Geometria a l’espai
6
Cossos de revolució: el cilindre i el con r
altura
generatriu
eix altura
generatriu
r r
radi
6.1
Àrea i volum d’un cilindre
Els anomenats cossos de revolució s’obtenen fent girar 360º una figura plana al voltant d’un eix. Els principals cossos de revolució són el cilindre, el con i l’esfera. Un cilindre és un cos de revolució generat per la rotació d’un rectangle. L’eix de rotació és un dels costats del rectangle. L’àrea d’un cilindre és la suma de l’àrea de les bases i de l’àrea lateral, que és un rectangle:
base
eix de rotació
• Àrea de la base: AB = πr 2.
radi r
altura h
altura h
altura h
altura h
• Àrea lateral: AL = 2πr · h.
base rectangle: 2πr
radi base
volum cilindre = àrea base · altura
volum prisma = àrea base · altura
Per tant, l’àrea total és: A = 2AB + AL → A = 2πr 2 + 2πr · h El volum d’un cilindre es calcula aplicant el principi de Cavalieri. És, doncs, equivalent al volum d’un prisma de la mateixa base i altura. Com que l’àrea de la base és AB = πr 2: V = AB · h → V = πr 2 · h
Exemple 18. Per calcular l’àrea i el volum d’un cilindre amb un radi de 30 cm a la base i 60 cm d’altura, només cal aplicar les fórmules:
206
Àrea: A = 2πr 2 + 2πr · h = 2πr(r + h) = 2 · 3,14 · 30(30 + 60) = 16 956 cm2. Volum: V = πr 2 · h = 3,14 · 302 · 60 = 169 560 cm3.
6.2
Àrea d’un con
Un con és un cos de revolució generat per un triangle rectangle que gira al voltant d’un catet. La generatriu g del con és la hipotenusa del triangle rectangle. El desenvolupament pla del con consta d’un sector circular el radi del qual és la generatriu, i d’un cercle.
vèrtex longitud de l’arc: 2πr
altura
generatriu
L’àrea del con s’obté sumant l’àrea del sector circular i l’àrea del cercle que forma la base. radi base
generatriu
eix de rotació
radi: r
Per calcular l’àrea del sector circular, cal tenir en compte la longitud del seu arc. Si r és el radi de la base, la longitud de l’arc és l = 2πr. Aleshores, l’àrea del sector és As = πr · g. Per tant, l’àrea total del con serà: A = πr · g + πr 2
Exemple 19. Calcula l’àrea d’un con de 30 cm d’alçada i 20 cm de radi. Per poder aplicar la fórmula cal la generatriu. Tenint en compte que equival a la hipotenusa d’un triangle de catets 30 cm i 20 cm, la generatriu es pot obtenir aplicant el teorema de Pitàgores: g = 302 + 202 = 900 + 400 = 36,05 cm. A = πr · g + πr2 → A = πr(g + r) → A = 3,14 · 20(36,05 + 20) = 3 519,94 cm3
Mates3ESO_U10.indd 206
24/1/11 13:14:49