Introdução à reologia

EDSON JOSÉ SOARES

LUCAS HENRIQUE PAGOTO DEOCLECIO

INTRODUÇÃO À REOLOGIA

Escoamento e caracterização de materiais complexos

6Fluidosviscoelásticos107

6.1Aspectosgerais

6.2Modelosviscoelásticoslineares

6.2.1ModelodeMaxwell

6.2.2ModelodeKelvin-Voigt

6.2.3ModelodeJeffreys

6.2.4ModelodeMaxwellgeneralizado(espectroderelaxação)

6.3Testesoscilatórios

6.3.1Testeoscilatóriodebaixaamplitude

6.3.2Testeoscilatóriosemaltasemédiasamplitudes

6.3.3Estimativadatensãodecedênciacomtestesoscilatórios

6.4Modelosviscoelásticossimples

6.4.1Modelodofluidodesegundaordem

6.4.2ModeloDiferencialdeMaxwellConvectadoSuperior

6.4.3ModeloDiferencialdeJeffreysConvectadoSuperior

6.5NúmerodeDeboraheWeissenberg

8.3.1Modeloelasto-viscoplásticotixotrópicoMendes

9.2Métodosdemediçãodastensõesnormais

Introdução

Estelivroédedicadoàiniciaçãodeengenheiros,físicos,químicosematemáticosà reologia,ciênciaqueestudaoescoamentodosmateriaisemestadolíquidoousólido.O termo reologia foicunhadoporEugeneC.Bingham1 em1920,inspiradonoaforisma grego pantarhei (����������������)− "tudoflui" ,atribuídoaHeráclito,filósofogregoprésocrático.Oleitorinteressadoporumaperspectivahistóricadareologiaencontraráem TannereWalters(1998)umaboaleitura.Areologiatemsidotratadacomoumaciência própriaporquase100anos,reunindodiversasáreasdoconhecimento,principalmente relacionadasaquímica,física,engenhariaematemática.Éclaroquealiteraturasobre otemaévasta,eestelivronãoousaabordartodaspeculiaridadescomprofundidade. Aqui,oquesefazéapresentarumaintroduçãoaalgunsaspectosfundamentaisque possibiliteaoestudantefinalistadegraduaçãoedepós-graduaçãoiniciarumtrabalho depesquisa,numéricaouexperimental,emreologia.

Aexperiênciaeamotivaçãoparaescreverestelivroveioaolongode20anosministrandoadisciplinadeIntroduçãoàMecânicadosFluidosnãoNewtonianos,noprogramadepós-graduaçãoemengenhariamecânicadaUniversidadeFederaldoEspírito Santo,eorientadomonografias,dissertaçõesetesesemreologia.Umadasprimeiras dificuldadesfoiencontrarummaterialdidáticoecompactoqueatendesseàsnecessidadeseàspeculiaridadesdosalunos.Apesardevasta,aliteraturaemreologiaémajoritariamenteescritaeminglêspornãobrasileiros.Éfatoquealínguahojenãoéum grandeempecilhoàdivulgaçãodaciência,masumtextoescritonapróprialínguatorna oassuntomaisfamiliare,portanto,maispróximodosjovensestudantes.Éevidente, porémnuncademaislembrar,queestelivrotemoconteúdoeformacaracterísticosdos autores,comsuaslimitaçõesepreferênciasestéticaseconceituais.Porserumaciência tãojovem,areologiatemmuitascontrovérsiasquedividemacomunidadeemgrupos comtendênciasdistintas,eestelivronãoétotalmenteimparcial.Convenientemente, algumascontrovérsiassãoapresentadas,eoposicionamentodosautoresficaclaro,embasadoemsuaprópriaexperiênciaeproduçãocientífica.

Estelivroédivididoemdoisgrandesblocos.Noprimeiro,comosCapítulos2,3e4, faz-seumarevisãodocálculotensorialedesenvolvem-seasequaçõesdeconservação 1 EugeneCookBingham,dezembrode1878anovembrode1945,foiprofessordodepartamentodequímica emLafayetteCollege,EstadosUnidos.

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paraaplicá-lasaofluidonewtoniano.Osegundobloco,comosCapítulos5,6,7,8e9,é, defato,voltadoaosmateriaiscomplexos.

EspecificamentenoCapítulo2,sãorevisitadasasdefiniçõesdevetor,tensor,operadores(gradiente,divergenteerotacional)eosteoremasdadivergênciaedeStokes.São apresentadasinterpretaçõesgeométricasefísicasparacadaumdositensmencionados, nemsempretriviaisaoalunoiniciante.Todasasoperaçõescomesseselementossãodesenvolvidasemnotaçãoindicial,umaalternativaàsimbólica,maisconcisaecompacta. Exercíciosdefixaçãosãopropostosaofinaldessecapítulocomoobjetivodefacilitarao estudanteaderivaçãodasequaçõesdeconservação,nocapítuloseguinte.NoCapítulo 3,partindo-sedadefiniçãodegradientededeformação,deriva-seoTeoremadosTransportesdeReynoldsechega-seàequaçãodaContinuidade,conservaçãodamassa,ea equaçãodeCauchy,conservaçãodaquantidadedemovimentoparaummaterialqualquernolimitedocontínuo.Finalmente,conclui-seobloco1comadefiniçãodefluido newtonianonoCapítulo4.ApartirdaequaçãodeCauchy,chega-se,então,àequação deNavier-Stokes,ambasaplicadasaoescoamentodesenvolvidoemtubos.Nesseponto, faz-seumarevisitaaosconceitosdonúmerodeReynolds,que,apesardeclássicoem mecânicadosfluidos,aindageramuitascontrovérsias,principalmentequandosetrata deescoamentodefluidosnãonewtonianos.Essadiscussãoéumamarcaimportante destelivroeodistinguedosoutros.

OsegundoblocodolivroseinicianoCapítulo5,emqueéapresentadooFluido NewtonianoGeneralizado(FNG),omodelomaissimplesdefluidonãonewtoniano.A única(entrevárias)manifestaçãonãonewtonianacontempladapelomodeloFNGéa variaçãodaviscosidade �� comataxadedeformação ��.Diversasformasdevariaçãosão apresentadaspormeiodediferentesequações ��(��) divididasemdoisgrupos:a)fluidos pseudoplásticoseafinantes;eb)fluidosviscoplásticossimples.Aofinaldocapítulo, discute-secomodevidocuidadoarespeitodosnúmerosadimensionaisparamateriais viscoplásticos.Esseéosegundopontocontroversoabordadopelosautores.Háduas tendênciasbemdistintasdacomunidadedepesquisadoresemescoamentodemateriais viscoplásticos;osautoresaquiseposicionamclaramenteedefendemumadelas.O Capítulo6discutebrevementeosmateriaisviscoelásticosapartirdeseusconceitosmais básicos.Asideiasdeviscoelasticidadelinearsãoapresentadas,antesdesechegaraos modelosclássicosefundamentaisparacompreensãodaviscoelasticidadedeMaxwelle Kelvin-Voigt.Doismodelosnãolinearestambémsãoapresentadosediscutidos:omodelo deMaxwellConvectadoeomodeloOldroyd-B.OCapítulo7fazumaintroduçãoaos materiaiselasto-viscoplásticos,queapresentamcomportamentotantoplásticoquanto elástico.Nessecapítulo,mostramosquemodelosviscoplásticosinelásticos,normalmente empregadosparaasoluçãodeescoamentosdemateriaiscomtensãodecedência,não sãocapazesdecapturaralgunsfenômenosfísicostípicosdessesmateriais,mesmoque qualitativamente.Ocapítuloseencerracomumabrevediscussãosobremodeloselasto-

Cálculotensorial

Oselementosbásicosdonossoarcabolçomatemáticotensorial,propriamentenosso vocabulárioparticular,sãorevistosnestecapítulo.Vamosrecordarossignificadosde vetores,tensoresedasprincipaisoperaçõesassociadaseosteoremasdadivergência edeStokes.Aolongodocapítulo,vamosintroduzirosconceitoseregrasda notação indicial.Estaferramentaéextremamenteútilparaderivaçãodeidentidadestensoriais eseráusadaaolongodotextonasdemonstraçõesdasequaçõesfundamentais,aqui chamadasdeequaçõesdeconservação.Algunsautoresnãogostamdotermo equações deconservação,porentenderemqueaquantidadedemovimento(QM)nãoseconserva. Outrosautores,grupoemquenosincluímos,entendemqueaQMtambémpodeser escritanaformaconservativa.Portanto,oreferidotermoaquiusadocontemplatodas asequaçõesfundamentaisdestetexto.

2.1VETORES

Alémdasvariáveisescalares,asvetoriaisetensoriaissãofundamentaisparaarepresentaçãodasgrandezasfísicas.Vamos,brevemente,recordarnestaseçãoadefinição devetor,introduzindo,aomesmotempo,anotaçãoqueseráusadaaolongodotexto. Comoosproblemastratadosnestelivrosãoexclusivamentedemecânicaclássica,nossosvetoresnuncaterãodimensãomaiorquetrês,dimensãomáximasuficienteparaarmazenarastrêsvariáveisespaciaisparacadainstantedetempo.

Figura2.1 Sistemadecoordenadasretangulares.

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Porquestãodesimplicidade,vamossempreusarosistemadecoordenadasretangularesparaodesenvolvimentodosteoremaseequaçõesdeconservação.Asequaçõesou operadoresnossistemascilíndricoouesféricosãosempredisponibilizadosaofinalde cadacapítulo.OsistemadecoordenadasestárepresentadonaFig.(2.1),emquex,ye zsãoasvariáveisindependentese e�� , e�� e e�� ,seusrespectivosvetoresunitários.Frequentemente,vamosrepresentarasvariáveis ������ como ��1 ��2 ��3 eosvetoresunitários como e1 e2 e3 .Ovetor a podeentãoserescritocomo:

Onde ���� e�� éarepresentaçãodovetor a emnotaçãoindicial,sendo ���� seuscomponentes. Comotodososnossosvetorestêmnomáximotrêscomponentes,oíndice �� variasempre de1a3.Vistoqueoíndice �� serepetenaEq.(2.1),eleéchamadode índicemudo edesigna umasoma.Dessaforma,deagoraemdiante,vamosomitirosomatórioerepresentar qualquervetoremnotaçãoindicialsimplesmentecomo:

2.1.1Produtoescalar

Pode-sefazerdiversasoperaçõesentredoisvetores,sendooprodutoescalaruma delas—etalvezamaisfrequente.Considereentãoosvetores a e b.Oprodutoescalar entreelespodeserobtidopelaequaçãoEq.(2.3):

Onde“a”e“b”são,respectivamente,asintensidadesdosvetores a e b,comfrequência chamadasasnormasdosvetores,e �� éoânguloentreeles.Oproduto (����) cos(��) éa projeçãodovetor a nadireçãodovetor b.Portanto, a · b éoprodutodasintensidades dosdoisvetores,mascomefeitoemumamesmadireção.Pode-seobteresseresultado multiplicandoescalarmenteosdoisvetorestermoatermo,comomostraaEq.(2.4):

Multiplicandodeformadistributivatodosostermos,chega-seàEq.(2.5):

Equaçõesdeconservação

Nestecapítulo,deriva-seotensortaxadedeformação �� apartirdadefiniçãodo gradientededeformação F.Emseguida,deduz-seoteoremadostransportesdeReynolds, antesdesechegaràequaçãodacontinuidade(conservaçãodamassa)eàequaçãode Cauchy(conservaçãodaquantidadedemovimento),paraumreferencialeuleriano,6 de volumedecontrole.Asequaçõesdesenvolvidasaquisãoválidasparaqualquermaterial, desdequerespeitadaahipótesedocontínuo.

3.1OGRADIENTEDEDEFORMAÇÃOF

Umcorponãorígidosubmetidoaumcampodetensõesnãoisotrópicasobviamente sedeforma.Aentidadequeguardaasinformaçõesdedeformação,relativasaumaconfiguraçãoinicial,écomumentechamadade Gradientededeformação,aquirepresentado pelaletra F.AFig.3.1mostraumcorpomaterialemsuaconfiguraçãoinicial,oudereferência, ������ esuatransformaçãoparaaconfiguraçãoatual ������.Ascoordenadasdo elementonasuaconfiguraçãoatualpodemsermapeadaspormeiodeumafunção,representadanafigurapor ��

Figura3.1 Transformaçãodecoordenadas.

6 ReferenteaLeonhardPaulEuler,abrilde1707asetembrode1783,matemáticoefísicosuíço.

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Demodogeral,seconsiderarmos �� = �� ( ��,��,��), �� = �� ( ��,��,��) e �� = ��( ��,��,��), podemosescreverodiferencialtotaldascoordenadasatuaiscomo:

Emnotaçãomatricial,podemosreescreveraEq.(3.1)como:

Emnotaçãovetorial,escreve-se:

F éotensorgradientededeformação.Essaentidadenãoésóimportanteporquecomputa adeformaçãodeummaterialemrelaçãoaoseuestadoinicial,queéessencialparao desenvolvimentodasequaçõesconstitutivasdosmateriais,mastambémporquefaz omapeamentoentrecoordenadas.Defato,paraodesenvolvimentodasequaçõesde conservação,comcertarobustezmatemática,aideiadetransformaçãodecoordenadas éessencial,poisémuitoútilrelacionarovolumedoelementomaterialnoestadoatual ������ comseurespectivovalornoestadodereferência ������ .Então,vamosconsideraros vetores l, h e p queformamovolume ���������� noestadoatualeguardamrelaçãodireta comosvetores L, H e P doestadodereferência,devolume ���������� .Ovolumeelementar doestadoatualpodesercomputadopelaEq.(3.4):

Agora,parafazersurgirovolumedoelementonodomíniodereferência,precisamos escreverascoordenadasdosvetores l, h e p emfunçãodascoordenadasde ������.Issoé obtidoatravésdogradientededeformação F,daseguinteforma:

Ofluidonewtoniano

Oobjetivoprincipaldestecapítuloépartirdadefiniçãodefluidonewtonianopara chegaràsequaçõesdeNavier-Stokes,naseção4.1,queserefereàconservaçãoda quantidadedemovimentoparaumfluidonewtoniano.Emseguida,naseção4.2,defineseoqueéumescoamentodesenvolvidoeestuda-secasosparticularesemtubos.Na últimaseçãodessecapítulo,4.3,vamosdiscutironúmerodeReynolds,principalnúmero adimensionalemmecânicadosfluidos.

4.1EQUAÇÕESDENAVIER-STOKES

AequaçãodeCauchydescreveodeslocamentodeummaterialqualquerquese deformacontinuamentecomotempo.Aúnicacondiçãolimitanteéqueahipótese docontínuosejaválida.Dopontodevistaprático,aequaçãonãorepresentanenhum escoamentoreal.Oreflexodissoéqueosistemadeequaçõesdiferenciaisresultantenão éfechado,poisexistemmaisvariáveisqueequações.Acondiçãofísicanecessáriaparao fechamentodosistemaéadefiniçãodomaterialemestudo,desuaspropriedadesfísicas. Emlinguagemreológica,ummodeloconstitutivodematerialénecessário.Nestaseção, vamosabordarocasodeescoamentodefluidonewtonianoincompressível,cujomodelo constitutivoédadopelaEq.(4.1):

Onde �� éaviscosidadecisalhante.Observequecomootraçode �� énuloparaumfluido newtonianoincompressível, �� édeviatórico.

Inserindo-seaEq.(4.1)naequaçãodeCauchy,representadapelaEq.(3.50),chega-se àequaçãodemovimentomaispopulardareologia,achamada EquaçãodeNavier-Stokes:

Aqui,otensordatensõesédivididoentreumtermodepressão ∇�� eastensõesviscosas, aquelasmultiplicadaspelaviscosidade.Sendoaáguaeoarfluidostipicamentenewtonianos,aequaçãode ���� representaumnúmerovastíssimodefenômenosnaturais

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eprocessosindustriais;portanto,suaimportânciaparaaengenhariaquasedispensa comentários.OsistemadeequaçõesdiferenciaisassociadoàEq.(4.2)éparcial,nãolinearedependentedotempo,oquetornasuasoluçãocompletaextremamentecomplexa. Soluçõesanalíticassósãopossíveisparacasoslimites,porexemplo,escoamentoscom umasériedeparticularidadessimplificadoras.Problemascomplexossãoresolvidospor meiodeabordagemnuméricae,aindasim,comrelativalimitação.AsTabs.4.1,4.2e4.3 mostramoscomponentesde ���� emcoordenadasretangulares,cilíndricaseesféricas parafluidosincompressíveis.

Tratando-sedefluidosnewtonianos,asequaçõesdeNavier-Stokessãoincontestáveis.Elasjáforamtestadasinúmerasvezesecomparadascomexperimentos,demodoa torná-lastotalmenteaceitas.Émuitocomum,inclusive,usarN-Sparacalibrarinstrumentos,principalmenteaquelescomunsemestudosdeescoamentosturbulentos(SUZUKI;KASAGI,1992;VUKOSLAVCEVIC;WALLACE,2013).

Tabela4.1 EquaçõesdeNavier-Stokesemcoordenadasretangulares(������).

Fluidonewtonianogeneralizado

Aquidiscutimosaprimeiraclassedefluidosnãonewtonianos.Vamosprimeiramente analisarosefeitosafinantesedilatantes,suascausaseosprincipaismodelos.Emseguida, introduziremosoconceitodeviscoplasticidadeeapresentaremososmodelosmais simpleselargamenteutilizados.Aofinaldestecapítulo,vamosfalardeadimensionais paramateriaisviscoplásticoseapontaralgumascontrovérsias.Essepontoaindanãoé pacíficonacomunidadedereologiaemerecemuitaatenção.

5.1ASPECTOSGERAIS

Aprimeiraclassedefluidonãonewtonianoeamaissimplesaserapresentadaneste livroéade fluidonewtonianogeneralizado (FNG).Oquedifereessaclassedematerial dofluidonewtonianoéofatodesuaviscosidadedependerdataxadedeformação.A viscosidadepodevariaremváriasordensdegrandezaentretaxasdecisalhamento próximasdezeroetendendoaoinfinito;portanto,qualquerprojetodeengenharia envolvendotaismateriaisdeve,obrigatoriamente,consideraressadependência.Alista defluidoscomviscosidadedependentedataxadecisalhamentoéenorme.Elesestão naturalmentepresentesemdiversosfenômenosnaturaiseemumextensonúmero deatividadesindustriais,envolvendodiferentessetores.Petróleo,neve,lama,lava vulcânicaesanguesãoalgunsexemplosdefluidoscomessanatureza.Portanto,o estudodefenômenosnaturaisenvolvendoessesmateriaispassa,obrigatoriamente,por umainvestigaçãodeseusaspectosreológicos.Há,naindústriaalimentíciaecosmética, umasériedeprocessoscomescoamentodefluidosnãonewtonianos,comomaionese, chocolate,sorveteeketchup.Aanálisereológicadessesmateriaiséessencialpara umadequadocontroledequalidade,principalmentenoquetangeacaracterizaçãoe uniformidadedosprodutos.Tratando-sedecosméticos,como shampoo ecremes,as propriedadesreológicassãocontroladascombastantecuidadoparaaadequadafunção doproduto.Vamosdiscutirissocommaisdetalhesquandofalarmosdemateriais viscoplásticos.NaTab.5.1háumalistadefluidostipicamentenãonewtonianoscuja viscosidadevariaaltamentequandoataxadecisalhamentoéalterada.

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Tabela5.1 Fluidostipicamentecomcomportamentonãonewtoniano.

GruposimilarFluidos

FluidosbiológicosSangue,saliva,mucopulmonar

Granulados

Alimentos

Derivadosdepetróleo

Cosméticos

Soluçõespoliméricas

Argila,lavavulcânica,neve,areiaúmida, polpadepapel,pastadecimento,lamasde perfuração

Sorvetes,chocolate,maionese,ketchup, queijos,iogurtes,manteiga,geleias,gelatinas

Óleopesado,betume,parafina,piche,graxas,lubrificantes,plásticos

Cremes, shampoos,espumadebarbear, pastadedente

MaterialderevestimentoTintas,vernizes,colas,adesivos

OutrosEmulsões,espumas,borrachas

NomodeloFNG,otensorextra-tensãotemformasemelhanteaocasonewtoniano, comaparticularidadedaviscosidade �� ser,agora,umafunçãodataxadedeformação ��, ouseja, �� = ��(��).Desprezandootermodecompressibilidade,omodeloFGNédado pelaEq.(5.1):

AEq.(5.1)contemplatodososfluidospuramenteviscosos,cujasparticularidadesestão naformadafunçãoviscosidade.SeriapertinenteperguntarporqueaEq.(5.1)égeral parafluidospuramenteviscosos.Naverdade,emumaóticapuramentematemáticaa formamaisgeralde �� emfunçãode �� éadaEq.(5.2):

Pode-semostrarcomajudadealgumaspropriedadestensoriais(verteoremadeCayley Hamilton)7 queostermosdeordemmaioresouiguaisatrêspodemserescritosem

7Bird,ArmstrongeHassager(1987),Rivlin(1955).

Fluidosviscoelásticos

Atéaquisótratamosdefluidospuramenteviscosos.Oúnicoefeitonãonewtoniano abordadofoiadependênciadaviscosidadecomataxadedeformaçãoeatensãolimite deescoamentoemmateriaisviscoplásticossimples,aquelestotalmenteindependentes dotempo.Agoravamosanalisardeformasucintaocomportamentodemateriaisviscoelásticos,maisparticularmenteosfluidosviscoelásticos.Ocapítuloseiniciacomuma brevediscussãosobrealgunsaspectosgeraisdemateriaisviscoelásticos.Nasequência,vamosapresentaralgunsmodelosviscoelásticoslineares,antesdefalardetestes oscilatórios,muitodifundidosemreologia.Ocapítuloseencerracomapresentaçãode algunsmodelosnãolinearessimples(modeloscomderivadaconvectada)eumabreve discussãosobrenúmerosadimensionaisemescoamentodemateriaisviscoelásticos.

6.1ASPECTOSGERAIS

Vamosapresentarediscutirnestaseçãoalgunsefeitosviscoeláticoseacomplexidade adicionalàformulaçãofísicaesoluçãodeproblemasqueabordamescoamentodefluidos comnaturezahíbrida:viscosaeelástica.Trêsmanifestaçõesreológicasimportantes comumenteobservadasemmateriaisviscoelásticossãoasdiferençasdetensõesnormais, viscosidadecisalhanteafinanteeviscosidadeextensionaldilatantequeapresentaremos emseguidadeformasucinta.Essasgrandezasreológicasserãomelhorcompreendidas naseção6.4quetratademodelosviscoelásticosnãolinearessimples.Outroaspecto importantedemateriaisviscoelásticoséadependênciatemporalqueseráintroduzida naseção6.2,demodelosviscoelásticoslineares.

Ograudeelasticidadedeummaterialviscoelásticopodeserinferidopormeio dachamada diferençadetensõesnormais emcisalhamentosimples,comoilustradona Fig.6.1.Imaginequeseapliqueumatensãocisalhante ������ emummaterialqualquer, comorepresentadonareferidafigura.Asdireções ��, �� e �� correspondemàdireção doescoamento,direçãodavariaçãodavelocidadeedireçãoneutra(oudireçãoda vorticidade),respectivamente.Oscomponentesdevelocidadesão �� �� = ����; �� �� = 0; �� �� = 0.Onde �� éataxadecisalhamento.Seomaterialtivernaturezaelástica,tensões normais(������ ,������ e ������ )surgirãoespontaneamente.Emreologia,costumam-sedefinir duasdiferençasdetensões:

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Emque ��1 éachamada primeiradiferençadetensõesnormais e ��2 a segundadiferença detensõesnormais.SeomaterialcisalhadoforNewtoniano, ��1 e ��2 sãoiguaisazero, enquantoemfluidosviscoelásticos,asdiferençassão,emgeral,nãonulas.Émuito comumdividirastensãonormaispor �� 2 edefiniroschamadoscoeficientesdetensões normais:

Onde ��1 édenominadode primeirocoeficientedetensõesnormais e ��2 de segundo coeficientedetensõesnormais ��1 e ��2 ,eaviscosidadecisalhante, �� = ������ /��,sãofunções materiaisobtidasemescoamentosviscométricos.Parabaixastaxasdedeformação, ��, ��1 , e ��2 sãoaproximadamenteconstantesesurgemnaturalmentedomodeloCEF(CriminaleEricksen-Filbey)(CRIMINALE;ERICKSEN;FILBEY,1957),discutidonaseção6.4.1.

Figura6.1 Diferençasdetensõesnormais.

Fluidoselasto-viscoplásticos

Nestecapítulo,discutiremososmateriaiselasto-viscoplásticos(EVP),que,comoo nomeindica,apresentamtantocomportamentoplásticoquantoelástico.Umgrande númerodemateriaisreaiscomtensãodecedênciaseenquadramnessacategoria.Aqui, mostramosquemodelosviscoplásticosinelásticosnãosãocapazesdecapturaralguns fenômenosfísicostípicosdessesmateriais,mesmoquequalitativamente.Aofinal, faremosumasucintaintroduçãoaosmodeloselasto-viscoplásticoseossepararemosem duascategorias.

7.1ASPETOSGERAIS

Háumaabundânciademateriaisencontradosnanaturezaeemprocessosindustriaisqueapresentamcomportamentosaltamentenãonewtonianos,comoafinamento, dilatação,plasticidadeeelasticidade.Umaimportanteclassedetaismatareissãoosfluidosestruturados(MENDES,2011;MENDES;ABEDI;THOMPSON,2018),eexemplos incluemargilas,ligasmetálicasleves,lava,produtosalimentícios,produtosfarmacêuticos,cremes,géiseloçõescosméticas,tintas,fluidosbiológicos,lamadeperfuração, cimentofresco,petróleobrutogelificado,algunslubrificantes,emulsões,suspensões, espumaseváriostiposdepastas.Embaixosníveisdetensão,essesmateriaissecomportamcomoumsólidoviscoelástico.Quandosubmetidosaumatensãoacimadatensão decedência,ocorreumgrandecolapsodesuamicroestrutura,resultandoemquedas significativasdeviscosidadeeelasticidade(MENDES,2011).Taismateriaissãoditos elasto-viscoplásticos.Umadependênciadaviscosidadecomotempodecisalhamento tambéméfrequentementeobservada.Nessecaso,aquedadeviscosidadenãoocorre instantaneamente,eosmateriaissãoditostixotrópicos(MENDES,2011).Atixotropiaé discutidanoCapítulo8,eaanálisedesenvolvidanopresentecapítuloéabaseparao desenvolvimentodosmodeloselasto-viscoplásticostixotrópicos.

Porcontadasváriasmanifestaçõesnãonewtonianaspossíveis,acompreensãoe modelagemdeescoamentosdemateriaiselasto-viscoplásticoséumatarefacomelevadograudecomplexidade.Emcertoscasos,osefeitoselásticospresentesemmateriais viscoplásticosreaissãoconsideradospequenose,portanto,sãocomumentedesprezadosparasimplificaramodelagem.Modelosviscoplásticosinelásticos(discutidosno Capítulo5)demateriaisidealizadoscomoomodelodeBinghamsãonormalmenteem-

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pregados.EsseéocasodoCarbopol,umasoluçãoamplamenteutilizadaparaimitaro comportamentodeummaterialviscoplásticoideal.OCarbopolapresentaalgumascaracterísticascomobaixocusto,facilidadedepreparação,transparênciaepouquíssimo comportamentoelásticoabaixastaxasdecisalhamento(BALMFORTH;FRIGAARD; OVARLEZ,2014;POURZAHEDI;ZARE;FRIGAARD,2021).Contudo,algunsresultados observadosexperimentalmentecomCarbopolnãosãoprevistos,nemmesmoqualitativamente,commodelosinelásticos,comoéocasodaascensãodebolhasemCarbopole oescoamentodeCarbopolporumaexpansão/contração(LOPEZ;NACCACHE;MENDES,2018;POURZAHEDI;ZARE;FRIGAARD,2021).

Nocasodasbolhas,oformatodelágrimainvertidaobservadoemfluidosviscoelásticos(BIRD;ARMSTRONG;HASSAGER,1987)tambémécomumenteobservadoemCarbopol,masnãoemfluidosinelásticos(DUBASH;FRIGAARD,2007);portanto,simulaçõesnuméricascommodelosviscoplásticosinelásticosnãosãocapazesdereproduzi-lo, nemmesmoqualitativamente(DIMAKOPOULOS;PAVLIDIS;TSAMOPOULOS,2013).O formatodelágrimainvertidaobservadoemCarbopolédevidoàsuaelasticidade,mesmo quepequena(POURZAHEDI;ZARE;FRIGAARD,2021).

AFig.7.1esquematizaoformatodeumabolhaascendendoemumfluidonewtoniano, emumviscoplásticoinelástico,emumviscoelásticoeemumelasto-viscoplástico.No casodofluidonewtoniano(primeiraimagem),osefeitosinerciaistornamabolhaoblata. Nosoutroscasos,osefeitosplásticoseelásticostornamabolhaprolata.Oformatode lágrimasóéobservadoemcasosnosquaisefeitoselásticosestãopresentes(terceira equartaimagens).Noscasosemqueomaterialapresentaumatensãodecedência (segundaequartaimagens),aregiãoempretoindicaaregiãonãocisalhadadomaterial externo,enquantoqueaembrancoindicaacisalhada.Observequeaelasticidade influenciatantonoformatodabolhaquantonoformatodaregiãocisalhada.

Figura7.1 Ascensãodebolhaemummaterialnewtoniano,viscoplásticoinelástico,viscoelástico eelasto-viscoplástico.

Newtoniano Inelástico Viscoplástico Viscoelástico Elasto-viscoplástico

Região não cisalhada

Região cisalhada

Nestecapítulo,vamosdiscutirumfenômenoextremamenteimportanteemreologia: a tixotropia,queimpõeaomaterialumafortedependênciacomotempo.Inicialmente, vamosabordaralgunsaspectosgeraisantesdediscutircomumpoucodemaisdetalhes aestruturademateriaistixotrópicos.Porfim,vamosbrevementefalardemodelosde materiaistixotrópicos—naverdade,osprimórdiosdamodelagemdetixotropia.

8.1DEFINIÇÃOEASPECTOSGERAIS

Diversosmateriaismanifestamocomportamentonãonewtonianoconhecidocomo tixotropia,que,deformabemsimples,estárelacionadoàquedadaviscosidadecomo tempoenquantosemantémataxadecisalhmentoconstante.Umadasprimeirasobservaçõesdessefenômenonosremontaa1923,quandoSchalekeSzegvari(BAUER;COLLINS,1967)observaramqueumamisturadeóxidodeferroemágua,umgelemrepouso, tornava-secompletamentelíquidaquandoagitadalentamenteesesolidificavadenovo quandoemrepousoporumtempo.Éimportanteenfatizarqueessecomportamento cíclico,reversível,équecaracterizaatixotropia.

UmaboarevisãodosconceitosbásicosemtixotropiaestáemBarnes(1997).Segundo oautor,otermotixotropiafoicunhadoporPeterfiem1927(vejacitaçãonoreferido artigo),noprimeirotrabalhoquedescrevepropriamenteofenômeno.Otermovemdo grego thixis,quesignifica chaqualhar,e trepo,quesignifica mudar.Maisdetalhadamente, pode-sedizerquetixotropiasecaracterizaporumamudançareversíveldeummaterial inicialmenteemestadodegel,quandosubmetidoaumataxadedeformaçãoconstante, paraummaterialmaisfluido,commenorviscosidade,eretornaàcondiçãoinicialde gel,maisviscoso,quandoemrepouso.

Emgeral,ummaterialtixotrópicoéumasuspensão.18 Nanatureza,sãováriosos materiaiscomessacaracterística,comoneve,lama,lavavulcânica,pastadecimento, fluidosabrasivosetc.Comumente,osmateriaisqueexibemcaracterísticasviscoplásticas tambémsãotixotrópicos.ModeloscomodeBinghameHerschel-Bulkley,porexemplo, caracterizariamapenasocomportamentodomaterialemregimepermanente.

18 Umamisturadelíquidocomalgummaterialparticulado.

Figura8.1 Quedadaviscosidadecomotempocomimposiçãodetrêstaxasdecisalhamento.

AFig.8.1ilustraocomportamentodaviscosidadedemateriaistixotrópicos.Quando ataxadecisalhamentoémantidaconstante,aviscosidadecaicomotempoatéatingirum regimepermanente.Otemponecessárioparachegaraoregimepermanenteaumentaà medidaquesereduzataxadecisalhamento.NaFig.8.1, ���� estáassociadoa ����.Noteque ��1 > ��2 > ��3 e ��1 <��2 <��3 .Vamosdiscutircommaisdetalhesaestruturadosmateriais tixotrópicos,emgeralviscoplásticos,maisadiante,masjápodemosadiantarqueo temponecessárioparaoregimepermanenteseratingidoestárelacionadoàacomodação estruturaldomaterialque,comoveremos,normalmenteémodeladacomoumafunção fortedataxadedeformação.

Rigorosamente,algunsautoresdefendemqueaestruturaéfunçãonaverdadeda tensão(MENDES;THOMPSON,2012),apesardeamaioriadosmodelosaconsiderarem umafunçãodataxadedeformação.Esseémaisumtemainteressanteemconstante discussãonaliteraturaatualemreologiaeserábrevementeabordadonaseção8.3.

Figura8.2 Quebraereconstruçãodeestrutura.

Acaracterizaçãominimamenterigorosadosmateriaisnãonewtonianosnãoé,na maioriadasvezes,umatarefatrivial,mesmocomequipamentoemboascondiçõesde trabalho—diga-sedevidamentecalibrado.Oreólogodeveestaratentoaosdiversosaspectosimportantes,comodependênciadaspropriedadesdomaterialcomotempoe deslizamentodaamostra,sóparacitardoispontosfundamentais.Veremosnestecapítulo,deformabrevemascuidadosa,algunsdetalhesfundamentaisparacaracterização reológicademateriaiscomplexos.Discutiremossobreosdiferentestiposdereômetrose geometrias,bemcomoalgunsdetalhesdecontroledetesteecuidadoscomapreparação dasamostras.

9.1REOMETRIAROTATIVA

Semdúvidaoprincipalequipamentodeumlaboratóriodereologiaéoreômetro rotativo,doqualseextraemasdiversaspropriedadesreológicasdefinidasemescoamento simplesdecisalhamento(cisalhamentoemapenasumplanoelivredeextensão).Um esquemadereômetrorotativotípicoestárepresentadadonaFig.9.1.

Figura9.1 Esquemadeumreômetrorotativo.

IntroduçãoàReologia:escoamentoecaracterizaçãodemateriaiscomplexos

Oprincipalelementodoequipamentoéacabeçacomcontroledevelocidadeangular, torqueeforçasnormais.Diferentesrotorespodemserconectadosàcabeça,queémóvel paraocontroledoespaçamento �� entreorotorebasedoreômetro,ondedeposita-sea amostra.Ostestessãoemgeralconduzidoscomcontrolerigorosodetemperatura,com ajuda,porexemplo,deumbanhotérmicoe,àsvezes,deumacélulaPeltier.

Comomencionado,comoreômetrorotativo,medem-seaspropriedadesreológicas, tambémchamadasdefunçõesmateriais,emcisalhamentosimples.Valeapenalembrar aquique,emumescoamentocisalhante,oscomponentes21 dadiagonaldotensortaxade deformaçãosãonulos.Nocasoespecial,decisalhamentosimples,noqualamaioriada reometriaseenquadra,sóhádeformaçãoemumúnicoplano.Paraocasoparticularem coordenadascilíndricas(������),esquematizadasnaFig.9.1,otensortaxadedeformaçãoé comosesegue:

Onde �� ���� = ���� �� /���� �� ,sendo �� �� = ����(��) ocomponentedevelocidadenadireção ��,perpendicularaoplanodafigura.Usandoapenasgeometriassimples,queserão discutidasnaseção9.1.2,sabe-se apriori arelaçãoentreaintensidadedataxade deformação �� comavelocidadeangular �� e,ainda,atensão �� naamostracomotorque cisalhante, �� ,aplicadonorotor.Emresumo,tem-se:

Conhecendoatensãosobreaamostraeintensidadedataxadedeformação,pode-se mediraprincipalfunçãomaterialemcisalhamento,ouseja,aviscosidadecisalhante, ��, definidacomo:

Medindoessasduasentidadesfundamentais,tensãoetaxadedeformação,pode-seconduzirdiversostestesemreometriarotativa.Osmaiscomunssãocurvasdeviscosidade outensãoemfunçãodataxadecisalhamentooutempo.

9.1.1Controledetensãoecontrolededeformação

Éinteressantedestacarqueostiposdecontroledividemosreômetrosemduascategorias:a)reômetroscomcontroledetensão;b)reômetroscomcontrolededeformação.

21 Nosistemadecoordenadastípico,oqualestáalinhadocomadireçãodavelocidade,direçãovariação davelocidadeedireçãoneutra.

Introdução à reologia: escoamento e caracterização de materiais complexos é dedicado à iniciação de engenheiros, físicos, químicos e matemáticos à reologia, ciência que estuda o escoamento e deformação dos materiais em estado líquido ou sólido.

A motivação para escrever este livro veio da experiência do prof. Edson Soares ao longo de 20 anos ministrando a disciplina de Introdução à Mecânica dos Fluidos não Newtonianos no programa de pós-graduação em engenharia mecânica da Universidade Federal do Espírito Santo, além da condução de pesquisas relacionadas à reologia.

Este livro, um dos raros textos em reologia em língua portuguesa, é dedicado aos estudantes de graduação e de pós-graduação com experiência básica em mecânica dos fluidos, capacitando-os para se engajarem em pesquisas numéricas ou experimentais no campo da reologia.

É importante ressaltar que a obra reflete a perspectiva e estilo únicos dos autores, influenciados por suas próprias limitações e preferências conceituais e estéticas.

A reologia é uma ciência relativamente jovem, com menos de um século de existência, e há ainda muitas controvérsias que dividem a comunidade em grupos com tendências distintas.

O Introdução à reologia não é totalmente imparcial e aborda algumas das controvérsias existentes, claramente comunicando a posição dos autores, alicerçada em suas próprias vivências e contribuições científicas.