ANALISIS DE ESTABILIDAD SISTEMAS DISCRETOS

ESTABILIDAD

INTRODUCCIÓN Se analizará la estabilidad de un sistema de control discreto lineal e invariante en el tiempo de una entrada y una salida.

La relación entre variables de un sistema continuo a uno discreto se define por :

El límite de la estabilidad de un sistema continuo es el eje imaginario, o sea, en ζ = 0, entonces,

Por tanto, su magnitud es igual a :

Se puede concluir que un sistema discreto es estable cuando sus polos estĂĄn dentro el cĂ­rculo unitario.

CRITERIOS DE ESTABILIDAD - ECUACIÓN CARACTERÍSTICA: El análisis de estabilidad de un sistema en lazo cerrado se hace de una manera rápida encontrando las raíces de la ecuación característica que a la vez son los polos del sistema en lazo cerrado. Para la figura :

La estabilidad puede determinarse por las localizaciones de los polos de la ecuación característica, de la siguiente manera : 1. Para que el sistema sea estable, los polos en lazo cerrado deben presentarse en el plano-z dentro del círculo unitario. Cualquier polo fuera de este círculo hace el sistema inestable.

2. Si un polo simple se presenta en z =1 o si un par de polos complejos conjugados se presentan sobre el círculo unitario el sistema es críticamente estable. Cualquier polo múltiple sobre el círculo unitario hace inestable el sistema.

3. Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidad absoluta y por tanto pueden estar ubicados en cualquier parte del plano-z.

EJEMPLO 1 Demostrar que el siguiente sistema con G(s) = 10/ (s(s +10)) es estable para un a) Tiempo de muestreo de 1 seg y b) No es estable si T = 10 seg %%% evalue estabilidad para Gp=10/(s(s+10)) clc T=1 Gp=zpk([],[0 -10],10) Gz=c2d(Gp,T,'zoh') [NUM,DEN]=zp2tf([-0.1111],[1 4.54e-05],0.9) Gztf=tf(NUM,DEN,T)

Gzlc=feedback(Gztf,1) magnitud =

p=roots([1 -0.1 0.1])

0.3162 0.3162

magnitud=abs(p) angulos=angle(p)*180/pi pzmap(Gzlc)

angulos =

figure

80.9026 -80.9026

step(Gzlc) Gztf = 0.9 z + 0.09999 -----------------z^2 - z + 4.54e-05

Gzlc = 0.9 z + 0.09999 ----------------z^2 - 0.1 z + 0.1

B) %%% evalue estabilidad para Gp=10/(s(s+10)) T=10SEG clc T1=10 Gp=zpk([],[0 -10],10) Gz1=c2d(Gp,T1,'zoh') [NUM,DEN]=zp2tf([-0.0101],[0 1],9.9) Gztf1=tf(NUM,DEN,T1) Gzlc1=feedback(Gztf1,1) p1=roots([1 8.9 0.09999]) magnitud=abs(p1) angulos=angle(p1)*180/pi pzmap(Gzlc1) figure step(Gzlc1)

MÉTODOS DE ESTABILIDAD Son métodos que se utilizan para probar la estabilidad de un sistema de control sin necesidad de calcular las raíces de la ecuación característica. Los métodos más conocidos para sistemas analizados con funciones de transferencia son el Método de Jury y el Método de Routh - Hurwitz.

MÉTODO DE JURY Este método consiste en realizar una tabla en donde las filas están conformadas por coeficientes del polinomio de la ecuación característica arreglados de la siguiente forma :

Ecuación característica :

Note que el último renglón de la tabla está formado por tres elementos. (Para sistemas de segundo orden, 2n- 3 = 1 Y la tabla de Jury estará sólo formada por un renglón, que contiene tres elementos.)

Observe que los elementos en cualquier renglón par son simplemente los inversos del renglón impar inmediatamente anterior.

Criterio de estabilidad mediante la prueba de Jury. Un sistema con la ecuación característica

donde

> 0, es estable, si todas las condiciones siguientes se satisfacen:

EJEMPLO: Examine la estabilidad de la ecuación característica siguiente:

EJERCICIOS: Aplicando el mĂŠtodo de Jury determine la estabilidad de los siguientes sistemas: A) B) C) D)

(

)(

)

MÉTODO DE RUTH - HURWITZ El método requiere de la transformación de un plano-z discreto a otro plano-w continuo utilizando la transformación bilineal :

entonces G(z) se convierte en G(w) y se aplica este método como si fuera un sistema continuo.

Si se tiene directamente la ecuación característica del sistema en lazo cerrado se prefiere el reemplazo :

Para un sistema de orden 4 el arreglo de Ruth es :

Los coeficientes del arreglo se calculan de la siguiente forma :

Casos especiales : 1. Si antes de completar la tabla, el primer elemento de cualquier renglón es cero, pero no los demás, se reemplaza el cero por una constante arbitrariamente pequeña epsilo ε y se continua con el arreglo de Routh.

2. Si antes de completar la tabla todos los elementos de un renglón son ceros, se forma una ecuación auxiliar con los elementos del renglón anterior como coeficientes y se halla su derivada. Los coeficientes de esta derivada son os nuevos elementos del arreglo que se remplaza por el renglón de ceros y se continua con la construcción del arreglo.

Prueba de estabilidad de Routh-Hurwitz : El número de raíces con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo.

EJEMPLO: Aplicar el método de Routh – Hurwitz para determinar la estabilidad del sistema en lazo cerrado con realimentación unitaria formado por :

EJERCICIOS