Taller de resolución de problemas con soluciones

Taller de resolución de problemas CIMAT 2016

Objetivo.

Estos acertijos/problemas ayudan a introducir algunos conceptos algebraicos o geométricos y a reforzar los conocimientos de algunas operaciones algebraicas, el sistema de numeración posicional y el pensamiento lógico. En los talleres se hará hincapié en los que son más importantes para cada grado, pero todos sirven tanto para primaria como para secundaria.

Documento elaborado por el Grupo de Divulgación Matemorfosis (matemorfosis@cimat.mx)

1.

El lobo, la cabra y la col.

Objetivo. Fomento del pensamiento lógico, sin el uso de números u operaciones. ¿Qué se necesita?

•

Tarjeta lobo, cabra, col y humano.

¿En qué consiste?

Hace mucho tiempo un granjero fue al mercado y compró un lobo, una cabra y una col. Para volver a su casa tenía que cruzar un río. El granjero dispone de una barca para cruzar a la otra orilla, pero en la barca solo caben él y una de sus compras.

Si el lobo se queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda sola con la col se la come.

El reto del granjero era cruzar él mismo y dejar sus compras a la otra orilla del río, dejando cada compra intacta. ¿Cómo lo hizo?

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ÂżCĂłmo se resuelve? i.

El pastor pasa primero la cabra

ii.

Regresa por el lobo, al cruzar deja al lobo y vuelve con la cabra.

iii.

Deja la cabra y cruza con la lechuga.

iv.

Deja la lechuga con el lobo y regresa a por la cabra.

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2.

Diversión fluida

Objetivo. Se espera que el participante aprenda a plantear correctamente un problema y a utilizar operaciones. ¿Qué se necesita?

•

Opcional. Hacer los recipientes de 1, 3, 4 y 5 lts. o algo análogo.

•

Opcional. Tina con agua

•

Lápiz y papel

¿En qué consiste?

A. Tú tienes bastante agua pero solamente dos envases. Uno puede llevar tres litros y el otro puede llevar 5 litros.

I.

¿Cómo puedes medir exactamente un litro?

II.

¿Cómo puedes medir exactamente cuatro litros?

B. Un lechero dispone únicamente de dos jarras de 4 y 5 litros de capacidad para medir la leche que despacha a sus clientes. ¿Cómo podrá medir tres litros de leche? ¿Cómo se resuelve?

Problema A. I. Primero se llena el envase de tres litros y se vacía en el de cinco litros.

Después, se vuelve a llenar el envase de tres litros y nuevamente se vuelve a vaciar en el envase de cinco litros, nótese que sólo caben dos litros pues ya tenía tres litros, por lo que queda un litro en la jarra de tres litros.

II. Se mide un litro como se planteó en el inciso a. Luego de esto, se vacía el agua que hay en el envase de cinco litros y se pasa el litro que hay en el envase de un litro. Por último se vuelve a llenar la jarra de tres litros y se vacía en la jarra de cinco, para que así haya cuatro litros en dicha jarra.

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Problema B. Primero se llena el envase de cuatro litros y se vacía en el de cinco litros. Después, se vuelve a llenar el envase de cuatro litros y nuevamente se vuelve a vaciar en el envase de cinco litros, nótese que sólo cabe un litro pues ya tenía cuatro litros, por lo que quedan tres litros en la jarra de cuatro litros.

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3.

Un buen salario

Objetivo. Se espera que el participante aprenda a plantear el problema y usar multiplicaciones sucesivas o potencias. Este problema es muy útil para introducir el concepto de potencia de un número y crecimiento exponencial. ¿Qué se necesita?

•

Lápiz y papel

¿En qué consiste?

Tú vas a empezar un nuevo trabajo que durará un mes de 30 días y tu jefe te dará una oportunidad de elegir tu sueldo. Tú puedes escoger entre las siguientes dos opciones: a) Mil pesos cada día por 30 días b) Diez centavos el primer día, 20 centavos el segundo día, y cada día ganas el doble del día anterior, hasta el fin del mes. ¿Cuál salario escogerías? ¿Por qué? ¿Cómo se resuelve?

Si eliges la opción a), serán 1000 pesos por día tendrás 1000 x 30 = 30,000 pesos.

Si eliges la opción b), será el doble que el día anterior empezando con 10 centavos de peso, vamos a calcular: Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Pago en peso 0.1 0.2 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 204.8

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13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

409.6 819.2 1 638.4 3 276.8 6 553.6 13 107.2 26 214.4 52 428.8 104 857.6 209 715.2 419 430.4 838 860.8 1 677 721.6 3 355 443.2 6 710 886.4 13 421 772.8 26 843 545.6 53 687 091.2

Hay que sumar la segunda columna, para saber cuรกl serรก tu sueldo de todo el mes, pero es claro que te conviene la opciรณn dos.

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4.

El cuento de un oso

Objetivo. Se espera que el participante piense en una geometría distinta a la euclidiana. Ayuda al pensamiento lógico y espacial. Este problema puede ser usado para introducir conceptos como meridiano, paralelo, altitud y longitud. ¿Qué se necesita?

•

Lápiz y papel

•

Opcional. Una esfera (que no sea de unicel)

¿En qué consiste?

Un oso sale de su guarida y camina 10 km hacia el sur. Después él da la vuelta y camina 10 km hacia el este. Entonces da vuelta otra vez y camina 10 km hacia el norte y se encuentra donde empezó. ¿De qué color es el oso? ¿Dónde está la guarida del oso? ¿Existe una única ubicación para la guarida? ¿Cómo se resuelve?

Al estar sobre una esfera, la geometría euclidiana no nos ayuda. Así que hay que pensar en qué puntos cumplen sobre una esfera si te mueves como indica el problema. Una solución y la más intuitiva es la que se muestra en la figura siguiente, donde podemos observar que el polo norte cumple y podemos deducir que el color del oso es blanco por ser un oso polar.

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Aunque existen otros puntos que cumplen estas condiciones, en la Antártida no hay osos.

Para encontrar otras soluciones, hay que fijarse en el paralelo del hemisferio sur que mide 10km (notemos que está muy cerca del polo sur), ahora ubiquemos el paralelo que está a 10km al norte de este paralelo. Como se muestra en la figura de abajo.

Por lo que si desde este nuevo paralelo caminamos 10 kilómetros hacia el Sur, nos encontramos con el paralelo que mide 10 kilómetros de longitud, al caminar sobre él 10 kilómetros, volveremos al punto de partida en ese paralelo, y al caminar 10 kilómetros en dirección norte, volvemos al principio. Y como hay infinitos puntos sobre un paralelo, podemos salir de infinitos sitios diferentes desde el paralelo al norte del paralelo de 10 kilómetros

Ahora, si tomamos en lugar de un paralelo de longitud 10 kilómetros, un paralelo de longitud 5 kilómetros y partimos de un punto 10 kilómetros al norte del mismo.

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Bajamos 10km al sur, damos 2 vueltas al paralelo y volvemos al punto de ese paralelo en el que comenzamos.

Lo anterior se cumple con todos los paralelos que tienen una longitud , 10/n km, para n=10, 1, 2 y 5. Ya que si te sitúas a 10km al norte de este paralelo puedes bajar 10km dar n vueltas al paralelo y volver a caminar al punto del que iniciaste.

En el hemisferio norte no se puede hacer esto porque el paralelo de longitud 10km en el hemisferio norte está a menos de 2km del Polo Norte, así que no hay forma de situarse 10km al norte sobre él.

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5.

Arreglo de diez cartas

Objetivo. Se espera que el participante logré plantear el problema, refuerce su pensamiento lógico y implemente estrategias de resolución de problemas. ¿Qué se necesita?

•

Lápiz y papel

•

10 cartas o tarjetas enumeradas del 1 al 10.

¿En qué consiste?

Ordena las tarjetas de manera que cuando las colocas con los números hacia abajo y volteas cada tarjeta desde abajo, una a una, ocurre lo siguiente: a) La primera tarjeta desde aabajo, se voltea y es el uno. Colocas esta tarjeta sobre la mesa y te quedas con lo que queda del paquete. b) La segunda tarjeta de abajo se coloca arriba del paquete sin voltearse. c) La tercera tarjeta de abajo, se voltea o destapa con el número hacia arriba, y se coloca junto al uno que ya esta fuera del paquete, esta tarjeta tiene que ser el dos. d) La cuarta tarjeta se mueve a la parte superior del paquete sin voltearse. e) La quinta tarjeta se voltea con el número hacia arriba y se coloca a un lado de la tarjeta con el dos. El número observado debe de ser el 3. f) La sexta tarjeta se mueve a la parte superior del paquete sin voltearse. g) La séptima tarjeta se voltea con el número hacia arriba y se coloca a un lado de la tarjeta con el número 3. El número observado debe de ser un 4. h) La octava tarjeta.... Y así sucesivamente hasta que todas las cartas estén sobre la mesa volteadas y los números vayan apareciendo en orden de menor a mayor.

Se puede consultar el vídeo en la siguiente liga de internet https://www.youtube.com/watch?v=pAyqBVC5Xh0

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¿Cómo se resuelve?

Una posible solución:

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6.

Rompecabezas en 3 dimensiones

Objetivo. Se espera que el participante refuerce su pensamiento espacial, visualizando un objeto en 3 dimensiones, analizarlo, rotarlo y cambiar su orientación. Con este problema se pueden introducir conceptos de rotación y simetría. ¿Qué se necesita?

•

Papel usado

•

tijeras

¿En qué consiste?

¿Puedes construir este objeto utilizando un pedazo de papel y tijeras? ¿Cómo se resuelve? i.

Toma un pedazo de papel en forma de rectángulo, y sigue márcalo como muestra la figura.

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ii.

Dobla.

iii.

Rota 180°

iv.

Listo.

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7.

Un hoyo algo grande

Objetivo. Se espera que el participante refuerce su pensamiento lógico y planteamiento de problemas. ¿Qué se necesita?

•

papel usado

•

tijeras

¿En qué consiste?

Toma un rectángulo de papel (puede ser un cuarto o media hoja tamaño carta) y recorta un hoyo suficientemente grande para que puedas pasar por él (sin pegar, amarrar o atorar). ¿Cómo se resuelve? i.

Doblas el papel por la mitad y le haces unos cortes como se muestra en la fotografía:

Empiezas a cortar por la parte que tiene el doblez dejando ¼ de centímetro del borde a cada lado y luego haces cortes más o menos cada medio centímetro. Estas medidas no tienen que ser muy exactas, pero tienes que tener cuidado de no cortar el papel completamente, sino que debes dejar un espacio al final.

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ii.

Luego giras el papel y comienzas a cortar desde el otro lado en los espacios que habías dejado el ½ centímetro. Nuevamente cortas sin llegar al final de la hoja.

iii.

Ahora, sin desdoblar el papel, buscas la parte que tiene el doblez y con la punta de las tijeras cortas el doblez de todas las orillas menos las de los dos extremos.

iv.

Ya listos los cortes, puedes comenzar a desdoblar con cuidado el papel y verás cómo obtienes una tira de papel que se ha convertido en un gran hoyo por el que puedes pasar.

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8.

Truco del mapa

Objetivo. Se espera que el participante desarrolle su pensamiento lógico, usando la paridad de los números y la coloración de un tablero de ajedrez. ¿Qué se necesita? 

Pizarrón (o una superficie donde se pueda pintar y todo el público pueda ver)



plumones o gis

¿En qué consiste?

Primero se necesita dibujar un mapa ficticio de 3x3. Por ejemplo, el siguiente mapa muestra algunas ciudades del estado de Guanajuato. La posición de estas ciudades con respecto a la realidad no es relevante.

San Miguel

Dolores

León

Silao

Guanajuato

Irapuato

Celaya

S. Catarina

Salamanca

Todos vamos a empezar en la ciudad del centro, que en este caso es Guanajuato.

Se dice que dos ciudades son vecinas si comparten un lado del rectángulo en la que están. Por ejemplo, Guanajuato es vecina de las ciudades de Dolores, Irapuato, Silao y Santa Catarina; mientras que no lo es de San Miguel, pues solo comparten un vértice.

Te puedes mover 5 veces, esto quiere decir que, de la ciudad en la que están, se moverán 5 veces por ciudades vecinas. Por ejemplo, un posible movimiento desde la ciudad de Guanajuato sería: Guanajuato → Irapuato → Salamanca → S. Catarina → Guanajuato → Dolores Es posible pasar más de una vez por la misma ciudad. Lo que no está permitido es pasar por ciudades incendiadas (ahora, ninguna de las ciudades están incendiadas).

Ahora sigue las instrucciones: a. Todos regresamos a Gto. b. Te puedes mover 5 veces.

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c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q.

Se incendia León.

Te puedes mover 7 veces.

Se incendia Dolores.

Te puedes mover 5 veces.

Se incendia San Miguel Te puedes mover 3 veces.

Se incendia Irapuato Te puedes mover 3 veces.

Se incendia Salamanca Te puedes mover 5 veces.

Se incendia Silao Te puedes mover 3 veces Se incendia Celaya Te puedes mover 5 veces.

Se incendia S. Catarina

Terminaste en Gto. ¿Cómo funciona?

El primer paso es colorear el mapa como si fuera un tablero de ajedrez. En nuestro ejemplo, nuestro mapa quedaría así: San Miguel

Dolores

León

Silao

Guanajuato

Irapuato

Celaya

S. Catarina

Salamanca

Es decir, 5 ciudades quedarían pintadas de blanco (San Miguel, León, Guanajuato, Celaya y Salamanca), mientras que las otras 4 quedan pintadas de amarillo (Dolores, Silao, Irapuato y S. Catarina). Hay que observar lo siguiente:   

Si se comienza en una ciudad amarilla y se mueven una cantidad impar de veces, se acaba en una ciudad blanca.

Viceversa, es decir, si se comienza en una ciudad blanca y se mueven una cantidad impar de veces, se acaba en una ciudad amarilla.

Si se mueven una cantidad par de veces, terminarán en una ciudad del mismo color que en la que iniciaron.

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Notar que todos los números que dimos como posibles números de movimientos son impares (3, 5 o 7). Por lo que, siempre sucede que terminan en una ciudad de diferente color a la que comenzaron.

Ya con esto en mente, el truco es sencillo. Se comienza en una ciudad blanca (Guanajuato), como se han movido una cantidad impar de veces, se terminará en una ciudad amarilla y podemos incendiar una ciudad blanca, pues nadie está ahí.

Por ejemplo, podemos incendiar León.

Se repite este tipo de movimientos impar. Por ejemplo, en el siguiente paso, se terminará en una ciudad blanca y podemos incendiar una ciudad amarilla, por ejemplo, Dolores. El truco continúa hasta que solo quede una ciudad y todos tienen que quedar ahí.

Un orden en el cual se incendiaron las ciudades es: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii.

León (blanca) Dolores (amarilla) San Miguel (blanca) Irapuato (amarilla) Salamanca (blanca) Silao (amarilla) Celaya (blanca) S. Catarina (amarilla)

Y de esta manera terminamos todos en Guanajuato, pues así lo decidimos.

Pero hay muchas otras opciones, por ejemplo, incendiar: San Miguel, Irapuato, Salamanca, Silao, León, Dolores, Guanajuato, S. Catarina; terminando en la ciudad de Celaya.

Recomendaciones:  En el proceso, como no es posible pasar por ciudades incendiadas, es importante que en todo momento, sea posible moverse por las ciudades restantes.  Es común que algunos se incendien. En este caso hay que aclararles que no contaron bien y darles la oportunidad de continuar, diciéndoles que pueden ponerse en cierta ciudad que nosotros les asignamos, siempre y cuando sea del color en el que todos están actualmente.  Con práctica, es posible incendiar más de una ciudad en cada paso y también el de usar números pares en el número de movimientos que pueden hacer.

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9.

Matemagia: truco de dados

Objetivo. Se espera que el participante practiqué la suma y multiplicación, que refuerce su pensamiento lógico y capacidad de abstracción de problemas. Este problema puede ser usado como introducción al tema de secuencias. ¿Qué se necesita? 

10 dados



papel y lápiz

¿En qué consiste?

Se construye una torre de 4 dados, como se muestra en la siguiente imagen:

Como pueden observar, hay algunas caras de dados que pueden verse y otras que no. ¿Cuánto tiempo creen que necesito ver la torre para adivinar la suma de las caras que no se ven?

Las respuestas más comunes a esta pregunta son: “1 minuto”, “30 segundos” o “10” segundos”. Se sugiere hacerlo en 10 segundos.

Después de ver la torre por 10 segundos, se anota la respuesta en una hoja y se le pide a alguno de los presentes que la guarde. Se procede a sumar los números de las caras que no se ven, para luego verificar que la suma final coincide con la predicción.

Nota: el truco luego se hace con cualquier número de dados entre 5 y 10; disminuyendo el tiempo cada vez. ¿Cómo funciona?

Para este truco solo se necesitan 10 dados y que estos estén bien hechos, es decir; que detrás del 6 esté el 1, detrás del 5 el 2 y detrás del 4, el 3. Casi nadie está Documento elaborado por el Grupo de Divulgación Matemorfosis (matemorfosis@cimat.mx)

consciente de que un dado tiene que ser de esta forma y justo esto es lo que hará que el truco funcione. Sin embargo, es común encontrar dados mal hechos, por lo que es importante verificarlo antes de intentar el truco.

Veamos el ejemplo con la torre de la imagen. Como tenemos 4 dados, hay 8 caras que quedan en el centro de la torre, 7 de las cuales no se ven, mientras que la que queda hasta arriba (el techo de la torre) sí se ve (en este caso es un 3). Por la propiedad anunciada al inicio, los números que quedan en el centro de cada uno de los 4 dados suman 7. Luego, la suma de los 8 números será 4x7=28. Sin embargo, es necesario réstale 3, pues este número está siendo considerado en esta suma y sí se ve. En este caso, la suma será 28-3=25.

Si hay otra cantidad de dados, el procedimiento es el mismo: simplemente hay que multiplicar el número de dados por 7 (esta operación se puede hacer desde que se dan los dados al público) y hay que restarle el número que queda hasta arriba. Por ello, basta solo un instante para hacer el truco, pues lo único que se necesita saber es el número de dados (que nosotros elegimos al inicio) y ver el número de hasta arriba. Por ejemplo, si hay 7 dados y hasta arriba hay un 1 (como la imagen de abajo), la suma será 7x7-1=48, mientras que si hay 10 dados con un 6 arriba, la suma será igual a 7x10-6=64.

Podemos generalizarlo hay n dados y hasta arriba hay un x (x=1, 2, 3, 4, 5 o 6 la cara de arriba) el resultado de la suma de las caras que no se ven en la torre será 7n-x.

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10.

Matemagia: adivinando el cumpleaños

Objetivo. Se espera que el participante pueda abstraer el truco e intenté encontrar la solución del porque funciona. Con este problema se pueden practicar las operaciones de la suma, resta y multiplicación. Puede usarse para introducir el uso de variables. ¿Qué se necesita? 

papel



lápiz

¿En qué consiste?

El expositor adivinará el cumpleaños de cada uno de los presentes de manera individual.

Toma el mes en el que naciste y conviértelo a un número. Enero es el 1, febrero es el 2, marzo es el 3, etc. Aquí la lista completa: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)

enero febrero marzo abril mayo junio julio agosto septiembre octubre noviembre diciembre

Realiza las siguientes operaciones: I. II. III. IV. V. VI.

Multiplica el número por 5.

Súmale 6.

Multiplícalo por 4.

Súmale 9.

Multiplícalo por 5.

Súmale el día en el que naciste

Dile al expositor el resultado después que realizaste las 6 operaciones y adivinará el día en que naciste.

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¿Cómo funciona?

Cuando hacemos este truco con gente que no sabe álgebra, simplemente les decimos a todos cómo hacerlo para que ellos puedan practicarlo con sus parientes o amigos. También les mencionamos que la explicación es gracias a una herramienta llamada álgebra.

Si los participantes ya saben álgebra, es fácil ver por qué funciona. Si m indica el número asignado al mes y d indica el día, los números que se irán obteniendo son: I. II. III. IV. V. VI.

5m.

5m+6.

4(5m+6)=20m+24.

(20m+24)+9=20m+33.

5(20m+33)=100m+165.

100m+d+165.

Por lo que el número que se le dirá al expositor será el resultado de 100m+d+165.

Si a este número se le resta 165 se obtiene el número 100m+d. Pero como multiplicar por 100 un número entero es lo mismo que agregarle dos ceros al final, cuando le sumemos el número d, que puede tener uno o dos dígitos, no afectaremos el número m y las últimas dos cifras darán justo el número d (con un 0 al inicio si es que d tiene un dígito). Por ejemplo, si m=9 y d=4, tendremos que 100m=900 y 100m+d=904.

Recomendaciones y observaciones Frecuentemente cuando hacemos este truco, los participantes cometen errores en sus operaciones y como el expositor tiene que adivinar el número, naturalmente no puede ayudarles a corregirlos, por lo que es muy recomendada la ayuda del maestro o de algún ayudante para que revise las operaciones de los estudiantes.

En ocasiones, los errores que cometen los estudiantes hacen que la respuesta que el expositor dirá no tenga sentido. Por ejemplo, si le dicen el número 1470, al restarle 165 obtenemos el número 1305, el cual corresponde al día 5 del mes 13, el cual no existe. O si le dicen el número 398, al restarle 165 obtendríamos el número 233, el cual correspondería al día 33 del mes 1, el cual tampoco existe. En estos casos se le tiene que decir al estudiante que sus operaciones están mal y que debe revisarlas. Ahí es donde es muy útil el maestro o el ayudante.

Pero en otras ocasiones los errores hacen que el resultado sí sea un día válido. En esos casos el estudiante dirá que no adivinó y tendremos que decirle que debe tener un error.

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11.

Problemas de cerillos

Objetivo. Se espera que el participante refuerce su pensamiento lógico y aprenda a analizar el efecto de rotar y trasladar palillos para llegar a la solución desada. ¿Qué se necesita?

•

12 palillos de madera

¿En qué consiste? a) Moviendo solo tres palitos, ¿puedes hacer que el pescado nade en la dirección contraria?

b)

Moviendo 2 palitos, ¿puedes dejar solo 2 triángulos?

c)

Moviendo 3 palitos, ¿puedes dejar 3 cuadrados idénticos?

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d)

Moviendo solo 4 palitos, ¿puedes dejar 3 triángulos equiláteros?

¿Cómo se resuelve? a) Tres palitos

1) Dos palitos

2) Tres palitos

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3) Cuatro palitos

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12.

Adivinando un número

Objetivo. Se espera que el participante entienda el sistema binario y sea capaz de entender por qué es que este truco funciona. Esta aplicación del sistema binario puede ser usada para introducir bases en sistemas de numeración. ¿Qué se necesita? 

Copia de las tablas



lápiz y papel

¿En qué consiste?

Se le pide a una persona del público que elija un número entre el 1 y el 64 y que lo anote en una hoja, para que pueda mostrárselos a los demás sin que el expositor (el cual está volteado a otro lado) no pueda saber cuál es. Ya que la hoja esté guardada, el expositor puede comenzar.

Ahora, el expositor mostrará sucesivamente 6 colecciones de algunos números entre el 1 y el 64. Estas se pueden proyectar o previamente imprimir en hojas grandes. Para cada una de ellas, el expositor preguntará si en ella se encuentra el número que fue elegido. Se les da tiempo para que lo busquen bien y todos coincidan en la respuesta (suele suceder que algunos tarden en ver el número o en convencerse de que no está). Se hace énfasis de que si una de las respuestas está mal, el truco no funcionará.

Después de recibir esas seis respuestas, el expositor dirá el número que eligieron. *Se adjuntan las tablas. ¿Cómo funciona?

Cada una de las seis colecciones tiene asignado un número como se muestra en la siguiente tabla: Colección

Número asignado

1

1

2

2

3

4

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4

8

5

16

6

32

El expositor comienza con el número 0 (al decir esto me refiero a que en su mente tiene el número 0). Si en la primera pregunta la respuesta fue sí, se suma el número asignado a la primera colección, es decir, se suma 1; mientras que si la respuesta fue un no, no se hace nada. De la misma manera, si en la segunda pregunta la respuesta fue un sí, se suma el número asignado a esa colección, es decir, se suma 2 y si la respuesta fue no, se deja igual. Después de las 6 preguntas, el número con el que terminamos debe ser el número que fue elegido.

Un par de ejemplos Digamos que el número elegido fue el 26. La siguiente tabla nos indica el proceso que se seguirá: Colección

¿Está?

Operación

Resultado

1

No

N/A

0

2

Sí

+2

2

3

No

N/A

2

4

Sí

+8

10

5

Sí

+16

26

6

No

N/A

26

Y notamos que justamente el número obtenido fue el 26. Por otro lado, si el número elegido fue el 51, el proceso será: Colección

¿Está?

Operación

Resultado

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1

Sí

+1

1

2

Sí

+2

3

3

No

N/A

3

4

No

N/A

3

5

Sí

+16

29

6

Sí

+32

51

Y nuevamente notamos que el truco funciona. ¿Por qué funciona?

Se puede hacer un sistema de numeración con cualquier cantidad (a partir de 2) de dígitos.

El sistema de numeración con dos dígitos es llamado binario y los dígitos son el 0 y el 1. En el sistema decimal cada posición vale 1, 10, 10², 10³, etc. En el sistema binario, cada posición valdrá 1, 2, 2², 2³, etc. La siguiente tabla muestra cuánto vale cada posición en el sistema binario: “C. de millar” “D. de millar” “U. de millar” 32

16

8

“Centenas”

“Decenas”

Unidades

4

2

1

(Están entre comillas pues las palabras “decenas”, “centenas”, etc., vienen de las palabras diez y cien, los cuales tienen sentido en el sistema decimal, mientras que aquí usamos estas palabras porque ya estamos acostumbrados a ellas) Por ejemplo, el número binario 101 corresponde al número decimal 1(4)+0(2)+1(1)=5. La siguiente tabla muestra otros ejemplos: Número binario

Equivale a

Número decimal

10

1(2)+0(1)

2

111

1(4)+1(2)+1(1)

7

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1000

1(8)+0(4)+0(2)+0(1)

8

10111

1(16)+0(8)+1(4)+1(2)+1(1)

23

10101

1(16)+0(8)+1(4)+0(2)+1(1)

21

111111

1(32)+1(16)+1(8)+1(4)+1(2)+1(1)

63

Hay que hacer la lista de números en sistema binario hasta el número que consideren adecuado, recomendamos hasta el 16. Para ello, hay que hacer énfasis en que en este sistema el 1 juega un papel similar al 9 en el sistema decimal, pues es el dígito más grande que tenemos. La lista debe quedar así: Decimal

Binario

Decimal

Binario

1

1

9

1001

2

10

10

1010

3

11

11

1011

4

100

12

1100

5

101

13

1101

6

110

14

1110

7

111

15

1111

8

1000

16

10000

Y en este punto se puede notar una clara desventaja del sistema binario: los números son más largos que en el sistema decimal. Por ejemplo, el 8, que en el sistema decimal tiene un solo dígito, en el sistema binario tiene 4. La ventaja es que en la primaria solo tendríamos que aprendernos dos dígitos: el 0 y el 1, en vez de los 10 que nos tenemos que aprender. De manera inversa, en un sistema con más dígitos (por ejemplo, 20, que es el sistema que usaban los mayas), la ventaja será que los números son más cortos y la desventaja es que te tienes que aprender 20 dígitos.

Documento elaborado por el Grupo de Divulgación Matemorfosis (matemorfosis@cimat.mx)

Si siguiéramos la lista de los números en binario, llegaríamos a que el número 63 es 111111 y el 64 es 1000000, por lo que podemos concluir que todos los números entre el 1 y el 63 usan a lo más 6 dígitos en el sistema binario.

Construcción de las colecciones Con esto en mente, la primera colección corresponde a todos los números entre el 1 y el 64 que tienen un 1 en la posición de las unidades. Gracias a la lista de los primeros 16 números en binario que ya tenemos, podemos verificar que el 1 sí está, el 2 no, el 3 sí, el 4 no, etc.

La segunda colección corresponde a todos los números entre el 1 y el 64 que tienen un 1 en la posición de las decenas. Se verifica que el 1 no está, el 2 y el 3 sí, el 4 y el 5 no, etc.

La tercera colección será la de los números que tienen un 1 en la posición de las centenas.

Y así sucesivamente.

Gracias a esta construcción, pensando en que los números están escritos en binario, las seis preguntas quedan así: 1) ¿El número tiene un 1 en las unidades?

2) ¿El número tiene un 1 en las decenas?

3) ¿El número tiene un 1 en las centenas?

4) ¿El número tiene un 1 en las unidades de millar?

5) ¿El número tiene un 1 en las decenas de millar?

6) ¿El número tiene un 1 en las centenas de millar?

Por lo que después de las 6 preguntas, ya se puede saber cuál es el número escrito en binario, solo basta escribir ese número en decimal y listo. Pero ni siquiera es necesario tener el número en binario, pues podemos irlo transformando al sistema decimal. El proceso es justo el que ya se ha explicado. Como la unidad vale 1, si el número tiene un 1 en las unidades, sumaremos un 1. Si el número tiene un 1 en las decenas, sumaremos un 2, pues este es el valor de las decenas. Si tiene un 1 en las centenas, sumaremos un 4 y así sucesivamente.

El único número que se escapa a este procedimiento es el 64. Como este número en binario tiene un dígito 0 en cada una de las últimas seis posiciones, las seis respuestas serán no y nos quedaríamos con un 0, por lo que el truco no funcionaría. Luego, solo hay que recordar que si me dicen 6 veces no, el número debe ser el 64. Para evitar este detalle, a veces les pedimos que elijan un número entre el 1 y el 63.

Documento elaborado por el Grupo de Divulgación Matemorfosis (matemorfosis@cimat.mx)

Algunas indicaciones a) El expositor puede escribir sus cuentas, aunque el truco resulta más impresionante si todo es en la mente. b) No es necesario ver las colecciones de números, siempre y cuando nos aseguremos que están en orden. El no ver las colecciones, ya sea que el expositor esté volteado o se tape los ojos, hace que el efecto sea más impresionante.

c) Al final se puede hacer la pregunta: si quisiera adivinar un número entre el 1 y el 1024 siguiendo el mismo procedimiento, ¿cuántas preguntas tendría que hacer? La respuesta es muy impresionante: 10.

Documento elaborado por el Grupo de Divulgación Matemorfosis (matemorfosis@cimat.mx)