6.3
Volum d’un con
El volum del con es pot obtenir per analogia al volum d’una piràmide aplicant el principi de Cavalieri. És a dir, el volum d’un con d’altura h és el mateix que el volum d’una piràmide de la mateixa altura: V=
1 A h 3 B
r2 h 3
V=
Recorda La secció d’un con i d’una piràmide amb la mateixa base i la mateixa altura, per un pla situat a la mateixa alçada, tenen la
V=
r 2 h 3,14 302 60 169 560 = = = 56 529 cm3 3 3 3
6.4
altura
20. Per calcular el volum d’un con amb una base de 30 cm de radi i una alçada de 60 cm només cal aplicar la fórmula:
altura
mateixa àrea.
Exemple
Àrea i volum d’un tronc de con
Quan se secciona un con per un pla paral·lel a la base s’obté una figura anomenada tronc de con.
con sobrant
L’àrea d’un tronc de con és la suma de l’àrea de les bases més l’àrea lateral:
207 r r
• Àrea de les bases: AB = πR2 + πr2, en què R és el radi de la base gran, i r, el de la petita.
generatriu r
• Àrea lateral: és un trapezi circular limitat per dos arcs de longituds 2πR i 2πr, respectivament. L’àrea lateral és, doncs, la d’un trapezi de bases 2πR i 2πr i d’altura g (g és la generatriu del tronc de con), per tant:
(2
2πr
R
R + 2 r)g
= (R + r ) g 2 El volum s’obté restant el volum del con gran i el con sobrant V = Vcon gran − Vcon sobrant. AL =
2πr
Recorda Dos triangles rectangles amb un angle comú són semblants.
Exemple
A
21. Per calcular l’àrea d’un troc de con amb una base gran de 30 cm de radi, una de petita de 15 cm, i una generatriu de 10 només cal aplicar les fórmules: AB = πR2 + πr2 → AB = 3,14(302 + 152) → AB = 3 532,5 cm2 AL = π(R + r) = 3,14(30 + 15)10 = 1 413 cm
AC CB AB —— = —— = —— AC’ CB’ AB’ C
B
2
A = AB + AL = 3 532,5 + 1 413 = 4 945,5 cm2
Resol
C’
B’
25 ■ Una llauna de refresc fa 6,5 cm de diàmetre i 10,5 cm d’altura. Quin volum té? Quant de material cal per construir-la?
23 ■ Calcula l’àrea i el volum d’un cilindre de 10 cm d’altura si té un diàmetre de 5 cm. Quina capacitat en litres té?
26 ■■ La generatriu d’un con mesura 15 cm i la base té un radi de 9 cm. Calcula el volum del con i la seva àrea. Si aquest
24 ■ Calcula el volum i l’àrea d’un con de 12 cm d’altura si el
se secciona per un pla situat a 4 cm de la base, calcula l’àrea i el
radi de la base és de 4 cm.
volum del tronc de con resultant.
Mates3ESO_U10.indd 207
24/1/11 13:14:51