Geometria a l’espai
2
Els poliedres regulars. El teorema d’Euler 2.1 Recorda
El desenvolupament pla d’un poliedre és un dibuix format per un conjunt de polígons units per les arestes, que es pot plegar, doblegant les arestes,
Els poliedres regulars
Un poliedre és regular si: • Les seves cares són polígons regulars iguals. • A cada vèrtex hi concorren el mateix nombre de cares. Només hi ha cinc poliedres que compleixen aquestes condicions: el tetraedre, el cub (o hexaedre), l’octaedre, el dodecaedre i d’icosaedre. Els poliedres regulars, també anomenats sòlids platònics, es poden obtenir a partir dels seus desenvolupaments plans:
per tal d’esdevenir les cares del poliedre.
tetraedre
cub
octaedre
dodecaedre
Exemples
Alerta No es pot construir un poliedre regular amb hexàgons perquè
200
la suma dels angles és de 360º i ha de ser de 270º.
icosaedre
180º
7. Amb triangles equilàters es poden formar angles poliedres de 3, 4 i 5 triangles.
240º
300º
60º 60º
60º
Tenim, doncs, poliedres amb 3, 4 i 5 triangles per vèrtex. Podem formar poliedres de 4, 8 i 20 cares respectivament, que corresponen al tetraedre, l’octaedre i l’icosaedre.
360º
tetraedre
120º
octaedre
icosaedre
8. Amb quadrats, només es pot formar un triedre constituït per tres quadrats. L’angle del triedre és de 270º. S’obté un poliedre regular de sis cares: el cub. 270º
90º
cub
9. Amb pentàgons regulars, només es poden formar triedres de tres polígons. S’obté un poliedre de 12 cares anomenat dodecaedre.
324º
108º
dodecaedre
No és possible, però, construir poliedres a partir de polígons regulars amb més costats que el pentàgon, ja que calen un mínim de tres polígons per construir un triedre i la suma dels angles seria igual o superior a 360º. Per tant, només hi ha cinc poliedres regulars: el tetraedre, el cub, l’octaedre, el dodecaedre i l’icosaedre.
Raona
4 ■ Comprova que la figura següent també correspon al desenvolupament d’un cub.
3 ■ Si s’uneixen dos tetraedres per la base s’obté un poliedre format per sis triangles equilàters. Explica per què aquest poliedre
5 ■ Per què no es pot construir un poliedre
no és un poliedre regular.
de cares hexagonals?
Mates3ESO_U10.indd 200
24/1/11 13:14:38