L’esfera i el globus terraqüi
Geometria a l’espai
8
8.1
Concepte d’esfera i els seus elements
Una esfera és un cos de revolució generat per un gir de 360º d’un semicercle al voltant del seu diàmetre. Tots els punts de la superfície esfèrica equidisten d’un punt anomenat centre. La distància d’un punt al centre s’anomena radi de l’esfera, i es correspon amb el radi de la semicircumferència que la genera. A més, en l’esfera cal considerar els elements següents:
Alerta
• Cercles. Són seccions determinades per un pla que talla l’esfera. Si el pla passa pel centre, el cercle és màxim, en cas contrari, el cercle s’anomena menor. • Pols. Són els dos extrems oposats al diàmetre perpendicular a un cercle.
No confonguis superfície esfèrica amb esfera: Quan parlem d’esfera ens refe-
• Casquets esfèrics. Són la part menor de la superfície esfèrica determinada per la secció d’un pla. Exemple
rim a tot el cos. Quan parlem de superfície es-
pol
27. Fixa’t en els elements d’aquesta esfera:
fèrica ens referim a la superfície que la limita.
cercle menor
90º radi
cercle màxim
pol
casquet
210 8.2
Àrea i volum d’una esfera
L’àrea A d’una superfície esfèrica de radi r és: A = 4πr 2 A diferència del cilindre i el con, l’esfera no admet un desenvolupament pla. Això fa que l’àrea d’una superfície esfèrica no sigui fàcil de deduir. El volum V es pot deduir aplicant el principi de Cavalieri. Arquimedes va imaginar una semiesfera un con i un cilindre amb la mateixa altura i la mateixa base. Va deduir que seccionant els tres cossos per un pla horitzontal que els tallés per la meitat de l’altura, la secció del cilindre seria la suma de les àrees de les seccions del con i de la semiesfera. r d
d
r
r
Per tant, aplicant el principi de Cavalieri, tindrem: Vcilindre = Vcon + Vsemiesfera, i per tant: 1 2 2 3 Vsemiesfera = Vcilindre Vcon = r 2 r r r= r 3 3 Finalment, el volum de l’esfera s’obté multiplicant per 2 el volum de la semiesfera, és a dir: 4 3 Vesfera = r 3 Exemple 28. Calcula l’àrea de la superfície esfèrica i el volum d’una esfera de 2 dm de radi. A = 4πr 2 → A = 4 · 3,14 · 22 = 50,27 dm2 4 3 4 V= r V= 8 = 33,51 dm3 3 3
Mates3ESO_U10.indd 210
24/1/11 13:14:56