1. Sistemas de ecuaciones lineales
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.:Definición 1.2 Un sistema general de m × n ecuaciones lineales es una expresión de la forma: a11 x1 a21 x1 .. .
+ + .. .
a12 x2 a22 x2 .. .
+ + .. .
am1 x1
+
am2 x2
+
... ... ··· ...
+ + .. .
a1n xn a2n xn .. .
= = .. .
b1 b2 .. .
+ amn xn
=
bm
Donde x1 , x2 , ...,xn son las variables, a11 , a12 , · · · , amn , son los coeficientes de las variables y b1 , b2 , ...,bm son los términos independientes. Ya hemos resuelto algunos sistemas de ecuaciones lineales (ejemplos anteriores), pero ¿qué es una solución a un sistema de ecuaciones lineales? .:Definición 1.3 Una solución a un sistema de ecuaciones lineales con n incognitas, es un conjunto de númerosa x′1 , x′2 , . . . , x′n los cuales satisfacen simultaneamente cada una de las ecuaciones del sistema. a Éste
conjunto de números se conoce como vector solución.
La definición de solución a un sistema de ecuaciones lineales, nos dice que cuando encontramos dichos números, estos, al reemplazarse en las ecuaciones del sistema deben conservar la igualdad. Luego, para el sistema lineal general existen tres posibilidades: Que no tenga solución. Que tenga solución única. Que tenga un número infinito de soluciones. Para casos en que el tamaño del sistema sea mayor a tres, no es posible hacer la gráfica, sin embargo, se pueden hacer los mismos procesos que a los sistemas de 3 × 3 y 2 × 2.
1.3.1. Eliminación Gaussiana: Iniciemos con un ejemplo: Ejemplo 1.5 Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de tres productos diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas, estas estarán en operación 8 horas diarias, el número de horas que cada máquina es usada en la producción de una unidad de cada uno de los productos se da en la siguiente tabla:
Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3
Producto 1 Producto 2 Producto 3 1 0 2 2 1 1 1 3 1