Guía de ejercicios con soluciones maximización de utilidad (1)

Microeconomía I Prof. Radek Biernacki Guía de ejercicios con soluciones

Maximización de utilidad, función de demanda y utilidad indirecta

EJERCICIO 1

Suponga un individuo cuya función de utilidad es: U ( x, y ) = x⋅ 2y . Donde x son las hamburguesas e y son los refrescos. La renta mensual de la que dispone es de 20000 pesos. Sabemos que el precio de una hamburguesa son 1500 pesos y de un refresco son 500 pesos. Calcule la cesta de mercado de hamburguesas y refrescos que € maximiza su utilidad.

Solución:

Planteamos el problema a resolver de manera formal:

x – cantidad de hamburguesas y – cantidad de refrescos Px – precio de las hamburguesas; Px=1500 Py – precio de los refrescos; Py=500 R – renta del individuo; R=21000

Por tanto tenemos que resolver el siguiente problema:

Max U ( x, y ) = x⋅ 2y s. a 21000 = 1500x + 500y

Formulamos el Lagrangiano para esta función: €

€ L = U ( x, y ) + λ(R − x⋅ Px − y⋅ Py ) = x⋅ 2y + λ(21000 −1500x − 500y ) (1)

€ Por tanto tenemos que resolver el sistema de ecuaciones compuesto por las derivadas parciales del lagrangiano respecto a cada una de las variables.

⎧ ∂L ∂U − λ ⋅ Px = UMgx − λ ⋅ Px = 0 ⎪ = ∂ x ∂ x ⎪ ⎪ ∂L ∂U ⎨ = − λ ⋅ Py = UMgy − λ ⋅ Py = 0 ⎪ ∂y ∂y ⎪ ∂L ⎪⎩ = R − x⋅ Px − y⋅ Py = 0 ∂λ

(2)

€ Calculamos las utilidades marginales.

2y ∂U

= ∂x 2 x (3)

∂U 2x UMgy = =

∂y 2 y (4) UMgx =

€

Sustituyendo(3) y (4) en (2) e igualando el λ tenemos:

€

2y 2y ⎫ UMgx − λ ⋅ Px = − λ ⋅ Px €= 0 ⇒ λ = ⎪ 2 x 2Px x ⎪ ⎬ 2x 2x ⎪ UMgy − λ ⋅ Py = − λ ⋅ Py = 0 ⇒ λ = 2 y 2Py y ⎪⎭

€ Tenemos entonces:

2Py 2y 2 = 2Px 2x 2

De donde tenemos que:

€

Py ⋅ y = Px ⋅ x ⇒

Sustituimos los precios y tenemos:

€ 1500 y= x = 3x 500

€

y=

Px ⋅ x Py

(5)

⇒

2y 2x =

2Px x 2Py y

Sustituimos esta ecuación en la tercera condición del sistema de ecuaciones (1), la restricción presupuestaria, y obtenemos:

R − x⋅ Px − y⋅ Py = 0

21000 −1500x − 500y = 0 21000 −1500x − 500⋅ ( 3x ) = 0 21000 − 3000x = 0

De donde tenemos que: €

x* = 7

y * = 3x = 21

Por tanto, la cesta de mercado que maximiza la utilidad del individuo está compuesta por 7 hamburguesas y 21 refrescos. El nivel de utilidad que obtendrá el individuo será € entonces: U(x * , y * ) = 7⋅ 2⋅ 21 ≈ 17,15

Gráficamente podemos representar esta situación: €

El punto A representa la cesta de mercado que maximiza la utilidad del individuo, en la que adquiere 7 hamburguesas y 21 refrescos. En el recuadro más pequeño se representa precisamente el punto de tangencia entre la curva de indiferencia correspondiente a un nivel de utilidad ≈ 17,15 y la restricción presupuestaria.

€

Función de demanda

Ahora bien, con la solución del ejercicio podemos calcular la cesta de mercado que maximiza la utilidad. Queremos saber ahora cómo, dada esta función de utilidad, podemos calcular la cesta de mercado dados solamente los precios de los bienes y la renta de la que dispone el individuo. Esto podemos hacer calculando las funciones de demanda de los bienes, que dependerán de los precios de los bienes y de la renta.

Sabemos por la ecuación (5) que: y = 3x

Sustituyendo en la restricción presupuestaria tenemos:

€ R = x⋅ Px + 3x⋅ Py ⇒ R = x Px + 3Py

Por tanto, despejando x tenemos:

€ xd =

(

R

Px + 3Py

)

(6)

donde x d denota la función de demanda de x.

€función de demanda de x en la ecuación 5, tenemos Si sustituimos ahora la

€ 3R

(7) yd = Px + 3Py

Para comprobar si el resultado es el mismo, sustituimos los valores de R, Px, Py, en las funciones de demanda, obteniendo: €

21000 21000 x* = = = 7 1500 + 3⋅ 500 3000

3⋅ 21000 63000 y* = = = 21 1500 + 3⋅ 500 3000 €

Por ejemplo, si con esta misma función de utilidad, la Renta de la que dispondría el individuo fuese 15000, entonces la cesta de mercado que maximizaría su utilidad estaría compuesta € por 5 hamburguesas y 15 refrescos.

Utilidad indirecta

Teniendo las funciones de demanda xd e yd, podemos ahora preguntarnos por el nivel de utilidad que puede alcanzar el individuo dependiendo de cómo sean los precios de

los bienes y la renta de la que dispone. Calcularemos la función de utilidad indirecta, es decir, la función de utilidad que depende indirectamente de las cantidades, ya que las cantidades dependen de los precios y de la renta.

Transformamos por tanto: U ( x, y ) →U ( x d , y d ) = U R,Px ,Py

(

)

Sustituyendo en la función de utilidad las ecuaciones (6) y (7) por tanto tenemos:

€

R 3R 6R 2 R 6 U ( x, y ) = x⋅ 2y = ⋅ 2⋅ = = U i R,Px ,Py 2 = Px + 3Py Px + 3Py P + 3P x y P + 3P

€

(

x

y

)

(

)

Hemos calculado la utilidad que obtenía el individuo en el primer ejercicio. Como comprobación se puede calcular cual sería su utilidad si la calculamos partiendo de la función de utilidad indirecta, y – como es comprensible – el resultado debe ser igual.

R 6 U i R,Px ,Py = Px + 3Py

€

(

)