5.3
Volum d’una piràmide
El volum d’una piràmide és la tercera part de l’àrea de la seva base per l’altura, i és equivalent a un terç del volum d’un prisma de la mateixa base i altura: 1 V = AB h 3 Exemple 17. Fixa’t com, en un cub d’aresta c, hi caben 6 piràmides iguals l’altura de les quals és la meitat de l’aresta. 1 Com que volum del cub és V = c3, aleshores, el volum de cada piràmide és V = c 3. 6 c Tenint en compte que l’alçada de la piràmide és h = , el volum es pot expressar 2 1 1 V = c 3 = c 2 h. Com que c2 és l’àrea de la base de la piràmide AB , finalment s’arriba 6 3 1 a l’expressió V = AB h. 3
5.4
c c — 2
Volum d’un tronc de piràmide
Un tronc de piràmide és el cos que resulta de seccionar una piràmide per un pla paral·lel a la base. En el cas que la piràmide sigui regular, les cares són trapezis isòsceles.
205
El volum d’un tronc de piràmide és igual al volum de la piràmide de la qual prové, menys el de la piràmide que se li talla.
Com aplicar-ho. Calcular el volum d’un tronc de piràmide
Consells
Se secciona una piràmide de base quadrada de 10 cm de costat i alçada 12 cm, per un pla paral·lel a 5 cm de la base. Calcula el volum del tronc.
Fes-te un esquema gràfic abans de començar.
• Primer cal calcular el volum de la piràmide original: 1 1 Vpiràmide original = AB h 100 12 = 400 cm3 3 3 • Per calcular el volum de la piràmide sobrant, cal tenint en compte que els triangles rectangles ABC i A’BC’ són semblants. Per calcular l’apotema de la base 5 x s’estableix per Tales la relació de proporcionalitat = x = 2,92 cm. 12 7 • La longitud de la base de la piràmide sobrant és el doble de l’apotema, b = 2,92 · 2 = 5,84 cm, i la seva àrea A és el quadrat de la base: A = b2 → A = 5,842 = 24,03 cm2 1 • El volum de la piràmide sobrant és Vpiràmide sobrant = 34,03 7 = 79, 40 cm3. 3 • El volum del tronc és: Vtronc = Vpiràmide original − Vpiràmide sobrant = 400 − 79,40 = 320,60 cm3
Recorda les relacions entre costats de triangles semblants.
Aplica
B
B
7 cm
12 cm C’
A’
C
C’ 5 cm
A
C
A’
5 cm
A
10 cm
Vegeu els exercicis 24 pàg. 207; 77 pàg. 219.
21 ■ Se secciona a 4 cm de la base una piràmide de base quadrada de 20 cm de costat i alçada 30 cm.
20 ■ Calcula el volum d’una piràmide de base quadrada de
Calcula el volum del tronc.
13 cm
costat a = 8 cm i altura h = 10 cm. 22 ■■ Calcula el volum de la piràmide.
Mates3ESO_U10.indd 205
10 cm
24/1/11 13:14:48