Operaciones Aritm´ eticas en Q
75
III. Asociativa x + x u w y Si , , ∈ Q −→ x · y v z y
u v u v
+
·
w z
w z
=
=
x y
x y
·
+
u v
u v
·
+
w z
w z
IV. Existencia de elementos neutros: ∀x, y ∈ Q se verifica que 0 x x x 0 + = + = y 1 1 y y x 1 1 x x · = · = y 1 1 y y como
0 1
= 0, entonces el elemento neutro para la suma es 0
como
1 1
= 1, entonces el elemento neutro para el producto es 1
V. Existencia de inversos • ∀ xy ∈ Q existe otro elemento − xy ∈ Q tal que: x x x x = − + =0 + − y y y y − xy se llama el inverso aditivo de
x y
• ∀ xy ∈ Q, xy 6= 0 existe otro elemento
y x
∈ Q tal que:
y x x y · = · =1 y x x y y x
se llama el rec´ıproco o inverso multiplicativo de
x y
VI. Distributiva de la multiplicaci´ on respecto a la suma x u w x u x w = · + · · + y v z y v y z u v
+
w x u x w x · = · + · z y v y z y
Densidad en Q Los n´ umeros racionales tienen una propiedad importante que no poseen los sistemas hN, +, ×i y hZ, +, ×i y es la propiedad de densidad, que enunciamos de la siguiente forma Si
x u x u , ∈Q y 6= y v y v
entonces existe un n´ umero racional entre siempre existe otro n´ umero racional.
x y
y
u v,
es decir, entre dos n´ umeros racionales
En conclusi´on: el conjunto Q es un conjunto denso G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.