ADN. En los organismos procariotas (moneras), as´ı como en las mitocondrias y cloroplastos eucariotas, el ADN se presenta como una doble cadena (de cerca de 1 mm de longitud), circular y cerrada, que toma el nombre de cromosoma bacteriano, que es circular excepto en las micoplasmas, que es lineal. En las Eucariotas el ADN se encuentra localizado principalmente en el n´ ucleo, apareciendo el superenrrollamiento (trenzamiento de la trenza) y la asociaci´on con prote´ınas hist´onicas y no hist´onicas. El ADN se enrolla (dos vueltas) alrededor de un octeto de prote´ınas hist´onicas formando un nucleosoma, estos quedan separados por una secuencia de ADN de hasta 80 pares de bases, formando un collar de perlas o mejor denominado fibra de cromatina, siendo la estructura propia del n´ ucleo interf´asico, que no ha entrado en divisi´on. Este collar de nucleosomas vuelve a enrollarse y cada 6 nucleosomas constituyen un paso de rosca por medio de histoma H1 formando estructuras del tipo solenoide. En los virus, el ADN puede presentarse como una doble h´elice cerrada, como una doble h´elice abierta o simplemente como una u ´nica hebra lineal. Comparar con ARN.

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Advecci´ on: Desplazamiento horizontal, meridiano o zonal de una masa de aire, lo que provoca cambios de tiempo y transferencias de calor de unas zonas a otras de la superficie terrestre. Agua subterr´ anea: Agua que se ha acumulado en el suelo, completamente llenando y saturando todos los poros y espacios en rocas y suelo. El agua subterr´anea est´a libre y se mueve m´as o menos f´acilmente. Es el reservorio de fuentes y manantiales y es rellenado mediante la infiltraci´on del agua superficial. Agentes biol´ ogicos: Par´asitos que se clasifican en micropar´asitos (protozoarios, matazoarios, bacterias, virus, hongos y rickettsias) y macropar´asitos (helmintos, artr´opodos). Se diferencian en su forma, tama˜ no, h´abitos de vida, reproducci´on y forma de transmisi´on. Las especies que producen infecciones humanas son denominadas pat´ogenas, hablamos entonces de agentes pat´ogenos. Agregaci´ on biol´ ogica: Asociaci´on o grupo de organismos de la misma especie que integran una estructura social formada por miembros repetidos o unidades modulares que tienen un bajo nivel de coordinaci´on, integraci´on o relaci´on genot´ıpica. Las bases biol´ogicas de la agregaci´on son: Respuesta a factores f´ısicos del medio ambiente como luz, temperatura y humedad Respuesta a la planta hospedera o partes de ella Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Comportamiento reproductivo Atracci´on mutua con otros individuos de la misma especie Interacciones con otros organismos.

Figura 1: Distribuci´on aleatoria y agregada x ¯ =4, s2x =4.58, s2x =25, k =27.59, k =0.16 [28].

Figura 2: Distribuciones agregadas x ¯ =4, s2x =66.67, 2 sx =400, k =0.05, k =0.006 [28]. Ana´ erobico: Sin ox´ıgeno. Alelo: Una de varias formas alternativas de un gen. Alelopat´ıa: Inhibici´on directa de una especie por otra usando qu´ımicos nocivos o t´oxicos. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Algebra: Colecci´on no vacia Σ de subconjuntos de X que satisface: X∈Σ Si C ∈ Σ entonces C¯ ∈ Σ Si C, D ∈ Σ entonces C ∪ D ∈ Σ Ambiente: Se refiere a las condiciones del medio ambiente circundante del organismo; Todos los factores bi´oticos y abi´oticos que afectan a un individuo en cualquier momento de su ciclo de vida. Entorno que afecta y condiciona especialmente las circunstancias de vida de las personas o la sociedad en su conjunto. Comprende el conjunto de valores naturales, sociales y culturales existentes en un lugar y en un momento determinado, que influyen en la vida del hombre y en las generaciones venideras. Es decir, no se trata s´olo del espacio en el que se desarrolla la vida sino que tambi´en abarca seres vivos, objetos, agua, suelo, aire y las relaciones entre ellos, as´ı como elementos tan intangibles como la cultura, la filosof´ıa, la educaci´on o la pol´ıtica. Amino´ acido: Uno de los treinta amino´acidos que contiene el grupo amino (N H2 ), los cuales son los que construyen bloques de proteinas. Anaer´ obico: Organismo que no requiere ox´ıgeno para su desarrollo y actividades metab´olicas.

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An´ alisis del factor k: An´alisis de la relaci´on entre el poder destructivo de varios factores ambientales y el cambio en el tama˜ no de la poblaci´on. Comparar con An´alisis del factor llave. An´ alisis de factor llave: Tratamiento estad´ıstico de datos poblacionales dise˜ nado para identificar los factores m´as relevantes de cambio en el tama˜ no de la poblaci´on. An´ alisis de gradiente: Descripci´on e interpretaci´on de las abundancias de especies a lo largo de gradientes de condiciones f´ısicas. Ani´ on: Una parte de una mol´ecula disociada que transporta una carga el´ectrica negativa. Anofeles: Mosquito de largos palpos cuya hembra es transmisora de los protozoos causantes del paludismo, las larvas del mosquito anofeles viven en las aguas estancadas o de escasa corriente. Antropof´ılico: Referente a los insectos que muerden, chupan o sencillamente se alimentan de sangre humana. ´ ARN: Acido Ribonucleico. Es un ´acido nucleico, pol´ımero lineal de nucle´otidos formando una larga cadena. El eje de la cadena lo forman grupos fosfato y az´ ucares ribosa de forma alternativa del que toma su nombre. Los nucle´otidos del ARN contienen el az´ ucar ribosa y entre sus bases nitrogenadas al uracilo, a diferencia del ´acido desoxirribonucleico

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Figura 3: Vector de la malaria [43].

Figura 4: Mosquito A. aegypti [38]. (ADN) cuyo az´ ucar es una desoxirribosa y contiene a la timina en vez del uracilo. La funci´on principal del ARN es servir como intermediario de la informaci´on que lleva el ADN en forma de genes y la prote´ına final codificada por esos genes. Comparar con ADN. Asociaci´ on: Un grupo de especies que viven en el mismo lugar.

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Autorregulaci´ on: Es la concepci´on de que el tama˜ no de la poblaci´on es regulado con respecto a su recurso por restricci´on individual ante la sobreexplotaci´on.

B Bacteria: Microorganismo, c´elula procariota y par´asito que puede ser intracelular o extracelular obligado o facultativo. Cuenta con diferentes fuentes de alimentaci´on y ambientes para su desarrollo y multiplicaci´on que pueden ir desde condiciones aer´obicas y anaer´obicas hasta aquellos tremendamente adversos para la existencia de vida animal. Se presentan en diversas formas, incluyendo esferas, bastones y espirales. Bifurcaci´ on: Es un cambio de comportamiento cualitativo de un sistema din´amico. Algunos tipos de bifurcaci´on locales de campos de vectores en R son: la bifurcaci´on silla - nodo, la bifurcaci´on transcritica y la bifurcaci´on pitchfork. Biomasa: Peso de la materia viva, usualmente expresada como peso seco, en todo o parte de un organismo, poblaci´on o comunidad. Comunmente presentada como peso por unidad de ´area, una densidad de la biomasa. Biomatem´ atica: Matem´atica aplicada a la Biolog´ıa. Biogen´etica y profundamente no reduccionista. Los problemas biol´ogicos son tratados capturando sus cualidades biol´ogicas b´asicas, para luego analizarlos por medio del razonamiento y pr´actica matem´atica. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Biota: Fauna y flora juntas. Bola abierta: Sea (X, d) un espacio metrico, a ∈ X, r ∈ (0, +∞). La bola abierta con centro a y radio r es el conjunto B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r} Bola cerrada: Sea (X, d) un espacio metrico, a ∈ X, r ∈ (0, +∞). La bola cerrada con centro a y radio r es el conjunto B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r}

C Cadena alimenticia: Referente al paso y reciclaje de energ´ıa a trav´es de las poblaciones dentro de una comunidad biol´ogica. Cadena de Markov: Representa un sistema que varia su estado a lo largo del tiempo, siendo cada cambio una transici´on del sistema. Dichos cambios no estan predeterminados, aunque si lo est´a la probabilidad del pr´oximo estado en funci´on de los estados anteriores, puede ser finita o infinita y discreta o continua. Calentamiento global: T´ermino referido al calentamiento gradual de la atm´osfera debido al efecto invernadero del di´oxido de carbono y otros gases. El calentamiento global es pensado por muchos como el tema ambiental global m´as Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Figura 5: Andrei A. Markov (1856 - 1922) [32].

serio que enfrenta nuestra sociedad. Ver tambi´en Efecto invernadero y Gases invernadero. Cambio cultural: Cualquier modificaci´on de las caracter´ısticas espec´ıficas de una poblaci´on que es transmitida mediante aprendizaje m´as que por mecanismos gen´eticos. Caos: Cambio err´atico en el tama˜ no de las poblaciones gobernado por ecuaciones en diferencia y que tienen tasas intr´ısecas altas de crecimiento. Capacidad de carga(K): Es el m´aximo n´ umero de individuos que puede tener un ecosistema, tambi´en se llama capacidad l´ımite o capacidad de soporte, depende del espacio, alimentaci´on, condiciones ambientales, entre otros factores; Cantidad de organismos vivos de un h´abitat que Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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pueden ser soportados indefinidamente sobre los recursos disponibles. Tambi´en llamada Capacidad de carga biol´ ogica. Capacidad de criaderos: Es el n´ umero m´aximo de criaderos aptos para la reproducci´on del mosquito, por ejemplo el Aedes aegypti. Capacidad vectorial: N´ umero de inoculaciones promedio

Figura 6: Criaderos del mosquito A. aegypti [38]. con un par´asito espec´ıfico, originadas de un caso de malaria por unidad de tiempo, que una poblaci´on de vectores distribuir´ıa al hombre si todas las hembras estuvieran infectadas, segun Garret - Jones y Shidrawi. La f´ormula es la siguiente C=

ma2 pn − ln p

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donde, m : Es la tasa de picadura o n´ umero de picaduras por hombre por d´ıa a : Frecuencia promedio de picaduras sobre el hombre por un solo mosquito; tambi´en depende de la duraci´on del ciclo gonotr´ ofico (CG) del vector y el ´ındice de sangre humana (ISH). Se calcula como el rec´ıproco del n´ umero de d´ıas requerido para el ciclo gonotr´ofico multiplicado por el ISH: 1 a= ISH CG p : Probabilidad de la hembra mosquito de sobrevivir un d´ıa pn : Probabilidad de la hembra mosquito de sobrevivir por n d´ıas n : Duraci´on del periodo extr´ınseco de incubaci´on, para el caso de par´asitos de malaria es de 9 - 12 d´ıas 1 ln p a : Probabilidad de vida infectiva de la hembra o la proporci´on de las poblaciones con probabilidad de sobrevivir m´as all´a del periodo extr´ınseco de incubaci´on y picar a n´ umero de veces por d´ıa ISH : Se define como la proporci´on de hembras mosquito que contienen sangre humana. Reisen considera que la f´ormula de capacidad vectorial de arbovirus en general deber´ıa incluir el componente de la competencia vectorial V ; por tanto la f´ormula de C para el dengue quedar´ıa de la siguiente manera:

C=

ma2 V pn − ln p

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donde, V : Es la capacidad gen´etica del vector para infectarse con el pat´ogeno y posteriormente ser capaz de transmitirlo. Caracter´ısticas de la estabilidad en R2 : Sea la matriz jacobiana evaluada en (ˆ x, yˆ):     a11 a12 fx (ˆ x, yˆ) fy (ˆ x, yˆ) A(ˆ x, yˆ) = = a21 a22 gx (ˆ x, yˆ) gy (ˆ x, yˆ) donde la traza y el determinante de A(ˆ x, yˆ) son: β = T r.A(ˆ x, yˆ) = a11 + a22 = fx (ˆ x, yˆ) + gy (ˆ x, yˆ) γ = det.A(ˆ x, yˆ) = a11 a22 + a12 a21 = (fx gy − fy gx )(ˆ x, yˆ) Con base en la traza y el determinante, el estado de equilibrio (ˆ x, yˆ) de un sistema no lineal bidimensional, se puede clasificar en los siguientes seis casos (Figura 7): 1. Nodo inestable: β > 0 y γ > 0 2. Punto silla: γ < 0 3. Nodo estable: β < 0 y γ > 0 4. Espiral inestable: β 2 < 4γ y β > 0 5. Centro neutral: β 2 < 4γ y β = 0 6. Espiral estable: β 2 < 4γ y β < 0 Carcinog´ enico: Que tiene la propiedad de causar c´ancer, al menos en animales y por la implicaci´on del ser humano. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Figura 7: Naturaleza de la estabilidad [10].

Cati´ on: Es una mol´ecula con carga el´ectrica positiva. Celulosa: Mol´ecula de cadena larga constituida por subunidades de glucosa. Se encuentra en las paredes celulares y estructuras fibrosas en plantas. Es la macromol´ecula org´anica que es el constituyente primario de las paredes celulares de las plantas y por consiguiente la mayor mol´ecula presente en la madera, sus derivados y el algod´on. Est´a compuesto de mol´eculas de glucosa pero en vista de que no puede ser digerida por el humano, su valor diet´etico es solamente como fibra, bolo o material de desecho. Ciclo: Variaci´on recurrente en un sistema que per´ıodicaDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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mente regresa a su punto de inicio. Ciclo biol´ ogico: Caracter´ısticas importantes del ciclo de vida a trav´es de las cuales pasa un organismo; con referencia particular a las estrategias que influyen en la sobrevivencia y reproducci´on. Ciclo de Calvin: La secuencia asimilatoria b´asica de la

Figura 8: Ciclo del mosquito A. aegypti [41]. fotos´ıntesis durante la cual un ´atomo de carbono se une a la mol´ecula 5-carbono ribulosa bisfosfato (RuBP) para producir fosofoglicealdehido (PGA) y luego glucosa. Ciclo de nutriente: Es la ruta de un elemento a trav´es del ecosistema, incluyendo su asimilaci´on por los organismos y su regeneraci´on en una forma inorg´anica reutilizable. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Ciclo de poblaci´ on: Variaci´on recurrente en el tama˜ no de poblaci´on donde los n´ umeros fluct´ uan entre extremos a lo largo de un periodo regular. Ciclo de vida: Conjunto de los diferentes estados de vida que progresan desde el adulto de una generaci´on hasta el adulto de la siguiente. Ciclo l´ımite: Oscilaci´on de las poblaciones presa y depredadora que ocurren cuando las tendencias de estabilizaci´on y desestabilizaci´on se balancean. Clase de edad: Individuos en una poblaci´on de una edad particular. Coeficiente de competici´ on (a): Medida del grado al cual un consumidor utiliza el recurso de otro, expresado en t´erminos de las consecuencias poblacionales de la interacci´on. Coeficiente de determinaci´ on (R2 ): La proporci´on de variaci´on en una variable (dependiente) que est´a relacionada con la variaci´on de una u otras variables (independientes). Coeficiente de dispersi´ on: Indicador del grado de distribuci´on espacial de los individuos de una poblaci´on. Hay diferentes indicadores entre otros:

CDP =

s2 x ¯

donde CDP: Es el coeficiente de dispersi´on

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de Poisson, s2 : La varianza muestral y x ¯ : La media muestral. El exponente β de la Ley de Potencia de Taylor, s2 = ρ¯ xβ El par´ametro k de la distribuci´on binomial negativa. Coevoluci´ on: Evoluci´on interdependiente de dos o m´as especies que poseen una relaci´on ecol´ogica obvia, usualmente restringida a casos en los que las interacciones son ben´eficas para ambas especies. Tambi´en se utiliza para definir la interacci´on evolutiva entre especies que poseen alg´ un grado de interdependencia, como en el caso de un par´asito y su hu´esped. Ocurrencia de rasgos determinados gen´eticamente (adaptaciones) en dos o m´as especies seleccionadas por las interacciones mutuas controladas por estos rasgos. Coexistencia: Ocurrencia de dos o m´as especies en el mismo habitad; usualmente aplicada a especies potencialmente en competencia. Cohorte: Un grupo de individuos de la misma edad que entr´an a una poblaci´on al mismo tiempo. C´ olera: Es una enfermedad infecciosa producida por una bacteria, el Vibrio Cholerae; y que provoca un cuadro cl´ınico caracterizado por v´omitos y diarrea intensa, que puede llevar a la deshidrataci´on grave. Dicha bacteria ingresa al organismo con el agua o los alimentos, en especial el pescado, contaminados con materia fecal de personas infectadas. Algunos insectos, como las moscas, pueden contaminar los alimentos. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Si consigue atravesar la acidez del estomago (primera gran barrera), coloniza el intestino delgado y comienza a producir una toxina que estimula la secreci´on intestinal, desencadenando una gran p´erdida de l´ıquidos con alto contenido de bilis, ideal para el crecimiento del Vibri´on Cholerae. Este microorganismo no coloniza otro tejido u ´organo del organismo que no sea el intestino, desde donde estimula la eliminaci´on de agua y sales. Comensalismo: Relaci´on entre dos especies en la que se

Figura 9: Vibrio cholerae [43]. beneficia una sin afectar a la otra. Compartimentalizaci´ on: Subdivisi´on de una cadena alimenticia en grupos de especies que interact´ uan fuertemente poco aislados unos de otros. Competici´ on: Uso o defensa de un recurso por un individuo que reduce la disponibilidad de aquel recurso a otros individuos, ya sean de la misma especie (competici´on intraespec´ıfica) o de otras especies (competici´on interespec´ıfica). Competici´ on asim´ etrica: Interacci´on entre especies en la cual una explota un recurso en particular m´as eficientemente Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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que la otra; la segunda puede persistir mejor evadiendo la predaci´on o sustituyendo un recurso exclusivo. Competici´ on indirecta: Explotaci´on de un recurso a cargo de un individuo que reduce la disponibilidad de ese mismo recurso para otros. Competici´ on directa: Exclusi´on de individuos a partir del recurso por otros individuos, comportamiento agresivo o por uso de toxinas. Competici´ on interespec´ıfica: Competici´on entre individuos de diferentes especies. Competici´ on intraespec´ıfica: Competici´on entre organismos de la misma especie. Completitud: Sea (X, d) un espacio m´etrico. X es completo si toda sucesi´on de Cauchy en X es convergente en X: (R, d2 ), (Rn , d2 ) son espacios m´etricos completos. ((0, 1), d2 ) no es espacio m´etrico completo. Comportamiento asint´ otico: Es el comportamiento l´ımite para t −→ ∞ ´o t −→ −∞. Comportamiento social: Cualquier interacci´on directa entre individuos relacionados distantemente de las mismas especies. Usualmente no incluye interacciones de cortejo, de apareamiento, de padres e hijos, ni entre hermanos o indiDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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viduos de la misma prole. Comunidad: Una asociaci´on de poblaciones que interact´ uan, frecuentemente definida por la naturaleza de su interacci´on o el lugar en el cual ellas viven. Comunidad abierta: Asociaci´on local de especies que tienen independencia y distribuciones ecol´ogicas traslapadas parcialmente. La idea advocada por H. A. Gleason R. H. Whittaker, que las comunidades son la expresi´on local de las distribuciones geogr´aficas independientes de las especies. Constante alom´ etrica: Pendiente de la relaci´on entre el logaritmo de una medida de un organismo y el logaritmo de otra, usualmente se refiere al tamao en general. Constante de Michaelis - Menten: Es la concentraci´on de un sustrato a la cual la velocidad de una reacci´on catalizada por una enzima act´ ua a la mitad de su tasa m´axima. Consumidor: Es un organismo que obtiene su energ´ıa de materiales org´anicos de otros organismos vivos o muertos. Comparar con Productor. Consumidor primario: Es un herb´ıvoro. Es el consumidor que se encuentra m´as abajo o en la base de la cadena alimenticia. Un organismo como un conejo o ciervo que generalmente se alimenta de plantas verdes u otros productos tales como semillas y nueces.

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Contacto efectivo: Es una interacci´on entre susceptibles e infecciosos, que resulta en que el susceptible se convierte en infeccioso. Contagio: Es la acci´on de transmisi´on directa de una enfermedad. Transmisi´on o adquisici´on de una enfermedad por contacto con el germen o virus que la produce. Transmisi´on de determinada enfermedad de un individuo a otro o de un animal a un ser humano. Contaminaci´ on: Es la incorporaci´on de cualquier substancia (qu´Ĺmica principalmente) contaminante al agua, aire, suelo o en cualquier alimento o producto y que dependiendo de la cantidad y concentraci´on de la substancia se estimar´a el efecto nocivo. La contaminaci´on puede estar dada por la presencia de microorganismos o por sus secreciones o residuos en un alimento o medio particular. Contaminante: Cualquier substancia natural o artifial que entra al ecosistema en tal cantidad que es nocivo al ecosistema. Cualquier substancia introducida que convierte al recurso en inservible para un prop´osito espec´Ĺfico. Continuidad en un punto: Sean (X, d) , (Y, d0 ) espacios seudom´etricos. Una aplicaci´on f : X â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; Y se llama continua en el punto a â&#x2C6;&#x2C6; X, si para todo n´ umero real  > 0 existe un n´ umero real δ > 0 tal que para todo x â&#x2C6;&#x2C6; X:

d(a, x) < δ =â&#x2021;&#x2019; d0 (f (a), f (x)) <  Diccionario Cient´Ĺfico de Biomatem´ aticas


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Contracci´ on: Sean (X, d) un espacio m´etrico y T : X −→ X una aplicaci´on. T es contractiva o T es una contracci´on en X si ∃θ, 0 ≤ θ < 1 tal que ∀x, y ∈ X, se cumple: d(T (x), T (y)) ≤ θd(x, y) Se llama a θ la constante de contracci´on. Control biol´ ogico: Control de una plaga mediante la introducci´on, preservaci´on o facilitaci´on de depredadores naturales, par´asitos u otros enemigos, o mediante t´ecnicas de esterilizaci´on, el uso de hormonas inhibitorias u otros medios biol´ogicos. Control gen´ etico: Es la modificaci´on de la misma es-

Figura 10: Control biol´ogico de insectos [41]. pecie. Una de estas t´ecnicas de control usa machos est´eriles. Se esteriliza un gran n´ umero de machos del insecto de la plaga que luego son liberados. Los est´eriles compiten con los normales en la fecundaci´on de las hembras, por lo que muchas de las descendencias te´oricamente posibles no se producen, con lo que va disminuyendo la poblaci´on de la plaga de una generaci´on a otra. Esta t´ecnica tiene ´exito especialmente en aquellas especies de insectos en los que la hembra s´olo se cruza una vez. Otro de los procedimientos consiste en Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Figura 11: Control biol´ogico [42].

desarrollar, por diversas t´ecnicas, variedades de cultivos resistentes a la plaga. Se puede hacer seleccionando ejemplares de la planta que han resistido a la plaga y cruz´andolos entre s´ı, hasta obtener una variedad gen´etica resistente. Este proceso suele durar unos 10 o 20 a˜ nos pero el resultado suele compensar con creces el esfuerzo y dinero empleados. La ingenier´ıa gen´etica aporta t´ecnicas muy interesantes para conseguir variedades de plantas resistentes a las plagas. As´ı, por ejemplo, un gen de la bacteria del suelo Bacillus thuringiensis (productora de un veneno que mata a los insectos) ha sido introducido en plantas de algod´on. Las orugas que se alimentan de hojas de estas plantas gen´eticamente alteradas mueren o sufren graves alteraciones en su desarrollo. El desarrollo de variedades resistentes ha tenido grandes ´exitos en la lucha contra las plagas, pero no siempre ha sido un ´exito total. En muchos casos los insectos, hongos o bacterias evolucionan r´apidamente y pueden volver a convertirse en plaga de la variedad que era resistente.

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Control de la natalidad: Cualquier medio, natural o artificial que puede ser usado para reducir el n´ umero de nacimientos. Control mec´ anico: Comprende las t´ecnicas m´as antiguas y simples de la lucha contra los insectos. Estas t´ecnicas consisten en la remoci´on y destrucci´on de los insectos, criaderos y ´organos infestados de las plantas. Tambi´en se incluye la exclusi´on de los insectos y otros animales por medio de las barreras y otros dispositivos. Control qu´ımico: Consiste en la destrucci´on de plagas mediante el empleo de sustancias qu´ımicas diversas, cuyo uso se recomienda de manera selectiva. El Control qu´ımico de las plagas es la represi´on de sus poblaciones o la prevenci´on de su desarrollo mediante el uso de substancias qu´ımicas. Este control puede ser muy efectivo sin costar mucho. Los pesticidas tienen un lugar muy importante en el control integrado de plagas y enfermedades, pero el mal uso de pesticidas tienen muchos problemas, como que la plaga desarrolla resistencia al pesticida. Los pesticidas pueden afectar a los humanos tambi´en, entonces tenemos que cuidarnos de los efectos residuales en la cosecha. Controlabilidad: El sistema x˙ = Ax + B∆u

,

t ∈ [0, t1 ], t1 > 0.

Donde A es una matriz n × n, B es una matriz n × m y x0 es un vector en Rn . La funci´on x : [0, t1 ] −→ Rn representa la funci´on vectorial de estados y u : [0, t1 ] −→ Rm la funci´on Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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vectorial de controles. Dada la condici´on inicial x0 ∈ Rn y una funci´on vectorial u ∈ L2 (0, t1 ; Rm ), el sistema anterior tiene una u ´nica soluci´on x ∈ H 1 (0, t1 ; Rn ) caraterizada por la expresi´on, Z t 0 At eA(t−s) Bu(s)ds, x(t) = x e + 0

∀t ∈ [0, t1 ]. El sistema es completamente controlable en un tiempo t1 > 0 si dada una condici´on inicial y final x0 , x1 ∈ Rn existe un u ∈ L2 (0, t1 ; Rm ) tal que la soluci´on del sistema satisface x(t1 ) = x1 . Es decir, se trata de llevar la soluci´on del estado x0 a un estado final x1 en un tiempo t1 por el sistema atrav´es del control u. La condici´ on de controlabilidad de Kalmans es un resultado cl´asico debido a R. E. Kalmans que da la soluci´on al problema de completa controlabilidad de un sistema lineal de dimensi´on finita como el sistema mencionado. Este sistema es completamente controlable en alg´ un t1 si y s´olo si rang[B, AB, ..., An−1 B] = n es decir, det[B, AB, ..., An−1 B] 6= 0. Donde, la matriz [B, AB, ..., An−1 B] es llamada matriz de controlabilidad.

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Convecci´ on: Transferencia de calor por el movimiento de un flu´ıdo (Por ejemplo, aire o agua). Cortejo: Cualquier interacci´on conductual entre individuos de sexo opuesto que facilita el apareamiento. Costo - beneficio: Usado para describir un an´alisis y/o comparaci´on del valor de los beneficios, en contraste con los costos de cualquier acci´on o proyecto particular. Covarianza: Es el producto promedio de desviaciones de dos variables desde sus respectivas medias. Crecimiento exponencial: Crecimiento que es solo una funci´on simple del tama˜ no de la entidad en crecimiento, de manera que entre m´as grande sea la poblaci´on crecer´a con mayor rapidez. Se denomina Ley de Crecimiento Malthusiano, la tasa de cambio de la poblaci´on en el tiempo es proporcional a la poblaci´on presente, lo que conduce a un crecimiento exponencial. Se considera x(t) el n´ umero de individuos de la poblaci´on en un tiempo t y α la tasa de crecimiento poblacional, como se muestra en el siguiente diagrama de flujos: αx

_^]\ / XYZ[ x

Diagrama 1.: Din´amica de crecimiento exponencial. y la ecuaci´on diferencial ordinaria correspondiente a dicha din´amica es Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Figura 12: Thomas Robert Malthus (1766 - 1834) [34].

dx = αx , x ∈ R , α > 0 dt con condici´on inicial x(0) = x0 y soluci´on general x(t) = x0 eαt donde Si α > 0 la poblaci´on crece Si α = 0 el crecimiento es constante en x0 Si α < 0 la poblaci´on decrece. Crecimiento log´ıstico: Crecimiento que sigue una curva sigmoide en la que la velocidad de crecimiento es gradual inicialmente (fase de crecimiento retardado), luego r´apida (fase de crecimiento exponencial) y luego lenta otra vez (fase de crecimiento estacionario), seg´ un la poblaci´on o sistema alcance su tama˜ no o capacidad portadora m´axima. Es decir, La Ley de crecimiento log´ıstico de Verhulst, propone Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Figura 13: Crecimiento exponencial con x0 = 20, α =0.15, α =0.20, α = 0, α = -0.1, α =-0.15, t = 0, ..., 10. un crecimiento poblacional dependiente de la capacidad de carga (capacidad de soporte, capacidad limite ´o capacidad de saturaci´on) de la especie en su ecosistema.

rx 1 −

x K



/

x

Diagrama 2.: Din´amica de crecimiento log´ıstico. La ecuaci´on diferencial ordinaria que describe el crecimiento log´ıstico es de la forma  dx x = rx 1 − dt K donde, r, K > 0

x(0) = x0 y

r : Tasa de crecimiento neto Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Figura 14: Pierre Francois Verhulst (1804 - 1849) [35]. K : Capacidad de carga tiene por soluci´on: x(t) =

x0 Kert K + x0 (ert − 1)

con comportamiento en el l´ımite, l´ım x(t) = K

t−→+∞

Es decir, la poblaci´on en un tiempo futuro tiende a su capacidad de carga. Criterio de Routh - Hurwitz: Dada la ecuaci´on diferencial lineal de coeficientes reales constantes a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an y = 0 Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Figura 15: Din´amica de Crecimiento Log´ıstico. donde a0 , a1 , a2 , ..., an son constantes, a0 > 0. La soluci´on y ≡ 0 de la ecuaci´on anterior es asint´oticamente estable, cuando las partes reales de todas las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica: f (λ) = a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an = 0 son negativas, para que esto suceda es necesario y suficiente que sean positivos todos los menores principales diagonales de la matriz de Hurwitz: 

a1 a0 0 0 0 0−−−0  a3 a a a 0 0−−−0 2 1 0   a5 a4 a3 a2 a1 a0 − − − 0  − − − − − − − − − − − − − − − −−− 0 0 0 0 0 0−−−0

     

los menores diagonales principales de la matriz de Hurwitz son de la forma: ∆1 = a1 Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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 a1 a0 ∆2 = det a3 a2   a1 a0 0 ∆3 = det a3 a2 a1  a5 a4 a3   a1 a0 0−−−0  a3 a2 a1 − − − 0     a4 a3 − − − 0  ∆n = det  a5  − − − − − − −−−  0 0 0 − − − an Por lo tanto, la condici´on de Hurwitz dice: Para que la soluci´on y ≡ 0 de la ecuaci´on diferencial sea estable, es necesario y suficiente que se cumplan las relaciones: ∆1 > 0

,

∆2 > 0

, ...,

∆n > 0

como ∆n = an ∆n−1 , la condici´on ∆n > 0 puede sustituirse por an > 0.

CH Chagas: Es una enfermedad que se transmite por medio de insectos y es com´ un en Centro y Suram´erica. El mal de Chagas es provocado por el Tripanosoma cruzi, un par´asito relacionado con el tripanosoma africano que causa la tripanosomosis africana o enfermedad del sue˜ no. La enfermedad es propagada por los red´ uvidos o chupasangre y es uno de los Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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mayores problemas de salubridad en Am´erica del Sur. Los factores de riesgo para el mal de Chagas incluyen la pobreza, vivir en una choza donde los red´ uvidos viven en las paredes y recibir transfusiones sangu´ıneas de una persona que tenga el par´asito, aunque no tenga la enfermedad activa. El mal de Chagas tiene dos fases: la aguda y la cr´onica.

Figura 16: Trypanosoma cruzi del mal de Chagas . La primera puede presentarse sin s´ıntomas o con s´ıntomas muy leves. Los s´ıntomas de la fase aguda pueden ser: inflamaci´on y enrojecimiento del sitio de infecci´on (donde el mosquito hemat´ofago o chupasangre provoc´o la infecci´on inicial). Luego, puede seguir con la inflamaci´on de un ojo y de Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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los ganglios linf´aticos que drenan el ´area de la picadura. A medida que el par´asito se disemina partiendo del sitio de la inoculaci´on, el paciente presenta fiebre, malestar general, e inflamaci´on generalizada de los ganglios linf´aticos. Asimismo, el h´ıgado y el bazo pueden aumentar de tama˜ no. La enfermedad disminuye su intensidad despu´es de la fase aguda y puede volverse cr´onica sin manifestar s´ıntomas posteriores durante muchos a˜ nos. Cuando los s´ıntomas finalmente se hacen presentes, aparecen como cardiopat´ıa (miocardiopat´ıa) y trastornos digestivos. Los pacientes pueden presentar insuficiencia card´ıaca congestiva y el primer s´ıntoma de trastorno digestivo puede ser la dificultad para deglutir, que puede llevar a la desnutrici´on. Los pacientes que presenten infecci´on parasitaria del colon pueden experimentar dolor abdominal y estre˜ nimiento. La cardiopat´ıa es, por lo general, la causa de la muerte del paciente.

D Demograf´ıa: Es la ciencia que se encarga del estudio estad´ıstico relacionado con el crecimiento, movimiento y desarrollo de la poblaci´on humana. Dengue: El dengue es una enfermedad viral transmitida al hombre por mosquitos vectores del g´enero Aedes siendo la especie aegypti la m´as importante en la transmisi´on de Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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la enfermedad. El dengue es end´emico en las regiones tropicales y temporal o espor´adico en las subtropicales y ne´articas ´ [22], [27], [30]. Se reconoci´o cl´ınicamente en Am´erica, Africa y Asia desde el siglo XVIII y se descubri´o su transmisi´on por el A. aegypti en 1906, la cual fue comprobada en 1918. El aislamiento de su agente causal se logr´o en 1944 [27]. El mosquito vector A. aegypti es hemat´ofago y antropof´ılico [27], se difunde en ´areas con caracter´ısticas urbanas, aunque tambi´en se encuentra en las ´areas rurales. Sobrevive y resiste a la desecaci´on (diapausa) y la inanici´on haci´endolo un mosquito de presencia continua, as´ı como de poblaciones elevadas durante las ´epocas lluviosas y de temperatura y humedad estables. Tiene dos fases bien diferenciadas en su ciclo de vida: fase acu´atica y fase a´erea. La fase acu´atica de estad´ıos inmaduros: huevo, larva y pupa y la fase a´erea o de adulto corresponde al mosquito o imago que vuela [27], [30]. El mosquito hembra despu´es de alimentarse de sangre puede producir entre 50 y 100 huevos en una ovipostura, la cual puede verse afectada por la temperatura, la humedad, la intensidad de la luz, la lluvia y las caracter´ısticas de los criaderos y del agua que estos contienen [27], [30]. El tiempo promedio de maduraci´on de los huevos es de uno a tres d´ıas siempre y cuando est´en h´ umedos y a temperaturas eno o tre 25 C y 30 C. La duraci´on de los estad´ıos larvarios en condiciones ´optimas es de cinco d´ıas en promedio y el periodo de pupa tiene una duraci´on aproximada de uno a dos d´ıas [27] [8].

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Densidad: Referente a poblaciones, es el n´ umero de indi-

Figura 17: Estad´ıo fase acu´atica del mosquito A. aegypti [40]. viduos por unidad de ´area o volumen. N´ umero de individuos u observaciones dentro de un ´area o volumen dados. Densidad dependiente (Denso - dependiente): Que tiene influencia sobre los individuos en una poblaci´on que var´ıa con el grado de multitud dentro de una poblaci´on. Dependencia de la frecuencia: Se refiere a la condici´on en la cual la expresi´on de un proceso var´ıa con las proporciones relativas de los fenotipos en una poblaci´on. Densidad independiente: Que tiene influencia sobre los individuos en una poblaci´on que no var´ıa con el grado de tama˜ no poblacional. Depredador: Organismo que para alimentarse tiene que matar a otros individuos que son sus organismos presa. El Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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t´ermino depredador tambi´en se emplea para referirse a plantas que se alimentan de algunos insectos en quienes encuentran una fuente prote´ınica o nutricional. Derivada Orbital V˙ (x): Es la derivada temporal de la funci´on de Lyapunov V (x) sobre las trayectorias del sistema dx dt = f (x). Esta dada por: ∂V V˙ (x) = f (x) = ∇V (x) · f (x) ∂x Desinfecci´ on: Proceso de destrucci´on de microorganismos pat´ogenos, m´as no sus esporas. Uno de los prop´ositos de la desinfecci´on del agua es el impedir la diseminaci´on de enfermedades h´ıdricas, las cuales se pueden controlar con el desarrollo de la bacteriolog´ıa. Desviaci´ on est´ andar: Es una medida de la variabilidad entre elementos en una muestra, tal como los individuos en una poblaci´on. Es la ra´ız cuadrada de la varianza. Determinante de A(ˆ x, yˆ) : Sea la matriz jacobiana evaluada en (ˆ x, yˆ):     a11 a12 fx (ˆ x, yˆ) fy (ˆ x, yˆ) A(ˆ x, yˆ) = = a21 a22 gx (ˆ x, yˆ) gy (ˆ x, yˆ) Se define el determinante de A(ˆ x, yˆ) as´ı: det.A(ˆ x, yˆ) = a11 a22 + a12 a21 = (fx gy − fy gx )(ˆ x, yˆ) Determin´ıstico: Referente a un resultado de un proceso que no est´a sujeto a variaci´on estoc´astica (aleatoria). Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Diagrama de serie de recambio: Descripci´on del crecimiento vegetativo o reproducci´on de dos especies de plantas en un experimento de competencia como una funci´on de la proporci´on de una especie cuando la densidad inicial de las dos es mantenida constante. Diapausa: Fase de descanso. Per´ıodo de crecimiento o de desarrollo suspendido, caracterizado por una actividad metab´olica muy reducida, usualmente durante la hibernaci´on o la estivaci´on. Interrupci´on temporal en el desarrollo de huevos o larvas de insectos, usualmente asociada con un per´ıodo de latencia. Difusi´ on: Movimiento pasivo de los individuos de una especie desde una regi´on de alta concentraci´on poblacional a otra de baja. Tal movilizaci´on est´a dada por diferentes factores como la fuente de alimento, agua, temperatura, humedad, entre otros factores bi´oticos y abi´oticos. Dimorfismo: Ocurrencia de dos formas de individuos en una poblaci´on. Din´ amica poblacional: Estudio de los cambios dentro de poblaciones y de los factores que ocasionan o influyen en esos cambios. Estudio de las poblaciones como sistemas de funcionamiento. Diploide: Perteneciente a c´elulas u organismos que tienen dos juegos de cromosomas. Comparar con Haploide; Meiosis.

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Dispersi´ on: Patr´on espacial de distribuci´on de individuos dentro de las poblaciones. Patr´on de dispersi´on de organismos o poblaciones en el espacio. Traslado no accidental de individuos hacia o fuera de un ´area o poblaci´on, habitualmente a una distancia relativamente corta y de naturaleza m´as o menos regular. Movimiento de organismos desde su lugar de nacimiento o desde los centros de densidad poblacional. Distribuci´ on: Extensi´on geogr´afica de una poblaci´on u otra unidad ecol´ogica. Distribuci´ on de contagio: Patr´on de distribuci´on en el que los valores, observaciones o individuos se encuentran m´as agrupados o congregados que en una distribuci´on aleatoria, indicando que la presencia de un individuo o valor incrementa la probabilidad de ocurrencia de otro en las cercan´ıas. Los seres vivos tienden en general a asociarse con los mismos de su especie de tal manera que la presencia de un individuo en un lugar aumenta la probabilidad de encontrar a otro vecino. Este principio de asociaci´on de eventos o sucesos ha producido las llamadas distribuciones de contagio. Entre estas tenemos la distribuci´on binomial negativa, la de Neyman tipo A, la Poisson doble de Thomas, la de Polya y la binomial positiva. Distribuci´ on log normal: Es una caracterizaci´on del n´ umero de especies en clases de abundancia escaladas logar´ıtmicamente, de acuerdo a que la mayor´ıa de especies tienen abun-

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dancia moderada y otras pocas tienen extremadamente alta o baja abundancia. Distribuci´ on normal: Es una distribuci´on estad´ıstica en forma de campana en la cual la densidad de probabilidad var´ıa en proporci´on al exponente (−x2 /2) donde es una distancia (la desviaci´on est´andar) desde la media. Distribuci´ on Poisson: Es una distribuci´on de probabilidad que describe la ocurrencia de eventos aleatorios discretos (tales como encuentros entre un depredador y su presa). La probabilidad que un cierto n´ umero de eventos pueda ocurrir en alg´ un intervalo de tiempo (como el tiempo de vida del hospedero) es dada por t´erminos sucesivos de esta distribuci´on: e−µ µx P (x) = , x = 0, 1, 2, ... x! donde, P (x) : es la probabilidad de x eventos. µ : es el n´ umero promedio de eventos en el intervalo de tiempo. Diversidad: N´ umero de especies en un ´area local (diversidad alfa) o regi´on (diversidad gamma). Medida de la variedad de especies en una comunidad que tiene en cuenta la abundancia relativa de cada especie. Dormancia (Latencia): Estado inactivo que incluye hibernaci´on, diapausa y latencia de semillas. Usualmente, asumido durante un per´ıodo desfavorable para el desarrollo de la especie. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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E Ecoclina: Gradiente geogr´afico de la estructura de vegetaci´on asociada con una o m´as variables medioambientales. Ecolog´ıa: Rama de la Biolog´ıa que estudia las interrelaciones entre organismos vivos y su ambiente. Estudio de la relaci´on entre los seres vivos y su ambiente o la distribuci´on y abundancia de los seres vivos, y c´omo esas propiedades son afectadas por la interacci´on entre los organismos y su ambiente. El ambiente incluye las propiedades f´ısicas que pueden ser descritas como la suma de factores abi´oticos locales, como el clima y la geolog´ıa, y los dem´as organismos que comparten ese h´abitat (factores bi´oticos). Ecolog´ıa de poblaciones: La Ecolog´ıa de poblaciones tambi´en llamada demoecolog´ıa, es una rama de la Ecolog´ıa que estudia las poblaciones formadas por los organismos de una misma especie desde el punto de vista de su tama˜ no (n´ umero de individuos), estructura (sexo y edad) y din´amica (variaci´on en el tiempo). Una poblaci´on desde el punto de vista ecol´ogico se define como el conjunto de individuos de la misma especie que ocupan un lugar y tiempo determinado y que adem´ as tienen descendencia f´ ertil. Ecolog´ıa de sistemas: Es el estudio de una estructura ecol´ogica como un grupo de componentes relacionados mediante flujos de energ´ıa y nutrientes o por interacciones de Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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la poblaci´on. Frecuentemente aplicado a ecosistemas. Ecosistema: Comunidad de organismos y su medio f´ısico interactuando como una unidad ecol´ogica. Contenido biol´ogico y f´ısico completo de un biotopo. Sistema din´amico relativamente aut´onomo, formado por una comunidad natural y su ambiente f´ısico. El concepto, que empez´o a desarrollarse entre 1920 y 1930, tiene en cuenta las complejas interacciones entre los organismos (plantas, animales, bacterias, algas, protozoos y hongos, entre otros) que forman la comunidad y los flujos de energ´ıa y materiales que continuamente circulan por ella. Ectopar´ asito: Par´asito que vive sobre o ataca a la superficie de su hospedero. Ecuaci´ on caracter´ıstica: Es una ecuaci´on del tipo det(A − λIn ) = 0 donde A es la matriz nxn, A = (aij ), λ es un escalar y In es la matriz identidad de orden n. Ecuaci´ on de balance Unidimensional: Esta ecuaci´on tiene la forma ∂c(x, t) ∂J(x, t) =− ± σ(x, t) ∂t ∂x donde, c(x, t) : es la concentraci´on de part´ıculas en (x, t). J(x, t) : es el flujo de part´ıculas en (x, t). Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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σ(x, t) : es la creaci´on o decaimiento de part´ıculas en (x, t). x : es la coordenada espacial. para una ´area de cruzamiento de part´ıculas constante, es

Figura 18: Ecuaci´on de balance unidimensional. ¯ decir: A(x, t) = A. ¯ Si el ´area no cambia con el tiempo A(x, t) = A(x) 6= 0, entonces la ecuaci´on de balance unidimensional es: ∂c(x, t) ∂J(x, t) =− − ∂t ∂x ¯ J(x, t) ∂ A(x) − ¯ ± σ(x, t) A(x) ∂x Si el ´area del tubo es uniforme a lo largo de su longitud, pero posiblemente var´ıa con el tiempo, se obtiene la ecuaci´on de balance unidimensional, ∂c(x, t) ∂J(x, t) =− − ∂t ∂x ¯ c(x, t) ∂ A(t) − ¯ ± σ(x, t) A(t) ∂t Si el ´area es funci´on de (x, t) entonces, la ecuaci´on de conservaci´on es: Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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∂c(x, t) ∂J(x, t) =− ± σ(x, t)− ∂t ∂x −

c(x, t) ∂A(x, t) J(x, t) ∂A(x, t) − A(x, t) ∂x A(x, t) ∂t

Ecuaci´ on de disco: Ecuaci´on que relaciona la tasa de encuentros de la presa con el predador para buscar eficiencia, abundancia de la presa y la energ´ıa invertida por el predador para controlar y matar a su presa. Ecuaci´ on en diferencias no lineal: Es una ecuaci´on de la forma: xn+1 = f (xn , xn−1 , ...) donde xn es el valor de x en la generaci´on n y donde la funci´on de recursi´on depende de combinaciones no lineales de sus argumentos. Ecuaci´ on diferencial: Es una relaci´on funcional entre los valores de una funci´on desconocida, sus derivadas hasta cierto orden y los valores de la variable independiente sobre las que est´a definida esa funci´on. Ecuaci´on que describe la tasa instant´anea de cambio en una cantidad, como por ejemplo, dN/dt describe el cambio en n´ umero de individuos en una poblaci´on (N ) en el tiempo (t). Ecuaci´ on diferencial ordinaria (EDO): Son las ecuaciones que contienen derivadas con respecto a una variable Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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independiente. Si denotamos la funci´on inc´ognita por y(x), entonces una EDO es una relaci´on funcional de la forma   dy dn y F x, y, , ..., n = 0 dx dx donde F es una funci´on escalar de n + 2 variables. Algunas EDO de inter´es particular: Ecuaci´on general de primer orden: Es de la forma   dy F x, y, =0 dx Ecuaci´on de Bernoulli dy + p(x)y = f (x)y n dx Para n = 0, 1 esta ecuaci´on es lineal. Ecuaci´on de Riccatti dy + p(x)y(x) + q(x)y 2 (x) = f (x) dx Ecuaci´ on diferencial parcial (EDP): Es una ecuaci´on que contiene derivadas con respecto a varias variables independientes. Entre las EDP de inter´es pr´actico tenemos Ecuaci´on de convecci´on: Es de la forma ut + cux = 0 y tiene por soluci´on u(x, t) = F (x − ct) para alguna funci´on diferenciable F . Soluciones de este tipo son llamadas Ondas viajeras. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Ecuaci´on de difusi´on: Tiene la forma ut − Duxx = 0 donde D es la constante de difusi´on.

Ecuaci´on de convecci´on - difusi´on: Tiene la forma ut + cux − Duxx = 0 si hay decaimiento entonces ut + cux − Duxx = −λu Ecuaci´ on en diferencia: Ecuaci´on que describe el cambio de una cantidad sobre un intervalo, como por ejemplo: ∆N describe el cambio en n´ umero de individuos en una poblaci´on entre un tiempo t y y t + 1. Ecuaci´ on log´ıstica: Expresi´on matem´atica de una curva de crecimiento sigmoide particular en la que la tasa porcentual de incremento decrece en forma lineal como el tama˜ no de poblaci´on crece y la ecuaci´on log´ıstica en diferencias tiene la forma: yn+1 = yn (r − dyn ) donde r, d son constantes. Ectopar´ asito: Par´asito que vive en la superficie exterior de su hu´esped. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Edad de clase: Individuos en una poblaci´on de una edad particular. Edad promedio de la enfermedad: Edad en la que se adquiere por primera vez una infecci´on. Efecto bohr: Un cambio de direcci´on en la curva de disociaci´on de ox´ıgeno de la hemoglobina quedando en condiciones ´acidas bajas, las cuales facilitan la descarga de ox´ıgeno desde el torrente sangu´ıneo hacia los tejidos. Efecto invernadero: Es el efecto del calentamiento de la atm´osfera sobre la tierra, particularmente como el aumento en la concentraci´on del di´oxido de carbono, causado por una pronta admisi´on de las ondas de luz pero con una m´as lenta liberaci´on de calor. Eficiencia de la producci´ on neta: Es el porcentaje de alimento asimilado y utilizado para el crecimiento y reproducci´on de los organismos. Eficiencia ecol´ ogica: Porcentaje de energ´ıa en la biomasa producida por un nivel tr´ofico que es incorporado dentro de la biomasa producida por el siguiente nivel tr´ofico ms alto. Eficiencia energ´ etica: Relaci´on entre el trabajo u ´til o energ´ıa almacenada y el producto energ´etico. Emigraci´ on: Movimiento de un individuo o grupo fuera

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de un ´area o poblaci´on. Enemigo natural: Todo depredador y/o par´asito que pueden alimentarse de un organismo dado. Organismo usado para controlar una plaga espec´ıfica a trav´es de la depredaci´on o el parasitismo. Energ´ıa potencial: Es la energ´ıa de una sustancia u objeto que deriva de su posici´on, particularmente con respecto a la gravedad. Entrop´ıa: Incremento del desorden que reduce la capacidad energ´etica para realizar un trabajo. Endemia: Existencia de casos nuevos constantemente a lo largo del tiempo. End´ emico: Confinado a una cierta regi´on.Un organismo que es nativo o pertenece a una regi´on particular. Endopar´ asito: Par´asito interno que vive dentro de los ´organos o tejidos de su hu´esped. Par´asito que vive dentro de los tejidos o el torrente sangu´ıneo de su hu´esped. Energ´ıa: Capacidad para realizar un trabajo. Enfermedad contagiosa: Enfermedad que se transmite por contacto f´ısico. Enfermedad infecciosa: Cualquier enfermedad transmi-

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tida sin que haya contacto f´ısico. Entomolog´ıa epidemiol´ ogica: Es el muestreo y estudio de las poblaciones del vector teniendo como objetivo estimar de acuerdo con el rango de prevalencia del vector, su longevidad, ritmos de picadura, selecci´on de hu´esped, etc., las tendencias esperadas en la incidencia de la transferencia de un pat´ogeno al hu´esped vertebrado y viceversa, ya sea antes, durante o despu´es de la operaci´on de las medidas de control. Entomolog´ıa m´ edica: Rama de la Biolog´ıa que estudia los insectos implicados en la transmisi´on o generaci´on de enfermedades en el ser humano. Epidemia: Epidemia (del griego epi, por sobre y demos, pueblo), en su definici´on tradicional, es una enfermedad ampliamente extendida que afecta a muchos. Enfermedad que se propaga durante alg´ un tiempo por un pa´ıs, acometiendo simult´aneamente a gran n´ umero de personas. Enfermedad que por alguna temporada afecta a un pueblo o comarca, padeci´endola simult´aneamente un gran n´ umero de personas. Se denomina a la aparici´on brusca de una enfermedad que se disemina r´apidamente entre una poblaci´on determinada. A veces se la identifica err´oneamente como brote. La forma m´ss habitual es la producida por virus, debido a su h´abito cambiante. Epidemiolog´ıa: Rama de la medicina que estudia la frecuencia de las enfermedades en una poblaci´on, segun sexo,

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edad, clase social, lugar, etc.

Enfermedades transmisibles agudas y cr´onicas Enfermedades parasitarias Tuberculosis Enfermedades transmitidas por insectos vectores Enfermedades cr´onicas no transmisibles Violencia social: Suicidios, homicidios, accidentes, etc. Alcholismo, tabaquismo y drogadici´on Tambi´en se estudian enfermedades transmisibles en las plantas, los animales y la regulaci´on de las poblaciones biol´ogicas en condiciones de laboratorio (epidemiolog´ıa experimental).Estudio de las enfermedades en las poblaciones o grupos. Es la parte de la medicina que se dedica al estudio de la distribuci´on, frecuencia, determinantes, relaciones, predicciones y control de factores relacionados con la salud y enfermedad en poblaciones humanas determinadas, as´ı como la aplicaci´on de este estudio a los problemas de salud. Por lo tanto, la epidemiolog´ıa estudia la salud de los grupos humanos en relaci´on con su medio. La epidemiolog´ıa se considera la ciencia b´asica para la medicina preventiva y una fuente de informaci´on para la formulaci´on de pol´ıticas de salud p´ ublica. La epidemiolog´ıa estudia, sobre todo, la relaci´on causa - efecto entre exposici´on y enfermedad. Las enfermedades no se producen de forma aleatoria; tienen causas, muchas Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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de ellas de origen humano, que pueden evitarse. Por tanto, muchas enfermedades podr´ıan prevenirse si se conocieran sus causas. Los m´etodos epidemiol´ogicos han sido cruciales para identificar numerosos factores etiol´ogicos que, a su vez, han justificado la formulaci´on de pol´ıticas sanitarias encaminadas a la prevenci´on de enfermedades, lesiones y muertes prematuras. Inicialmente la epidemiolog´ıa surgi´o del estudio de las epidemias de las enfermedades infecciosas. En el siglo XX los estudios de la epidemiolog´ıa se basan en el estudio demogr´afico de cualquier enfermedad con la ayuda de la estad´ıstica. Equilibrio: Una condici´on de balance, tal como la existente entre inmigraci´on y emigraci´on o entre la tasa de natalidad y la tasa de muerte en una poblaci´on de tama˜ no fijo. Equilibrio estable: Es el estado particular en el cual un sistema retorna a su estado original si es perturbado por alguna fuerza externa. Equilibrio inestable: Es el estado particular de un sistema que se desequilibra ante peque˜ nas fuerzas perturbadoras. Espacio topol´ ogico: Si Ω es un conjunto no vac´ıo, ℘(Ω) denotar´a el conjunto de partes de Ω. Un espacio topol´ogico es un par (Ω, T ), donde Ω es un conjunto no vac´ıo y T es un subconjunto de ℘(Ω) tal que ∅ y Ω pertenecen a T La uni´on de una familia de elementos de T es un eleDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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mento de T La intersecci´on de una familia finita de elementos de T es un elemento de T Espacio de Banach: La aparici´on del libro Theorie des operations lineaires de Banach signific´o el comienzo del estudio sistem´atico de los espacios vectoriales normados. Sea X un espacio vectorial normado y sea d la m´etrica asociada. Si X es un espacio m´etrico completo con respecto a d se dice que X es un espacio de Banach. Espacio conexo: Sea (E, d) un espacio metrico y sea A ⊂ E, decimos que A es conexo si no existen B1 , B2 conjuntos abiertos de (E, d) tales que B1 ∩ B2 = ∅, A ⊂ B1 ∪ B2 y B1 ∩ A 6= ∅, B2 ∩ A 6= ∅. Espacio completo: Aquel en el que toda sucesion de Cauchy es convergente. Espacio de Hilbert: Espacio con un producto interior y completo. Espacio Lindelof: X es Lindelof s´ı y s´olo si para todo recubrimiento de X existe alg´ un subrecubrimiento numerable. Espacio de medida: Es toda terna (X, Σ, µ) compuesta por un conjunto X, una σ−´algebra Σ de ℘(X) y una medida µ definida sobre Σ. Espacio normado: Sea K el cuerpo R de los n´ umeros reales Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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o el cuerpo C de los n´ umeros complejos y sea X un espacio vectorial sobre K. Una norma en X es una funci´on kxk : X −→ R tal que kxk ≥ 0 para todo x ∈ X kxk = 0 s´ı y s´olo si x = 0 kλxk = |λ|kxk para todo x ∈ X, para todo escalar λ∈K kx + yk ≤ kxk + kyk para todo x, y ∈ X se dice que (X, kk) es un espacio normado. Espacio reflexivo: Consideramos la aplicaci´on (que preserva la norma entre espacios), i : V −→ V ∗∗ definida por i(v)(α) = α(v) donde i(v) ∈ V ∗∗ = (V ∗ )∗ , y α ∈ V ∗ . Decimos que el espacio V es reflexivo si la aplicaci´on i es biyectiva. Los espacios de Hilbert son reflexivos. Espacio m´ etrico: Sea X un conjunto no vac´ıo. Sea d : XxX −→ R. Decimos que d es una m´etrica en X cuando se verifican: d(x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ X d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) para todo x, y, z ∈ X d(x, y) = 0 s´ı y s´olo si x = y En este caso se dice que (X, d) es un espacio m´etrico. Espacio vectorial: Sobre el cuerpo R de los n´ umeros reales, es un conjunto V en el que est´an definidas dos operaciones:

+:V ·:R

x V −→ V y x

V −→ V

que satisfacen: x + y = y + x para todo x, y ∈ V x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z ∈ V Existe un elemento, 0 ∈ V , tal que x+0 = x para todo x∈V Para cada x ∈ V existe otro elemento, −x ∈ V , tal que x + (−x) = 0 1.x = x para todo x ∈ V (αβ).x = α.(βx) para todo α, β ∈ R, x ∈ V α(x + y) = αx + αy para todo α ∈ R, x, y ∈ V (α + β)x = αx + βx para todo α, β ∈ R, x ∈ V Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Especialista: Es un organismo con uso restringido de h´abitats o recursos. Especie: Una especie es la limitaci´on de lo gen´erico en un ´ambito morfol´ogicamente concreto. Se compone de individuos que, adem´as de los caracteres gen´ericos, tienen en com´ un otros caracteres por los cuales se asemejan entre s´ı y pueden ser distinguidos de individuos pertenecientes a las dem´as especies. Desde el punto de vista estrictamente sist´emico, taxon´omico y de la jerarqu´ıa comprendida entre el g´enero (o el subg´enero, si existiese) y la variedad (o, en su caso, la subespecie). Grupo de organismos que forman una poblacin natural o grupo de poblaciones que transmiten caracter´ısticas espec´ıficas de los padres a la descendencia. Grupo de organismos aislados reproductivamente de organismos similares y que usualmente producen descendencia inf´ertil cuando se cruzan entre ellos. Filogen´eticamente se define como la unidad m´ınima de organismos que comparten la misma historia evolutiva. Especie competidora: Es una especie adaptada a periodos de vida larga, de crecimiento lento y largos periodos de gestaci´on, capaz de defenderse y competir por el recurso. Comparar con Especie oportunista. Especie ex´ otica: Es una especie introducida a un ´area geogr´afica donde ´esta no es nativa. Comparar con Especie nativa. Especie nativa: Especie propia y natural que se establece

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en el mismo sitio en donde se origin´o. Comparar con Especie ex´otica. Especie oportunista: Es un organismo adaptado al r´apido crecimiento y reproducci´on con poca capacidad de resistir la competencia. Comparar con Especie competidora. Estabilidad: Ausencia de fluctuaciones en las poblaciones. Capacidad de resistir perturbaciones sin cambios grandes en su composici´on. Estabilidad global: Capacidad para resistir las perturbaciones de una gran magnitud sin ser afectada. Estabilidad en sentido de Lyapunov: Un punto de equilibrio de un sistema din´amico es estable en el sentido de Lyapunov si todas las soluciones que nacen en las cercan´Ĺas del punto de equilibrio permanecen en dichas cercan´Ĺas; de otra forma resulta inestable. El punto de equilibrio adem´as es asint´oticamente estable si las soluciones adem´as de permanecer en las cercan´Ĺas del mismo, tienden hacia el punto de equilibrio a medida que transcurre el tiempo. Formalizando: Si Ď&#x2C6;(t; t0 , x0 ) representa la soluci´on del sistema dx on inicial x(t0 ) = dt = f (x) dada a partir de la condici´ x0 a partir del instante inicial t = t0 , entonces el punto de equilibrio x = 0 del sistema anterior es: Lyapunov estable: Si para cada  > 0, hay un δ = δ() > 0

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Figura 19: A. Mikhailovich Lyapunov (1857 - 1918) [40]. tal que kx(0)k < δ â&#x2021;&#x2019; kĎ&#x2C6;(t; t0 , x0 )k < 

â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2030;Ľ 0

Inestable: Si no es estable.

Figura 20: Equilibrio Lyapunov Estable. Asint´ oticamente estable: Si es estable y δ se puede elegir Diccionario Cient´Ĺfico de Biomatem´ aticas


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Figura 21: Equilibrio Inestable. de manera de manera que kx(0)k < δ ⇒ l´ım ψ(t; t0 , x0 ) = 0 t−→∞

Estado de equilibrio din´ amico: Condici´on en la cual los

Figura 22: Equilibrio Asint´oticamente Estable. flujos de energ´ıa o materiales de dentro y fuera de un sistema est´an balanceados. Estoc´ astico: Referente a patrones que resultan de efectos aleatorios.

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Estratificaci´ on: Es el establecimiento de distintas capas de temperatura o salinidad en los cuerpos de agua basadas en las diferentes densidades de calor y fr´ıo del agua o salinidad y dulzura del agua. Estructura de edad: Se refiere a las proporciones de individuos en una poblaci´on quienes se clasifican como viejos, adultos, j´ovenes y reci´en nacidos. Eusinantrop´ıa: Es una asociaci´on total que involucra una dependencia completa sobre el hombre y su medio, as´ı como de los productos de los animales dom´esticos. Ejemplos de vectores eusin´antropicos son las moscas dom´esticas y las cucarachas, quienes dependen para su desarrollo y alimentaci´on de los residuos alimenticios dejados por el hombre. Evapotranspiraci´ on potencial: Es la cantidad de transpiraci´on de las plantas y evaporaci´on del suelo que ocurrir´ıa dada la temperatura y humedad local si el agua no fuera limitada. Evoluci´ on: Cualquier cambio acumulativo en las caracter´ısticas genot´ıpicas de los organismos o de las poblaciones que se da de generaci´on en generaci´on, algunas veces con implicaciones fenot´ıpicas. Expansi´ on en series de Taylor en R2 : Consideremos el sistema: dr = H(r + x ˆ, s + yˆ) dt Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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ds = W (r + x ˆ, s + yˆ) dt Usando el Teorema de Taylor para funciones de dos variables, tenemos: H(r + x ˆ, s+ yˆ) = H(ˆ x, yˆ)+

∂H ∂H (ˆ x, yˆ)r + (ˆ x, yˆ)s+W1 (r, s) ∂x ∂y

W (r+ˆ x, s+ˆ y ) = W (ˆ x, yˆ)+

∂W ∂W (ˆ x, yˆ)r+ (ˆ x, yˆ)s+W2 (r, s) ∂x ∂y

donde W1 y W2 son funciones peque˜ nas para valores peque˜ nos de r, s puesto que W1 (r, s) W2 (r, s) l´ım √ = l´ım √ =0 2 + s2 2 + s2 r−→0 r−→0 r r s−→0 s−→0 Experimento controlado: Es un experimento con grupos de control adecuado.

F Factores abi´ oticos: Influencias ambientales como la temperatura, humedad, pH y otras influencias f´ısicas y qu´ımicas. Comparar con Factores bi´oticos. Factores bi´ oticos: Influencias ambientales causadas por organismos vivos. Comparar con Factores abi´oticos. Facultativo: Referente a la capacidad para ajustarse, acostumbrarse o acomodarse a una variedad de condiciones o circunstancias. Esta facultad es opcional de los organismos. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Comparar con Obligado. Fecundidad: Es la tasa a la cual un individuo produce descendencia. Potencial de un organismo para producir descendencia. Concepto ´ıntimamente relacionado con la cantidad de huevos o espermatozoides viables. Fenotipo: Es la expresi´on f´ısica en el organismo de la interacci´on entre el genotipo y el ambiente. Apariencia externa del organismo. Feromona: Sustancia qu´ımica usada para la comunicaci´on entre individuos. Flujo difusivo: En una dimensi´on est´a dado por J = −D

∂c ∂x

Fotos´ıntesis: S´ıntesis, con la ayuda de clorofila y con luz como la fuente energ´etica, de carbohidratos del di´oxido de carbono y agua, con ox´ıgeno como un derivado. Fractal: Un fractal es un objeto semi geom´etrico cuya estructura b´asica se repite a diferentes escalas. Un fractal es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometr´ıa fractal. Las nubes, las monta˜ nas, el sistema circulatorio, las lineas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen l´ımites en el mundo natural. Un fractal es un forma geom´etrica que permanece incambiada cualquiera sea el aumento con el que se la obDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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serve. Esta propiedad recibe el nombre de autosemejanza. Este t´ermino se debe a Beno´ıt Mandelbrot, que empez´o a usarlo all´a por 1975. Dejemos que sea ´el mismo quien lo explique: Acu˜ n´ e el t´ ermino fractal a partir del adjetivo latino fractus. El verbo correspondiente es frangere que significa romper en pedazos. Frecuencia del gen: Es la proporci´on de un alelo par-

Figura 23: Conjunto de Mandelbrot [44]. ticular de un gen en el pool g´enico de una poblaci´on. Fuerza de la infecci´ on: Es una tasa de infecci´on, la introdujo el epidemi´ologo Hugo Muench (1959), en su obra Modelos catal´ıticos en epidemiolog´ıa, al realizar un estudio comparativo entre los procesos en la qu´ımica y la epidemiolog´ıa. Desde estos estudios y por tradicci´on se le llama: Fuerza de la Infecci´ on. Factores relacionados con la fuerza de la infecci´on son: La naturaleza del hu´esped Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Su ciclo de vida Su forma de transmisi´on La virulencia y patogenecidad El periodo infeccioso El contagio del ambiente Condiciones alimenticias y condiciones sanitarias Condiciones sociales, culturales y la densidad de la poblaci´on. Funci´ on caracter´ıstica de A: Se define as´ı:  1 si x ∈ A χA (x) = 0 si x ∈ A Tambi´en se llama funci´ on indicatriz. Funci´ on generadora (f.g.): Supongamos una sucesi´on de n´ umeros reales a0 , a1 , a2 , ... e introducciendo la variable dummy x, podemos definir la funci´on A(x), as´ı: A(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · =

∞ X

aj xj

j=0

si la serie converge en alg´ un intervalo real −x0 < x < x0 , la funcion A(x) se llama Funci´on Generadora de la sucesi´on {aj }. Funci´ on generadora de probabilidad (f.g.p.): Si la sucesi´on {aj } son probabilidades con las restricciones: Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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pj ≥ 0 Pn j=0 pj = 1 la funci´on A(x) es entonces una funci´on generadora de probabilidad ψ(x, t). Es decir, ψ(x, t) =

n X

xj pj (t) = E[X j ]

j=0

donde pj (t) es la distribuci´on de probabilidad tal que pj = P {X = j}. Funci´ on generadora de momentos (f.g.m.): En general la funci´on generadora de momentos de la variable aleatoria X se define de la forma, M (a, t) = E[eaX(t) ] Si X es discreta y toma valores x con probabilidades px (t), tenemos: n X M (a, t) = eax px (t) x=0

ea

Tomando u = obtenemos la relaci´on entre la funci´on generadora de probabilidad y la funci´on generadora de momentos, M (a, t) = ψ(ea , t) Expandiendo la funci´on eaX(t) en serie de Taylor, M (a, t) ≡ E [1 + aX(t) + · · · ] ≡ 1 + aE[X(t)] +

a2 E[X 2 (t)] + · · · 2!

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0

≡ 1 + µ1 + ≡1+

a2 0 µ + ··· 2! 2

∞ X

0

µr

r=1

ar r!

Derivando parcialmente la funci´on M (a, t) con respecto a a, obtenemos X ∂M = xeax px (t) ∂a x=0

X ∂M |a=0 = xpx (t) = E[X] ∂a x=0

Por lo tanto,

∂M ∂a |a=0

= µ = E[X].

La segunda derivada de M (a, t) es, X ∂2M = x2 eax px (t) ∂a2 x=0

X ∂2M | = x2 px (t) = E[X 2 ] a=0 ∂a2 x=0

sustituyendo en V ar[X] = E[X 2 ] − (E[X])2 obtenemos, ∂2M V ar[X] = |a=0 − ∂a2



∂M |a=0 ∂a

2

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Funci´ on generadora cumulante (f.g.c.): Correspondiente al proceso est´ocastico univariado (X(t) : t ≥ 0) se define como: ∞ X ax K(a, t) = kx x! x=0

donde kx es el x-´esimo cumulante y k0 = 0. Se establece la relaci´on entre la funci´on generadora de momentos y la funci´on generadora cumulante, K(a, t) = ln M (a, t) Funciones de Lyapunov: Sea V : D −→ Rn un campo escalar continuamente diferenciable definido en un dominio D ⊂ Rn que contiene al origen, entonces V (x) es una funci´on definida positiva si V (0) = 0 y V (x) > 0 en D − {0}. V (x) es una funci´on semidefinida positiva si V (0) = 0 y V (x) ≥ 0 en D. V (x) es una funci´on definida negativa si −V (x) es definida positiva. V (x) es una funci´on semidefinida negativa si −V (x) es semidefinida positiva. Funci´ on medible: Una funci´on f : X −→ R∗ ≡ R ∪ {−∞, +∞} Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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es Σ−medible s´ı y s´olo si f −1 (A) ∈ Σ para todo conjunto boreliano A, es decir, f −1 (A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A} Funci´ on simple: Una funci´on f : X −→ R es simple si s´olo toma un n´ umero finito de valores diferentes. Funci´ on de transferencia: En el modelamiento de sistemas, es la ecuaci´on que describe el flujo de energ´ıa o una sustancia entre un componente y otro. Fungicida: Qu´ımico usado para matar hongos.

G Gameto: Es una c´elula haploide que se fusiona con otra c´elula haploide de sexo contrario durante la fertilizaci´on para formar el Zigoto. En los animales el gameto masculino se llama espermatozoide y el gameto femenino se llama huevo u ´ovulo. Gases invernadero: Son los gases de la atm´osfera que absorben energ´ıa infrarroja y que contribuyen a la temperatura del aire. Estos gases son como un manto de calor y son importantes en la insolaci´on de la superficie de la tierra. Dentro de estos gases se pueden incluir el di´oxido de carbono, el vapor de agua, metano, ´oxido nitroso, clorofluorocarbonos y otros halocarbonos. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Gen: Unidad de informaci´on gen´etica. Se refiere a una regi´on de la mol´ecula de ADN que codifica a una enzima sencilla o prote´ına estructural. Generaciones traslapadas: Es la co - ocurrencia de padres y su progenie en la misma poblaci´on. G´ enero: Categor´ıa taxon´omica que est´a por encima de la especie y por debajo de la familia. Un grupo de especies a las que se le considera que tienen un antecesor directo com´ un. Gen´ etica cuantitativa: Es el estudio de la herencia y respuesta a la selecci´on de los rasgos de variaci´on continua que tienen herencia poligen´etica. Genotipo: Son todas las caracter´ısticas gen´eticas que determinan la estructura y funci´on de un organismo. A menudo aplicado a un solo locus del gen para distinguir un alelo o combinaci´on de alelos, de otros. Es la constituci´on gen´etica de un organismo o de una especie en contraste con las caracter´ısticas observables. Comparar con Fenotipo. Glucosa: Az´ ucar simple. El mayor producto de la fotos´ıntesis. Act´ ua como un bloque constitutivo b´asico de la celulosa y el almid´on. Es el mayor combustible para la liberaci´on de energ´ıa a trav´es de la respiraci´on celular tanto en plantas como en animales. Gradiente: Vector que se˜ nala el cambio en cierta direc-

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ci´on de la magnitud escalar. Es la diferencia en condici´on y concentraci´on de una sustancia entre dos puntos o a trav´es de una barrera o membrana. Gradiente ambiental: Es el rango posible en el que oscila un factor como la luz, la temperatura o la humedad. Grupo control: Es el grupo que en un experimento es tratado como el grupo experimental en todo sentido excepto para el factor particular sujeto de estudio. Solamente por comparaci´on con el grupo control se puede adquirir informaci´on espec´ıfica concerniente al efecto de cualquier factor de prueba. Gen´ etica de poblaciones: Estudio de las frecuencias gen´eticas y de las presiones de selecci´on en las poblaciones.

H H´ abitat: Es la suma de las condiciones ambientales en donde un organismo, poblaci´on o comunidad vive. Lugar en donde generalmente un organismo vive. Hamiltoniano: La funci´on de Pontryagin para las variables adjuntas, ρi , i = 1, ..., 3 es H = ρT f donde, ρ = (ρ1 , ρ2 , ρ3 )T y f = (f1 , f2 , f3 )T = dx dt . Haploide: Referente a una c´elula u organismo que contiene Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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un juego o serie de cromosomas. Hemat´ ofago: Organismo que se alimenta de sangre. Hepatitis: Es la inflamaci´on del h´ıgado, puede ser causada por infecciones de diversos par´asitos, bacterias o virus (como los virus de la hepatitis A, B, C). Asimismo, las toxinas qu´ımicas como el alcohol, los medicamentos o los hongos venenosos pueden causarle da˜ no al h´ıgado y hacer que se inflame, una sobredosis de acetaminof´en (como el Tylenol), que es rara pero puede ser mortal, las c´elulas del sistema inmunol´ogico pueden atacar al h´ıgado y causar hepatitis autoinmune. La hepatitis se puede resolver r´apidamente (hepatitis aguda) o puede causar una enfermedad a largo plazo (hepatitis cr´onica) y, en algunos casos, se puede presentar un da˜ no hep´atico progresivo o insuficiencia hep´atica. Los tipos espec´ıficos de hepatitis son: Hepatitis A, Hepatitis B, Hepatitis C, Hepatitis autoinmunitaria, Hepatitis inducida por f´armacos y Hepatitis alcoh´olica. Herbicida: Qu´ımico usado para matar o inhibir el crecimiento de plantas plaga, indeseables o ARVENSES. Herb´ıvoro: Organismo que consume plantas vivas o sus partes. Herencia: Transmisi´on gen´etica del conjunto de caracteres fenot´ıpicos y del genoma de un individuo a su descendencia. Heterogeneidad: La variedad de cualidades encontradas

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en un ambiente (h´abitat) o en una poblaci´on (variaci´on genot´ıpica). Hip´ otesis: Suposici´on concerniente a la causa que est´a detr´as de un fen´omeno observado que es luego sujeto a pruebas experimentales para probar su precisi´on y inexactitud. Historia de vida: Es el conjunto de adaptaciones de un organismo que m´as o menos influye directamente los valores de la tabla de vida de sobrevivencia espec´ıfica de la edad y de fecundidad, por consiguiente, la tasa reproductiva, la edad de la primera reproducci´on, el riesgo de reproducci´on y as´ı sucesivamente. Homeomorfismo entre espacios normados: Sean X, Y dos espacios normados. Una aplicaci´on f : X −→ Y es un homeomorfismo si es biyectiva y bicontinua. es decir, si tiene inversa f −1 y f −1 es continua. Homeostasis: Mantenimiento de las condiciones internas constantes ante la variaci´on del medio ambiente externo. Homocigoto: Que contiene dos alelos id´enticos en un locus del gen. Hospedero:: Organismo que ofrece refugio o que act´ ua como anfitri´on de otro organismo. Hospedero intermediario: Es un hospedero que alberga un estado asexual del ciclo de vida de un par´asito u organ-

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ismo que genera enfermedad. Hu´ esped: Organismo que proporciona alimento, refugio u otros beneficios a un organismo de otra especie. Hu´ esped primario: Es un hu´esped que alberga el estado sexual del ciclo de vida de un par´asito u organismo que genera enfermedad. Hu´ esped secundario: Es un hu´esped que alberga un estado asexual del ciclo de vida de un par´asito u organismo que produce enfermedad. Humedad: Es la cantidad de vapor de agua en el aire. Ver tambi´en Humedad relativa. Humedad relativa: Es el porcentaje de humedad en el aire comparado con qu´e tanto puede el aire retenerlo en una temperatura dada. Humus: Es la sustancia compuesta por productos org´anicos, de naturaleza coloidal, que proviene de la descomposici´on de los restos org´anicos (hojas, troncos de madera, hongos, bacterias, etc.). Se caracteriza por su color negruzco debido a la gran cantidad de carbono que contiene. Se encuentra principalmente en las partes altas de los suelos con actividad org´anica. Los elementos org´anicos que componen el humus son muy estables. Es decir, que su grado de descomposici´on es tan elevado que ya no se descomponen m´as y no sufren transformaciones considerables. Es un residuo de materia

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org´anica, esponjoso, suave, caf´e obscuro o negro que permanece despu´es del volumen de hojas muertas, madera u otra materia org´anica que se haya descompuesto. El humus se oxida pero a una velocidad relativamente lenta. Es extremadamente valioso dentro de las propiedades fisiol´ogicas y qu´ımicas del suelo.

I Imago: Es el estado adulto de un insecto. Impacto ambiental: Efecto que produce una determinada acci´on humana sobre el medio ambiente en sus distintos aspectos. El concepto puede extenderse, con poca utilidad, a los efectos de un fen´omeno natural catastr´ofico. T´ecnicamente, es la alteraci´on de la l´ınea de base (medio ambiente), debido a la acci´on antr´opica o a eventos naturales. Las acciones humanas, motivadas por la consecuci´on de diversos fines, provocan efectos colaterales sobre el medio natural o social. Mientras los efectos perseguidos suelen ser positivos, al menos para quienes promueven la actuaci´on, los efectos secundarios pueden ser positivos y, m´as a menudo, negativos. La evaluaci´on de impacto ambiental (EIA) es el an´alisis de las consecuencias predecibles de la acci´on; y la Declaraci´on de Impacto Ambiental (DA) es la comunicaci´on previa, que las leyes ambientales exigen bajo ciertos supuestos, de las consecuencias ambientales predichas por la evaluaci´on. Impacto ecol´ ogico: Es el efecto total de un cambio ambiental, natural o humano. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Incidencia: N´ umero de nuevos casos ocurridos en una unidad de tiempo elegida (da, semana, a˜ nos). ´ Indice de Breteau: N´ umero total de contenedores con larvas por 100 casas examinadas. ´ Indice de casa: Porcentaje de casas examinadas, incluyendo sus alrededores, que contienen larvas del vector en al menos, un contenedor. ´ Indice de contenedor: Porcentaje de contenedores con agua que contienen larvas. ´ Indice de crecimiento Medio de Lloyd’s Deduzcamos el t´ermino de transmisi´on f (S, I). Sea, x ˆ=x ¯+

s2 −1 x ¯

Donde, x ˆ : es el ´ındice de crecimiento de crecimiento medio de Lloyd’s, n´ umero de personas susceptibles en su vecindad. x ¯ : n´ umero medio de individuos hallados en un cuadrante. s2 : es la varianza de los n´ umeros de individuos hallados en un cuadrante. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Sustituyendo la ley de potencia de Taylor: s2 = α¯ xβ en el ´ındice x ˆ tenemos: x ˆ=x ¯+

α¯ xβ −1 x ¯

es decir, x ˆ=x ¯ + α¯ xβ−1 − 1 Por lo tanto, el t´ermino de transmisi´on de un pat´ogeno que integra aspectos fenomenol´ogicos de la agregaci´on espacial de la poblaci´on susceptible (S) es, f (S, I) = θI(¯ s + α¯ sβ−1 − 1) ´ Indice Maya: Matriz de datos que contiene niveles graduales de contenedores controlables. La interpretaci´on de la matriz del ´Indice Maya se utiliza finalmente para caracterizar el barrio o la colonia como una zona de alto, mediano o bajo riesgo entomol´ogico para la transmisi´on del dengue, con base en los niveles de higiene dom´estica como elemento predictivo. ´ Indice de Shannon - Weaver (H): Es una medida logar´ıtmica de la diversidad de las especies soportada en la abundancia relativa de cada una. ´ Indice de Simpson: Es la medida de diversidad de las especies sustentada en la abundancia relativa de cada una. Infeccioso: Persona que transmite una que infecci´on en forma directa, indirecta o mediante vectores.

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Ingenier´ıa gen´ etica: Transferencia artificial de genes espec´ıficos de un organismo a otro. Inhibici´ on: Es la supresi´on de una poblaci´on colonizada por otra que ya est´a establecida, especialmente durante secuencias sucesivas. Inmigraci´ on: Es el movimiento de individuos en una poblaci´on. Traslado de un individuo o de un grupo hacia una nueva poblaci´on o regi´on geogr´afica. Inmune: Hu´esped que se encuentra en un estado resistente a un agente infeccioso. Referente a la resistencia que resulta de la exposici´on al agente causal y la consecuente estimulaci´on de la respuesta inmune. Inmunidad espec´ıfica: La inmunidad espec´ıfica constituye la tercera l´ınea de defensa del organismo y est´a representada por los linfocitos de los que existen dos clases: los linfocitos B (o c´elulas B) y los linfocitos T (o c´elulas T). Ambos derivan de la misma c´elula madre de la m´edula ´osea a trav´es de una serie de intermedios y ambos tienen las mismas caracter´ısticas morfol´ogicas. Algunos autores incluyen entre los linfocitos las c´elulas asesinas naturales (Natural Killer, NK) que se diferencian de los linfocitos B y T en su tama˜ no ligeramente mayor. Los linfocitos B son los representantes de la llamada inmunidad humoral caracterizada por la secreci´on de las protenas llamadas anticuerpos, mientras que los linfocitos T son los representantes de la inmunidad medida por c´elulas ya que ellos atacan directamente a los

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g´ermenes destruy´endolos por fagocitosis y disgesti´on. La inmunidad espec´ıfica es uno de los principales componentes de la resistencia a las enfermedades infecciosas; es un estado de respuesta alterada a una substancia espec´ıfica adquirida por inmunizaci´on o infecci´on natural. Estado del organismo que le impide contraer enfermedades. Puede ser natural o provocado por medio de vacunas. Capacidad que tienen, o adquieren, algunas personas de no padecer una determinada enfermedad. Situaci´on biol´ogica de un ser vivo, respecto a sus compa˜ neros de especie y dentro de un mismo ambiente, propensa a no desarrollar la enfermedad al ser atacado por microorganismos (bacterias o virus), o sustancias ajenas al propio ser, o que, pertenecientes al mismo, se hallen alteradas en cuanto a su estructura. La inmunidad puede ser natural o adquirida. Inorg´ anico: Todo componente qu´ımico o mol´ecula que no contiene ´atomos de carbono como parte integral de su estructura molecular. Comparar con Org´anico. Insecticida: Cualquier qu´ımico usado para matar insectos. Interespec´ıfico: Que se da entre especies. Entre individuos de diferentes especies. Intraespec´ıfico: Que se da al interior o dentro de una especie. Entre individuos de una misma especie. Inversi´ on parental: Un acto de cuidado parental que intensifica la supervivencia de la progenie individual o incre-

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menta su n´ umero. Ion: Son las partes disociadas de una mol´ecula, cada una de las cuales transporta una carga el´ectrica. En caso de que la carga el´ectrica sea positiva recibe el nombre de cati´on y si la carga el´ectrica es negativa, se le llamar´a ani´on. Isoclina: Una l´ınea sobre una gr´afica poblacional que designa combinaciones de poblaciones que compiten, o las poblaciones presa depredador, por lo que la tasa de crecimiento de una de las poblaciones es igual a cero.

J Jerarqu´ıa: Es un orden en el rango. Liderazgo. Patrones de dominancia entre los miembros de una poblaci´on.

K K: En la qu´ımica es el s´ımbolo del potasio. En la f´ısica el s´ımbolo del grado kelvin, unidad de temperatura y en la inform´atica, el s´ımbolo de la capacidad de memoria de un ordenador.

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L Larva: Estado inmaduro de un invertebrado que es fundamentalmente diferente al adulto y que debe sufrir alguna clase de metamorfosis. Forma inmadura de vida libre que se presenta en el ciclo de vida de algunos organismos principalmente los insectos y que es estructuralmente distinto que el adulto. Larv´ıvoro: Organismo que se alimenta de larvas. Latente: Persona que tiene un agente pat´ogeno sin manifestarse al exterior. Leishmaniasis: Es una enfermedad parasitaria transmitida por la picadura del jej´en o fleb´otomo. La Leishmania es un g´enero de protozoarios (organismos vivientes simples) diminutos, cuyo ciclo de vida parasitaria incluye al jej´en o fleb´otomo y a un hu´esped apropiado como el hombre, entre otros. La infecci´on por Leishmania puede ocasionar una enfermedad en la piel llamada leishmaniasis cut´anea que tambi´en puede afectar las membranas mucosas. La infecci´on tambi´en puede causar enfermedad sist´emica (en todo el cuerpo). Las membranas mucosas afectadas pueden tener un rango amplio de apariencias, con m´as frecuencia, en forma de u ´lceras. La leishmaniasis puede ocasionar lesiones cut´aneas similares a las producidas por otras enfermedades como la tuberculosis cut´anea, la s´ıfilis, la lepra, el c´ancer de piel e infecciones mic´oticas. La enfermedad sist´emica por Leishmania, llamada leishDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Figura 24: Fleb´otomo.

maniasis visceral, puede ocasionar complicaciones mortales. Cuando el jej´en pica, este par´asito entra en el cuerpo y migra a la m´edula ´osea, al bazo y a los ganglios linf´aticos. Estos par´asitos da˜ nan al sistema inmune disminuyendo el n´ umero de c´elulas que combaten la enfermedad. En los pa´ıses de Am´erica, esta infecci´on puede encontrarse desde el sur de M´exico hasta el continente Suramericano. Se han reportado brotes de leishmaniasis entre el personal militar que regres´o del Golfo P´ersico. Ley de acci´ on de masas: Indica que la velocidad de una reacci´on qu´ımica es directamente proporcional a las masas activas de las especies reaccionantes. El principio de acci´on de masas en epidemiolog´ıa, expresa que el curso de una epidemia depende de la tasa de contactos efectivos (β) entre individuos susceptibles (S) e individuos infecciosos (I). Es decir, βSI. En este principio se asume que la poblaci´on es constante, homog´enea y las personas tienen Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Figura 25: Cato M. Guldberg y Peter Waage (1864) [39].

un comportamiento similar, cada persona tiene la misma probabilidad de ser infectado. Ley de Chick: Dice: La r´apidez con que disminuye la cantidad de microorganismos es proporcional al n´ umero de ellos. Es decir, dx = −λx dt donde, x : Es el n´ umero de microorganismos viables en un tiempo t λ : Constante de velocidad de reacci´on para un desinfectante determinado. Ley de Fick: El flujo debido a movimiento aleatorio es aproximadamente proporcional a el gradiente local en la conDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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centraci´on de particulas: J = −D∇c donde D es el coeficiente de difusi´on. Ley de potencia de Taylor: Ley que establece que la varianza de una poblaci´on es proporcional a una potencia fraccional de la media aritm´etica, se expresa como s2 = α¯ xβ donde α depende del tama˜ no de la unidad de muestra y β es el ´ındice de dispersi´on que var´ıa desde cero (para una distribuci´on uniforme) hasta infinitivo (para una distribuci´on altamente contagiosa). Linealizaci´ on: Considerando el sistema de ecuaciones diferenciales: dx ≡ H(x, y) dt dy ≡ W (x, y) dt con condiciones iniciales x(0) = x0 , y(0) = y0 y haciendo el cambio de variables r = x − x ˆ, s = y − yˆ en el sistema se obtiene: dr = H(r + x ˆ, s + yˆ) dt ds = W (r + x ˆ, s + yˆ) dt Usando el Teorema de Taylor para funciones de dos variables, tenemos: H(r + x ˆ, s+ yˆ) = H(ˆ x, yˆ)+

∂H ∂H (ˆ x, yˆ)r + (ˆ x, yˆ)s+W1 (r, s) ∂x ∂y

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W (r+ˆ x, s+ˆ y ) = W (ˆ x, yˆ)+

∂W ∂W (ˆ x, yˆ)r+ (ˆ x, yˆ)s+W2 (r, s) ∂x ∂y

donde W1 y W2 son funciones peque˜ nas para valores peque˜ nos de r, s puesto que W2 (r, s) W1 (r, s) = l´ım √ =0 l´ım √ 2 + s2 2 + s2 r−→0 r−→0 r r s−→0 s−→0 La linealizaci´on del sistema se obtiene considerando H(ˆ x, yˆ) = 0

,

W (ˆ x, yˆ) = 0

y despreciando los t´erminos de orden superior W1 (r, s) y W2 (r, s), obteniendo el sistema lineal bidimensional dr ∂H ∂H = (ˆ x, yˆ)r + (ˆ x, yˆ)s dt ∂x ∂y ds ∂W ∂W = (ˆ x, yˆ)r + (ˆ x, yˆ)s dt ∂x ∂y La matriz de coeficientes del sistema es:   ∂H ∂H (ˆ x , y ˆ ) (ˆ x , y ˆ ) ∂y   ∂x   ∂W ∂W (ˆ x , y ˆ ) (ˆ x , y ˆ ) ∂x ∂y es llamada Matriz Jacobiana o Matriz de Comunidad del sistema en el equilibrio (ˆ x, yˆ). Locus g´ enico: Segmento de un cromosoma en el cual reside un gen.

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M Malaria: Es una enfermedad parasitaria caracterizada por fiebre, escalofr´ıo y anemia. Se transmite de un humano a otro por la picadura de mosquitos anofeles infectados. En los humanos, los par´asitos (llamados esporozo´ıtos) migran hacia el h´ıgado, donde maduran y se convierten en merozo´ıtos, los cuales penetran el torrente sangu´ıneo e infectan los gl´obulos rojos. Los par´asitos se multiplican dentro de los gl´obulos que, al cabo de 48 a 72 horas, se rompen e infectan m´as gl´obulos rojos. Los primeros s´ıntomas se presentan por lo general de 10 d´ıas a 4 semanas despu´es de la infecci´on, aunque en ocasiones se pueden presentar en un lapso de 8 d´ıas hasta 1 a˜ no despu´es. Los s´ıntomas de la enfermedad ocurren en ciclos de 48 a 72 horas. La mayor´ıa de los s´ıntomas se originan por la liberaci´on masiva de merozo´ıtos en el torrente sangu´ıneo, por la anemia causada por la destrucci´on de gl´obulos rojos y por los problemas debidos a las grandes cantidades de hemoglobina libre que invaden el torrente sangu´ıneo luego de la ruptura de los gl´obulos rojos. La transmisi´on de la malaria tambi´en puede ser de forma cong´enita (de la madre al feto) y por transfusiones sangu´ıneas. La malaria se puede trasmitir por intermedio de los mosquitos en zonas de clima templado, pero el par´asito desaparece cuando llega el invierno. Manejo integrado de plagas: Dos o m´as m´etodos de control de plagas integrados cuidadosamente en un programa dise˜ nado para evitar las p´erdidas econ´omicas causadas por plagas. El objetivo es minimizar el uso de qu´ımicos sint´eticos Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Figura 26: Sir Ronald Ross (1857 - 1932) [31]. ambientalmente riesgosos. Tales qu´ımicos pueden ser usados en el Manejo Integrado de Plagas pero solamente como un u ´ltimo recurso para prevenir p´erdidas econ´omicas significativas. Matrices cuadradas: Son matrices de la  a11 a12 − − −  a21 a22 − − −  A = (aij ) =  . ..  .. . −−− am1 am2 − − −

forma:  a1n a2n   ..  .  amn

donde m = n. Las matrices cuadradas m´as importantes son: Diagonales, cuando aij = 0 para todo i 6= j Triangulares superiores, cuando aij = 0 para todo i > j Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Triagulares inferiores, cuando aij = 0 para todo i < j Sim´etricas, cuando aij = aji Matriz de comunidad: Es la matriz sim´etrica de coeficientes de interacci´on entre especies en una comunidad. Matriz Hessiana: Sea f : U ⊂ R2 −→ R, definimos la matriz hessiana de f como:  Hp (f ) =

2 f ∂xx 2 f ∂yx

2 f ∂yx 2 f ∂yy



Matriz de Hurwitz: Se compone del modo siguiente: En la diagonal principal se escriben los coeficientes del polinomio caracter´ıstico: f (λ) = a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an = 0 comenzando por a1 y terminando por an . Las columnas, una tras otra, constan de los coeficientes de subundices solamente impares o de subindices solamente pares, entre estos u ´ltimos va incluido el coeficiente a0 . Todos los dem´as elementos de la matriz, correspondientes a subindices mayores que n o menores que cero, se suponen iguales a cero. Es decir, la matriz de Hurwitz tiene la forma: 

a1 a0 0 0 0 0−−−0  a3 a2 a1 a0 0 0−−−0   a5 a a a a a 4 3 2 1 0−−−0  − − − − − − − − − − − − − − − −−− 0 0 0 0 0 0−−−0 Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

     


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Matriz de incidencia: Tabla de ocurrencias de especies en muestras. Matriz de Leslie: Es una matriz de valores de fecundidad espec´ıficos de la edad y sobrevivencia usada para proyectar el tama˜ no y la estructura de edad de una poblaci´on a trav´es del tiempo. Matriz de poblaci´ on: Ver Matriz de Leslie. Matriz de transici´ on: Es una matriz de probabilidades de cambio desde un estado a otro. Media aritm´ etica: Suma de una serie de valores dividido por el n´ umero de valores. Una medida de la tendencia central de una muestra. Comparar con Media geom´etrica. Media geom´ etrica: La ra´ız en´esima del producto de n valores. El antilogaritmo de la media de los logaritmos de una serie de valores. Comparar con Media aritm´etica. Medida: Es una funci´on µ : Σ −→ [0, +∞] que cumple:

µ(A) ≥ 0 para todo A ∈ Σ y µ(∅) = 0 Si {Ei }i∈N es una familia disjunta de conjuntos de la σ− ´algebra Σ en el conjunto X, entonces S P∞ µ( ∞ i=1 ) = i=1 µ (Ei ) Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Medida de Lebesgue en R : Un conjunto A ⊂ R es medible seg´ un Lebesgue si para cada entero positivo n el conjunto acotado A ∩ [−n, n) es un conjunto medible seg´ un Lebesgue. La medida de Lebesgue en R es m(A) = l´ım m (A ∩ [−n, n)) n−→∞

Meiosis: Proceso de una serie seguida de dos divisiones de c´elulas destinadas a producir gametos, que incluyen apareamiento y segregaci´on de cromosomas hom´ologos y que reduce el n´ umero de cromosomas de diploide a haploide. Metabolismo: Es el conjunto de transformaciones bioqu´ımicas responsables de la constituci´on y descomposici´on de tejidos y la liberaci´on de energ´ıa de los organismos. Suma de todas las reacciones qu´ımicas que ocurren en un organismo. Metamorfosis: Un cambio abrupto en forma durante el desarrollo que fundamentalmente altera la funci´on del organismo. Metapoblaci´ on: Subpoblaci´on que es parte de una poblaci´on m´as grande y que est´a conectada con otras subpoblaciones mediante inmigraci´on. M´ etodo directo de Lyapunov: Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema dx dt = f (x) y sea V : D −→ R un campo escalar continuamente diferenciable definido en un dominio D ⊂ Rn que contiene al origen, entonces Si V (x) es definida positiva y V˙ (x) es semidefinida negaDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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tiva, el origen es un punto de equilibrio estable. Si V (x) es definida positiva y V˙ (x) es definida negativa, el origen es un punto de equilibrio asint´oticamente estable. M´ etodo Indirecto de Lyapunov: Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema no lineal dado por dx dt = f (x) donde n n f : D ⊂ R −→ R , es continuamente diferenciable y D es un entorno del origen. Sea la matriz Jacobiana A=

∂f (x)|x=0 ∂x

Entonces, notando con λi (i = 1, ..., n) a los valores propios de A El origen es asint´oticamente estable si Re{λi } < 0, para todo λi . El origen es inestable si Re{λi } > 0, para uno o m´as valores propios de A. M´ etodo de marca y recaptura: Es una forma de estimar el tama˜ no de una poblaci´on mediante la recaptura y marcado de los individuos. Mezcla vertical: Intercambio entre el fondo y la superficie de un cuerpo de agua. Mimetismo: Cuando una especie copia de otra alg´ un rasgo fenot´ıpico o de comportamiento con el prop´osito de adquirir una ventaja selectiva. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


91

A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´Ĺa A.

Modelo compartimental: Representaci´on de un sistema en el cual sus diversas partes son descritas como unidades (compartimentos) que se afectan con flujos de entrada y/o de salida hacia otras unidades:

_Y < |   < M f Y_ |

Ď&#x2030;L

ÎťM

Y z_ :  / : L  Y_ zZ



ιM + βXM

f XM

/



θL  WVUT / PQRS X o



' 



L



ÂľX Diagrama 3.: Din´amica de modelo compartimental. Modelo epidemiol´ ogico: Analiza el rol de un infeccioso para predecir el comportamiento de la propagaci´on de la enfermedad atrav´es de la poblaci´on. Modelo de crecimiento exponencial con dispersi´ on espacial: La ecuaci´on diferencial que describe la din´amica es, â&#x2C6;&#x201A;p(x, t) â&#x2C6;&#x201A; 2 p(x, t) = Îťp(x, t) + D â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;x2 Diccionario Cient´Ĺfico de Biomatem´ aticas


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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´Ĺa A.

Dâ&#x2C6;&#x201A;

2 p(x,t)

â&#x2C6;&#x201A;x2



Îťp(x, t)

hijk / onml p(x, t)

Diagrama 4.: Din´amica de crecimiento exponencial con dispersi´on espacial. donde, p(x, t) : es la densidad poblacional en (x, t). Îť : es la tasa de incremento neto de la poblaci´on. D : es la tasa de dispersi´on (coeficiente de difusi´on, cuadrado medio de dispersi´on por unidad de tiempo). 2 p(x,t) D â&#x2C6;&#x201A; â&#x2C6;&#x201A;x : representa el movimiento de los individuos de la 2 poblaci´on. x : es la coordenada espacial. Modelo de crecimiento exponencial con dispersi´ on denso - dependiente: Es el caso en que la distribuci´on espacial de la poblaci´on (al azar o gregaria) influye en su desplazamiento: â&#x2C6;&#x201A;p(x, t) â&#x2C6;&#x201A; = Îťp(x, t) + â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;x



â&#x2C6;&#x201A;p(x, t) D(p) â&#x2C6;&#x201A;x



Modelo de crecimiento log´Ĺstico con dispersi´ on espacial: La ecuaci´on diferencial parcial que interpreta esta din´amica es, Diccionario Cient´Ĺfico de Biomatem´ aticas


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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

  ∂ 2 p(x, t) ∂p(x, t) p(x, t) p(x, t) + D =r 1− ∂t k ∂x2 donde, r : es la tasa de incremento neto de la poblaci´on. k : es la capacidad de carga o capacidad limite o de soporte de la poblaci´on. Modelamiento de sistemas: Descripci´on de una funci´on de sistema mediante funciones matem´aticas que describen las interacciones entre sus componentes. Modelo SIR sin din´ amica vital: Corresponde a enfermedades transmisibles susceptible (x) - infeccioso (y)- inmune (z) como el sarampi´on, rubeola entre otras.

_^]\ XYZ[ x

βxy

_^]\ / XYZ[ y

θy

_^]\ / XYZ[ z

Diagrama 5.: Din´amica SIR sin din´amica vital. donde x(t) : es el n´ umero de personas susceptibles en un tiempo t. y(t) : es el n´ umero de personas infecciosas en un tiempo t. z(t) : es el n´ umero de personas inmunes en un tiempo t. β : tasa de contactos efectivos entre susceptibles e infecciosos. θ : tasa de adquisici´on de inmunidad. El sistema de ecuaciones diferenciales que interpretan esta Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

din´amica son: dx = −βxy dt dy = βxy − θy dt dz = θy dt Este modelo se debe a Kermack y McKendrick. Modelo SIR con din´ amica vital: Corresponde a en-

Figura 27: William Ogilvy Kermack (1898 - 1970) [37]. fermedades transmisibles susceptible (x) - infeccioso (y)- inmune (z) como la Rubeola, Sarampi´on entre otras.

Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´Ĺa A.

ÂľN 

_^]\ XYZ[ x



Âľx

βxy

_^]\ / XYZ[ y

θy

_^]\ / XYZ[ z



Âľy



Âľz

Diagrama 6.: Din´amica SIR con din´amica vital. donde Âľ : es la tasa constante de nacimiento igual a la tasa de mortalidad natural. N = x + y + z : es la poblacion total constante. El sistema de ecuaciones diferenciales que interpretan esta din´amica son: dx = ÂľN â&#x2C6;&#x2019; βxy â&#x2C6;&#x2019; Âľx dt dy = βxy â&#x2C6;&#x2019; (θ + Âľ)y dt dz = θy â&#x2C6;&#x2019; Âľz dt Modelo SIRS con din´ amica vital: Corresponde a enfermedades transmisibles susceptible (x) - infeccioso (y)- inmune (z) - susceptible (x) como la Hepatit´Ĺs entre otras.

Diccionario Cient´Ĺfico de Biomatem´ aticas


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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´Ĺa A.

ÂľN 



_^]\ XYZ[ x



Âľx

|

v

βxy

Îąz k _ S

_^]\ / XYZ[ y

H θy

B

<

_^]\ / XYZ[ z



Âľy



Âľz

Diagrama 7.: Din´amica SIRS con din´amica vital. donde Îą : es la tasa de p´erdida de inmunidad. Las ecuaciones diferenciales que interpretan esta din´amica son: dx = ÂľN + Îąz â&#x2C6;&#x2019; βxy â&#x2C6;&#x2019; Âľx dt dy = βxy â&#x2C6;&#x2019; (θ + Âľ)y dt dz = θy â&#x2C6;&#x2019; (Îą + Âľ)z dt Modelo SIS con din´ amica vital: Corresponde a enfermedades transmisibles susceptible (x) - infeccioso (y)- susceptible (x) como las enfermedades de transmisi´on sexual y el resfriado entre otras.

Diccionario Cient´Ĺfico de Biomatem´ aticas


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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´Ĺa A.

ÂľN 

ιy u _ O βxy XYZ[ _^]\ _^]\ / XYZ[ y x



Âľx



Âľy

Diagrama 8.: Din´amica SIS con din´amica vital. donde Îą : es la tasa de individuos infecciosos que vuelven hacer susceptibles. Ecuaciones diferenciales de la din´amica: dx = ÂľN + Îąy â&#x2C6;&#x2019; βxy â&#x2C6;&#x2019; Âľx dt dy = βxy â&#x2C6;&#x2019; (Îą + Âľ)y dt Modelo SI con din´ amica vital: Corresponde a enfermedades transmisibles susceptible (x) - infeccioso (y) como el SIDA.

Diccionario Cient´Ĺfico de Biomatem´ aticas


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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´Ĺa A.

δN 

XYZ[ _^]\ x



Âľx

βxy

_^]\ / XYZ[ y



(Âľ + Îą)y

Diagrama 9.: Din´amica SI con din´amica vital. donde Îą : es la tasa de muerte por la enfermedad. δ : es la tasa constante de nacimiento diferente a la tasa de muerte natural Âľ. Es una din´amica con poblaci´on variable, es decir, dN = (δ â&#x2C6;&#x2019; Âľ)N â&#x2C6;&#x2019; Îąy dt Ecuaciones diferenciales de la din´amica: dx = δN â&#x2C6;&#x2019; βxy â&#x2C6;&#x2019; Âľx dt dy = βxy â&#x2C6;&#x2019; (Îą + Âľ)y dt Mortalidad: ´Indice de mortalidad en proporci´on a la poblaci´on, expresado as´Ĺ o como fracci´on. Proporci´on del n´ umero de muertes de individuos en riesgo, a menudo descrito como una funci´on de la edad. Comparar con Tasa de muerte.

Diccionario Cient´Ĺfico de Biomatem´ aticas


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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

Mosquito: Es un t´ermino gen´erico con el que se designa a varias familias de insectos del orden de los d´ıpteros y en particular del suborden de los nemat´oceros. Algunas de las familias m´as destacadas son: Culicidae o cucl´ıcidos: estos mosquitos son par´asitos hemat´ofagos (se alimentan de la sangre de otros animales), y por ello son frecuentes vectores de enfermedades infecciosas. Chironomidae o quiron´ omidos: se asemejan a la familia anterior pero no se alimentan de sangre. Tipulidae o tip´ ulidos: conocidos como moscas o mosquitos gigantes, pueden llegar a medir 7,5 cm; tambi´en son inofensivos. Los mosquitos con mayor importancia pr´actica son los cul´ıcidos que por ser par´asitos hemat´ofagos, son a la vez frecuentes vectores de enfermedades infecciosas. Otras familias importantes son los quiron´omidos (Chironomidae) o los tip´ ulidos (Tipulidae). Mutaci´ on: Cualquier tipo de cambio en el genotipo de un organismo que ocurre en el gen, cromosoma o a nivel gen´omico. Usualmente aplicado a cambios en los genes para nuevas formas al´elicas. Un cambio en el arreglo gen´etico de un organismo que resulta de un cambio qu´ımico en el ADN. Mutante: Es un organismo con una caracter´ıstica o rasgo cambiado que resulta de un cambio gen´etico. Mutualismo: Es el tipo de relaci´on entre dos especies que las beneficia. Es una interacci´on entre dos especies en la que ambas se benefician de la asociaci´on.

Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

N Natural: Que ocurre o que es producido como parte normal de la naturaleza sin cualquier actividad o intervenci´on humana. Contrario a lo artificial, sint´etico, hecho por el hombre o causado por el hombre. Natalidad: ´Indice de nacimientos. Cantidad de progenie producida por hembra o cabeza de la poblaci´on por unidad de tiempo. Producci´on de individuos nuevos por nacimiento. Nicho: Es el rol ecol´ogico de una especie en la comunidad. El conjunto de condiciones y cualidades del recurso dentro del cual el organismo o las especies persisten, a menudo concebido como un espacio multidimensional. Es el total de todas las relaciones que conduce al c´omo los organismos enfrentan o interact´ uan con los factores tanto bi´oticos como abi´oticos. Nicho fundamental: Es el nicho, as´ı determinado por la combinaci´on tolerable m´axima de condiciones ambientales de una especie en ausencia de competencia. Nicho traslapado: Es el nicho compartido por dos o m´as especies en la que tambi´en se puede compartir el recurso alimenticio y la tolerancia de las condiciones ecol´ogicas. Ninfa: Es el estado inmaduro que le sigue al estado larval y es previo al estado adulto en los artr´opodos, especialmente en los insectos. Nivel tr´ ofico: Posici´on en la cadena alimenticia determiDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

nado por el n´ umero de grados de transferencia de energ´ıa a ese nivel. Es el nivel alimentario con respecto a la fuente primaria de energ´ıa. Las plantas verdes son el primer nivel tr´ofico, consumidores primarios en el segundo, los consumidores secundarios en el tercer y as´ı sucesivamente. No linealidad: Es la dependencia de los coeficientes de interacci´on en la densidad de poblaci´on. N´ umero cr´ıtico: Es el n´ umero m´ınimo de individuos de una especie dada que se requiere para mantener la poblaci´on saludable y viable. Si una poblaci´on cae por debajo de su n´ umero cr´ıtico casi que con certeza se extinguir´a. N´ umero Reproductivo B´ asico R0 : Se ilustra este concepto con el modelo matem´atico que presenta las siguientes caracter´ısticas: Se construye un modelo matem´atico de dos procesos estoc´ asticos cont´ınuos no lineales con estados discretos acoplados e intensidades de flujos de Poisson, mediante un modelo determin´ıstico para las magnitudes promedio. Se introducen funciones generales denso - dependientes, es decir, una funci´on que depende de la poblaci´on humana infectada y una funci´on que depende de la poblaci´on de mosquitos portadores del virus, correspondientes a la fuerza de infecci´on del dengue y la fuerza del virus en el mosquito. Tambi´en se considera la funci´on de capacidad de carga de los criaderos. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

Se considera la fase acu´atica en la din´amica del mosquito, al introducir la ecuaci´on diferencial para la poblaci´on de estad´ıos inmaduros (huevos, larvas, pupas). Ademas, el modelo de dimensi´on finita para el estado end´emico de la enfermedad, tiene las siguientes consideraciones: 1. La poblaci´on humana tiene tama˜ no constante (N) con tasa de nacimiento constante (µ) igual a su tasa de mortalidad natural (µ) la cual no considera ning´ un otro par´ametro demogr´afico como emigraci´on, inmigraci´on o mortalidad por la enfermedad. 2. En el modelo los t´erminos importantes corresponden a las incidencias en la poblaci´on humana y la poblaci´on del mosquito, as´ı como la funci´on de saturaci´on del estad´ıo inmaduro. Estos t´erminos se representan en la y a i forma αψ1 ( m m )x, βψ2 ( N )ms y ψ3 ( I ) respectivamente, donde ψ1 y ψ2 son funciones sigmoides que corresponden a t´erminos de transferencia en sentido epidemiol´ogico, tambi´en conocidas como Fuerzas de Infecci´ on y ψ3 es una funci´on antisigmoide. Ademas: + x: N´ umero promedio de personas susceptibles en un tiempo t. + y: N´ umero promedio de personas infecciosas en un tiempo t. + z: N´ umero promedio de personas inmunes en un tiempo t. + N : N´ umero total de personas que se supone constante durante todo el proceso. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

+ ms : N´ umero promedio de mosquitos susceptibles en un tiempo t. + mi : N´ umero promedio de mosquitos portadores de virus en un tiempo t. + m = ms +mi : Poblaci´on total del mosquito maduro en un tiempo t. + a: N´ umero promedio de estad´ıos inmaduros (huevos, larvas y pupas) de la fase ac´ uatica en un tiempo t. + I: Capacidad de carga de los criaderos. + α y β Representan magnitudes inversas de la unidad de tiempo. 3. El modelo se formula mediante un sistema de seis ecuaciones diferenciales ordinarias; las tres primeras corresponden a la din´amica en la poblaci´on humana y las restantes corresponden fundamentalmente a la din´amica poblacional del mosquito. Teniendo en cuenta la consideraci´on 1 (x + y + z = N ), el modelo se reduce a un sistema de orden cinco, el cual se desacopla en un subsistema de orden tres y otro de orden dos. 4. Otras consideraciones del modelo son que la din´amica de la poblaci´on humana es tipo SIR (susceptible, infeccioso e inmune) con la inmunidad espec´ıfica a uno de los serotipos de virus del dengue. Tambi´en se considera que la poblaci´on del vector A. aegypti es variable y se divide en mosquitos maduros (susceptibles y portadores del virus) de la fase a´erea y un estad´ıo inmaduro de la fase ac´ uatica (huevos, larvas y pupas). Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´Ĺa A.

No se considera transmisi´on vertical (transovarica) del virus a la progenie. Los dem´as par´ametros del modelo, todos positivos, son: + Âľ: Tasa de nacimiento y muerte natural en los humanos. + θ: Tasa de recuperaci´on de las personas infecciosas. + Ď&#x2020;: N´ umero de huevos por mosquito por d´Ĺa. + : Tasa de mortalidad natural de los mosquitos maduros susceptibles e infecciosos. + Ď&#x20AC;: Tasa de mortalidad natural de los estad´Ĺos inmaduros (huevos, larvas y pupas). + Ď&#x2030;: Tasa de desarrollo del estad´Ĺo inmaduro a mosquito maduro. La din´amica se representa por el diagrama de flujos: ÂľN

/

x 

Âľx

Ď&#x2030;a

m ÎąĎ&#x2C6;1 ( mi )x

/

y

]

 

Âľy

θy

/

z 

Âľz

  _ T _Y ; w 7 w _T 7 Ď&#x2020;mĎ&#x2C6;3 ( aI )  { /  ms  _ _ _/  mi  / a  ;   ( y )m7 7 βĎ&#x2C6; Y_ { T_ w 2 N s T_ w 

ms



mi



(Ď&#x20AC; + Ď&#x2030;)a

Diccionario Cient´Ĺfico de Biomatem´ aticas


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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´Ĺa A.

Diagrama 10.: Din´amica de transmisi´on e incidencia de dengue. Las ecuaciones diferenciales no lineales que describen esta din´amica son: dx mi = ÂľN â&#x2C6;&#x2019; ÎąĎ&#x2C6;1 ( )x â&#x2C6;&#x2019; Âľx dt m

(1)

mi dy = ÎąĎ&#x2C6;1 ( )x â&#x2C6;&#x2019; (Âľ + θ)y dt m

(2)

dz = θy â&#x2C6;&#x2019; Âľz dt

(3)

dms y = Ď&#x2030;a â&#x2C6;&#x2019; βĎ&#x2C6;2 ( )ms â&#x2C6;&#x2019; ms dt N

(4)

dmi y = βĎ&#x2C6;2 ( )ms â&#x2C6;&#x2019; mi dt N

(5)

da a = Ď&#x2020;mĎ&#x2C6;3 ( ) â&#x2C6;&#x2019; (Ď&#x20AC; + Ď&#x2030;)a (6) dt I donde Ď&#x2C6;i i=1,2 son funciones sigmoides y Ď&#x2C6;3 es antisigmoide las cuales son continuas y satisfacen las condiciones: + Ď&#x2C6;i [R] â&#x160;&#x201A;]0, 1[, i=1,2,3. + +

l´Ĺm Ď&#x2C6;i (x) = 0,

xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

l´Ĺm Ď&#x2C6;3 (x) = 1,

xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

l´Ĺm Ď&#x2C6;i (x) = 1 para i=1,2.

xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

l´Ĺm Ď&#x2C6;3 (x) = 0.

xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

+ Ď&#x2C6;3 decreciente. + Ď&#x2C6;1 y Ď&#x2C6;2 crecientes. Diccionario Cient´Ĺfico de Biomatem´ aticas


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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´Ĺa A.

El modelo se reduce teniendo en cuenta que z = N â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; y al siguiente sistema: dx mi = ÂľN â&#x2C6;&#x2019; ÎąĎ&#x2C6;1 ( )x â&#x2C6;&#x2019; Âľx dt m

(7)

dy mi = ÎąĎ&#x2C6;1 ( )x â&#x2C6;&#x2019; (Âľ + θ)y dt m

(8)

y dms = Ď&#x2030;a â&#x2C6;&#x2019; βĎ&#x2C6;2 ( )ms â&#x2C6;&#x2019; ms dt N

(9)

dmi y = βĎ&#x2C6;2 ( )ms â&#x2C6;&#x2019; mi dt N

(10)

da a = Ď&#x2020;mĎ&#x2C6;3 ( ) â&#x2C6;&#x2019; (Ď&#x20AC; + Ď&#x2030;)a dt I

(11)

Se desacopla el sistema teniendo en cuenta que m(t) = ms (t) + mi (t) y sumando las ecuaciones (9) y (10), el sistema anterior se desacopla en los dos siguientes subsistemas A y B, respectivamente:  mi dx   dt = ÂľN â&#x2C6;&#x2019; ÎąĎ&#x2C6;1 ( m )x â&#x2C6;&#x2019; Âľx      mi (A) dy dt = ÎąĎ&#x2C6;1 ( m )x â&#x2C6;&#x2019; (Âľ + θ)y        dmi y dt = βĎ&#x2C6;2 ( N )(m â&#x2C6;&#x2019; mi ) â&#x2C6;&#x2019; mi

(B)

 dm   dt = Ď&#x2030;a â&#x2C6;&#x2019; m   da dt

=

Ď&#x2020;mĎ&#x2C6;3 ( aI )

(12)

(13) â&#x2C6;&#x2019; (Ď&#x20AC; + Ď&#x2030;)a

Diccionario Cient´Ĺfico de Biomatem´ aticas


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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´Ĺa A.

Supondremos que las condiciones iniciales pertenecen a la regi´on ÎŁ del espacio de fase que tiene sentido biol´ogico. Es decir, ÎŁ={(x,y,mi ,m,a):xâ&#x2030;Ľ0,yâ&#x2030;Ľ0,mi â&#x2030;Ľ0,mâ&#x2030;Ľ0,mi â&#x2030;¤m,0â&#x2030;¤aâ&#x2030;¤I}

Tambi´en definimos la regi´on de sentido biol´ogico para el subsistema B como ÎŁB = {(m, a) : m â&#x2030;Ľ 0, 0 â&#x2030;¤ a â&#x2030;¤ I}

ÂľN

_Y < Y { _ ; ÎąĎ&#x2C6;1 ( mi ) |  _ _ _ _m _ _/ y   ; x  < Y_ {Z Y_ | 8 ;   Âľx Âľy = @ C w _T 7  /  m  y βĎ&#x2C6;2 ( N )(m â&#x2C6;&#x2019; mi ) 7 i  T_ w /

Ď&#x2030;a

/

m 

m

Ď&#x2020;mĎ&#x2C6;3 ( aI )

/

a 

(Ď&#x20AC; + Ď&#x2030;)a

Diccionario Cient´Ĺfico de Biomatem´ aticas

/ θy

/ mi


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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´Ĺa A.

Diagrama 11.: Din´amica desacoplada. Se deduce de las ecuaciones del modelo, el umbral adimensional: Ë&#x2020; ιβ Ë&#x2020; 0 (YË&#x2020; ) X R0 = Ď&#x2C6;10 (Z)Ď&#x2C6; (14) 2 (θ + Âľ) N donde, X = x, Y =

y N,

Z=

mi m Ë&#x2020; .

El n´ umero R0 se denomina N´ umero Reproductivo B´ asico que indica el n´ umero promedio de casos secundarios que un individuo infectado produce durante su per´Ĺodo de infecci´on en una poblaci´on totalmente susceptible. El n´ umero de personas infectadas producidas por un mosquito portador del virus durante su per´Ĺodo infeccioso en una poblaci´on de personas susceptibles est´a dada por Ë&#x2020; Îą 0 Ë&#x2020; X Ď&#x2C6;1 (Z)  N An´alogamente, el n´ umero de mosquitos infectados producidos por una persona infectada durante su per´Ĺodo infeccioso en una poblaci´on de mosquitos susceptibles es β Ď&#x2C6; 0 (YË&#x2020; ) θ+Âľ 2 â&#x2C6;&#x161; La media geom´etrica de estas cantidades, R0 , representa el n´ umero promed´Ĺo de infecciones secundarias producidas por una sola persona infectada o mosquito portadorâ&#x2C6;&#x161;del virus durante su per´Ĺodo infeccioso. Al n´ umero RË&#x153;0 = R0 , se le llama N´ umero Reproductivo B´ asico de la Enfermedad. Diccionario Cient´Ĺfico de Biomatem´ aticas


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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

Figura 28: Din´amica de los umbrales RM y R0 .

En t´erminos matem´ aticos, se define R0 como el radio espectral de un cierto operador lineal L1 (Ω), donde Ω es el espacio heterogeneo de estados. Nutriente: Cualquier sustancia requerida por los organismos para el crecimiento normal y mantenimiento. En las plantas, es un elemento esencial en un ion particular o mol´ecula que puede ser absorbido y usado por la planta. Por ejemplo: Carbono, Hidr´ogeno, Nitr´ogeno y F´osforo, entre otros, son elementos esenciales. Di´oxido de Carbono, Agua, Nitrato y Fosfatos son nutrientes. En animales, mol´eculas como las prote´ınas, vitaminas y minerales que son requeridas para crecer, mantenerse y reestablecer el cuerpo y solo mol´eculas tales como hidratos de carbono que son requeridas para la producci´on de energ´ıa.

Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

O Omn´ıvoro: Es el organismo cuya dieta es amplia, que incluye tanto comida animal como vegetal. Organismo que se alimenta de m´as de un nivel tr´ofico. Omnivor´ıa: En el sentido del an´alisis de la cadena alimenticia, es la alimentaci´on que se lleva a cabo en m´as de un nivel tr´ofico. Operador lineal: Sea T : X −→ Y . Decimos que T es un operador lineal si T (x + y) = T (x) + T (y) para todo x, y ∈ X T (λx) = λT (x) para todo x ∈ X, para todo escalar λ donde X, Y son dos espacios normados sobre el mismo cuerpo de escalares. ´ Orbita peri´ odica: Una orbita Or(x0 ) que inicia en x0 es un subconjunto ordenado del espacio de estados X: Or(x0 ) = {x ∈ X : x = ϕt x0 , t ∈ T } Es el conjunto de puntos que definen la evoluci´on de un sistema en el espacio de estados apartir de un estado inicial x0 . Org´ anico: Todo componente qu´ımico o mol´ecula natural o sint´etica que contiene ´atomos de carbono como parte integral de su estructura. Comparar con Inorg´anico. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Organismo heterog´ enico: Organismo que puede alternar entre reproducci´on sexual y asexual. Oscilaci´ on: Es la fluctuaci´on regular a trav´es de un ciclo fijado por encima y por debajo de alg´ un valor medio. Oscilaci´ on amortiguada: Ciclo con una amplitud progresivamente peque˜ na, como en algunas poblaciones que se aproximan a su equilibrio. Osmosis: Es la difusi´on de sustancias en soluci´on acuosa a trav´es de la membrana celular. Oviposici´ on: Acto o proceso de depositar huevos (poner huevos) por parte de un organismo ov´ıparo. Oxidaci´ on: Proceso de reacci´on qu´ımica que generalmente involucra rupturas mediante la combinaci´on con el ox´ıgeno. Tanto la combusti´on como la respiraci´on celular son ejemplos de oxidaci´on. En ambos casos, la materia org´anica est´a combinada con ox´ıgeno y liberan di´oxido de carbono y agua.

P Par´ asito: Cualquier organismo ´ıntimamente asociado y metab´olicamente dependiente de otro organismo viviente (hu´esped) para la conclusi´on de su ciclo de vida, que siempre Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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es da˜ nino para el hu´esped en menor o mayor grado. Es un organismo que al alimentarse de su hu´esped le causa da˜ no, lesi´on y hasta la muerte. Par´ asito biotr´ ofico: Par´asito que crece solamente mientras su hu´esped vive. Parasitoide: Organismo con un modo de vida intermedio entre el parasitismo y la depredaci´on. Generalmente se trata de una especie himen´optera en la que la larva se alimenta del cuerpo de otro organismo vivo, ocasionando con el tiempo la muerte de su hu´esped. Cualquiera de un n´ umero de los tambi´en llamados insectos paras´ıticos cuyas larvas viven dentro y consumen a su hu´esped, usualmente otro insecto. Par´asito especializado que es usualmente fatal para su hu´esped y que adem´as puede ser considerado un depredador m´as que un par´asito cl´asico. Partenog´ enesis: Reproducci´on sin fertilizaci´on de gameto masculino, que usualmente incluye la formaci´on de huevos diploides cuyo desarrollo se inicia espont´aneamente. Pat´ ogeno: Organismo que usualmente es un microbio y que es capaz de causar enfermedad. Patogenecidad: Es la capacidad que tiene un organismo para producir enfermedad en su hu´esped. Per´ıodo incubaci´ on: Tiempo entre el contagio de un susceptible y la aparici´on de los primeros s´ıntomas.

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Periodo infeccioso: Tiempo en que el infeccioso puede transmitir la enfermedad. Permeabilidad: Capacidad que posee un material de permitir el paso a algunos l´ıquidos, compuestos o mol´eculas. Persistencia: En pesticidas, es el periodo de tiempo que estos permanecen en el suelo o en los cultivos despu´es de ser aplicados. pH (potencial de hidr´ ogeno): Es la escala de acidez o alcalinidad. Logaritmo de la concentraci´on de iones hidr´ogeno. Pir´ amide de energ´ıa: Es el concepto referido a que el flujo de energ´ıa a trav´es de un enlace o uni´on dada en la cadena alimenticia decrece progresivamente a niveles tr´oficos m´as altos. Plancton: Plantas acu´aticas flotadoras microsc´opicas (fitoplancton) y animales (zooplancton). Plano de fase: Un plano cuyos ejes son la abundancia de dos poblaciones que interact´ uan. Poblaci´ on: Todos los individuos de una o m´as especies que viven dentro de un ´area prescrita. Grupo de organismos de una especie que ocupan un ´area definida y que normalmente est´an aislados, hasta cierto grado, de otros grupos similares.

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Figura 29: Plano de fase din´amica Lotka - Volterra y FitzHugh - Nagumo. Poligamia: Es un sistema de aparejamiento en el cual un macho tiene m´as de una hembra al mismo tiempo (poliginia) o una hembra con m´as de un macho (poliandria). Comparar con Monogamia. Polinomio caracter´ıstico: Dada la ecuaci´on diferencial lineal de coeficientes reales constantes a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an y = 0 donde a0 , a1 , a2 , ..., an son constantes, a0 > 0. El polinomio caracter´ıstico es: P (λ) = a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an y la ecuaci´on caracter´ıstica P (λ) = 0. Pool g´ enico: Suma total de todos los genes que existen entre todos los individuos de una especie.

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Potencial osm´ otico: Es la atracci´on del agua a una soluci´on acuosa debido a la concentraci´on de iones y otras mol´eculas peque˜ nas, expresada usualmente como una presi´on. Portador: Individuo sano (sin s´ıntomas) que portan el agente pat´ogeno y lo pueden transmitir. Organismo que transporta una enfermedad o un agente infeccioso sin mostrar los s´ıntomas t´ıpicos y que es capaz de transmitir la infecci´on a otro individuo. Predador: Es un animal (pocas veces lo es una planta) que mata y come otros animales. Presa: En una asociaci´on alimenticia, el animal que es eliminado y comido por otro. Prevalencia: N´ umero de casos presentes en la poblaci´on en un instante determinado. Principio de exclusi´ on competitiva: Hip´otesis fundamentada en el hecho de que dos o m´as especies no pueden coexistir con un u ´nico recurso que es relativamente escaso para demandarlo. Es la hip´otesis basada en consideraciones te´oricas y experimentos de laboratorio que dos o m´as especies no pueden coexistir ni usar el mismo recurso que es escaso para su demanda. Principio de Invarianza de Lasalle: Sea Ω ⊂ D un conjunto compacto que es invariante positivo con respecto al sistema dx as, V : D −→ R una funci´on dt = f (x). Adem´

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continuamente diferenciable tal que V˙ (x) ≤ 0 en Ω, E el conjunto de todos los puntos de Ω donde V˙ (x) = 0 y sea M el mayor conjunto invariante en E. Entonces toda soluci´on que comienza en Ω tiende a M cuando t −→ ∞. Principio del M´ aximo de Pontryagin: Una condici´ on necesaria de optimalidad. En 1956 L. S. Pontryagin introdujo un criterio para encontrar controles optimales, llamado Principio del M´ aximo y que afirma lo siguiente: Supongamos que: Existen u1 (·) ∈ Γ tales que x(t1 ) ∈ M existe u01 (·) ∈ Γ tal que J(u01 ) = m´ın J(u1 ) u1 (·)∈Γ

Si u01 (t) es un control ´optimo (hace m´ınimo a J(u1 )), entonces existe un par {λ0 ≥ 0, ρ(·)} no trivial tal que Condici´on de m´aximo: m´ax

u1 ∈Ω

H(ρ(t), x0 (t), u1 ) = H(ρ(t), x0 (t), u01 )

es decir, la funci´on de Pontryagin alcanza un m´aximo con respecto al control ´optimal casi para todo t ∈ [0, t1 ]. Condici´on hde transversalidad: i 1 )) El vector ρ(t1 ) + λ0 ∂ϕ0 (x(t es ortogonal a la variedad ∂x suave M en el punto x(t1 ). Condici´on de estacionariedad: H = H(ρ(t), x0 (t), u01 (t)) = 0 Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Probabilidad de transmisi´ on: Es la probabilidad de

Figura 30: Lev S. Pontryagin (1908 - 1988) [36]. adquirir un agente pat´ogeno. Problema de Cauchy: En forma matricial:   f (x, y) d X X = AX =  dt g(x, y) donde X = (x, y)T y vector de condiciones iniciales X(0) = (x0 , y0 )T . Problema de contorno: Un sistema de ecuaciones diferenciales formado por un subsistema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales acoplado a otro subsistema de ecuaciones diferenciales con condiciones de frontera. Proceso de Markov: Es un proceso estoc´astico en donde Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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el estado futuro de un sistema depende solamente de su estado presente. Producci´ on neta: Es la energ´ıa total o nutrientes acumulados por el organismo debido al crecimiento y reproducci´on. Es la producci´on bruta menos la respiraci´on. Proceso de Poisson en Epidemiolog´ıa: En la teor´ıa matem´atica de epidemias muchos eventos de vida son la transici´on de un estado susceptible (S) a un estado latente (E), de un estado latente a un estado infeccioso (I) y de un estado infeccioso a un estado de remoci´on (R), cada uno con una cierta probabilidad de ocurrencia, la cual no depende de cuanto tiempo ha persistido en el estado inicial, esta din´amica se llama Proceso de Poisson. En este proceso se supone que la probabilidad de transici´on entre t y t + ∆t es igual a φ∆t, es decir, P {Transici´on entre t y

t + ∆t} = φ∆t

donde, φ = θ + µ, es la suma de las tasas de transici´on (θ, µ) como se muestra en los diagramas 12 y 13. Con esta consideraci´on la probabilidad de que una persona permanezca en el estado latente en un tiempo t es, P (t) = e−φt Para calcular la duraci´on promedio del estado de latencia (periodo latente) utilizamos los conceptos de distribuci´on y densidad de probabilidad de una variable aleatoria. La Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´Ĺa A.

Figura 31: Simon Denis Poisson (1781 - 1840) [33]. distribuci´on de probabilidades de acuerdo a la probabilidad P (t) se define as´Ĺ: F (t) = 1 â&#x2C6;&#x2019; eâ&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2020;t

ÎąR

~

â&#x2C6;&#x2020;

/ S 

ÂľS

βSI

/ E 

ÂľE

θE

/ I

ÎłI

/ R



ÂľI



ÂľR

Diagrama 12: Din´amica SEIRS con una ruta de transmisi´on. Diccionario Cient´Ĺfico de Biomatem´ aticas


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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´Ĺa A.

ÎąR

â&#x2C6;&#x2020;

/ S 

| T

ÂľS

βSI

/ E

/ I

θE

ÎłI

 

ÂľE

δI

(Âľ + Îť)I

/ R 

ÂľR



C 

( + Ď&#x201E; )C Diagrama 13.: Din´amica SEIRS (c´olera) con dos rutas de transmisi´on. y la funci´on de densidad es: f (t) =

dF = Ď&#x2020;eâ&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2020;t dt

El tiempo promedio o valor esperado de una persona en el estado E se define por, Z â&#x2C6;&#x17E; 1 1 E[E] = t(Ď&#x2020;eâ&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2020;t )dt = = Ď&#x2020; θ+Âľ 0 Se concluyen los siguientes resultados: Si la transici´on de un estado latente (E) a un estado infeccioso (I) es un proceso de Poisson con tasas de Diccionario Cient´Ĺfico de Biomatem´ aticas


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transici´on θ y µ, entonces la duraci´on promedio del estado latente es, E[E] =

1 θ+µ

Si la transici´on de un estado infeccioso (I) a un estado de remoci´on (R) es un proceso de Poisson con tasas de transici´on µ, λ y δ, entonces la duraci´on promedio del estado infeccioso es, E[I] =

1 µ+λ+δ

Producto interno: Sea V un espacio vectorial. Un producto interno en V es una funci´on h·i : V x V −→ R que satisface: hx, xi ≥ 0 para todo x ∈ V hx, xi = 0 si y s´olo si x = 0 hx, yi = hy, xi para todo x, y ∈ V hαx, yi = αhx, yi para todo x, y ∈ V , α ∈ R hx + y, zi = hx, zi + hy, zi para todo x, y, z ∈ V Productor primario: Son todas las plantas que asimilan la energ´ıa solar para fotosintetizar los compuestos org´anicos. Aquellos organismos, generalmente plantas verdes que en un ecosistema usan la energ´ıa solar para elaborar sus constituyentes org´anicos a partir de componentes inorg´anicos. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Promedio muestral (¯ x) : Es la suma del n´ umero de individuos de cada unidad muestral dividido por el n´ umero de unidades de muestreo, es decir, Pn xi x1 + x2 + x3 + · · · + xn x ¯= = i=1 n n Punto fijo: Sea T : X −→ X una aplicaci´on en un conjunto X. Se dice que x ∈ X es un punto fijo de T si T (x) = x. Pupa: Es el estado de transici´on entre larva y adulto en insectos con desarrollo indirecto (metamorfosis completa).

Q Quimiostato: Vaso, vasija o recipiente que contiene un cultivo con un flujo constante de un medio nutritivo.

R Radio de acumulaci´ on de biomasa: Es el radio del peso de la producci´on anual. Rango de una matriz: El rango de una matriz A se puede definir de tres formas equivalentes:

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Es el n´ umero de columnas linealmente independientes de A Es el n´ umero de filas linealmente independientes de A Es el maximo orden de los menores de A con determinante no nulo. Recurso: Es el producto requerido por un organismo para el mantenimiento normal, crecimiento y reproducci´on. Si el recurso es relativamente escaso, se refiere a ´el como un recurso limitado. Recursos naturales: Aplicado a los ecosistemas naturales y especies, este t´ermino indica que de tales recursos se espera tengan un valor econ´omico y puedan ser explotados. Igualmente este t´ermino se aplica a segmentos particulares de ecosistemas tales como el aire, el agua, la luz solar y los minerales. Recurso renovable: Estos son recursos que son producidos a una tasa que puede ser parcialmente determinada por su utilizaci´on. Como ejemplo de este, es el alimento. Recurso no renovable: Tal como el espacio, es todo producto que se presenta en cantidades fijas y puede ser completamente utilizado. Refuerzo: Adici´on de nuevos individuos a una poblaci´on mediante la reproducci´on. T´ermino que a menudo est´a restringido solo para referirse a la adici´on por procreaci´on de individuos. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Regulador: Es aquel organismo que mantiene un ambiente interno diferente a las condiciones externas del momento. Reinfecci´ on: Reaparici´on de la infecci´on por el mismo germen habitualmente, una vez que se ha comprobado previamente su erradicaci´on. Relaci´ on de sexo: Es la relaci´on del n´ umero de individuos de un sexo con los individuos del sexo opuesto en una poblaci´on. Relaci´ on presa - depredador: Es una relaci´on alimenticia entre dos clases de animales. El depredador es el animal que se alimenta de la presa. Tales relaciones son frecuentemente instrumentos par controlar poblaciones de herb´ıvoros. Algunas veces tambi´en se usa para referirse a la asociaci´on planta - herb´ıvoro. Relajaci´ on: P´erdida de la diversidad de especies con el concomitante aislamiento del h´abitat. Removido: Individuo que sale de la interacci´on susceptible - infeccioso ya sea por inmunizaci´on, aislamiento o por muerte. Reproducci´ on asexual: Tipo de reproducci´on en donde toda la descendencia tiene copias gen´eticas exactas a la de los padres.

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Reproducci´ on sexual: Reproducci´on que involucra segregaci´on y recombinaci´on de cromosomas tal que la descendencia tenga alguna combinaci´on de rasgos gen´eticos de los padres. Comparar con Reproducci´on asexual. Resistencia cruzada: Resistencia o inmunidad a un organismo enfermo que resulta de la infecci´on por otro, usualmente en organismos estrechamente relacionados. Respiraci´ on celular: Proceso qu´ımico que ocurre en todas las c´elulas vivientes, en donde los compuestos org´anicos son sintetizados para liberar la energ´ıa requerida en los procesos de vida. Respuesta de la selecci´ on: Respuesta en el valor fenot´ıpico medio de la prole de los individuos seleccionados y de la poblaci´on de cuyos padres fueron tomados. Respuesta funcional: Cambio en la tasa de explotaci´on de la presa por un depredador como resultado de un cambio en la densidad de presas. Ver tambi´en Respuesta num´erica. Solomon defini´o como respuesta funcional el cambio en n´ umero de presas atacadas en un periodo de tiempo fijo por un depredador al cambiar el valor de la densidad inicial de la presa. De 1959 a 1964, Holling, basado en numerosos experimentos, propuso que la respuesta funcional puede clasificarse en tres categorias:

Respuesta funcional tipo I: Observada en depredadores de filtrado. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Respuesta funcional tipo II: Correspondiente a depredadores invertebrados. Respuesta funcional tipo III: Observada en depredadores vertebrados. Respuesta num´ erica: Cambio en el tama˜ no de la poblaci´on de una especie predadora como un resultado de un cambio en la densidad de su presa. Ver tambi´en Respuesta funcional. Respuesta regulatoria: Es una respuesta r´apida, de comportamiento o fisiol´ogica reversible que un organismo realiza con el prop´osito de cambiar y adaptarse al medio. Rubeola: Enfermedad v´ırica, generalmente leve caracterizada por una erupci´on semejante a la del sarampi´on. La gravedad surge si la padece una mujer embarazada pues puede transmitirse al feto y provocar en ´el defectos cong´enitos importantes. La vacuna contra la rub´eola proporciona una inmunidad duradera, por lo que es conveniente que se vacune a todas las ni˜ nas antes de la pubertad, si no han padecido la enfermedad hasta entonces. Infecci´on vital leve que frecuentemente aparece en epidemias. El contagio es directo, y el per´ıodo de incubaci´on, de doce a veinti´ un d´ıas. La complicaci´on m´as importante se presenta cuando quien padece la infecci´on es una mujer gestante, ya que si ocurre durante el primer mes de embarazo, hay posibilidad de que se produzcan anomal´ıas fetales (cataratas, embriopat´ıas varias, cardiopat´ıas cong´enitas, etc´etera). Cerca del tercer mes de embarazo, el riesgo de anomal´ıas se reduce a menos del 10 por 100. La vacuna contra la rub´eola produce inmunidad duradera; por ello deber practicarse a todas las ni˜ nas antes de Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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la pubertad. Enfermedad infecciosa, contagiosa y epid´emica, que se caracteriza por erupciones semejantes a las del sarampi´on.

S Sarampi´ on: Enfermedad altamente contagiosa causada por un virus. Es decir, la enfermedad se disemina r´apidamente. Es causada por un virus y la infecci´on se propaga por las gotitas que salen de la nariz, la boca o la garganta de una persona infectada. Por ejemplo, con el estornudo y la tos se pueden lanzar gotitas contaminadas al aire. Los s´ıntomas generalmente se presentan de 8 a 12 d´ıas despu´es de la exposici´on al virus, lo que se denomina per´ıodo de incubaci´on. Las personas con sarampi´on cl´asicamente presentan fiebre, tos, enrojecimiento e irritaci´on de los ojos (conjuntivitis) y una erupci´on en la piel que se propaga. Aquellas personas que hayan tenido una infecci´on de sarampi´on activa o que hayan sido vacunados contra la enfermedad tienen inmunidad contra dicha infecci´on. Saturaci´ on: En relaci´on a las comunidades biol´ogicas, es el l´ımite superior del n´ umero de especies que pueden coexistir localmente as´ı como el conjunto de sus interacciones competitivas. Selecci´ on: Es la supervivencia diferencial o reproducci´on de Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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individuos en una poblaci´on debido a las diferencias fenot´ıpicas entre ellos. Selecci´ on diferencial: Es la diferencia en el valor fenot´ıpico medio de los individuos seleccionados y de la poblaci´on de la cual fueron tomados. Selecci´ on natural: Cambio en la frecuencia de los rasgos gen´eticos en una poblaci´on a trav´es de la supervivencia diferencial y la reproducci´on de individuos que llevan aquellos rasgos. Proceso natural por el cual los organismos m´as adaptados a su ambiente sobreviven y aquellos menos adaptados son eliminados. Selecci´ on sexual: Selecci´on a cargo de uno de los sexos por caracter´ısticas espec´ıficas en los individuos del sexo opuesto. Acci´on que se pone de manifiesto a trav´es del comportamiento de cortejo entre machos y hembras. Serie: Sea X un espacio normado. Una serie es un par ({xn }, {sn }) donde {xn } es una sucesi´on de elementos de X y sn = x1 + x2 + x3 + · · · + xn =

n X

xk

k=1

Serie de recambio: Es una investigaci´on experimental de competici´on entre dos especies en la que la proporci´on de las especies no es la misma mientras que la densidad es mantenida constante.

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Serie geom´ etrica: Es una serie en la que cada elemento se forma de la multiplicaci´on del elemento previo por alg´ un otro factor. Una caracterizaci´on de las abundancias relativas de las especies en la que el logaritmo de la abundancia decrece linealmente con el rango de abundancia de las especies. SIDA: (sndrome de inmunodeficiencia adquirida) es la etapa final y m´as grave de la infecci´on por VIH, la cual produce da˜ no severo al sistema inmunitario. De acuerdo con los Centros para el Control y Prevenci´on de Enfermedades, el SIDA comienza cuando una persona con infecci´on por VIH tiene un conteo de c´elulas CD4 (un tipo de c´elula inmunitaria tambi´en denominadas c´ elulas T o linfocitos T cooperadores) por debajo de 200. Tambi´en se define por numerosas infecciones oportunistas y c´anceres que se presentan en presencia de la infecci´on por VIH. σ−´ algebra (Σ): Es una ´algebra respecto a las uniones numerables, es decir, si {Ai }∞ i=1 ⊂ Σ entonces

S∞

i=1 Ai

∈Σ

Simbiosis: Es alg´ un tipo de asociaci´on ´ıntima a veces obligada entre dos especies. La mayor´ıa de las veces incluye coevoluci´on. Las relaciones simbi´oticas pueden ser paras´ıticas, mutuales o comensales. Simulaci´ on: Es reproducir el ambiente, las variables (rasgos, apariencia, caracter´ısticas, contexto) de un sistema real. Es imitar una situaci´on del mundo real en forma matem´atica.

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La simulaci´on constituye una t´ecnica econ´omica que nos per-

Figura 32: Simulaciones del modelo de Lotka - Volterra Depredador y Presa. mite ofrecer varios escenarios posibles de una situaci´on y nos permite equivocarnos sin provocar efectos sobre el mundo real (por ejemplo un simulador de vuelo o conducci´on). Sinantrop´ıa: Es la penetraci´on a la comunidad ecol´ogica dominada por el hombre (o biocenosis humana) coexistiendo por un largo per´ıodo de tiempo. Sistema din´ amico: Una formula matem´atica que describe la evoluci´on del estado de un sistema en el correr del tiempo. El tiempo puede ser una variable continua o discreta. Sistema de ecuaciones en diferencias no lineal: Es un sistema de la forma: xn+1 = f (xn , yn ) yn+1 = g(xn , yn )

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donde f, g son funciones no lineales. Sistema lineal de ecuaciones diferenciales: Es un sistema de la forma dx = Ax dt donde x ∈ Rn , A es una matriz n x n y  dx1  dt

dx2  dx   dt  = .  dt  ..  dxn dt

Este sistema con la condici´on inicial x(0) = x0 tiene por soluci´on: x(t) = x0 eAt donde eAt =

∞ X Ak t k k=0

k!

Sistema aut´ onomo de ecuaciones diferenciales: En ´este caso el sistema es dx = f (x) dt donde f : E ⊂ Rn −→ Rn y f no depende de t. Sistema no aut´ onomo de ecuaciones diferenciales: Sistema de la forma dx = f (x, t) dt Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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donde f : E ⊂ Rn −→ Rn y f puede depender de la variable independiente t. Sistema matricial: El sistema lineal cl´asico de m ecuaciones y n inc´ognitas

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1

(15)

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2

(16)

a31 x1 + a32 x2 + · · · + a3n xn = b3

(17)

−−−−−−−−−−−−−

(18)

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm

(19)

se puede escribir en forma compacta como Ax = b donde A = (aij ) ∈ Mnxn es la matriz de coeficientes del sistema. x = (x1 , x2 , ..., xn )T es el vector de inc´ognitas. b = (b1 , b2 , ..., bm )T es el vector de t´erminos independientes. Un sistema matricial Ax = b se denomina homog´eneo, cuando b = 0 incompatible, cuando no tiene ninguna soluci´on compatible determinado, cuando tiene una u ´nica soluci´on Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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compatible indeterminado, cuando tiene m´as de una soluci´on Sistem´ atica: Es la clasificaci´on de los organismos en un grupo jer´arquico de categor´ıas (tax´on) que enfatiza sus interrelaciones evolutivas. Sobrevivencia: Ver supervivencia. Sociobiolog´ıa: Estudio de las bases biol´ogicas del comportamiento social. Sucesi´ on: Sea (X, d) un espacio m´etrico. Una sucesi´on en (X, d) es una funci´on de N en X. Sucesi´ on de Fibonacci {an }: Est´a definida por a1 = a2 = 1, an = an−1 + an−2 Esta sucesi´on fu´e descubierta por Fibonacci (1175 - 1250 apr´ox.) en relaci´on con un problema de conejos. Sucesi´ on (natural o ecol´ ogica): Es la renovaci´on de las poblaciones en un h´ abitat a trav´es de una progresi´on regular hacia un estado estable. Es el cambio gradual o algunas veces r´apido en las especies que ocupan un ´area dada, con algunas especies que invaden y llegan a ser m´as numerosas mientras otras declinan en poblaci´on y desaparecen. Sucesi´on causada por un cambio en uno o m´as factores abi´oticos o bi´oticos que benefician a algunas especies pero que lo hacen a expensas de otras.

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Sucesi´ on primaria: Es la estabilizaci´on gradual a trav´es de una serie de estados de un ecosistema maduro en un ´area que no ha sido antes ocupada. Sucesi´ on secundaria: Es el reestablecimiento a trav´es de una serie de estados de un ecosistema maduro en un ´area desde la cual fue previamente limpiada. Superparasitismo: Ocurrencia de m´as de un individuo de una especie Parasitoide en particular por hu´esped. Supervivencia: Proporci´on de individuos reci´en nacidos en edad. Tambi´en llamada sobrevivencia. Proporci´on de individuos en un grupo espec´ıfico al inicio de un intervalo que sobrevive hasta el final del periodo. Susceptibilidad: Capacidad de un organismo de responder a un est´ımulo. Irritabilidad, Sensibilidad. Susceptible: Personas que pueden adquirir la enfermedad.

T Tabla de vida din´ amica: Sobrevivencia y fecundidad espec´ıfica por edad de una cohorte de individuos en una poblaci´on seguida entre el nacimiento y la muerte del u ´ltimo individuo. Comparar con, Tabla de vida de la cohorte. Tama˜ no de la poblaci´ on efectiva: El tama˜ no promedio de una poblaci´on expresado en t´erminos del n´ umero de Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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individuos asumidos para proporcionar genes de igual forma a la siguiente generaci´on, generalmente m´as peque˜ no que el tama˜ no actual de la poblaci´on, dependiendo de la variaci´on en el ´exito reproductivo entre individuos. Es un compendio por edad de la sobrevivencia y fecundidad de los individuos en una poblaci´on. Tabulaci´on que presenta datos completos sobre el registro de mortalidad en una poblaci´on. Tabla de vida espec´ıfica del tiempo: Ver tabla de vida est´atica. Tabla de vida est´ atica: Es la supervivencia espec´ıfica de la edad y fecundidad de los individuos de diferentes edades dentro de una poblaci´on en un tiempo dado. Tabla de vida de tiempo espec´ıfico. Tasa de contacto: Es el promedio de contactos efectivos por unidad de tiempo. Tasa de incremento exponencial: Tasa a la cual una poblaci´on crece en un periodo particular expresado en un incremento proporcional por unidad de tiempo. Tasa de incremento geom´ etrico: Factor por el cual el tama˜ no de una poblaci´on cambiar en un periodo de tiempo espec´ıfico. Comparar con Tasa de crecimiento exponencial. Tasa de incremento intr´ınseco: Tasa de crecimiento exponencial de una poblaci´on con una distribuci´on de edad estable bajo condiciones constantes.

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Tasa de incremento geom´ etrico: Factor por el cual el tama˜ no de una poblaci´on cambia en un periodo espec´ıfico de tiempo. Comparar con Tasa de incremento exponencial. Tasa de muerte: Porcentage de nuevos nacidos que mueren durante un intervalo de tiempo. Comparar con Mortalidad. Tasa de nacimiento: N´ umero promedio de nacimientos que un individuo produce por unidad de tiempo, a menudo expresado como una funci´on de la edad. Tasa neta de muerte: Nmero ´ de muertes por cada mil individuos por a˜ no. Tasa neta de nacimiento: N´ umero de nacimientos por cada mil individuos por a˜ no. Tasa per capita de crecimiento de poblaci´ on: Tasa de crecimiento de poblaci´on por individuo, usada por especies que se traslapan, lo que es propio de generaciones no discretas. Tasa reproductiva: Tasa a la cual la descendencia, huevos o semillas se produce. Tasa reproductiva neta: Es el n´ umero esperado de progenie de una hembra durante su tiempo de vida. Temperatura cr´ıtica baja: Temperatura ambiente bajo

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la cual los animales de sangre caliente deben generar calor para mantener su temperatura corporal. Teor´ıa: Formulaci´on conceptual que proporciona una explicaci´on racional o sistema para observaciones relacionadas por n´ umeros. Teor´ıa de juegos: An´alisis de los resultados de las interacciones sociales entre individuos con diferentes programas de comportamiento. Tiempo de generaci´ on: Edad promedio a la que una hembra concibe a su progenie o el tiempo promedio para que una poblaci´on se incremente a causa de un factor igual a la tasa reproductiva neta. Tiempo entre el nacimiento de un padre y el nacimiento de su descendencia. Tiempo de residencia: Es la relaci´on del tama˜ no de un compartimento con el flujo a trav´es de ´el expresado en unidades de tiempo. En tanto, es el tiempo promedio de gasto de energ´ıa o de una sustancia en el compartimento. Tiempo de retardo: Es el retardo en la respuesta de una poblaci´on u otro sistema a las condiciones del medio ambiente. Retrazo en responder a un cambio. Tiempo de tr´ ansito: Es el tiempo promedio que una sustancia o energ´ıa permanece en el dominio biol´ogico o en cualquier compartimento de un sistema. Relaci´on de la biomasa con la productividad.

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Tolerancia: En referencia a sucesi´on ecol´ogica, es la indiferencia al establecimiento de una especie ante la presencia de otra. Transmisi´ on directa: Es la transferencia directa e inmediata del agente infeccioso a una puerta de entrada receptiva para que pueda llevar a cabo la infecci´on del hombre. Esto puede ocurrir al besar, al tener relaciones sexuales, por rociado de goticas en las conjutivas o en las membranas mucosas de la nariz o la boca, al estornudar, cantar, hablar, mediante mordeduras etc. Transmisi´ on horizontal: La enfermedad se contagia de un infeccioso a un susceptible en forma directa. Se realiza entre individuos de una misma o diferentes especies relacionada o no. Transmisi´ on indirecta: Ocurre cuando intervienen en ella objetos o veh´ıculos que act´ uan mec´anicamente transportando el agente a trav´es del aire o por medio de un vector. Por medio de objetos inanimados como pa˜ nuelos, vestidos, ropa de cama, instrumentos quir´ urgicos mal esterilizados, vendajes, juguetes, alimentos, agua, productos biol´ogicos, etc. Transmisi´ on vertical: Se realiza entre el individuo y su progenie bien sea durante la etapa de la vida intrauterina o en la vida perinatal. Y puede ocurrir: Cuando el virus integrado al cromosoma de las c´elulas de uno de los dos padres (c´elulas germinales) es transmitido a la descendencia Cuando el virus infecta al feto a trav´es de la sangre Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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materna y placenta Durante el nacimiento, o en la vida intrauterina temprana Transporte activo: Movimiento de iones o de otras substancias a travs de una membrana y en contra de un gradiente de concentracin para lo que se requiere de un gasto energ´etico. Trayectoria de la poblaci´ on: Es la suma de los vectores de dos poblaciones en un gr´afico retratando la abundancia de una de ellas como una funci´on de la abundancia de la otra. Es una representaci´on de los cambios simult´aneos en los tama˜ nos de dos poblaciones que usualmente interact´ uan entre s´ı. Traza de A(ˆ x, yˆ): Sea la matriz jacobiana evaluada en (ˆ x, yˆ):     a11 a12 fx (ˆ x, yˆ) fy (ˆ x, yˆ) A(ˆ x, yˆ) = = a21 a22 gx (ˆ x, yˆ) gy (ˆ x, yˆ) Se define la traza de A(ˆ x, yˆ) asi: T r.A(ˆ x, yˆ) = a11 + a22 = fx (ˆ x, yˆ) + gy (ˆ x, yˆ) Tr´ ofico: Perteneciente a alimentaci´on o nutrici´on.

U Umbral biol´ ogico: Indices que indican el cambio de comportamiento din´amico de un fen´omeno biol´ogico o epidemiol´ogico. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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V Vacuna: Producto biol´ogico utilizado para obtener inmunizaci´on activa artificial contra una enfermedad espec´ıfica. Suero que se inocula e inmuniza. Sustancia org´anica o virus convenientemente preparado que, aplicado al organismo, hace que este reaccione contra ´el preserv´andolo de sucesivos contagios. Valor fenot´ıpico: Es la medida de un rasgo fenot´ıpico particular en un organismo particular. Valor Propio: Una de las ra´ıces n de n ecuaciones lineales simult´aneas. El primer valor propio de la matriz de poblaci´on es la tasa exponencial del crecimiento de poblaci´on. Variable aleatoria (v.a.): Se dice que la funci´on X : Ω −→ R es una variable aleatoria (v.a) si la probabilidad de realizaci´on de sus posibles valores puede establecerse con ayuda de los resultados de la experiencia aleatoria en estudio cuyo espacio muestral es Ω. Se trata, en definitiva, de una funci´on que asigna un valor num´erico a cada uno de los resultados de una experiencia aleatoria. Varianza de dominancia: Variaci´on en un valor fenot´ıpico dentro de una poblaci´on debido a la expresi´on desigual de alelos en el estado heterocigoto. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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Varianza fenot´ıpica: Es una medida estad´ıstica de la variaci´on en una medida de estructura o funci´on (valor fenot´ıpico) entre individuos en una poblaci´on. Varianza gen´ etica: Es la variaci´on en el valor de un genotipo en una poblaci´on debido a la expresi´on de factores gen´eticos. Varianza gen´ etica aditiva (VA ): Variaci´on en un valor fenot´ıpico dentro de una poblaci´on debido a la diferencia en expresi´on de alelos en el estado homocigote. Varianza muestral s2x¯ : Variabilidad (dispersi´on) de los datos muestrales, se calcula mediante la expresi´on, Pn (xi − x ¯)2 2 sx¯ = i=1 n−1 donde x ¯ : es el promedio (media aritm´etica) muestral. n : n´ umero de unidades de muestreo. xi : n´ umero de individuos por cada unidad de muestreo. Vector: Portador del agente pat´ogeno que pertenece a otra poblaci´on (insectos, ratas, etc.). Organismo que porta y transmite un agente pat´ogeno. Vector propio: Columna de elementos matem´aticos que proporciona una soluci´on a una matriz de multiplicaci´on. En Biolog´ıa de poblaciones, el primer vector propio de la matriz de poblaci´on es la distribuci´on de edad estable.

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Virus: Microorganismo generalmente pat´ogeno, que s´olo puede vivir en el interior de una c´elula viva, y que u ´nicamente es visible con el microscopio electr´onico. Los virus son agentes causantes de diversas enfermedades (rube´ola, herpes, sarampi´on, hepatitis, etc) y m´as resistentes a los tratamientos que las bacterias. VIH: El virus de la inmunodeficiencia humana (VIH) causa el SIDA. Este virus ataca al sistema inmunitario y deja al organismo vulnerable a una gran variedad de infecciones y c´anceres potencialmente mortales. Las bacterias comunes, los hongos levaduriformes, los par´asitos y los virus que generalmente no provocan enfermedades serias en personas con un sistema inmunitario que funciona normalmente pueden provocar enfermedades mortales en las personas con SIDA. Se ha encontrado el VIH en saliva, l´agrimas, tejido del sistema nervioso, l´ıquido cefalorraqu´ıdeo, sangre, semen (incluido el l´ıquido preseminal), flujo vaginal y leche materna. Sin embargo, s´olo a trav´es de la sangre, el semen, las secreciones vaginales y la leche materna se presenta el contagio con otras personas. La transmisi´on del virus ocurre a trav´es del contacto sexual, ya sea oral, vaginal o anal. Por v´ıa sangu´ınea, mediante transfusiones (en la actualidad muy poco com´ un) o al compartir agujas. De la madre al ni˜ no. Una mujer embarazada puede transmitir el virus a su feto a trav´es del hecho de compartir la circulaci´on de la sangre o una madre lactante puede transmitirlo a su beb´e por la leche. Hay otros m´etodos de transmisi´on poco comunes como una lesi´on accidental con

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Figura 33: Virus de Inmunodeficiencia Humana (VIH). una aguja, inseminaci´on artificial por un semen donado y a trav´es de trasplantes de ´organos. La infecci´on por VIH no se propaga por contacto casual como un abrazo, por tocar cosas que han sido tocadas con anterioridad por una persona infectada con el virus, ni durante la participaci´on en deportes ni por mosquitos. No se transmite a las personas que DONAN sangre u ´organos. Las personas que donan ´organos no entran en contacto directo con los que la reciben. De la misma manera, alguien que dona sangre no tiene contacto con el que la recibe. En todos estos procedimientos se utilizan agujas e instrumentos est´eriles. Sin embargo, el VIH se puede transmitir a la persona que recibe sangre u ´organos de un donante infectado. Es por esto que los bancos de sangre y Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas


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los programas de donaci´on de ´organos hacen ex´amenes minuciosos a los donantes, la sangre y los tejidos. Viscosidad: Cualidad de un flu´ıdo que resiste el flujo interno.

W Wolfram: Nombre del volframio en la nomenclatura internacional.

X Xer´ ofilo-la: Se aplica a las plantas que se adaptan a la vida en un medio seco. Xerosis: Estado de sequedad de un ´organo o estructura corporal. Xilologia: Ciencia que estudia las propiedades f´ısicas y qu´ımicas de la madera.

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Yb: En la qu´ıimica es el simbolo del iterbio. Yedra: Hiedra, planta. Yodato: Sal del ´acido y´odico.

Z Zigoto: Cigoto, huevo fecundado. Zoolog´ıa: Parte de la biolog´ıa que estudia los animales. Zoometr´ıa: Estudio de las dimensiones de los animales. Zoonosis: Designaci´on gen´erica de cualquier enfermedad infecciosa que los animales, especialmente los dom´esticos, pueden transmitir al hombre.

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