Umilul Pi

Umilul Pi - BT.indd 1

27-Mar-21 15:43:38

Umilul Pi - BT.indd 2

27-Mar-21 15:43:38

Umilul Pi - BT.indd 3

27-Mar-21 15:43:38

Titlul și subtitlul originale: HUMBLE PI: A Comedy of Maths Errors Autor: Matt Parker Copyright © Matt Parker, 2019 © Publica, 2021, pentru ediția în limba română Toate drepturile rezervate. Nicio parte din această carte nu poate fi reprodusă sau difuzată în orice formă sau prin orice mijloace, scris, foto sau video, exceptând cazul unor scurte citate sau recenzii, fără acordul scris din partea editorului.

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României PARKER, MATT Umilul Pi : o comedie a erorilor matematice / Matt Parker ; trad. din lb. engleză de Dan Crăciun. - Bucureşti : Publica, 2021 ISBN 978-606-722-432-0 I. Crăciun, Dan (trad.)

51

EDITORI: Cătălin Muraru, Silviu Dragomir DIRECTOR EXECUTIV: Adina Vasile REDACTOR-ȘEF: Ruxandra Tudor DESIGN: Alexe Popescu CORECTORI: Rodica Crețu, Elena Bițu DTP: Răzvan Nasea

Umilul Pi - BT.indd 4

27-Mar-21 15:43:38

CUPRINS

Cuvântul traducătorului ����������������������������������������������� 7 0. Introducere ���������������������������������������������������������������������� 11 1. Cum se pierde noțiunea timpului ����������������������������� 21 2. Greșeli de proiectare ��������������������������������������������������� 49 3. Date mărunte ����������������������������������������������������������������� 75 4. Forme nefirești ������������������������������������������������������������ 103 5. Nu poți conta pe ce și cum se numără �������������������� 133 6. Imposibil de procesat ������������������������������������������������� 159 7. Probabil greșit ������������������������������������������������������������� 181 8. Pariați pe greșelile voastre ������������������������������������� 207 9. Cu aproximație prin rotunjire �������������������������������� 233 9,49. Prea mărunt ca să fie remarcat ������������������������������� 257 10. Unități de măsură, convenții și de ce nu ne putem înțelege cu toții? ���������������������������������������������������������� 273 11. Statistici pe placul meu �������������������������������������������� 299 12. Tltloay Rodanm ���������������������������������������������������������� 325 13. Nu se procesează �������������������������������������������������������� 355 Așadar, ce am învățat din greșelile noastre? ������ 379 Mulțumiri ��������������������������������������������������������������������� 391

Umilul Pi - BT.indd 5

27-Mar-21 15:43:38

Umilul Pi - BT.indd 6

27-Mar-21 15:43:38

Titlul original conține o dublă aluzie. În primul rând, amintește de supergrupul britanic de rock din anii 1960 Humble Pie – din punct de vedere fonetic, pi și pie se pronunță la fel. În al doilea rând, expresia to eat the humble pie – literal, „să mănânci plăcinta umilinței” – înseamnă a recunoaște că ai comis o mare greșeală, având toate motivele să fii copleșit de rușine și să îți ceri scuze cu mare umilință. Celebrul „pi” ca entitate matematică nu joacă în carte absolut niciun rol, fiind menționat o singură dată, într‑un context fără nicio legătură cu matematica. Așadar, titlul Humble Pi trebuie luat în sensul de căință a celor care au comis, din ignoranță, neglijență sau teribilism, erori matematice.

Exponent al așa‑numitei stand up maths, un fel de mate‑ matică distractivă menită să amuze un public profan, Parker se străduiește să fie cât mai antrenant. În acest scop, ocolește aprofundarea unor concepte, principii și demonstrații mate‑ matice specioase, neinteligibile și plicticoase pentru publicul neinițiat, insistând asupra consecințelor indezirabile, când nu de‑a dreptul catastrofale, ale unor erori de calcul mate‑ matic în domenii foarte diverse – de la construcții de poduri

Umilul Pi - BT.indd 7

UMILUL PI

7

Cuvântul traducătorului

27-Mar-21 15:43:38

M AT T PA R K E R 8

sau clădiri ultramoderne și până la medicină, teoria muzicală, loterie, geodezie, aerospațiale etc.

Deși se declară amator în materie de informatică, Parker se dovedește un profund cunoscător al diverselor limbaje de programare, cartea fiind în egală măsură o comedie a erori‑ lor cu consecințe uneori benigne și amuzante, alteori drama‑ tice, ale programării și utilizării neglijente a computerelor.

Ori de câte ori are posibilitatea, Parker încearcă să‑și expri‑ me ideile deopotrivă sugestiv și amuzant, apelând la nume‑ roase expresii argotice, la subînțelesuri și aluzii de mare efect în limba engleză; din păcate, multe dintre ele sunt greu tra‑ ductibile sau chiar imposibil de transpus în românește. Spre a le da cititorilor vorbitori de engleză posibilitatea de a gusta farmecul expresiilor folosite sau chiar inventate de Parker, am redat în note de subsol textul original, însoțit de expli­cații pentru cei care nu cunosc suficient de bine limba engleză.

Umilul Pi - BT.indd 8

27-Mar-21 15:43:38

Dedicată soției mele, Lucie, care m‑a îmbărbătat fără preget.

Da, cred că a‑i dedica soției o carte despre greșeli este în sine o mică eroare.

Umilul Pi - BT.indd 9

27-Mar-21 15:43:38

M AT T PA R K E R 10 Umilul Pi - BT.indd 10

0 27-Mar-21 15:43:38

În 1995, Pepsi a lansat o promoție în care oamenii aveau posibilitatea să strângă Pepsi Points, putând să schimbe ulte‑ rior punctele acumulate cu diverse bunuri marcate cu logoul Pepsi. Un T‑shirt valora 75 de puncte, ochelarii de soare, 175 de puncte și se oferea chiar și o geacă de piele pentru 1 450 de puncte. Cine le purta pe toate trei în același timp putea să primească un bonus consistent de 90 de puncte. Clipul TV care promova ideea campaniei puncte‑pentru‑marfă înfățișa un ins care făcea exact acest lucru.

Dar autorii clipului au vrut să‑l încheie într‑o notă amu‑ zantă, tipică pentru extravaganța stilului „Pepsi clasic”.

Așadar, purtând tricoul, ochelarii de soare și geaca de piele, protagonistul reclamei își lua zborul spre școală într‑un avion cu reacție Harrier. După cât se părea, această aeronavă mili‑ tară putea să fie a voastră pentru 7 milioane de Pepsi Points.

Gluma e destul de simplă: au luat ideea campaniei Pepsi Points și au extrapolat‑o până la ridicol. Excelent scenariu de comedie. Dar, în mod vădit, nu au făcut calculul matematic.

Desigur, șapte milioane sună ca un număr mare, dar nu cred că echipa care a creat reclama și‑a dat osteneala să facă soco‑ teli și să verifice dacă era categoric suficient de mare.

Umilul Pi - BT.indd 11

UMILUL PI

11

Introducere

27-Mar-21 15:43:38

M AT T PA R K E R 12

Dar altcineva a făcut acest lucru. În acel moment, fiecare avion AV‑8 Harrier II Jump Jet din dotarea forțelor armate costa United States Marine Corps peste 20 de milioane de dolari și, din fericire, există o metodă simplă de a converti dolarii americani în PP: Pepsi dădea oricui posibilitatea de a cumpăra puncte adiționale cu 10 cenți punctul. Acum, nu cunosc prea bine piața avioanelor militare second hand, dar un preț de 700 000 de dolari pentru un avion de 20 de milioa‑ ne de dolari pare o investiție bună. Așa i s‑a părut și lui John Leonard, care a încercat să scoată de aici un profit. Și nu s‑a mulțumit cu o jalnică „încercare”. Și‑a pus la bătaie toate resursele. Promoția cerea ca oamenii să comande prin intermediul unui formular original un articol din cata‑ logul Pepsi Stuff, să cumpere minimum 15 puncte Pepsi și să adauge un cec, menit să achite costul oricărui număr necesar de puncte adiționale, plus 10 dolari pentru ambalare și trans‑ port. John a făcut toate astea. A folosit un formular original, a adunat 15 puncte cumpărând produse Pepsi și, printr‑un contract fiduciar cu avocații lui, a depus 700 008,50 dolari care să acopere cecul. Tipul chiar a împrumutat suma de la bancă! Nu glumea.

Inițial, Pepsi i‑a refuzat comanda: „Avionul Harrier din reclama promoției este o fantezie și a fost inclus pur și sim‑ plu ca să creeze un clip publicitar amuzant și distractiv”. Dar Leonard era deja bine documentat juridic și gata de luptă.

Avocații lui au replicat astfel: „Aceasta este o comandă formală care vă solicită să vă onorați angajamentul și să faceți imediat aranjamentele necesare pentru a‑i expedia clientului nostru noul avion Harrier”. Pepsi nici nu a vrut să audă. Leonard a dat compania în judecată și părțile au ajuns la tribunal.

Cazul a stârnit lungi discuții menite să lămurească dacă reclama cu pricina era în mod evident o glumă sau dacă era

Umilul Pi - BT.indd 12

27-Mar-21 15:43:38

13

imaginabil ca o persoană să o ia în serios. Comentariile ofi‑ ciale ale judecătorului menționează cât de ridicolă urma să devină întreaga situație: „Insistența reclamantului că recla‑ ma pare să fie o ofertă serioasă solicită Curții să explice de ce reclama este amuzantă. A explica de ce o glumă este amuzan‑ tă pare o sarcină descurajantă”.

Dar au încercat să facă acest lucru!

Leonard nu a primit niciodată avionul său cu reacție și Leonard v. Pepsico, Inc., face acum parte din istoria judiciară.

Pe mine, personal, mă liniștește faptul că, dacă spun ceva pe care l‑aș caracteriza drept „umor golănesc”, există un prece‑ dent juridic care să mă protejeze de cei care iau spusele mele în serios. Iar dacă cineva are o problemă din acest motiv, îi recomand să strângă destule Parker Points pentru una dintre

Umilul Pi - BT.indd 13

UMILUL PI

Observația adolescentului că a zbura cu un Harrier Jet până la școală „este în mod cert mai cool decât să mergi cu autobuzul” denotă o atitudine improbabil de nonșalantă față de relativa dificultate și pericolul pilotării unui avion de luptă într‑o zonă rezidențială în opoziție cu utilizarea transportului public.

Nicio școală nu poate să dispună de un teren de ate‑ rizare pentru avionul de luptă al unui elev ori să tole‑ reze deranjul pe care l‑ar genera utilizarea avionului.

Având în vedere funcțiile bine documentate ale unui Harrier Jet de atac și distrugere a unor ținte terestre sau aeriene, de recunoaștere și descurajare aeriană, pre‑ cum și armamentul său ofensiv și defensiv antiaviație, descrierea unei astfel de aeronave ca mijloc­de trans‑ port la școală în cursul dimineții este cât se poate de limpede neserioasă.

27-Mar-21 15:43:38

M AT T PA R K E R 14

fotografiile mele, din care se vede că puțin îmi pasă (se pot percepe comisioane pentru operațiuni poștale și transport).

Pepsi a luat măsuri active de a se proteja de viitoare probleme și a relansat reclama cu avionul Harrier având o valoare de 700 de milioane de Pepsi Points. Mi se pare uimitor că nu au ales acest număr mare de la început. Nu că 7 milioane era mai hazliu; pur și simplu, compania nu s‑a deranjat să facă un calcul matematic când a ales arbitrar un număr mare.

Noi, oamenii, nu ne prea pricepem să judecăm mărimea numerelor mari. Și, chiar când știm că unul este mai mare decât altul, nu estimăm mărimea diferenței. În 2012 a trebu‑ it să apar în programul de știri de la BBC ca să explic cât de mare este un trilion. Datoria Marii Britanii depășise 1 trili‑ on de lire sterline și m‑au chemat să explic că este un număr mare. Se pare că dacă zbieram: „Este într‑adevăr mare, acum înapoi în studio!” ar fi fost insuficient, așa că a trebuit să dau un exemplu.

Am folosit metoda mea favorită de a compara numere‑ le mari cu timpul. Știm că un milion, un miliard și un trili‑ on sunt mărimi diferite, însă de multe ori nu estimăm corect uluitoarea creștere cantitativă care le deosebește. Un milion de secunde de acum înainte înseamnă modesta durată de 11 zile și 14 ore. Nu e rău. Aș putea să aștept atât. Nici două săp‑ tămâni. Un miliard de secunde înseamnă peste 31 de ani.

Un trilion de secunde din acest moment s‑ar consuma după anul 33700 d.H. Acele numere surprinzătoare sunt perfect raționale după un moment de gândire. Milionul, miliardul și trilionul sunt fiecare de o mie de ori mai mare decât cel anterior. Un mili‑ on de secunde înseamnă aproximativ o treime de lună, așa că un miliard de secunde este de ordinul a 330 (o treime dintr‑o

Umilul Pi - BT.indd 14

27-Mar-21 15:43:38

Umilul Pi - BT.indd 15

15 UMILUL PI

mie) de luni. Iar dacă un miliard înseamnă cam 31 de ani, atunci durata unui trilion ajunge pe la 31 000 de ani. În timpul vieții noastre învățăm că numerele sunt liniare; că spațiile dintre ele sunt toate identice. Dacă numărați de la unu până la nouă, fiecare număr este cu unu mai mare decât precedentul. Dacă întrebați pe cineva care este numărul aflat la jumătatea distanței dintre unu și nouă, oamenii vor răs‑ punde cinci, dar numai fiindcă au fost învățați să gândeas‑ că astfel. Treziți‑vă, turmă de oi! Oamenii percep instinctiv numerele logaritmic, nu liniar. Un copil mic ori cineva care nu a fost îndoctrinat prin educație va plasa numărul trei la jumătatea distanței dintre unu și nouă.

Trei este un altfel de punct median. Este mijlocul loga‑ ritmic, ceea ce înseamnă că este un punct median legat de înmulțire, și nu de adunare. 1 × 3 = 3. 3 × 3 = 9. Puteți avansa de la unu până la nouă fie adăugând pași egali de patru unități, fie înmulțind pași egali de trei unități. Așadar, „mijlocul înmulțirii” este trei și pe acesta îl gândesc oamenii spontan, prin echipamentul lor mintal preinstalat, până când suntem învățați să socotim altfel.

Când membrilor unui grup de indigeni munduruku din spațiul amazonian li s‑a cerut să plaseze grupuri de puncte unde le este locul între un punct și zece puncte, au pus gru‑ puri de trei puncte în mijloc. Dacă aveți acces la un copil de grădiniță sau la unul și mai mic, ai căror părinți nu se supără fiindcă experimentați cu ei, vor face probabil același lucru când distribuie numerele.

Chiar și după o viață de educație legată de operarea cu numere mici există un instinct vestigial care intuiește că numerele mai mari sunt logaritmice; că distanța dintre un trilion și un miliard e cam aceeași ca saltul de la un milion până la un miliard – fiindcă amândouă sunt de o mie de ori

27-Mar-21 15:43:38

M AT T PA R K E R 16

mai mari. În realitate, saltul până la un trilion este mult mai mare: diferența dintre o viață ajunsă la treizeci și ceva de ani și o vreme când poate că omenirea nu va mai exista.

Pur și simplu, creierul omenesc nu este constitutiv struc‑ turat să fie bun la matematica neconvențională. Să nu mă înțelegeți greșit: ne naștem cu o varietate fantastică de abilități numerice și spațiale; până și bebelușii pot să esti‑ meze numărul de puncte de pe o pagină și să efectueze cu ele operații aritmetice elementare. De asemenea, venim pe lume echipați pentru limbaj și pentru gândirea simbolică.

Dar abilitățile care ne permit să supraviețuim și să formăm comunități nu corespund neapărat matematicii formale. O scală logaritmică este un mod valid de aranjare și de compa‑ rare a numerelor, dar matematica necesită, de asemenea, și distribuția liniară a numerelor.

Toți oamenii sunt proști când vorbim despre învățarea matematicii formale. Este un proces care presupune să luăm ceea ce ne‑a dăruit evoluția și să ne extindem abilitățile din‑ colo de ceea ce este rațional. Nu ne‑am născut cu nicio abi‑ litate de a înțelege intuitiv fracțiile, numerele negative sau multe alte concepte bizare dezvoltate de matematică, dar, cu timpul, putem învăța încetul cu încetul cum să operăm cu ele. Avem în prezent sisteme școlare care îi forțează pe elevi să studieze matematica și, după suficient exercițiu, creierul nostru poate învăța să gândească matematic. Însă dacă acele competențe încetează a mai fi folosite, creierul omenesc va reveni rapid la setările din fabrică. În Marea Britanie, un bilet de loterie emis sub forma unui card de răzuit a trebuit să fie retras de pe piață chiar în săp‑ tămâna în care a fost lansat. Camelot, compania care admi‑ nistrează loteria din Regatul Unit, a justificat această decizie invocând „deruta jucătorilor”. Cardul se numea Cool Cash și

Umilul Pi - BT.indd 16

27-Mar-21 15:43:38

17

pe el era tipărită o anumită temperatură. Dacă, după răzuirea cardului, jucătorul descoperea o temperatură mai mică decât valoarea de referință, câștiga. Dar se părea că o mulțime de jucători aveau o problemă cu numerele negative…

Ceea ce face ca volumul de matematică pe care îl folosim în societatea noastră modernă să fie deopotrivă incredibil și înfricoșător. Ca specie, am învățat să explorăm și să exploa‑ tăm matematica punând‑o să facă lucruri mult peste capaci‑ tatea naturală de procesare a creierului nostru. Ne permite să realizăm lucruri care depășesc cu mult scopul pentru care a fost proiectată componenta noastră internă de hardware.

Când operăm dincolo de intuiție putem face lucrurile cele mai interesante. Dar pe acest teren suntem și extrem de vul‑ nerabili. O simplă greșeală de matematică se poate strecura neobservată, având însă pe urmă consecințe îngrozitoare.

Lumea de astăzi este construită pe matematică: progra‑ mare informatică, finanțe, inginerie… nu sunt decât mate‑ matică deghizată sub diferite veșminte. Așa se face că niște aparent inofensive greșeli matematice pot să aibă consecințe bizare. Această carte este o colecție de greșeli matematice din toate timpurile, care se numără printre exemplele mele favorite. Greșeli precum cele din paginile următoare nu sunt

Umilul Pi - BT.indd 17

UMILUL PI

Pe unul dintre cardurile mele scria că trebuie să găsesc temperaturi mai mici de –8. Numerele pe care le‑am descoperit după ce am răzuit cardul erau –6 și –7 și am crezut că am câștigat, la fel ca femeia de la care am cumpărat cardurile. Dar când am scanat cardul, mașina a spus că nu am câștigat. Am sunat la Camelot și m‑au tras pe sfoară cu o poveste cum că –6 este mai mare, nu mai mic decât –8, dar nu mă fraieresc ei pe mine.

27-Mar-21 15:43:38

M AT T PA R K E R 18

doar amuzante, ci sunt și revelatoare. Ele trag cortina dincolo de care se dezvăluie matematica din culise, unde lucrează de regulă nebăgată în seamă. Este ca și cum, dincolo de vrăjito‑ ria noastră modernă, Oz este surprins lucrând peste program cu abacul și rigla de calcul. Numai când ceva merge prost ne facem brusc o idee despre cât de sus ne‑a îngăduit matema‑ tica să urcăm – și despre cât de adâncă este prăpastia de sub noi. Intenția mea nu este câtuși de puțin să‑i ridiculizez pe oamenii responsabili de aceste erori. Cu siguranță, și eu am comis destule greșeli. Toți am greșit. Ca o provocare amu‑ zantă, în mod deliberat am lăsat trei dintre greșelile mele în această carte. Dați‑mi de știre dacă le găsiți pe toate!

Umilul Pi - BT.indd 18

27-Mar-21 15:43:38

19 UMILUL PI

0 Umilul Pi - BT.indd 19

27-Mar-21 15:43:38

M AT T PA R K E R 20 Umilul Pi - BT.indd 20

1 27-Mar-21 15:43:38

Pe 14 septembrie 2004, aproximativ opt sute de avioane efectuau zboruri pe distanțe lungi deasupra părții de sud a Californiei. O eroare matematică era gata să pună în pericol viețile zecilor de mii de oameni de la bordul aeronavelor.

Fără avertisment, Centrul de Control al Traficului Aerian din Los Angeles a pierdut contactul radio cu toate avioanele. A urmat o justificată panică generală.

Comunicațiile prin radio au încetat vreo trei ore, timp în care controlorii și‑au folosit propriile telefoane mobile ca să contacteze alte centre de control al traficului aerian, care urmau să comunice cu avioanele aflate în aer. Nu au avut loc accidente, dar, în haosul creat, zece avioane s‑au apropiat în zbor mai mult decât permiteau reglementările (5 mile nau‑ tice pe orizontală sau 2 000 de picioare pe verticală); două perechi de avioane au trecut unele pe lângă celelalte la o distanță mai mică de 2 mile.* Patru sute de zboruri au fost *

În sistemul metric: 5 mile nautice = 9 260 m; 2 mile nautice = 3 704 m; 2 000 de picioare = 610 m (n.t.).

Umilul Pi - BT.indd 21

UMILUL PI

21

Cum se pierde noțiunea timpului

27-Mar-21 15:43:38

M AT T PA R K E R 22

întârziate la sol și alte șase sute au fost anulate. Totul din cauza unei erori matematice.

Detaliile oficiale privind natura precisă a ceea ce a funcționat prost sunt puține, dar știm că totul a fost cauzat de o eroare a cronometrelor din computerele centrului de control. Se pare că sistemul folosit de centrul de control cro‑ nometra începând de la 4 294 967 295 de milisecunde, făcând numărătoarea inversă la fiecare milisecundă. Ceea ce însem‑ na că urmau să treacă 49 de zile, 17 ore, 2 minute și 47 296 de secunde până se ajungea la 0.

De regulă, computerele erau repornite înainte de a se încheia numărătoarea inversă, care urma să reînceapă de la 4 294 967 295. Din câte știu, unii oameni erau conștienți de posibila problemă, așa că politica centrului de control impu‑ nea repornirea sistemului cel puțin o dată la treizeci de zile.

Dar aceasta era doar o învârtire în jurul problemei; nu s‑a făcut nimic pentru corectarea erorii matematice subiacente, care consta în faptul că nimeni nu verificase câte milisecun‑ de dura funcționarea programului. Așadar, în 2004, în mod accidental computerele au mers neîntrerupt cincizeci de zile, au ajuns la zero și s‑au oprit. Opt sute de avioane care zburau deasupra uneia dintre cele mai mari metropole din lume au fost în pericol pentru că, în esență, cineva nu a ales un număr suficient de mare.

Lumea s‑a grăbit să dea vina pe un recent upgrade al sis‑ temelor informatice, pe care urma să ruleze o variantă a sis‑ temului de operare Windows. Unele dintre primele versiuni de Windows (în mod deosebit Windows 95) sufereau exact din cauza aceleiași probleme. Ori de câte ori se pornea pro‑ gramul, Windows număra fiecare milisecundă, dând „timpul sistemului”, care coordona toate celelalte programe. Dar, odată ce sistemul ajungea cu numărătoarea la 4 294 967 295,

Umilul Pi - BT.indd 22

27-Mar-21 15:43:38

relua numărătoarea de la zero. Unele programe – drivere, care permit sistemului de operare să interacționeze cu dispozitive externe – aveau o problemă cauzată de faptul că brusc începeau să numere invers. Era necesar ca aceste drivere să cronometre‑ ze ca să se asigure că dispozitivele răspund cu regularitate și că nu au fost inactive prea mult timp. Când Windows le spunea că brusc cronometrul a început numărătoarea inversă, driverele erau distruse, prăbușind odată cu ele întregul sistem.

Nu este clar dacă însuși Windows era direct vinovat ori dacă vina aparținea unui nou cod‑mașină din sistemul cen‑ trului de control. Dar, în ambele situații, știm că vina aparține numărului 4 294 967 295. Nu era suficient de mare pentru computerele personale din anii 1990 și nu era suficient de mare pentru controlul traficului aerian la începutul anilor 2000. A, și nu era suficient de mare în 2015 pentru aeronava Boeing 787 Dreamliner.

Problema avioanelor Boeing 787 rezidă în sistemul care con‑ trola generatoarele de curent electric. Se pare că foloseau un cronometru care socotea intervale de 10 milisecunde (așadar, o sutime de secundă) și care se oprea la valoarea 2 147 483 647 (de bănuit, aproape de jumătatea lui 4 294 967 295…). Asta înseamnă că un Boeing 787 putea să rămână fără alimentare electrică dacă sistemul funcționa fără întrerupere 248 de zile, 13 ore, 13 minute și 56,47 secunde. Era un timp suficient de lung pentru ca majoritatea avioanelor să repornească înain‑ te de apariția unei probleme, dar și suficient de scurt pentru a face posibilă pierderea curentului electric. Administrația Federală a Aviației a descris situația astfel:

23

Programul intern de cronometrare din unitățile de con‑ trol ale generatoarelor (GCU)* se va supraîncărca după

UMILUL PI

*

Umilul Pi - BT.indd 23

GCU – acronim pentru generator control unit (n.t.).

27-Mar-21 15:43:38

M AT T PA R K E R

248 de zile de furnizare continuă a curentului electric, determinând intrarea GCU în modul de siguranță în caz de avarie. Dacă cele patru GCU principale (în asociere cu generatoarele montate pe motoare) erau pornite în același timp, după 248 de ore de alimentare conti‑ nuă, toate cele patru CGU intrau simultan în modul de siguranță în caz de avarie, rezultând de aici pierderea tuturor surselor de curent alternativ, indiferent în ce fază s‑ar afla zborul.

Cred că expresia „indiferent în ce fază s‑ar afla zborul” este modul oficial în care FAA vrea să spună: „Generatoarele se pot opri la mijlocul zborului”. Linia lor oficială de asigura‑ re a navigabilității aeronavelor era cerința de „mentenanță repetitivă privind dezactivarea generatoarelor electrice”.

Altfel spus, oricine deținea un Boeing 787 nu avea voie să uite că trebuia să oprească și să repornească sistemul de alimen‑ tare cu electricitate. Este clasicul remediu al programatoru‑ lui de computere. De atunci Boeing și‑a updatat programul pentru a remedia problema, astfel încât pregătirea avionului pentru decolare nu mai presupune o repornire rapidă.

24

Când 4,3 miliarde de milisecunde nu sunt suficiente Așadar, de ce Microsoft, Centrul de Control al Traficului Aerian din Los Angeles și Boeing se limitează toate la acest aparent arbitrar număr de aproximativ 4,3 miliarde (sau jumătate) când cronometrează funcționarea programului? Cu

Umilul Pi - BT.indd 24

27-Mar-21 15:43:38

*

Umilul Pi - BT.indd 25

GUI – acronim pentru graphic user interface (n.t.).

25 UMILUL PI

siguranță, pare să fie o problemă foarte răspândită. Găsiți un indiciu colosal dacă priviți cum arată numărul 4 294 967 295 în sistemul binar. Scris cu cifrele 1 și 0 din codul computeru‑ lui, devine 11111111111111111111111111111111; un șir de 32 de sim‑ boluri 1 consecutive.

Majoritatea oamenilor nu sunt niciodată nevoiți să se apropie de circuitele reale sau de codul binar din care sunt construite computerele. Lor nu le pasă decât de programe‑ le și aplicațiile care rulează pe aparatele lor și, ocazional, de sistemul de operare pe care rulează programele lor (precum Windows ori iOS). Toate acestea folosesc cifrele normale de la 0 la 9 pentru a scrie numerele în baza 10 pe care cu toții le cunoaștem și le îndrăgim.

Dar sub toate acestea se găsește codul binar. Când oame‑ nii folosesc Windows pe un computer sau iOS pe un telefon, interacționează numai cu interfața grafică a utilizatorului sau GUI* (delicios pronunțat [în engleză] „gooey”). Mai jos de GUI se complică lucrurile. Acolo există straturi de coduri care preiau clicurile pe mouse ale oamenilor care folosesc un dis‑ pozitiv și le convertesc în austerul cod‑mașină alcătuit din 1 și 0 – limbajul nativ al computerelor.

Dacă pe o coală de hârtie aveți loc doar pentru cinci cifre, cel mai mare număr pe care îl puteți scrie este 99 999. Ați umplut fiecare spațiu disponibil cu cea mai mare cifră dispo‑ nibilă. Ceea ce au în comun sistemele folosite de Microsoft, de centrul de control al traficului și de Boeing este că sunt sisteme care operează cu 32 de biți de numere binare, motiv pentru care cel mai mare număr pe care îl pot scrie este format­din 32 de 1 în sistemul binar sau 4 294 967 295 în sis‑ temul zecimal.

27-Mar-21 15:43:38

M AT T PA R K E R 26

Era puțin mai rău în sistemele care voiau să utilizeze unul dintre cele 32 de spații pentru altceva. Dacă doreați să folosiți acea coală de hârtie pe care nu încap decât cinci simboluri pen‑ tru a scrie un număr negativ, ar trebui să lăsați liber primul spațiu pentru un semn pozitiv sau negativ, ceea ce înseamnă că acum puteți scrie numerele întregi dintre –9 999 și +9 999.

Se crede că sistemul de pe Boeing folosea astfel de „numere cu semn”; prin urmare, odată ce primul spațiu era ocupat,* rămânea loc doar pentru maximum 31 de simboluri 1, ceea ce se traduce în sistemul zecimal prin numărul 2 147 483 647.

Socotind doar centisecunde în loc de milisecunde se câștigă ceva timp –, dar nu suficient.

Din fericire, este o cutie de conserve care poate fi azvârli‑ tă cu un șut suficient de departe în lungul străzii încât să nu conteze. Sistemele informatice moderne dispun în general de 64 de biți, ceea ce le permite în mod prestabilit să scrie nume‑ re mult mai mari. Valoarea maximă posibilă rămâne, desigur, finită, astfel încât se presupune că orice computer trebuie să fie, până la urmă, oprit și repornit. Dar, dacă un sistem cu 64 de biți numără milisecunde, nu va atinge acea limită decât după ce s‑au scurs 584,9 milioane de ani. Așa că nu trebuie să vă faceți griji: sistemul va trebui repornit doar de două ori în fiecare miliard de ani.

*

Desigur, nu puteți salva un + ori un – într‑un număr binar, așa că un sistem este obișnuit să indice pozitivul sau negativul folosind tot codul binar, dar asta tot ocupă ceva spațiu (n.a.).

Umilul Pi - BT.indd 26

27-Mar-21 15:43:38

27

Metodele analogice de măsurare a timpului pe care le‑am folosit înainte de inventarea computerelor au cel puțin avan‑ tajul că nu vor atinge niciodată o limită de nedepășit. Limbile unui ceas se pot învârti la nesfârșit; în calendar se pot adă‑ uga pagini noi pe măsură ce trec anii. Uitați de milisecun‑ de: preocupați, ca în vremurile bune de altădată, numai de zile și ani, nu veți avea parte de erori matematice care să vă strice ziua.

Sau așa a crezut echipa de tir a Rusiei când a ajuns la Jocurile Olimpice de la Londra din 1908 cu câteva zile înain‑ te de competiția de tir, programată pe 10 iulie. Dar, dacă vă uitați peste rezultatele Olimpiadei din 1908, veți vedea că alte țări au evoluat bine, dar că la niciun concurs de tir nu există rezultate ale sportivilor ruși. Și asta pentru că data de 10 iulie pentru ruși era 23 iulie în Regatul Unit (și, într‑ade‑ văr, în cea mai mare parte din restul lumii). Rușii foloseau un calendar diferit.

Pare bizar că un lucru atât de simplu precum un calendar poate să funcționeze atât de greșit încât o echipă de sportivi internaționali să sosească la olimpiadă cu două săptămâni mai târziu. Însă calendarele sunt mult mai complicate decât v‑ați aștepta; se pare că împărțirea anului în zile previzibi‑ le nu este chiar atât de simplă și există soluții diferite date acelorași probleme.

Universul nu ne‑a dăruit decât două unități de măsură ale timpului: anul și ziua. Tot restul este creația omenirii, care a încercat să ne facă viața mai ușoară. Pe măsură ce dis‑ cul protoplanetar s‑a solidificat și s‑a fragmentat, formând planetele așa cum le cunoaștem astăzi, Pământul a căpătat

Umilul Pi - BT.indd 27

UMILUL PI

Calendarele

27-Mar-21 15:43:38

M AT T PA R K E R 28

o anumită cantitate de impuls unghiular, care îl face să gra‑ viteze în jurul Soarelui, rotindu‑se în același timp și în jurul propriei axe. Orbita pe care ne‑am înscris în cele din urmă ne‑a dat lungimea anului, iar viteza de rotație a Pământului în jurul axei sale ne‑a dat lungimea zilei.

Numai că ele nu se armonizează. Nu există niciun motiv să o facă! Totul depinde de locul în care niște bucăți de rocă desprinse din discul protoplanetar au ajuns din întâmpla‑ re, în urmă cu miliarde de ani. Mișcarea timp de un an a Pământului pe orbita sa în jurul Soarelui durează 365 de zile, 6 ore, 9 minute și 10 secunde. De dragul simplității, putem vorbi despre 365 de zile și un sfert de zi.

Asta înseamnă că, dacă sărbătoriți Anul Nou după un an de 365 de zile, Pământul mai are de parcurs pe orbită încă un sfert de zi până să ajungă exact unde se găsea de Anul Nou precedent. Pământul se rotește în jurul Soarelui cu o vite‑ ză de aproximativ 30 de kilometri pe secundă, așa că acum, când sărbătoriți Anul Nou, veți fi încă la o distanță de peste 650 000 de kilometri de locul în care vă aflați în urmă cu un an. Așa se face că, dacă decizia voastră este ca Anul Nou să nu rămână în urma mișcării planetare, sunteți deja mult în urmă.

Acest fapt merge de la a fi un inconvenient minor până la a deveni o problemă majoră, deoarece anul orbital al Pământului controlează anotimpurile. În emisfera nor‑ dică vara începe cam în același punct de pe orbita anuală a Pământului, deoarece acolo înclinația planetei noastre se aliniază cu poziția Soarelui. După fiecare an de 365 de zile, calendarul se îndepărtează cu un sfert de zi de începutul ano‑ timpurilor. După patru ani, vara va începe cu o zi mai târ‑ ziu. În mai puțin de patru sute de ani, o perioadă care încape în durata de viață a unei civilizații, anotimpurile se vor fi

Umilul Pi - BT.indd 28

27-Mar-21 15:43:38

Umilul Pi - BT.indd 29

29 UMILUL PI

decalat cu trei luni. După opt sute de ani, vara și iarna vor fi făcut complet schimb de locuri.

Ca să se rezolve această problemă, trebuie să corectăm calendarul pentru a avea același număr de zile ca deplasa‑ rea planetei pe orbită. Cumva, trebuie să scăpăm de același număr de zile în fiecare an, dar fără să adăugăm o parte din‑ tr‑o zi; oamenii se supără dacă reîncepi ziua în alt moment decât la miezul nopții. Trebuie să legăm un an de mișcarea orbitală a Pământului fără să rupem legătura dintre o zi și rotația Pământului în jurul propriei axe.

Soluția pe care au inventat‑o majoritatea civilizațiilor a fost să varieze numărul de zile din fiecare an dat, în așa fel încât să existe în medie un număr fracționar de zile pe an. Dar nu există o singură modalitate de a face acest lucru, motiv pentru care și astăzi există câteva calendare concurente (care încep toate în diferite momente istorice). Dacă aveți vreoda‑ tă acces la telefonul unui amic, intrați în setări și schimbați calendarul său cu cel budist. Brusc, amicul vostru trăiește în anii 2560. Poate încercați să‑l convingeți că tocmai s‑a trezit dintr‑o comă de lungă durată.

Principalul nostru calendar modern este un descendent al calendarului din timpul Republicii Romane. Acesta avea doar 355 de zile, considerabil mai puține decât era necesar, așa că o întreagă lună suplimentară era inserată între februa‑ rie și martie, adăugând anului 22 sau 23 de zile suplimentare. În teorie, această corecție putea fi utilizată pentru a păstra calendarul în aliniere cu anul solar. În practică, era la latitu‑ dinea politicienilor care dețineau puterea să decidă când se insera luna suplimentară. Întrucât decizia putea fie să lun‑ gească anul în favoarea celor la putere, fie să îl scurteze în detrimentul celor din opoziție, motivația nu era întotdeauna păstrarea alinierii calendarului.

27-Mar-21 15:43:38

M AT T PA R K E R

Un comitet politic este rareori o soluție bună a unei proble‑ me matematice. Anii de până în 46 î.H. erau cunoscuți drept „anii de confuzie”, deoarece lunile suplimentare veneau și treceau, având prea puțin legătură cu momentul în care era nevoie de ele. În lipsă de alte informații, cei care călătoreau departe de Roma erau nevoiți să ghicească ce dată era acasă. În 46 î.H., Iulius Cezar a hotărât să instituie un nou calen‑ dar, care să fie predictibil. Fiecare an urma să aibă 365 de zile – numărul cel mai apropiat de adevărata valoare –, iar sferturile de zi excedentare aveau să fie puse la păstrare până când, o dată la patru ani, se adăuga anului o zi în plus.

S‑a născut anul bisect, cu o zi suplimentară!

Ca să se readucă totul din capul locului la alinierea dorită, anul 46 î.H. a avut un posibil record mondial de 445 de zile. Pe lângă luna adăugată între februarie și martie, alte două luni au fost inserate între noiembrie și decembrie. Apoi, începând din 45 î.H., anii bisecți erau inserați din patru în patru ani, ca să se păstreze sincronizarea calendarului.

Ei bine, aproape. A existat o eroare administrativă inițială, deoarece ultimul an dintr‑o perioadă de patru ani a fost soco‑ tit de două ori și ca primul an din următoarea perioadă, astfel încât anii bisecți erau introduși, de fapt, din trei în trei ani.

Dar eroarea a fost descoperită, reparată și, începând din 3 d.H., totul a fost în regulă.

30

Îndrăzneala Papei Dar Iulius Cezar a fost trădat –, deși la multă vreme după moartea lui – de cele 11 minute și 15 secunde diferență din‑ tre cele 365,25 zile pe an calculate în calendarul său și timpul

Umilul Pi - BT.indd 30

27-Mar-21 15:43:38

Umilul Pi - BT.indd 31

31 UMILUL PI

efectiv dintre anotimpuri de 365,242188792 zile. O abatere de 11 minute pe zi nu este la început ușor observabilă; ano‑ timpurile se mută cu numai o zi la fiecare 128 de ani. Însă după un mileniu, abaterea se acumulează. Iar tânăra religie creștină fixase sărbătoarea Paștelui la schimbarea anotim‑ purilor și pe la începutul anilor 1500 exista un decalaj de zece zile între Paște și începutul efectiv al primăverii. Și acum un aspect aparte. Se spune de multe ori că anii din calendarul iulian de 365,25 zile erau prea lungi în comparație cu mișcarea de revoluție a Pământului. Dar este incorect!

Mișcarea orbitală a Pământului durează 365 de zile, 6 ore, 9 minute și 10 secunde – puțin mai mult decât 365,25 zile.

Calendarul iulian este prea scurt în comparație cu mișcarea orbitală. Dar este prea lung dacă se raportează la anotimpuri.

Bizar, anotimpurile nu se armonizează exact cu anul orbital.

Suntem acum la nivelul de precizie a calendarului când intră în joc alte forme de mecanică orbitală. În timp ce Pământul înaintează pe orbită, direcția axei sale înclinate se schimbă la rândul ei, mergând de la momentul în care se îndreaptă direct spre Soare până când arată în altă direcție, procesul durând 13 000 de ani. Un calendar care corespunde perfect mișcării de revoluție a Pământului ar schimba totuși anotimpurile o dată la 13 000 de ani. Dacă factorizăm prece‑ sia axială a Pământului (schimbarea înclinației axei sale) în mișcarea de revoluție, timpul dintre anotimpuri măsoară 365 de zile, 5 ore, 48 de minute și 45,11 secunde.

Mișcarea înclinației Pământului ne aduce în plus 20 de minute și 24,43 secunde la fiecare perioadă de revoluție. Așa se face că adevăratul an sideral (literal, „al stelelor”), bazat pe mișcarea de revoluție este mai lung decât calendarul iulian, dar anul tropical, bazat pe anotimpuri (de care ne pasă efec‑ tiv) este mai scurt. Se întâmplă astfel pentru că anotimpurile

27-Mar-21 15:43:38