7.3
Plans de simetria d’altres poliedres i dels cossos de revolució
• Els prismes rectes tenen tants plans de simetria com eixos de simetria tinguin les bases, i a més un pla paral·lel a una de les bases que el secciona per la meitat. • Pel que fa a les piràmides rectes, la situació és la mateixa que la dels prismes pel que fa als eixos de simetria de la base, però no tenen pla de simetria paral·lel a la base. • Els cossos de revolució tenen infinits plans de simetria perpendiculars a la base que conté l’eix de rotació. En el cas de l’esfera, tot pla que seccioni l’esfera i passi pel seu centre és un eix de simetria. Exemples 24. Un triangle equilàter té tres eixos de simetria, per tant, un prisma amb aquesta base tindrà tres plans perpendiculars a les bases i un pla paral·lel a les bases que el seccioni per la meitat. La figura mostra els eixos de simetria d’un triangle equilàter i la seva correspondència amb els plans de simetria del prisma. 25. Fixa’t en alguns dels infinits plans d’un cos de revolució. En el con i el cilindre, els plans de simetria són perpendiculars a la base i contenen l’eix de rotació. En l’esfera, qualsevol pla que passi pel centre és un pla de simetria.
7.4
plans de simetria perpendiculars a les bases
pla de simetria paral·lel a les bases eix de rotació
eix de rotació
eix de rotació
209
Semblança en cossos geomètrics
La raó de semblança k entre les àrees de dos poliedres construïts a partir de polígons semblants és k2 i la raó entre els volums és k3. Exemple 26. Els dos paral·lelepípedes de la figura estan construïts a partir de paral·lelograms semblants. La raó de semblança entre les arestes és 2 (2 : 1 = 2). Fixa’t que la raó de les àrees dels paral·lelograms que formen els dos cossos és el quadrat de la raó de semblança (22 = 4), i que caben 8 cossos com el primer en el segon. Per tant, la raó entre volums és el cub de la raó de semblança (23 = 8).
Aplica
29 ■ Quants plans de simetria té una piràmide regular de base quadrada?
27 ■ Dibuixa els eixos de simetria d’un rectangle i fes-los servir per deduir els eixos de simetria d’un ortoedre. 28 ■ Quants plans de simetria té un prisma recte la base del qual és un hexàgon regular?
30 ■ Un cub té 2 cm d’aresta, i un altre té una aresta de 8 cm. Quina relació hi ha entre els dos volums? 31 ■■ Un tetraedre té una aresta de 4 cm. Calcula’n l’àrea. Quin serà l’àrea d’un tetraedre d’aresta 6 cm?
Mates3ESO_U10.indd 209
24/1/11 13:14:54