Quadern d'estiu. Matemàtiques. 3è d'ESO

Quadern 3r ESO d’ estiu > Lo

Matemàtiques < ur

s e d

• l i G

M

arín M l e an

t fi o r p Treu tiu! de l’es

Aquest quadern...

REFRESCA LA MEMÒRIA

3 a setmana

5

4

3

2

1

òria...

Refresca la mem

ions lineals Gràfiques i func an Sainte-Marie-de-Camp 864 m

Ho saps resoldre?

PAU 217m

e-Bigorre Côte de Bagnères-d 644 m POUZAC 514 m

a?

etres té l’etap

1 Quants quilòm

Côte de Loucrup 530 m

ARREAU 705 m

PIERREFITTE NESTALAS

S LA BARTHE DE-NESTE 582 m

3

35,5

15

74,5

48,5 56,5 61,5

105

85,5

117

147

129,5

y

la funció s i mínims, si

178 184,5

CREA EL TEU ENUNCIAT! …perquè facis tu de professor i redactis un enunciat adequat a les operacions o a la solució donada.

és con-

màxim ixement, els ment o decre als de creixe nua. cas, els interv no sigui contí 1 Indica, en cada ïtat, en cas que de discontinu y 5 tínua i els punts b)

188 km

0 km

4

s

147 km

3

Côte de Cauterets 817 m

UES PYRÉNÉES-ATLANTIQ / HAUTES-PYRÉNÉES

ascen a es troba en 3 Indica si l’etap km a) 105 km i 117 c) 129,5 km i

Goddet

2 115 m

LOURDES 377 m

COARRAZE 269 m

ud màxima 2 Quina és l’altit En quin punt que s’assoleix? leix aquesta quilomètric s’asso altitud?

4

CAUTERETS 916m

HC

na

x, i una independent, 25 una variable ament una relació entre 20 representar gràfic Una funció és funcions es poden 15 ndent, y. Les variable depe ians.

10 le indevariab la de en uns eixos cartes entar el valor 5 nt quan en augm En cas contra 10 y.

9 creixe 8 dent és 7 6 5 4 Una funció 3 x 2 la variable depen una 1 0 dreta mostra enta el valor de la de augm x a nt gràfic pende ple: la 2 i x = 4. decreixent. Exem ixent entre x = punts en els decre i 6, ri, la funció és = x i s relatius, i els x=4 diuen màxim creixent entre que té un màxim decreixent es a funció que és funció nt una a creixe passa de gràfica mostr s. Exemple: la els quals la funció relatiu s mínim Els punts en nt, decreixent a creixe cas contrari, es quals passa de del paper. En mínim en (4, 5). aixecar el llapis en (2, 20) i un pot dibuixar sense seva gràfica es contínua si la Una funció és a discontinuïtat. presenta algun diu que la funció

Col du Tourmalet

Souvenir Jacques

1

Col d’Aspin 1 490 m

3

Côte de Mauvezin 501 m

a a el perfil de l’etap La figura mostr de França. «reina» del Tour

3 a setma

5

4

3

2

1

…perquè tinguis a mà el contingut teòric que hauràs d’aplicar en les activitats que hi ha a continuació.

➚➘ ➚➘

➚

etres següents: entre els quilòm o descens km b) 117 km i 129,5 km d) 147 km i 178

➘

a)

3

y

7

2

6

➚➘ ➚➘

1

5 4 –5

3

–4

–2

–3

–1

0 –2

–1

2

1

3

5 x

4

–3

1 –3

0 –1 –2

2

1

3

2

4

5

7

6

8 x

–4 –5

–1 –2 –3

ns següents:

a de les funcio

2 Dibuixa la gràfic

el punt (2, 4). té un màxim en en (0, –3). contínua que que té un mínim a) Una funció x = –2 i x = 2 discontínua en b) Una funció

5 a setmana

1

2

3

4

5 1

la figura té 3 cm de radi

a) Digues la quantitat de

9 Troba el volum del cos que

xocolata que hi cap.

3

4

5 a setm

5

s’obté en fer girar la figura

següent al voltant de l’eix

ana

indicat.

45

spaibarcanova.cat

www.e ’t! compte ectaen b) Tenint Conn que aquest con

2

i 12 cm d’altura.

no té base, calcula la superfície

de la galeta.

10 Troba l’àrea lateral del cos geomètric

12 cm

5 La galeta per a gelats de

d

6 El planeta Terra és una esfera gairebé perfecta de 6.371 km de radi.

Quina és la superfície aproxima da de la Terra?

11 Calcula la quantitat de plàstic necessària per fabricar un para-sol com el de la imatge. Observa que la forma de la base és quadrada i que a cada costat hi ha un petit serrell.

2,24

m

0,15 m

44

6 cm

de l’activitat 9.

6 cm

assaràs: bloc rep entre una ent. la relació de depend ció com nt i una • La fun es independe ts aspect variable s diferen cació del ntifi ide ció fun .

• La criuen una la gràfica com que des ta de la rec ció de rpretació una rela • La inte descriu ció que d’una fun cta. nalitat dire proporcio

En aquest

4m

7 Una fàbrica de tractamen t de plàstics comercia litza dos tipus de papereres truncat (A) i una altra amb , una que té forma de forma de piràmide triangular con truncada que té per bases Quina paperera té més triangles equilàters (B). volum?

A

HO SAPS RESOLDRE?

B

20 cm

22 cm

Crea el teu propi enunciat !

30 cm 22 cm

h

Escriu l’enunciat d’un problema que tingui per resposta: l’alçada del bric completar el text següent: és de 15,625 cm. Pots

h

Al principi de cada bloc, et plantegem una situació i unes activitats per resoldre. Quan acabis el bloc, repassa-ho per veure si les has fet totes bé. Per això, és millor que escriguis la solució en llapis per si l’has d’esborrar i modificar-la.

10,4 cm 15 cm

8 Es volen fabricar 1.000 brics

Un bric en què cap un litre

12 cm

de llet té una base quadrada

com els de la figura.

de

cm. Quina és la seva alçada?

a) Si el preu del cartó que

s’utilitza per fabricar els brics és de 0,60 € per m2, quant costa fabricar-ne 1.000?

22 cm

El repte ! b) Quants litres de líquid

l

1 = 1 dm3.

es necessiten per omplir

els 1.000 brics? Recorda

Mou només dos llumins per obtenir 7 quadrats.

que 42 cm

10 cm

68

Connecta’t! www.espaibarcanova.ca

t

69

CONNECTA'T! Quan trobis aquesta referència, entra a www.espaibarcanova.cat i hi trobaràs alguna sorpresa digital.

SENSE CALCULADORA! …perquè practiquis el càlcul mental.

1 a setmana 1

3

2

4

3 a setma

2

3

4

5

Problemes competencials

na

5

PROBLEMES COMPETENCIALS 1

La reforestació

!

Després d’un gran incendi que es va produir l’estiu del 2015 i que va afectar diversos municipis d’una comarca, les autoritats han decidit reforestar les 1.500 hectàrees que s’han cremat. Una hectàrea (ha) és la superfície que ocupa un quadrat de 100 m × 100 m. S’ha decidit reforestar el bosc amb alzines, ja que són arbres que creixen ràpidament. Per ferho s’ha dividit el bosc en parcel·les d’1 ha i s’hi han plantat alzines en files i columnes, separades 20 m les unes de les altres i deixant un marge de 10 m respecte de la línia imaginària que delimita cada hectàrea, tal com es mostra en la figura adjunta.

è com-

lineals perqu d’equacions sts sistemes cas: Completa aque des en cada icions indica pleixin les cond t) atible indetermina (Sistema comp 3 x – 2y = 4 a) = 20 15 x –

{

{

b)

c)

3 x – 4y = –3 y = 11 3x – =4

{ 23xx ++ y2y =

patible)

(Sistema incom

determinat) ma compatible

(Siste

10 m

20 m

20 m

10 m

1 Quantes alzines es plantaran en total?

El repte !

t urgent de servei d’enviamen ofereix un nou ram que gestora de l’AVE € per cada quilog 1 L’empresa i és de 0,25 David d’aquest serve recorregut. En maletes. El preu cada quilòmetre ssada en de 0,05 € per i expre r que, porta a una distància s’hagi de trans distància r una maleta quina A envia kg. per € en ha pagat 24 a, expressat pes de la malet el es vegad km, és 10 la maleta? a? Quant pesa ha enviat la malet

2 Cada alzina costa 70 €, sense afegir l’IVA. Quant costaran totes les alzines? I si s’ha de pagar un 10 % d’IVA?

3 Els treballadors que participaran en la reforestació cobren 20 € per cada hora de treball. Per fer la reforestació es comptarà amb un equip de 4 treballadors, que pot plantar 5 alzines cada hora. Quantes hores de treball caldran per plantar totes les alzines? Quin serà el cost de la mà d’obra?

nt el rastre

a pujar segui nditat comença de 24 m de profu al fons d’un pou ha lliscat fins 2 Un cargol que ritme següent: 3 m diaris. de raó de la llum al a puja pel pou la llum del Sol, com que veu cap avall.

Durant el dia, a i rellisca 2 m llum del Sol, s’atur que no veu la Durant la nit, com à a sortir del pou?

Quants dies tardar

12

spaibarcanova.cat

Connecta’t! www.e

39

…perquè apliquis tots els teus coneixements i habilitats matemàtiques.

100 m

Sense calculadora

100 m

EL REPTE! …perquè posis a prova el teu enginy lògic i matemàtic.

Al quadern hi ha espai reservat per escriure les respostes de les activitats i problemes. Si necessites fer càlculs o operacions, fes-los en un full a part.

Índe

x

COMPETÈNCIES BÀSIQUES Aquest quadern de Matemàtiques t’ajudarà a desenvolupar la competència matemàtica, que et serà molt útil en la vida personal, social i escolar.

Una bona formació en matemàtiques contribueix també a assolir altres competències metodològiques (com ara, el tractament de la informació o la competència d’aprendre a aprendre), les competències personals (autonomia i iniciativa personal) i les competències específiques (com el coneixement i la interacció amb el món físic).

Fraccions, decimals i proporcionalitat . . . . . . . . . . . .

4

Successions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Llenguatge algebraic i equacions . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Sistemes d’equacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Gràfiques i funcions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Geometria en el pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Cossos geomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Transformacions en el pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Solucionari de les activitats

Per ajudar-te en l’organització de la feina de l’estiu, trobaràs les activitats d’aquest quadern distribuïdes en 6 setmanes de 5 dies cada una. Així podràs saber si el teu ritme de treball és l’adequat i evitaràs que se t’acumuli feina pendent al final del període de vacances.

1 a setmana

1

2

3

4

5

Fraccions, decimals i proporcionalitat

Ho saps resoldre?

ssaràs:

En aquest bloc repa

b fraccions.

• Les operacions am tatges i de • El càlcul de percen titat. fraccions d’una quan orcions i els • El treball amb prop cionals. repartiments propor científica.

• L’ús de la notació

La Xènia, la Clara i la Marta són tres amigues que estan d’estiu al pantà de fent un campus Sau. El monitor els ha mostrat les tres què han omplert els mànegues amb 4.000 de la piscin a de la casa de colò han comprovat que nies. Les noies la primera màneg a raja 5 /s; la sego tercera, 15 /s. En na , 12 /s, i la quina quantitat ha contribuït a omplir una de les mànegue la pi scina cada s?

l

l

l

l

A l’hort ecològic de l campus s’han reco llit 640 kg de verdur Un 80 % d’aquestes es aquest mes. verdures s’ha consum it al menjador del ca resta s’ha fet conser mpus; amb la va. A l’hort també s’h an recollit 360 kg de representen un 60 % fruites, que de la fruita consumid a aquest mes al men quantitats de fruite jad or. Quines s i de verdures s’han consumit al campus? de conserva de verd Quants quilos ures s’han pogut fer al taller del campus?

Les tres noies han fe t un taller d’astrono mia en què se’ls ha velocitat de la llum explicat que la que emeten els este ls és de 300.000 km han explicat que la /s. També els llum que emet el So l en un instant dete uns 8,3 min a arrib rminat tarda ar a la Terra. Amb aquestes dades, calcu tància de la Terra es la a quina distroba el Sol, aproxi madament. Expres notació científica. sa el resultat en

4

1

2

3

4

5

1 a setm

ana

Refresca la memòria...

Per sumar o restar fraccions es redueixen a denominador comú i se sumen o resten els numeradors de les fraccions que en resulten, respectivament. Exemples: 2 + 2 = 10 + 8 = 18 = 9 4 5 20 20 20 10

2 – 2 = 8 – 10 = – 2 = – 1 5 4 20 20 20 10

Per multiplicar dues fraccions se’n multipliquen els numeradors i els denominadors separadament. Per dividir dues fraccions, se’n multipliquen els termes en creu. Exemples: 3 · –2 = – 6 = – 3 4 5 20 10

3 : –2 = – 15 4 5 8

Per calcular la fracció d’una quantitat o el percentatge d’una quantitat es multiplica la fracció corresponent per la quantitat: 2 de 60 = 2 · 60 = 40 3 3

30 % de 400 = 30 · 400 = 120 100

A l’hora de fer operacions combinades amb fraccions cal seguir la prioritat de les operacions: parèntesis, potències i arrels, multiplicacions i divisions, i sumes i restes.

Els nombres decimals exactes, periòdics purs i periòdics mixtos es poden expressar en forma de fracció: Decimals exactes: 2,36 =

236 = 59 100 25

Decimals periòdics purs: 2,363636... = 2,36 =

236 – 2 = 234 = 78 99 99 33

Decimals periòdics mixtos: 2,4515151... = 2,451 =

2.451 – 24 = 2.427 = 809 990 990 330

1 Fes aquestes operacions amb fraccions:

a) 2 – 7 = 5 10 b) – 1 + 1 · 7 = 3 4 2 1 c) – · 4 – 3 = 3 5 10 d) – 2 · 4 + 1 · 8 = 5 5 6 3

( (

)

)

2 E xpressa aquests nombres en forma de fracció, sempre que sigui possible. No oblidis simplificar la fracció resultant. a) 3,4545454545... =

b) 2,862 =

c) 2,627845681... =

d) 6,924242424... =

e) –3,7=

f) –4,849 =

5

1 a setmana

1

2

3

4

5

3 U n equip format per tres ciclistes participa en una cursa de relleus de 540 km. El primer ciclista fa una quarta part del recorregut; el segon, un terç, i el tercer, la resta de la cursa. Quants quilòmetres recorre cada ciclista?

4 A la Carme li fan un descompte del 15 % per la compra d’un cotxe, de manera que, un cop aplicada la rebaixa, haurà de pagar 15.000 €. a) Quant costa el cotxe sense el descompte?

b) Un cop aplicat el descompte cal afegir un 21 % d’IVA. Quant haurà de pagar la Carme finalment?

Crea el teu propi enunciat !

Escriu l’enunciat d’un problema que es pugui resoldre amb aquesta operació combinada: 1 – 1 – 1 5 3

El repte !

Cada any, el tercer dijous del mes de juliol es fa una cursa solidària amb una finalitat diferent. Argu-

menta quin dia del mes de juliol serà l'any en què la cursa es farà més aviat, i quin dia serà l'any en què es farà més tard.

6

1

2

3

4

1 a setm

5

ana

Refresca la memòria...

Per escriure nombres molt grans o molt petits es fa servir la notació científica. Consisteix a escriure una xifra entera i dues xifres decimals i multiplicar per una potència de 10. Exemples: 0,000000000003254 = 3,25 · 10–12

3254000000000 = 3,25 · 1012

Per sumar o restar nombres en notació científica cal que tinguin la mateixa potència de 10. En aquest cas, se sumen o resten els nombres decimals i es deixa la mateixa potència de 10. Exemples: 1,23 · 10–7 + 3,01 · 10–7 = 4,24 · 10–7

3,00 · 1015 – 6,50 · 1015 = –3,50 · 1015

Per multiplicar o dividir nombres en notació científica es multipliquen o divideixen els nombres decimals i s’apliquen les propietats de les potències. Exemples: 3,50 · 103 · 8,25 · 104 = 28,87 · 107

12,40 · 1015 : 2,20 · 103 = 5,64 · 1012

5 Escriu en notació científica els nombres següents: a) 581.000.000.000 =

b) 0,00091 =

c) 0,00000000307 =

d) 628.100.000.000 =

e) 627.000 =

f) 0,000000094 =

6 Fes aquestes operacions en notació científica: a) 2,00 · 104 + 6,00 · 104 = b) 1,70 · 10–3 – 3,01 · 10–3 = c) 3,20 · 103 · 0,20 · 107 = d) 6,25 · 10–3 : 1,75 · 10–1 = e) 8,00 · 10–3 : 3,00 · 104 = f) 8,00 · 104 : 2,00 · 10–9 =

7 C ompleta aquesta piràmide en què cada maó superior s’aconsegueix sumant els dos maons inferiors que són contigus.

1 6 1 2

1 15 – 1 3

– 7 20 2 5

– 3 4

Connecta’t! www.espaibarcanova.cat

3 2

– 5 3

7

1 a setmana

1

2

3

4

5

Refresca la memòria...

Per resoldre problemes en els quals intervenen magnituds que tenen una relació de proporcionalitat directa, cal fer una regla de tres. Exemple: Dos camions poden carregar 7.000 kg de mercaderies. Quants quilos en podran carregar 5 camions?

{

2 camions

7.000 kg

5 camions

x kg

x = 5 · 7000 = 17.500 kg 2

Per resoldre problemes en els quals intervenen dues magnituds que mantenen una relació de proporcionalitat inversa es fa servir la regla de tres inversa. Exemple: Cinc treballadors tarden 8 h a carregar un camió. Quant tardarien a descarregar-lo 2 treballadors?

{

5 treballadors

8h

2 treballadors

x h

x = 5 · 8 = 20 h 2

8 L a Judit ha pagat 7,20 € per tres entrepans de pernil. Quant haurà de pagar si compra cinc entrepans?

I si en compra vuit?

9 U ns amics han cobrat 3.600 € per dissenyar una aplicació i es volen repartir els diners de manera proporcional a les hores que hi ha treballat cadascú. La Noèlia ha treballat 8 h diàries en el projecte; l’Ivan, 4 h diàries, i la Magda, 6 h diàries. Quant ha de cobrar cada amic?

10 U na sonda espacial propulsada per un coet assoleix una velocitat de 15.000 km/h. Si la distància entre la Terra i Mart és de 2,27 · 108 km, quants dies tardarà el coet a arribar a Mart? (Fes els càlculs en notació científica.)

l

11 E s necessiten 30 h per omplir una piscina amb una mànega que aboca 15 d’aigua per minut. Quant es tardaria a omplir la piscina si es fa servir una mànega que aboca 25 d’aigua per minut?

l

8

Connecta’t! www.espaibarcanova.cat

1

2

3

4

5

1 a setm

ana

12 E n Julià treballa en una fàbrica de cafè. Els últims 4 dies ha treballat 6 h diàries i ha preparat 240 paquets de cafè. Quants dies haurà de treballar per fer 240 paquets si treballa 8 h diàries?

l

13 P er fer formatge, un granger barreja 30 de llet de vaca, que té un cost de producció de 0,54 € el litre, amb 20 de llet de cabra, que té un cost de producció de 0,86 € el litre.

l

a) Quin és el cost de producció d’un litre de llet barrejada?

b) Amb la llet produïda, el granger pot elaborar 5 kg de formatge. Quin és el cost de producció d’1 kg de formatge?

c) A quin preu ha de vendre el quilo de formatge per obtenir un benefici del 40 % respecte dels costos de producció de la llet?

14 E n una fàbrica de cafè, 4 màquines envasadores exactament iguals produeixen 6.400 paquets de cafè en 8 h de funcionament. Quantes hores hauran de treballar 6 màquines per fer 12.000 paquets de cafè?

9

1 a setmana

1

2

3

4

5

Problemes competencials L’equip d’investigació En Pau, la Joana, la Maria i en Llorenç formen un equip d’investigació multidisciplinari que investiga la incidència del virus de la grip a nivell mundial.

1 C ompleta la taula següent indicant el percentatge respecte del total que representen els afectats pel virus de la grip l’any 2014 a cada continent.

Continent

Milions d’infectats pel virus

% d’infectats al continent respecte del total d’afectats

2.500

Àsia Àfrica

682

Amèrica

420

Europa

275

Oceania

20 100 %

Total

2 O bserva la taula següent, on s’indica la població total de cada continent l’any 2014, i completa-la amb el percentatge d’infectats pel virus de la grip respecte de la població total.

Continent

Milions d’habitants

Àsia

4.309

Àfrica

1.111

Amèrica

968

Europa

738

Oceania

38

Total

% d’infectats pel virus respecte de la població del continent

100 %

En quin continent hi va haver una major proporció d'afectats pel virus? Quin va ser aquest percentatge?

10

1

2

3 Aquest gràfic mostra el percentatge d’infectats en cada continent respecte de la població total. Escriu el continent que correspon a cada barra.

3

4

1 a setm

5

ana

80 70 60 50 40

A

B

C

D

E

30 20 10 0

A

B

C

D

E

4 Per dur a terme la investigació sobre la incidència del virus de la grip, el centre nacional d’investiga­cions científiques ha dotat el projecte d’una assignació de 900.000 €. El 45 % de l’assignació es destina al pagament de proveïdors i a l’instrumental necessari per a la investigació, i, la resta, a pagar els sous dels investigadors.

a) Quants diners es destinen als sous?

b) Quants es destinen a la resta d’aspectes necessaris per dur a terme la investigació?

c) A en Pau, que és el cap de la investigació, li corresponen 2 parts de l’assignació destinada als salaris. Quants 5 diners rebrà?

d) La investigació dura 4 anys i els salaris es reben mensualment. Quin és el salari mensual d’en Pau?

e) La resta de l’assignació destinada als salaris es reparteix entre els investigadors de manera proporcional als anys que fa que treballen en investigacions. La Joana fa 10 anys que treballa com a investigadora; la Maria, 7, i en Llorenç, 5. Quants diners toquen a cada un? Quin és el sou mensual que cobren durant els 4 anys que dura la investigació?

f) P er tal de produir les vacunes de la grip, s’introdueix una petita quantitat de virus en un ou de gallina, que s’incuba durant 10 dies, de manera que el virus es multiplica. Passat aquest temps, els virus cultivats són desactivats per mitjans químics, i es poden fer servir com a vacunes. Si cada vacuna té aproximadament 1,2 · 104 virus i de cada ou es poden extreure 4,5 · 106 virus, quants ous calen per fer 100.000 vacunes?

11

1 a setmana

1

2

3

4

5

Problemes competencials 100 m

La reforestació 10 m

100 m

Després d’un gran incendi que es va produir l’estiu del 2015 i que va afectar diversos municipis d’una comarca, les autoritats han decidit reforestar les 1.500 hectàrees que s’han cremat. Una hectàrea (ha) és la superfície que ocupa un quadrat de 100 m × 100 m. S’ha decidit reforestar el bosc amb alzines, ja que són arbres que creixen ràpidament. Per ferho s’ha dividit el bosc en parcel·les d’1 ha i s’hi han plantat alzines en files i columnes, separades 20 m les unes de les altres i deixant un marge de 10 m respecte de la línia imaginària que delimita cada hectàrea, tal com es mostra en la figura adjunta.

20 m

20 m

10 m

1 Quantes alzines es plantaran en total?

2 C ada alzina costa 70 €, sense afegir l’IVA. Quant costaran totes les alzines? I si s’ha de pagar un 10 % d’IVA?

3 E ls treballadors que participaran en la reforestació cobren 20 € per cada hora de treball. Per fer la reforestació es comptarà amb un equip de 4 treballadors, que pot plantar 5 alzines cada hora. Quantes hores de treball caldran per plantar totes les alzines? Quin serà el cost de la mà d’obra?

12

1

2

3

4

1 a setm

5

ana

4 E s preveu que el cost total de la reforestació sigui de 3.500.000 €. Els ajuntaments dels municipis afectats per l’incendi es faran càrrec d’aquest cost de forma proporcional a la superfície afectada del bosc que pertany al seu municipi. La superfície afectada per l’incendi que pertany al municipi A és de 600 ha, la superfície afectada que correspon al municipi B és de 750 ha, i la resta pertany al municipi C. Quants diners haurà de pagar l’ajuntament de cada municipi?

a) Quants senglars es van introduir el 1995?

1.200 1.000 800 Senglars

5 L ’any 1995 s'havia produït un altre gran incendi. Llavors, a més de reforestar el bosc, es van introduir senglars per tal d’aconseguir l’equilibri ecològic de la zona.

Aquesta és la gràfica de l’evolució dels senglars en els darrers 20 anys.

600 400 200 0

1995

b) Quants n’hi havia el 2005?

2000

2005

2010

2015

Any

c) Per quant es va multiplicar la població en aquests 10 anys?

d) Què creus que va passar a partir del 2005 per tal que la població de senglars deixés de créixer?

Recorda!

Repassa les

e) Què creus que va passar amb els senglars a partir del 2015?

activitats de la pàgina 4 per comprova r si les vas fer bé .

13

1 a setmana

1

2

3

4

5

Successions

Ho saps resold re?

ssaràs:

En aquest bloc repa

ccessió • El concepte de su una i de terme general d’ successió. situacions • La identificació de entar amb que es poden repres iques progressions aritmèt o geomètriques. bre finit de • La suma d'un nom ssió. termes d’una progre s termes • La suma dels infinit omètrica, d’una progressió ge quan sigui possible.

14

L’Albert com ença avui a tr eballar com plotació dedic a apicultor en ada a la fabri una excació de mel. te indefinit; Li han fet un cobrarà, inic contracialment, un sa i cada trimes lari mensual tre li apujara d e 700 € n el sou 75 € .

Quin serà el seu salari m ensual al cap diners haurà de cinc anys rebut de l’em ? Quants presa en aqu est període d e temps?

L’Albert ha d e controlar la població d’ab comptat 200 elles d’un rusc abelles, però . Hi ha les poblacion quen cada do s d’abelles es s dies. Quante duplis abelles hi h I d’aquí a 60 aurà d’aquí a dies?

20 dies?

L’Albert desti narà els seus primers sous xe. Els cotxes a comprar-se perden un 15 un cot% del seu va passa des de lor per cada la compra. E any que l valor d’un co rep el nom d txe en cada m e valor resid oment ual. Si un co actualment, txe nou costa quin serà el 15 .0 00 € seu valor resi I al cap de 5 dual al cap d anys? e 3 anys?

1

2

3

4

5

1 a setm

ana

Refresca la memòria...

Una successió és un conjunt de nombres ordenats. Cadascun dels nombres s’anomena terme de la successió i es designa amb una lletra i un subíndex que indica el lloc que ocupa el terme en la successió. Exemple: Els termes de la successió 2, 4, 6, 8, 10... són a1 = 2; a2 = 4; a3 = 6; a4 = 8; a5 = 10…

L’expressió matemàtica que permet trobar qualsevol terme de la successió a partir de la seva posició rep el nom de terme general de la successió i es designa per an. Exemple: El terme general de la successió 2, 4, 6, 8, 10... és an = 2n.

Una successió s’expressa en forma recurrent quan cada terme s’obté a partir dels termes anteriors. Exemple: La successió 1, 1, 2, 3, 5, 8... s’expressa en forma recurrent com: a1 = 1; a2 = 1; an = an–1 + an–2

1 Escriu, en cada cas, els deu primers termes de la successió:

a) –12, –9, –6, –3... ➜

b) an = 3n – 5 ➜

c) a1 = –2; a2 = 5; an = 2an–2 + an–1 ➜

d) an = n2 – 3 ➜

2 Troba, en cada cas, el terme general de la successió:

a) –3, –1, 1, 3, 5... ➜

b) –1, 2, 7, 14, 23... ➜

c) 3, 0, –3, –6, –9... ➜

d) 5 , 6 , 7 , 8 ... ➜ 3 4 5 6

3 P er comprovar la resistència del motor d’un 4 × 4 es fan 10 voltes a un circuit, de manera que cada volta es fa en un temps 25 s inferior al de la volta anterior. La primera es fa en 635 s.

a) Quant tardarà el 4 × 4 a fer la cinquena volta? I la desena?

b) Els temps que tarda el 4 × 4 a fer les voltes constitueixen els termes d’una successió. Indica quin és el terme general d’aquesta successió de forma recurrent, on n és el número de cada volta.

Connecta’t! www.espaibarcanova.cat

15

1 a setmana

1

2

3

4

5

Refresca la memòria...

Una progressió aritmètica és una successió en què cada terme s’obté sumant un nombre d (positiu o negatiu) anomenat diferència al terme anterior.

El terme general d’una progressió aritmètica és de la forma: an = a1 + d · (n – 1) , amb n ≥ 1 La suma dels n primers termes d’una progressió aritmètica és: Sn =

(a1 + an) · n 2

4 Troba el terme general de cada progressió aritmètica:

a) – 3 , –1, – 1 , 0 ➜ 2 2

b) 4,2; 3,6; 3; 2,4… ➜

c) a3 = –6; d = 3 ➜

d) a1 = 8; a4 = –7 ➜

e) a2 = –5; a6 = 19 ➜

f) a1 = 4 ; a3 = 0 ➜ 5

5 Troba la suma dels 30 primers termes de les progressions aritmètiques de l’activitat anterior: a) S30 =

b) S30 =

c) S30 =

d S30 =

e) S30 =

f) S30 =

6 E scriu el terme general de les progressions geomètriques que permeten caracteritzar aquestes situa­ cions:

16

l

a) S’omple una piscina de manera que al cap d’una hora hi ha 5.200 d’aigua. A partir d’aquest moment, cada hora s’aboquen 300 més.

Quants litres hi ha a la piscina al cap de n hores?

b) Un empresari fa cada dia una transferència de 500 € a un dels seus proveïdors, per tal que aquest li enviï el material necessari per al seu negoci. L’empresari té actualment 25.000 € al seu compte bancari. Quants diners hi tindrà al cap de n dies?

c) En Xavier té un dipòsit bancari de 10.000 € i cada any rep un 5 % d’aquesta quantitat inicial en concepte d’interessos. Quants diners tindrà en Xavier al cap de n anys?

l

Connecta’t! www.espaibarcanova.cat

1

2

3

4

5

1 a setm

ana

Refresca la memòria...

Una progressió geomètrica és una successió en què cada terme s’obté a partir de la multiplicació del terme anterior per un nombre r (positiu o negatiu) anomenat raó.

El terme general d’una progressió geomètrica és de la forma: an = a1 · rn–1 , amb n > 1 a1 · (r n – 1) r–1 a En el cas que |r| < 1, es poden sumar els infinits termes de la successió: S∞ = 1 1–r

La suma dels n primers termes d’una progressió geomètrica és: Sn =

7 Troba el terme general de cada progressió geomètrica:

a) 3, 15, 75, 375... ➜

b) –8, 4, –2, 1... ➜

c) a1 = 500; a2 = 300 ➜

d) a1 = –1.000; a3 = –40 ➜

e) a3 = 18; r = 3 ➜

f) a1 = 1; a2 = –5 ➜

8 Troba la suma dels 10 primers termes de les progressions geomètriques de l’activitat anterior: a) S10 =

b) S10 =

c) S10 =

d) S10 =

e) S10 =

f) S10 =

9 O bserva la situació següent, en què un augment o una disminució percentual es pot expressar com una progressió geomètrica:

El salari d’en Joan és de 1.200 € i augmenta un 5 % anual. En conseqüència, el salari d’en Joan es pot expressar amb el terme general an = 1.200 · (1,05)n–1.

Ara escriu el terme general de la successió que caracteritza aquesta situació: un cotxe costa actualment 15.000 € i cada any perd el 15 % del seu valor. Quin és el valor del cotxe passats 5 anys?

17

1 a setmana

1

2

3

4

5

10 E l capital que s’obté quan es diposita un capital inicial a un determinat interès compost ve donat per la progressió geomètrica Cn = C0 · (1 + r)n, on n és el nombre d’anys; r, l’interès expressat en tant per 1; C0, el capital inicial invertit, i Cn, el capital al final de l’any n. Si es dipositen 5.000 € a un interès del 5 % anual, quina quantitat es tindrà al final de cada any durant els tres primers anys?

11 L a Clara està fent un pla d’estalvi per comprar-se una moto. Fa un ingrés de 2.000 € a l’inici de cada any en un dipòsit que li ofereix un 4 % d’interès compost anual. Quants diners tindrà al final del tercer any?

I al final del cinquè?

12 U ns excursionistes fan el camí de Santiago. El primer dia el grup recorre 35 km, però a causa del cansament acumulat, cada dia que passa el grup fa 0,95 vegades la distància del dia anterior.

18

a) Quants quilòmetres hauran fet després de caminar durant 10 dies?

b) El camí de Santiago fa 730 km. El grup podrà fer tot el recorregut en 30 dies? En cas negatiu, a quants quilòmetres de Santiago de Compostel·la es quedaran?

Connecta’t! www.espaibarcanova.cat

1

2

3

4

5

1 a setm

ana

Crea el teu propi enunciat !

Escriu, en cada cas, l’enunciat d’un problema que es pugui resoldre amb: a) Una progressió aritmètica de raó 25 en què s’hagi de calcular la suma dels 15 primers termes.

b) Una progressió geomètrica de raó 0,3 en què s’hagi de calcular la suma dels 10 primers termes.

13 E n Pere es prepara per participar en un concurs sobre coneixements d’anglès. Ha decidit que aprendrà 20 paraules noves el primer dia de preparació i que cada dia n’aprendrà 5 més que el dia anterior.

a) Quants dies tardarà a aprendre 100 paraules diàries?

b) Si es prepara durant 30 dies, quantes paraules noves haurà après?

14 U n grup d’amics a qui els agraden els esports de risc fan servir una corda elàstica per fer salt de pont. La Carla s’ha llançat des d’un dels ponts més alts de Catalunya. La corda s’ha arribat a estirar 50 m en el primer salt. En els rebots següents, la corda s’ha estirat 7/8 parts del que s’ha estirat en el rebot anterior. a) Quant s’ha estirat la corda després de 6 rebots?

b) Quants rebots haurà fet la Carla abans que la corda s’estiri una longitud inferior a 20 m?

19