5
La taxa de variació mitjana
5.1
Càlcul de la taxa de variació mitjana
Moltes vegades, per interpretar correctament una gràfica és important determinar la rapidesa amb què creix o decreix la funció representada. Així, donat un interval determinat [a, b], la taxa de variació mitjana (TVM) de la funció f (x) a l’interval [a, b], inclòs dins el domini de la funció, és el quocient entre l’increment de la variable dependent i l’increment de la variable independent: f (b ) − f (a ) TVM[a , b ] (f ) = b −a
B
f(b)
a b
A
f(a)
La taxa de variació mitjana de la funció f(x) a l’interval [a, b] coincideix amb el pendent de la recta que uneix els punts A = (a, f(a)) i B = (b, f(b)).
Com aplicar-ho. Analitzar gràficament la taxa de variació mitjana Analitza la funció donada per la gràfica adjunta i calcula la taxa de variació mitjana als intervals [−2, 2], [−2, 1] i [1, 2]. • Interval [−2, 2]:
3
Tenim que a = −2 i b = 2, i que f (a) = −1 i f (b) = 2. 2 − (−1) 3 Per tant, TVM[−2, 2] (f ) = = . 2 − (−2) 4 • Interval [−2, 1]: En aquest cas a = −2, b = 1, f(a) = −1 i f (b) = 0. 0 − (−1) 1 Per tant, TVM[−2, 1] (f ) = = . 1− (−2) 3
B
2 1 0 −2
0
−1
1
2
−1
A
−2
Consells Generalment, la variable dependent es representa per x, però quan ens referim al temps se sol representar per t. Aleshores la rapidesa de creixement o decreixement és la velocitat, i la taxa de variació mitjana a l’interval [a, b] coincideix amb la velocitat mitjana a aquest interval.
177
Comprova que el pendent de la recta de la gràfica que passa pels punts A i B és 3/4. Fixa’t que la taxa de variació mitjana a l’interval [−2, 2] no és la suma ni la mitjana de les taxes de variació mitjanes als intervals [−2, 1] i [1, 2].
• Interval [1, 2]: En aquest cas a = 1, b = 2, f (a) = 0 i f (b) = 2. 2−0 Per tant, TVM[1, 2] (f ) = = 2. 2 −1
Vegeu els exercicis 11, 12 i 13 pàg. 177; 42 i 45 pàg. 183.
13 ■■■ Calcula la taxa de variació mitjana de f (x) = x2 + 1 als
Aplica
intervals: 11 ■ Donada la funció f (x) = x2 + x:
a)
a) Fes una taula de valors.
[−3, 0]
b) [0, 3]
Raona
b) Representa-la gràficament. c) Indica si té alguna simetria.
14 ■■■ Taxa de variació: 12 ■ Calcula la taxa de variació mitjana de la funció f (x) = x
a) Fixa’t que si la funció és creixent a un interval [a, b],
als intervals:
la taxa de variació mitjana és positiva.
2
a) b)
[−1, 4] [0, 5]
c) Els dos intervals tenen la mateixa amplada, però a quin hi ha més creixement de la funció?
U09_Mates4ESO_(K5_E2).indd 177
b) Dibuixa un exemple d’una funció que tingui f (b) − f (a ) > 0 i en canvi no sigui creixent a l’interval b −a [a, b].
15/02/12 16:26