Estudo do sinal da função afim Vimos que estudar o sinal de uma função f é determinar para quais valores de x D(f) ela é positiva, negativa ou nula. Também vimos que podemos estudar o sinal de uma função f observando seu gráfico. Assim: • f será positiva nos pontos do gráfico localizados no 1o e no 2o quadrantes; • f será negativa nos pontos do gráfico localizados no 3o e no 4o quadrantes; • f será nula nos pontos em que o gráfico interesecta o eixo x. Agora vamos ver como esse conceito se aplica para a função afim dada por f(x) ax b. b Inicialmente, determinamos o zero da função afim, que genericamente pode ser escrito como x . Em a seguida, desenhamos um esboço do gráfico, levando em consideração a variação da função: crescente (a 0), decrescente (a 0) ou constante (a 0). Por fim, analisamos o esboço construído e determinamos os valores de x para cada caso: f(x) 0, f(x) 0 e f(x) 0. De modo geral: a 0
x
b a
a 0 e b 0
b a b f(x) 0 para x a b f(x) 0 para x a f(x) 0 para x
Ilustrações: Editoria de arte
a 0
b a
x
f(x) 0, x D(f)
x
a 0 e b 0
b a b f(x) 0 para x a b f(x) 0 para x a f(x) 0 para x
x
f(x) 0, x D(f)
Observação: Se a 0 e b 0, a função afim é a função constante y 0, cujo gráfico é uma reta coincidente com o eixo x. Portanto a função é nula para todos os valores de x do domínio.
Exercícios resolvidos 3k 1 x 5, com k R 2 1 e k . Determinar k de modo que a função f seja 3 crescente.
1. 6 Considere a função f (x)
Resolução
7 Estude o sinal da função f definida por f(x) 2x 4. Resolução A função é crescente, pois a 0. O zero da função é: 2x 4 0 ä 2x 4 ä x 2 Logo, a reta cruza o eixo x no ponto de abscissa x 2. Esboçando o gráfico, temos:
Para que f seja crescente, o coeficiente de x deve ser positivo. Logo: 3k 1 0 Æ 3k 1 0 Æ 2 Æ 3k 1 Æ k
1 3
1 Portanto, para que f seja crescente devemos ter k . 3
2
x
Analisando o esboço do gráfico concluímos que: f(x) 0 para x 2
f(x) 0 para x 2
f(x) 0 para x 2 Capítulo 4
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Função afim
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