Transformada z

República Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior I.U.P “Santiago Mariño” Escuela de Ingeniería Electrónica

Transformada Z

Profesor:

Bachiller

José Lovera

Eduardo Buttó 25.098.869

Introducción: Los sistemas de control generalmente abarcan el rango más amplio dentro de los procesos industriales independientemente del área de desempeño en general, de estos depende el funcionamiento un resultado óptimo del producto final siendo el origen de este un largo proceso de manipulación, función y optimización de un número determinado de variables. Estas variables siempre han de ser necesarias dentro de la mayoría de los procesos. Cabe a resaltar que estas pueden variar de acuerdo al resultado que se desea obtener y dependientemente este también suele cambiar el proceso ameritado. De modo que son un gran número de procesos y variables los que son utilizados dentro de las producciones industriales modernas. En su mayoría estos están sujetos a señales de control digitales o discretas las cuales fácilmente son automatizadas y manipuladas con señales de tiempo al punto de obtener un resultado deseado, pero al ameritar procesos diferentes y variables que resultaran diferentes se puede llegar a necesitar un tipo de señal de control diferente ya no siendo temporal esta sino frecuencial. Es entonces cuando es ameritado un proceso matematico diferentes en las señales temporales comunes, dicho proceso es llamado “Transformada Z”, Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

Transformada Z La Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja. El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace.

Es un modelo matemático que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del Procesamiento de Señales Digitales, como son el análisis y proyecto de Circuitos Digitales, los Sistemas de Radar o Telecomunicaciones y especialmente los Sistemas de Control de Procesos por computadoras.

Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

Bilateral: señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

Donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma

Donde A es el módulo de z, y ω es el argumento de ese complejo que bien podría representar la frecuencia angular (pulsación) en radianes por segundo (rad/s).

Unilateral: De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como

En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal.

En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo |z|>R} ; es decir que converge "hacia afuera". Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.

Transformada Z Inversa

Donde

es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de

convergencia (ROC). El contorno,

debe contener todos los polos de

Un

caso especial y simple de esta integral circular es que cuando es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein.

La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.

Region de Convergencia: La región de convergencia, también conocida como ROC, define la región donde la transformada-z existe. La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita. La ROC para una x[n] es definida como

el rango de z para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformada–z es una serie de potencia, converge cuando

es absolutamente sumable.

Ceros Y Polos: Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que el numerador tiene M raíces (llamadas ceros) y el denominador tiene N raíces (llamadas polos).

Factorizando la función de transferencia

Donde es el k-ésimo cero y es el k-ésimo polo. Los ceros y polos son por lo general complejos, y por tanto se pueden dibujar en el plano complejo. En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador.

Transformadas Más Comunes

Secuencia

Transformada

ROC

Los principales motivos para introducir esta transformada y todos sus usos son que: La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias. La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias. Facilita la resolución de problemas analíticos. Facilita la resolución de problemas analíticos.

Permite la utilización de la Teoría de variable compleja en problemas de señales y sistemas discretos. Permite la utilización de la Teoría de variable compleja en problemas de señales y sistemas discretos En este tema estudiaremos la representación de la TZ de una secuencia y veremos la relación existente entre las propiedades de la secuencia y las propiedades de su TZ. Usos Uno de los usos de la transformada Z es determinar la expresión en diferencias de un sistema que cumple unas determinadas condiciones; una de las aplicaciones más directas es la implementación de generadores de señal mediante ecuaciones en diferencias.

Uno de los sistemas de procesado digital de señales más utilizados es el promediador móvil. Se puede demostrar que este sistema es el óptimo cuando queremos recuperar una señal de valor constante que se ve afectada por una serie de interferencias variables con el tiempo.

También utiliza en el procesamiento de imágenes digitales. Como por ejemplo los televisores de alta definición y las cámaras digitales.

Dentro del rango de las comunicaciones es una herramienta muy importante para el procesamiento de señales digitales y de allí parte su aplicación en la ingeniería dedicada al estudio de las telecomunicaciones.

Este modelo matemático aplica en el procesamiento de señales digitales, específicamente para el análisis y proyectos de circuitos digitales, de los sistemas radar o en sistemas de comunicaciones como la telefonía móvil, la televisión digital entre otros.

De esta manera, se pueden ejemplificar el radar, la telefonía o la TV digital donde:

Otras Aplicaciones Aplicaciones automotrices: Sistema antibloqueo,

Análisis de vibración y

Control motor.

Electrónica de consumo: Instrumentos musicales electrónicos Sistemas de impresión y despegue: Juguetes Medicina: Equipos de Diagnostico, Monitorización, prótesis (auditiva, visuales y mecánicas) .

Telecomunicaciones: Vídeo conferencia, Repetidores de señal y Telefonía celular.

Instrumentación: Procesamiento sísmico, Análisis Espectral y Generación de funciones.