Radiciação Antes de estender o conceito de potência para expoentes racionais, vamos retomar a definição de raiz enésima e as propriedades da operação de radiciação. Sendo a um número real não negativo e n um número natural, com n 1, a raiz enésima de a é o número real não negativo b tal que: n
n a b se, e somente se, b a
Lê-se raiz enésima de a é igual a b.
Propriedades da radiciação Sendo a e b números reais não negativos, m inteiro e n e p naturais não nulos, apresentamos as seguintes propriedades: 1a propriedade: Exemplo:
3
2 3 5 3 2 5 3 10
3
274
3a propriedade: Exemplo:
4 3
m
n
4
3
n p
7
n
a
4 3
4a propriedade:
n p
63
4 5
Exemplo:
( a) a ( 27 ) 3 81
2a propriedade: Exemplo:
a b n a n b
n
m
4
5a propriedade:
n
4
n p
Exemplo:
3
a
125 8
am p n am e
n p
am p n am
63 5 20 615 a b 3
n n
a b
(b 0)
125 5 8 2
3
7 12 7
No cálculo da raiz enésima, temos de considerar dois casos: n • Para n ímpar e a um número real negativo, a raiz enésima de a é o número real negativo b, tal que b a. • Para n par e a um número real negativo, não podemos definir a raiz enésima de a, pois não existe número real b, tal que bn a.
Potência com expoente racional Para estender o conceito de potência para expoentes racionais, vamos definir o significado de uma potência com expoente fracionário. Se a é um número real positivo e m e n, inteiros, com n 1, define-se: m
a n n am
Exemplos: 2
1
1
b) 13 5 5 132
a) 5 2 5
c)
21 212
3
d)
4
163 16 4
As potências com expoente racional têm as mesmas propriedades operatórias que as potências com expoente inteiro. 4
Por exemplo, podemos calcular 8 3 usando a definição ou as propriedades estudadas anteriormente: 4
8 3 3 84 3 (4096) 16 ou 4 3
4 3 3
( )
8 2
134
Unidade 4
3
2
4 3
24 16
Funções exponencial e logarítmica
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