Geometria a l’espai
5
Volum dels poliedres 5.1 Recorda
Volum d’un ortoedre
Si tenim un ortoedre d’amplada a, longitud b i alçada c, el seu volum V es calcula multiplicant les tres dimensions.
Un ortoedre és un paral-
V=a·b·c
lelepípede ortogonal, és a dir,
Com que l’àrea de la base AB d’un ortoedre és AB = a · b, i l’altura c es pot designar com a h, també es pot dir que el volum d’un ortoedre és igual al producte de l’àrea de la base per l’altura.
les cares formen entre si angles diedres rectes. Són prismes rectangulars rectes. Les cares opo-
c
a
b
V = AB · h
sades d’un ortoedre són iguals.
Exemple
Un cub és un cas especial d’ortoedre en què totes les cares
14. Les dimensions de l’ortoedre de la figura són a = 3 cm, b = 4 cm i c = 4 cm. El seu volum és V = 3 · 4 · 4 = 48 cm3.
són quadrats.
5.2
Volum d’un prisma. El principi de Cavalieri
Suposa dos cossos o més que compleixen les condicions següents: • Tenen la mateixa altura i les àrees de les seves bases són iguals. • Un pla paral·lel a la base determina seccions d’àrea igual.
204
Aleshores, el volum d’aquests cossos és igual. Aquesta propietat és general i rep el nom de principi de Cavalieri, i permet deduir que el volum d’un prisma és el mateix que el d’un ortoedre de base AB i altura h. V = AB · h Exemples 15. La figura següent representa un prisma recte de base triangular, un ortoedre de base quadrada i un prisma oblic de base quadrada. Fixa’t que els tres cossos verifiquen el principi de Cavalieri.
altura
L’àrea de les seves bases és la mateixa, tenen la mateixa altura i les seccions paral·leles a la base tenen la mateixa àrea, i, per tant, tenen el mateix volum. 16. Calcula el volum d’un prisma oblic, inclinat 45º, que té una base quadrada i de 10 cm2 i una alçada de 15 cm. El fet que estigui inclinat no influeix, i se’n pot calcular el volum aplicant la fórmula directament: V = AB · h → 10 · 15 = 150 cm2.
Aplica
Resol
17 ■ Calcula el volum d’un prisma de base quadrada de costat
19 ■ Un envàs de llet té forma d’ortoedre. Les mides de la seva
4 cm i d’altura 6 cm.
base són 64 i 72 mm. Si la capacitat de l’envàs és d’1 L, quina és l’altura? (recorda que una capacitat d’1 L és equivalent a un
18 ■ Un cub té un volum de 64 cm3. Calcula les dimensions de
volum d’1 dm3).
la seva aresta. Quina és l’àrea del cub?
Mates3ESO_U10.indd 204
24/1/11 13:14:47