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ÍNDICE

Prefacio ................................................................................................

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Cronología de los hechos ....................................................................

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Introducción: De grifos y gravedad ................................................

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Escena 1: La educación de la Falsa Tortuga Escena 2: La corbata de Humpty Dumpty Escena 3: El examen de Alicia Escena 4: ¿Qué hay en un nombre? Escena 5: La lección del Castor Escena 6: Cartografía Escena 7: La bolsa de Fortunatus Escena 8: Una cuestión de gravedad

Primer arrebato: Los niños del norte ...........................................

37

Daresbury / Croft / Richmond / Rugby / A vueltas con el tiempo

Segundo arrebato: Sin tiempo ni para respirar .........................

57

Alumno de Oxford / Un trío de exámenes: elementales, de grado medio, finales

Tercer arrebato: Éxitos y fracasos .................................................

73

Beca de investigación avanzada / Enseñanza universitaria / Nuevo nombramiento / En clase: un botón de muestra / Dodgson como profesor / Poemas y fotografías / Lenguaje cifrado

Cuarto arrebato: A propósito del Libro II de Euclides ............ 103 Enredando con Euclides / Los folletos de Dodgson / Dinámica de una partí-cula / El debate sobre Euclides / Euclides y sus adversarios modernos / El hexágono de Dodgson / La cuadratura del círculo


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Quinto arrebato: Envíenme el siguiente libro… ........................ 127 Dodgson, diácono / Más folletos / Cartas a sus pequeños amigos / Una lección de álgebra: la geometría algebraica del plano; determinantes; la geometría algebraica en el espacio tridimensional; el “método de reducción” de Dodgson / Los ‘Determinantes’ de Dodgson / Chanzas académicas

Sexto arrebato: Fresqueras, mayorías y mnemotecnia ............. 157 Vida de residente / Recuento de votos / Método mnemotécnico / Finales y comienzos/ Partidos de tenis sobre hierba / Representación parlamentaria

Séptimo arrebato: Rompecabezas, problemas y paradojas ..... 183 ‘Un cuento enmarañado’ / Los rompecabezas de Carroll: Rompecabezas aritméticos, rompecabezas geométricos, rompecabezas sobre cómo cruzar un río / Otros pasatiempos: El número 42, Averiguar qué día de la semana es, Coloreando mapas, El mono y la pesa, Todos los triángulos son isósceles, Un poema simétrico

Octavo arrebato: Cuestión de lógica ............................................

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Premisas remilgadas, silogismos disparatados / El juego de la lógica / Lógica simbólica / Venn, Carroll y Churchill / Rompecabezas y paradojas lógicos / Lo que la tortuga le dijo a Aquiles

Conclusión. Y de postre, matemáticas .......................................... 245 Problemas de almohada / Sumas de cuadrados / Adivinar un número / Divisibilidad / Triángulos rectángulos / Epílogo

Notas y referencias bibliográficas ........................................................ 259 Agradecimientos y créditos de las ilustraciones ................................. 281 Breve tabla de medidas ....................................................................... 285


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INTRODUCCIÓN

DE GRIFOS Y GRAVEDAD

‘Empieza por el principio’, dijo el rey, muy serio, ‘y prosigue hasta el final; llegado a ese punto, calla’.

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omo es de esperar en un profesor de matemáticas, los libros destinados al público infantil de Lewis Carroll están cuajados de alusiones matemáticas, ya sean aritméticas, geométricas, lógicas o mecánicas. Se trata de un mundo en el que conviven falsas tortugas y cartas geográficas, grifos y gravedad, huevos que hablan y pañuelos; un mundo que hemos tratado de representar en las ocho escenas que siguen.

ESCENA 1: LA EDUCACIÓN DE LA FALSA TORTUGA

En Alicia en el país de las maravillas, la Reina le presenta Alicia a un Grifo. Éste la conduce hasta una costa rocosa, donde conoce a la Falsa Tortuga, que los observa con los ojos anegados en lágrimas (capítulo IX). Falsa Tortuga: Hubo un tiempo en que fui una tortuga de verdad. Grifo: ¡Hjckrrh! Falsa Tortuga: De pequeñas, íbamos a la escuela del mar. La maestra era una vieja tortuga, a la que llamábamos Tortuga de Jardín. Alicia: Si de verdad no lo era, ¿por qué la llamaban así? Falsa Tortuga: La llamábamos así porque nos daba clase. ¡Mira que eres estúpida! Grifo: Debería darte vergüenza hacer una pregunta tan tonta. Falsa Tortuga: Sí, íbamos a la escuela que estaba en el mar. Aunque yo sólo seguí las materias obligatorias. 1


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Alicia: ¿Cuáles eran? Falsa Tortuga: Para empezar, aprendíamos a Tambalearnos y a Retorcernos, como es natural. Después, las cuatro reglas de la Aritmética: Ambición, Distracción, Afeamiento e Irrisión. Alicia: Nunca había oído eso de ‘Afeamiento’. ¿En qué consiste? Grifo: ¿Que no habías oído la palabra ‘afear’? Supongo que sabes el significado de embellecer. Alicia: Sí… Quiere decir… hacer… que una cosa… sea más bonita. Grifo: En ese caso, si no sabes qué es afear, es que eres aún más tonta de lo que pensaba. Alicia: ¿Cuántas horas de clase tenían al día? Falsa Tortuga: Diez horas el primer día; nueve, el siguiente, y así sucesivamente. Alicia: ¡Qué horario más raro! Grifo: Por eso se llaman horas lectivas, porque su predilección es ir a menos de día en día. Alicia: De modo que al undécimo día, vacaciones. Falsa Tortuga: Pues claro. Alicia: ¿Y qué pasaba el duodécimo día? Grifo: Ya basta de hablar de clases.

ESCENA 2: LA CORBATA DE HUMPTY DUMPTY

En el segundo libro de las aventuras de Alicia, A través del espejo (1871), Alicia se encuentra con el polemista Humpty Dumpty, un rigorista del lenguaje, capaz de convertir un sencillo cálculo aritmético en la más abstrusa de las cuestiones (capítulo VI). Humpty: Dime tu nombre y qué quieres. Alicia: Me llamo Alicia, pero… Humpty: ¡Qué nombre tan necio! ¿Qué significa? Alicia: ¿Acaso un nombre tiene que significar algo? Humpty: Naturalmente. El mío significa la forma que tengo… y una forma bien bonita. Tú, en cambio, con un nombre como ése, podrías tener cualquier forma. ¿Qué edad has dicho que tenías? Alicia: Siete años y seis meses. 2


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Humpty Dumpty, sentado en una tapia.

Humpty: ¡Incorrecto! No me has dicho nada parecido. Alicia: Pensé que me preguntaba qué edad tenía. Humpty: Si hubiese querido decir eso, lo habría dicho. Alicia (tras una pausa): ¡Qué bonito cinturón lleva usted! O más bien, qué bonita corbata…, no, cinturón, mejor dicho… ¡en fin, lo que sea! Humpty: Es una corbata, niña, y bien bonita, como dices. Es un regalo que me hicieron el Rey y la Reina Blancos. Un regalo de no cumpleaños. Alicia: ¿Perdón? Humpty: No me has ofendido. Alicia: Quiero decir, ¿qué es un regalo de no cumpleaños? Humpty: Un regalo que te hacen cuando no es el día de tu cumpleaños, como es natural. Alicia: Prefiero los regalos de cumpleaños. Humpty: ¡No sabes lo que dices! A ver, ¿cuántos días tiene el año? Alicia: Trescientos sesenta y cinco. Humpty: ¿Y cuántos de esos días son tu cumpleaños? Alicia: Uno. Humpty: Y si restas uno de trescientos sesenta y cinco, ¿cuántos te quedan? Alicia: Trescientos sesenta y cuatro, claro está. 3


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Humpty: Más vale que lo pongamos por escrito. Alicia: Trescientos sesenta y cinco… 365 Menos uno… –1 Nos da trescientos sesenta y cuatro 364 Humpty: Parece que está bien… Alicia: ¡Pero si lo está leyendo del revés! Humpty: ¡Ya decía yo que me parecía un poco raro! Como iba diciendo, parece que está bien, aunque no tengo tiempo de repasar la resta a fondo, lo que demuestra que hay trescientos sesenta y cuatro días en los que podrías recibir un regalo de no cumpleaños… Alicia: Desde luego. Humpty: Frente a sólo un regalo el día de tu cumpleaños. ¡Te has cubierto de gloria! Alicia: No sé qué entiende por ‘gloria’. Humpty: Naturalmente que no, hasta que no te lo diga… ¡Significa que es un argumento irrefutable en tu contra! Alicia: Pero ‘gloria’ no significa ‘argumento irrefutable’. Humpty: Cuando yo empleo una palabra, significa exactamente lo que yo quiero que signifique, ni más ni menos.

ESCENA 3: EL EXAMEN DE ALICIA

Cuando Alicia llega por fin a la octava casilla del tablero de ajedrez del otro lado del espejo, confía en convertirse en Reina, pero antes debe responder a las preguntas que le plantean la Reina Roja y la Reina Blanca (capítulo IX). Reina Roja: Como sabes, no puedes ser Reina hasta que no apruebes el correspondiente examen. Así que, cuanto antes empecemos, mejor. Reina Blanca: ¿Sabes Sumar? ¿Cuánto es uno más uno más uno más uno más uno más uno más uno más uno más uno más uno? Alicia: No lo sé. He perdido la cuenta. Reina Roja: No sabe Sumar. ¿Sabes Restar? Resta nueve de ocho. Alicia: No se puede restar nueve de ocho, pero… 4


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Alicia es examinada por la Reina Blanca y la Reina Roja.

Reina Blanca: No sabe Restar. ¿Sabes Dividir? A ver, divide un pan con un cuchillo, ¿qué sale? Alicia: Me imagino que… Reina Roja: Pan con mantequilla, naturalmente. Vamos a probar con otra Resta. Si le quitas un hueso a un perro, ¿qué te queda? Alicia: Si se lo quito, el hueso no queda, claro está… Y el perro tampoco, porque trataría de perseguirme para morderme… ¡Y entonces yo tampoco me quedaría, desde luego! Reina Roja: O sea, que no quedaría nada. Alicia: Creo que ése sería el resultado. Reina Roja: Como de costumbre, te has vuelto a equivocar. Quedaría la paciencia del perro. Alicia: Pero no entiendo cómo… Reina Roja: ¡Pues escucha! El perro perdería la paciencia, ¿no es así? Alicia: Es posible. Reina Roja: Aunque el perro se fuese, ¡se dejaría allí la paciencia! Ambas Reinas: ¡No sabe ni palabra de las cuatro reglas! 5


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ESCENA 4: ¿QUÉ HAY EN UN NOMBRE?

Abundan los absurdos lógicos y filosóficos en los libros de Alicia, como la famosa sonrisa burlona del gato de Cheshire, en Alicia en el país de las maravillas (capítulo VI): ‘De acuerdo’, dijo el Gato. Y esta vez se desvaneció muy despacio, empezando por la punta de la cola y terminando por la sonrisa, que permaneció flotando en el aire un rato, después de que el resto de su cuerpo hubiese desaparecido. ‘Vaya’, pensó Alicia, ‘he visto muchas veces un gato sin sonrisa, ¡pero una sonrisa sin gato! ¡Es lo más raro que me ha pasado en mi vida!’. En A través del espejo, la Reina Blanca pone a Alicia en un brete sobre si se puede creer en un imposible (capítulo V): Reina Blanca: Para empezar, veamos, ¿cuántos años tienes? Alicia: Siete y medio, exactamente.

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Reina Blanca: No hace falta que lo digas ‘con precisa exactitud’. Puedo creerte sin tanta puntualización. Permíteme que te comente algo que tendrás que creer: tengo ciento un años, cinco meses y un día. Alicia: ¡Eso sí que no me lo creo! Reina Blanca: ¿De veras? Inténtalo de nuevo: respira hondo y cierra los ojos. Alicia: No merece la pena. No se puede creer en algo que es imposible. Reina Blanca: A lo mejor es que no estás muy habituada. Cuando yo tenía tu edad, practicaba por lo menos media hora al día. A veces, llegué a creer hasta en seis cosas imposibles antes de desayunar. Tras su encuentro con Humpty Dumpty, Alicia se da de bruces con el Rey Blanco, quien, afanosamente, trata de conservar la corona frente al León y el Unicornio (A través del espejo, capítulo VII): Rey Blanco: ¡A todos di la orden de partir! Dime, pequeña, ¿te has cruzado por casualidad con unos soldados, cuando venías por el bosque? Alicia: Sí, con varios miles, me parece. Rey Blanco: Cuatro mil doscientos siete, para ser exactos. No pude enviar todos los caballos porque, como sabes, tenía que reservar dos para jugar la partida. Tampoco mandé a los dos mensajeros, que han ido a la ciudad. Echa un vistazo al camino, y dime si ves a alguno de ellos. Alicia: No, no veo a nadie. Rey Blanco: ¡Ah, si yo gozase de una vista tan prodigiosa! ¡Mira que ser capaz de ver a Nadie! A tanta distancia y con esta luz, ¡bastante tengo yo con llegar a ver a alguien! Una vez llegado el mensajero, Haigha, el rey continúa con su desvarío: Rey Blanco: ¿A quién has adelantado por el camino? Haigha: A nadie.

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Alicia se topa con el Caballero Blanco.

Rey Blanco: Muy bien. Esta damita también lo asegura. Así que Nadie anda más despacio que tú. Haigha: Hago todo lo que puedo. ¡Seguro que nadie va más deprisa que yo! Rey Blanco: Así es. De lo contrario, habría llegado antes. Posteriormente, Alicia se topa con el Caballero Blanco, encuentro que da lugar a un sinfín de discusiones acerca de sus descubrimientos, hasta que la conversación pasa a versar sobre el nombre de las cosas (capítulo VIII): 8


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Caballero Blanco: Pareces triste; voy a cantarte una canción para que te animes. Alicia: ¿Es muy larga? Caballero Blanco: Es larga, sí, pero muy, muy bonita. Todos los que me la oyen cantar… o prorrumpen en llanto, o… Alicia: ¿O qué? Caballero Blanco: O no, claro está. El título de la canción es Ojos de bacalao. Alicia: Pues, vaya; ¿así que ése es el título? Caballero Blanco: No, no me entiendes. Así es el nombre que le da título, pero en realidad se llama Un hombre viejo, muy viejo. Alicia: En ese caso, lo que tendría que haber preguntado es si ‘así es como se llama la dichosa canción’. Caballero Blanco: Claro que no. ¡Eso es otra cosa! La canción se titula Medios y maneras, pero ¡es sólo una de forma de decirlo! Alicia: Entonces, ¿cuál es la canción? Caballero Blanco: A eso iba. La canción es, realmente, En una cerca sentado, y yo mismo compuse la melodía.

ESCENA 5: LA LECCIÓN DEL CASTOR

Los conceptos matemáticos también están presentes en otros libros para niños de Lewis Carroll. Así, en el Quinto Arrebato de La caza del Snark (1876), “Un desatino en ocho arrebatos”, escuchamos el graznido del pavoroso Jubjub: Un estridente graznido rasgó el cielo estremecido, y comprendieron que, próximo, acechaba el peligro: de la cabeza hasta la cola el Castor empalideció, y también desasosegado el Carnicero pareció… ‘¡Es el grito del Jubjub!’, gritó a voz en cuello ese hombre al que solemos llamar ‘Zopenco’. ‘El Hombre de la Campana diría’, ufano añadió, que ya me pronuncié en determinada ocasión’. ‘¡Es el canto del Jubjub! Contad, os lo ruego: veréis que hasta dos veces os lo he indicado. 9


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El Carnicero le da explicaciones al Castor.

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¡Es el canto del Jubjub! No haya dudas, pues asegurado lo he con ésta, en veces, hasta tres’. Con celoso cuidado había contado el Castor, midiendo cada sílaba con profunda atención; pero perdió la fe en sí mismo y se desesperó, al escuchar, por vez tercera, la repetición. A pesar del empeño y esmero puestos, la cuenta había llegado hasta a olvidar. Los sesos tendría que devanarse, seguro, si quisiera recordar de memoria el total. ‘Dos más uno… ¡Si al menos’, gimió, ‘contar pudiera con los dedos de la mano y el pulgar!’. Con los ojos llorosos, recordó años pasados, cuando ni por las sumas se había molestado. ‘Se puede’, el Carnicero aseveró, ‘sin duda que se puede hacer. Procuradme tinta y papel, pues, los mejores que pueda haber’. El Castor aportó papel y secantes, plumas y tinta en cantidad, mientras, fuera de sus guaridas, y asombrados, turbadores seres salían a observarlos. Absorto, pluma en mano, el Carnicero ni se percató, y en lenguaje llano y claro al Castor de explicarle trató. ‘Pongamos que Tres nuestra cifra es, número fácil a la hora de calcular; si sumamos Siete y Diez, y todo lo multiplicamos por Mil menos Ocho, y el resultado que nos dé, lo dividimos, como ve, por Novecientos Noventa y Dos, le restamos Diecisiete, y exacto ha de ser, y cierto, sin duda, el resultado a obtener’. Más sencilla no puede ser la aritmética contenida en estos versos. Para tratar de explicarle al Castor que 2 + 1 = 3, el Carnicero comienza 11


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por el 3, cantidad a la que suma 7 más 10, para multiplicarla por 1.000 – 8 (o sea, 992), cantidad que divide, a su vez, por 992, de cuyo cociente resta 17, lo que arroja la misma cifra con la que empezó, a saber, el número 3: (3 + 7 + 10) x (1.000 – 8) – 17 = 3 992 Lo cierto es que cualquier número, fuera o no el 3, daría igual, porque el Carnicero siempre obtendría el mismo número por el que hubiera empezado.

ESCENA 6: CARTOGRAFÍA

Con anterioridad, en el Segundo Arrebato de La caza del Snark, el Hombre de la Campana entrega un mapa a los tripulantes que participan en la aventura: Todos ensalzaban al Hombre de la Campana, alababan su apostura, gracia y desenvoltura, de gesto tan grave que bastaba verle la cara para sentir la sabiduría que tal galanura guiaba. Había adquirido un enorme mapa del mar, sin vestigio alguno de tierra firme siquiera. Complacida descubrió, la tripulación entera, que la carta, para todos ellos, inteligible era. ‘¿Qué utilidad tienen, pues, Polos Nortes y Ecuadores, Trópicos, Zonas y Meridianos, de Mercator deudores?’, a los tripulantes apremiaba el Hombre de la Campana, quienes decían: ‘Convenciones son que no sirven para nada. Con tantas islas y cabos, otros mapas son complicados. Demos las gracias, pues, a nuestro Capitán tan arrojado, que nos trae el mejor, perfecta y absolutamente en blanco’. Así lo proclamaba y festejaba la tripulación de cabo a rabo. Un mapa muy diferente es el que se nos presenta en Silvia y Bruno: conclusión (1893), continuación de Silvia y Bruno (1889) y último cuento 12


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La carta oceanográfica del Hombre de la Campana.

infantil que escribiera Lewis Carroll. En esta escena, el narrador del libro (Yo Mismo) y los niños feéricos Silvia y Bruno escuchan a Mein Herr, un imponente y anciano caballero alemán de luenga barba, que nos explica cómo cartografían los mapas en su país de origen: Yo Mismo: ¡Qué útil es disponer de un mapa de bolsillo! Mein Herr: Ésa es otra cosa que aprendimos de su Nación, el arte de la cartografía. Pero hemos ido mucho más allá que ustedes. ¿Cuál creen que pueda ser la escala mayor de un mapa para que éste siga siendo realmente útil? Yo Mismo: Uno proyectado a escala de un metro y medio por cada kilómetro. Mein Herr: ¿Sólo un metro y medio? No tardamos en hacerlos a escala de cuatro metros por cada kilómetro. Ahora tratamos de dibujarlos a escala de unos cien metros por kilómetro. ¡Y lo más increíble! Hemos trazado un mapa de nuestro país a escala real. Yo Mismo: ¿Lo han utilizado con frecuencia? Mein Herr: Todavía no hemos tenido ocasión de desplegarlo por completo, por la oposición de los agricultores. Son de la opinión de que, como cubriría todo el país, impediría que llegase la luz del sol. Así que hemos optado por recurrir al país como tal, 13


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como si fuera un mapa de sí mismo, y les aseguro que resulta casi igual de útil.

ESCENA 7: LA BOLSA DE FORTUNATUS

En Silvia y Bruno: conclusión, mediante la confección de la bolsa de Fortunatus con tres pañuelos, Carroll nos ofrece una muestra más de su capacidad para ilustrar conceptos matemáticos de forma tan fácil como pintoresca. Se trata de una bolsa en que todo lo que está fuera también está dentro, con lo que puede considerarse que contiene todas las riquezas del mundo. En este pasaje se incluye la descripción de un “anillo de papel”, o cinta de Moebius, así denominada en honor del matemático y astrónomo alemán del siglo XIX, August Ferdinand Moebius. Para ello, basta con disponer de una tira rectangular de papel, girar uno de los extremos ciento ochenta grados y unirlo al otro cabo, como se representa en la figura. El objeto resultante presenta una sola cara y un solo borde, lo que significa que un insecto podría recorrerlo sin tener que despegarse de la superficie ni pasar por el borde.

Cómo hacer una cinta de Moebius.

Aunque no es posible plasmarlo en la realidad en nuestro mundo tridimensional, se puede ir más allá en el mismo concepto si con la misma tira de papel intentamos unir los dos pares de lados enfrentados en direcciones opuestas. 14


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Cómo hacer una bolsa de Fortunatus.

El resultado sería la bolsa de Fortunatus, dotada de la misma forma que el objeto matemático que definimos como plano proyectivo. Como no es posible reproducirlo en tres dimensiones, la descripción que se ofrece a continuación culmina antes de que nos adentremos en su imposibilidad. Nos encontramos en un apartado y fresco cenador donde se toma el té. Lady Muriel está cosiendo, bajo la atenta mirada de su padre (el conde de Ainslie) y el narrador, en el momento en que aparece el venerable Mein Herr. Mein Herr: ¿Así que cosiéndoles dobladillos a unos pañuelos? Así que es en eso en lo que se ocupan las damas inglesas. ¿O me equivoco? Yo Mismo: ¡Es la única actividad en la que el Hombre no se ha atrevido a competir con la Mujer! Mein Herr: ¿Ha oído hablar alguna vez de la bolsa de Fortunatus, señora mía? Entiendo. Nada le sorprendería más que saber que, con tres de esos pañuelitos, podría confeccionar rápida y fácilmente tal bolsa. Lady Muriel: ¿De verdad? Enséñeme, se lo ruego, Mein Herr. No tomaré otro sorbo de té hasta que no la haya hecho. Mein Herr: En primer lugar, ha de atar las esquinas superiores: la de la derecha con la del lado derecho, y la izquierda con la del izquierdo. El hueco así formado sería la abertura de la bolsa. Lady Muriel: ¿De modo que si coso entre sí los tres bordes que quedan habré completado la bolsa? Mein Herr: No tan deprisa, señora mía: primero hay que unir los bordes inferiores, ¡pero así no! Retuerza uno de ellos y una la esquina inferior derecha de uno con la esquina inferior izquierda del siguiente y cosa los bordes inferiores del revés, como si dijéramos.

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Lady Muriel: ¡Entiendo! ¡Así conseguiremos una bolsa retorcida, incómoda y extrañísima! Pero la moraleja es edificante: la riqueza ilimitada sólo se alcanza si se hacen las cosas al contrario de como se debe. ¿Y cómo cerraremos esta extraordinaria… quiero decir esta curiosa abertura? Porque sólo hay una, aunque, en un primer momento, pensé que había dos. Mein Herr: ¿Ha visto alguna vez eso que hemos dado en llamar el rompecabezas del anillo de papel? Consiste en hacerse con una tira de papel y unir ambos extremos, pero retorciendo uno de los cabos primero, de forma que la parte superior de uno de los extremos coincida con el lado inferior del otro. El conde: Ayer mismo hicieron uno de ésos delante de mí. Muriel, hija mía, ¿no fuiste tú quien preparó uno de esos artilugios para entretener a los niños que merendaban contigo? Lady Muriel: Sí, conozco ese juego: se hace un anillo que tiene una sola cara y un solo borde. ¡Qué curioso! Yo Mismo: Como la bolsa que estaba cosiendo, ¿no? ¿Acaso la superficie externa de uno de los lados no se continúa por la cara interna del otro lado? Lady Muriel: ¡Pues claro! Sólo que todavía no es una bolsa. ¿Cómo hemos de cerrar este lado, Mein Herr? Mein Herr: El borde de la abertura está formado por los bordes de cuatro pañuelos, y es posible dar vueltas y más vueltas alrededor de ella, pasar del borde inferior derecho del primer pañuelo al dobladillo izquierdo del segundo y, desde el borde izquierdo de éste, alcanzar el extremo superior derecho del primero. Lady Muriel: ¡Tiene razón! ¡Lo que demuestra que sólo hay una abertura! Mein Herr: El tercer pañuelo tiene también cuatro lados, y podríamos proceder del mismo modo. Lo único que tiene que hacer es unir esos cuatro bordes con los cuatro lados que forman la abertura, y habrá completado la bolsa. En cuanto a la cara externa de la misma… Lady Muriel: ¡Ahora lo entiendo! ¡La cara externa sería una continuación de la parte interna! Eso lleva su tiempo. La terminaré después de tomar el té. ¿Por qué la denomina bolsa de Fortunatus, Mein Herr? 16


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Mein Herr: ¿Aún no se ha dado cuenta, hija mía, o debería decir señora mía? Cualquier cosa que esté dentro de esa bolsa también estará fuera de ella, y lo que esté fuera también estará dentro. ¡De modo que todas las riquezas del mundo podría guardarlas en esa bolsa tan pequeña! Lady Muriel: Coseré el tercer pañuelo… en algún momento. Si me pongo a ello ahora mismo, le entretendría más de la cuenta.

ESCENA 8: UNA CUESTIÓN DE GRAVEDAD

Sin abandonar el mismo y agradable cenador, Mein Herr evoca diferentes inventos que pueden admirarse en su país, entre ellos un tren que circula gracias exclusivamente a la acción de la gravedad. Lady Muriel: ¡Se lo ruego, cuéntenos más cosas maravillosas como ésa!

Mein Herr mostrando cómo disponer los pañuelos. 17


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Mein Herr: Los trenes circulan sin necesidad de motor alguno: lo único que hace falta es un mecanismo para detenerlos. No me dirá que eso no es maravilloso, señora… Lady Muriel: ¿Qué los impulsa, pues? Mein Herr: La fuerza de la gravedad. Creo que es una fuerza que también conocen en su país. El conde: Siempre y cuando las vías discurran cuesta abajo. No pretenderá decirme que todos sus ferrocarriles circulan cuesta abajo… Mein Herr: Todos. El conde: No en ambos sentidos, supongo. Mein Herr: En ambos sentidos, por supuesto. El conde: ¡No entiendo nada! Lady Muriel: ¿Por qué no nos lo explica? Mein Herr: Será un placer. Todas las vías discurren por un largo túnel, perfectamente recto. Como es natural, el punto medio del túnel se encuentra más cerca del centro de la Tierra que los extremos, de forma que los trenes realizan medio trayecto cuesta abajo y eso les da impulso suficiente para recorrer la otra mitad del camino cuesta arriba. Lady Muriel: Gracias por sus explicaciones. Lo he entendido perfectamente, ¡aunque prefiero no imaginarme siquiera la sobrecogedora velocidad a la que pasarán por el centro del túnel! Lewis Carroll estaba obsesionado con la fuerza gravitatoria. Las aventuras de Alicia en el país de las maravillas comienzan con la niña cayendo en la honda madriguera del conejo, sin dejar de preguntarse a qué profundidad se encontrará. Me pregunto cuántos kilómetros llevaré recorridos en este momento. Debo de hallarme en algún punto próximo al centro de la Tierra. Veamos: el centro debe de estar a unos seis mil kilómetros de profundidad, o eso creo… ¡A lo mejor atravieso la Tierra de parte a parte en la caída! ¡Qué divertido sería aparecer entre gente que anda cabeza abajo! Los antípatas, creo que los llaman… Mientras cae, se apodera de un tarro que hay en un anaquel, identificado con una etiqueta que reza: M E RM E LADA DE NARAN JA . Para 18


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desesperación de la niña, está vacío. Con todo, decide no soltarlo, no vaya a matar a alguien que se encuentre más abajo, sin darse cuenta de que, mientras siga cayendo, el tarro la acompañará en el descenso. Este mismo concepto aparece, mucho más elaborado, en Silvia y Bruno, cuando lady Muriel, su padre el conde y el narrador (Yo Mismo) conversan con un joven médico llamado Arthur. El narrador acaba de insistir en tomar una taza de té con el conde al otro lado de la estancia. No tarda en salir a relucir, durante el coloquio, el problema de tomar el té en una casa que se esté cayendo. Lady Muriel: ¡Qué conveniente sería si las tazas de té no pesasen! Quizá así, en ocasiones, estaría permitido que las damas recorriesen distancias cortas con ellas en la mano. Arthur: No es muy difícil imaginar una situación en que, necesariamente, las cosas no tengan peso una respecto de otra, aunque cada objeto considerado en sí mismo conserve su peso habitual. El conde: ¡Otra de esas inquietantes paradojas! Explíquenos cómo es posible que ocurra algo así, porque no creo que podamos resolverlo por nuestra cuenta. Arthur: Veamos. Supongamos que esta mansión, tal como la vemos, estuviera situada a unos cuantos miles de millones de kilómetros por encima de la Tierra, sin ningún otro objeto cercano a ella que pudiese interferir. Como es natural, acabaría por caer en nuestro planeta. El conde: Supongo, aunque pasarían siglos antes de que tal cosa ocurriese. Lady Muriel: ¿Estarían incluso tomando el té de las cinco las personas que viviesen en ella? Arthur: Harían eso y todo lo demás. Los habitantes de la casa seguirían con su rutina diaria, se harían mayores y morirían; mientras, la casa seguiría cayendo y cayendo, siempre cayendo. Pero veamos qué ocurre con el peso relativo de los objetos que contiene. Porque no hay nada que pueda tener peso, a no ser que intente caer y una fuerza se lo impida. ¿Estamos de acuerdo? Todos: Sí. Arthur: Sigamos, pues. Si yo tomo este libro y lo sostengo en las manos, sentiré su peso, como es natural. Tiene tendencia a caer, 19


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LEWIS CARROLL EN EL PAÍS DE LOS NÚMEROS

pero yo lo impido. De modo que, si lo suelto, caerá al suelo. Pero si todos y todo estuvieran cayendo al mismo tiempo, no podría tratar de caer más deprisa que el resto; incluso si lo soltase, ¿qué otra cosa podría hacer, sino caer? Como mis manos estarían cayendo también, y a la misma velocidad, nunca podría desprenderse de ellas, porque eso significaría que caería por delante de todo lo demás. ¡Y nunca llegaría a chocar contra el suelo, que también estaría cayendo! Lady Muriel: Entiendo bastante bien la explicación, ¡pero me da vértigo pensar en cosas así! ¿Cómo puede plantearnos semejante trapisonda? Yo Mismo: Pues hay algo que resulta más sorprendente todavía. Imaginen que hay una cuerda atada alrededor de la casa y que, desde abajo, alguien en nuestro planeta tira de la cuerda. En ese caso, la casa caería a una velocidad superior a la velocidad natural de caída, pero los muebles, incluso nuestras nobles personas, seguirían cayendo a la velocidad de antes, y nos quedaríamos atrás. El conde: Vamos, que llegaríamos hasta el techo, y acabaríamos con la inevitable conmoción cerebral. Arthur: Para evitar esa situación, imaginemos que el mobiliario permanece clavado al suelo y nosotros atados a los muebles. En ese caso, el té de las cinco discurriría con toda normalidad. Lady Muriel: ¡Con un pequeño inconveniente tan sólo! Las tazas que sostuviésemos caerían con nosotros, pero ¿qué pasaría con el té? Arthur: Es verdad, el té, lo había olvidado. El té, sin duda, llegaría hasta el techo, ¡a menos, claro está, que lo tomásemos por el camino! El conde: ¡Con lo que me parece que hemos cubierto el cupo de tonterías para pasar el rato! Así es, dejemos los absurdos para otro momento. Tras estas incursiones en el mundo de su álter ego, Lewis Carroll, centremos nuestra atención en los primeros años de la vida de Charles Dodgson.

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